13.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
非正弦信号及傅立叶级数分解
13.1 非正弦周期信号
特点：周期性；非正弦。
例如：（见幻灯片）
13.2 周期函数分解为傅立叶级数
一、傅立叶级数的收敛定理：
按照傅立叶级数展开法，任何一个满足狄里赫利(Dirichlet)条件的非正弦周期信号(函数)都可以分解为一个恒定分量与无穷多个频率为非正弦周期信号频率的整数倍、不同幅值的正弦分量的和。
二、几种典型的非正弦周期函数信号的展开式
（见幻灯片以及本章附表13-1）
三、将方波展开为傅立叶级数
利用EWB5.12软件仿真各次谐波叠加的结果
令E m =1，πω1001=，（f=50Hz ），计算得出：A 1=1.27，A 3=0.42，A 5=0.25，
A 7=0.18，A 9=0.141
演示曲线合成，分量越多越接近方波。
四、频谱（见幻灯）
定义：用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率高低把它们依
次排列起来
五、利用对称性简化傅立叶级数的计算
1.纵轴对称：（偶函数）b k =0
2.关于原点对称：（奇函数）a k =0
3.镜对称：该波形移动半周期后与横轴对称，a 2k =b 2k =0。
28第二十八讲 非正弦周期信号及傅里叶级数
Akm
2 2 a k bk
ak Akm cosk bk Akm sin k
k arctan(
bk ) ak
Akm e jk ak jbk
f (t )
A0 2
A1m cos( 1t 1 ) A2 m cos(21t 21 )
四、课堂小结
１、非正弦周期信号；
２、分解为傅里叶级数；
布置作业
１、预习：
§１３－３ ～§１４－５
0
1
2
f ( t ) cos(k 1 t )d ( 1 t )
f ( t ) cos(k 1t )d ( 1t )
1
2 bk T 1
0
T
2 f ( t ) sin(k 1 t )dt T
f ( t ) sin(k 1t )dt f ( t ) sin(k 1t )d ( 1t )
Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k ) 2 k 1
傅里叶级数是一个无穷三角级数。展开式中:
A0/2—为周期函数f(t)的恒定分量（或直流分量）； A1mcos(ω 1t +1 ) —为一次谐波（或基波分量），其
周期或频率与原周期函数f(t)相同；
还可以写成另一种形式: f (t ) A0 A1m cos( 1t 1 ) A2 m cos(21t 21 ) 2
Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k ) 2 k 1
两种形式系数之间的关系如下:
第十三章
非正弦周期电流电路和 信号的频谱
非正弦周期信号及其分解
k =1 ∞
∑ = a0 + (ak cos kωt + bk sin kωt)
∫ bk
=
2 T
T
u(t) sin kωtdt
0
k =1
当k为奇数时： bk
=
4
kπ
∫ ∫ =
2(
1
sin kπtdt +
2
− sin kπtdt)
20
1
当k为偶数时： bk = 0
= − cos kπt 1 + cos kπt 2 = 2(1− cos kπ )
k =1
当k为奇数时： bk
=
4
kπ
当k为偶数时： bk = 0
u(t) = 4 (sin πt + 1 sin 3πt + 1 sin 5πt + ⋅⋅⋅ + 1 sin kπt + ⋅⋅⋅)
π
3
5
k
k为奇数
图示为周期电压u(t) 的一段波形，求u(t)的傅里叶级数。
u(V ) 1
基波+三次+ 五次谐波分量
∑ ∑ f (t) = A0 + Akm sin(kωt +θk ) = a0 + (ak cos kωt + bk sin kωt)
k =1
k =1
a0 = A0
ak = Akm sinθk bk = Akm cosθk
A0 Akm
= a0 =
ak2
+
bk2
θ
k
=
arctan
k =1
k =1
T
∫0 f (t) sin kωtdt
非正弦周期信号汇总
第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱重点：1. 非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值；2. 非正弦周期电流电路的平均功率3. 非正弦周期电流电路的计算方法难点：1. 叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用2. 非正弦周期电流电路功率的计算章与其它章节的联系：三相电路可以看成是三个同频率正弦电源作用下的正弦电流电路，对它的计算，第九章正弦电流电路中所阐述的方法完全适用。
§13.1 非正弦周期信号生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。
在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点：1) 不是正弦波2) 按周期规律变化，满足：（k=0，1，2…..）式中T 为周期。
图 13.1 为一些典型的非正弦周期信号。
图13.1（a）半波整流波形（b）锯齿波（c）方波本章主要讨论非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。
采用谐波分析法，实质上就是通过应用数学中傅里叶级数展开方法，将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量，最后，把所得分量按时域形式叠加得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。
§13.2 周期函数分解为付里叶级数电工技术中所遇到的非正弦周期电流、电压信号多能满足展开成傅里叶级数的条件，因而能分解成如下傅里叶级数形式：也可表示成：以上两种表示式中系数之间关系为：上述系数可按下列公式计算：（k=1，2，3……）求出a0、a k、b k便可得到原函数f(t) 的展开式。
注意：非正弦周期电流、电压信号分解成傅里叶级数的关键在于求出系数a0、ak、bk ，可以利用函数的某种对称性判断它包含哪些谐波分量及不包含哪些谐波分量，可使系数的确定简化，给计算和分析将带来很大的方便。
非正弦周期函数的有效值和平均功率
iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
上页 下页
直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值 五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
上页 下页
（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页 下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页 下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱.
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
1. 非正弦周期函数的分解 根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足“狄里 赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。 ∞
2019年4月2日星期二
Lectured By 1 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
基本要求
正确理解非正弦周期电流电路中的有效值、平均功率的 概念， 掌握非正弦周期电流电路的分析方法。
Lectured By 4 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.1 非正弦周期信号
i o
尖顶波
T 2
T
非正弦信号有周期性和非周期性之分。 周期信号满足 f(t) = f(t+kT) 当 f(t) 不是单一频率的正弦波时，它就是非正弦周期信号。
2019年4月2日星期二
Lectured By 3 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算
T /2
0
ak
2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk
Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1
km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
电路 第五版邱关源 第十三章
bk 0
－T/2 o
f (t)
T/2
T/2
t
f (t ) f ( t )
③奇谐波函数
ak 0
-T/2
o f (t)
t
T f (t ) f (t ) 2
k 1
a2 k b2 k 0 o
T/2
T
t
9
f 2013-12-8 a0 [ak cos k1 t bk sin k1t ] (t )
4.166 89.53 mV U5 2
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 ) 4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
2013-12-8
34
例
解 C1中只有基波电流， 说明L和C2对三次谐波 发生并联谐振。即：
第13章 非正弦周期电流电路 和信号的频谱
13.1 非正弦周期信号
13.2 周期信号分解为傅里叶级数 13.3 有效值、平均值和平均功率 13.4 非正弦周期电流电路的计算
13.5 对称三相电路中的谐波
2013-12-8
1
13.1 非正弦周期信号
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压 周期性锯齿波
IS0
R
I S 0 78.5μA
电容断路，电感短路
Uo
U0 RIS 0 20 78.5 10 1.57mV
6
2013-12-8
30
（b)基波作用
is1 100 sin 10 t μA
6
1 1 j1kΩ 6 12 j1C j10 1000 10 j1 L j10 10 j1kΩ
非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(
k1t)
令：
A0 a0，Akm ak2 bk2
cos k
ak Akm
，sin
k
bk Akm
k
arctan
bk ak
f (t) A0 Akmcos k cos(k1t) sin k sin( k1t) k 1
2
2
0 iS (t) cos ktd (t)
2Im
1 k
sin
kt
0
0
11
bk
1
2
0 iS (t) sin ktd(t)
Im
(
1 k
cos k
t)
0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk
2Im
k
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
U0 20 78 .5106 1.57 mV
78.5A R U0
26
基波分量单独作用：
IS1
100 2
90
70.7
90
A
IS1
R jXC(1)
U1
jXL(1)
X C (1)
1
C
1k
X L(1) L 1k
Z1
(R jX L(1) ) jX C(1) R jX L(1) jX C(1)
13.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
f(t)
f(t)
O
t
O
t
1、偶函数 纵轴对称的性质 f(t) = f(-t)
可以证明： bk=0
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin(k1t)] k 1
展开式中只含有余弦项分量和直流分量
f (t) a0 ak cos(k1t) k 1
bk
2 T
T
2 T
f (t) sin(k1t)dt
叠加定理
三、f(t)的频谱
傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期 函数分解的结果，但不很直观。
为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包 含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，
用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 按频率的高低顺序把它们依次排列起来， 得到的图形称为f(t)的频谱。
1、幅度频谱 各次谐波的振幅用相应线段依次排列。 Akm
二、傅里叶级数的两种形式
1、第一种形式
f
(t)
a0 2
[a1 cos(1t) b1 sin(1t)]
[a2 cos(21t) b2 sin(21t)]
[ak cos(k1t) bk sin(k1t)]
a0 2
[ak
k 1
cos(k1t)
bk
sin(k1t)]
系数的计算公式
a0
O ω1 3ω1
2ω1 4ω1
kω1
2、相位频谱
把各次谐波的初相用相应线段依次排列。
例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱
f(t)
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
解：f(t)在第一个周期内的表达式为
T
邱关源《电路》笔记及课后习题(非正弦周期电流电路和信号的频谱)【圣才出品】
第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱13.1 复习笔记一、非正弦周期函数的傅里叶分解1．周期函数分解为傅里叶级数设周期函数f（t）＝f（t＋kT）（k＝0，1，2…），T为周期。
若给定的f（t）满足狄里赫利条件，那么它就能展开成一个收敛的傅里叶级数，其数学表达式为其中，各个参数的表达式如下A0＝a0φk＝arctan（－b k/a k）2．周期函数的谐波定性分析定性判断周期函数存在哪些谐波成分，然后具体计算各次谐波的幅值与相位。
（1）f（t）为奇函数，即f（t）＝－f（－t），f（t）的展开式中只能含有奇函数，即（2）f（t）为偶函数，即f（t）＝f（－t），f（t）的展开式中只含有偶函数，即（3）f（t）为奇谐波函数，即f（t）＝－f（t±T/2），f（t）的展开式中只含奇次谐波，即（4）f（t）为偶谐波函数，即f（t）＝f（t±T/2），f（t）的展开式中只含直流分量和偶次谐波，即二、有效值、平均值和平均功率1．非正弦周期电流电路的有效值和平均值设非正弦周期电流其有效值、平均值的计算方法如表13-1-1所示。
表13-1-1注：①非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值的平均值；②正弦量平均值I av＝0.898I。
2．非正弦周期电流电路的功率计算（1）非正弦周期电流电路的瞬时功率为（2）非正弦周期电流电路的平均功率为其中，φk＝φuk－φik，k＝1，2…。
即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。
（3）非正弦周期电流电路的视在功率：S＝UI。
三、非正弦周期电流电路的计算在非正弦周期激励电压、电流或外施信号作用下，分析和计算线性电路的方法，主要利用傅里叶级数展开法——谐波分析法。
计算步骤：（1）把已知的非正弦周期电压u（t）或电流i（t）展开成傅里叶级数，高次谐波取到哪一项，要根据所需准确度的高低而定；（2）应用叠加定理对直流分量和各次谐波分量单独作用计算；（3）将第二步所得结果在时域中进行叠加，即得最后所需要的结果。
非正弦周期信号的傅里叶级数分解
非正弦周期信号的傅里叶级数分解当电路的激励源为直流或正弦交流电源时，可用所述方法对电路进行分析计算。
但是在实际电气系统中，却经常会遇到非正弦的激励源问题，例如电力系统的交流发电机所产生的电动势，其波形并非理想的正弦曲线，而是接近正弦波的周期性波形。
即使是正弦激励源电路，若电路中存在非线性器件时，也会产生非正弦的响应。
在电子通信工程中，遇到的电信号大都为非正弦量，如常见的方波、三角波、脉冲波等，有些电信号甚至是非周期性的。
对于线性电路，周期性非正弦信号可以利用傅里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦分量，然后用正弦交流电路相量分析方法，分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算，再由线性电路的叠加定理，把各分量叠加，得到非正弦周期信号激励下的响应。
这种将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法称为谐波分析法。
设周期函数的周期为T，则有：（k为任意整数）如果函数满足狄里赫利条件，那么它就可以分解成为傅里叶级数。
一般电工技术中所涉及的周期函数通常都能满足狄里赫利条件，能展开为傅里叶级数，在后面讨论中均忽略这一问题。
对于上述周期函数，可表示成傅里叶级数：（1）或（2）式中，称为基波角频率；二式中系数之间有关系式：或（3）展开式中除第一项外,每一项都是不同频率的正弦量，称为周期函数的直流分量（恒定分量），第二项称为基波分量，基波角频率，其变化周期与原函数周期相同，其余各项（的项）统称为高次谐波。
高次谐波分量的频率是基波频率的整数倍。
当时称为二次谐波，时称为三次谐波等等。
是第n次谐波的初相角。
当已知时，傅里叶级数表达式中各谐波分量的系数可由下面公式求得：（4）下面用一个具体例子来进行傅里叶分解。
例1 图1所示为对称方波电压，其表达式可写为：求此信号的傅里叶级数展开式。
图1解：根据傅里叶级数的系数推导公式，可得由此可得所求信号的傅里叶级数展开式为在实际工程计算中，由于傅里叶级数展开为无穷级数，因此要根据级数展开后的收敛情况，电路频率特性及精度要求，来确定所取的项数。
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
1 T T = E( 0) + (E)(T ) = 0 2 2 T
ak =
π ∫
1
2π
0
f ( t ) cos kω t d (ω t )
2π 1 π E cos kω t d(ω t ) + ∫ ( E ) cos kω t d(ω t ) = π π ∫0
1 E E 2π π sin k ω t 0 + sin k ω t π = k π k E [sin k π sin 0 (sin 2 k π sin k π ) ] = kπ = 0
p = ui
1 T 1 T P = ∫ pdt = ∫ uidt T 0 T 0
∞ k =1
u = U0 + ∑Umk cos(kω t +θku ) i = I0 + ∑ Imk cos(kω t +θki )
k =1 ∞
则
1 T P= ∫ T 0
∞ ∞ U 0 + ∑ U mk cos(kω t + θ ku ) I 0 + ∑ I mk cos(kω t + θ ki ) dt k =1 k =1
1 T ∫0 2 I km cos(kω t + θ k ) I qm cos(qω t + θ q )dt = 0 T
由此可得
2 2 2 2 I = I0 + ∑Ik = I0 + I12 + I2 +L k=1
∞
其中， 分别为各次谐波电流（正弦电流） 其中，I1、I2 L 分别为各次谐波电流（正弦电流）的有效值 同理: 同理 非正弦周期电压
∞ 1 T ∫0 2 I 0 ∑ I km cos(kω t + θ k )dt = 0 T k =1
电路理论第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
周期性非正弦信号 相量分析法
傅里叶级数展开 计算单独作用
一系列不同频率的正弦
叠加
全响应
§13.2周期函数分解为傅里叶级数
设周期函数f (t)，周期为T ，则有 f (t) f (t kT)
(k为任意整数）
如果f (t) 满足狄里赫利条件，则 f (t)就能展开成一个
收敛的傅里叶级数（本书中均满足）。即有：
（电压）的绝对值的平均值。
正弦电流的平均值为：I av
1 T
T
0
Im
cost dt
4Im T
T 4
costdt
0
4Im T
[1
T
sin t]0 4
0.637I m
0.898I
相当于正弦电流经全波整流后的平均值。
3.平均功率：任意一端口的瞬时功率为：
p ui [U0 U km cos(k1t uk )][I0 Ikm cos(k1t ik )]
Ik2
k 1
k 0
即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方
与各次谐波有效值的平方之和的平方根。
同样也适用于非正弦周期的电压，即有：
U U02 U12 U22
2.平均值：
U 02 U k 2 k 1
Uk 2
k 0
Iav
1 T
T 0
i dt
或
U av
1 T
T 0
u dt
即非正弦周期电流（电压）的平均值等于此电流
1
41L1
41L2
41C1
从而可得：
j 41 L2
1 1
41L1
0
+ us (t) _
L1
L2
非正弦周期函数分解为傅里叶级数_电路分析基础_[共4页]
![非正弦周期函数分解为傅里叶级数_电路分析基础_[共4页]](https://img.taocdn.com/s3/m/6f15353d551810a6f52486f7.png)
第10章非正弦周期电流电路211分解为直流量和一系列不同频率正弦量之和，每一信号单独作用下的响应，与直流电路及正
弦电流电路的求解方法相同，再应用叠加定理求解，是前面内容的综合。
图10-1 几种非正弦周期信号的波形
二、谐波分析法
怎样分析在非正弦周期电流、电压信号的作用下线性电路的稳态响应呢？其步骤如下。
（1）应用数学中的傅里叶级数展开法，将非正弦周期电流、电压激励分解为一系列不同
频率的正弦量之和。
（2）分别计算在各种频率正弦量单独作用下，电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量。
（3）再根据线性电路的叠加定理，把所得分量按时域形式叠加。
上述方法就称为谐波分析法。
它实质上就是把非正弦周期电流电路的计算转化为一系列
正弦电流电路的计算，这样仍能充分利用相量法这个有效的工具。
思考与练习
10-1-1什么叫非正弦周期波，你能举出几个实际中的非正弦周期波的例子吗？
10-1-2电路中产生非正弦周期波的原因是什么？试举例说明。
10-1-3有人说：“只要电源是正弦的，电路中各部分的响应也一定是正弦波。
”这种说
法对吗？为什么？
10-1-4试述谐波分析法的应用范围和应用步骤。
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
如果给定的周期函数f(t)满足狄里赫利条件（函数在任意有限区间内，具有有限个极值点
与不连续点），则该周期函数定可展开为一个收敛的正弦函数级数。
而在电工技术中，我们所
遇到的周期函数通常均满足该条件。
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅 里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功
率、 非正弦周期电流电路的计算
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
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一、周期函数
周期函数在一个
f(t)=f(t+kT)
周期内包含有限个最大
值和最小值以及有限个
T为周期函数f(t)的周期， 第一类间断点。
k=0，1，2，……
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，
它就能展开成一个收敛的傅里叶级数。
电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。
f (t) cos(k1t)d (1t)
bk
2 T
T 0
f (t)sin(k1t)dt
2
T
T
2 T
2
f (t) sin( k1t)dt
1
2
0
f (t)sin(k1t)d(1t)
1
f (t) sin( k1t)d (1t)
2、第二种形式
展开式中只含有余弦项分量和直流分量
f (t) a0 ak cos(k1t) k 1
bk
2 T
T
2 T
f (t) sin( k1t)dt
2
bk
2[ T
0 T
2
f (t) sin( k1t)dt
T 2 0
f (t) sin( k1t)dt]
bk
2[ T
sin(
k1t)]
系数的计算公式
2
a0 T
T 0
f (t)dt 2 T
T
2 ห้องสมุดไป่ตู้T
2
f (t)dt
2
ak T
T 0
f (t) cos(k1t)dt
2
T
T
2 T
2
f (t) cos(k1t)dt
1
2
0
f (t) cos(k1t)d (1t)
1
展开式中只含k 1有奇次谐波分量
f(t)= [a1 cos(1t) b1 sin( 1t)] [a3 cos(31t) b3 sin( 31t)]
判断下面波形的展开式特点 f(t)
O
t
f(t)是奇函数 展开式中只含有正弦分量
f(t)又是奇谐波函数 展开式中只含有奇次谐波
f(t)= b1 sin( 1t) b3 sin( 31t)
f
(t )
A0 2
A1m
cos(1t 1)
A2m cos(21t 2 )
Akm cos(k1t k )
A0 2
Akm cos(k1t k )
k 1
A0/2称为周期函数的恒定分量（或直流分量）； A1mcos(ω1t+ψ1)称为1次谐波（或基波分量），其 周期或频率与原周期函数相同；
2!
n!
矩形信号f(t)的频谱
f
(t)
4Em
s in(1t )
1 3
s in(31t )
1 5
s in(51t )
Akm
O ω1 3ω1 5ω1 7ω1 kω1
3、频谱与非正弦信号特征的关系
波形越接近正弦波， 谐波成分越少；
波形突变点越小， 频谱变化越大。
f(t)=10cos(314t+30°) Akm
二、傅里叶级数的两种形式
1、第一种形式
f
(t)
a0 2
[a1
cos(1t)
b1 sin(1t)]
[a2 cos(21t) b2 sin(21t)]
[ak cos(k1t) bk sin(k1t)]
a0 2
[ak
k 1
cos(k1t)
bk
ak=Akmcosφk
k
arctan( bk ak
)
bk=- Akmsinφk
4、傅里叶分解式的数学、电气意义
+ 傅氏分解 u(t) -
+ A0 /2
u1 u(t)
u2 …-
分解后的电源相当于无限个电压源串联 对于电路分析应用的方法是
叠加定理
三、f(t)的频谱
傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期 函数分解的结果，但不很直观。
T 2 0
f (t) sin( k1t)dt]
=0
2、奇函数 f(t) = -f(-t) 原点对称的性质
f(t)
O
t
f(t)
O
t
2、奇函数 原点对称的性质 f(t) = -f(-t)
可以证明： ak=0
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1 展开式中只含有正弦项分量
4、系数和计时起点的关系（2）
由于系数ak和bk与计时起点的选择有关，所以 函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择 有关。
但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点 无关。
因此适当选择计时起点有时会使函数的分解 简化。
例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下 画出整个周期的波形
1、只含有余弦分量 2、只含有正弦分量 3、只含有奇次谐波分量
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
ak
1
2
0
f (t) cos(k1t)d(1t)
1 [
0
Em cos(k1t)d (1t)
2
Em cos(k1t)d (1t)]
2Em
0 cos(k1t)d (1t)
=0
1
bk
2
0
f (t)sin(k1t)d (1t)
1 [
0 Em sin(k1t)d (1t)
2
Em sin(k1t)d (1t)]
2Em
0
sin(k1t)d (1t)
2Em
1 k
cos(k1t)0
2Em [1 cos(k )] k
当k为偶数时： cos(kπ)=1 bk=0
4、系数和计时起点的关系（1）
系数Akm与计时起点无关（但ψk是有关的）， 这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的 振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一 定的， 并不会因计时起点的变动而变动； 因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初 相作相应地改变。 由于系数ak和bk与初相ψk有关，所以它们也随 计时起点的改变而改变。
基波+三次谐波
三次谐波
f
(t)
4Em
s in(1t )
1 3
s in(31t )
1 5
s in(51t )
f(t) Em
O
ω1t
-Em
取到11次谐波时合成的曲线 f(t)
Em
O
ω1t
-Em
比较两个图可见，谐波项数取得越多，合 成曲线就越接近于原来的波形。
f(t)
例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱
f(t)
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
解：f(t)在第一个周期内的表达式为
T
Em f(t) =
0t 2
-Em
T t T 2
根据公式计算系数
f(t)
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
a0
2 T
T 0
f (t)dt
0
f(t)
为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包 含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，
用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 按频率的高低顺序把它们依次排列起来， 得到的图形称为f(t)的频谱。
1、幅度频谱 各次谐波的振幅用相应线段依次排列。 Akm
O ω1 3ω1
2ω1 4ω1
kω1
2、相位频谱
把各次谐波的初相用相应线段依次排列。
其他各项统称为高次谐波，
即2次、3次、4次、……
3、两种形式系数之间的关系
第一种形式
第二种形式
f f
(t) (t)
a0 2 A0 2
[ak cos(k1t)
k 1
Akm cos(k1t
k 1
bk sin(
k )
k1t)]
A0=a0
Akm ak2 bk2
Em
T 2
T
O π 2π
-Em
t f(t) = ω1t
Em -Em
0t T 2
T t T 2
f
(t)
4Em
s in(1t )
1 3
s in(31t )
1 5
s in(51t )
令Em=1，ω1t=π/2 f(t) = 1
f
(t)
4Em
s in(1t )
当k为奇数时：
cos(kπ)=0
bk
4Em
k
由此求得
f
(t)
4Em
s in(1t )
1 3
s in(31t )
1 5
s in(51t )
一次谐波
f
(t)