线性代数(经管类)第六章(同步练习)
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西南大学第二学历
A.一定合同 B.一定相似 C.即相似又合同 D.即不相似也不合同
5.设 A，B 为正定阵，则（ ） A. AB，A+B 都正定 B. AB 正定，A+B 非正定 C. AB 非正定，A+B 正定 D. AB 不一定正定，A+B 正定
【正确答案】
(2).【正确答案】 (3).【正确答案】 (4).【正确答案】
x12+2x22+3x32+2x1x2-4x1x3+2x2x3 y12+y22-y32+0y42；y1=根号 2x1，y2=2y3，y3=根号 3x2，y4=x4 充分必要
(5).【正确答案】 充分必要
三、计算题 1.【正确答案】 f（x1,x2,x3）=x12+2x1 （x2+x3）+（x2+ x3）2-（x2+ x3）2+2x22-x32 =（ x1+x2+x3）2-（x2+ x3）2+2x22-x32 =（ x1+x2+x3）2+x22-2x2x3-2x32 =（ x1+x2+x3）2+（x2-x3）2-3x32 令 x1+x2+x3=y1, x2-x3=y2,x3=y3 =>x1=y1-y2-2y3，x2=y2+y3，x3=y3 则有 f=y12+y22-3y32
|A|＞0，设 APj=λjPj，则 A-1Pj= Pj，A-1 的 n 个特征值 ，j=1,2,…,n，必都大于零， 这说明 A-1 为正定阵，X′A-1X 为正定二定型，同理，X′B-1X 为正定二次型， 对任意 n 维非零列向量 X 都有 X′（A+B）X=X′AX+X′BX＞0。 这说明 X′（A+B）X 为正定二次型， 由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以 X′ABX 未必为正定二次型。 7.【正确答案】 C
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因此二次型的标准型为 y12+y22，正惯性指数为 2，负惯性指数等于 0。 四、证明题。 (1).【正确答案】 设 A 的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，则 r=p+q，s=p—q。由不等式|p-q|≤p+q， 即知|s|≤r。 (2).【正确答案】 一个实对称矩阵是正定阵的充要条件是它合同于一个同阶单位阵，因为 A 及 B 正定， 存在可逆阵 C1 及 C2 使 C1′AC1=En，C2′BC2=En，做分块矩阵
3. 【正确答案】
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4.【正确答案】 用配方法化二次型为标准型，首先要有平方项才好进行配方，先进行线性变换：
5. 【正确答案】 对二次型的系数矩阵进行初等变换
, 则 f（x1,x2,x3）=______。 3.f（x1,x2,x3,x4）=2x12-3x22+4x32 的规范标准型为 f（y1,y2,y3,y4）=______。这时的线性变换是______。 4.二次型 f（x1,x2,….xn）的矩阵 A 的特征值全大于 0 是二次型 f（x1,x2,….xn）正定的______条件。 5.二次型 f（x1,x2,….xn）的顺序主子式 DK>0（k=1,2,…,n）是二次型 f（x1,x2,….xn）正定的______条件。 三、计算题
8.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 为正定的是（ ） A. A-1 正定 B. A 没有负的特征值 C. A 的正惯性指数等于 n D. A 合同于单位阵 二、填空题。 1.f（x1,x2,x3）=2x12-x22+3x32+2x1x2-4x1x3 的矩阵 A=______。 2.若 f（x1,x2,x3）的矩阵
1.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32 对应的矩阵是（ ）
2.设
3.实对称矩阵 A 的秩等于 r，又它有 t 个正特征值，则它的符号差为（ ） A.r B.t-r C.2t-r D.r-t 4.二次型 f=xTAx 经过满秩线性变换 x=Py 可化为二次型 yTBy，则矩阵 A 与 B（ ）
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2.【正确答案】
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西南大学第二学历习题集
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线性代数（经管类）
南
学 行 天 下
主编：西南大学第二学历办公室 整理：蜀东财经学校
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第六章 实二次型
一、单项选择题
3.k 为何值时? f（x1,x2,x3）=5x12+x22+kx32+4x1x2-2x1x3-2x2x3 正定。
4.用配方法将二次型 f（x1,x2,x3）= x1x2+x2x3 化成标准型，并写出所用的线性变换。
5.用初等变换法将下列二次型化为标准型并求正、负惯性指数：f（x1,x2,x3）=x12+2x22+2x1x2+4x2x3+4x32。 四、证明题。 1.若实对称阵 A 的秩为 r，符号差为 s，求证|s|≤r。
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2.若 n 阶实对称阵 A，B 是正定阵，求证：分块阵
也是正定阵。
答案部分
一、单项选择题 1.【正确答案】 C 【答案解析】 x1，x2，x3 平方项系数对应主对角线元素：1，0，4。x1，x2 系数-2，对应 a12 和 a21 系数的和， a12=-1,a21=-1。 2.【正确答案】 C 3.【正确答案】 C【答案解析】 A 的正惯性指数为 t，负惯性指数为 r-t，因此符号差等于 2t-r。 4.【正确答案】 A 【答案解析】 f=xTAx=（Py） TA（Py）= y T （PTAP） y= y TBy，即 B=PTAP，所以矩阵 A 与 B 一定合同。只 有当 P 是正交矩阵时，由于 PT=P-1，所以 A 与 B 即相似又合同。 5.【正确答案】 D 【答案解析】 ∵A、B 正定 ∴对任何元素不全为零的向量 X 永远有 X′AX＞0；同时 X′BX＞0。 因此 A+B 正定，AB 不一定正定，甚至 AB 可能不是对称阵。 6.【正确答案】 D 【答案解析】 因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵， 所以 A 的 n 个特征值λ1，λ2，…，λn 都大于零，
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【答案解析】 二次型的矩阵
所以 r（A）=1，故选项 C 正确，选项 A，B，D 都不正确。 8.【正确答案】 B 【答案解析】 A-1 正定表明存在可逆矩阵 C 使 C′A-1C=In，两边求逆得到 C-1A（C′） -1= C-1A（C -1） ′=In 即 A 合同于 In，A 正定，因此不应选 A。 C 是 A 正定的定义，也不是正确的选择。 D 表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵，于是只能 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。 二、填空题。 (1).
1.作变换，X=CY，使 f（x1,x2,x3）=x12+2x22-x32+2x1x2+2x1x3 变为标准型。
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2.作正交变换 X=CY，将 f（x1,x2,x3）=2x1x2+2x1x3+2x2x3 变为标准型。
6.设 f=X′AX，g=X′BX 是两个 n 元正定二次型，则（ ）未必是正定二次型。 A. X′（A+B）X B. X′A-1X C. X′B-1X D. X′ABX
7.二次型 f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3（ ） A.是正定的 B.其矩阵可逆 C.其秩为 1 D.其秩为 2
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A.一定合同 B.一定相似 C.即相似又合同 D.即不相似也不合同
5.设 A，B 为正定阵，则（ ） A. AB，A+B 都正定 B. AB 正定，A+B 非正定 C. AB 非正定，A+B 正定 D. AB 不一定正定，A+B 正定
【正确答案】
(2).【正确答案】 (3).【正确答案】 (4).【正确答案】
x12+2x22+3x32+2x1x2-4x1x3+2x2x3 y12+y22-y32+0y42；y1=根号 2x1，y2=2y3，y3=根号 3x2，y4=x4 充分必要
(5).【正确答案】 充分必要
三、计算题 1.【正确答案】 f（x1,x2,x3）=x12+2x1 （x2+x3）+（x2+ x3）2-（x2+ x3）2+2x22-x32 =（ x1+x2+x3）2-（x2+ x3）2+2x22-x32 =（ x1+x2+x3）2+x22-2x2x3-2x32 =（ x1+x2+x3）2+（x2-x3）2-3x32 令 x1+x2+x3=y1, x2-x3=y2,x3=y3 =>x1=y1-y2-2y3，x2=y2+y3，x3=y3 则有 f=y12+y22-3y32
|A|＞0，设 APj=λjPj，则 A-1Pj= Pj，A-1 的 n 个特征值 ，j=1,2,…,n，必都大于零， 这说明 A-1 为正定阵，X′A-1X 为正定二定型，同理，X′B-1X 为正定二次型， 对任意 n 维非零列向量 X 都有 X′（A+B）X=X′AX+X′BX＞0。 这说明 X′（A+B）X 为正定二次型， 由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以 X′ABX 未必为正定二次型。 7.【正确答案】 C
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因此二次型的标准型为 y12+y22，正惯性指数为 2，负惯性指数等于 0。 四、证明题。 (1).【正确答案】 设 A 的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，则 r=p+q，s=p—q。由不等式|p-q|≤p+q， 即知|s|≤r。 (2).【正确答案】 一个实对称矩阵是正定阵的充要条件是它合同于一个同阶单位阵，因为 A 及 B 正定， 存在可逆阵 C1 及 C2 使 C1′AC1=En，C2′BC2=En，做分块矩阵
3. 【正确答案】
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4.【正确答案】 用配方法化二次型为标准型，首先要有平方项才好进行配方，先进行线性变换：
5. 【正确答案】 对二次型的系数矩阵进行初等变换
, 则 f（x1,x2,x3）=______。 3.f（x1,x2,x3,x4）=2x12-3x22+4x32 的规范标准型为 f（y1,y2,y3,y4）=______。这时的线性变换是______。 4.二次型 f（x1,x2,….xn）的矩阵 A 的特征值全大于 0 是二次型 f（x1,x2,….xn）正定的______条件。 5.二次型 f（x1,x2,….xn）的顺序主子式 DK>0（k=1,2,…,n）是二次型 f（x1,x2,….xn）正定的______条件。 三、计算题
8.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 为正定的是（ ） A. A-1 正定 B. A 没有负的特征值 C. A 的正惯性指数等于 n D. A 合同于单位阵 二、填空题。 1.f（x1,x2,x3）=2x12-x22+3x32+2x1x2-4x1x3 的矩阵 A=______。 2.若 f（x1,x2,x3）的矩阵
1.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32 对应的矩阵是（ ）
2.设
3.实对称矩阵 A 的秩等于 r，又它有 t 个正特征值，则它的符号差为（ ） A.r B.t-r C.2t-r D.r-t 4.二次型 f=xTAx 经过满秩线性变换 x=Py 可化为二次型 yTBy，则矩阵 A 与 B（ ）
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2.【正确答案】
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第六章 实二次型
一、单项选择题
3.k 为何值时? f（x1,x2,x3）=5x12+x22+kx32+4x1x2-2x1x3-2x2x3 正定。
4.用配方法将二次型 f（x1,x2,x3）= x1x2+x2x3 化成标准型，并写出所用的线性变换。
5.用初等变换法将下列二次型化为标准型并求正、负惯性指数：f（x1,x2,x3）=x12+2x22+2x1x2+4x2x3+4x32。 四、证明题。 1.若实对称阵 A 的秩为 r，符号差为 s，求证|s|≤r。
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2.若 n 阶实对称阵 A，B 是正定阵，求证：分块阵
也是正定阵。
答案部分
一、单项选择题 1.【正确答案】 C 【答案解析】 x1，x2，x3 平方项系数对应主对角线元素：1，0，4。x1，x2 系数-2，对应 a12 和 a21 系数的和， a12=-1,a21=-1。 2.【正确答案】 C 3.【正确答案】 C【答案解析】 A 的正惯性指数为 t，负惯性指数为 r-t，因此符号差等于 2t-r。 4.【正确答案】 A 【答案解析】 f=xTAx=（Py） TA（Py）= y T （PTAP） y= y TBy，即 B=PTAP，所以矩阵 A 与 B 一定合同。只 有当 P 是正交矩阵时，由于 PT=P-1，所以 A 与 B 即相似又合同。 5.【正确答案】 D 【答案解析】 ∵A、B 正定 ∴对任何元素不全为零的向量 X 永远有 X′AX＞0；同时 X′BX＞0。 因此 A+B 正定，AB 不一定正定，甚至 AB 可能不是对称阵。 6.【正确答案】 D 【答案解析】 因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵， 所以 A 的 n 个特征值λ1，λ2，…，λn 都大于零，
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【答案解析】 二次型的矩阵
所以 r（A）=1，故选项 C 正确，选项 A，B，D 都不正确。 8.【正确答案】 B 【答案解析】 A-1 正定表明存在可逆矩阵 C 使 C′A-1C=In，两边求逆得到 C-1A（C′） -1= C-1A（C -1） ′=In 即 A 合同于 In，A 正定，因此不应选 A。 C 是 A 正定的定义，也不是正确的选择。 D 表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵，于是只能 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。 二、填空题。 (1).
1.作变换，X=CY，使 f（x1,x2,x3）=x12+2x22-x32+2x1x2+2x1x3 变为标准型。
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2.作正交变换 X=CY，将 f（x1,x2,x3）=2x1x2+2x1x3+2x2x3 变为标准型。
6.设 f=X′AX，g=X′BX 是两个 n 元正定二次型，则（ ）未必是正定二次型。 A. X′（A+B）X B. X′A-1X C. X′B-1X D. X′ABX
7.二次型 f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3（ ） A.是正定的 B.其矩阵可逆 C.其秩为 1 D.其秩为 2