二次微分方程的通解
二阶微分方程 (3)
二阶微分方程什么是二阶微分方程？在数学中，二阶微分方程是一个含有两个未知函数的微分方程。
它的一般形式可以表示为：a(x)y''(x) + b(x)y'(x) + c(x)y(x) = F(x)其中y(x)是未知函数，y'(x)和y''(x)分别表示y(x)的一阶和二阶导数。
a(x)、b(x)、c(x)和F(x)是已知函数。
通过求解二阶微分方程，我们可以找到函数y(x)的表达式，从而得到其图形和性质。
二阶微分方程的解法1. 齐次线性二阶微分方程的解法齐次线性二阶微分方程是指F(x) = 0的情况。
对于齐次线性二阶微分方程，我们可以使用特征方程的方法来求解。
具体步骤如下：1.将二阶微分方程变形为标准形式：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x)= 0。
2.假设y(x) = e^(rx)是方程的解，代入方程得到特征方程r^2 +p(x)r + q(x) = 0。
3.解特征方程得到两个不同的根r1和r2。
4.根据根的情况，分为三种不同的情况讨论：–当r1和r2都为实数时，解的形式为y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2是常数。
–当r1和r2为共轭复数时，解的形式为y(x) =e^(ax)(C1cosbx + C2sinbx)，其中C1和C2是常数，a和b是实数。
–当r1和r2相等且为实数时，解的形式为y(x) = (C1 + C2x)e^(rx)，其中C1和C2是常数。
2. 非齐次线性二阶微分方程的解法非齐次线性二阶微分方程是指F(x) ≠ 0的情况。
对于非齐次线性二阶微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
具体步骤如下：1.首先求解对应的齐次线性二阶微分方程，得到通解y_c(x)。
2.假设非齐次线性二阶微分方程的特解为y_p(x)，代入方程得到一个与F(x)相关的方程。
3.根据F(x)的形式选择合适的猜测函数，并代入方程求解特解y_p(x)。
二阶微分方程解法推导
二阶微分方程解法推导二阶微分方程解法推导是微积分学习中的重要内容，其解法可以通过特殊函数或变换得到。
在推导过程中，需要掌握基本的微分方程知识和线性代数知识，下面将分步骤进行阐述。
第一步，确定二阶微分方程的标准形式。
一般情况下，二阶微分方程的标准形式为 y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中p(x) 和 q(x) 是已知函数，f(x) 是右端函数。
第二步，找到对应的齐次线性微分方程的通解。
这是求解非齐次线性微分方程的关键步骤。
齐次线性微分方程是指右端项为零的微分方程。
通过把 y=f(x) 看作是 y 的一个特解，即 y_p(x)，可以将非齐次线性微分方程转化为齐次线性微分方程加上一个特解 y_p(x)。
这时，只需要求解齐次线性微分方程的通解 y_c(x) 即可。
y_c(x) 的解法一般是利用特征方程求解，得到 y_c(x) = C1y1(x) + C2y2(x)，其中 C1 和 C2 是常数，y1(x) 和 y2(x) 是齐次线性微分方程的两个线性无关解。
第三步，求解对应的特解 y_p(x)。
特解 y_p(x) 的求解需要通过适当的变换或采用特殊函数来解决。
一些特殊函数如幂级数、傅里叶级数、拉普拉斯变换等可以帮助我们求解特解。
通过将特殊函数带入到微分方程中，可以求得对应的特解 y_p(x)。
第四步，将特解 y_p(x) 和通解 y_c(x) 相加得到非齐次线性微分方程的最终解 y(x) = y_c(x) + y_p(x)。
这时，需要通过初始条件来解出常数 C1 和 C2，得到完整的非齐次线性微分方程的解。
二阶微分方程解法推导是微积分学中的重要内容，其中涉及到的知识点较多。
掌握了这些知识点之后，就可以较好地应对复杂的微分方程求解问题。
希望大家能够在学习过程中认真思考，不断提高自己的求解能力。
二阶微分方程解法推导
二阶微分方程解法推导二阶微分方程是数学中的一个重要的分支，它在物理、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二阶微分方程的解法推导，从而让读者更深入地理解二阶微分方程的求解方法。
首先，我们需要了解什么是二阶微分方程。
二阶微分方程是一个关于未知函数 y(x) 及其导数 y'(x) 和 y''(x) 的方程。
一般形式如下：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)其中 p(x)、q(x)、f(x) 都是已知函数。
对于这个方程，我们可以通过以下步骤来求解：第一步，找到其特征方程。
特征方程是 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0 的解。
我们可以假设其解为 y(x) = e^(mx)，将其代入特征方程中得到：m^2 + p(x)m + q(x) = 0解这个二次方程，可以得到两个根 m1、m2，它们可以是实数或复数。
第二步，根据根的情况分类讨论。
如果 m1 和 m2 都是实数且不相等，那么 y(x) 的通解为：y(x) = c1e^(m1x) + c2e^(m2x)其中 c1、c2 是任意常数。
如果 m1 和 m2 都是实数且相等，那么 y(x) 的通解为：y(x) = (c1 + c2x)e^(mx)其中 c1、c2 是任意常数。
如果 m1 和 m2 是复数共轭，即 m1 = a + bi，m2 = a - bi，那么 y(x) 的通解为：y(x) = e^(ax)[c1cos(bx) + c2sin(bx)]其中 c1、c2 是任意常数。
第三步，根据边界条件确定具体解。
通解中的常数需要根据边界条件来确定，从而得到具体的解。
通过以上三个步骤，我们可以求解二阶微分方程的解。
需要注意的是，当特征方程产生相同的根时，其求解方法会有所不同。
此外，对于特殊类型的二阶微分方程，也可以采用其他方法来求解。
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
第二节 两个自变量的二阶线性偏微分方程
u( x, y) f ( ( x, y)) g (( x, y)) f (1x 1 y) g(2 x 2 y)
： B 4 AC 0时，
Step2: 化方程为标准型，求其通解。 Step3: 将第二步所求通解中的变量 , 换成 x, y
的函数即可。 评点该方法： 化标准型的过程很麻烦，很容易出错。但
是对于一些特殊方程，它们的标准型有一定的规律，给
求解带来很大的方便。 三、 Auxx Buxy Cuyy 0的通解求法
四、 Auxx Buxy Cuyy D( x, y)的通解求法
Auxx Buxy Cuyy D( x, y)
的齐次方程(2)的通解与(6)的特解之和。 例4：u xx 4u xy 4u yy e
y
(5)
(5)是非齐次线性方程，易得到(5)的通解等于它所对应
y
u ( y), 代入方程得到： 解：设原方程的特解为
e 4u yy e , 可以找到一个特解为 u 4 设原方程的通解为 : ey u ( x, y ) xf (2 x y) g (2 x y ) 4
y
u( x, y) xf (2 x y) g (2 x y)
例3： uxx u yy 0
2
dy 解： 特征方程： 1 0 dx ix y C1 特征线： ix y C2
u( x, y) f (ix y)) g (ix y)
： B 2 4 AC 0时，
1x 1 y c1 1x 1 y 求出特征线： ,引入变量 2 x 2 y c2 2 x 2 y 其中1 ，2，1 ，2为复数
二阶微分方程解法
二阶微分方程解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0。
特征方程
r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py’+qy=0的通解。
两个不相等的实根r1,r2，y=C1er1x+C2er2x。
两个相等的实根r1=r2，y=(C1+C2x)er1x。
一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ，
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。
2.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=f(x)。
先求y”+py’+qy=0的通解
y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)。
则
y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解。
求
y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
①f(x)=Pm(x)eλx型。
令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数。
②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型。
令y*=xkeλx ［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数。
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本'''()y ay by f x ++=身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为(1)'''()y ay by f x ++=这里都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程b a 、(2)20k ak b ++=对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根。
则方程(1) 可以写成12k 、k'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记 , 则(1) 可降为一阶方程'2z y k y =-由一阶线性方程的通解公'1()z k z f x -= [5]()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰(3)知其通解为这里表示积分之后的函数是以为自变量的。
1130[()]xk xk tz e f t edt c -=+⎰0()xh t dt ⎰x 再由11230[()]x k xk t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰解得12212()()34012[(())]k k xxuk xk k ue y e ef t dt du c c k k --=++-⎰⎰应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k xxxk xk tk te e y ef t edt f t edt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰(4)1122121200121[()()]x x k x k t k xk t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰2 若特征方程有重根, 这时方程为k 或'''22()y ky k y f x -+='''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'1()xkxkx kt ey key e f t dt c ----=+⎰即10()()x kxkt d e y e f t dt c dx--=+⎰故(5)120()()xkx kt kx kx y ex t e f t dt c xe c e -=-++⎰例1 求解方程'''256xy y y xe -+=解 这里 的两个实根是2 , 32560k k -+=.由公式(4) 得到方程的解是2()x f x xe =332222321200xxx t t x t t x xy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200xxx t x x xe te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132xx x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里.321c c =-例2 求解方程'''2ln x y y y e x-+=解 特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程的解是2210k k -+=()ln x f x e x =120()ln xx t t x xy ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln xxx xe x t tdt c xe c e =-++⎰1200[ln ln ]xxxx xe x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰21213ln 24x x xx e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是, (6)'''()y py qy f x ++= , (7)'''0y py qy ++=其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方p q 、程(7) 的通解。
新三类二阶二次微分方程的解法及其通解公式
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第 1 卷! 第 3 期 ! 3$$" 年 " 月
株洲师范高等专科学校学报
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解二阶二次微分方程
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常系数二阶微分方程的齐次通解
常系数二阶微分方程的齐次通解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：附录2 常系数二阶微分方程的齐次通解常系数二阶齐次微分方程 0=+2+2022y dtdy dt yd ωα 设其中α、ω0都是正实数。
要使二阶微分方程有确定的解，必须知道两个初始条件：初始值y (0)和一阶导数的初始值0=t dt dy 。
这里只讨论齐次通解在一些典型的系数值下的特点，不求出解中的待定常数。
目的在于避免过多的数学式子，突出对有普遍意义的特征的认识。
尝试St e y =（S 为实的或复的常数）是否能为方程的解。
代入方程可得恒等式： 0=)+2+(202S S S e St ωα由此得到决定常数S 的特征方程： 0=+2+202ωαS S该一元二次代数方程的根为： 202-±-=ωααS因常数项的值不同，解的形式不同：1.自由振荡情况(无阻尼情况)（0=α）此时，S 是一对共轭虚数： 01j =ωS 02-j =ωS齐次通解为： t t e K e K t y 00-j 2j 1+=)(ωω变为常用的三角函数式 )+sin(=)(0θωt K t y这是一个等幅正弦振荡，ω0 是自由振荡角频率或谐振角频率。
K 和θ 是由初始条件决定的常数。
2.欠阻尼情况（ 0<<0ωα ）此时，S 是一对共轭复数： d 1j +-=ωαS d 2j --=ωαS齐次通解为： )+sin(=)(d -θωαt Ke t y t 这是一个衰减振荡。
其中，220-=αωωd （正实数）是衰减振荡角频率。
振幅按指数函数t e α-衰减，故称α为衰减系数。
K 和θ 是由初始条件决定的常数。
这种情况下，系统开始会有正弦振荡，但随时间而衰减，过一段时间后就消失。
3.过阻尼情况（0>ωα）此时，S 是两个负实数：2021-+-=ωααS2022---=ωααS齐次通解为： t t e K e K t y )---(2)-+(-1202202+=)(ωααωααK 1和K 2 是由初始条件决定的常数。
求解二阶微分方程
求解二阶微分方程二阶微分方程是指形式为$y''+f(x)y'+g(x)y=0$的方程，其中$f(x)$和$g(x)$是已知函数。
在下面的讨论中，我们将介绍如何求解这样的微分方程。
首先考虑形如$y''+ay'+by=0$的方程，其中$a$和$b$都是常数。
这样的方程称为常系数齐次线性二阶微分方程。
对于这类方程，我们可以根据特征方程$λ^2+aλ+b=0$的解来求解。
特征方程的解称为特征根。
1.如果特征方程的根是实数，假设为$r_1$和$r_2$，则方程的通解为$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。
2. 如果特征方程的根是共轭复数，假设为$α±βi$（其中$α$和$β$都是实数），则方程的通解为$y=e^{αx}(c_1\cos(βx)+c_2\sin(βx))$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。
注意：如果特征方程的根是重根，那么在通解中还需要考虑相应的$x$的幂函数项。
接下来考虑形如$y''+ay'+by=r(x)$的方程，其中$r(x)$是已知函数。
这样的方程称为非齐次线性二阶微分方程。
对于这类方程，我们可以先求解齐次线性二阶微分方程的通解$y_h(x)$，然后再寻找非齐次解$y_p(x)$，使得方程的通解为$y=y_h+y_p$。
非齐次线性二阶微分方程的非齐次解$y_p(x)$可以通过待定系数法或变异参数法来求解。
1.待定系数法待定系数法适用于$r(x)$为多项式函数、指数函数、三角函数或多个这些函数的线性组合的情况。
- 若$r(x)$为多项式函数，假设为$P_n(x)$（其中$P_n(x)$是$n$次多项式），则$y_p(x)$的形式为$y_p=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，将$y_p$代入方程，确定待定系数的值。
二阶偏微分方程求通解例题
二阶偏微分方程求通解例题
先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解
特征方程为2r²+r-1=0
(2r-1)(r+1)=0
r=1/2或r=-1
故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)
因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y*=Ae^x
则y*'=y*''=Ae^x
代入原方程得，2Ae^x=2e^x
A=1
故y*=e^x
所以原方程的通解为y=Y+y*
即y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)+e^x
解析：我们知道y'＝dy/dx.
也就是说dy/dx就是对y求导的意思！
那么现在d/dx后面接定积分，就是对定积分求导的意思，定积分是一个常数，常函数的导数是0！
如果d/dx后面接的是不定积分，比如说求d/dx∫f(x)dx，它的结果是什么呢？我们可以这样做，设f(x)的原函数是F(x)＋C，则F(x)＋C＝∫f(x)dx，
那么d/dx∫f(x)dx＝d/dx［F(x)＋C］＝F'(x)＋0＝f(x)，也就是说d/dx∫f(x)dx ＝f(x).
注意：千万不要把定积分与变上限积分搞混淆了，定积分是常数，而变上限积分是函数！。
齐次二阶线性微分方程通解
齐次二阶线性微分方程通解齐次二阶线性微分方程（SecondOrderLinearDifferentialEquations，简称SOLDE）是数学方面最重要的问题之一。
这类方程式经常出现在物理，工程，经济等领域，是理解物理世界的有效工具。
齐次二阶线性微分方程的基本形式为：$$a_{2}y^{}+a_{1}y^{}+a_{0}y=g(x)$$其中，$y$ 代表函数，$y^{}$ $y^{}$ 代表其导数，$a_{i}$ 代表系数，$g(x)$ 代表非齐次的项。
齐次二阶线性微分方程的解法大体包括：（1）利用特征方程求出特征根；（2）利用特征根求出特征线性表达式；（3）利用特征线性表达式求出通解。
一般来说，特征方程是$lambda^{2}+a_{1}lambda+a_{0}=0$，可求出特征根 $lambda_{1}=-bpmsqrt{b^{2}-4ac}$，中 $b$ $c$别是$a_{1}$ $a_{0}$对应值。
特征根 $ lambda_{1} $ 以及 $ lambda_{2} $值可以用来求出特征线性表达式，即$ y_{1}=c_{1}e^{lambda_{1}x},y_{2}=c_{2}e^{lambda_{2}x}$，$c_{1}$ $c_{2}$任意常数。
最后，可以利用非齐次项 $g(x)$出通解，即$y=c_{1}e^{lambda_{1}x}+c_{2}e^{lambda_{2}x}+intg(x)e^{-lambda_{1}x}dx$。
自然界中出现的大多数物理问题都可以用齐次二阶线性微分方程来解决。
比如，它可以描述圆柱面上的波动，电动势的分布，甚至是振荡运动等。
例如，$y^{}+16y=0$一个齐次二阶线性微分方程，他可以用来描述物体在固定点作对称正弦振荡运动，物体做位移 $A$，解为：$ y=Asin 8t+Bcos 8t $。
齐次二阶线性微分方程的重要性不言而喻，它适用于众多的应用场景，使物理学者们能够准确的描述和预测客观世界的运动状态。
二阶线性微分方程解的结构
因而线性无关, 故原方程通解为
代入初始条件 故所求特解为
微分方程解的结构 齐次线性微分方程的通解结构 非齐次线性微分方程的通解结构
1.下列函数组哪些是线性相关的？哪些是线性无关的？
（1） 2x, x 1
（2） sin x,cos x
（3） e x , e1 x
（4） 1, x3
（5） sin 2x, sin x cos x
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
定义9.6
线性相关
存在不全为 0容易看出 x 3x 线性相关， e x e 3x 线性无关
定理 9.2
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
2．验证 y1 cos x 及 y2 sin x 都是方程
y '' 2 y 0 的解，并写出该方程的通解。
3．验证
y
C1
cos
x
C2
sin
x
x 2
cos
x
是微分方程
y y sin x 的通解．
4．证明：若 y y1( x) 是线性方程 y p( x) y 0
的解，则 y Cy1( x) (C 为任意常数）也是该方程的解，
并写出这个方程。
应用微积分
应用微积分
二阶线性微分方程 当 f ( x) 0时，二阶线性齐次微分方程 当 f ( x) 0时，二阶线性非齐次微分方程
定理 9.1 若函数
是二阶线性齐次方程
的两个解, 也是该方程的解. (叠加原理)
证
为任意常数） 代入方程左边, 得
二阶常系数非齐次微分方程的通解
二阶常系数非齐次微分方程的通解要求给出二阶常系数非齐次微分方程的通解，我们先来回顾一下二阶常系数齐次微分方程的通解形式。
对于二阶常系数齐次微分方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=0$$我们可以设其解为$y=e^{rt}$，其中$r$为待定常数。
将$y=e^{rt}$代入上式，得到：$$r^2e^{rt}+are^{rt}+be^{rt}=0$$化简上式，可得：$$r^2+ar+b=0$$这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解得$r_1$和$r_2$。
对于$r_1$和$r_2$为实数的情况，通解形式为：$$y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
对于$r_1$和$r_2$为复数的情况，通解形式为：$$y=e^{at}(c_1\cos(bt)+c_2\sin(bt))$$其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
接下来我们来讨论二阶常系数非齐次微分方程的通解形式。
对于非齐次微分方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=f(t)$$其中$f(t)$为已知函数，我们首先要找到它的一个特解。
特解可以通过猜测的方法或变异参数法求得。
当特解已知时，我们可以将其带入原方程，然后设通解为特解加上齐次方程的通解。
设特解为$y_p$，齐次方程的通解为$y_c$，则原方程的通解可以表示为：$$y=y_c+y_p$$接下来，我们讨论特解的求解方法。
1.猜测方法：根据非齐次项的形式，我们可以猜测特解的形式，然后将其带入原方程，求解得到特解。
常用的猜测形式有：多项式、指数函数、三角函数、幂函数等。
2.变异参数法：假设特解为$y_p=u(t)y_c$，其中$y_c$为齐次方程的通解，$u(t)$为待定函数，代入原方程得到：$$\frac{d^2(u(t)y_c)}{dt^2}+a\frac{d(u(t)y_c)}{dt}+b(u(t)y_c)=f(t)$$化简后，整理得到：$$y_c\left[\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)\right]+\left[\frac{d^2y_c}{dt^2}+a\frac{dy_c}{dt}+by_c\right]u(t) =f(t)$$由于$\frac{d^2y_c}{dt^2}+a\frac{dy_c}{dt}+by_c=0$，所以上式可化简为：$$y_c\left[\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)\right] = f(t)$$我们可以通过选择合适的$u(t)$，使得$\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)$为一常数或一个已知函数。
二阶微分方程齐次解的通解一定有两个
一、引言微分方程是描述自然现象和工程实践中种种关系的数学工具，它的解对于理解和预测这些现象至关重要。
在微分方程的研究中，齐次二阶微分方程是一个非常重要的概念。
本文将对齐次二阶微分方程的齐次解进行深入探讨，探究其通解一定有两个的证明。
二、齐次二阶微分方程的定义齐次二阶微分方程可以写作形式为y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0的微分方程，其中p(x)和q(x)是定义在区间上的连续函数。
如果p(x)和q(x)是常数，则称为常系数齐次二阶微分方程。
三、齐次二阶微分方程的齐次解1. 定义齐次二阶微分方程的齐次解是指对应的齐次线性微分方程的解。
若y1(x)和y2(x)是齐次线性微分方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0的两个解，则它们的线性组合y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)也是这个微分方程的解，其中c1和c2是任意常数。
2. 通解的定义齐次二阶微分方程的通解指包含了其所有解的解集合，通解可以用线性组合的形式表示出来。
对于齐次二阶微分方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0，它的通解可以表示为y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)，其中y1(x)和y2(x)是方程的两个解，c1和c2是任意常数。
四、齐次解的通解一定有两个的证明1. Bernoulli公式对于齐次二阶微分方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0，我们可以通过Bernoulli公式进行变换，令y(x) = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是待定的函数。
带入方程后可以得到一个关于u(x)和v(x)的一阶常系数齐次线性微分方程。
通过适当的选择u(x)和v(x)，我们可以得到这个一阶微分方程的通解，从而得到原方程的通解。
二阶非齐次常系数微分方程的积分通解
二阶非齐次常系数微分方程的积分通解
二阶非齐次常系数微分方程的积分通解可以通过以下步骤得到：
首先，我们需要找到对应的二阶齐次常系数微分方程的通解。
这通常可以通过求解特征方程来完成。
假设特征方程为r2+ar+b=0，其解为r1和r2。
那么，齐次微分方程的通解就是yh=c1er1x+c2er2x，其中c1和c2是常数。
接下来，我们需要找到非齐次微分方程的特解。
这通常可以通过尝试法来完成。
假设非齐次项为f(x)，我们可以尝试一个形如yp=Axn的函数，其中A是待定的常数，n是非齐次项f(x)的最高次幂。
将yp代入原方程，解出A，得到特解yp。
最后，将齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解相加，就得到了原方程的积分通解：y=yh+yp。
需要注意的是，以上步骤仅适用于二阶非齐次常系数微分方程，对于其他类型的微分方程，求解方法可能会有所不同。
此外，在实际应用中，还需要根据具体的问题和条件，选择合适的求解方法和步骤。
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第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αxsin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x都是方程的解, 而由欧拉公式, 得 y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α-i β)x =e αx(cos βx -i sin βx ), y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αxsin βx 也是方程解. 可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αxsin βx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e αx(C 1cos βx +C 2sin βx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为r 2-2r -3=0, 即(r +1)(r -3)=0.其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y =C 1e -x +C 2e 3x . 例2 求方程y ''+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y'=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y'|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y''-2y'+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +⋅⋅⋅+p n-1y'+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n-1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y', D2y=y'', D3y=y''',⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项: e αx(C 1cos βx +C 2sin βx ); k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k -1);一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项:e αx [(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k -1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D k x k -1)sin βx ]. 例4 求方程y (4)-2y '''+5y ''=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.解 这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β. 因此所给微分方程的通解为 )2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y ''+py '+qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、 f (x )=P m (x )e λx型 当f (x )=P m (x )e λx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式Q ''(x )+(2λ+p )Q '(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).(1)如果λ不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则λ2+p λ+q ≠0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式: Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m -1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=Q m (x )e λx .(2)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0 的单根, 则λ2+p λ+q =0, 但2λ+p ≠0, 要使等式 Q ''(x )+(2λ+p )Q '(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +1 次多项式:Q (x )=xQ m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m -1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=xQ m (x )e λx .(3)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0的二重根, 则λ2+p λ+q =0, 2λ+p =0, 要使等式 Q ''(x )+(2λ+p )Q '(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +2次多项式:Q (x )=x 2Q m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m -1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=x 2Q m (x )e λx. 综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e λx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ''+py '+qy =f (x )有形如y *=x k Q m (x )e λx的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y ''-2y '-3y =3x +1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx型(其中P m (x )=3x +1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为y ''-2y '-3y =0,它的特征方程为r 2-2r -3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得-3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b , -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y .例2 求微分方程y ''-5y '+6y =xe 2x 的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为y ''-5y '+6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得-2b 0x +2b 0-b 1=x .比较两端x 同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b , -2b 0=1, 2b 0-b 1=0. 由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=.从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=.提示: y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]'=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]''=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x .y *''-5y *'+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]''-5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]'+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x -5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x=[2b 0+4(2b 0x +b 1)-5(2b 0x +b 1)]e 2x =[-2b 0x +2b 0-b 1]e 2x .方程y ''+py '+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式应用欧拉公式可得e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ] ]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i n x i x i l x ωωωωλ---++= x i n l x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=, 其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ''+py '+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解, 其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ''+py '+qy =e λx[P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= =x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx[P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ''+py '+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ-i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ''+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )属于e λx[P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y ''+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=.提示: y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *'=a cos2x -2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,=(2cx +a +2d )cos2x +(-2ax -2b +c )sin2x ,y *''=2c cos2x -2(2cx +a +2d )sin2x -2a sin2x +2(-2ax -2b +c )cos2x =(-4ax -4b +4c )cos2x +(-4cx -4a -4d )sin2x .y *''+ y *=(-3ax -3b +4c )cos2x +(-3cx -4a -3d )sin2x .由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a , 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .。