54高考数学总复习经典测试题解析版12.3-模拟方法---概率的应用54
高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)模拟方法-概率的应用 理 北师大版
第六节 模拟方法——概率的应用【考纲下载】1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．几何概型有什么特点？提示：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型和古典概型有什么区别？提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个．1．(2014·漳州模拟)在区间[20,80]内随机取一实数a ，则实数a 属于区间[50,75]的概率是( )A.14B.34C.512D.712解析：选C 显然，该问题属于几何概型，实数a 属于区间[50,75]的概率为75－5080－20＝2560＝512.2．已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110 B.19 C.111 D.18解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成所求事件的区域长度为1 min ，故P ＝110.3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：选A 选项A 的概率为38；选项B 的概率为28＝14；选项C 的概率为26＝13；选项D 的概率为13，故增加中奖机会的应为A 选项．4．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．解析：劣弧AB 的长度为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，其中长度小于1的概率为132＝23. 答案：235．如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为________．解析：由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68， 而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 答案：16.321．与长度有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下几个命题角度： (1)与线段长度有关的几何概型； (2)与曲线长度有关的几何概型； (3)与时间有关的几何概型； (4)与不等式有关的几何概型．[例1] (1)(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为________．(2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． [自主解答] (1)由3a －1<0，得a <13，而0～1的长度为1，故所求概率为13.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.[答案] (1)13 (2)13【互动探究】本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解：当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.与长度有关的几何概型的常见类型及解题策略(1)与线段长度有关的几何概型．利用几何概型公式求解，直接利用两线段的长度之比即可．(2)与曲线长度有关的几何概型．利用几何概型公式，求曲线的长度之比即可． (3)与时间有关的几何概型．利用几何概型公式，求时间段之比即可．(4)与不等式有关的几何概型．利用几何概型公式，求两实数之间距离之比即可．1．(2013·湖北高考)在区间[－2,4]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m ，当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去． 当2<m <4时，由题意得m －－6＝56，解得m ＝3. 答案：32．已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.答案：16[例2] (1)(2013·陕西高考)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π4(2)(2013·四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78[自主解答] (1)依题意知，有信号的区域面积为π4×2＝π2，矩形面积为2，故无信号的概率P ＝2－π22＝1－π4.(2)设第一串彩灯亮的时刻为x ，第二串彩灯亮的时刻为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤x －y ≤2.如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4所表示的图形面积为16，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤x －y ≤2所表示的六边形OABCDE 的面积为16－4＝12，由几何概型的概率公式可得P ＝1216＝34.[答案] (1)A (2)C【方法规律】求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．1．(2014·赣州模拟)已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是( )A ．2－π3B ．1－π6C ．2－π2D ．1－π12解析：选B 如图，当蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2时，蚂蚁要在图中的空白区域内，△ABC 为等腰三角形，假设AB ＝AC ＝5，易知AD ＝4，△ABC 的面积是12，由于三角形内角和等于π，图中的三个扇形的面积之和等于一个半径为2的圆的面积的一半，即三个扇形的面积之和等于2π，故空白区域的面积是12－2π，所求的概率为12－2π12＝1－π6.2．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．解析：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如图)，由图可知S U ＝18，S A ＝4，则点P 落入区域A 的概率为P ＝S A S U ＝29.答案：29[例3] 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．[自主解答] 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.【互动探究】若本例中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解：依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.【方法规律】与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．提醒：有时与长度或角度有关的几何概型，题干并不直接给出，而是将条件隐藏，与其他知识综合考查．1. 如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16. 答案：162．如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．解析：连接圆心O 与M 点，作弦MN 使∠MON ＝90°，这样的点有两个，分别记为N 1，N 2，仅当点N 在不包含点M 的半圆弧上取值时，满足MN >2R ，此时∠N 1ON 2＝180°，故所求的概率为180°360°＝12.答案：12————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————条规律——对几何概型概率公式中“测度”的认识几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．种方法——判断几何概型中的几何度量形式的方法 (1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．前沿热点(十七)几何概型与定积分的交汇1．几何概型常常与构成该事件区域的长度、面积、体积或角度等有关，在高考中经常涉及面积区域的问题，而面积的解决又与定积分有关．因此，高考命题常常在此交汇．2．面积问题常常涉及一些与定积分有关的问题，应用时一定要注意几何图形的分割及所对应的函数式，注意定积分的上、下限等．[典例] (2012·福建高考) 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17[解题指导] 阴影部分是由y ＝x 与y ＝x 相交所得到的图形，其面积可用积分法求解． [解析] 阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 210＝23－12＝16， 利用几何概型概率公式，得P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16.[答案] C[名师点评] 1.本题有以下创新点：(1)考查方式的创新：由常规方式转换为以定积分为载体考查几何概型的计算； (2)考查内容的创新：本题将几何概型与定积分求面积完 美结合起来，角度独特，形式新颖，又不失综合性． 2．解决本题的关键点解决本题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率公式求解． 3．在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点：(1)要准确判断一种概率模型是否是几何概型，为此必须了解几何概型的含义及特征； (2)运用几何概型的概率公式时，要注意验证事件是否具备等可能性．(2014·沈阳模拟)设集合A ＝{(x ，y)||x|＋|y|≤2}，B ＝{(x ，y)∈A|y≤x 2}，从集合A 中随机地取出一个元素P(x ，y)，则P∈B 的概率是________．解析：在直角坐标系中分别作出集合A ，B 所表示的区域，从集合A 中随机地取出一个元素P(x ，y)，则P∈B 的区域为图中阴影部分，由定积分知识可求得阴影部分的面积为⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰2212102dx x =173，则从集合A 中随机地取出一个元素P(x ，y)， 则P∈B 的概率为1738＝1724.答案：1724[全盘巩固]1. 如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P(A)＝( )A.4π B.1π C ．2 D.2π解析：选D 豆子落在正方形EFGH 内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型．因为圆的半径为1，所以正方形EFGH 的边长是2，则正方形EFGH 的面积是2，又圆的面积是π，所以P(A)＝2π.2. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 不妨设矩形的长、宽分别为a 、b ，于是S 矩形＝ab ，S △ABE ＝12ab ，由几何概型的概率公式可知P ＝S △ABE S 矩形＝12.3．(2012·辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16 B .13 C.23 D.45 解析：选C 设AC ＝x cm ， 则CB ＝(12－x)cm (0<x<12)， 所以矩形面积为x(12－x)cm 2， 由x(12－x)<32，解得x>8或x<4， 所以0<x<4或8<x<12. 故所求概率为4＋412＝23.4．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2<0的一个解的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7解析：选D 由已知得2＋a －a 2<0，解得a>2或a<－1.故当a∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2<0的一个解．故所求概率为P ＝－1＋＋－5－－＝710＝0.7.5．(2014·九江模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，0≤y≤1表示的平面区域为D ，在D 内任取一点P(x ，y)，若满足2x ＋y≤b 的概率大于14，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选C 区域D 表示以点O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)为顶点的正方形，其面积S 1＝1.根据题意，b>0，设正方形OABC 位于直线2x ＋y ＝b 下方部分面积为S 2，因为直线2x ＋y ＝b 在x 轴，y 轴上的截距分别为b 2，b ，则当0<b≤1时，S 2＝12·b 22＝b 24≤14.故题设，P ＝S 2S 1＝S 2>14，则b>1.6．(2013·湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机地取一点P ，使△APB 的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12B.14C.32D.74 解析：选D 依题可知，E ，F 是CD 上的四等分点，P 只能在线段EF 上且BF ＝AB.不妨设CD ＝AB ＝a ，BC ＝b ，则有b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 42＝a 2，即b 2＝716a 2，故b a ＝74.7．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为________． 解析：D 为直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝1围成的正方形区域，而d 为由x 2＋y 2≤1，即x 2＋y 2≤1(x≥0，y≥0)围成的单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为S d S D ＝14π×121×1＝π4. 答案：π48．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．解析：要使S △PBC >14S △ABC ，只需PB>14AB.故所求概率为P ＝34AB AB ＝34.答案：349．小张通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小张周末不在家看书的概率为________．解析：因为去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×1＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116， 所以小张周末不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.答案：131610. 如图，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}． 由几何概型的概率公式得P(A)＝32×22＝32.所以弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－32. 11．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min)：(1)求这15(2)估计这60名乘客中候车时间少于10 min 的人数；(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．解：(1)115×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝115×157.5＝10.5，故这15名乘客的平均候车时间为10.5 min.(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为2＋615＝815，所以候车时间少于10 min 的人数为60×815＝32.(3)将第三组乘客编号为a 1，a 2，a 3，a 4，第四组乘客编号为b 1，b 2.从6人中任选2人的所有可能情况为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)，共15种，其中2人恰好来自不同组包含8种可能情况，故所求概率为815.12．(2014·济南模拟)某幼儿园在“六·一儿童节”开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一(后面以家长代称)共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一 宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6)，宝宝所得点数记为x ，家长所得点数记为y ；方案二 宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮(此计算器只能产生区间[1,6]的随机实数)，宝宝的计算器产生的随机实数记为m ，家长的计算器产生的随机实数记为n.(1)在方案一中，若x ＋1＝2y ，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；(2)在方案二中，若m>2n ，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．解析：(1)由题意，宝宝和家长所得点数x ，y 所有取值所得基本事件总数为36. 而满足x ＋1＝2y 的(x ，y)有：(1,1)，(3,2)，(5,3)共3组． 则抛掷一次后宝宝得小红花的概率P 1＝336＝112.(2)由题意，m ，n∈[1,6]，则(m ，n)所有取值组成一个边长为5的正方形，其面积为25.(m ，n)满足不等式m>2n ，所占区域面积为12×4×2＝4.则按下一次按钮后宝宝得兴趣读物一本的概率P 2＝425.[冲击名校]已知复数z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机抽取一个数作为x ，从集合Q 中随机抽取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .因为组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型， 其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， 所以所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤3，0≤y ≤4内，该平面区域的图形为图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)． 又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.故所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.[高频滚动]1．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三个数字，每人则可喊0,5,10,15,20五个数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时，喊该数字者获胜，若甲喊10，乙喊15时，则 ( )A ．甲胜的概率大B ．乙胜的概率大C ．甲、乙胜的概率一样大D ．不能确定谁获胜的概率大解析：选A 甲、乙两人喊拳，每人用手出0,5,10三个数字，有(0,0)，(0,5)，(0,10)，(5,0)，(5,5)，(5,10)，(10,0)，(10,5)，(10,10)，共9种情况．若甲喊10，则有(0,10)，(5,5)，(10,0)，共3种情况获胜，所以甲胜的概率为13；乙喊15时，有(5,10)，(10,5)，共2种情况获胜，所以乙胜的概率为29.所以甲胜的概率大．2．若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ∈N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ∈N *}，在A ∪B 中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为________．解析：易知A ＝{3,6,9，…，99}，B ＝{2,4,6，…，100}，则A ∩B ＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个．A ∪B 中元素共有33＋50－16＝67(个)，故所求概率为1667.答案：1667。
53高考数学总复习经典测试题解析版12.1-随机事件的概率53
12.1 随机事件的概率(附参考答案)一、选择题1．把12人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指定为正组长的概率是( )A. B. C. D.112161413解析 甲所在的小组有6人，则甲被指定正组长的概率为.16答案 B2．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、170、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( )169168A. B. C. D.368369370170解析 加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率. 6968673170696870p =-⨯⨯=答案 C3．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A. B. C.D. 115358151415解析 记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝＝.91535答案 B4．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )．A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90解析 依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.答案 A5．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )．A. B. C. D.11031035910解析 法一 (直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为，故选D.910法二 (间接法)：至少一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球共1种取法，故所求概率为1－＝，故选D.110910答案 D6．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( )．A ．P (M )＝，P (N )＝B ．P (M )＝，P (N )＝13121212C ．P (M )＝，P (N )＝D ．P (M )＝，P (N )＝13341234解析 Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M ＝{(正，反)，(反，正)}，N ＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P (M )＝，P (N )＝.1234答案 D7．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是( )．A. B. C. D.16131912解析 采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为.13答案 B二、填空题8. 甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_______．答案349．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝，P (B )＝，则出现奇数点或2点的概率为________．1216解析 因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝＋＝.121623答案 2310．从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，则取出的2个颜色相同的概率是________．解析 概率P ＝＋＋＝.C24C 210C23C 210C23C 210415答案 41511．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是_______．解析 要使△ABC 有两个解，需满足的条件是Error!因为A ＝30°，所以Error!满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是＝.63616答案 1612．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析 由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.答案 0.95三、解答题13．已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为3的概率； (2)求检验次数为5的概率．解析 (1)设“在3次检验中，前2次检验中有1次检到次品，第3次检验到次品”为事件A ，则检验次数为3的概率为P (A )＝·＝.C12C15C271C15221(2)记“在5次检验中，前4次检验中有1次检到次品，第5次检验到次品”为事件B ，记“在5次检验中，没有检到次品”为事件C ，则检验次数为5的概率为P ＝P (B )＋P (C )＝·＋＝.C12C35C471C13C55C5752114．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012 3 45人以上 概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队的概率； (2)至少2人排队的概率．解析 记“没有人排队”为事件A ，“1人排队”为事件B ，“2人排队”为事件C ，A 、B 、C 彼皮互斥．(1)记“至多2人排队”为事件E ，则P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D .“少于2人排队”为事件A ＋B ，那么事件D 与事件A ＋B 是对立事件，则P (D )＝1－P (A ＋B )＝1－[P (A )＋P (B )]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.15．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，1451212试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解析 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到Error!解得Error!∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，.14161316．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．解析 记A i 表示事件：第i 局甲获胜，i ＝3,4,5，B j 表示事件：第j 局乙获胜，j ＝3,4.(1)记A 表示事件：再赛2局结束比赛．A ＝A 3A 4＋B 3B 4.由于各局比赛结果相互独立，故P (A )＝P (A 3A 4＋B 3B 4)＝P (A 3A 4)＋P (B 3B 4)＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (B 4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B ＝A 3A 4＋B 3A 4A 5＋A 3B 4A 5，由于各局比赛结果相互独立，故P (B )＝P (A 3A 4)＋P (B 3A 4A 5)＋P (A 3B 4A 5)＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (A 4)P (A 5)＋P (A 3)P (B 4)P (A 5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.。
高中概率练习题及讲解讲解
高中概率练习题及讲解讲解一、基础题1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求是红球的概率。
答案：首先计算总球数为8个，红球数为5个。
根据概率公式 P(A) = 事件发生的次数 / 总的可能次数，红球的概率 P(红球) = 5/8。
2. 题目：掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
答案：首先列出所有可能的结果：正正、正反、反正、反反。
其中正正和正反、反正是至少出现一次正面的情况。
根据概率公式，P(至少一次正面) = 3/4。
3. 题目：一个班级有30名学生，随机选取5名学生作为代表，求其中至少有一名男生的概率（假设班级男女比例为1:1）。
答案：首先计算总的选取方式，即从30名学生中选取5名的组合数。
然后计算没有男生的选取方式，即从15名女生中选取5名的组合数。
根据对立事件的概率计算，P(至少一名男生) = 1 - P(没有男生)。
二、进阶题1. 题目：一个工厂每天生产100个零件，其中有5%的次品。
今天工厂生产了200个零件，求至少有10个次品的概率。
答案：首先确定次品数为10、11、...、20。
使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 n=200, p=0.05。
计算总概率P(X ≥ 10) = Σ P(X=k) (k=10 to 20)。
2. 题目：一个盒子里有10个球，编号为1到10。
随机抽取3个球，求抽取的球的编号之和大于15的概率。
答案：列出所有可能的抽取组合，计算和大于15的组合数。
然后根据概率公式计算概率。
3. 题目：一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。
随机选取5名学生，求选取的学生中恰好有3名男生的概率。
答案：使用组合数计算选取3名男生和2名女生的组合数，然后除以总的选取方式数，即从50名学生中选取5名的组合数。
三、高难题1. 题目：一个连续掷骰子直到出现6点停止，求掷骰子次数的期望值。
53高考数学总复习经典测试题解析版12.1-随机事件的概率53
12.1 随机事件的概率(附参考答案)一、选择题1．把12人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指定为正组长的概率是( )A.112 B.16C.14D.13解析甲所在的小组有6人，则甲被指定正组长的概率为1 6 .答案 B2．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( )A.368B.369C.370D.170解析加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p=-⨯⨯=.答案 C3．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115 B.35C.815D.1415解析记4听合格的饮料分别为A1、A2、A3、A4,2听不合格的饮料分别为B1、B2，则从中随机抽取2听有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9种，故所求概率为P＝915＝35.答案 B4．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )．A．0.40 B．0.30 C．0.60 D．0.90解析依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.答案 A5．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )．A.110B.310C.35D.910解析 法一 (直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为910，故选D. 法二 (间接法)：至少一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球共1种取法，故所求概率为1－110＝910，故选D.答案 D6．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( )． A ．P (M )＝13，P (N )＝12B ．P (M )＝12，P (N )＝12C ．P (M )＝13，P (N )＝34D ．P (M )＝12，P (N )＝34解析 Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M ＝{(正，反)，(反，正)}，N ＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P (M )＝12，P (N )＝34.答案 D7．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是( )．A.16B.13C.19D.12解析 采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为13.答案 B二、填空题8. 甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_______．答案349．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析 因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案2310．从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，则取出的2个颜色相同的概率是________．解析 概率P ＝C 24C 210＋C 23C 210＋C 23C 210＝415.答案 41511．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是_______．解析 要使△ABC 有两个解，需满足的条件是⎩⎨⎧a ＞b sin A ，b ＞a 因为A ＝30°，所以⎩⎨⎧b ＜2a ，b ＞a满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案 1612．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.答案0.95三、解答题13．已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为3的概率； (2)求检验次数为5的概率．解析 (1)设“在3次检验中，前2次检验中有1次检到次品，第3次检验到次品”为事件A，则检验次数为3的概率为P(A)＝C12C15C27·1C15＝221.(2)记“在5次检验中，前4次检验中有1次检到次品，第5次检验到次品”为事件B，记“在5次检验中，没有检到次品”为事件C，则检验次数为5的概率为P＝P(B)＋P(C)＝C12C35C47·1C13＋C55C57＝521.14．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：0.04求：(1)解析记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，A、B、C彼皮互斥．(1)记“至多2人排队”为事件E，则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D.“少于2人排队”为事件A＋B，那么事件D 与事件A＋B是对立事件，则P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.15．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解析 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到⎩⎪⎨⎪⎧ 14＋P B ＋P C ＋P D ＝1，P B ＋P C ＝512，P C ＋P D＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P B ＝14，PC ＝16，PD ＝13.∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是14，16，13.16．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 解析 记A i 表示事件：第i 局甲获胜，i ＝3,4,5，B j 表示事件：第j 局乙获胜，j ＝3,4.(1)记A 表示事件：再赛2局结束比赛．A ＝A 3A 4＋B 3B 4. 由于各局比赛结果相互独立，故P (A )＝P (A 3A 4＋B 3B 4)＝P (A 3A 4)＋P (B 3B 4)＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (B 4) ＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B ＝A 3A 4＋B 3A 4A 5＋A 3B 4A 5，由于各局比赛结果相互独立，故P (B )＝P (A 3A 4)＋P (B 3A 4A 5)＋P (A 3B 4A 5) ＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (A 4)P (A 5)＋P (A 3)P (B 4)P (A 5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.。
高考数学2024概率与统计历年题目全集
高考数学2024概率与统计历年题目全集概率与统计是高中数学中一门重要的学科，也是高考数学考试的一部分。
在概率与统计中，我们需要通过概率的计算和统计的方法来分析和解决实际问题。
为了帮助同学们复习和准备高考数学考试，本文整理了高考数学2024概率与统计历年题目全集，希望能对同学们有所帮助。
1. 单项选择题1) 已知概率为P(A) = 0.2，P(B) = 0.4，事件A、B相互独立，求P(A并B)的值。
2) 一次抛掷一硬币，设正面向上的概率为p，反面向上的概率为q。
连续抛掷3次硬币，求正面朝上的次数不超过2次的概率。
3) 某音乐社有男生40人，女生60人。
从中随机抽取一人，求抽到女生的概率。
2. 典型案例题1) 某超市中购买了100个某品牌产品，其中有5个是次品。
现从中不放回地连续抽取3个产品，求至少有一个次品的概率。
2) 某餐厅的饭菜有4个主食和6个副食。
现从中选择2个饭菜，求至少有一个主食的概率。
3. 解答题1) 设事件A与事件B相互独立，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.5。
求下列事件的概率：a) P(A并B)b) P(A或B)c) P(A的对立事件)2) 设P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，P(A并B) = 0.1，求下列事件的概率：a) P(A的对立事件)b) P(B的对立事件)c) P(A或B)3) 有一批产品，其中20%是次品。
现从中不放回地连续抽取3个产品，求以下事件的概率：a) 已抽出的3个产品都是次品；b) 至少有一个次品。
（提示：利用组合数学中的排列、组合知识进行计算）本文仅列举了一部分高考数学2024概率与统计历年题目，希望能给同学们提供一些复习和备考的参考。
在备考过程中，同学们还需结合教材和课堂上的知识，多进行习题训练和模拟考试，提高解题能力和应试技巧。
祝同学们取得优异的高考成绩！。
2024年高考数学专项复习马尔科夫链(与数列结合的概率递推问题)(解析版)
马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）如果要评选出 2023 年各地模拟题中最“成功”的题目，我想非“马尔科夫链”莫属了，尽管2023 年新高考I 卷出乎了很多“命题专家”的意料，但第 21 题考察了马尔科夫链，可谓为广大“专家”“名卷”“押题卷”挽回了一些颜面。
2023年新高考I 卷第21题的投篮问题是马尔可夫链；再往前的热点模考卷中，2023年杭州二模第21题的赌徒输光问题是马尔可夫链，2023年茂名二模的摸球问题是马尔可夫链；再往更前的2019年全国I 卷药物试验也是马尔可夫链，在新人教A 版选择性必修三 P91 页 拓展探索中的第10题是传球问题，是马尔科夫链的典型模型，可以看出自从新教材引入全概率公式（新人教A 版选择性必修三 P49 页），可想而知，未来会有越来越多的递推型概率难题出现模考试题中！因此，在复习备考中全概率等系列内容需要格外关注马尔科夫链作为一种命题模型出现了，马尔科夫链在题中的体现可以简单的概括为全概率公式+数列递推，对于高中生而言，马尔科夫链其实也不难理解。
本文主要介绍了马尔科夫链和一维随机游走模型在高考中的几种具体的应用情形，希望对各位接下来的复习和备考有一些帮助。
基本原理虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻0=t 时，位于点)(+∈=N i i x ，下一个时刻，它将以概率α或者β（1),1,0(=+∈βαα）向左或者向右平移一个单位. 若记状态i t X =表示：在时刻t 该点位于位置)(+∈=N i i x ，那么由全概率公式可得：)|()()|()()(1111111+==++=−==+−==+⋅+⋅=i t i t i t i t i t i t i t X X P X P X X P X P X P另一方面，由于αβ==+==+−==+)|(,)|(1111i t i t i t i t X X P X X P ，代入上式可得：11−+⋅+⋅=i i i P P P βα.进一步，我们假设在0=x 与),0(+∈>=N m m m x 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，1,00==m P P .随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a ，原地不动，其概率为b ，向右平移一个单位，其概率为c ，那么根据全概率公式可得：2024年高考数学专项复习马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）（解析版）11+−++=i i i i cP bP aP P2023·新高考Ⅰ卷T211．乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q == = ∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．2019·全国Ⅰ卷2．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X .（1）求X 的分布列.（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，)0,1,2,,8(i p i =⋅⋅⋅表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11()127i i i i p ap bp cp i ==++…－＋，，，，其中)1(a P X ==－，(0)b P X == (1)c PX ==. 假设0.5α=，0.8β=. ①证明：1)0{,1,2,,}7(i i p p i−=⋅⋅⋅＋为等比数列； ②求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.课本原题：人教A版数学《选择性必修三》P913．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第１次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率．重点题型·归类精讲3．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，2023届惠州一模4．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐. 已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复.（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为n P（Ⅰ）证明：25nP−为等比数列；（Ⅱ）证明：当2n≥时，512nP≤.2023届佛山二模·165．有n 个编号分别为1,2,3,,n ⋅⋅⋅的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子均为1个白球1个黑球，现从第1个盒中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n 个盒子中取到白球的概率是 .2023·唐山调研6．甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第k 次传球后球在甲手中的概率为*N k p k ∈，，则下列结论正确的有（ ）A. 10p =B. 213p = C. 121k k p p ++= D. 202313p >2024届武汉高三九月调研T167．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n 次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则 ； ．2024届·湖北荆荆恩高三9月起点联考·218．甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为.(1)求；(2)设，证明：；(3)求的数学期望的值. *n ∈N n p 3p =n p =()*n n ∈N n X n p n q 11,p q 2n n n c p q =+11233n n c c +=+n X ()n E X2023·济南开学考10．甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流地掷一枚质均匀的骰子.规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束.（1）记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷n 次骰子并获得胜利的概率.2023届·杭州二模11．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2t X −，1t X −，t X ，1t X +，…，那么1t X +时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t X ，即()()t 1t 2t 1t t 1t ,,,X X X X X X P P +−−+= ∣∣. 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为*(,)A A N A B ∈<元，赌博过程为如图所示的数轴．当赌徒手中有n 元()0,n B n N ≤≤∈时，最终输光的概率为()P n ，请回答下列问题：（1）请直接写出()0P 与()P B 的数值；（2）证明(){}P n 是一个等差数列，并写出公差d ；（3）当100A =时，分别计算200B =，1000B =时，()P A 的数值，并结合实际，解释当B →+∞时，()P A 的统计含义.12．校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到。
2021高考数学一轮提高复习《第54讲 随机事件的概率》
【解析】由题意可得，基本事件个数 n＝36.当 m＝1 时，1≤n≤3，故符合条件的 有 3 个；当 m＝2 时，0≤n≤4，故符合条件的有 4 个；当 m＝3 时，1≤n≤3，故符 合条件的有 3 个；当 m＝4 时，n＝2，故符合条件的有 1 个．共计 11 个，即所求概率 为3116.
目标3 互斥事件和对立事件 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中
随机取出1球． (1)求取出1球是红球或黑球的概率； (2)求取出1球是红球或黑球或白球的概率．
【解答】方法一：(利用互斥事件求概率)记事件 A1＝{任取 1 球为红球}，A2＝{任 取 1 球为黑球}，A3＝{任取 1 球为白球}，A4＝{任取 1 球为绿球}，
则 P(A1)＝152，P(A2)＝142＝13，P(A3)＝122＝16，P(A4)＝112. 事件 A1，A2，A3，A4 彼此互斥． (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝152＋142＝34.
(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝152＋142＋122＝1112.
知识聚焦
1．概率和频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中 事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝nnA为事件 A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳 定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A)．
高三数学概率练习题及答案2023
高三数学概率练习题及答案2023概率是数学中一个重要的分支，它研究的是不确定事件的可能性。
在高三数学学习中，概率也是一个重要的内容。
为了帮助各位高三学生巩固概率知识，我整理了一些概率练习题及其答案。
练习题一：1.一个有12个红球和8个蓝球的袋子，从中随机抽取4个球，求抽到2个红球2个蓝球的概率。
2.在一批电脑中，有60%的电脑工作正常，40%的电脑存在故障。
如果从中随机抽取3台电脑，求至少有2台工作正常的概率。
3.一副扑克牌共有52张牌，其中黑桃、红桃、梅花和方片各有13张。
从中随机抽取5张牌，求其中至少有3张黑桃的概率。
练习题二：1.一个班级有40个学生，其中20个学生喜欢篮球，15个学生喜欢足球，10个学生既喜欢篮球又喜欢足球。
从中随机抽取一个学生，求该学生既喜欢篮球又喜欢足球的概率。
2.一家手机厂商共有1000部手机，其中100部属于次品。
从中抽取5部手机，求至少有1部次品的概率。
3.在一次模拟考试中，某班级参加考试的学生共有50人。
已知这些学生中80%能取得优异成绩，60%能取得及格成绩。
从中随机抽取3个学生，求至少有2个学生能取得优异成绩的概率。
练习题三：1.甲、乙、丙三个人相继投掷一颗骰子，求他们得到的点数之和为9的概率。
2.某商品的包装中有10个零件，其中4个是次品。
从中无放回地抽取3个零件，求其中至少2个是次品的概率。
3.在一场抽奖活动中，共有1000人参与，其中10人可以获奖。
从中随机抽取5人，求至少有1人获奖的概率。
答案解析：练习题一：1.计算红球的概率：P(红球) = 红球个数/总球数 = 12/20。
计算蓝球的概率：P(蓝球) = 蓝球个数/总球数 = 8/20。
计算抽到2个红球2个蓝球的概率：P(2个红球2个蓝球) = C(12,2) * C(8,2) / C(20,4)。
2.计算正常电脑的概率：P(正常) = 60% = 0.6。
计算故障电脑的概率：P(故障) = 40% = 0.4。
(完整版)概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案.doc
【经典例题】【例 1】（ 2012 湖北） 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是21 121 A ．1- πB ． 2 - πC ． πD ． π【答案】 A【解析】 令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为 S 1，围成 OC 为 S 2，作对称轴 OD ，则过 C 点． S 2 即为以 OA2 π 1 2 111 π -2 S2(2)-2×2×2=1为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积， S =8 ．在扇形 OAD 中 2 为扇形面积减去三角S 2 S 1 1 21 S 2π -2 π -2π形 OAC 面积和 2 ， 2 = 8 π×1 - 8 - 2 =16 ， S 1+S 2= 4 ，扇形 OAB 面积 S= 4 ，选 A ．【例 2】（ 2013 湖北） 如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则 X 的均值 E(X) ＝ ( )1266 1687 A. 125B. 5C.125D. 5【答案】 B27 54 36 8 27【解析】 X 的取值为 0，1， 2，3 且 P(X ＝ 0) ＝125，P(X ＝ 1) ＝125，P(X ＝ 2) ＝ 125，P(X ＝ 3) ＝ 125，故 E(X) ＝0× 125＋1× 54 36 8 6＋2× ＋3× ＝，选B.125 125 125 5【例 3】（ 2012 四川） 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通 电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ()1 1 3 7 A. 4B. 2C. 4D. 8【答案】 C【解析】 设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮， 第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意 0≤ x ≤ 4，满足条件的关系式0≤y ≤4，根据几何概型可知， 事件全体的测度 ( 面积 ) 为 16 平方单位，而满足条件的事件测度( 阴影部分面积 ) 为 12 平方单位，123故概率为 16＝ 4.【例 4】（ 2009 江苏） 现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m ）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .【答案】 0.2 【解析】 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8 ， 2.6 和 2.9 ，所求概率为 0.2【例 5】（ 2013 江苏） 现有某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m ， n(m ≤7， n ≤ 9)可以任意选取，则 m ， n 都取到奇数的概率为 ________．20【答案】【解析】 基本事件共有 7×9＝ 63 种， m 可以取 1， 3， 5，7， n 可以取 1， 3，5， 7， 9. 所以 m ，n 都取到奇数共有 2020种，故所求概率为63.【例 6】（ 2013 山东） 在区间 [－ 3，3] 上随机取一个数 x ，使得 |x ＋ 1|－ |x － 2| ≥1成立的概率为 ________．【答案】13【解析】 当 x<－ 1 时，不等式化为－ x － 1＋ x －2≥1，此时无解；当－ 1≤x ≤2 时，不等式化为 x ＋1＋ x －2≥1，解之得 x ≥1；当 x>2 时，不等式化为 x ＋ 1－ x ＋2≥1，此时恒成立， ∴|x ＋ 1| － |x －2| ≥1的解集为 [ 1，＋∞ ) . 在 [ －3， 3]上使不等式有解的区间为 [ 1，3] ，由几何概型的概率公式得 P ＝ 3－ 1 1 .3－（－ 3） ＝3【例 7】（ 2013 北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良， 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染． 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市， 并停留 2 天．（ 1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（ 2）设 X 是此人停留 期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；（ 3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明 )【答案】 132； 1213； 3 月 5 日【解析】 设 Ai 表示事件“此人于3 月 i 日到达该市” (i ＝ 1， 2， ， 13) ．1(i ≠j) ．根据题意， P(Ai) ＝ ，且 Ai ∩Aj ＝13（ 1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8.2所以 P(B) ＝P(A5∪A8)＝ P(A5) ＋ P(A8) ＝ .13（ 2）由题意可知， X 的所有可能取值为 0，1， 2，且P(X＝ 1) ＝P(A3∪A6∪A7 ∪A11)4＝P(A3) ＋ P(A6) ＋ P(A7) ＋ P(A11) ＝13，P(X＝ 2) ＝P(A1∪A2∪A12∪A13)4＝P(A1) ＋ P(A2) ＋ P(A12) ＋ P(A13) ＝13，5P(X＝ 0) ＝ 1－ P(X＝ 1) － P(X＝ 2) ＝13.所以 X 的分布列为X 0 1 2P 5 4 4 13 13 135 4 4 12故 X 的期望 E(X) ＝0×＋1×＋2×＝ .13 13 13 13（ 3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大．【例 8】（2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2，中奖可以3 获得 2 分；方案乙的中奖率为2，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中5奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（ 1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求 X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】1115；方案甲．2 2【解析】方法一：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响．记“这2 人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件 A 的对立事件为“ X＝5”，2 2 411因为 P(X＝5) ＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，3 5 151511即这两人的累计得分X≤3的概率为15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1) ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2) ．2 2由已知可得，X1～ B 2，3， X2～ B 2，5，2 42 4所以 E(X1) ＝2×3＝3， E(X2) ＝2×5＝5，812从而 E(2X1) ＝ 2E(X1) ＝， E(3X2) ＝ 3E(X2) ＝.3 5因为 E(2X1)>E(3X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为2，小红中奖的概率为2，且两人中奖与否互不影响．35记“这两人的累计得分 X ≤3”的事件为 A ，则事件 A 包含有“ X ＝0”“ X ＝2”“ X ＝3”三个两两互斥的事件，2 2 1 2 2 22 22， 因为 P(X ＝ 0) ＝ 1－× 1－ ＝ ，P(X ＝ 2) ＝ × 1－＝ ，P(X ＝3) ＝ 1－ × ＝ 15 355355 3 511所以 P(A) ＝ P(X ＝ 0) ＋ P(X ＝ 2) ＋ P(X ＝ 3) ＝15，11即这两人的累计得分 X ≤3的概率为 15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则 X1， X2 的分布列如下：X1 0 2 4 X2 0 3 6 P14 4 P912 4 9 9 9 2525251448所以 E(X1) ＝0× 9＋2× 9＋4× 9＝ 3，E(X2) ＝0× 9 ＋3× 12＋6× 4 ＝ 12.25 25 25 5因为 E(X1)>E(X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【例 9】（ 2013 浙江） 设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1 分，取出一个黄球得2 分，取出一个蓝球得3 分．（ 1）当 a ＝ 3， b ＝ 2，c ＝ 1 时，从该袋子中任取 (有放回，且每球取到的机会均等 )2 个球，记随机变量 ξ为取出此 2球所得分数之和，求 ξ的分布列；（ 2）从该袋子中任取 (每球取到的机会均等 )1 个球，记随机变量 η为取出此球所得分数． 若 E η＝ 5，D η＝5，求 a ∶ b ∶ c.3 9【答案】 3∶ 2∶ 1【解析】（ 1）由题意得，ξ＝ 2， 3， 4， 5， 6.P(ξ＝ 2) ＝ 3×3 1＝ ，6×6 4 P(ξ＝ 3) ＝2×3×2＝ 1，6×6 32×3×1＋2×2 5 P(ξ＝ 4) ＝ 6×6 ＝ 18. P(ξ＝ 5) ＝ 2×2×1 16×6＝ 9，P(ξ＝ 6) ＝ 1×1 1，＝ 366×6 所以 ξ 的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P1 1 5 1 1 4318936（ 2）由题意知 η 的分布列为η 1 2 3Pa b ca ＋b ＋c a ＋ b ＋ ca ＋b ＋ca 2b3c5所以 E η＝ a ＋ b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＝ 3，5 a 5 b 5c5D η＝ 1－ 32· a ＋ b ＋ c ＋2－ 32· a ＋ b ＋ c ＋3－ 32· a ＋ b ＋ c ＝ 9， 2a － b － 4c ＝ 0，解得 a ＝ 3c ， b ＝ 2c ， 化简得a ＋ 4b －11c ＝ 0，故 a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.【例 10】（ 2009 北京理） 某学生在上学路上要经过 4 个路口， 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的 概率都是 1，遇到红灯时停留的时间都是2min.3（ 1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （ 2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望 .【答案】4；327 8【解析】 本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础 知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（ 1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A ，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为PA11111 4 .333 27（ 2）由题意，可得可能取的值为 0，2， 4， 6，8（单位： min ） .事件“2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（ k 0， 1， 2，3， 4），k 4 k∴ P2kC k412k 0,1,2,3,4，33∴即 的分布列是0 246 8P16 32 8818181278181∴ 的期望是 E16 32 88 1 82468.818127 81813【课堂练习】1.（ 2013 广东） 已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P3 3 151010则 X 的数学期望 E(X) ＝ () 35A. 2B ． 2 C. 2 D ． 32.（ 2013 陕西） 如图，在矩形区域 ABCD 的 A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区 域 ADE 和扇形区域 CBF( 该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常 )．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无 信号的概率是 ( )．A ．1－ π π π D ． π4 B ． －1 B ．2－ 42 23．在棱长分别为 1， 2， 3 的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离 大于 3的概率为 ()4 3 2 3A ．7B ． 7C ． 7D ． 144．（ 2009 安徽理） 考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于12 34?BA ．B ．C ．D ．75757575?F?C?D? E? A5.（ 2009 江西理） 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5 袋，能获奖的概率为（）3133 C ．4850A ．B ．81D ．.8181816.（ 2009 辽宁文） ABCD 为长方形， AB ＝ 2， BC ＝1，O 为 AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于 1 的概率为A ．B ． 1C ．8D ． 18447.（ 2009 上海理） 若事件 E 与 F 相互独立，且 P EP F1 的值等于，则P EI F4A ． 01 C ．11B ．4D ．1628．（ 2013 广州） 在区间 [1，5] 和[2， 4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程 x 2 y 22＋b 2＝ 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小a于 3的椭圆的概率为 ()2C ．1711531A ．2B ． 3232D ． 321， 2，3，9．已知数列 {a } 满足 a ＝ a＋ n － 1(n ≥2，n ∈ N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为nnn －14， 5， 6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为 a ， b ， c ，则满足集合 {a ，b ， c} ＝ {a 1， a 2， a 3}(1 ≤a i ≤6，i ＝ 1， 2， 3)的概率是 ()1B ． 1C ． 1D ． 1A ．72 36 24 1210.（ 2009 湖北文） 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、 0.6、 0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是 。
适用于老高考旧教材2024版高考数学一轮总复习第12章概率解答题专项六概率与统计课件新人教A版
∑ ( -)( -)
r=
i=1
20
20
∑ ( -) ∑ ( -)2
=1
2
=1
=
800
80×9 000
=
2 2
3
≈0.94.
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分
层抽样.
理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正
2
12 +22
=2
10
0.036+0.04
=2
10
所以 − >2
0.007 6 ≈0.174,
12 +22
,
10
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
规律方法 用样本估计总体的方法:用样本估计总体实质上是用样本的数
字特征估计总体的数字特征,包括众数、中位数、均值、标准差和方差.均
≈0.97.
(3)由题意及(1),
0.39
可知该林区这种树木的总材积量的估计值为
0.06
×186=1 209(m3).
规律方法 提高运算准确性的方法:在求相关系数和回归方程的系数时,由
^
于r和 的公式组成比较复杂,求它们的值计算量比较大,为了计算准确,可
将其分成几个部分分别计算,这样等同于分散难点,各个攻破,提高了计算
平均一棵的材积量为 10 =0.39.
(2)依题意,所求样本相关系数
10
∑ x i y i -10xy
r=
=1
10
=
2 10 2
2
2
( ∑ -10 )( ∑ -10 )
i=1
高考数学2024概率与统计历年题目全解
高考数学2024概率与统计历年题目全解概率与统计作为高考数学中的重要部分，一直是考生们难以逾越的“坎”。
为了帮助广大考生更好地应对高考概率与统计部分的考题，本文将对高考数学2024年概率与统计题目进行全面解析，希望能够为考生们提供帮助和指导。
1. 选择题部分选择题是高考中概率与统计部分的常见题型，也是考生们容易出错的地方。
以下是2024年高考概率与统计选择题的解答：题目一：已知事件A发生的概率为P(A)=0.6，事件B发生的概率为P(B)=0.3，且事件A与事件B相互独立。
求事件A发生且事件B不发生的概率。
解答一：事件A发生且事件B不发生，表示为A发生的概率P(A)乘以B不发生的概率P(B')，即P(A且B')=P(A)×P(B')=0.6×(1-0.3)=0.6×0.7=0.42。
因此，事件A发生且事件B不发生的概率为0.42。
题目二：已知事件C发生的概率为P(C)=0.4，事件D发生的概率为P(D)=0.5，且事件C与事件D相互独立。
求事件C或事件D发生的概率。
解答二：事件C或事件D发生，表示为C发生的概率P(C)加上D发生的概率P(D)，即P(C或D)=P(C)+P(D)=0.4+0.5=0.9。
因此，事件C或事件D发生的概率为0.9。
2. 计算题部分计算题是概率与统计部分的重要考察内容，需要考生们掌握一定的计算方法和技巧。
以下是2024年高考概率与统计计算题的解答：题目一：某班有40名学生，其中20名男生、20名女生。
现从该班级随机选取3名学生，求选出的3名学生全为男生的概率。
解答一：选出的3名学生全为男生的概率等于从20名男生中选取3名学生的概率除以从40名学生中选取3名学生的概率。
即P(全为男生)=C(20,3)/C(40,3)=[20×19×18]/[40×39×38]=0.0283。
因此，选出的3名学生全为男生的概率为0.0283。
2024高考数学一轮复习第一部分考点通关练第八章概率与统计考点测试52古典概型含解析苏教版
考点测试52 古典概型高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考纲研读1．理解古典概型及其概率计算公式2．会计算一些随机事务所包含的基本领件数及事务发生的概率一、基础小题1．某银行储蓄卡上的密码是一个6位数号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取．某人未记住密码的最终一位数字，假如随意按密码的最终一位数字，则正好按对密码的概率是( )A ．1106B ．1105C ．1102D ．110答案 D解析 只考虑最终一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为110. 2．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的依次是随意的，则第一个给甲打电话的概率是( )A ．16B ．13C ．12D ．23答案 B解析 给三人打电话的不同依次有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P ＝26＝13.3．食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中随意选取两种，则它们相克的概率为( )A ．13B ．23C ．310D ．710答案 C解析 已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中随意选取两种，基本领件总数n ＝C 25＝10，∴它们相克的概率为P ＝310.故选C ． 4．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，假如从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A ．15B ．310C ．25D ．12答案 C解析 基本领件有C 25＝10个，其中为同色球的有C 23＋C 22＝4个，故所求概率为410＝25.故选C ．5．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23答案 B解析 3卷文集随机排列，共有A 33＝6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是26＝13.故选B ．6．甲、乙两人玩猜数字嬉戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现随意找两人玩这个嬉戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.1125B ．1225 C ．1325 D ．1425答案 C解析 随意两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本领件有25种，“心有灵犀”的状况包括(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共13种，故他们“心有灵犀”的概率为1325，故选C.7．某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机支配2人到A 展区，另2人到B 展区维持秩序，则甲、乙两人同时被支配到A 展区的概率为( )A.112B ．16C ．13D ．12答案 B解析 随机支配2人到A 展区，另2人到B 展区维持秩序，列举可知有6种不同的方法，乙两人同时被支配到A 展区的概率为P ＝16.8．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是________．答案712解析 ∵a ·b ＝m －n ，夹角θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴a ·b ≥0，即m ≥n .满意θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的点A (m ，n )有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，点A (m ，n )的基本领件总数为36，故所求概率为2136＝712.二、高考小题9．(2024·全国卷Ⅱ)生物试验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23 B ．35 C ．25 D ．15答案 B解析 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的全部可能状况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的状况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.10．(2024·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3答案 D解析 设2名男同学为A 1，A 2,3名女同学为B 1，B 2，B 3，从以上5名同学中任选2人总共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3共10种可能，选中的2人都是女同学的状况共有B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3共3种可能，则选中的2人都是女同学的概率为P ＝310＝0.3.故选D.11．(2024·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色调笔的概率为( )A.45 B ．35 C ．25 D ．15 答案 C解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色调笔的取法有10种，其中取出的2支彩笔中含有红色调笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P ＝410＝25.故选C.12．(2024·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为( )A.110B ．15C ．310D ．25 答案 D解析 由列举法可知，从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的基本领件总数为25，第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的事务数为10，∴所求概率P ＝1025＝25.故选D.13．(2024·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．答案710解析 解法一：设3名男同学分别为A ，B ，C,2名女同学分别为a ，b ，则全部等可能事务分别为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学的事务所包含的基本领件分别为Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共7个，故所求概率为710.解法二：同解法一，得全部等可能事务共10个，选出的2名同学中没有女同学的事务所包含的基本领件分别为AB ，AC ，BC ，共3个，故所求概率为1－310＝710.14．(2024·江苏高考)将一颗质地匀称的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．答案 56解析 先后抛掷2次骰子，全部可能出现的结果共36个，其中点数之和不小于10的有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6个，从而点数之和小于10的有30个，故所求概率P ＝3036＝56.三、模拟小题15.(2024·陕西渭南质检)陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国闻名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A.23 B ．12 C ．15 D ．25答案 B解析 现从五种不同属性的物质中任取两种，基本领件总数为10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本领件个数为5，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为P ＝m n ＝510＝12.故选B.16．(2024·南昌一模)2024年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都打算选历史，假如他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为( )A.136B ．116C ．18D ．16答案 D解析 由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有6种方法，所以他们选课相同的概率为16，故选D.17．(2024·沈阳质量监测)某英语初学者在拼法单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”“e”“k”三个字母组成并且“k”只可能在最终两个位置，假如他依据已有信息填入上述三个字母，那么他拼法正确的概率为( )A.16 B ．14 C ．12 D ．13答案 B解析 由题知可能的结果有：eak ，aek ，eka ，ake ，共4种，其中正确的只有一种eak ，所以拼法正确的概率是14，故选B.18．(2024·大连摸底)元旦即将来临之际，3名同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任一张都是等可能的，则每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的概率是( )A.12 B ．14 C ．16 D ．13答案 D解析 依题意得，这3名同学从他们所写的三张贺卡中各抽取一张，总的方法数为6，其中每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的方法数为2，因此所求的概率为26＝13，故选D.19．(2024·兰州诊断)某区要从参与扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是( )A.15B ．25C ．35D ．710答案 D解析 从5名干部中随机选取2人有10种选法，其中选中A 没选中B 有3种选法，选中B 没选中A 有3种选法，A 和B 均选中有1种选法，所以所求概率P ＝3＋3＋110＝710，故选D. 20．(2024·成都一诊)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场竞赛，若有优势的马肯定获胜，则齐王的马获胜的概率为( )A.49 B ．59 C ．23 D ．79答案 C解析 将齐王的上等、中等、下等马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的上等、中等、下等马分别记为b 1，b 2，b 3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行竞赛，其对阵状况有a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，共9种，其中齐王的马获胜的对阵状况有a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 2b 2，a 2b 3，a 3b 3，共6种，所以齐王的马获胜的概率P ＝69＝23，故选C.一、高考大题1．(2024·天津高考)2024年，我国施行个人所得税专项附加扣除方法，涉及子女教化、接着教化、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受状况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教化○○×○×○②设M 为事务“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事务M 发生的概率．解 (1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采纳分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的全部可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．②由表格知，符合题意的全部结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事务M 发生的概率P (M )＝1115.2．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M 为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M 发生的概率．解 (1)由已知，得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．所以事务M 发生的概率P (M )＝521.3．(2024·山东高考)某旅游爱好者支配从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． 解 (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本领件有15个．所选两个国家都是亚洲国家的事务所包含的基本领件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事务的概率为P ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本领件有9个． 包括A 1但不包括B 1的事务所包含的基本领件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个，则所求事务的概率为P ＝29.二、模拟大题4．(2024·济宁模拟)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成果进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成果的频率分布直方图．注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中随意选取2人，求至少有一名男生的概率．解 (1)由题得男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.则从5人中随意选取2人共有10种，抽取的2人中没有一名男生有3种，则至少有一名男生有10－3＝7种．故至少有一名男生的概率为P＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.5．(2024·成都市高三摸底考试)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成果达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下，A类行业：85,82,77,78,83,87；B类行业：76,67,80,85,79,81；C类行业：87,89,76,86,75,84,90,82.(1)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；(2)若在A类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行沟通发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．解(1)由题意，抽取的三类行业单位个数之比为3∶3∶4.由分层抽样的定义，有A类行业单位的个数为310×200＝60，B类行业单位的个数为310×200＝60，C类行业单位的个数为410×200＝80.∴A，B，C三类行业单位的个数分别为60,60,80.(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事务M.在A类行业的6个单位中随机选取3个单位的考评数据情形有{85,82,77}，{85,82,78}，{85,82,83}，{85,82,87}，{85,77,78}，{85,77,83}，{85,77,87}，{85,78,83}，{85,78,87}，{85,83,87}，{82,77,78}，{82,77,83}，{82,77,87}，{82,78,83}，{82,78,87}，{82,83,87}，{77,78,83}，{77,78,87}，{77,83,87}，{78,83,87}，共20种．这3个单位都是“星级”环保单位的考评数据情形有{85,82,83}，{85,82,87}，{85,83,87}，{82,83,87}，共4种．这3个单位都是“非星级”环保单位的考评数据情形有0种．∴这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有4种．∴所求概率P(M)＝1－420＝45.- 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《概率》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
概率考纲要求1.了解随机现象和概率的统计定义，理解必然事件和不可能事件的意义.2.知道概率的性质，理解古典概率模型的含义，掌握求古典概型的方法，并会求古典概型的概率.3.知道互斥事件，会用概率加法公式求互斥事件的概率.4.认识n 次独立重复实验模型，并记住n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率公式，并会简单应用.5.了解随机变量、离散型随机变量及其概率分布；能写出简单的离散型随机变量的概率分布.6.了解二项分布，能写出简单的二项分布. 知识点一：随机事件的概率 1.随机事件的相关概念随机现象：在相同条件下具有多种可能结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象称为随机现象.随机试验：研究随机现象所进行的观察和试验称为随机试验.随机事件：随机试验的结果称为随机事件，简称事件，常用大写字母A ,B ,C 等来表示. 必然事件：在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件，用Ω来表示. 不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件，用∅来表示. 基本事件：在随机试验中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件. 复合事件：可以用基本事件来描述的随机事件称为复合事件. 2.频率与概率频数：设在n 次重复试验中，事件发A 生了m 次（0 ≤m ≤n ），m 称为事件A 的频数. 频率：事件A 的频数在试验的总次数中所占的比例mn，称为事件A 发生的频率. 事件A 发生的概率：当试验次数充分大时，如果事件发A 生的频率mn总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件A 发生的概率,记作)(A P . 事件A 发生的概率的性质：（1）对于必然事件Ω，()1=P Ω； （2）对于不可能事件∅，0)(=∅P ； （3）0≤P (A )≤1. 知识点2： 古典概型 1. 古典概型：（1）定义：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性都相等，那么称这个随机试验属于古典概型.特征：试验的所有可能结果的个数是有限的；每个结果出现的机会均等.（2）在古典概型中，若试验共包含有n 个基本事件，并且每一个事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件A 发生的概率()m P A n =2.互斥事件：（1）定义：在随机试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件或互不相容事件 （2）和事件：在随机试验中，若事件C 发生意味着事件A 与事件B 中至少有一个发生，则把事件C 称为事件A 与事件B 的和事件,记作C AB =（3）互斥事件的概率加法公式：互斥的事件A 和事件B 中至少有一个发生的概率()()()P A B P A P B =+知识点3：离散型随机变量及其分布 1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量的取值来表示，这个变量的取值带有随机性，并且取这些值的概率是确定的，那么这个变量叫做随机变量，通常用小写希腊字母ξ、η等表示，或用大写英文字母，,,X Y Z 等表示. 2.离散型随机变量的概念如果随机变量的所有可能取值可以一一列出，则这种随机变量称为离散型随机变量. 3.离散型随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的概率分布的定义离散型随机变量ξ的所有可能取值1x ，2x ，3x …，i x …与其对应的概率(x )i i P p ξ==（i =1，2，3，…）所有组成的表叫做随机变量ξ的概率分布（分布列）. 离散型随机变量概率分布的性质. ① 0(1,2,3,)i p i =≥；②1231i p p p p +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=.（2）计算离散型随机变量的概率分布的主要步骤为 ①写出随机变量的所有取值；②计算出各个取值对应的随机事件的概率； ③列出表格.注意验证0(1,2,3,)i p i =≥以及121i p p p ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=.知识点4：二项分布 1.n 次独立重复实验定义：在相同条件下，重复进行n 次试验，如果每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，那么这n 次重复试验叫做n 次独立重复试验. 2.n 次伯努利实验定义：在n 次独立重复试验中，如果每次试验的可能结果只有两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A 和A ，并且在每次试验中事件A 发生的概率都相同，这样的n 次独立重复试验叫做n 次伯努利试验. 3.伯努利公式如果在每次试验中事件A 发生的概率()P A p =，事件A 不发生的概率()1P A p =-，那么在n 次伯努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为k n k k n n p p k P --=)1(C )((其中0,1,2,,k n =⋅⋅⋅).4.二项分布如果在一次试验中某事件A 发生的概率的p ,随机变量ξ为n 次独立试验中事件发A 生的次数，那么随机变量ξ的概率分布为其中n k p ,,2,1,0,10 =<<我们将这种形式的随机变量ξ的概率分布叫做二项分布．称随机变量ξ服从参数为n 、p 的二项分布，记为(,)B n p ξ．二项分布是以伯努利试验为背景的重要分布． 题型一 基本概念例1 一口袋中有10个小球，其中有8个白球、2个黑球,从中任取3个小球,有以下事件：①3个都是白球. ②至少有一个是黑球. ③3个都是黑球. ④至少有一个白球.其中随机事件是 ；必然事件是 ；不可能事件是 . 分析：本题考察定义的理解及“至少”的含义. 随机事件有①②； 必然事件有④； 不可能事件有③. 解答：①②，④，③ 题型二 古典概型例2 同时抛掷两颗骰子，则所得点数之和为7的概率为 .分析：本题考查古典概型，试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有6⨯6=36种结果，满足条件的事件是点数之和为7，可以列举出所有的事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共有6种结果，根据古典概型概率公式得到61=P . 解答：61. 题型三 互斥事件例3 某地区年降水量在50~100mm 范围内的概率为0.21，在100~150mm 范围内的概率为0.22，则年降水量在50~155mm ，范围内的概率为多少？ 分析：应用互斥事件的概率加法公式 解答：0.43题型四 独立重复试验及概率例4 一枚硬币连续抛掷3次，恰好有两次正面向上的概率为（ ）.A.18B.38C.12 D.23分析：设事件A =｛正面向上｝，则()P A =12，抛掷3次相当于做3次独立重复试验，恰好有两次正面向上的概率为2123113(2)228P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解答：B .题型五 离散型随机变量的概率分布例5 从含有8个正品、2个次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取一个，用ξ表示抽到次品的次数，求: （1） ξ的概率分布.（2） 至多有一次抽到次品的概率.解答：（1）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，且383107(0)15C P C ξ===， 1228310715C C P C ξ=（=1）=， 21283101(2)15C C P C ξ===. 所以ξ的概率分布为（2）至多有一次抽到次品的概率为715+715=1415. 题型六 二项分布例6 在人寿保险中，设一个投保人能活到65岁的概率为0.6，求三个投保人中活到65岁的人数ξ的概率分布．解答：记A ={一个投保人能活到65岁}，则A ={一个投保人活不到65岁}．于是()0.6,()10.60.4P A P A ==-=．且随机变量(3,0.6)B ξ．因此0333(0)0.6(10.6)0.064P C =⋅⋅-=， 11233(1)0.6(10.6)0.288P C =⋅⋅-=，22133(2)0.6(10.6)0.432P C =⋅⋅-=，33033(3)0.6(10.6)0.216P C =⋅⋅-=.所以，三个投保人中能活到65岁的人数ξ的概率分布为一、选择题1．在10张奖券中，有1张一等奖，2张二等奖，从中任意抽取1张，则中一等奖的概率为（ ）． A.310 B.15 C.110 D.132.甲乙两人进行一次射击，甲击中目标的概率为0.7，乙击中的概率为0.2，那么甲乙两人都没击中的概率为（ ）．A. 0.24 B .0.56 C. 0.06 D. 0.863.某人从一副不含大小王扑克牌中（52张）任意取一张出来，他抽到黑桃或是红桃的概率为（ ）．A. 0B.152 C. 1352 D. 124.书包里有中文书5本，英文书3本，从中任集抽取2本，则都抽到中文书的概率是（ ）． A.15 B.25 C.12 D.5145.一个口袋中有5个红球，7个白球，每次取出一个，有放回取三次，观察球的颜色属于（ ）．A.重复试验B.古典概型C. 3次独立重复试验概率模型D.以上都不是 6.同时抛掷三枚硬币，三枚出现相同一面的概率为（ ）．A12 B 14 C 16 D 187．某品牌种子的发芽率是0.8，在试验的5粒种子中恰有4粒发芽的概率是（ ）． A.410.8(10.8)- B.140.8(10.8)-C.41450.8(10.8)C -D.44150.8(10.8)C -8.下列变量中不是随机变量的是（ ）． A. 射手射击一次的环数 B. 在一个标准大气压下100时会沸腾 C. 城市夏季出现的暴雨次数 D. 某班期末考试数学及格人数9.若从标有3，4，5，6，7的5张卡片中任取3张，取得奇数的个数为ξ，则随机变量ξ的可能取值的个数是（ ）．A .0 B. 1 C. 2 D .3 10.已知离散型随机变量ξ的概率分布为则n 的值为（ ）．A .0.31 B. 0.25 C. 0.26 D. 0.2 二、判断题：1. 某人参加射击比赛，一次射击命中的环数为（奇数环）是随机事件( )2. 在重复进行同一试验时，随着试验总次数的增加，事件A 发生的频率一般会越来越接近概率. ( )3. 任一事件A ,其发生的概率为()P A ，则有0≤P (A )≤1 . ( )4. 必然事件的概率为0.( )5. 袋子里有3颗红球6颗白球，从中任取一颗是白球的概率是13.( ) 6. 盒内装有大小相同的3个白球1个黑球，从中摸出2个球，则两个球全是白球的概率是12. ( )7. 同时抛掷3枚硬币，三枚出现相同一面的概率是18. ( )8. 同宿舍8人抓阄决定谁负责周一值日是随机试验.( )9. 运动员进行射击训练，考察一次射击命中的环数，命中2环的概率是110. （）10. 甲、乙两台机床，它们因故障停机的概率分别为0.01和0.02，则这两台机床同时因故障停机的概率为0.03. ( )三、填空题1．在10件产品中有3件次品，若从中任取2件，被抽到的次品数用ξ表示，则2ξ=表示的随机事件为．2．盒中有3个白色的球和5个红色的球，任取出一个球，取出的是红色的概率为．3.10件产品中有2件次品，任取3件，设取出的3件产品中所含正品数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为．4．从甲、乙、丙3人中，任选2人参加社会实践，甲被选中的概率为．5．某气象站天气预报的准确率为0.8，一周中播报准确的次数为ξ，则2ξ=的概率为．（用式子表示）四、解答1．口袋里装有3个黑球与2个白球，任取3个球，求取到的白球的个数ξ的概率分布．2.口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取1个球，有放回地取3次，求所取过的3个球中恰有两个黑球的概率.高考链接1.(2014年) 已知离散型随机变量ξ的概率分布为则(1)Pξ==( )．A .0.24 B. 0.28 C.0.48 D.0.522.(2019年) 一口袋里装有4个白球和4个红球现在从中任取3个球，则取到既有白球又有红球的概率 .3.(2018年) 若将一枚硬币抛3次，则至少出现一次正面的概率为 .4.(2016年) 从1，2，3，4，5中任选3个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 .5.(2017年) 取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为．积石成山1.某单选题要求从A 、B 、C 、D 四个选项中，选择一个正确答案，假设考生不会，随机地选择了一个答案，则他答对此题的概率是（）．A.1B.12C.13D.142. 某乐队有11名乐师，其中男乐师7人，现该乐队要选出一名指挥,则选出的指挥为女乐师的概率为（）．A.711B14C.47D.4113. 已知A 、B 是互斥事件，若1()5P A=,1()2P A B+=，则()P B的值是（）．A .45B.710C.310D.1104. 袋中装有3个黑球和2个白球一次取出两个球，恰好是黑白球各一个的概率（）．A. 15B.310C.25D.355. 5人站成一排照相，其中甲乙二人相邻的概率为（）．A. 25B.35C.15D.146. 一个箱子中有6个除了颜色之外完全一样的球，其中2个是红色的，4个是黑色的，那么在里面随机拿出一个是红色的概率是多少？（）．A. 12B.13C.14D.167. 掷一枚质地均匀且六面上分别有1，2，3，4，5，6点的骰子，则向上一面点数大于4的概率为（）．A. 12B.13C.23D.148. 抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上一面出现偶数点概率是（）．A.12B.13C.16D.19.把一枚均匀的硬币连抛5次，得到5次国徽向上的概率为（）．A. 132B.532C.316D.313210.一副扑克牌去掉大小王，任意抽出一张不是黑桃的概率为（）．A. 14B .13C.12D.34概率答案一、选择题二、判断题三、填空题1.｛任抽2件，有2件次品｝.2. 58解析：151858CpC==.3. 1，2，3.4. 23解析：枚举法：选派方法有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）共3种，其中甲被选中有2种，故所求概率为 23P =.5. 22570.8(10.8)C ⨯⨯-解析：设A =｛播报一次，准确｝，则()0.8P A =,所以2257(2)0.8(10.8)P C ξ==⨯⨯-四、解答题1. 分析：任取3球属于古典概型，服从的分布为离散型随机变量的概率分布. 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，则3032351(0)10C C P C ξ===, 2132353(1)5C C P C ξ===, 1232353(2)10C C P C ξ===. 所以概率分布为2. 分析：本题为有放回的抽取，是伯努利试验，服从二项分布. 解：设所取过的3个球中含有黑球的个数为随机变量ξ，则43,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，于是 21234148(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .高考链接1.B2.67解析：古典概率模型，则从中任意取3个球，取到既有白球又有红球的概率为122144443867C C C C C +=.3.78解析：试验发生包含的事件是将一枚硬币抛掷三次，共有328=（种）结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，则至少一次正面向上的概率是17188-=.4.25解析：从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复的三位数，基本事件总数3560n P ==，这个三位数是偶数包含的基本事件个数122424m C P ==,∴这个三位数是偶数的概率为242605mPn===.5. 2π解析：设正方形的边长为11S=正方形，∴222Sππ⎛=⨯=⎝⎭外接圆∴该点取自正方形内部的概率为122Pππ==.积石成山。
高中数学模拟方法——概率的应用总结练习含答案解析B
§3模拟方法——概率的应用1.几何概型(1)定义向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在子区域G1⫋G的概率与G1的面积成正比,而与G的形状、位置无关,我们把这种模型称为①.(2)特点试验中所有可能出现的结果(基本事件)有②;每一个基本事件出现的可能性相等.(3)概率计算公式:③.注意:几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体积之比或长度之比.2.用几何概型解简单试验问题的方法(1)适当选择观察角度,把问题转化为几何概型求解.(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D.(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d.(4)利用几何概型的概率公式计算.(5)如果事件对应区域不好处理,可以用对立事件概率公式计算.基础巩固训练1.用随机模拟方法估计概率时,其精确程度决定于( )A.产生的随机数的大小B.产生的随机数的个数C.随机数对应的结果D.产生随机数的方法2.在区间[-π2,π2]上随机取一个数x,|sin x|的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.23能力提升训练3.面积为S的△ABC中,D为BC的中点,向△ABC内部投一粒豆子,则豆子落在△ABD内的概率为( )A.13B.12C.14D.164.公交车每隔10分钟来一辆.假定乘客在接连两辆车之间的任意时刻随机地到达车站,试求乘客候车时间不超过3分钟的概率.5.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时(电台整点报时),求他等待的时间不多于10分钟的概率.6.在区间(0,1)中随机地取两个数,求下列事件的概率:(1)两个数中较小的小于12;(2)两个数之和小于32.知识清单①几何概型 ②无限多个 ③P(点M 落在G 1)=G 1的面积G 的面积基础过关基础巩固训练1.B 用模拟法估计概率时,关键是统计产生的随机数的个数,利用产生的随机数的频率来估计概率.2.A 当-π2≤x≤π2,0≤|sin x|≤12时,解得-π6≤x≤π6,因此满足条件的事件对应的区间长度为π6-(-π6)=π3,基本事件空间的区间长度为π2-(π2)=π,故其概率为π3π=13.能力提升训练3.B 利用几何概型概率公式,得P=S △ABD S △ABC =12.4.解析 从前一辆车开出起计算时间,乘客到达车站的时刻t 可以是[0,10]中的任意时刻,即G={t ︱0≤t≤10},乘客到达时刻t 均匀地分布在G 内,故问题归结为几何概型.设A 表示“乘客候车时间不超过3分钟”的事件,则G 1={t ︱0≤t≤3}.故P(A)=m (G 1)m (G )=310. (其中m(G)是样本空间的度量,m(G 1)是构成事件A 的子区域的度量)5.解析 设A={等待的时间不多于10分钟},打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内事件A 发生. 则P(A)=[50,60][0,60]=1060=16.6.解析 设x,y∈(0,1),即0<x<1,0<y<1,在平面直角坐标系中,所有(x,y)构成图中的正方形区域,面积S=1×1=1.(1)设事件A 为“两个数中较小的小于12”,则有①若x<y,则x<12时事件A 发生;②若y<x,则y<12时事件A 发生.事件A 发生构成的区域如图中阴影部分.故P=1-(12)21=34.(2)记事件B 为“两个数之和小于32”,即x+y<32,由直线y=-x+32及线性规划知识知,满足x+y<32的点落在五边形OABCD 内,即阴影部分(如下图).∴其概率P=1-12×12×121=78.。
高考数学一轮复习 第10章 概率 第3节 模拟方法——概
第三节 模拟方法——概率的应用[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．模拟方法对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．2．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110.( )(3)概率为0的事件一定是不可能事件．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A [P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．]3．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B ．58 C ．38D ．310B [如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]4．(2017·唐山检测)如图1031所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图10310.18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________.【导学号：66482466】1－π4 [如图所示，区域D 为正方形OABC 及其内部，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，∴所求事件的概率P ＝4－π4＝1－π4.]与长度(角度)有关的几何概型(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13 B ．12 C.23D ．34(2)如图1032所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．图1032(1)B (2)13 [(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧DB ′交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′. 依题意，点P ′在B ′D 上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在B ′C ′上发生”．又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率P＝lB ′C ′lB ′D＝π6·1π2·1＝13.] [规律方法] 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．(1)第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝12.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．[变式训练1] (1)(2017·唐山质检)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A.34 B ．12 C.13D ．35(2)(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．(1)B (2)34 [(1)作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC 上运动时，弦长|AB |＞2R ，∴P ＝l MmC圆的周长＝12.(2)由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，得|5k |k 2＋1<3，即16k 2<9，解得－34<k <34.由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝34.]与面积有关的几何概型☞角度1 与随机模拟相关的几何概型(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB ．2n mC.4mnD ．2m nC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4mn.] ☞角度2 与线性规划交汇问题(2017·华师一附中联考)在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A.14 B ．316 C.916D ．34D [由x ，y ∈[0,4]可知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分．易知A (4,2)，S 正方形＝16，S 阴影＝2＋4×42＝12. 故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34.] [规律方法] 1.与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合．2．解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.与体积有关的几何概型在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6B [设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部． ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π23＝1－π12.] [规律方法] 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．[变式训练2] 如图1033，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率为________．图103312[设四棱锥M ABCD 的高为h ，由于V 正方体＝1. 则13·S ABCD ·h ＜16， 又S ABCD ＝1，∴h ＜12，即点M 在正方体的下半部分， ∴所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.][思想与方法]1．古典概型与几何概型的区别在于：前者基本事件的个数有限，后者基本事件的个数无限．2．判断几何概型中的几何度量形式的方法 (1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．[易错与防范]1．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．2．准确把握几何概型的“测度”是解题关键．3．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．。
54高考数学总复习经典测试题解析版12.3-模拟方法---概率的应用54
模拟方法---概率的应用 (附参考答案)一、选择题1．取一根长度为4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是( )．A.14B.13C.12D.23解析 把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m ，故所求概率为P ＝24＝12. 答案 C2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )．A.14B.13C.427D.415解析 面积为36 cm 2时，边长AM ＝6，面积为81 cm 2时，边长AM ＝9，∴P ＝9－612＝312＝14. 答案 A3、如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？ A. 62596B.98625C. 529625D. 68625解析 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的所以符合几何概型的条件。
设A ＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：25×两个等腰直角三角形的面积为：2×21×23×23＝529带形区域的面积为：625－529＝96∴ P （A ）＝ 62596答案 A4.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( )A.14B.13C.15D. 12 解析 每个小方块的面积相等，而黑色地板砖占总体的41123 ，故蚂蚁停留在黑色地板砖上的概率是13答案 B5．在面积为S 的△ABC 的边上AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率是( )．A.14B.12C.34D.23解析 由△ABC ，△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，这是一个几何概型，∴P ＝AE AB ＝34. 答案 C6．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )． A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8解析 如图，要使图中点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－π22＝1－π4. 答案 B7．分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )．A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22. 答案 B二、填空题8.如图，四边形ABCD 为矩形，， BC=1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是 ．解析 连接AC 交弧DE 于P ，则tan ∠=所以∠CAB=30°，当直线AP 在∠CAB 内时AP 与BC 相交，所以概率P=301903︒=︒ 答案 139．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 解析 设A ＝{小波周末去看电影}，B ＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D ＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－122π－142ππ＝1316.答案13 1610．已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．解析依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知S U＝18，S A＝4，则点P落入区域A的概率为P＝SASU＝29.[来源:学#科#网] 答案2911．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根的概率为________．解析由题意得Δ＝4a2－4b2≥0，∵a，b∈ [0,1]，∴a≥b.∴⎩⎨⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案1212．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为60360＝16. 答案 16三、解答题13. 在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？解析 病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 P(A) ==取出的种子体积所有种子的体积100.011000= 所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.14．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎨⎧ m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．解析 (1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35.(2)m 、n 满足条件⎩⎨⎧ m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17. 15．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．思路分析 由题意画出图象可求面积之比．解析 如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16. 【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.16．已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{－1,1}，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点位于区域D ：⎩⎨⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥－1内(含边界)的概率．解析 (1)记“以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上”为事件A ，则基本事件总数为6.因落在圆x 2＋y 2＝1上的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A 包含的基本事件数为2，所以P (A )＝26＝13. (2)记“以(x ，y )为坐标的点位于区域内”为事件B ，则基本事件总数为6，由图知位于区域D 内(含边界)的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)，共4个，即B 包含的基本事件数为4，故P (B )＝46＝23.。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第十章 算法、统计与概率 第54课 随机事件的概率教师用书-人教版高三
第54课随机事件的概率[最新考纲]内容要求A B C随机事件与概率√互斥事件及其发生的概率√1．概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A 出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B) 相等关系若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B) 交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB) 互斥事件若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω(1)概率的取值X围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式．①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( )(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．( )(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )(4)6X 奖券中只有一X 有奖，甲、乙先后各抽取一X ，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为________．② [至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，∴②中两事件是对立事件．]3．(2016·某某高考改编)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为________． 56 [事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.] 4．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________．13[从A ，B 中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况， 其中和为4的有两种情况(2,2)，(3,1)， 故所求事件的概率P ＝26＝13.]5．(2017·威海模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．1735 [由题意知，所求概率P ＝17＋1235＝1735.]随机事件间的关系从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是________．(填序号)③ [从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数，其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．][规律方法] 1.本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．2．准确把握互斥事件与对立事件的概念．(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生． [变式训练1] 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A ＝“取出的2球同色”，B ＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C ＝“取出的2球至少有1个白球”，D ＝“取出的2球不同色”，E ＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________.【导学号：62172298】①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件；④P (C ＋E )＝1；⑤P (B )＝P (C )．①④ [当取出的2个球中一黄一白时，B 与C 都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C 与E 都发生，则③不正确．显然A 与D 是对立事件，①正确；C ＋E 为必然事件，④正确．由于P (B )＝45，P (C )＝35，所以⑤不正确．]随机事件的频率与概率人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 12 3 4 ≥5 保 费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解] (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3. (3)由所给数据得调查的 1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .[规律方法] 1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．[变式训练2] (2017·某某质检)随机抽取一个年份，对某某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：．．．(2)某某市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．[解] (1)由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，在4月份任选一天，某某市不下雨的概率为2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f ＝1416＝78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.互斥事件与对立事件的概率超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件 13至16件 17件及 以上 顾客数(人) x30 25 y10 结算时间 (分钟/人)11.522.53(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率).【导学号：62172299】[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋y ＋10＝100×55%，x ＋30＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．又x ＝1×15＋1.5×30＋2×25＋20×2.5＋10×3100＝1.9，∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟．(2)设B ，C 分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”．设A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．”将频率视为概率，得P (B )＝20100＝15，P (C )＝10100＝110. ∵B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ，∴P (A )＝P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝15＋110＝310，因此P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710，∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为0.7.[规律方法] 1.(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．(2)结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误． 2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．[变式训练3] 某商场有奖销售中，购满100元商品得1X 奖券，多购多得.1 000X 奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1X 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1X 奖券的中奖概率；(3)1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1X 奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1X 奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ＋B ＋C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000，故1X 奖券的中奖概率约为611 000.(3)设“1X 奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1X 奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000，故1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.[思想与方法]1．对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生． 3．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)．[易错与防X]1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数． 2．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．课时分层训练(五十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是________事件．互斥 [由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件．]2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．0．35 [∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.] 3．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．0 [①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．]4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.【导学号：62172300】14[20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P ＝520＝14.]5．(2017·某某某某3月月考)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．1928[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.]6．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是________．56[设a ，b 分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有n ＝6×6＝36种不同结果，满足a ＝b 的基本事件共有6种，所以摸出编号不同的概率P ＝1－636＝56.]7.如图541所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是________.【导学号：62172301】图54145[设被污损的数字为x ，则 x 甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90， x 乙＝15(83＋83＋87＋99＋90＋x )，若x 甲＝x 乙，则x ＝8.若x 甲>x 乙，则x 可以为0,1,2,3,4,5,6,7，故P ＝810＝45.]8．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝________.23 [将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1,2”与事件D “朝上一面的数为3,5”．则C ，D 互斥， 且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23.]9．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是________．①A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件； ②B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件； ③A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件； ④A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件．④ [由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，④正确．]10．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值X 围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，4a －5>0，0<2－a ＋4a －5≤1.解得54<a ≤43.]二、解答题11．(2015·高考节选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲 乙 丙 丁 100√×√√(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．[解] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.12．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y ，z 的值. 【导学号：62172302】[解] 记事件“在竞赛中，有k 人获奖”为A k (k ∈N ，k ≤5)，则事件A k 彼此互斥． (1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56， ∴P (A 0)＋P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＋x ＝0.56， 解得x ＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P (A 5)＝1－0.96＝0.04，即z ＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＝0.44， 即y ＋0.2＋0.04＝0.44， 解得y ＝0.2.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为________．23[掷一个骰子的试验有6种可能结果． 依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13.∵B 表示“出现5点或6点”的事件， 因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.]2．某城市2017年的空气质量状况如表所示：100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．35 [由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.] 3．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1) (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[解] (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由表格知，赔付金额大于投保金额即事件A ＋B 发生， 且A ，B 互斥，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27， 故赔付金额大于投保金额的概率为0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，因此，由频率估计概率得P(C)＝0.24.4．不透明袋中有3个白球，3个黑球，从中任意摸出3个球，求下列事件发生的概率：(1)摸出1个或2个白球；(2)至少摸出1个白球．[解]将白球分别编号为1,2,3，黑球分别编号为4,5,6，则从6个球中任意摸出3个球，结果如下：三白为(1,2,3)；两白一黑为(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)；一白两黑为(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)；三黑为(4,5,6)．共有20种不同的结果．从6个球中任取3个，记“恰有1个白球”为事件A1，“恰有2个白球”为事件A2，“恰有3个黑球”为事件B，事件A1与A2为互斥事件，则(1)摸出1个或2个白球的概率P1＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝920＋920＝910.(2)“至少摸出一个白球”的对立事件为“摸出的3个球都是黑球”，所以所求概率P2＝1－P(B)＝1－120＝1920.。
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模拟方法---概率的应用 (附参考答案)
一、选择题
1．取一根长度为4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是( )．
A. B. C. D.
14131223解析 把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m ，
故所求概率为P ＝＝.
2412答案 C
2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )．
A. B. C. D.1413427415
解析 面积为36 cm 2时，边长AM ＝6，
面积为81 cm 2时，边长AM ＝9，∴P ＝＝＝.
9－61231214答案 A
3、如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？ A. B. C. D. 62596
9862552962568625
解析 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的
所以符合几何概型的条件。
设A ＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：两个等腰直角三角形的面积为：2××23×23＝529
21
带形区域的面积为：625－529＝96
∴ P （A ）＝ 625
96答案 A
4.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( )
A. B. C. D. 141315
12解析 每个小方块的面积相等，而黑色地板砖占总体的，故蚂蚁停留在黑41123
色地板砖上的概率是1
3
答案 B 5．在面积为S 的△ABC 的边上AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于的概率S
4是( )．A. B. C. D.1412342
3
解析 由△ABC ，△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分
之一分点E 与A 之间，这是一个几何概型，∴P ＝＝.
AE AB 3
4答案 C 6．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )． A. B ．1－ C. D ．1－π4π4π8π
8
解析 如图，要使图中点到O 的距离大于1，
则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝
＝1－.2－
π22π4答案
B 7．分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )．
A. B.4－π2π－22
C. D.4－π4π－24
解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝＝.
2π－44π－22答案 B
二、填空题
8.如图，四边形ABCD 为矩形，
， BC=1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是 ．
解析 连接AC 交弧DE 于P ，则tan∠CAB= =线AP 在∠CAB 内时AP 与BC 相交，所以概率P=
301903︒=︒答案 1
3
9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若
此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去121
4打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．解析 设A ＝{小波周末去看电影}，
B ＝{小波周末去打篮球}，
C ＝{小波周末在家看书}，
D ＝{小波周末不在家看书}，如图所示，
则P (D )＝1－＝.
12 2π－ 14 2ππ1316答案 1316
10．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )
|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________． 解析 依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如图)，
由图可知S U ＝18，S A ＝4，则点P 落入区域A 的概率为P ＝＝.[来源:学#科#SA SU 29网
]
答案
2911．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．
解析 由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0，
∵a ，b ∈ [0,1]，∴a ≥b .∴Error!画出该不
等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求
概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为.
12答案 12
12．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________
．
解析 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT
内
的概率为＝.
6036016答案 16
三、解答题
13. 在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？
解析 病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则P(A) ==取出的种子体积所有种子的体积100.011000
=所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.
14．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .
(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；
(2)实数m ，n 满足条件Error!
求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．
解析 (1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函
数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，
(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝＝.
61035(2)m 、n 满足条件Error!的区域如图所示：
要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P ＝＝.
12
721715．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足
(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．
思路分析 由题意画出图象可求面积之比．
解析 如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内
部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域
为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．
∴所求的概率P 1＝＝.
14π×224×4π16【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.
16．已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{－1,1}，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．
(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上的概率；
(2)求以(x ，y )为坐标的点位于区域D ：Error!内(含边界)的概率．
解析 (1)记“以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上”
为事件A ，则基本事件总数为6.因落在圆x 2＋y 2＝1上
的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A 包含的基本事件数为2，所以P (A )
＝＝.
261
3(2)记“以(x ，y )为坐标的点位于区域内”为事件B ，则基本事件总数为6，由图知位于区域D 内(含边界)的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)，
共4个，即B 包含的基本事件数为4，故P (B )＝＝.462
3。