2005年高考理科数学(浙江卷)试题及答案(最新整理)

10．已知向量 a ≠ e ，| e |＝1，对任意 t∈R，恒有| a －t e |≥| a － e |，则
(A) a ⊥ e
(B) a ⊥( a － e ) (C) e ⊥( a － e ) (D) ( a ＋ e )⊥( a － e )
第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 把答案填在答题卡的相应位置
2005 年高考理科数学 浙江卷 试题及答案
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的
1 23 n
1． lim
＝(
n
n2
(A) 2
(B) 4
1
(C)
2
) (D)0
2．点(1，－1)到直线 x－y＋1＝0 的距离是( )
(Ⅰ)求函数 g(x)的解析式； (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)－|x－1|．
17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1, F2 在 x 轴上，长轴 A1A2 的长为 4，左
准线 l 与 x 轴的交点为 M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线 l1 ：x＝m(|m|＞1)，P 为 l1 上的动点，使
6
6
6
（2） f x 3 cos 2x 3 1 sin 2x
2
22
f
2
3 cos 1 sin
2
2
3 1 24
3 2
16sin2 4sin 11 0 ，
解得 sin 1 3 5 8
0, ,sin 0
故 sin 1 3 5 8
（16）本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识，以及运算和 推理能力 满分 14 分
∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD，
OB PC, PC BD, PB PC ，即 k 1
反之，当 k 1 时，三棱锥 O PBC 为正三棱锥， ∴O 在平面 PBC 内的射影为 PBC 的重心
方法二：
OP ∥ ∥ ABC ， OA OC, AB BC ，
OA OB,OA OP,OB OP.
同时考查学生的逻辑思维能力 满分 14 分
解：(Ⅰ)（i）
C42
1 3
2
2 3
2
1 3
8 81
(ii)随机变量 的取值为 0，1，2，3，；
解：(Ⅰ)设函数 y f x 的图象上任意一点 Q x0 , y0 关于原点的对称点为 P x, y ，则x0 y02 2
x y
0,
即
x0
0, y0
x, y.
∵点 Q x0, y0 在函数 y f x 的图象上
∴ y x2 2x，即y x2 2x, 故g x x2 2x
P
2
小；
(Ⅱ) 当 k 取何值时，O 在平面 PBC 内的射影恰好为△
D
PBC 的重心？
C
A
O
B
1 19．袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是 ，从 B
3 中摸出一个红球的概率为 p．
(Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止．(i)求恰好摸 5 次
1 m2 1
当且仅当 m2 1 | y0 | 时， F1PF2 最大，
Q m, m2 1 ,| m | 1
（18）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想
象能力和推理运算能力 满分 14 分
解：方法一：
P
(Ⅰ) ∵O、D 分别为 AC、PC 中点， OD∥ PA
停止的概率；(ii)记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布率及数 学期望 E ．
(Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12，将 A、B 中的球装在一起后，从中摸出一个 2
红球的概率是 ，求 p 的值． 5
20．设点 An ( xn ，0)， Pn (xn , 2n1 ) 和抛物线 Cn ：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中 an＝－2－ 1
三、解答题：本大题共 6 小题，每小题 14 分，共 84 分 解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤
15．已知函数 f(x)＝－ 3 sin2x＋sinxcosx． 25
(Ⅰ) 求 f( )的值； 6
(Ⅱ)
设 ∈(0，
)，f(
1
)＝
－
3 ，求 sin 的值．
2 42
16．已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)＝x2＝2x．
1
(A)
2
3
(B)
2
2
(C)
2
32
(D)
2
| x 1 | 2,| x | 1,
1
3．设 f(x)＝ 1 1 x2 ,
，则 f[f( )]＝(
| x | 1
2
)
1
(A)
2
4
(B)
13
9
(C)－
5
25
(D)
41
4．在复平面内，复数 i ＋(1＋ 3 i)2 对应的点位于( ) 1 i
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
在RtODF中，sin ODF OF 210 , OD 30
PA与平面PBC所成的角为arcsin 210 . 30
（Ⅲ）由(Ⅱ)知， OF ∥ ∥ PBC ，∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影
D
F C
E B
∵D 是 PC 的中点，
若点 F 是 PBC 的重心，则 B，F，D 三点共线，
2 2
a, h ,OG PB
1 6
a2
1 3
h2
0, h
2 a， 2
PA OA2 h2 a ，即 k 1 ，
zP
D
O
C
By
反之，当 k 1 时，三棱锥 O PBC 为正三棱锥，
∴O 在平面 PBC 内的射影为 PBC 的重心
（19）本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，
以 O 为原点，射线 OP 为非负 z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz （如图）
设 AB a, 则 A
2 2
a,
0,
0
,
B
0,
2 2
,
0
,
C
2 2 , 0, 0 ，
设 OP h ，则 P 0, 0, h
(Ⅰ)D 为 PC 的中点，
OD
2 1 4 a, 0, 2 h ，
(A) 1 (B) －1 (C) 2k＋1 (D) －2k＋1
9．设 f(n)＝2n＋1(n∈N)，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，记 P ＝{n∈N|f(n)∈P}，
Q ＝{n∈N|f(n)∈Q}，则( P ∩ ðN Q )∪( Q ∩ ðN P )＝( )
(A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7}
M
N
成角的大小等于_________．
A
B
13．过双曲线 x2 y2 1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于 x
a2 b2
轴的直线与双曲线相交于 M、N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线 的离心率等于_________． 14．从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取 2 个元素排成 一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母 O，Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法 种数是_________．(用数字作答)．
5．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8 的展开式中，含 x3 的项的系数是( )
(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121
6．设 、 为两个不同的平面，l、m 为两条不同的直线，且 l ，m ，有如下的
两个命题：①若 ∥ ，则 l∥m；②若 l⊥m，则 ⊥ ．那么
又 PA
2 2
a,
0, h
,OD
1 2
PA,OD
//
PA
，
A
x
OD∥ 平面PAB
(Ⅱ) k 1 ，即 PA 2a,h 2
7 a, 2
PA
2 a, 0, 2
7 2a ，
可求得平面 PBC 的法向量 n 1, 1,
1 7 ，
cosPA, n
PA n
210
当 y0 0 时， F1PF2 0 ；
当
y0
0 时， 0
F2 PF2
PF1M
2
，
只需求 tan F2PF2 的最大值即可
设直线
PF1 的斜率
k1
y0 m 1
，直线
PF2
的斜率
k2
y0 m 1
，
tan F2PF2
k2 k1 1 k1k2
2 | y0 | m2 1 y02 2
2 | y0 | m2 1 | y0 |
(Ⅰ)求 x2 及 C1 的方程． (Ⅱ)证明{ xn }是等差数列．
2005 年高考理科数学 浙江卷 试题及答案
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算 每小题 5 分，满分 50 分 （1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）A （9）A （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 分，满分 16 分
Pl
y
F1PF2 最大的点 P 记为 Q，求点 Q 的坐标(用 m 表示)．
l M A1F1
1
o
F2 A2 x
18．如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP⊥
底面 ABC．
1
(Ⅰ)当 k＝ 时，求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大
(Ⅱ)由 g x f x x 1， 可得2x2 x 1 0
当 x 1时， 2x2 x 1 0 ，此时不等式无解
当 x 1时， 2x2 x 1 0 ，解得 1 x 1 2
因此，原不等式的解集为
1,
1 2
（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角，点的坐标等基础知识，
（11） y 2x x R,且x 1 ；（12） 90 ；（13）2；（14）8424
1 x 三、解答题： （15）本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式等基础知识和基本的运算能力 满分 14 分
解：（1） sin
25
1 25 , cos
3
，
62
62
f
25 6
3 sin2 25 sin 25 cos 25 0
又PA 平面PAB ， OD∥ 平面PAB
(Ⅱ) AB BC，OA OC，
OA OB OC，
A
O
又 OP 平面ABC ， PA PB PC.
取BC中点E，连结PE，则BC 平面POE 作OF PE于F，连结DF，则OF 平面PBC
ODF是OD与平面PBC所成的角.
又 OD∥ PA ， PA 与平面 PBC 所成的角的大小等于 ODF ，
考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力 满分 14 分
解：(Ⅰ)设椭圆方程为 x2 y2 1a b 0 ，半焦距为 c ，则
a2 b2
MA1
a2 c
a,
A1F1
ac
由题意,
得
a2 2ca
a 4
2
a
c
a2 b2 c2
a 2,b 3,c 1
x2 故椭圆方程为
y2
1.
43
(Ⅱ) 设 P m, y0 ,| m | 1，
4n－ 2n1 ， xn 由以下方法得到： x1＝1，点 P2(x2，2)在抛物线 C1：y＝x2＋a1x＋b1 上，点 A1(x1，0)到 P2 的距离是 A1 到 C1
上点的最短距离，…，点 Pn1 (xn1 , 2n ) 在抛物线 Cn ：y＝x2＋an x＋bn 上，点 An ( xn ，0) 到 Pn1 的距离是 An 到 Cn 上点的最短距离．
(A) ①是真命题，②是假命题 (C) ①②都是真命题
(B) ①是假命题，②是真命题 (D) ①②都是假命题
7．设集合 A＝(x, y) | x, y,1 x y是三角形的三边长 ，则 A 所表示的平面区域(不含
边界的阴影部分)是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
8．已知 k＜－4，则函数 y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是( )
，
| PA | | n | 30
设 PA 与平面 PBC 所成的角为 ，则
sin | cosPA, n |
210
，
30
（Ⅲ） PBC 的重心 G
2 a, 6
2 1 6 a, 3 h ，
OG
2 a, 6
2 1 6 a, 3 h ，
OG ∥ ∥ PBC,OG PB ，
又 PB 0,
x
11．函数 y＝
(x∈R，且 x≠－2)的反函数是_________．
x2
12．设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DE⊥AB 于 E(如
D
C
图)．现将△ADE 沿 DE 折起，使二面角 A－DE－B 为 45，此时
点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B，则 M、N 的连线与 AE 所