微分方程与数学建模

在工程技术和管理科学领域 ,存在大量的数学模型 ,通过这些实际模型的建立和解决 ,最 后使我们的目标得到完整而精确的方案 ( 包括设计图纸 ,施工方案 ,经费预算等) 。本文从几个 较简单的实例出发 ,用微分方程的方法建立几个数学模型 。
1 探照灯反射镜面的形状
在制造探照灯的反射镜面时 ,总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去 ,以保证探照 灯有良好的方向性 ,试求反射镜面的几何形状 。 分析 : 设光源在坐标原点 , 如图 1 , 并取 x 轴平行于光的反射方向 。如果所求的曲面由曲 线 y = f ( x ) 绕 x 轴旋转而成 ,则求反射镜面的 问题就相当于求曲线 y = f ( x ) ( 平面曲线 ) 的 问题 。 为此 , 过曲线 y = f ( x ) ( y > 0) 的 点 M ( x , y ) 作切线 M T ,则由光的反射定律 : 入射 角等于反射角 , 得到图 1 中的 α 1 及α 2 的关系 式: π π - α - α 1 = 2 2 2 即α 1 =α 2 α 由图 1 可看出 α 3 =α 1 +α 2 = 2 2 2tgα 2 α 故得 tgα 3 = tg2 2 = 1 - tg2α 2
( 上接第 9 页) 参 考 文 献
[1 ] 中山大学数学力学系 ,常微分方程 [M] ,人民教育出版社 ; 北京 :1978. 12
Differential Equation and Mathematical Model
Wu Dangui
( Scientific Research Agency ,Jingdezhen College ,Jingdezhen ,333000)
第 2 期 吴丹桂 : 微分方程与数学建模 ・9 ・
θ= tg
dy dx dy d dy + dx dx dx dx dy dx
2
θ ) = tg (θ + d
ds = dx
⑿
1 +
故由 ⑾、 ⑿ 得
d y w 2 = T dx
2
1 +
微分方程与数学建模
吴 丹 桂①
( 景德镇高专科研处 景德镇 333000) [摘 要] 从探照灯反射镜面 ,吊桥的桥拱形状及悬链线的形成过程的分析 , 用微分方程得出它
们的数学模型 。
[ 关键词 ] 微分方程 ; 抛物线 ; 悬链线 ; 数学建模 [ 中图分类号 ] O175 [ 文献标识码 ] A
Shallow Talk on Blurred Mathematics
Zhen Chunling
( Maths Dept. ,Jingdezhen College ,Jingdezhen ,333000)
Abstract : Blurred mathematics is a new - developing branch of mathematics ,which researches and handles some blurred phenomenon of mathematics and has been widely applied in many fields. This article gives a brief accout of blurred mathematics on four aspects so as to make a primary impression upon those who want to keep abreast of the subject . Key words : blur set ;subordinated fuction ;stochastic ;obscure ;joint number
⑵
y = x dy dy y 得到 =± 1+ dx dx x x y
2
2 1 -
2
解出
⑶
我们还可假设 0 < α 3 <
π π ,即 0 < α 也就是说 : 2 < 2 4
0 <
dy α = tg 2 < 1 dx
2
故在 ⑶ 式中只取根号前的正号 ,这样就得到曲线 y = f ( x ) 应满足的微分方程
θ ) ≈tg θ+ tg (θ + d
d ( θ ) θ θ tg d d
( 泰勒定理)
θ = tg
=
d dx ( tg θ ) θ θd dx d
dy d dy + dx dx dx dx a ds b C ・ + y + T dx T T
2
⑹
将⑹ 代入 ⑸ 得
d dy dx dx =
⑺
2
dy dx
2
⒀ ⒁
图4
设 则 ⒀成为 ζ d
1 +ζ
2
dy =ζ dx
ζ w d = dx T
= w dx T w
2 1 +ζ
⒂ ⒃
dy dx
图5
积分得
ζ+
2 = x + C1 1 +ζ T
因为在链条最低点的切线是水平的 , 故 x = 0 时 ,
= 0 ,即 ζ = 0 ( ⒁ 式) ,代入 ⒃ 得 C1 = 0 ,因此 w
第 15 卷第 2 期 景德镇高专学报 Vol. 15 No. 2 2000 年 6 月 Journal of Jingdezhen College Jun. 2000
100828458 (2000) 0220006204 [ 文章编号 ]
注意最低点有 x = 0 , y = 0 ,故 C2 = T
w w x T
T w T w
因此
y =
2w
eT + e
x
-
-
⒇
如果取图所示的坐标系 ,则由 ⒇ 式可知 ,同一链条的形状 可表示为
y =
2
e
x
+ e
-
x
=
ch
x
图 6
它叫做悬链线 。
( 下转第 14 页)
景德镇高专学报 2000 年 ・ 14 ・ 的讲稿材料 ,1993. 10.
d2 y C = T dx 2 ( 9′ ) dy = 0 ,便得到 dx
) ( 两次积分) ,并注意到在钢缆最低点切线是水平的 ,即 x = 0 时 , 积分 (9′
y = C
2T
x + h
2
⑽
其中 h 是钢缆最低点到桥身的高度 ,这样 ,吊桥的钢缆近似地呈抛物线形状 ⑽。
3 链条悬挂在相同高度的两点间 ,并且只受其自身重量的作用 ,它的形状如何 ?
2
=
dy y
即 y2 = C ( C + 2 x ) 这是抛物线 。因此 ,反射镜面为旋转抛物面 。
2 吊桥的钢缆呈什么曲线的形状 ?
这里设把钢缆与桥面连结起来的吊索全都互相靠近并且是并列平行的 。又 ,钢缆 ,吊索及 桥身的每单位长的重量分别是 a , b , c 。 分析 : 如图 2 是所设计的吊桥的大致形状 。 设吊桥的桥身是笔直而水平的 ,把它作为 x 轴 ,把 通过钢缆最低点的铅垂线作为 y 轴 。( 如图 3) 。在钢 缆上任取一点 P ( x , y ) ,再在它上方取一点 Q ( x + dx , y + dy ) ,设 P , Q 间钢缆的长度为 ds 。因为作用在
Abstract : By analysing the forming process of search light reflector ,arch shape of suspension bridge and suspended - chain line ,this paper works out their mathematical models by means of differential equa2 tion. Key words :differential equation ;parabola ;suspended2chain line ;mathematical model
dy y =+ dx x
1 +
x y
⑷
⑷ 是齐次方程 ,可作变换 ,即
x dx dv = v ,即 x = yv ,这时 = v + y 代入 ⑷ 式得到 y dy dy dv 1 v + y = dy - v + 1 + v2
即
dv
2
1 Leabharlann Baidu v 积分后代回原来的变量可得
x2 + y2 = - x + y C
分析 : 如图 4 ,以链条的最低点为原点 ,铅直向上为 y 轴 ,水平方向为 x 轴 ,建立坐标系 。 在链条上取两点 P ( x , y ) 及 Q ( x + dx , y + dy ) ,设 P , Q 间的链条长为 ds 。从作用在 PQ 段 上水平方向的力的平衡条件 ,知 P , Q 处链条的张力的水平分力的大小相等 ,设为 T 。再从作 用在 PQ 段上垂直方向的力的平衡条件得 θ ) - Ttg θ = wds Ttg (θ + d ⑾ 其中 w 是链条每单位长的重量 ,因为
图1
⑴
① 收稿日期 :2000 - 03 - 06
作者简介 : 吴丹桂 (1949 - ) ,男 ,江西波阳人 ,讲师 。
第 2 期 吴丹桂 : 微分方程与数学建模 ・7 ・
但是 tgα 2 = 将⑵ 代入 ⑴ 得到
dy y α , tg 3 = dx x dy dx dy dx
又
ds =
dx + dy
2
= dx
1 +
dy dx
图3
ds = dx
1 +
dy dx
2
2
故⑺ 式成为
d dy dx dx = a T
1 + 1 +
dy dx dy dx
+
2
b C y + T T b C y + T T
⑻ ⑼
或改写
成
d y a = T dx2
2
+
这样 ,钢缆的形状可以求解微分方程 ⑼ 得出 ,直接求解 ⑼ 是困难的 ,在实际应用中是只求其近 似解 ,求法如下 : 显然 ,与桥身的重量相比 ,钢缆及吊索的重量是微不足道的 ,故 ⑼ 式右边的第一 ,二项可以 略去而成为
ζ+ ∴ 因为 故由 ⒄- ⒅,得 ζ+
2 = x 1 +ζ T 2 x 1 +ζ = eT
w
⒄
1 1 +ζ
w x T w x T w x T
2 1 +ζ - ζ=
ζ+
2
= e-
w x T
⒅
ζ= 1 2 ∴ 积分得
dy 1 = dx 2 y =
eT - e eT - e
w x
w
x
-
⒆
+ C2
w T e Tx + e2w
PQ 这一段上的水平方向的力平衡 , 若设钢缆张力的
水平分量为 T ,则以作用在 PQ 这一段上垂直方向的 力平衡的条件得 : θ ) - tg θ] = ads + bydx + cdx T[ tg (θ + d 但 θ= tg
dy dx
图2
⑸
景德镇高专学报 2000 年 ・ 8 ・