信号与系统笔记

第一章：

在连续时间范围内有定义（指定义域是连续，值域不一定连续）的信号称为连续信号。

在离散的瞬间有定义（指定义域是离散，值域不一定离散）的信号称为离散信号。 周期：连续信号周期：T = 2

π/ β

离散信号周期： T = 2

π/ β （T 为无理数时周期不存在，T 为有

理数且为整数时即为周期，为有理数但不是整数则T = T . Β）

第一章重要公式：

+/+//

--()()()()(0)t t dt t t dt ∞

∞∞

∞

∂Φ=-∂Φ=-Φ⎰

⎰

()()()t

r t x dx t t εε-∞=

=⎰

()()t t x dx ε-∞=

∂⎰

()()t t t dx -∞

'∂=

∂⎰

()1t dt +∞-∞

∂=⎰

()0t dt +∞-∞'∂=⎰

()()(0)()f t t f t ∂=∂

11()()()f t t t f t ∞-∞

∂-=⎰

第二章：

卷积：1212()()()()()f t f t f t f f t d τττ∞

-∞=*=-⎰

卷积积分：交换律

1221()()()()f t f t f t f t *=*

分配律1231213()[()()]()()()()f t f t f t f t f t f t f t *+=*+* 组合律123123[()()]()()[()()]f t f t f t f t f t f t **=**

重要公式： ()()()()()f t t f t t f t *∂=*∂=

111()()()()()f t t t t t f t f t t *∂-=∂-*=-

第三章：

一个方程由齐次解和特解组成：

齐次解： 齐次方程为单实根则齐次解可设为 k

c λ

特解： 激励为 m k 特解设为 11110...m m m m p k p k p k p --++++

激励为

k

a

特解设为

k pa （a 不是特征根）

0()k pk p a +（a 为特征单根）

激励为cos

()k β 特解设为 cos()sin()p t Q t ββ+

或sin()k β

零输入响应：系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应。 零输入响应满足条件：

()()zi y n y n -=-

零状态响应：系统的初始状态为零，仅由激励引起的响应。 零状态响应满足条件：(1)(2)...()0zs zs zs y y y n -=-==-=

单位序列：

1,(0)

0,(0)(){k k k =≠∂=

单位阶跃：

0,(0)

1,(0)

(){k k k ε<≥=

单位序列响应g(k ）与单位阶跃h(k)关系：

()()()

k

i j g k h i h k j ∞

=-∞

===-∑∑

()()(1)h k g k g k =--

离散信号卷积和：

121

2

()()()()()i f k f k f k f i f k i ∞

=-∞

=*=

-∑

第四章： 傅里叶级数一般式：

1212()cos()cos()...cos()cos()...

2

a f t a t a t

b t b t =+Ω+Ω++Ω+Ω+ 011

cos()sin()2n n n n a a n t b n t ∞

∞

===+Ω+Ω∑∑ 其中：22

()cos(),

0,1,2, (2)

T n

T T a f t n t dt n -=Ω=⎰

22

()sin(),

1,2, (2)

T

n T T

b f t n t dt n -=Ω=⎰

任意函数f(t ）都可分解为奇函数和偶函数两部分：

()()()f t f t f t =+奇偶

其中：()()

()=

2

f t f t f t --奇

()+(-)

()2

f t f t f t =

偶

傅里叶级数的指数形式：

1()2n j jn t

jn t n n n n f t A e e F e ϕ∞∞

ΩΩ=-∞

=-∞

==∑∑

其中：2

2

1(),0,1,2,...T jn t n

T F f t e dt n T -Ω-==±±⎰

频域与时域的转换关系： 时域转换为频域：

()()j i F j f t e dt

ωω∞--∞

=

⎰

频域转换为时域：1

()()2j t f t F j e d ωωωπ

∞

-∞

=⎰

时域转换为频域的特殊公式：

()1

12()()()1()()2sgn()n n

t t j t j t j πωωεπωω

ω

∂↔↔∂∂↔↔∂+

↔