等腰三角形的性质定理和判定定理

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等腰三角形的性质与判定

第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

【基础知识】一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．【考点剖析】一．等腰三角形的性质（共7小题）1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm2．（2021秋•抚远市期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（）A．15B．12C．12或15D．93．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+13αC．90°−32αD．30°+23α4．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是．5．（2022春•金湖县校级月考）在△ABC中，∠C＝30°，且∠A＝∠B；求∠A的度数．6．（2022春•睢宁县月考）一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？7．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．二．等腰三角形的判定（共7小题）8．（2021秋•仪征市期末）在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝°时，△ABC是等腰三角形．9．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定10．（2021秋•滨海县期末）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．11．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，413．（2021秋•龙华区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？三．等腰三角形的判定与性质（共6小题）15．（2020秋•绿园区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD 于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.516．（2021•建湖县二模）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为cm．17．（2021秋•句容市期末）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于点E，若DE=52，则EB＝．18．（2021秋•射阳县校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝BM+CN．19．（2021秋•盱眙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．20．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（）A．87°B．88°C．89°D．90°【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•溧阳市期末）若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2．（2021秋•江阴市期末）等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm3．（2022•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC 的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm4．（2022•黔东南州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC 的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，46．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定二．填空题（共3小题）7．（2021秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝cm．8．（2021秋•宁津县期末）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．9．（2021秋•东城区校级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为．三．解答题（共3小题）10．（2022春•无锡期中）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC 的度数（用含∠A的代数式表示）；（3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．11．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．12．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

等腰三角形全部定理

等腰三角形全部定理
等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。

等腰三角形有许多有趣的性质和定理，让我们逐一来看。

首先，等腰三角形的性质包括以下几点：
1. 等腰三角形的两个底边（不等于顶角的两条边）相等。

2. 等腰三角形的顶角对应的两个底角相等。

3. 等腰三角形的高（从顶角到底边的垂直线段）同时也是中线和角平分线。

接下来是等腰三角形的定理：
1. 等腰三角形底角平分线定理，等腰三角形的底边上的高（垂直于底边的线段）同时也是底角的平分线。

2. 等腰三角形顶角平分线定理，等腰三角形的顶角的平分线同时也是顶角对边的中线和高。

3. 等腰三角形的高定理，等腰三角形的高、中线和角平分线重
合于同一条线段。

此外，等腰三角形还满足勾股定理的条件，即等腰三角形的顶
角对边的平方等于底边的一半与底边两边的平方和的关系。

总之，等腰三角形是一个非常有趣的几何形状，它具有许多独
特的性质和定理，这些性质和定理在解题和证明中有着重要的应用。

希望这些信息能够帮助你更好地理解等腰三角形的相关知识。

推导等腰三角形的性质与相关定理

推导等腰三角形的性质与相关定理等腰三角形是指有两条边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有许多特点和性质，也有一些相关的定理与推导。

本文将探讨等腰三角形的各种性质以及相关的定理，并通过推导来进一步理解这些性质。

一、等腰三角形的性质1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角是相等的，即两条底边所对的内角相等。

2. 两腰边相等：等腰三角形的两条腰边长度相等，即两边边长相等。

3. 顶角角平分线：等腰三角形的顶角的角平分线也是底边所在的直线。

4. 表面积：等腰三角形的面积可以通过底边长度和高的关系来求解，即面积等于底边乘以高再除以2。

二、等腰三角形的定理1. 定理一：等腰三角形的底角相等。

即对于等腰三角形ABC，若AB=AC，则∠B=∠C。

证明：我们可以通过反证法来证明此定理。

假设∠B≠∠C，那么不妨设∠B>∠C。

由于∠B+∠C=180°，所以∠B-∠C>0.由三角形内角和定理可知，在三角形ABC中，∠B-∠C<∠B+∠C=180°，所以∠B-∠C<∠B-∠C，这与假设∠B-∠C>0矛盾。

因此，等腰三角形的底角相等。

2. 定理二：等腰三角形的底边中线与高相等。

即对于等腰三角形ABC，若AB=AC，则AM=AH，其中M为BC的中点，H为顶角A所在边的垂足。

证明：根据定义可知，AM为BC的中线，AH为三角形ABC中顶角A所在边的高。

由于等腰三角形的两条腰边相等，所以AM=1/2(AB+AC)=AB=AC，同理可得AH=AM，即等腰三角形的底边中线与高相等。

三、推导等腰三角形的性质与定理现在，我们通过推导来进一步理解等腰三角形的性质与相关的定理。

假设有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，我们还可以假设三角形ABC中的底边为BC。

根据性质1，我们知道∠B=∠C，假设∠B=x，那么∠C也为x。

根据性质2，我们知道AB=AC，所以假设AB=AC=a。

由于三角形ABC中三个内角和为180°，根据角度的性质，我们可以得到∠A=180°-2x。

2.4等腰三角形的判定定理

36°
D
2 1
36 72° °
答： ∠1= 72°, ∠2= 36°
△ABC、 △ABD、 △BDC是等腰三角形。、 B
（2）
C
例：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向
前进至C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是河
2. 已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.
求证:BD=CE.
证明: ∵∠1=∠2（已知）
∴AD=AE（在同一个三角形中，等角对等边） ∵DE∥BC（已知） ∴∠1=∠B，∠2=∠C ∴∠B=∠C B D 1
A
2 E
C
∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边） ∴AB－AD=AE－AC
即 BD=CE
D
B
H
C F E
3:如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD//BC，则 △ ABC是等腰三角形吗？说明你的理由。
证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）
E
∵ ∠1=∠2， ∴∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边）
B
1 A 2 D
C
△ODE的周长=BC=16
O D E C
B
名图形称等腰三角形
A
概念
性
质
判定两边相等
有两边两腰相等
相等的
三角形
B C
等边对等角等角对等边三线合一
是等腰
三角形
说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
2.已知：△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长AC至点E，使CE=BD，连结DE交BC于F。 A 求证：DF=EF

等腰三角形的性质与定理

等腰三角形的性质与定理等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和定理。

本文将对等腰三角形的性质与定理进行详细的介绍。

一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。

在等腰三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。

等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的底角（底边上的角）两个相等。

证明：由等腰三角形的定义可知，AB=AC，再加上三角形内角和为180度的性质，可得∠A+∠B+∠C=180度。

由于∠A=∠B=∠C，所以∠B+∠B+∠B=180度，即3∠B=180度，所以∠B=∠C=60度。

2. 等腰三角形的高（从顶点到底边的垂直线段）和斜边的中线相等。

证明：作等腰三角形ABC的高AD和BC的中线DE。

首先证明AD=DE。

由于三角形ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=∠C=60度。

又因为∠DAB和∠DEC是等腰三角形的底角，所以∠DAB=∠DEC=60度。

因此，由三角形内角和为180度的性质可知，∠DAB+∠BAD+∠BDA=180度，即60度+∠BAD+90度=180度，解得∠BAD=30度。

同理，∠DCE=30度。

再考虑三角形ABD和DEC，由于∠BAD=∠DCE=30度，∠DAB=∠DEC=60度，所以根据AA相似性质可知，∠ABD=∠DEC，故两个三角形相似。

根据相似三角形的性质，可得AD/DE=BD/EC=AB/DC=1/2。

又已知BD=DC，所以AD=DE。

3. 等腰三角形的对顶角（顶点所对的两边的角）相等。

证明：在等腰三角形ABC中，已知∠B=∠C，∠BAC是三角形内角和，即∠BAC+∠CAB+∠ABC=180度，即2∠B+∠ABC=180度，解得∠ABC=180度-2∠B。

同理，∠ACB=180度-2∠C。

由于∠B=∠C，所以∠ABC=∠ACB。

因此，等腰三角形的对顶角相等。

二、等腰三角形的定理1. 等腰三角形底角的平分线是高和对称轴。

等腰三角形的性质与判断及应用

等腰三角形的性质与判定知识梳理:1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。

(2) 三线合一: 即．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。

(3)等腰三角形是图形．除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。

①等腰三角形两腰上的中线相等②等腰三角形两腰上的高相等③等腰三角形两底角的平分线相等3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．4、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。

最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。

当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。

若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。

另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。

【例题讲解】例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。

例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。

例3：如图，点D ，E 在AC 上，∠ABD ＝∠CBE ，∠A ＝∠C ，求证：BD ＝BE 。

等腰三角形的一些定理

等腰三角形的一些定理
首先，等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，有一些重要的定理和性质：
1. 定理一，等腰三角形的底角（底边两侧的两个角）相等。

这个定理意味着，如果两条边的长度相等，那么它们所对应的角也是相等的。

这是等腰三角形的一个重要特征。

2. 定理二，等腰三角形的高（从顶点到底边的垂直线段）同时也是中线和角平分线。

这个定理表明，等腰三角形的高不仅是三角形的高，同时也是底边上某一点到顶点的距离，它同时也是底边的中点和顶角的平分线。

3. 定理三，等腰三角形的两底角（底边两侧的两个角）的角平分线重合且垂直于底边。

这个定理说明了等腰三角形的两底角的角平分线重合并且垂直
于底边，这也是等腰三角形的一个重要特征。

4. 定理四，等腰三角形的两边中点连线平行于底边，并且等于底边的一半。

这个定理表明了等腰三角形的两边中点连线平行于底边，并且等于底边的一半，这也是等腰三角形的一个重要性质。

总的来说，等腰三角形具有许多独特的性质和定理，这些定理在解题和证明过程中都具有重要的作用。

通过理解这些定理，我们可以更好地理解和运用等腰三角形的性质。

希望以上的回答能够满足你的需求。

等腰三角形、平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明平行四边形的性质定理和判定定理及其证明一、一周知识概述1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)．2、等腰三角形性质定理的推论推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3、等腰三角形的判定定理两个角相等的三角形是等腰三角形．4、等腰三角形判定定理的推论推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．5、直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．6、平行四边形的性质定理定理1：平行四边形的对边相等．定理2、平行四边形的对角相等．定理3、平行四边形的对角线互相平分．7、平行四边形的判定定理定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．8、三角形中位线的性质定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．二、重难点知识1、要说明一个命题的正确性，需用已学过的公理或定理进行证明，命题证明的步骤：先画图，写出已知、求证，给出严格的证明．2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点．三、典型例题讲解例1、如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．求证：BD＋EC=DE．分析：因为DE=DF＋FE，即结论为BD＋EC=DF＋FE，分别证明BD=DF，CE=FE即可，于是运用“在同一个三角形中，等角对等边”，易证结论成立．证明：∵DE∥BC(已知)，∴∠3=∠2(两直线平行，内错角相等)．又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴DB=DF(等角对等边)．同理可证EF=CE．∴BD＋EC=DF＋EF，即BD＋EC=DE．小结：过一个角的平分线上的一点作一边的平行线与另一边相交，所构成的三角形是一个等腰三角形，这是一个常见的构图，应熟练掌握．例2、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．又∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，∴∠3=∠E，∴AG//EF，∴EF⊥BC．接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．证明2：过A作AH⊥EF于H．∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，∴∠EAH=∠B，∴AH//BC，∴EF⊥BC．小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE，∴DE//MC，∴EF⊥BC．小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，∴∠1=∠B，∴EN//BC，∴EF⊥BC．小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，∴EF⊥BC．小结：本题证法中运用了等腰三角形的性质定理及其推论、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，要注意灵活运用与牢固掌握相结合．例3、如图，在△ABC 中，AB=AC=CB ，AE=CD ，AD 、BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ．求证：BP=2PQ 。

等腰三角形的性质定理和判定定理

教学内容（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）知识点2：等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2,BD=DC AD⊥BC知识3：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC【典型例题分析】例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。

解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。

求证：△DEF是等腰三角形。

证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中,∠BDE=∠FEC中（已证）,BD=CE （已知）,∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE （ASA）,∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边）例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。

等腰三角形的相关定理和推论

等腰三角形的相关定理和推论
等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形有一些重要的定理和推论，下面将介绍其中的几个。

等腰三角形的定理
1. 等腰三角形的两底角相等。

即如果一个三角形的两边长度相等，则该三角形的两底角也相等。

2. 等腰三角形的顶角平分底角。

即如果一个三角形的两边长度相等，则该三角形的顶角等于其底角的一半。

3. 等腰三角形的底角平分顶角。

即如果一个三角形的顶角等于其底角的一半，则该三角形的两边长度相等。

等腰三角形的推论
1. 等腰三角形的底边上的高线也是中线。

即等腰三角形从顶点到底边上某点的线段既是高线又是中线。

2. 等腰三角形的高线平分底边长度。

即等腰三角形的高线将底边分成两段长度相等的线段。

3. 等腰三角形的底边上的垂直平分线也是高线。

即等腰三角形的底边上垂直平分线是高线。

以上是关于等腰三角形的一些重要定理和推论。

通过这些定理和推论，我们可以更好地理解和研究等腰三角形的性质和特点。

在解决相关几何问题时，可以应用这些定理和推论来简化计算和推导过程。

等腰三角形的性质及计算方法

等腰三角形的性质及计算方法等腰三角形是指两条边相等的三角形。

在数学中，我们经常需要计算三角形的各种属性和特性。

本文将介绍等腰三角形的性质，并提供一些计算等腰三角形的方法。

一、等腰三角形的性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即AB = AC。

这是等腰三角形最基本的性质。

2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两个基边所对的角）相等，即∠B = ∠C。

3. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点所对的角）平分底角，即∠A = ∠B = ∠C。

4. 等腰三角形的高：等腰三角形的高是从顶点向底边的垂直距离，记作h。

5. 等腰三角形的中线：等腰三角形的中线是连接底边中点与顶点的线段，记作AM。

二、等腰三角形的计算方法1. 计算等腰三角形的周长：等腰三角形的周长可以通过两边的长度和底边的长度来计算。

由于等腰三角形的两边相等，可以使用以下公式计算周长：周长 = AB + AC + BC = 2AB + BC。

2. 计算等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过高和底边的长度来计算。

使用以下公式计算面积：面积 = 1/2 * 底边长度 * 高 = 1/2 * BC * h。

3. 计算等腰三角形的高：若已知等腰三角形底边长度BC和两边的长度AB（或AC），可以使用勾股定理计算三角形的高。

假设底边的中点是M，则通过三角形的中线AM可以得到高h，并使用以下公式计算高：h = √(AB² - (1/2 * BC)²)。

4. 计算等腰三角形的底边长度：若已知等腰三角形的两边长度AB 和AC，可以使用以下公式计算底边的长度：BC = 2√(AB² - (1/2 * AC)²)。

5. 计算等腰三角形的顶角和底角：等腰三角形的顶角和底角相等，可以使用以下方法计算角度值：- 计算顶角的度数：∠A = ∠B = ∠C = 180度 / （3 - 1）= 90度。

- 使用正弦函数计算角度的弧度值：sin(∠A) = sin(∠B) = sin(∠C) = (1/2 * BC) / AB。

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明等腰三角形是指有两条边相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有独特的性质和判定定理。

本文将介绍等腰三角形的性质定理和判定定理，并给出其详细证明。

一、等腰三角形的性质定理性质定理1：等腰三角形的底角相等。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

假设∠ABC和∠ACB不相等，即∠ABC＞∠ACB或∠ABC＜∠ACB。

不妨设∠ABC ＞∠ACB。

由于∠ABC＞∠ACB，所以∠ABD＞∠ACD，其中D为∠ABC外一点沿边AC的延长线上的点。

又因为∠ABC=∠ACB，所以∠ADB=∠ACD。

根据角度相等的性质，∠ABD=∠ADB-∠ABD=∠ACD-∠ABD=∠ADC。

而∠ABD＞∠ADC，与三角形内角和定理矛盾。

所以，假设不成立，即∠ABC=∠ACB，即等腰三角形的底角相等。

性质定理2：等腰三角形的等腰边上的角相等。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

假设∠BAC和∠BCA不相等，即∠BAC＞∠BCA或∠BAC＜∠BCA。

不妨设∠BAC ＞∠BCA。

由于∠BAC＞∠BCA，所以∠BAC＞∠BDC，其中D为∠BAC外一点沿边AB的延长线上的点。

又因为∠BAC=∠BCA，所以∠BCD=∠BDC。

根据角度相等的性质，∠BCA=∠BAC-∠BCA=∠BDC-∠BCA=∠CDB。

而∠BCA＞∠CDB，与三角形内角和定理矛盾。

所以，假设不成立，即∠BAC=∠BCA，即等腰三角形的等腰边上的角相等。

性质定理3：等腰三角形的高、中线、中位线、角平分线重合。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

过顶点A作边BC的垂线，交边BC于点D。

连接AD，BD与CD。

首先证明AD是三角形ABC的高。

根据性质定理1可知∠BAD=∠CAD，又因为AD是AB和AC的垂线，所以∠BAD=90°，∠CAD=90°，因此AD与BC垂直，即AD是三角形ABC的高。

接下来证明BD与CD分别是△ABC的中线。

等腰三角形性质定理和判定定理

等腰三角形性质定理和判定定理
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）
等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
等腰三角形的两底角的平分线相等.（两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等）
等腰三角形的底边上到两条腰的距离相等
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
等腰三角形的判定：
有两条腰相等的三角形是等腰三角形
1.三角形的任何两边的和一定大于第三边,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边.
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一.
4.;等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定1有两条边相等的三角形是等腰三角形
2有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）3顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形（4所有的等边三角形为等腰三角形）。

等腰三角形性质及判定

等腰三角形性质及判定（基础）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A=180°－2∠B，∠B=∠C=1802A︒-∠ . 要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1：证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据．性质2：用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB=AC∴∠B =∠C∵AB=BD∴∠2=∠3∵∠2=∠1＋∠C∴∠2=∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B=180°∴∠B=180°－2∠2∴∠2=∠1＋180°－2∠2∴3∠2=∠1＋180°∵∠1=30°∴∠2=70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC=BC=BD，AD=AE，DE=CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC=BC=BD，AD=AE，DE=CE，∴设∠ECD=∠EDC=x，∠BCD=∠BDC=y，则∠AED=∠ADE=2x，∠A=∠B=180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x=180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y=180°②由①，②解得x=36°∴∠B=180°－4x=180°－144°=36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和=180°－40°=140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数114070=⨯︒=︒；2(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数=180°－40°－40°=100°．∴其余各角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长=13－3－3=7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和=13－3=10，则一腰长1105=⨯=．2这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC－BC|=2cm，那么腰AC的长为( )．A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 【答案】A；解：∵ |AC－BC|=2cm，∴ AC－BC=±2．又BC=8cm．∴ AC=10cm或6cm．∴ AB=10cm或6cm．类型三、等腰三角形性质和判定综合应用4、已知：如图，△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于D，CF交AD 于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD=∠FCD．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD=DC，易证△ABD≌△CFD，要证BE⊥AC，只需证∠BEC=90°即可，DF=BD，可知∠FBD=45°，由已知∠ACD=45°，可知∠BEC=90°.【答案与解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴∠ADC=∠FDB=90°.∵45∠=︒，ACB∴45∠=∠=︒ACB DAC∴ AD=CD∵BAD FCD∠=∠，Array∴△ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴ BD=FD.∵∠FDB=90°，∴45FBD BFD∠=∠=︒.∵45ACB∠=︒，∴90BEC∠=︒.∴ BE⊥AC．【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．举一反三：【变式】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．(1)求证：BE=AD；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由．【答案】(1)证明： ∵ AD ∥BC ，∠ABC=90°，∴ ∠BAD=∠ABC=90°．又∵ EC ⊥BD ，∴ ∠BEC ＋∠DBE=90°，∠BEC ＋∠BCE=90°．∴ ∠DBE=∠BCE ．在△DAB 与△EBC 中，,,,BAD EBC AB BC ABD BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △DAB ≌△EBC(ASA)．∴ AD=BE ．(2)证明：连接AC ，ED ．∵ E 为AB 的中点，∴ BE=AE ．又∵ AD=BE(已证)，∴ AE=AD 且∠A=90°．△AED 为等腰三角形．∴ ∠AED=∠ADE(等边对等角)，即∠AED=∠ADE=45°．又∵ AB=BC ，AD ∥BC ，∠ABC=90°．∴ ∠BAC=∠BCA(等边对等角)．∴ ∠BAC=∠BCA=1(18090)452︒-︒⨯=︒．∴ 45CAD BAC ∠=∠=︒．由等腰三角形性质．可知AC垂直平分ED，即AC是线段ED的垂直平分线．(3)解：△DBC是等腰三角形．理由如下：由(2)得CD=CE．由(1)可得CE=BD，∴ CD=BD．∴△DBC是等腰三角形．【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A．16 B．17C．16或17D．10或122. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( )①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=DB＋CE；③AD＋DE＋AE=AB＋AC；④BF=CF.A．1个B．2个C．3个D．4个5. 如图，D是AB边上的中点，将ABC∆沿过D的直线折叠，使点A 落在BC上F处，若50∠度数是（）B∠=︒，则BDFA．60° B．70° C．80° D．不确定6. 如图，ΔABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（）A．4个B．5个C．6个D．7个二.填空题7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD=BD=BC，若∠A=40°，则∠CBD=_____°．8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为．9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB =_________ cm．10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC=10cm，则ΔOMN的周长=______cm．12. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，若CD=1.8cm，则BC=______．三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE=AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B=∠EAC，EF⊥AD于F.求证：EF平分∠AEB．15. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ ＋AQ=AB＋BP．。

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明一、性质定理：1.等腰三角形的顶角定理：等腰三角形的两个底角（与底边相对的两个角）是相等的。

证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，要证明∠B=∠C。

由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又∠ABC=∠ACB。

再由三角形的内角和定理可知，∠A+∠B+∠C=180°。

将已知条件代入，得到∠A+∠ABC+∠A=180°。

化简可得2∠A+∠B=180°，即2∠A=180°-∠B，再化简可得∠A=90°-∠B/2同样地，我们有2∠A+∠C=180°，即2∠A=180°-∠C，再化简可得∠A=90°-∠C/2将∠A的两个表示式相等，得到90°-∠B/2=90°-∠C/2，即∠B/2=∠C/2、由此可得∠B=∠C，即等腰三角形的顶角定理成立。

2.等腰三角形的底边中线定理：等腰三角形的底边的中线与顶角的角平分线重合。

证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，CD为底边AB的中线，要证明CD是∠B和∠C的平分线。

由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又CD是AB的中线，所以CD=AD。

再由三角形的两边和定理可知，∠B>∠C，即∠B与∠C不等。

假设CD不是∠B和∠C的平分线，即∠BCD≠∠BCD。

根据∠BCD和∠BCD的不等性，可知∠BCD+∠BCD>180°。

而∠BCD+∠BCD=2∠BCD，且∠BCD<∠B+∠C。

代入已知条件，得到2∠BCD<∠B+∠C<∠B+∠BC，再结合∠B+∠C=180°可知，2∠BCD<180°。

由此推出，∠BCD+∠BCD=2∠BCD<180°，与假设不符。

所以假设不成立，即CD是∠B和∠C的平分线。

从上述证明中可以看出，等腰三角形的底边中线是顶角的角平分线。

二、判定定理：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形是等腰三角形。

第四讲等腰三角形的性质与判定

第四讲等腰三角形的性质与判定知识要点：1、等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：(1)等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（即等腰三角形三线合一）三边都相等的三角形叫做等边三角形，即等边三角形是腰和底相等的特殊三角形，因此它除具有等腰三角形的所有性质外，还有如下性质：等边三角形三个内角相等，并且每个角都等于60︒；性质的推论：在直角三角形中30︒所对的直角边等于斜边的一半。

2、等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法：（1）从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；（2）从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理：等角对等边。

等边三角形的判定定理：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形。

3、构造等腰三角形的常用方法（1）角平分线+平行线=等腰三角形（2）角平分线+垂线（或高）=等腰三角形（3）线段中垂线构造等腰三角形（4）将2倍角转化为相等角构造等腰三角形21(1) (2) (3) (4)4、解与等腰三角形有关的几何题，要结合全等三角形的知识和方法，但又不郁于全等三角形，要充分运用等腰三角形的有关性质与判定知识解决问题。

典型例题：例1如图，AE、AD是直线且A B B C C D D E E F F G G A======，若∠DAE=a，求a 的值。

AL 2L 1D例2如果，现有人骑马从C 点到D 点，但必须先到河岸1l 处的1P 点去让马饮水，然后再到河岸2l 处的2P 点再次让马饮水，最后到D 点，他如何选择饮水点1P 、2P ，才能使所走的路程D P P P CP 2211++为最短？例3在等腰Rt ∆ABC 中，AC=BC=1,M 是BC 的中点，CE ⊥AM 与E ，交AB 于F ，则M B F S ∆=ABF巩固训练：1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（） A 、20︒ B 、120︒ C 、20︒ 或120︒ D 、36︒2、已知等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（） A 、9 B 、12 C 、15 D 、12或153、如图，P 、Q 是∆ABC 的边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则∠BAC 的大小等于度。

等腰三角形的性质和判断

F C
上的一动点，例：如图1，等边△ABC中，D是AB上的一动点，如图，等边△ 中是上的一动点为一边向上作等边△ 以CD为一边向上作等边△EDC，连AE，为一边向上作等边，，求证： ∥ 求证：AE∥BC 改为以BC为（2）如图，将（1）中等边△ABC改为以为）如图2，）中等边△ 改为以底边的等腰三角形所作△ 改为相似于△ 底边的等腰三角形所作△EDC改为相似于△ABC，改为相似于，请问：是否仍有AE∥ ？证明你的结论。请问：是否仍有 ∥BC？证明你的结论。
例：如图，AD是△ABC的角平分线 AB=AC+DC，求证：∠C=2∠B
A
B
D
C
E
练：如图，在△ABC中AD⊥BC于D、 AB+DB=DC 求证：∠B=2∠C
A
B E
D
C
练：如图，AB＞AC，AD是角平分线， E是AB上的一点，AE=AC，EF∥BC交 AC于F，求证：CE平分∠DEF
A
E B D
定理：如果一个三角形的两个角相等，定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这个这两个角所对的边也相等等角对等边” （“等角对等边”）
已知：如图，已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C 中 ∠ 求证： AB=AC 求证：
A
B
D
C
例：如图，∠EAC是△ABC的外角， AD平分∠EAC，且AD∥BC. 求证：AB=AC
E
A
D
B
C
如果AB=AC，AD∥BC，那么， ∥ ，如果 AD平分∠EAC吗？平分∠ 平分吗
E
A
D
B
C
练习
证明：证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。对应相等的两个三角形全等。证明：等边三角形的每个角都证明：等于 600 证明：证明：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。到线段两端距离相等。

等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明一、一周知识概述1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)．2、等腰三角形性质定理的推论推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3、等腰三角形的判定定理两个角相等的三角形是等腰三角形．4、等腰三角形判定定理的推论推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．5、直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．6、平行四边形的性质定理定理1：平行四边形的对边相等．定理2、平行四边形的对角相等．定理3、平行四边形的对角线互相平分．7、平行四边形的判定定理定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．8、三角形中位线的性质定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．二、重难点知识1、要说明一个命题的正确性，需用已学过的公理或定理进行证明，命题证明的步骤：先画图，写出已知、求证，给出严格的证明．2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点．三、典型例题讲解例1、如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC 交AB于D，交AC于E．求证：BD＋EC=DE．分析：因为DE=DF＋FE，即结论为BD＋EC=DF＋FE，分别证明BD=DF，CE=FE即可，于是运用“在同一个三角形中，等角对等边”，易证结论成立．证明：∵DE∥BC(已知)，∴∠3=∠2(两直线平行，内错角相等)．又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴DB=DF(等角对等边)．同理可证EF=CE．∴BD＋EC=DF＋EF，即BD＋EC=DE．小结：过一个角的平分线上的一点作一边的平行线与另一边相交，所构成的三角形是一个等腰三角形，这是一个常见的构图，应熟练掌握．例2、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF ⊥BC．解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．又∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，∴∠3=∠E，∴AG//EF，∴EF⊥BC．接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．证明2：过A作AH⊥EF于H．∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，∴∠EAH=∠B，∴AH//BC，∴EF⊥BC．小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE，∴DE//MC，∴EF⊥BC．小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，∴∠1=∠B，∴EN//BC，∴EF⊥BC．小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，∴EF⊥BC．小结：本题证法中运用了等腰三角形的性质定理及其推论、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，要注意灵活运用与牢固掌握相结合．例3、如图，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ。

等腰三角形的性质定理和判定定理

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形全部定理

推导等腰三角形的性质与相关定理

2.4等腰三角形的判定定理

等腰三角形的性质与定理

等腰三角形的性质与判断及应用

等腰三角形的一些定理

等腰三角形、平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形的性质定理和判定定理

等腰三角形的相关定理和推论

等腰三角形的性质及计算方法

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形性质定理和判定定理

等腰三角形性质及判定

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明

第四讲 等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质和判断

等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

第四讲等腰三角形的性质与判定