新版五年级奥数数学容斥原理课件
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奥数容斥原理
雪
4
6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人
?人
❖ 例3. 某校六年级二班有49
人参加了数学、英语、语文
学习小组，其中数学有30
人参加，英语有20人参加，
语文小组有10人。老师告 诉同学既参加数学小组又参
数
英
加语文小组的有3人，既参
30 质 20
加数学又参加英语和既参加 英语又参加语文的人数均为 质数，而三种全参加的只有
69+52-30=91人 91+12=103人
❖ 5、全班有50人，不会骑车的有23人，不会 滑旱冰的有35人，两样都会的有5人。问： 两样都不会的有多少人？
50-5=45人 23+35-45=15人
❖ 6、六年级（2）班有48名学生，其中会骑自 行车的有27个，会游泳的有18人，既会骑自 行车又会游泳的有10人。问两样都不会的有 多少人？
不能被3或5整除的个数： 1000-467=533个
试一试：
❖ 某校选出50名学生参加区作文比赛和 数学竞赛，作文比赛获奖的有16人， 数学比赛获奖的有12人，有5人两项比 赛都获奖了。
❖ （1）共有多少人获奖？ ❖ 16+12-5=23人 ❖ （2）两项比赛都没获奖的有多少人？ ❖ 50-23=27人
1
3
质
1人，求既参加英语又参加 数学小组的人数。
语
10
❖ 分析与解：根据已知条 件画出图。
49人
❖ 三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又 参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的 有y人，可以列出这样的方程：30 20 10 x y 31 49 整理后得：x y 9 由于x、y均为质数，因而 这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数 为7。
容斥原理--奥数专题(课件)-2021-2022学年数学五年级上册 全国通用
拔河
解： 参加运动的人：
26人
19＋26＋17 －8－6－7
=62－21
=41（人）
6人
没参加运动的人：50－41=9（人）
百米 19人
8人
7人
答：这个班没参加运动项目的有9人。
乒乓球 17人
练习题1
某班有50人，已知会滑冰的有25人，会游泳的有28人，两样都会的 有7人，那么两样都不会的有几人？
2. 第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人， 做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第 一小组共有多少人？
3. 一个外国旅游团中，每个人都会英语、德语、日语这三种语言中 的一种。会讲英语的有36人，会讲德语的有15人，会讲日语的有7人， 同时会讲英语和日语的有6人，同时会讲英语和德语的有10人，同时会 讲德语和日语的有3人，三种语言都会讲的有2人，这个外国旅游团共 有多少人？
练习题2
三个圆的面积相等，都是50平方厘米，每两个圆相交的面积是 8平方厘米、10平方厘米和12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米， 三个圆盖住的面积是多少平方厘米？
例二 有26人报名参加拔河比赛，有19人参加百米赛，有17人参加 乒乓球赛，有8人参加拔河赛和百米赛，有6人参加拔河赛和乒乓球 赛，有7人参加百米赛和乒乓球赛，没有人三项运动都参加，这个班有50 人，没参加运动项目的有多少人？
容斥原理
容斥原理： 人们在统计一些数量时，有些数量是重复出现的，
在计数时通常先不考虑重复的数，而是把题中所有对象的数目计算出来， 然后再将重复的数量减去，使计算结果无遗漏、无重复。这种计数原理 称为包容与排除原理，也称为容斥原理。
韦恩图：解决容斥问题，需要画出韦恩图。用一个椭圆表示题中的一个量。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂的容斥原理 人教版 (共21页)
24+17-8=33（人）
答：这个文艺组一共有33人。
例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已 知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参 加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同 时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的 有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少 学生参加了学习小组？
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人， 这个文艺组一共多少人？
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为 20厘米和45厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积 是多少？
•
5.反复手法的运用是本诗在表现形式 上的一 大特色 。本诗 的前三 节，都 用大致 相同的 语言形 式表明 作者相 信未来 不变的 信念， 每一节 最后都 由“相 信未来 ”四个 字结尾 。而且 用冒号 把它们 凸现出 来，如 音乐中 的主题 句反复 出现， 强化了 作品的 主旋律 ，增强 了诗文 的感染 力，突 出了诗 歌的主 旨。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
•
2.同学们，相信你们大多数同学都有 旅游的 经历， 请大家 交流一 下，到 过哪些 名山大 川，有 什么感 受？大 自然中 的山水 ，不仅 能给我 们带来 美感也 给我们 带来灵 感，今 天让我 们从诸 子大家 对山水 的体悟 中，学 习为人 为事的 道理。
答：这个文艺组一共有33人。
例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已 知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参 加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同 时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的 有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少 学生参加了学习小组？
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人， 这个文艺组一共多少人？
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答：它们盖住的面积是143平方厘米。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为 20厘米和45厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积 是多少？
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5.反复手法的运用是本诗在表现形式 上的一 大特色 。本诗 的前三 节，都 用大致 相同的 语言形 式表明 作者相 信未来 不变的 信念， 每一节 最后都 由“相 信未来 ”四个 字结尾 。而且 用冒号 把它们 凸现出 来，如 音乐中 的主题 句反复 出现， 强化了 作品的 主旋律 ，增强 了诗文 的感染 力，突 出了诗 歌的主 旨。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
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2.同学们，相信你们大多数同学都有 旅游的 经历， 请大家 交流一 下，到 过哪些 名山大 川，有 什么感 受？大 自然中 的山水 ，不仅 能给我 们带来 美感也 给我们 带来灵 感，今 天让我 们从诸 子大家 对山水 的体悟 中，学 习为人 为事的 道理。
奥数五年级第八课 ：容斥原理
您身边的个性化教育专家——问鼎教育
第八课容斥原理
概念在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例题例1 在一次校运动会上，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，既参加田赛又参加了径赛的有7人，没有参加比赛的有21人，那么这个班有多少人？
例2两个边长分别为10厘米、4厘米的正方形重叠在一起，重叠部分的面积为4平方厘米，求这个图所能覆盖的面积。
例3 在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
例4有50个学生，他们穿的裤子是白色的或者黑色的，上衣是蓝色的或红色的，若有14人穿的是蓝色上衣白裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上衣黑裤子的学生有多少人？
随堂练习：
1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的4人，两样都会的有多少人？
2、4个边长是2厘米的正方形平放在桌子上，中间有一个边长是3厘米的正方形重叠在上面，求覆盖桌子的面积。
3、有一根长为240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，每隔6厘米也作一个记号，然后将标记有记号的地方剪断。
问：绳子共被剪成了多少段？
您身边的个性化教育专家——问鼎教育。
奥数容斥问题课件
示例：有五个班级，分别有30人、40人、50人、60人和70人，其中两个班级共有10人既是第一班也是第二班的人，同时是第二班和第三班的人有15人，同时是第二班和第四班的人有20人，同时是第三班和第四班的人有25人，同时是第三班和第五班的人有30人，同时是第四班和第五班的人有35人。求五个班级总共有多少人
进阶练习题在难度上有所提升，需要学生灵活运用容斥原理解决较为复杂的问题，提高解题技巧。
题目4
一个班级有45名学生，每人至少参加一项体育活动。其中，28人参加篮球，30人参加足球。问同时参加两项体育活动的学生有多少人？
题目3
一个班级有35名学生，每人至少参加一项课外活动。其中，18人参加音乐小组，21人参加美术小组。问同时参加两项课外活动的学生有多少人？
奥数容斥问题课件
目录
容斥问题简介容斥问题的基本解法容斥问题的进阶解法容斥问题的实际应用容斥问题的常见题型及解析练习题及答案解析
CONTENTS
容斥问题简介
容斥问题是一种数学问题，涉及到集合和集合之间的关系。它主要考察的是如何正确地理解和处理集合之间的关系，以及如何通过已知的集合信息来推导出未知的集合信息。
题目2：一个班有40名学生，每人至少参加一个运动项目。其中，25人参加篮球，20人参加足球。问同时参加两个运动项目的人数是多少？
答案及解析：通过容斥原理，我们可以得出同时参加两个运动项目的人数为10人。
总结词
提高解题技巧
答案及解析
通过容斥原理，我们可以得出同时参加两项课外活动的学生有9人。
详细描述
详细描述：对于n个集合，它们的并集的元素数量可以通过以下公式计算：|A∪B∪C...∪n| = Σ(i=1 to n) |Ai| - Σ(i=2 to n) Σ(j=i+1 to n) |Ai∩Aj| + Σ(i=3 to n) Σ(j=i+1 to n) Σ(k=i+1 to n) |Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1) * Σ(i=n to 2) Σ(j=i+1 to n) ... Σ(k=i+1 to n) |Ai∩Aj∩Ak...∩An|，其中Σ表示求和符号，Ai、Aj、Ak...An分别表示第i个、第j个、第k个...第n个集合的元素数量，Ai∩Aj、Ai∩Aj∩Ak、Ai∩Aj∩Ak...∩An等分别表示第i个和第j个、第i个和第j个以及第k个...第n个集合的交集的元素数量。
简单的容斥原理完整版课件
A
B
若对于三个有限集合A,B,C呢？
A∩B
A
A∩C
B
C
B∩C
A∩B∩C
三个集合的容斥原理
一般地，对任意三个有限集合A,B,C，有:
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B) -card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
例1.在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好 者有75人，既爱好音乐又爱好体育的有40人，那么 仅爱好音乐的有几人？仅爱好体育的有几人？两者 都不爱好的有几人？
A={圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水}
B={圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面}
card(A)=6， card(B)=4，
card(A∩B)=2，
card(A∪B)= 6+4-2
根据集合元素的互 异性
相同的元素只表示 一次！
两个集合的容斥原理
一般地，对任意两个有限集合A,B，有: card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
A
音乐 爱好
者
B
体育 爱好者
变式：在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱 好者有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的人最多 有几人？最少有几人？
B
？ A
音乐 爱好
体育 爱好
者
者
例2.已知集合 A {x N | 0 x 10000} ，求集合 A中不能被5或7整除的数的个数.
例2.已知集合 A {x N | 0 x 10000} ，求集合 A中不能被5或7整除的数的个数.
英语 六级
会计 师
最新容斥原理PPT课件
n !S (m ,m )A 1 A 2 ... A n n m C (n ,1 )(n 1 )m
( 1 )kC (n ,k)(nk)m ( 1 )nC (n ,n )0 m .
即：
S(m ,n)1 nC(n,k)(nk)m.
n!k0
例11 求方程x1+x2+x3=15的非负整数解的数目。 这个问题相当于15个相同的球放入3个不同的盒子的 不同方案数，为C(15+3-1,15)=C(17,2)。
A BC D 1 2 3 4
如左图，斜线区域表示禁区。
R(
)=1+6x+10x2+4x3，
方案数为：4!-6×3!+10×2!-4×1!=4。
例14 再解错排问题。 对应于棋盘上对角线格子为禁区的布子问题。
棋盘多项式为：
n
C = ··· R(C)(1x)n C(n,k)xk, k0 即：rk(C)=C(n,k)。
类似有：|A2∩A3|=0，|A2∩A4|=20!， |A2∩A5|=20!， |A3∩A4|=20!， |A3∩A5|=20!， |A4∩A5|=19!。
A1 A2 A3 0, A1 A2 A4 0,
A1 A2 A5 0, A1 A3 A4 0,
A1 A3 A5 0, A1 A4 A5 0,
ABCUA BCABBC
ACABC 4 n 3 3 n 3 2 n 1 .
例7 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求 排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求 满足这些条件的排列数。
令Ai (i=1,2,3,4,5)分别表示出现以上五个单词之一的 排列的集合。
下面回到有禁区的排列问题，有如下的定理：
小学五年级奥数课件：容斥原理
3，老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25 人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科 在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少 人？
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是 红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
在100个外语教师中，懂英语的有75人， 懂日语的有45人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分， 在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
容斥原理
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是 红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
在100个外语教师中，懂英语的有75人， 懂日语的有45人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分， 在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
容斥原理
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，
数学五年级竞赛讲座第6讲容斥原理课件
A∩B∩C={1到200中间能被2×3×5整除的自然数}；
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
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倍数的数共有
个
3/5: 2008÷15=133（个） 3/7: 2008÷21=95（个） 5/7：2008÷35=57（个） 3/5/7: 2008÷105=19（个） 133+95+57-19X3=228
老师点睛 2.考点：锅内饼外、三叶草
（1）锅内饼外=全部-大饼 （2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC
2倍 3倍 5倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次 把所有编号是3的倍数气球打破；第二次把编号是5的倍数 的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破。那么，最 后还剩几个是没有被打破的气球？
2倍 5倍
7倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
以下赠品教育通用模板
前言
您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并 选择只保留文字。在此录入上述图表的综合描述说明。您的内容打在这 里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 在此录入上述图表的综合描述说明。 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并 选择只保留文字。在此录入上述图表的综合描述说明。您的内容打在这 里，或者通过复制您的文本后。
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编 号为1,2，…，2006，将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一 下；再将编号为3的倍数的灯拉线各拉一下，最后将编号为 5的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为多少盏？
2倍 3倍
5倍
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯，拉完后亮着的灯数为多少盏？
2：有1003个 3：有668个 5：有401个 2/3：有334个 2/5：有200个 3/5：有133个 2/3/5:有66个
2倍 3倍 5倍
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯，拉完后亮着的灯数为多少盏？
大饼：1003+668+401-（334+200+133）+66=1471（盏） 锅内饼外：2006-1471=535（盏） 三叶草：334+200+133-66X3=469（盏） 亮的灯：535+469=1004（盏）
又无重复，这种计数的方法称为容斥原理
本讲主线
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总 和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既 是A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
数学参加人数：40-25=15人 15-10+18-10 =5+8 =13（人）
例题【二】（★ ★ ★ ）
1～209这209个自然数中，与209互质的自然是有几个？
互质，没有公约数 分解，209=11×19 11:209÷11=19（个） 19:209÷19=11（个） 11/19：1（个） 大饼：19+11-1=29（个） 答：209-19=180（个）
3倍
5倍
3:670个 5:402个 7:287个
7倍
3/5:134个 3/7：95个 5/7:57个
3/5/7=19个
大饼：670+402+287-（234+95+57）+19=1092（个）
饼外：2010-1092=918（个）
本课总结
1、容斥原理：不考虑重叠，先计算结果， 之后减去重叠部分的计数方式。 2、“大饼图”：写对名字，标对数。找 出所求区域 3、考点： （1）锅内饼外=全部-大饼 （2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC
例题【一】（★ ★ ）
五年级二班有40名同学，其中有25人没有参加数学小组，有18人参 加了航模小组，有10人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组 之一的学生共有多少人？
数学
航模
例题【一】（★ ★ ）
五年级二班有40名同学，其中有25人没有参加数学小组，有18人参 加了航模小组，有10人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组 之一的学生共有多少人？
拓展例题
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且 有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少 人？
分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满 分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语 数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得 满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 为15+12-4=23。
本讲主线
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总 和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既 是A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次 把所有编号是3的倍数气球打破；第二次把编号是5的倍数 的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破。那么，最 后还剩几个是没有被打破的气球？
3倍 5倍
7倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次把所有编号是3的倍数 气球打破；第二次把编号是5的倍数的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打 破。那么，最后还剩几个是没有被打破的气球？
容斥原理
五年级 第17课
本讲主线
1、掌握两个容斥原理 2、一道经典的拉灯问题
本讲主线
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重 复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先 不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏
老师点睛
1.公式
消重
(1)大饼=A+B-AB
(2)大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABCABA NhomakorabeaB
C
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的
倍数的数共有
个
3倍
5倍
7倍
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的