最新港澳台侨联考培训班内部讲义：数学集合讲义,不含答案

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港澳台联招补习班内部资料：数学冲刺复习：三角函数

（Ⅰ）求函数 f x 的图像离原点 O 最近的对称中心的坐标，以及离 y 轴最近的对称轴的方程；（Ⅱ）求函数 f x 的最小正周期，并用作图法求方程 f x x 1 0 的根的个数.
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（20）设 ABC 为锐角三角形. 证明（Ⅰ） sin A sin B 1 cos C ；（Ⅱ） 2 sin A sin B sin C
3 3 . 2
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）（D）b<a<c
(2) 设函数 f ( x) tan( x ) ，则（） 3 6 1 1 (A) f (2) f (0) f ( ) (B) f (2) f ( ) f (0) 2 2 1 1 (C) f ( ) f (0) f (2) (D) f (0) f ( ) f (2) 2 2
）
（A）
（B）
1 3
（C）
3 4
（D）
1 2
（16）函数 y = log 1 （ cos x sin x ）（0 x
2
）的最小值为_____________________。 2
（23）求函数 f ( x) cos x sin x 2(cos x sin x)( x R ) 的值域.
3 4
23．在高出海面 hm 的小岛 A 处，看到正东方有一只船 B ，俯角为 30 ，又看到正西方偏南 30 的方向有另一只船 C ，俯角为 45 ，求 B 、 C 两船的距离.
A
O C B
六、三角函数最值 2．函数 y 3cos x 4sin x 的最大值为（）

港澳台侨联招考试：数学必考知识点：分布列大题(不含答案)

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北京博飞--华侨港澳台培训学校 16.一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球。（1）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率。
17.盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球．规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得 1 分．现从盒内一次性取 3 个球．（1）求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；（2）设为取出的 3 个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望．
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北京博飞--华侨港澳台培训学校 25.甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率 3 4 3 为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然 5 5 5 后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束. （I）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；（II）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；（III）求甲取得比赛胜利的概率. 解：（I）只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为： 3 4 12 P1 . 5 5 25 （II）只进行两局比赛，比赛就结束的概率为： 3 4 2 3 18 P2 . 5 5 5 5 25 （III）甲取得比赛胜利共有三种情形： 3 4 12 若甲胜乙，甲胜丙，则概率为； 5 5 25 …………4 分
6.一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球．（Ⅰ）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率。

港澳台学生联招补习班内部资料：数学必考：导数综合题2(含答案)

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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f '( x ) 的最小值为 12 ．
（Ⅰ）求 a ， b ， c 的值；（Ⅱ）求函数 f ( x ) 的单调递增区间，并求函数 f ( x ) 在 [ 1,3] 上的最大值和最小值．（Ⅰ）∵ f ( x ) 为奇函数，∴ f ( x ) f ( x ) 即 ax bx c ax bx c ∵ f '( x ) 3ax b 的最小值为 12 又直线 x 6 y 7 0 的斜率为 ∴ a 2 ， b 12 ， c 0 ．（Ⅱ） f ( x ) 2 x 12 x ．
2 ln x 2a ，x 0 ， x x
故 F ( x ) xf ( x ) x 2 ln x 2a，x 0 ，于是 F ( x ) 1 列表如下：
2 x2 ，x 0 ， x x x F ( x ) (0， 2) (2， ∞)
2

0 极小值 F (2)
2 0
极小
( 2, )
所以函数 f ( x ) 的单调增区间是 ( , 2) 和 ( 2, ) ∵ f ( 1) 10 ， f ( 2) 8 2 ， f (3) 18 北京博飞华侨港澳台学校
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1 2 x 2ax ， g ( x ) 3a 2 ln x b ，其中 a 0 ．设两曲线 y f ( x ) ， 2
y g ( x ) 有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用 a 表示 b ，并求 b 的最大值；（II）求证： f ( x ) ≥ g ( x ) （ x 0 ）．北京博飞华侨港澳台学校
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港澳台学生高考辅导：数学考前冲刺模拟8(不含答案)

数学测试一、选择题：本大题共12小题；每小题5分.1．设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()U U A B = 痧（）A ．{1}B ．{5}C ．{24}，D ．{1234}，，，2．已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等，且3，BC=2，则二面角A—BC—D 的大小是（）32)D (2)C (31arccos )B (33arccos)A (ππ3．若向量a 与b 不共线，0≠ a b ，且⎛⎫ ⎪⎝⎭ a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（）A ．0B ．π6C ．π3D ．π24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（）A ．63B ．45C ．36D ．275．若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．将函数a ax b y ++=的图象按向量()2,2-平移后，所得图象与原图象关于直线x y =对称，那么（）（A ）1,0a b =-≠（B ）1,a b R =-∈（C ）1,0a b =≠（D ）0,a b R=∈7．一圆锥的高为1，底面半径为3，过圆锥顶点的截面面积的最大值是（）A.1 B.3 C.2 D.328．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（）A ．]6,59[B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，C ．(][)36-∞+∞ ，，D ．[36]，9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A ．122B ．111C ．322D ．21110．已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）A ．15[,]24B ．13[,24C ．1(0,]2D ．(0,2]11．设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．63B ．12C ．123D ．2412．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（）A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.把答案填在对应的位置13.已知函数2cos (0)()1(0)a x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，在点0x =处连续，则a =．14.若数列101lg 110kk x ==∑，则()101lg kk x ==∑_______15.在空间直角坐标系中，若两直线32022230x y z x y z x y z ax y z ++=--=⎧⎧⎨⎨-+=++=⎩⎩与交于一点，则a =_______16.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为17.已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则点47,2(πA 到这条直线的距离.18.用21x x ++除多项式54321x x x x +-++，余式为__________.三、解答题：本大题共4小题；每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19.在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝23，tan 2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22A ．求A 、B 及b 、c ．20.将函数333()sin sin (2)sin (3)442f x x x x ππ=⋅+⋅+在区间(0,)+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{}n a ，(1,2,3,)n = .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12sin sin sin n n n n b a a a ++=，求证：1(1)4n n b --=，21.已知常数0a >，曲线C n ：y ＝nx 在其上一点P n (x n ，y n )的切线l n 经过定点(－a,0)(n ∈N *).（Ⅰ）求证：点列：P 1，P 2，…，P n 在同一直线上；（Ⅱ）求证：∑=<<+n i in y a n 12)1ln((n ∈N *).22.已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e 。

港澳台侨联考培训班内部讲义：数学数列练习答案

an 的前 n 项和 Sn. bn
4 1 2d q 21， 2 1 4d q 13，
解：（Ⅰ）设 an 的公差为 d ， bn 的公比为 q ，则依题意有 q 0 且解得 d 2 ， q 2 ．所以 an 1 (n 1)d 2n 1 ， bn q （Ⅱ）
（2）由（1）得 a3n 1 2
3n
bn ln 23n 3n ln 2 {bn } 是等差数列． n(b1 bn ) n(3 ln 2 3n ln 2) 3n(n 1) ln 2 。 2 2 2 1 1 1 ． S1 S 2 Sn

又 bn 1 bn 3ln 2n
两式相减得
（II） c a n 4n 2 ( 2n 1) 4 n 1 , n 2 bn 4 n 1
7．设数列 an 的前 n 项和为 S n 2 an 2 ，
n
1 1 3Tn 1 2(41 4 2 4 3 4 n 1 ) (2n 1)4 n [(6n 5)4 n 5]. Tn [(6n 5)4 n 5]. 3 9
a1 a 2 a 3 7，解：（1）由已知得 : ( a1 3) ( a 3 4) 3a2 . 2
解得 a2 2 ．
设数列 {an } 的公比为 q ，由 a2 2 ，可得 a1 又 S3 7 ，可知
2 ，a3 2q ． q
2 2 2 q 7 ，即 2 q 2 5q 2 0 ， q 1 解得 q1 2，q2 ．由题意得 q 1， q 2 ． a1 1 ． 2 n 1 故数列 {an } 的通项为 an 2 ．

北京港澳台联招补习班内部讲义：数学资料部分：三角函数与平面向量综合1

测试四三角函数与平面向量综合一、选择题(10×5分=50分)1．已知等腰三角形底角的正弦值为,32则顶角的正弦值是（A ）A ．594B ．592C ．594-D ．592-2．函数x y sin =的图象按向量)2,2(π-=a 平移后与)(x g 的图象重合,则函数=)(x g (A )A ．2cos +x B ．2cos --x C ．2cos -x D ．2cos +-x 3．等边ABC ∆的边长为1,设C AC b BC a AB ===,,,则=⋅+⋅+⋅a c c b b a （B ）A ．23B ．21C ．23-D ．21-4．已知,4-<k 则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是（A）A ．1B ．1-C ．12+kD ．12+-k 5．若θ是第三象限角，且2sin 2cossin 1θθθ+=+，则2θ是（B ）A ．第二、四象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．已知P 是ABC ∆所在平面内的一点，若R PB PA CB ∈+=λλ,。

则点P 一定在(B）A ．ABC ∆内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上7．把函数x x y sin cos 3-=的图象按向量)0()0,(>-=m m a 平移，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是（D）A ．6πB ．3πC ．π32D ．π658．在ABC ∆中，下列三角表达式：①C B A sin )sin(++②AC B cos )cos(++③2tan 2tanCB A +④2sec 2cosAC B +，其中恒为定值的是（B）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④9．已知ABC ∆中,点D 在BC 边上,且DB CD 2=,,AC s AB r CD +=则s r +的值(D)A ．32B ．34C ．3-D ．010．设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若PB PA AB OP ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是(B )A ．112λ≤≤B ．2112λ-≤≤C ．12122λ≤≤+D ．221122λ-≤≤+二、填空题（6×5=30）11．︒︒-︒25cos 25sin 5cos 2的值为312．函数)32sin(4π--=x y 的单调减区间是5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦_____________13．直角坐标平面上向量)3,2(),1,4(-==OB OA 在直线λ上的射影长度相等，则直线l 的斜率为3或12-_____________14．已知j i ,为互相垂直的单位向量，j i b j i a λ+=-=,2，且b a ,的夹角为锐角，则实数λ的取值范围1(,2)(2,)2-∞-⋃-__________15．在AOB ∆中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若5-=⋅OB OA ，则AOB ∆的面积为_532_________16．在ABC ∆中，O 为中线AM 上的一个动点，若2=AM ，则)(OC OB OA +⋅的最小值是___-2_________三、解答题：17．（本题10分）设πππ471217,53)4cos(<<=+x x ，求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值。

港澳台华侨联考真题：数学必考：导数讲义及练习

导数的应用知识点讲解一.导数的运算导数的定义如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′|0x x =。

即f′（x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：①求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）②求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00③取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim（在极限存在的前提下。

若极限不存在，则导数不存在）连续就是左值等于右值；可导是“左值等于右值，且左导等于右导”例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 几个结论:（1）奇函数的导函数是偶函数。

（2）偶函数的导函数是奇函数。

（3）周期函数的导函数是周期函数，且周期不变。

（4）轴对称函数在对称轴处的导数为零（特别的偶函数有()00f '=），奇函数没有此性质。

1.常见函数的导数（1）0C '=(C 为常数)（2）()1m m x mx -'=（m Q ∈）（3）()x xe e '=（4）()ln x x a a a '=（5）()1ln x x'=（6）()11log log ln a a x e x a x'==（7）()sin cos x x '=（8）()cos sin x x'=-2.两个函数和、差、积、商的导数若()f x 、()g x 的导数都存在，则（1）()f g f g '''±=±（2）()f g f g f g '''=+ （3）()20f f g f g g g g '''⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数设()u g x =在点x 处可导，()y f u =在()u g x =处可导，则复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦在点x 处可导，且()()()()f g x f u g x '''=⎡⎤⎣⎦ 。

港澳台华侨联招：数学必考知识点：解三角形2(含答案)

答案： 3 2. .3. 1. 4. 1. 6
解析：由
A+C=2B
及
A+
B+
C=180°知，B
=60°．由正弦定理知，
1 sin
A

3 sin 60
，即 sin
A

1 2
．由
a

b
知，
A B 60 ，则 A 30 ，
可得
15 sin 60

10 sin B
解得 sin B

3 ，又因为 b a ，则 B A ，故 B 为锐角， 3
所以 cos B 1 sin 2 B 6 ，故 D 正确. 3
二、填空题答案
b2 c2 a2 1

1. 解析：由已知得(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc.∴ 2bc = 2 .∴∠A= 3 .
4．解：由正弦定理，令
a b c k,则 sin A sin B sin C
sin A a ,sin C c . 由已知条件 2 sin A cos B sin C 得
k
k
2 a cos B c , cos B c . 故余弦定理得
k
k
2a
c a2 c2 b2 , a2 b2 0, a b a b 0,
.
5. 在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c， b a 6 cos C ，则 tan C tan C =_________。
ab
tan A tan B
三、解答题 1.在△ABC 中，已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的长.

港澳台联招培训班内部资料：数学--等差等比数列(含答案)

等差等比数列1．等差数列}{n a 中，n S 为前项n 和，已知20162016=S ，且2000162016162016=-S S ，则1a 等于（）A ．2016-B ．2015-C ．2014-D ．3201-2．设{}n a 为递减等比数列，1121=+a a ，1021=⋅a a 则1210lg lg lg a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.35B.－35C.55D.－553．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列；2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()5283S a a =+，则53a a 的值为（）A.16 B.13 C.35 D.565．设n S 为等比数列{}n a 的前项和，已知2343-=a S ，2332S a =-，则公比q =（）A.3B.4C.5D.66．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25,352==S a ，则=8a （）A ．13B ．14C ．15D ．167．已知等差数列的前三项依次为1,1,23a a a -++，则此数列的第n 项为（）A ．25n -B ．23n -C ．21n -D ．21n +8．等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，12321n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+等于（）A.2(21)n -B.1(21)3n - C.1(41)3n - D.41n -9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若85=S ,2010=S ,则15S 等于（）A ．16B ．18C ．36D ．3810．已知11n n a n -=+，那么数列{}n a 是（）A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列11．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1n nS n =+，则51a =（）A ．56B ．65C ．130D ．3012．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则1{}n a 的前100项和为（）A ．100101B ．99100C ．101100D ．20010113．在各项都不相等的等差数列{a n }中，a 1，a 2是关于x 的方程x 2－7a 4x ＋18a 3＝0的两个实根．(1)试判断－22是否在数列{a n }中；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最大值．14．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－48，求k 的值．15．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且124,,a a a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足()()111n n n b a a =-+，若数列{}n b 前n 项和n T .16．等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭，（Ⅰ）求n a ；17．在等差数列{}n a 中，1122,20a a =-=.（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）若12...n n a a a b n +++=，求数列{}3n b 的前n 项和.18．已知数列满足，前项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的通项．19．已知等差数列的前项和为，且满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．20．在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值.21．已知数列{}n a的前n项和,232nn nS-=.（1）求{}n a的通项公式；（2）设11nn nba a+=，数列{}n b的前n项和为n T,.22．已知数列{}n a 的通项公式为1,32n a n N n *=∈-.（1）求数列2n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ；（2）设1n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T .23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n +∈均在函数32y x =+的图象上.(1)求证：数列{}n a 为等差数列；(2)设n T 是数列13{}n n a a +的前n 项和，求使20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .24．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且满足16a =，2a ，6a ，14a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是1与n a 的等差中项.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .26．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且2215a a a =．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记S n 为数列{}21n a -的前n 项和，求S n27．已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和为n S 满足21()2n n a S +=，设10()n n b a n N =-∈.（1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最大值.28．数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+．（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式参考答案1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．C 7．B 8．C.9．C 10．B 11．D 12．D 13．（1）－22不在数列{a n }中；（2）30.14．（1）a n ＝3－2n ；（2）k ＝8.15．（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）21n n T n =+.16．（1）2 1.n a n ∴=-；17．(1)24n a n =-;(2)3118n n S -=.18．（1）;（2）．19．（Ⅰ）;（Ⅱ）.20．(1);（2)21．(1)32n a n =-；(2)1．22．（1）23n S n =；（2）31n n T n =+.23．(1)详见解析(2)1024．（1）24n a n =+；（2）2(2)n n +.25．（I ）21n a n =-；（II ）11.21n T n =-+26．（1）a n ＝2或a n ＝4n －2，（2）2n S n =或242n S n n=-27．（1）证明见解析，12-=n a n ；（2）25.28．（1）证明见解析；（2）()211n a n =-+．。

港澳台学生联考数学复习资料：含答案

y1 x1

2p y1 y2
( x1

x2 )
将 y1 y2 2 y0 ( y0 0) 代入得
k AB

2p y1 y2
p y0
，所以 k AB 是非零常数
北京博飞华侨港澳台学校
7
网址：
北京博飞--华侨港澳台培训学校如图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2），A（ x1 , y1 ），B（ x2 , y2 ）均在抛物线上．
B（ x2 , y2 ）（I）求该抛物线上纵坐标为 p 的点到其焦点 F 的距离 2 （II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 y2 的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数. y0
y
P
O A
解：（I）当 y p 时， x p
2
8
又抛物线 y 2 2 px 的准线方程为 x p 2
【答案】B
B． y2 x2 1 12 24
C． x2 y2 1 12 24
D． x2 y2 1 24 12
11. 记 cos(80) k ,那么 tan100 （ C ）
（A）— k 1 k2
（B） k 1 k2
（C）— 1 k 2 k
（D） 1 k 2 k
A． (, 4]
B． (, 4)
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C． (4, 4]
D．[4, 4]
1
网址：
【答案】D
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7. 已知直线 y x m 是曲线 y x2 3ln x 的一条切线，则 m 的值为（）
B．（－2,2） D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

港澳台联考最新数学考纲

港澳台联考最新数学考纲华侨港澳台联考考纲数学（2017版）这是北京学桥港澳台联考中心录入的最新版（2017版）数学考纲，为港澳台联考学生保驾护航。

北京学桥华侨港澳台联考培训中心是专业从事华侨港澳台联合招生考试的权威培训机构，有丰富的港澳台联考培训经验，学校配备了专业的老师，统编了权威的教材，并根据考纲和历年统考真题编写的针对性的联考练习及测试题。

Ⅰ．考试要求1．正确理解和掌握中学数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法.2．熟练运用本大纲规定范围内的数学知识和方法解决问题（包括简单的应用问题）.Ⅱ．考试内容A．代数(algebra)1．数(number)有理数、无理数和实数，绝对值，复数及复数的四则运算，复数的模.2．代数式(algebraic expression)整式、分式及其运算，因式分解，根式及其运算，二次根式的有理化.3．方程(equation)一元二次方程的解法及其应用，一元二次方程的根与系数的关系，二元一次联立方程组和三元一次联立方程组的解法，简单无理方程的解法.4．不等式(inequality)不等式及其性质，简单不等式的证明，一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法.5．集合(set)集合，子集，交集，并集，补集6．函数(function)的概念及其性质函数，函数符号，函数的定义域与值域，函数的性质：单调性、奇偶性、周期性.7．一次函数(y=ax+b, a≠0)，二次函数(y=ax2+bx+c,a≠0)，反比例函数(y=k /x, k≠0)，幂函数(y=x a)，它们的图像和性质.8．指数函数(y=a x,a>0且a≠1)，对数函数(y=log a x, a>0且a≠1，以10为底的常用对数记作lg x )，它们的图像和性质，对数换底公式，简单的指数方程和对数方程的解法，指数函数与对数函数互为反函数.9．基本初等函数及其简单复合函数的导函数函数的导数的几何意义.运用函数的导函数研究函数的单调性与极值、最值.10．数列(sequence)等差数列及其通项公式和前n项之和的公式，等比数列及其通项公式和前n项之和的公式.11．加法原理，乘法原理，排列及排列数公式，组合及组合数公式.12．二项式定理，数学归纳法(mathematical induction) .13．多项式(polynomial)多项式，余式定理，因式定理.B．三角(trigonometry)1．角的度量和角的弧度制，锐角的正弦( sin)、余弦(cos) ，正切(tan )和余切(cot)的定义.2．化任意角三角函数为锐角三角函数的公式(诱导公式)，同角三角函数间的关系公式，正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的图像及其性质.3．直角三角形的解法及其应用，正弦定理和余弦定理以及它们在斜三角形解法中的应用.4．两角和与差的三角函数公式，二倍角的正弦、余弦、正切和余切公式，半角的正弦、余弦、正切和余切公式.5．简单的三角方程与不等式.C．解析几何(analytic geometry)1．坐标系(coordinate)平面直角坐标系，两点间的距离公式，线段的定比分点公式.2．向量(vector)向量，有向线段与向量，平面向量的数量积.3．直线的倾斜角与斜率，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式方程，两条直线平行和垂直的条件，两条直线所成的角，两条直线的交点，点到直线的距离.4．曲线与方程，简单的轨迹问题.5．圆的标准方程和一般方程，椭圆的定义、标准方程、图形及其性质，双曲线的定义、标准方程、图形及其性质，抛物线的定义、标准方程、图形及其性质.6．坐标轴的平移，利用坐标轴平移将缺xy项的二元二次方程化为标准方程.7．空间中的直线与平面，平面方程式，空间直线方程式.D．立体几何(solid geometry)1．空间两条直线的位置关系，平行于同一条直线的两条直线，一个角的两边和另一个角的两边分别平行时两角间的关系，两条异面直线所成的角.2．直线与平面的位置关系，直线和平面平行的判定与性质，直线与平面垂直的判定与性质，斜线在平面上的投影，直线与平面所成的角.三垂线定理(如果在平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直)及其逆定理.3．两个平面的位置关系，两个平面平行的判定和性质，二面角，两个平面垂直的判定和性质.4．正棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的体积和侧面积，球体的体积和表面积，5．正命题、逆命题、否命题和逆否命题间的关系，必要条件和充分条件.6．空间直角坐标系.空间向量基本定理.空间向量的加法运算、数乘向量运算、向量的数量积(点积)运算及其坐标表示.空间向量运算的几何意义.7．运用空间向量计算空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.E．统计与概率(statistic and probability)1．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.了解分层抽样和系统抽样方法.2．会用样本的频率分布估计总体分布.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.3．理解古典概型及其概率计算公式.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.4．会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.5．了解条件概率的概念和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布.6．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量均值、方差的概念解决一些实际问题.7．借助直方图，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.Ⅲ．考试形式及试卷结构1．考试时间为120分钟，满分150分.2．考试采用闭卷笔答方式，用钢笔或圆珠笔作答，不许用红色笔，不许用铅笔.3．文理科考生使用同一份试卷.4．考试可使用计算器和圆规、直尺等绘图仪器.5．各部分知识内容的比例代数约45%三角约15%解析几何约20%立体几何约10%统计与概率约10%6．各种题型的比例试卷包括选择题、填空题和解答题三种题型.选择题为四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出计算或推证过程；解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程.试卷中三种题型所占的分数比例:选择题约40%填空题约20%解答题约40%。

港澳台学生高考辅导：数学考前冲刺模拟6(不含答案)

数学测试一、选择题：本大题共12小题；每小题5分.1.下列函数中为奇函数的是（）A ．2sin xx y =B ．x xe y 2-=C ．22sin 2x x y x --=D ．x x x x y sin cos 2+=2.将函数2y x =的图象按向量a 平移后，得到()212y x =+-的图象，则（）A.()1,2a = B.()1,2a =- C.()1,2a =- D.()1,2a =-- 3．设连续可导函数()x f 为奇函数，且()20='x f ，则()=-'0x f （）A ．-2B ．21C ．2D ．21-4．若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ=（）A ．15B ．14C ．13D ．125.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为（）A ．14B ．55C ．12D 5-26.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）A.43 B.23 C.2 D.37.等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，108111,2108S S a =--=，则11S =（）（A ）－10（B ）10（C ）－11（D ）118．正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（）A.90° B.60° C.45°D.30°9.若z 为复数，且2z =,则4z z+的虚部是（）A ．0B ．1C ．2D ．410.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种11.在正四棱锥P ABCD -中，60APC ∠= ，则二面角A PB C --的平面角的余弦值是（）（A ）17（B ）17-（C ）12（D ）12-12.在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(3，1)到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为（）A ．3B ．2C ．4D ．1二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.把答案填在对应的位置13.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.14.在正三棱柱111ABC A B C -中，若11,AB A C ⊥则1A A AB =15.在极坐标系中,曲线1C :2sin )1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上,则a =_______.16.已知函数())cos 3f x x ϕ=+，若()()y f x f x '=+是偶函数，则ϕ=17.过点()1,2,1且与两直线210,10x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩和20,0x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩都平行的平面方程是18.多项式x 4–2x 2–3x –2与x 3–2x 2–x +2的最大公因式是三、解答题：本大题共4小题；每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19.函数()()26cos 3302x f x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若03()5f x =,且0102(,33x ∈-,求0(1)f x +的值.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立.(Ⅰ)求1a ,2a 的值;(Ⅱ)设10a >,数列110{lg }na a 的前n 项和为n T ,当n 为何值时,n T 最大?并求出n T 的最大值.21.已知函数()11ax x f x e x-+=-。

港澳台联招辅导班内部资料：数学--等比数列简单题(含答案)

48．364
4
n2 n
北京博飞华侨港澳台学校
网址：
n2
参考答案 6．B 16．A 26．D 36．B ，2
n 1
7．A 17．C 27．D 37．A
8． C 18．B 28．C 38．B 44． 121
9．B 19．C 29．D 39．D
10．D 20．C 30．A 40．C 45． 1 50． 2017
3 2
1 . 2
49． 2
46． 512
）
1 3.
1 9
）
32．已知等比数列的前三项分别是 a 1, a 1, a 4 ，则数列的通项公式 an 为（
3 A. 4 2
n
3 B. 4 2
满足 C. -2
n 1
2 C. 4 3
，
n
2 D. 4 3
）
24．已知数列 an 是递增的等比数列， a1 a3 a5 21 ， a3 6 ，则 a5 a7 a9 （ A.
）
21 4
B.
21 2
C. 42
D. 84 ）
25．已知数列 an 满足 a2 2 ， 2an 1 an ，则数列 an 的前 6 项和 S 6 等于（ A.
b2 的值为（ a1 a2
）
3 10
B.
3 10
C.
3 10
D. 1
29．已知等差数列 an 的公差为 2，若 a1 , a3 , a4 成等比数列，则 a3 （ A. 10 B. 6 C. 8 D. 4
）
30．已知等比数列 an 中， a2 a5 18 ， a3 a4 32 ，若 an 128 ，则 n =（ A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 ） 31．等比数列 an 的前 n 项和为 S n ，已知 S3 a2 10a1 ， a5 9 ，则 a1 （ A.

港澳台高考辅导班内部讲义：数学必考：导数简单大题

导数大题1．已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =。

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及极值．2．设函数()x ax x f ln 2+=．（Ⅰ）当1-=a 时，求函数()x f y =的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）已知0<a ，若函数()x f y =的图象总在直线21-=y 的下方，求a 的取值范围；3．已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+．（Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥．4．已知函数()ln (0)a f x b x c a x=++>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为20x y --=．（1）用a 表示b c ，；（2）若函数()()g x x f x =-在(0,1]x ∈上的最大值为2，求实数a 的取值范围．5．已知函数()316f x x x =+-．（1）求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．6．已知函数e a ax e x f x,0(1)(>--=为自然对数的底数)．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）若0)(≥x f 对任意的R ∈x 恒成立，求实数a 的值．7．设函数；（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）讨论的单调性．8．已知：函数21()(1)2f x x ax ln x =--+，其中a R ∈．（Ⅰ）若2x =是()f x 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．9．已知函数()ln()(0)x a f x ax a -=->（1）求函数()f x 的最值；（2）当1a =时，是否存在过点(1,1)-的直线与函数()y f x =的图像相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．10．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()y f x =的极值．11．已知函数()f x =alnx+x 2+bx+1在点（1,f （1））处的切线方程为4x−y−12=0。

港澳台侨联考培训班内部资料：数学--数列大题练习2(不含答案)

数列针对练习21.已知数列{}n a 的前n 项和11(22n n n S a -=--+（n 为正整数）。

（Ⅰ）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；2.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）证明数列{}2n na 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式。

3.已知数列{}n a 满足，*11212,,n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n nb a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

4.已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）证明.111112312<-++-+-+nn a a a a a a 5.已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n N +=++∈（I）证明数列{}1n a +是等比数列；（II）求数列{}n a 的通项公式。

6.已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项和为n T ,满足22n n T S n =-,n ∈*N .(Ⅰ)求1a 的值;(Ⅱ)证明数列{}2n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式.9.已知数列{}n a 中,11a =,前n 项和2n n n S a +=.(Ⅰ)求23,a a ;(Ⅱ)求{}n a 的通项公式.10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,n ∈*N ,且1a 、25a +、3a 成等差数列.(Ⅰ)求1a 的值;(Ⅱ)证明数列{}2n n a +(2n ≥)是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式;。

最新港澳台华侨生联考：数学二轮复习：综合练习4(不含答案)

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综合练习四
一、选择题 1. tan 690° 的值为（Ａ．
3 3
2
）
3 3
Ｂ．
Ｃ． 3
Ｄ． 3
2i 2. 复数等于（ 1+i
A． 4i B． 4i
） C． 2i D． 2i
3. 在等比数列 {an } （ n N * ）中，若 a1 1 ， a4 A． 2
f (1) 的 f (0)
5 2
Ｃ． 2
Ｄ．
3 2
二、填空题 13. 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是 14. 在 △ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，若 a 1 ，b= 7 ， c ；，．
20. 已知数列 an 和 bn 满足 a1a2 an （1）求 an 与 bn ；（2）设 cn
2 n N .若 a 为等比数列，且 a 2, b
bn n 1
3
6 b2 .
1 1 n N 。记数列 cn 的前 n 项和为 S n . an bn
3 ，则 B
15. 某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A，B，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修
4 门，共有_____种不同的选修方案．（用数值作答）
16. 正三棱锥 P ABC 的高为 2 ，侧棱与底面 ABC 成 45 角，则点 A 到侧面 PBC 的距离为_____．
2 2
(1， 0) ．
（I）证明 CACB 为常数；

（II）若动点 M 满足 CM CA CB CO （其中 O 为坐标原点），求点 M 的轨迹方程．

港澳台侨联考补习班内部资料：数学--等差数列简单题(含答案)

30．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 4, S4 22, an 28, 则 n （）
A. 3 B. 7 C. 9 D. 10
31．公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a6 3a4 ，且 S10 a4 ，则的值为（）
1
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14．在等差数列an 中， a7a11 6 ， a4 a14 5, 则该数列公差 d 等于（ )
1
A.
4
B. 1 或 1 32
C. - 1 4
D. 1 或- 1 44
15．若公差为 2 的等差数列an 的前 9 项和为 81，则 a9 （）
5．B 15．C 25．D 35．B
参考答案 6．D
16．C 26．C 36．C
7．C 17．B 27．C 37．B
8．D 18．B 28．B 38．A
43． 48．55
44．-13 49．2017
9．A 19．C 29．C 39．A
10．D 20．A 30．D 40. B
45．51 50．101
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A. 1 B. 9 C. 17 D. 19
16．设等差数列an 的公差 d 0 ， a1 2d ，若 ak 是 a1 与 a2k7 的等比中项，则 k （）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 17．数列{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为 4 的等差数列．若 an ＝bn，则 n 的值为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
50．在等差数列中，前 m 项（m 为奇数）和为 135，其中偶数项之和为 63，且 am a1 14 ，则 a100 的值为____．

港澳台联考辅导班内部讲义：数学必考导数：切线方程

B．1
C．
3 2
D．2
14．等比数列 A. 2
6
a n 中，
B. 2
9
a1 2, a8 4
，函数
12
f ( x ) x ( x a1 )( x a 2 ) ( x a8 )
D. 2 ）
15
，则 f ' (0)
C. 2
2
15．.若 f ( x) 2 xf '(1) x ，则 f '(0) 等于（ A. 4 B. 2
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A．0 B．2 C．0 或 2
2
D．3 （）
24．若曲线 f ( x ) a cos x 与曲线 g ( x ) x bx 1 在交点 (0, m) 处有公切线，则 a b （A） 1
x
（B） 0
（C） 1
（D） 2 )
25．曲线 y e 在点 A 处的切线与直线 x y 3 0 平行，则点 A 的坐标为( （A） 1, e 1
18．函数 y cos 2 x 在点 ( A． 4x 2y 0
, 0) 处的切线方程是（ 4
3
） D． 4x 2y 0 ）
B． 4x 2 y 0
C． 4 x 2 y 0
19．直线 y＝kx＋1 与曲线 y＝x ＋ax＋b 相切于点 A(1,3)，则 2a＋b 的值为（ A．2 B．－1 C．1 D．－2 20．过点 (1,1) 且与曲线 y x 2 x 相切的直线方程为（ A． x y 2 0 或 5 x 4 y 1 0 C． x y 2 0 或 4 x 5 y 1 0

港澳台学生高考辅导：数学考前冲刺模拟1(不含答案)

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20. 已知函数 f ( x ) ax (1 a ) ln x （1）当 a 0 时，求 f ( x ) 的极值；
1 , (a R) ． x
（2）当 a 0 时，求 f ( x ) 的单调区间；
21.
设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，若 an 1 2S n 2
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11. 已知双曲线
x2 y2 1(a 0, b 0) ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M ， N 两点， O 为坐标 a 2 b2
） D．
原点，若 OM ON ，则双曲线的离心率为（ A．
1 3 2
B．
1 3 2
x
C．
1 5 2

1 2
B． 1, 2
C． 1, 2
D．， 1 ）
1 2
8. 已知 a ， b 为异面直线，下列结论不正确的是（．．． A．必存在平面使得 a / / ， b / / C．必存在平面使得 a ， b
后关于 y 轴对称，则满足此条件的值为（） 8 3 3 5 A． B． C． D． 4 8 4 8 2 2 2 10. 若抛物线 C : y 2 x cos A （其中角 A 为 ABC 的一个内角）的准线过点 ( , 4) ，则 cos A sin 2 A 的值为 5
19. 已知在 ABC 中, cos A
6 , a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边． 3
（1）求 tan 2 A ；
（2）若 sin(
2 2 , c 2 2 ,求 ABC 的面积． B) 2 3