二阶电路 RLC串联电路零输入响应

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RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况

例8-3 图8-3所示电路，C=1F，L=1/4H，R=1；uC(0)= –1V， iL(0)= 0；t≥0时uoc(t)=0。试求iL(t)，t≥0。
( ) 解：电路固有频率为
s1, 2 = –
R 2L
R
2
–
1
2L
LC
=–2
电路属于临界阻尼状态。
iL(t) = K1e –2 t + K2te –2 t A，t≥0
O 0.5
t
图8-8 临界阻尼时的零输入响应iL(t)
电路分析基础——第二部分：第八章目录
第八章二阶电路
1 LC电路中的正弦震荡
2 RLC电路的零输入响应 ——过阻尼情况
3 RLC电路的零输入响应 ——临界阻尼情况
4 RLC电路的零输入响应 ——欠阻尼情况
5 直流RLC串联电路的完全响应
6 GCL并联电路的分析
7 一般二阶电路
电路分析基础——第二部分：8-3
duC dt
=
– uC(0)2Cte – t + iL(0)(1–t)e – t A t≥0
（8-31）
电路分析基础——第二部分：8-3
2/3
从(8-30)和(8-31)两式可知：电路电路响应仍然是非震荡性的，但如果电阻稍稍减小一点点，以致R2 < 4L/C，则响应将为震荡性。因此，符合条件R2 = 4L/C时的响应处于临近震荡状态，称为临界阻尼(critically damped)情况。
iL(0) = K1 = 0
i’L(0) = s1K1 + K2 = –2K1 + K2 di 又根据KVL，可得 uL(0)+uC(0)+uR(0)=L dt

(完成)二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点

实验二二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、实验目的1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程；2、掌握RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；3、学会利用MULTISIM 仿真软件熟练分析电路，尤其是电路中各电压电流的变化波形。

二、实验原理用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。

二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。

分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。

二阶方程一般都为齐次方程。

齐次方程的通解一般分为三种情况：（RLC 串联时）1、 21S S ≠ 为两个不等的实根（称过阻尼状态）t S t S h e A e A f 211121+= 此时，CL R 2>，二阶电路为过阻尼状态。

2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态）t h e A A f σ)21+=（此时，CL R 2=，二阶电路为临界状态。

3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态）t h e t f σβω-+=)sin( 此时CL R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。

这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系以及电流电压波形。

三、实验内容电路中开关S 闭合已久。

t=0时将S 打开，并测量。

1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ）如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。

波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。

2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH ）如图所示，为临界状态的二阶电路图。

图展示了临界状态下的C U 的波形。

波形图展示了临界状态下的C U 和L U 波形。

3、过阻尼状态（R=10Ω,C=1mF,L=1mH ）如图所示，为过阻尼状态下的二阶电路图。

二阶电路分析

rlc对于图示直流激励的rlc串联电路当u时可以得到以下非齐次微分方程电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成电路的固有频率为时对应齐次微分方程的通解为微分方程的特解为全响应为利用以下两个初始条件可以得到得到求解这两个代数方程得到常数k例95电路如图所示
第九章
二阶电路分析
由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，
(9 5)
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
uC (0) K1 K 2
对式(9－5)求导，再令t=0得到
(9 6)ห้องสมุดไป่ตู้
duC ( t ) dt
t 0
i L ( 0) K 1 s1 K 2 s2 C
(9 7)
求解以上两个方程，可以得到
1 K1 ＝ s2 －s1 1 K2 ＝ s1 －s 2 iL ( 0) s2 uC (0) C iL ( 0) s1 uC (0) C
uC ( t ) e 3t [ K 1 cos 4t K 2 sin( 4t ) ]
iL(0)=0.28A得到以下两个方程
uC (0) K 1 duC ( t ) dt
t 0
( t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值
3 K 1 4 K 2
i L ( 0) 7 C
电容电压的零输入响应波形
i2 (t) =ε( t)*[(
.690
)* exp ( -.500
t)]cos(
4.97
t +66.08 )
iL (t ) 0.69e0.5t cos(4.97t 66.08 )(t )A

(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.

2L
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0

二阶电路分析——LC震荡的推导

二阶电路分析——LC 震荡的推导如图9.16所示，RLC 串联电路零输入响应的数学分析依KVL ，得 0=-+C L R u u u按图9.16中标定的电压，电流参考方向有 dtdu Ci C-= dtdu RCRi u CC -== 22dtu d LC dt diL u C L -==将以上各式代入KVL 方程，便可以得出以 C u 为响应变量的微分方程，为022=++C CC u dt du RC dt u d LC ()0≥T （9.10）式（9.10）为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为012=++RCp LCp其特征根为20222,1122ωαα-±-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=LC L R L R p 式中：L R 2/=α称为衰减系数；LC /10=ω称为固有振荡角频率。

1.几种不同情况的讨论(1)当(R/2L)2>1/LC 时，1p 、2p 为不相等的负实根，称为过阻尼情况。

特征根为2022,1ω-±-=a a p微分方程的通解为()tp t p C e A e A t u 2121+= （9.11）其中待定常数1A 、2A 由初始条件来确定，其方法是：当+=0t 时刻，则由式(9.11) 可得()21A A t u C +=对式(9.12)求导，可得+=0t 时刻()t u C 对t 的导数的初始值为()()()Ci p A p A dt t du u t C C+=+-=+=='+0022110联立求解式(9.12)和式(9.13)，便可以解出1A 、2A 。

根据式(9.11)可知，零输入响应()t u C 是随时间按指数规律衰减的，为非振荡性质。

()t u C 的波形如图9. 17所示。

（2）.当()LC L R /12/2=时， 1p 、2p 为相等的负实根，称为临界阻尼情况。

特征根为a p p -==21微分方程的通解为()()at C e t A A t u -+=21其中常数1A 、2A 由初始条件()+0C u 和()+'0C u 来确定。

电路第十四章二阶电路

i(0 ) I0 t0 , K在1，由KVL, 有
iR
L di dt
uc
Us
又
i C duc
dt
可得
RC
duc dt

LC
d 2uc dt 2
uc
Us
P2 R P 1 0
L
LC
(特征方程)
5
特征根:P1, 2Fra bibliotek R 2L
±
( R )2 2L

1 LC
（自然频率、固有频率）
1、单根：(过阻尼) 即 R 2 L
C
uc Ae p1t B p2t U s
2、重根：(临界阻尼) 即 R 2 L
C
uc ( A Bt) pt Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Ae t cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
0
1 LC
演示实例
6
14-4 RLC并联电路分析
一、零输入响应
t>0 ,由KCL,有
u C du i 0 R dt
又 u L di dt
可得
L R
di dt

LC
d 2i dt 2

i

0
d 2i dt 2

1 RC
di dt

1 LC
i

0
(二阶常系数线性齐次微分方程)
2、重根：(临界阻尼) 即 R 1 L
2C
i ( A Bt ) pt I s
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 1 L 2C
i Ae t cos(d t ) I s

二阶电路分析——LC震荡的推导

1.几种不同情况的讨论(1)当(R/2L)2>1/LC 时，1p 、2p 为不相等的负实根，称为过阻尼情况。

根据式(9.11)可知，零输入响应()t u C 是随时间按指数规律衰减的，为非振荡性质。

()t u C 的波形如图9. 17所示。

（2）.当()LC L R /12/2=时， 1p 、2p 为相等的负实根，称为临界阻尼情况。

特征根为a p p -==21微分方程的通解为()()at C e t A A t u -+=21其中常数1A 、2A 由初始条件()+0C u 和()+'0C u 来确定。

第七章二阶电路

2
ω0 = ωd =
ω 02 − α
称为衰减谐振角频率
uC ( t ) = e −αt [ K 1 cos( ωd t ) + K 2 sin( ωd t )] = Ke −αt cos( ωd t + ϕ )
8
能量转换 0<ωt<β uC(t)减小，i (t)增大减小，减小增大
C + R L C
β< ωt < π-β β
π-β < ωt < π β
增大，增大 uC(t)减小，i (t)减小 |uC |增大，i 减小减小，减小减小
+ R L C + R L
U0 uC 0
β
i
ω0 U 0 e −δ t ω
π π+β β 2π-β πβ 2π π
π-β β
ωt
−
ω0 U 0 e −δ t ω
s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。
3.在欠阻尼情况，是共轭复数， 3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面情况上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，越大，衰减越快。随时间按指数规律衰减，衰减系数 α 越大，衰减越快。衰减振荡的角频率ω 越大，振荡周期越小，振荡越快。振荡的角频率ωd 越大，振荡周期越小，振荡越快。图中按Ke- 画出的虚线称为包络线，图中按Ke-αt画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范 Ke 围。
11
是共轭虚数， 4.在无阻尼情况， 4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s 情况平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为ω 的等幅振荡。频率为ω0的等幅振荡。显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间显然，当固有频率的实部为正时，增加，电路是不稳定的。由此可知，增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固平面上的左半平面上时，电路是稳定的。有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。

信号与系统讲义-2

f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)

2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us

R 2L
,
d

02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2

R L
duc dt

1 LC
uc

1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2

二阶电路讲义

因此称为非振荡放电过程，又称为过阻尼放电。
2. 电感在t<tm时，吸收能量，建立磁场；当t>tm时电感释放能量，磁场逐渐衰减，趋向消失。
3. 整个过程完毕，uC=0，i=0，uL=0，电容储藏的能量全部被电阻消耗。
非振荡放电过阻尼:
R
R
+
+
C
L
C
L
-
-
0 < t < tm uc减小，i 增加
t > tm uc减小， i 减小
e t ( A1 A2 t)
R 2 L不等负实根 C
非振荡 ( 过阻尼 ) A1e p1t A2e p2t
实验工具的使用及实验内容
(一 ) R 2 L
C
p1, p2是不等的负实根 (t=0)
1
uC A1e p1t A2e p2t
由初始条件:

+
uc -
C
iR + uL L -
uC (0 ) uC (0 ) U 0 A1 A2 U 0
duC
i(0 ) 0
dt t 0
C
p1A1 p2A2 0
则
A1
p2 p2
p1
U0
A2
p1 p2 p1
U0
a.电容电压响应uC:
uC
U0 p2 p1
( p2 e p1t p1e p2t )
2 uC响应曲线
uC
U0 p2 p1
( p2 e p1t
p1e p2t )
uc U0
uC一直单调下降
t
3 能量转换关系
1. 整个过程中uC曲线单调下降，电容一直释放储存的电能。

RLC电路的零状态响应

特解和其对应的齐次方程的通解组成。而建立稳态之后，其特解为vCp = vC(∞) = VS。
2006-1-1
！
3
• 若式(12.21)对应的齐次方程的特征根为两个不相等的负实根，即为非振荡情况，则电容电压应为如下形式
vC vCp vCh VS A1e p1t A2e p2t
• 那么，电流为
2006-1-1
RLC电路的零状态响应
• RLC串联电路零状态响应的电路图，如图12.11所示。若电容和电感原未有初始储能，在t = 0时，开关S闭合。此时也相当于电路在阶跃函数作用下的零状态响应。
S t = 0 + vL −
L
i
VS −
C vC −
R
− vR +
O tm
i vL t
(12.22)
i C dvC dt
C( A1 p1e p1t
A2 p2e p2t )
• 根据初始条件，有
0 VS A1 A2 0 C( A1 p1 A2 p2 )
(12.23)
(12.24) (12.25)
2006-1-1
！
4
• 将以上两式联立求解，可得
A1
p2 p2
p1 V0 ,
2006-1-1
！
5
对于电容电压vC、电感电压vL和电流i，其波形如图12.12所示。可以看出，在非振荡情况下，电容持续充电直至外施电压VS。临界情况与非振荡情况相似，这里不再赘述。
若式(12.21)对应的齐次方程的特征根为两个实部为负数的共轭复根，即为振荡情况，则电容电压应为如下形式
vC VS Aet sin(t )
(12.29)
那么，电流为

关于RLC二阶电路的分析方法——电路的微分方程与初始条件(精)

关于RLC 二阶电路的分析方法——电路的微分方程与初始条件
由两个独立储能元件组成的电路，其过渡过程的特征性用二阶微分方程描述，故称为二阶电路。

RLC 串联电路，是典型的二阶电路。

通过对它的分析来明确二阶电路过渡过程的基本概念和分析方法，着重讨论RLC 串联电路的放电过程，即电路的固有响应也就是零输入响应。

也介绍RLC 串联电路的充电过程，即零状态响应和完全响应。

1．电路的微分方程与初始条件
如图4-5所示RLC 串联二阶电
路，0≥t 时以电容电压C u 为变
量描述动态过程特性的微分方程
是图 4-5 RLC 串联二阶电路 022=++C C C u dt du RC dt u d LC
过渡过程中电容电压C u 随时间变化的规律，就是微分方程的解。

方程的求解，需有如下两个初始条件：
)0(C u
C i dt du u L t C C )
0()0(0=='=
只要知道电路的两个初始状态)0(C u 和)0(L i ，按上式便可得出初始条件)0(C u 和)0(C u '。

于是，RLC 串联电路的放电过程的C u ，就是满足上述初始条件齐次微分方程的解；充电过程的C u ，就是满足初始条件非齐次微分方程的解。

+-
C u。

《电路基础》第17讲二阶电路分析 (1)

uL
L
di dt
0
U 0e
t
sin(
t
)
uC零点： t = -，2- ... n- ， uC 极值点为i零点。
i 零点： t =0, ，2 ... n ， i 极值点为uL零点。
U0
uc uL零点： t = , +，2+ ... n+
uC i
0
U0e
t
+
0 -
2- 2
t
uL
0
U0e
t
14
能量转换关系
0 < t<
uC减小，i 增大
L吸，C释
+
R
C -
L
< t < -
uC减小，i 减小
L释，C释
+
R
C -
L
- < t <
|uC |增大，i 减小
L释，C吸
+
R
C -
L
U0 uc uC i
0 -
0
U0
e
t
+ 2- 2
0
U
0
e
t
衰减振荡
t
欠阻尼
15
特例 R = 0 0
s1,2 ±j 0
us (t) (t)
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uS
(t)
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
1 LC
(t)
C + uL L -
18
d 2uC dt 2

第7章二阶电路

设通解：Uc 1 A 2t）e （A
根据初始条件求A、 A2： 1 Uc（0 ） A 1 dUc dt
0
R 则特征方程有重根：P 1 P2 P 2L
Pt
iL 0 ）（ A 2 PA1 C
分析可知， uc 、iL 波形图与过阻尼情况类似。 ——临界非震荡过程（临界阻尼）, R为临界电阻 11
P1 , 2 R 1 R P1 268 P2 3732 2L LC 2L — 过阻尼放电过程
2
16
Uc A1eP1t A 2eP2t A1e- 2 6 8 t A 2e- 3 7 3 2 t
4）由初始条件求 A1、A 2 条件1 Uc(0) 10V ： dUc dUc 条件2： iL(0) 0又iL ic -C dt dt Uc(0) A1 A 2 10V
di (2)初始条件： L(0)、 L 0 i dt diL 10 iL(0) 2A Uc(0) 0 5 dt
d 2iL L diL CL iL 0 2 dt R dt
0
Uc(0) 0 22 L
(3)根据特征方程确定R的范围： RCLP2 LP R 0 1 1 2 1 P ( ) 2RC 2RC CL
情况4：零阻尼情况即R=0（欠阻尼特例）
os( 0 t )
(t 0)
零阻尼情况下，电路响应为等幅振荡的正弦函数， 0称为无阻尼振荡角频率。电场和磁场不断进行着完全的能量交换，但总能量并不减少，任一时刻的电路总能量都等于电路的初始储能。
特征根为两个不相等的负实根P1、P2
设通解：Uc(t) A 1eP1t A 2e p2t （1）

二阶电路的零输入响应讲义

?提出问题
LC s2+RC s+1=0
列微分方程特征根(即电路的自然频率)为
?解决问题
?结果分析
解微分方程
结果
s1 ? ? RC ?
( RC )2 ? 4LC 2LC
?? R ? 2L
? R ?2 ?? 2L ??
?
1 LC
s2
?
?
R 2L
?
? R ?2 ?? 2L ??
?
1 LC
二阶电路的零输入响应
α2
?
ω
2 0
??
?
α 2 ? ω02 ??
?提出问题
?解决问题
?结果分析
参数不同时，S1，S2为：
列微分方程
s1、s2为不等的负实根
解微分方程结果
2.R ? 0,? ? ? 0 (R ? 2
L C
),
s1、
s2实重根
3.R ? 0,? ? ? 0 (R ? 2
L ),
C
s1s2为一对共轭复根
u(t) ?
I0
(e s1t ? e s2t )
C(s1 ? s2 )
i(t) ?
C
du dt
?
(
s1
I0 ?
s2
)
(
s1e
s1
t
?
s2es2t )
4.R ? 0, s1s 2为一对共轭虚根
二阶电路的零输入响应
u(t) ? 2C
I0
(e s1t ? e s2t )
α2
d 2u
du
LC dt 2 + RC dt + u = 0
初始条件解微分方程 (initial condition )

二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点(仅供借鉴)

二、实验原理用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。

二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。

分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。

二阶方程一般都为齐次方程。

2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态）t h e A A f σ)21+=（此时，CL R 2=，二阶电路为临界状态。

3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态）t h e t f σβω-+=)sin( 此时CL R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。

这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系以及电流电压波形。

三、实验内容电路中开关S 闭合已久。

t=0时将S 打开，并测量。

1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ）如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。

波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。

2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH ）如图所示，为临界状态的二阶电路图。

图展示了临界状态下的C U 的波形。

波形图展示了临界状态下的C U 和L U 波形。

3、过阻尼状态（R=10Ω,C=1mF,L=1mH ）如图所示，为过阻尼状态下的二阶电路图。

RLC串联电路的零输入响应——欠阻尼情况

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衰减因子或衰减系数： = L/2R 称为衰减因子，越大，衰减震荡的振幅衰减得就越快，反之则越慢。
震荡角频率： d 称为震荡角频率， d 越大，衰减震荡的震荡速度就越快，震荡周期越小，反之则速度越慢、周期越大。
包络线(envelope)：按 ±Ke – t 变化的曲线，将震荡信号包裹在中间，其衰减速度取决于。
阶段总结
（1）综上所述，电路的零输入响应取决于电路的固有频率 s 。固有频率可以是实数、复数或虚数，决定了零输入响应是非震荡过程（过阻尼、临界阻尼）、衰减震荡过程或等幅震荡过程。
（2）我们可以认为固有频率 s 是复频率（固有频率只有实部或虚部是其特殊情况）。
（3）一阶网络的固有频率 s= – 1/，=RC或L/R，是负实数，表示一阶网络的零输入响应是按指数规律衰减的非震荡过程。
（8-35）
其中常数K1 和 K2 由初始条件确定。其确定方法为
uC(0) = K1 u’C(0) = –K1
+
dK2
=
iL(0) C
（8-36）（8-37）
K2
=
1 d
iL(0) C
+
K1
=
1 d
iL(0) C
+
uC(0)
（8-38）
为了便于反映响应的特点，将式（8-35）进一步改写为
uC(t) = e – t K12 +K22
等幅震荡：当电路中电阻为零时， = 0，包络线±Ke – t 变
成 ±K 两条与 t 轴平行的直线，因此震荡信号就变成幅度恒定的等幅震荡。能量在L、C之间无损失地交替转换储存。
将K1u和C(t)K=2代uC入(0式) （0d 8e-–39t ）cos可(得dt–) +

RLC串联电路的零输入响应方程和特征根

RLC串联电路的零输入响应方程和特征根
二阶电路:可用二阶常微分方程描述的电路称为二阶电路。

如图7-15所示RLC串联电路。

选择各元件的电压与电流为关联参考方向的情况下，由KVL得
其中：
即
化简得
上式是二阶常系数线性齐次微分方程，可见RLC串联电路属于二阶电路。

为求解方程，令
称δ为衰减系数，为回路谐振角频率。

则
这样，得到二阶齐次方程的特征方程为
所以，RLC串联电路零输入响应可写成
式中A、B是积分常数，由初始条件确定。

电路的初始条件有三种情况：uc(0-)，iL(0-)都不为零；uc(0-)不为零，iL(0-)为零；uc(0-)为零，iL(0-)不为零。

这三种情况的分析过程是相似
的，这里只分析
的情况。

即充了电的电容器对没有储能的电感线圈放电的情况。

由于δ的取值不同，则会有三种情况：
即。

二阶电路的零输入响应

§5.6 二阶电路的零输入响应5.6.1 二阶电路的初始条件初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。

第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压C u 的极性和流过电感电流L i 的方向；第二，电容上的电压总是连续的，即)0()0(-+=C C u u （5-31）流过电感的电流也总是连续的，即)0()0(-+=L L i u （5-32）确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。

5.6.2 R L C 串联电路的零输入响应如图5-37所示为RLC 串联电路。

开关S 闭合前，电容已经充电，且电容的电压0U u C =，电感中储存有电场能，且初始电流为0I 当0=t 时，开关S 闭合，电容将通过L R 放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R 转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。

+-L u C图5-37 RLC 串联电路的零输入响应由图5-37所示参考方向，据KVL 可得0=++-L R C u u u且有dtdu C i C C -=，dt du RC Ri u C R ==，dt u d LC dt di L u CL 2-==。

将其代入上式得022=++C CC u dtdu RC dt u d LC 式（5-33）是RLC 串联电路放电过程以C u 为变量的微分方程，为一个线性常系数二阶微分方程。

如果以电流i 作为变量，则RLC 串联电路的微分方程为022=++i dtdi RC dt i LC d （5-34）在此，仅以C u 为变量进行分析，令Aeu ptC =，并代入（5-33），得到其对应的特征方程012=++RCp LCp 求解上式，得到特征根为LCL R L R P LC L R L R P 1221222221-⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= （5-35）因此，电容电压C u 用两特征根表示如下：t p tp C e A eA u 2121+= （5-36）从式（5-35）可以看出，特征根1p 、2p 仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。

二阶电路分析——LC震荡的推导

二阶电路分析-—LC 震荡的推导如图9。

16所示，RLC 串联电路零输入响应的数学分析依KVL ，得 0=-+C L R u u u按图9.16中标定的电压，电流参考方向有 dtdu Ci C-= dtdu RCRi u CC -== 22dtu d LC dt diL u C L -==将以上各式代入KVL 方程，便可以得出以 C u 为响应变量的微分方程,为022=++C CC u dt du RC dt u d LC ()0≥T （9。

10）式（9.10）为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为012=++RCp LCp其特征根为20222,1122ωαα-±-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=LC L R L R p 式中:L R 2/=α称为衰减系数；LC /10=ω称为固有振荡角频率。

1.几种不同情况的讨论(1）当(R/2L)2〉1/LC 时，1p 、2p 为不相等的负实根，称为过阻尼情况。

特征根为2022,1ω-±-=a a p微分方程的通解为()tp t p C e A e A t u 2121+= (9.11）其中待定常数1A 、2A 由初始条件来确定,其方法是：当+=0t 时刻，则由式(9。

11）可得()21A A t u C +=对式(9.12)求导，可得+=0t 时刻()t u C 对t 的导数的初始值为()()()Ci p A p A dt t du u t C C+=+-=+=='+0022110联立求解式（9。

12)和式（9.13)，便可以解出1A 、2A . 根据式(9.11)可知，零输入响应()t u C 是随时间按指数规律衰减的，为非振荡性质。

()t u C 的波形如图9。

17所示。

（2）。

当()LC L R /12/2=时， 1p 、2p 为相等的负实根, 称为临界阻尼情况。

特征根为a p p -==21 微分方程的通解为()()at C e t A A t u -+=21其中常数1A 、2A 由初始条件()+0C u 和()+'0C u 来确定。

二阶电路 RLC串联电路零输入响应

RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况

(完成)二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点

二阶电路分析

(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.

二阶电路分析——LC震荡的推导

电路第十四章 二阶电路

二阶电路分析——LC震荡的推导

第七章 二阶电路

信号与系统讲义-2

二阶电路讲义

RLC电路的零状态响应

关于RLC二阶电路的分析方法——电路的微分方程与初始条件(精)

《电路基础》第17讲 二阶电路分析 (1)

第7章 二阶电路

二阶电路的零输入响应讲义

二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点(仅供借鉴)

RLC串联电路的零输入响应——欠阻尼情况

RLC串联电路的零输入响应方程和特征根

二阶电路的零输入响应

二阶电路分析——LC震荡的推导

电路第十四章二阶电路

第七章二阶电路

《电路基础》第17讲二阶电路分析 (1)

第7章二阶电路