抽象代数重要定理和习题

河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述

题目对有限群的认识

作者姓名王涛

指导教师邓明立

所在学院数学与信息科学学院

专业（系）代数与近现代数学史

班级（届） 2010级

目录

中文摘要、关键词...................................................（II）1、预备知识 (1)

1.1基本定义 (1)

1.2基本定理 (1)

2、阶数不超过10的有限群 (3)

3、有限群常见结论 (7)

3.1对一般有限群成立的常见结论 (7)

3.2对有限循环群成立的常见结论 (9)

3.3对置换群成立的常见结论 (11)

参考文献 (14)

英文摘要、关键词……………………………………………（III）

对有限群的认识

摘要本文主要讨论与有限群相关的一些基本知识.全文分三部分介绍：第一章，介绍

一些与文章相关的基本定义和定理，为下文叙述作铺垫.第二章，从同构的角度分析了阶数不超过10的有限群.第三章，按照从一般到特殊的结构，先介绍了对一般有限群成立的结论，然后分别介绍了对有限循环群和置换群成立的结论.

关键字有限群，有限循环群，置换群，有限群的阶

对有限群的认识

1.预备知识

1.1基本定义

定义1 若群G 中只有有限个元素,则称G 是有限群.而群G 中所含元素的个数叫群G 的阶;若群G 中有无限多个元素,则称G 是无限阶群.

定义2 设G 是一个群,e 是G 的单位元,a ∈G ,若存在正整数n,使得n a =e,而对于小于n 的任意正整数m,都有m a ≠e,则称元a 的阶是n(或元a 的周期是n);若对任意的正整数n,都有n a ≠e,则称元a 的阶是∞.

定义3 若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的乘方，而且a 的阶是有限整数，则称G 是有限循环群.

定义4 若G 是有限集合的若干个置换作成的群，则称G 是一个置换群. 定义5 一个包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫做n 次对称群. 1.2基本定理

Lagrange 定理 假定H 是一个有限群G 的一个子群，那么H 的阶n 和它在G 里的指

数j 都能整除G 的阶N ，并且N=nj.

证明 首先证明一个子群与它的每一个右陪集之间都存在一个一一映射.

事实上，设K 是一个子群，定义

φ：K →Ka

则φ为K 到Ka 间的一一映射.这是因为：

（i ） K 的每一个元k 有一个唯一的象ka ，故φ为映射; （ii ） Ka 的每一个元ka 是K 中k 的象，故φ为满射； （iii ）

假设12k a k a =，那么12k k =，故φ为K 到Ka 的一一映射

从而子群的阶等于它的陪集的阶.

G 的阶N 既是有限，H 的阶n 和它的指数j 也都是有限正整数.G 的N 个元被分成j 个右陪集，每一个右陪集都有n 个元，所以N=nj.

推论一 一个有限群的任意元的阶都能整除群的阶. 证明

设G 为有限群，任取a ∈G ，设a 的阶为n ，由a 生成一个阶是n 的子群.由Lagrange 定理知，n 整除G 的阶.

推论二 设G 为一个阶是n 的有限群，则对G 中任一元a 一定有n a =e.

证明 由推论一知，a 的阶能整除n ，设a 的阶为m ，即有m|n ，从而存在整数q 使得n=qm.故n qm m q a a (a )e ===.

推论三 有限群中商群的阶整除群的阶. 证明

设G 为有限群，N 为G 的不变子群，则商群G

N

中元的个数等于N 的指数，从

而由Lagrange 定理知，G

N 的阶整除群G 的阶.

注：Lagrange 定理的逆命题：“设G 是有限群，若正整数m ，m 整除G 的阶，则G 有m 阶子群”不成立.

例如设4A ={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}.由4A 对于4S 的乘法封闭知44A

3-循环置换(abc)(a,b,c ∈{1,2,3,4}),于是（abc ）的逆元1

abc acb H -=∈（）（）.因而在H 中， 3-

循环置换成对出现.又（1）∈H ，于是H 中至少有一个2阶元，不妨设为（ab ）（cd ）. 因

此（abc ）[(ab)(cd)]=(bdc)∈H ,1

acd adc H -=∈（）（）,则H 中至少有7个元：（1），（abc ），

（acb ），（ab ）（cd ），（bdc ），（acd ），(adc).此与|H|=6 矛盾.所以4A 没有6阶子群. Cayley 定理 任何一个群都同一个变换群同构.

证明 假设G 是一个群，G 的元是a ，b ，c ， .在G 里任意取出一个元x 来，那么

x τ：x

g gx g τ→=

是集合G 的一个变换.因为给了G 的任意元g ，能够得到一个唯一的G 的元x g τ，这样由G 的每一个元x ，可以得到G 的一个变换x τ.把所有这样得来的G 的变换放在一起，作成一个集合G ={a b c ,,,τττ }.那么:φx x τ→是G 到G 的满射.但消去律：

x y gx gy ≠⇒≠

告诉，若x y ≠,那么x y ττ≠.所以φ是G 与G 间的一一映射. 再进一步看，

xy y x y x x g g(xy)(gx)y (g )y (g )g ττττ

ττ=====