23.5二次函数的应用

课题：23.5二次函数的应用

寿县迎河中学 龙如山

三维目标：

一、知识与技能

1、让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。

2、让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题。 二、过程与方法

掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。 三、情感态度与价值观

培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。 教学重点：

1、 在直角坐标系中，点坐标和线段之间的关系。

2、 根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点。 教学难点：

如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。 课前准备：

制作多媒体课件，并将有关内容做成讲义。 教学过程：

一、创设情景，引入新课

1、在寒冷的冬天，同学们一般会参加什么样的课外活动呢？

2、由上给出引例：

引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？

3、要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？

对，本题我们可以利用有关二次函数的知识来解决。今天我们学习的内容是“二次函数的应用”。 二、新课讲解：

（一）课前练习

1、已知抛物线

23x y =上有一点的横坐标为2，则该点的纵坐标为______。

2、已知二次函数132

612++-

=x x y 的函数图象上有一点的横坐标为2

5， 则该点到x 轴的距离是______________。 3、已知二次函数532

-=x

y 有一点的纵坐标是2，

则该点横坐标为__________.

4、已知抛物线过点A （0，1），B （2，1），C （1，0），则该抛物线解析式为___

5、已知如图A （1，1），AB=3，AB ∥x 轴， 则点A 的坐标为__________.

注：第四题在处理时，只要求学生知道解题方法，而不需要完全解答。 （二）例题讲解

下面我们来解决本堂课的引例。

1、要解决这个实际问题，关键是什么？（建立直角坐标系）

2、那么有几种建立直角坐标系的方法呢？请同学们讨论一下。

（学生分析、讨论完毕后教师进行归纳小结） 3、利用其中一种方法，解决①、②两个 。

①、求点A 、B 、C 的坐标. ②、求过点A 、B 、C 的抛物线的函数解析式.

4、同学们能否根据老师所用的方法，分别求出在上述四个图中第1、2两小题呢？ 6、在完成第①、②小题的基础上，请同学们根据老师的方法完成第③、④小题。 ③、你能算出丁的身高吗？

④、若现有一身高为1.625m 的同学也想参加这个活动，请问他能参加这个活动吗？ 若能，则他应离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由？若身高为1.7m 呢？ 注：在解决第④小题的过程中，可以让学生思考以下问题：

①、 在解决第一问时，能否利用二次函数的对称性来解决？

②、

在解决第二问时，能否利用二次函数的有关性质来解决？（利用最值来解决）

小结：建立合适的直角坐标系，是解决实际问题的关键。 （教师利用多媒体出示解答过程，强调解题步骤。）

例：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B 的宽为20m ，如果水位上升3米时，水面CD 的宽为10m ．

（1）建立直角坐标系，求点B 、D 的坐标。（2）求此抛物线的解析式；

（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km

（桥长忽略不计）货车以 40km ／h 的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位到达最高点E 时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，

能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

分析：1、建立直角坐标系是本题的关键，让学生分组讨论。 2、教师选择一种直角坐标系，解决本题。其他方法请学生课后练习。 3、第③小题是本解课的一个难点可以做以下处理

①、考虑货车能否安全通过的基本条件是什么？（水位还没有到达E 点） ②、考虑水位到达E 点所需时间和货车到达桥的时间的关系是什么？ ③、要使货车安全通过此桥，先决条件是什么？

A

B

C D

E

F

A

B

C D x y A B

C

D x

y

变式：（4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km ，货船以 40km ／h 的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m 的速度持续上涨（货船接到通知时水位在AB 处，当水位到达CD 时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

（本题请学生阅读后，作为课后思考题） 三、课后练习：

1、如图是我县某公园一圆形喷水池的效果图，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图坐标系，如果喷头所在处A （0，1.25），水流路线最高处B （1，2.25），则该抛物线的解析式为 ___。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要_____________米，才能使喷出的水流不致落到池外。

2、如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米。

(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

*(3)若墙的最大可用长度为8米，则最大面积是 ？

C

D

A B C D O

x

y A B C

D

O

x

y