16-1 数学分析全套课件
数学分析第一册第一章
S的最小的上界 称作 的上确界 的最小的上界,称作 的上确界. 的最小的上界 称作S的上确界 满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数 η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； (ii) 对任何 α < η , 存在x0 ∈ S , 使得 x0 > α , 即 则称数
事实上，对任何正数 无论多么大 无论多么大)， 事实上，对任何正数M(无论多么大 ，取 则 n0 ∈ N + , 且 n0
n0 = [ M ] + 1, ([ M ]表示对M 取整)
问题: 问题 设 S
有无上界; 有无上界 = [0,1]. (1) S有无上界 (2) S若有上界 有几个上界 若有上界,有几个上界 若有上界 有几个上界; (3) S有无最小的上界 有无最小的上界. 有无最小的上界
数集.确界原理 §2数集 确界原理 数集 一 区间与邻域 为开区间， 设 a, b ∈ R, 且 a < b. 称数集 {x | a < x < b} 为开区间，记作 ( a, b) 称为闭区间，记作 数集 称为闭区间，
{x | a ≤ x ≤ b}
(a, b)
数集
{x | a ≤ x < b} [a, b) 都称为半开半闭区间， 都称为半开半闭区间，分别记作 ( a, b] { x | a < x ≤ b} b
例2 设
满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； η 又是 的最小上界， 的最小上界 (ii) 对任何 α < η , 存在x ∈ S , 使得 x0 > α ,即 又是S的最小上界， 则称数 证明: S = [0,1]. 证明 sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； (ii) 对任何 α < 1, 取 x0 = 1 ∈ S , 则有 x0 > α , 故 sup S = 1. 例2 设 证明: = [0,1).证明: sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； 则有任取 x0 ∈ S , (ii) 对任何 α < 1. 若 α < 0, 1+ α , 有 α < x0 . 有 α < x0 . 若 0 ≤ α < 1, 取 x0 = 2 sup S = 1. 例3 设 S 所以
数学分析课件第16章
§1 傅立叶级数 §2 傅立叶积分
§1 傅立叶级数
1.1 三角级数与周期函数 1.2 以 2π为周期的函数展为三角函数 1.3 以 2l为周期的函数展为三角级数
1.1 三角级数与周期函数
三角级数
a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
（16.1－1）
定义1 定义1 周期函数
f ( x + T ) = f ( x ), x ∈ (−∞, +∞ ), T > 0
? 问题：将周期函数展为三角级数 (设 f ( x)是 ∞,+∞) 上的周期函数，周期为2π 设 f ( x )在 [ −π , π ] 上可展为三角级数。 ∞
a0 f ( x) = + ∑ ( an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
π
则
am =
∫ π f ( x) cos mxdx.(m = 1, 2,3L) π
−
1
π
同理:
bn =
∫ π f ( x) sin nxdx.(n = 1, 2,3L) π
−
1
π
(16.1－12)
定义2 定义2
1 π an = ∫ f ( x) cos nxdx.(n = 0,1L) π −π b = 1 π f ( x) sin nxdx.(n = 1, 2 L) n π ∫−π
(16.1－3)
如何根据 f ( x )来分析确定诸系数 an , bn ?
常用公式： 常用公式：
∫ π cos nxdx = 0,∫ π sin nxdx = 0,
− −
§16.1平面点集与多元函数数学分析课件(华师大四版)高教社华东师大教材配套课件
*1.平面点集的一些基本概念 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平{}=(,)(,).E x y x y P 满足条件对与平面上所有点之间建立起了一一对应. (,)x y 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数义域是坐标平面上的点集, 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.面点集, 平面点集记作后退 前进 目录 退出由于二元函数的定因此在讨论二元函数例如：(i) 全平面:{}=-∞<<+∞-∞<<+∞2R (,)|,.(1)x y x y {}222(ii)(,).C x y x y r 圆:=+<(2){}=≤≤≤≤(iii)(,),,S x y a x b c y d 矩形:(3) 00(iv)(,):A x y δ点的邻域{}00(,)||,||()x y x x y y δδ与方形.-<-<=⨯[,][,].S a b c d 也常记作：{}-+-<22200(,)()()()x y x x y y δ圆形Cx y O r (a) 圆 CSx yO a b c d∙A δx y O (a) 圆邻域∙A δxy O (b) 方邻域由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一因此通常用“点 A 的 邻 δ并用记号或 来表示. (;)U A δ()U A 点 A 的空心邻域是指:{}22200(,)0()()()x y x x y y δ圆<-+-<{}0000(,)||,||,(,)(,)(),x y x x y y x y x y δδ-<-<≠方或 并用记号()(;)()U A U A δ或 来表示. 域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域,方邻域之内(反之亦然),{}00(,)0||,0||.x y x x y y δδ<-<<-<注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出 2.点和点集之间的关系 以下三种关系之一 :2R A ∈2R E ⊂任意一点 与任意一个点集之间必有 是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为 (i) 内点——若 0,(;),U A E δδ∃>⊂使则称点 A E 的内部, 记作 int E .错在何处? )(ii) 外点——若0,(;),U A E δδ∃>⋂=∅使则称 点 A 是 E 的外点； c (;)(;)U A E U A E δδ≠∅≠∅且0,δ∀>(iii) 界点—— 若恒有 c 2R \E E =( 其中), 则称点 A 是 E 的界点; .E ∂的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作 注 E 的内点必定属于 E ; E 的外点必定不属于 E ; E 的界点可能属于 E , 也可能不属于 E . 并请注意: 称为 E 的外部.由 E 的全体外点所构成的集合 由 E E E ∂⊂c E 只有当 时, E 的外部与 才是两个相同的集合.图 16 – 3x yO 12{}22(,)14.(4)D x y x y =≤+<例1 设平面点集（见图 16 – 3）满足 的一切点也224x y +=221x y +=满足的一切点是 D 的界点, 它们都属2214x y <+<满足的一切点都 是 D 的界点, 但它们都不属于 D . 是 D 的内点; 于D ;点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分， 是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 ()U A 内都 含有 E 中的点， 注1 聚点本身可能属于E ，也可能不属于E .注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 ()U A 内都含有 E 中的无穷多个点”.即在点 A 的近旁 则称点 A 是点集 E 的聚点．d ();E E '或作 d E E 又称 为 E 的闭包, 记作 .E 例如, 对于例1 中的点集 D , {}d 22(,)14.D x y x y D =≤+≤=其中满足 224x y += 的那些聚点不属于D , 而其余 所有聚点都属于 D .(ii) 孤立点—— 若点 A E ∈, 但不是 E 的聚点（即 有某δ > 0, 使得 (;)),U A E δ=∅则称点 A 是E 的孤立点. 注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记它的导集与闭包同为为聚点; 例2 设点集 {}(,),.E p q p q 为任意整数= 显然, E 中所有点 ( p , q ) 全为 E 的孤立点; 并有d ,int ,.E E E E =∅=∅∂=3. 一些重要的平面点集根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集.注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点.E 为闭集. 在前面列举的点集中, 闭集——若 E 的所有聚点都属于 E(),E E =即则 称 E 为闭集. 这时也称{}222(,)C x y x y r =+<是开集，{}(,),,S x y a x b c y d =≤≤≤≤是闭集{}2R (,)|,x y x y =-∞<<+∞-∞<<+∞{}=≤+<22(,)14D x y x y 既不是开集又不是闭集.开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集.d(),E =∅即若 E 没有聚点 既是开集又是闭集，则称 E 为开域. 闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域. 区域—— 开域、闭域、开域连同其一部分界点所 成的集合, 统称为区域.不难证明: 闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域. 开域——若非空开集 E 具有连通性, 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接, 在平面点集中, 只有 R 2与 是既开又闭的. 即 E 中任意两 简单地说, 开域就是非空连通开集.它是 I 、 III 两象限之并集. 不具有连通性, 0,r ∃>有界点集——对于平面点集 E , 若 使得(;),E U O r ⊂其中 O 是坐标原点(也可以是其他固定点), 为有界点集. 前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1) 与 (5) 是无界集. 是闭域, {}(,)|0,(5)G x y xy =>上页诸例中, C 是开域, S 是闭域, R2 既是开域又又如 虽然它是开集, 但因 否则就为无界点集 (请具体写出定义). D 是区域 (既不是开域又不是闭域). 所以它既不是开域, 也不是区域. 则称 E此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映. 所谓点集 E 的直径, 就是1212,()sup (,),P P Ed E P P ρ∈=其中ρ(P 1, P 2) 是 P 1 (x 1, y 1) 与 P 2 (x 2, y 2)之间的距 离, 即22121212(,)()()P P x x y y ρ=-+-于是, 当且仅当 d (E ) 为有限值时, E 为有界点集. E 为有界点集的另一等价说法是: [,][,].a b c d E ⨯⊃存在矩形区域例3 证明: 对任何 2R ,S ⊂S ∂恒为闭集. 证 如图16 – 4 所示, S ∂为的任一聚点， （即亦为 S 0x S ∈∂的界点）. 0x 为此 0,ε∀>由聚点定义，0(;).y U x S ε∈∂S S ∂0x 0(;)U x ε(;)U y δy 图 16 –４ ⋅根据距离的定义, 不难证明如下三角形不等式: 121323(,)(,)(,).P P P P P P ρρρ≤+0x 设 欲证 存在的点. 内既有 S S (;)U y δ的点, 又有非 S 0x 0,x S ∈∂为 的界点, 即 也就证得 S ∂为闭集． 注 类似地可以证明: 对任何点集 2dR ,S S⊂导集 亦恒为闭集. ( 留作习题 ) S 0(;)U x ε内既有 的点, 又有非 S 的点. y 0(;)(;),U y U x δε∀⊂再由 为界点的定义, 在 由此推知在 的任意性,所以, 由 εS S ∂0x 0(;)U x ε(;)U y δy 图 16 –４⋅证 下面按循环流程来分别作出证明.d E E E =① 已知 为闭集( 即 ), 欲证E .E E E =∂,,p E p E E 为此或是的聚点或是的孤立点.∀∈∂d d,p E E E p E ∈⊂∈若，则由得；E E ∂⊂从而，E 于；d c c int()E E E E E E E E ==⇒∂⇒=① ② ③ ⇑ 反之显然有 .E EE ⊂∂综合起来, 便证得 int .E E E =∂而孤立点必属*2R .E ⊂例4 设 试证 E 为闭集的充要条件是：c int ().c E E E E E =∂=或.EE E ∂⊂故E EE =∂，c int ().c E E =② 已知 欲证 为此 c ,,p E p E ∀∈∉则外点, ,0,(;).U p E δδ∃>=∅按定义使c (;),U p E δ⊂c c c c int ().int ().E E E E ⊂=有这就证得反之显然③ c c d int (),.E E E EE ==已知欲证c (,,p E p E ∈∈据条件可证若不然从而由d,E ∈c >0,(;),U p E δδ∃⊂故使),p E 与为的聚点相矛盾d d ..E E E E E ⊂=故这就证得从而 c int (),p E ∈条件推知,E E p E ∂⊂而由故必为的cc c ,int().p E E E ⊂故是的内点即p ∀为此注 此例指出了如下两个重要结论: (i) 闭集也可用“ EE E =∂”来定义 ( 只是使用 起来一般不如“ d E E E =”方便, 有许多便于应用的性质 )．(ii) 闭集与开集具有对偶性质 集; 过讨论来认识 E . c E 利用此性质, 有时可以通开集的余集为闭集. ——闭集的余集为开 因为有关聚点例5 以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i) 既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是 “非空连通闭集”；D (ii) 要判别一个点集 是否是闭域, 只要看其去除 边界后所得的是否为一开域, 即\D D D “若为开域,则必为闭域”.∂答 (i) 例如取 {}(,)|0,S x y xy =≥ 这是一个非空连),S GG =∂坐标轴) 的并集 (即 从而 G 不是开域,但因它是 {}(,)|0G x y xy =>与其边界 (二 故 S 不是闭域 (不符合闭域的定义).通闭集.E 为一开域, 据定义F 则为闭域； ,D E E F ≠∂=D 故不是闭域，(a)中的点集为 D ; D(a).F EE =∂中的点集为 F(c)(ii) 如图所示, E(b)(b)中的点集为E D =易见然而(\).D D D ∂∂∂从而与不一定相同定义11. 平面点列的收敛性定义及柯西准则 系完备性的几个等价定理, 现在把这些定理推广到 R 2, 它们同样是 二元函数极限理论的基础.2{}R n P ⊂20R P ∈设为一列点, 为一固定点. 00,N ,,(;),n N n N P U P εε若使当时∀>∃∈>∈+则称点列 { P n } 收敛于点 P 0 , 记作R 2上的完备性定理论的基础. 00lim ().n n n P P P P n →∞=→→∞或反映实数 构成了一元函数极限理000(,)(,),n n n P P x y x y 当与分别为与时显然有000lim lim lim ;n n n n n n P P x x y y →∞→∞→∞=⇔==且0(,),n n P P ρρ若记=同样地有0lim lim 0.n n n n P P ρ→∞→∞=⇔=由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因 此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.2{}R n P ⊂收敛的充要条件是:0,N ,,N n N ε使当时都有+∀>∃∈>(,),N .(6)n n p P P p ρε++<∀∈证（必要性） 0lim ,n n P P →∞=设N ,()N n N n p N +∃∈>+>当也有时,00(,),(,).22n n p P P P P εερρ+<<应用三角形不等式, 立刻得到00(,)(,)(,).n n p n n p P P P P P P ρρρε++≤+<1,0,ε∀>则由定义恒有2{}R n P ⊂收敛的充要条件是:0,N ,,N n N ε使当时都有+∀>∃∈>(,),N .(6)n n p P P p ρε++<∀∈当 (6) 式成立时, 同时有||(,),n p n n n p x x P P ρε++-≤<||(,).n p n n n p y y P P ρε++-≤<这说明{ x n }和{ y n }都满足关于数列的柯西准则, 所以它们都收敛. 从而由点列收敛概念, 推知{P n }收敛于点 P 0(x 0, y 0).证（充分性） 00lim ,lim ,n n n n x x y y →∞→∞==设0}6{,n P E P E ⇔⊂为的聚点存在各项互异的例0lim .n n P P 使得→∞=( 这是一个重要命题, 证明留作习题.)定理16.2（闭域套定理）2. 区域套定理.设 { D n } 是 R 2中的一列闭域, 它满足： 1(i),1,2,;n n D D n +⊃=(ii)(),lim 0.n n n n d d D d →∞==则存在唯一的点0,1,2,.n P D n ∈=图 16 – 7nD ∙∙n pD +∙nP n pP +0P 证 如图16 – 7所示,,1,2,.n n P D n ∈=,n p n D D 由于因此+⊂,,n n p n P P D +∈从而有(,)0,.n n p n P P d n ρ+≤→→∞由柯西准则知道存在 20R ,P 使得∈任意取定 n , 对任何正整数 p , 有 .n p n p n P D D ++∈⊂0lim .n n P P →∞=任取点列 再令 ,p →∞由于 D n 是闭域, 故必定是闭集,推论因此 D n 的聚点必定属于 D n , 0lim ,1,2,.n p n p P P D n +→∞=∈=0P 最后证明的惟一性. 0,1,2,,n P D n '∈=若还有 则由0000(,)(,)(,)20,,n n n P P P P P P d n ρρρ''≤+≤→→∞0000(,)0,.P P P P ρ得到即''==对上述闭域套 { Dn },0,N ,N n N ε+∀>∃∈>当时,0(;).n D U P ε⊂则得注 把 { D n } 改为闭集套时, 上面的命题同样成立.E定理16.3（聚点定理）证 现用闭域套定理来证明.有界, 故存在一个闭正方形 . 1D E ⊃如图 16 – 8 所示, 把 D 1分成四个 相同的小正方形, 有一小闭正方形含有 E 中无限多1D 2D 图16 –8若 2R E ⊂为有界无限点集,由于 E 则在其中至少 个点,在 中至少有一 E 2R 则 个聚点.把它记为 D 2.E 1D 2D 3D 图16 –8 D 2 如上法分成四个更小的正方形,其中又至少有一个小闭正方形D 3含如此下去, 得到一个闭正方形序列：123.D D D ⊃⊃⊃很显然, { D n } 的边长随着n →∞而趋于零. 有 E 的无限多个点.定理16.3（聚点定理）若 2R E ⊂为有界无限点集, 在 中至少有一 E 2R 则 个聚点.推论最后, 由区域套定理的推论, 0,,n ε∀>当充分大时0(;).n D U M ε⊂又由 D n 的取法, 知道 0(;)U M ε中含有 E 的无限多个点, 任一有界无限点列 2{}R n P ⊂必存在收敛子列 {}.k n P ( 证明可仿照 R 中的相应命题去进行. ) 于是由闭域套定理, 存在一点0,1,2,.n M D n ∈=这就证得了M 0 是 E 的聚点.定理16.4（有限覆盖定理）注 将本定理中的 D 改设为有界闭集, 而将 {}α∆改设为一族开集, 此时定理结论依然成立 . 1.ni i D =⊂∆().D αα⊂∆即盖了 D 12,,,,n ∆∆∆个开域 它们同样覆盖了D , 即设 2R D ⊂为一有界闭域 ,为一族开域 , {}α∆{}α∆则在中必存在有限 它覆q E ⇒qE 证 (必要性) E 有界 有界, 由聚点定理 , q E 又因 的聚点亦为 E 的聚点, 而 E 是 闭集, 所以该聚点必属于 E ．.E 于E 的任一无穷子集 E q 必有聚点, 且聚点恒属 必有聚点.证 (充分性) 先证 E 为有界集. 倘若 E 为无界集, 则 存在各项互异的点列 {},k P E ⊂||(,),1,2,.k k P O P k k ρ=>=.E 于E 的任一无穷子集 E q 必有聚点, 且聚点恒属 0lim .k k P P →∞=现把 看作 , {}k P q E 由条件 的聚点 (即 ) 必q E 0P 属于 E , 所以 E 为闭集.易见{}k P 这个子集无聚点, 这与已知条件相矛盾. 为此设 P 0 为 E 的任一聚点, 由聚点的等价定义, 存在各项互异的点列使 {},k P E ⊂再证 E 为闭集. 使得定义2 设平面点集 ,若按照某对应法则 f , 2R D ⊂一点 P ( x , y ) 都有惟一确定的实数 z 与之对应 , 则称 f 为定义在 D 上的二元函数 R 的一个映射 ), 记作:R.(7)f D →1. 函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对 R 到 R 的映射是一元函数, R 2到 R 的映 射则是二元函数.二元函数应关系. D 中每 ( 或称 f 为D 到与一元函数相类似, 称 D 为 f 的定义域; 而称()(,)z f P z f x y ==或 为 f 在点 P 的函数值;值域, 记作()R.f D ⊂为 f 的自变量, 而把 z 称为因变量.也可记作(,),(,);z f x y x y D =∈或点函数形式(),.z f P P D =∈全体函数值的集合为 f 的 通常把 P 的坐标 x 与 y 称在 xOy 平面上的投影.例8 函数 25z x y =+的图像是 R 3 中的一个平面, 其定义域是 R 2, 值域是 R.当把和它所对应的 一起组成 (,)x y D ∈(,)z f x y =三维数组 ( x , y , z ) 时, {}3(,,)|(,),(,)R S x y z z f x y x y D ==∈⊂就是二元函数 f 的图像.通常该图像是一空间曲面, f 的定义域 D 是该曲面 三维点集例9 的定义域是xOy 平面上的22=-+1()z x yxy zOz1=z2=是全体非负整数, 它的图像示于图 16 – 11.图16 – 112. 若二元函数的值域是有界数集, 则称函数 ()f D f 在 D 上为一有界函数 ( 如例9 中的函数 ) . ()f D f 若是无界数集, 则称函数 在 D 上为一无界 函数 ( 如例8、10、11 中的函数 ). 与一元函数类似地, 设 2R ,D ⊂则有{},lim ().k k k f D P D f P →∞⇔∃⊂=∞在上无界使否则,(z c c =(,),z f x y =解 用为一系列常数 ) 去截曲面 得等高线方程22222222()().x y x y c x y x y c x y x y-=-=++或*例12 设函数 ( 此函数在以后还有特殊用处 )试用等高线法讨论曲面(,)z f x y = 的形状. 2222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x yx y x y f x y x yx y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩当 0c =xO y 时, 得 平面上的四条直线0,0,,.x y y x y x ====-当0c ≠时, 由等高线的直角坐标方程难以看出它 的形状. cos ,sin ,x r y r θθ==得到22sin44,4sin4.r c r c θθ==或如图16 – 12 所示,族等高线.若把它化为极坐标方程, 即令0,1,3,5c =±±±所对应的一 为+1+1+1+1 +3 +5+3 +5 +3+5+3 +5- 1- 1 - 3- 5 - 3 - 5 - 1- 3- 5- 1 - 3 - 50 00 0 0 0 0 0xy-55-55-10-50510图 16 – 13由此便可想象曲面的大致形状如图 16 – 13 所示, “山脊” 在鞍点处相汇.所有 n 个有序实数组12(,,,)n x x x 的全体称为 n维向量空间, 简称 n 维空间, 记作 R n. 序实数组 12(,,,)n x x x 称为 R n 中的一个点; 实数 12,,,n x x x 是这个点的坐标.设 E 为 R n中的点集, 若有某个对应法则 f , 中每一点 12(,,,)n P x x x 都有唯一的一个实数 y 与之对应, :R,f E n 元函数其中每个有则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数, 记作使 E n 个1212(,,,),(,,,),n n y f x x x x x x E =∈也常写成(),.y f P P E =∈或 对于后一种被称为 “点函数” 的写法, 它可使多元 函数与一元函数在形式上尽量保持一致, 一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题; 同时, 还可把二元函数的很多论断推广到 (3)n ≥元函数中来.以便仿照1. 试问在 R 中的开集、闭集、开域、闭域、区域等集合是数直线上怎样一些点集？2. 设E, F分别是 R2 中的开集和闭集．试问在R3中E 是否仍为开集？F 是否仍为闭集？3. R 中的单调有界性定理和确界原理, 为什么在R2 中没有直接对应的命题？4. 为什么说“在一切平面点集中，只有 R2 与是既开又闭的点集”？5. 前面正文中有如下命题：设 2R ,D ⊂则有{},lim ().k k k f D P D f P →∞⇔∃⊂=∞在上无界使试为之写出证明．2R ,D A D ⊂“若是AB 点,则直线段与D D∂AB图 16 – 14,B D 的内点是的外(16-14.)参见图6. :试讨论有哪些方法可用来论证如下命题D ∂至少有一交点.”。
习题 16 数学分析全套课件
一、平面点集 内点，外点，界点，聚点，孤立点
开集，闭集，开域，闭域，区域
例1 求
{(
x,
y)
|
x
sin
1 y
}
的聚点
例2 求证 E为闭当且仅当 E c 为开
例3 设 f 是 R2上的连续函数，求证 E为开，F为闭 E {( x, y) | f ( x, y) 1}
F {( x, y) | f ( x, y) 1} 前页 后页 返回
课堂练习
1.求下列函数在指定点的重极限与累次极限
x2 y2 (1) ln( x e y ) , (0,1)
x2 y (2) x3 y2 , (0, 0)
2.讨论
3x4 y
f
( x,
y)
x6
y2
,
x2 y2 0
0 , x2 y2 0
的连续性
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二、二元函数极限与连续 四则运算
1。重极限 存在性
夹逼
等价无穷小代换
不存在：
归结原理
2。累极限 3。连续与一致连续性：
定义与结论
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例1 求下列函数在（0,0）的重极限与累次极限
(1)( x2 y )2 x2 y2
x2 y2 (1) x3 y3
例2 证明 f (x, y) sin(xy) 在 R2 上不一致连续
例3 设 f ( x, y) 在 [a,b][c,d ] 上连续, 又有函数序
列 k ( x) 在 [a,b] 上一致收敛, 且
c k ( x) d , x [a,b], k 1, 2, L .
试证 Fk ( x) f ( x,k ( x)) 在 [a,b] 上也一致收敛.
高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件第九章 计数原理与概率、随机变量
基础盘查二
常见离散型随机变量的分布列
(一)循纲忆知
理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)如果随机变量 X 的分布列由下表给出： X 2 5 P 则它服从二点分布． 0.3 0.7 ( × )
(2)p2＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.
[提醒] 分布列的性质(2)的作用：可以用来检查所写出的分布
列是否有误，还可以求分布列中的某些参数．
[题组练透]
1．已知随机变量 X 的概率分布如下： X 1 P 2 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 2 2 2 2 2 2 m 32 33 34 35 36 37 38 39 ( 2 B．310 1 D．310 )
X P 2 11 14 3 13 63 4 1 126
[类题通法]
1．求离散型随机变量的分布列的关键是分析清楚随机 变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的 概率．
2．在求解随Βιβλιοθήκη 变量概率值时，注意结合计数原理、古 典概型等知识求解．
[演练冲关]
(2015· 湖北八校联考)某射手射击一次所得环数 X 的分布列如 下： X P 7 0.1 8 0.4 9 0.3 10 0.2
[类题通法]
利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要 注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
考点二
离散型随机变量的分布列求法 (重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
离散型随机变量的分布列的表示 设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1，x2，…xi，…，xn， X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则下表称 为随机变量 X 的概率分布，简称为 X 的分布列. X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
16-3——华东师范大学数学分析课件PPT
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续函数的性质
又若把上述例3 的函数改为
f
( x,
y)
xy
x2 m
y
1 m2
2
,
,
( x, y) ( x, y) | y mx, x 0,
( x, y) (0, 0),
其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 y m x
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续 0, 则相应得到的
增量称为偏增量, 分别记作
x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
y f ( x0, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 1， xy 0,
f ( x, y) 0， xy 0 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.
数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续
高等教育出版社
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
由上述定义知道: 若P0 是 D 的孤立点, 则 P0 必定是
f 的连续点. 若P0 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点
P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
(2)
PD
如果 P0 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元
函数的对应情形相同 ), 则称 P0 是 f 的不连续点 (或
xy
x2 x2
y2 y2
，
高中数学必修课件全册人教A版
其实，交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共同存在的元素。
例题： 1、A={-1,1,2,3},B={-1,-2,1},C={-1,1};
A
CB
2,3
-1,1
-2
交集的运算性质：
(1) A A A
(2) A
(3) A B B A
(4) A B A, A B B (5) A B 则 A B A
考虑题：如何用集合语言描绘？
设平面 l1上 内 的 直 点 L线 1,直 的 l2线 上 集点 合的 为 L2,试 集 用 合 集 的运l1算 ,l2的 表 位 示 .置关系
解 :(1) 直l1 线 ,l2相交P于 可一 表点 L示 1L为 2 {点 ： P}; (直 2)l1 线 ,l2平行可L1表 L2示 ;为： (直 3)l1 线 ,l2重合可L1表 L2示 L1为 L2.：
5、设A={1，2}，B={x|xA}，问A与B有什么关系？并用列举法写出B？
6 、A 设 { | x x 2 集 4 x 0B 合 } { | , x x 2 2 ( 1 a ) a 2 - x 1 0 a , R} 若 B A ，a 的 求 . 值 实数
7、判断以下表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
假如两个集合的元素完全一样，则它们相等。
例：集合A={x|x为小于5的素数}，集合A={x ∈ R|(x-1)(x-3)=0}，这两 个集合相等吗。
五、集合的分类
根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类： 1、有限集：含有有限个元素的集合称为有限集特别，不含任何元素的集 合称为空集,记为 ，注意：不能表示为{}。 2.无限集：假设一个集合不是有限集，则该集合称为无限集
2016届高考数学第一轮知识点总复习课件21.ppt
第3节 平面向量的数量积及应用
• 1．理解平面向量数量积的含义及物理意义； • 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系； • 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向
量数量积
• 的运算； • 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用
数量积判断两个向量的垂直关系．
[要点梳理]
1．向量的夹角
[解析] 由题意知，O→B＝(3,1)或O→B＝(－3，－1)，所以A→B ＝O→B－O→A＝(2,4)或A→B＝(－4,2)，所以|A→B|＝ 22＋42＝2 5.
[答案] 2 5
5．已知向量 a、b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|
＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
(2)建立坐标系，设 F(x，y)，用坐标计算A→E·A→F.
[解析] (1)∵B→C＝A→C－A→B， ∴A→P·B→C＝A→P·A→C－A→P·A→B. 又 cos∠BAP＝AB2＋2·AABP·2A－PBP2＝2·AABB·2AP， ∴A→B·A→P＝|A2B2|，同理A→C·A→P＝|A2C|2， ∴A→P·B→C＝|A2C|2－|A2B|2＝126－42＝6.
影是是 ______________________；_ 向量bb在在a的a方方向向上上的投的影投|b|c影os θ
• (3)数量积的几何意义
• 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
• 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 向量a、b的夹角.
向量表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
• 2．平面向量的数量积
• (1)数量积的定义
• 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ， 则向量a与|ab||b的|co数s θ量积是数量______|a_||_b|c_o_s _θ ， 记作a·b，即a·b＝____________.
17-1 数学分析全套课件
z
P•
O
dh Q•
S
y x
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例1 试求抛物面 z a x2 b y2 在点 P( x0, y0, z0 ) 处 的切平面方程与法线方程，其中 z0 a x02 b y02 .
例2 曲面z ( x2 y2 ) 3 在何处的切平面平行
于平面2x 2 y z 0，写出切平面方程
y0 )
fx ( 0x0,, y0x)2x
x2 y2
在 (0, 0)的连续性与可微型
y
2f
y ( 0x0 , y0
前页
)y
后页
0
返回
本次课内容
z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 )可微定义 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )
A x B y o( ),
（1） fx ( x0 , y0 )与 fx ( x0 , y0 ) 存在
（2） lim (x,y )(0,0)
f ( x0 ,
y0 )
fx ( x0 , y0 )x x2 y2
f y ( x0 ,
y0 )y
0
f ( x, y) f ( x0, y0 ) f x ( , y) ( x x0 ) f y ( x0,) ( y y前0 )页. 后页 返回
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定理 17.4 曲面 z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, f ( x0, y0 )) 存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是: 函数 f 在点 P0( x0 , y0 ) 可微. 此时，切平面方程为
z z0 fx ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ),
f
2016-2017学年人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第一章 1.3 1.3.1 第2课时 函数
(2)∵f(x)＝x2－x＋a＋1＝(x－12)2＋a＋34(x≤a) ①当 a<12时，g(a)＝f(x)min＝f(a)＝a2＋1， ②当 a≥12时，g(a)＝f(x)min＝f 12＝a＋34.
第二十六页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
探究三 函数最值的应用
f(x)min＝f(0)＝－1， f(x)max＝f(2)＝3－4a.
第十七页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
(2)当 0≤a＜1 时，由图可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(2)＝3－4a.
第十八页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
(3)当 1≤a≤2 时，由图可知，
②由①可知 f(x)在[2,4]上是增函数，
∴当 x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．
又 f(2)＝2＋12＝52，f(4)＝4＋14＝147，
∴f(x)在[2,4]上的最大值为17，最小值为5.
第十六页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
探究二 二次函数闭区间上的最值问题 [典例 2] 求 f(x)＝x2－2ax－1 在区间[0,2]上的最大值和最小值． [解析] f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为 x＝a. (1)当 a<0 时，由图可知，
第十四页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
解析：(1)y＝2xx＋＋11＝2xx＋＋11－1＝2－x＋1 1. 可由函数 y＝－1x向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，如图：
由图可知 f(x)＝2xx＋＋11在 x∈[0，＋∞)上存在最小值 f(0)＝1，不存在最大值．
第十五页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
数学分析PPT课件汇总
应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质 P*的闭区间，性质P*要根据性质P来定。其次，
通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少 有一个闭区间具有性质P*，然后继续使用二等
分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P*的闭区间列。根据闭区间套定理，就得到唯 一一个具有性质P的数。
数学分析课件
数学分析课程组
黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
§ 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明
根据有限覆盖定理（4.1 定理 3），存在有限个开区间，设有 n 个开区间
即 M 0,x a,b | f x | M 。
证法：由已知条件得到函数 f (x) 在[a,b]的每一点的某个
邻域有界.要将函数 f (x) 在每一点的邻域有界扩充到在闭区
间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到 M >0.
数学分析课件
数学分析课程组
黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
例如：若
I=（0，1），
S
n
1 ,1 1
n
N
，事实上，
x 0,1, m N,使 1 x,有x 1 ,1 S,
m 1
m1
例：
I
(0,1),
S
n
1
1
,
1 n
n
N ,
则
S
没有覆盖区间
I.
事实上， n N, n 1, 1 数(学0分,1)析,课S 件中没有开数区学分间析课包程含组 着 1 .
数学分析21课件
n
N
时，
| a |
n| a |
an 0 | a |
n!
12
|a| |a| |
| a || a | 1
a
| n
| a ||a |
| a |!
|
a n
|
.
当 0 | a | 1 时，取 N
1，n
N 时， an n!
1 ,
n
从而
an lim
0.
n n!
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注 这里我们将 N 取为正数, 而非正整数. 实际上
故要使
n7 （3 3n2 n 7）
2n 6n2
1 3n
成立,
只要 n 1
3
即可.
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注意 解这个不等式是在 n 7 的条件下进行的.
证 对于任意的正数 , 取
当
n
N
时,
N 有
max
7,
1
3
,
3n2
n2 n
7
1 3
,
即得
lim
n
3n2
n2 n7
1. 3
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{an} {(1)n} 满足:
当
a
0
(a
0)
时,在
(a
1 2
,
a
1 2
)
之外有无限多
个偶数项（奇数项）. 所以由定义1', { an } 不以
a 为极限. 又因 a 是任意的, 所以 { an }发散.
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例6
证明
lim an 0 . n n!
解
| a | 1 时,
高中数学必修一全册优秀课件
7
2、描述法
就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式
为：{ x | p(x) }
例如：book中的字母的集合表示为：A=｛x|x是 book中的字母｝ 所有奇数组成的集合：A={x∈R|x=2k+1, k∈Z} 所有偶数组成的集合：A={x∈R|x=2k, k∈Z}
注意：1、中间的“|”不能缺失； 2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z，除非上下文明确表示 。
思考：1、比较这三个集合： A={x ∈Z|x<10}，B={x ∈R|x<10} ， C={x |x<10} ；
例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。 解：(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。 (2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
8
2、两个集合相等
9
练习题
1、直线y=x上的点集如何表示？
x+y=2
2、方程组
的解集如何表示？
x-y=1
3、若{1，a}和{a,a2}表示同一个集合， 则a的值不能为多少？
10
集合间的基本关系
实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3，等等，类比实数之间的关系， 你会想到集合之间的什么关系？ 观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
如何用数学的语言描述这些对象？？
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( x, y) | x x0 | , | y y0 | .
U o( A; )
( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2
( x, y) | x x0 | , | y y0 | ,( x, y) ( x0, y0 )
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2. 点和点集之间的关系
第十六章 多元函数的 极限与连续
y f (x)
定义域 对应法则
V r2h
z f (x, y)
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§1 平面点集与多元函数
一、平面点集
1.定义： 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合,
称为平面点集。 A( x0, y0 )
U( A; ) :
( x, y) ( x x0)2 ( y y0)2 2
推论 任一有界无限点列 { Pn} R2 必存在收敛子 列 { Pnk } . ( 证明可仿照 R 中的相应命题去进行. )
定理3 (有限覆盖定理) 设 D R2 为一有界闭域 ,
U { } 为一族开域 , 它覆盖了 D ( 即 D ). 则
在 { } 中必存在有限个开域 1, 2 , L , n , 它们 同样覆盖了D。
2.几何意义 z f (x, y)
通常表空间曲面
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上次课内容 1. 点
内点，外点，界点，聚点，孤立点 2. 集 开集，闭集，连通集；开域，闭域，区域，有界点集
3. 完备性定理 4. 二元函数
z f ( x, y), ( x, y) D;
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z 10 2x 5 y
二、R2上的完备性定理
1.平面点列的极限
（1）定义 设 {Pn } R2 为一列点, P0 R2 为一固定点.
若 0, N N , 使当 n N 时, Pn U(P0; ),
则称点列 { Pn } 收敛于点 P0 , 记作
lim
n
Pn
P0
或
Pn P0 ( n ).
（2）性质
设Pn( xn , yn ) ，P0 ( x0 , y0 ), 则
(ii) dn d(Dn ),
lim
n
dn
0.
则存在惟一的点 P0 Dn , n 1, 2, L .
推论 对上述闭域套 { Dn }, 0, N N , 当 n N 时, Dn U (P0; ).
注 把 { Dn } 改为闭集套时, 上面的命题同样成立.
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定理2(聚点定理) 若 E R2 为有界无限点集, 则 E 在 R2 中至少有一个聚点.
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区域—— 开域、闭域、开域连同其一部分界点所 成的集合, 统称为区域. 有界点集——对于平面点集 E, 若 r 0, 使得 E U (O; r), 则称 E为有界点集.
例 判断下列点集哪些是开集、闭集、有界集、区 域？并指出其聚点与界点
(1) G ( x, y) | xy 0
z 1 (x2 y2)
x z
z xy
O
z 1
O y
y x
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z
x2
y2
z z2
z 1 O
y x
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3.有界函数 若二元函数的值域 f (D)是有界数集, 则称函数
f 在 D上为一有界函数 . 否则, 称函数 f 在 D上
为一无界函数
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四、n 元函数
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三、二元函数
1.定义 设平面点集D R2 , 若按照某对应法则 f , D 中每一点 P ( x, y ) 都有惟一确定的实数 z 与之 对应, 则称 f 为定义在 D 上的二元函数 ( 或称 f 为 D 到 R 的一个映射 ), 记作 f : D R .
也记作 z f ( x, y), ( x, y) D; 或点函数形式 z f (P), P D.
E 的孤立点.
注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点.
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3. 一些重要的平面点集 开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集. 闭集——若 E 的所有聚点都属于 E ,则称 E 为闭集. 连通集——若 E 的任意两点之间都可用一条完全含 于 E 的有限折线相连接。 开域——连通的非空开集 E 。 闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域.
n维向量
( x1, x2 ,L , xn )
n维向量空间
Rn
设 E 为 Rn 中的点集, 若有某个对应法则 f , 使 E
中每一点 P( x1, x2 ,L , xn ) 都有惟一的一个实数 y 与之对应, 则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数, 记作
也常写成
f : E R,
y f ( x1, x2 ,L , xn ), ( x1, x2 ,L , xn ) E ,
性质 (P1, P2 ) (P1, P3 ) ( P2 , P3 ) .
点集 E 的直径 d(E ) sup (P1, P2 ),
P1 , P2 E
[1,2] (1,3]
{( x, y) | 0 x 1,0 y x}
性质 当且仅当 d(E) 为有限值时, E为有界点集.
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或 y f (P), P E.
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例 求 f ( x, y) sin( x2 y2 ) 的定义域， 并画出定义域的图形
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不属于E的点，则称点 A 是 E 的界点。 E.
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(iv) 聚点——若在点 A 的任何空心邻域U o( A) 内都 含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点．
(v) 孤立点—— 若点 A E, 但不是 E 的聚点（即
有某δ > 0, 使得 U o( A; ) I E ), 则称点 A 是
lim
n
PnLeabharlann P0limn
xn
x0
且
lim
n
yn
y0;
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（3）柯西准则 定理1 {Pn } R2 收敛的充要条件是:
0, N N , 使当 n N 时, 都有 (Pn , Pn p ) , p N .
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2.完备性定理 定理1(闭域套定理) 设 { Dn } 是 R2 中的一列闭 域, 它满足： (i) Dn Dn 1, n 1, 2, L ;
(2) G ( x, y) | x2 y2 1或y 0,1 x 2
(3) G ( x, y) | x 2, y 2, x y 2
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4. 直径
P1( x1, y1) P2( x2 , y2 )
(P1, P2 ) ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 .
(i) 内点——若 0, 使 U ( A; ) E, 则称点 A
是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为 E 的内部, 记作 int E.
(ii) 外点——若 0, 使 U ( A; ) E , 则称
点 A 是 E 的外点；
(iii) 界点—— 若 0, U( A; ) 既有E的点又有