不等式选讲习题

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专题20 不等式选讲(原卷版)

（2013·新课标I 理）（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g(x )=x +3.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式f (x )＜g(x )的解集；（Ⅱ）设a ＞－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g(x )，求a 的取值范围. （2013·陕西理）A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为 .（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式211x --≤的解集为___________.2111211,222,0 4.x x x x --≤∴-≤--≤∴-≤-≤∴≤≤，（2013·福建理）(3).(本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲设不等式*)(2N a a x ∈<-的解集为A,且A A ∉∈21,23.（2012·湖北卷）设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝( ) A.14 B.13C.12D.34（2012·广东卷）不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．（2012·福建卷]已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. (2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______.(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存____________.（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-。

高三数学不等式选讲试题答案及解析

高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。

高三数学不等式选讲试题答案及解析

高三数学不等式选讲试题答案及解析1.设函数，，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由所给的不等式可得当时，由，或当时，由，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由，求得N，可得．当x∈M∩N时，f（x）=1-x，不等式的左边化为，显然它小于或等于，要证的不等式得证．（1）当时，由得，故；当时，由得，故；所以的解集为.（2）由得解得，因此，故.当时，，于是.【考点】1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．2.设不等式的解集为M，.（1）证明：；（2）比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）|1－4ab|＞2|a－b|.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用零点分段法将化为分段函数，解不等式求出M，再利用绝对值的运算性质化简得，由于，代入得；第二问，利用第一问的结论，作差比较大小，由于和均为正数，所以都平方，作差比较大小.（1）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0解得，则． 3分所以． 6分（2）由（1）得，．因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|． 10分【考点】绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小.3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1）， 2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.5.在实数范围内，不等式的解集为___________.【答案】【解析】因此解集为.【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运用能力.6.已知函数f(x)=|2x－1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=－2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>－1,且当x∈[－,)时, f(x)≤g(x),求a的取值范围.【答案】(1){x|0<x<2}(2)(－1,]【解析】(1)当a=－2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|+|2x－2|－x－3<0.设函数y=|2x－1|+|2x－2|－x－3,则y=,其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈[－,)时, f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a－2对x∈[－,)都成立.故－≥a－2,即a≤.从而a的取值范围是(－1,]7.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。

高三数学不等式选讲试题答案及解析

高三数学不等式选讲试题答案及解析1.若不等式的解集是区间的子集，则实数的范围为__________．【答案】.【解析】不等式x2＜|x-1|+a等价为x2-|x-1|-a＜0，设f（x）=x2-|x-1|-a，若不等式x2＜|x-1|+a的解集是区间（-3，3）的子集，则，即，解得a≤5，故答案为：（-∞，5]【考点】不等式的解法及应用．2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.若不等式对任意的恒成立，则的最大值是．【答案】9【解析】∵，∴，∴==5+≥5+=5+4=9，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为9，所以≤9，所以的最大值为9.考点: 基本不等式；转化与化归思想4.若不等式|x-a|-|x|<2－a2对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是。

【答案】【解析】,所以原式恒成立，即,即,解得【考点】不等式恒成立问题5.设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，此时a+b+c= .【答案】【解析】由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是，此时.【考点】柯西不等式.6.已知关于x的不等式（其中），若不等式有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵设故，即的最小值为，所以有解，则解得，即的取值范围是，选C.7.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是（）A．-2≤a≤2B．-1≤a≤1C．-2≤a≤4D．-1≤a≤2【答案】C【解析】由题意知左边的最小值小于或等于3,根据不等式的性质得|(x-a)-(x-1)|≤3,∴|a-1|≤3,∴-2≤a≤4.选C.8.已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.所以=1且=2于是a=3.9.不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【答案】A【解析】∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选A10.已知，且，求的最小值．【答案】1.【解析】观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件化为，此时，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，或时，等号成立，从而可得的最小值为1.试题解析：, ,,，当且仅当，或时的最小值是1.【考点】柯西不等式.11.设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是()A．a+c>b+d B．a-c>b-dC．ac>bd D．>【答案】A【解析】选A.因为a>b,c>d,所以a+c>b+d.12.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.【答案】[9,+∞)【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.13.当0≤x≤时,函数y=x2(1-5x)的最大值为()A．B．C．D．无最大值【答案】C【解析】选C.y=x2(1-5x)=x2=x·x·.因为0≤x≤,所以-2x≥0,所以y≤=,=.当且仅当x=-2x,即x=时,ymax14.对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为()A．5B．4C．8D．7【答案】A【解析】选A.由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.15.若x<5,n∈N,则下列不等式:①<5;②|x|lg<5lg;③xlg<5;④|x|lg<5.其中能够成立的有.(填序号)【答案】④【解析】因为0<<1,所以lg<0,由x<5不能确定|x|与5的关系,所以可以否定①②③,而|x|lg <0,所以④成立.16.已知|x－a|<b(a、b∈R)的解集为{x|2<x<4},求a－b的值．【答案】2【解析】由|x－a|<b，得a－b<x<a＋b.又|x－a|<b(a、b∈R)的解集为{x|2<x<4}，所以a－b＝2. 17.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)利用零点分段法,去分为.三种情况绝对值，在每种情况下解不等式；求三次交集，最后再求一次并集，属于基础问题，关键是把绝对值去掉，并且不要忘记求交集；(2)当时，将其中一个绝对值去掉，问题转化为恒成立，,利用公式将绝对值去掉，并且反解,转化为或恒成立的最值问题，因为.，所以只能大于等于的最大值.此题属于基础题型.试题解析：（1） 2分当时，，即，解得当时，,即，解得当时，，即，解得不等式的解集为 5分（2）恒成立即 10分【考点】1解不等式；2.恒成立问题.18.已知a2+2b2+3c2=6,若存在实数a,b,c,使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立,求实数x的取值范围.【答案】-7<x<5【解析】由柯西不等式得(a+2b+3c)2≤(a2+2b2+3c2)(1+2+3),当且仅当a=b=c=1时,等号成立.故a+2b+3c的最大值为6,故|x+1|<6,解得-7<x<5.19.设x,y,z>0,x+y+z=3,依次证明下列不等式,(1)(2-)≤1.(2)≥.(3)++≥2.【答案】见解析【解析】证明：(1)由(2-)=-[()2-2+1]+1=-(-1)2+1≤1,得(2-)≤1.当且仅当xy=1时取等号.(2)≥=,因为2+≤2+,且由(1)知(2-)≤1,当且仅当x=y=1时取等号.所以≥=①.(3)同理可得≥②,≥③,由柯西不等式得(++)(a+b+c)≥9,对于a,b,c>0,++≥④,利用不等式④,由①,②,③及已知条件x + y + z =3得++≥++≥==2.20.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.21.设a，b，c为正数，且a＋b＋4c＝1，则＋＋的最大值是________．【答案】【解析】由柯西不等式得(＋＋)2≤·[()2＋()2＋()2]＝×1∴＋＋≤.22.已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．【答案】12【解析】∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤3(x2＋y2＋z2)，∴a2＋4b2＋9c2≥ (a＋2b＋3c)2＝＝12.∴a2＋4b2＋9c2的最小值为12.23. A．（不等式选讲）已知函数．若关于x的不等式的解集是，则的取值范围是B．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线与直线相切，则实数的值为_______【答案】A：；B：或【解析】根据题意，由于，则可知的解集为R，则说明了对一切实数都成立，则可知。

高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》经典测试题及答案解析

【高中数学】数学《不等式选讲》试卷含答案一、141．不等式842x x --->的解集为( ) A ．{}|4x x ≤ B ．{|5}x x <C ．{|48}x x <≤D ．{|45}x x <<【答案】B 【解析】【分析】分三种情况讨论：4x ≤，48x <<以及8x ≥，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】当4x ≤时，()()848442x x x x ---=-+-=>成立，此时4x ≤；当48x <<时，()()84841222x x x x x ---=---=->，解得5x <，此时45x <<；当8x ≥时，()()848442x x x x ---=---=-<，原不等式不成立. 综上所述，不等式842x x --->的解集为{}5x x <，故选B. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.2．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（）A B ．13C ．2D 【答案】D 【解析】【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以222222291||()()(31)4OM a b a b a b=+=+++=…，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，6e =．故选D ．【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．3．已知，，则使不等式一定成立的条件是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D 。

高考数学真题：不等式选讲含答案

专题十六不等式选讲第四十二讲不等式选讲2019年1.（2019全国I 理23）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．2. （2019全国II 理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.3.（2019全国III 理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.2010-2018年解答题1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值． 5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围． 6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤．7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．8．（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．9．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式|()|1f x >的解集．10．（2016年全国II ）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+． 11．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 12．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 13．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd a b c d >a b c d >||||a b c d -<- 的充要条件．14．（2014新课标1）若0,0a b >>，且11a b+=． (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由． 15．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．16．（2013新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 17．（2013新课标2）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤（Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 18．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式()3f x 的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．19．（2011新课标）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．专题十六不等式选讲第四十二讲不等式选讲答案部分2019年1.解析（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.2．解析（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---. 当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.3．解析（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43.（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +，解得3a -或1a -．2010-2018年1．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ．综上，a 的取值范围为(0,2]．2．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ． (2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ．由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．3．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x=的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()f x ax b+≤在[0,)+∞成立，因此a b+的最小值为5．4．D．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z++++++≥．因为22=6x y z++，所以2224x y z++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333x y z===，，，所以222x y z++的最小值为4．5．【解析】（1）当1a=时，不等式()()f xg x≥等价于2|1||1|40x x x x-+++--≤．①当1x<-时，①式化为2340x x--≤，无解；当11x-≤≤时，①式化为220x x--≤，从而11x-≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -+<≤．所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-<≤．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．6．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++ 23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．7．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+．故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．8．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤. 9．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤．当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<，当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >，综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，．10．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（Ⅱ）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．11．【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+，得13x-.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x-.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +等价于|1|3a a-+. ①当1a时，①等价于13a a -+，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+，解得2a.所以a 的取值范围是[2,)+∞.12．【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<．（Ⅱ）有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，所以函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．所以a 的取值范围为(2,)+∞． 13．【解析】（Ⅰ）∵2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >得22>．>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>>则22>，即a b c d ++>++ 因为a bc d ，所以ab cd ，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-．因此||||a b c d -<-，>||||a b c d -<-的充要条件．14．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号．故33ab+≥≥，且当a b ==时取等号．所以33ab +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．15．【解析】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥．所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-. 当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a＜52．当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5得12+＜a ≤3．综上，a，52+）． 16．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．（Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤，∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a-≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=．所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤（Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥ 18．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩1x⇔或4x．(2)原命题()4f x x ⇔-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--在[1,2]上恒成立 22x ax ⇔---在[1,2]上恒成立30a ⇔-．19．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aa x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．。

专题27 不等式选讲(文理通用)(解析版)

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式选讲目录题型一：含绝对值不等式的解法 .......................................................... 1 题型二：不等式的最值 ......................................................................... 8 题型三：含绝对值不等式的成立问题................................................... 9 题型四：含绝对值函数的图像及其应用 ............................................. 10 题型五：不等式证明 (17)题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =−++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >−，求a 的取值范围．【答案】(1)(][),42,−∞−+∞ ．(2)3,2−+∞．解析：(1)当1a =时，()13f x x x =−++，13x x −++表示数轴上的点到1和3−的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3−的距离之和不小于6，故4x ≤−或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,−∞−+∞ ．(2)依题意()f x a >−，即3a x a x −+>−+恒成立，333x a x x a a x −++−+=≥++，故3a a +>−，所以3a a +>−或3a a +<，解得32a >−．所以a 的取值范围是3,2−+∞．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =−+−+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集； (2)若()4f x …，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x≤或112x≥；(2)(][),13,−∞−+∞ ．解析：(1)当2a =时，()43f x x x =−+−．当3x ≤时，()43724f x x x x =−+−=−≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =−+−=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =−+−=−≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ≤或112x ≥ ．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =−+−+≥−−−+=−+−=−(当且仅当221a x a −≤≤时取等号)，()214a ∴−≥，解得：1a ≤−或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,−∞−+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型． 3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3−【解析】1224x x x <−−−−≤ 或10224x x x −≤≤ +−≤ 或0224x x x >++≤21x ∴−≤<−或10x −≤≤或203x <≤,所以解集为22,3−4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =−+−−．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈−∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】()1(),1−∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x −−−.当1x <时，2()2(1)0f x x =−−<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)−∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈−∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x −−−−− 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x −+−−<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x −+−−<；当1x <时，原不等式可化，即()210x −>，显然成立，此时解集为(),1−∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x −+−−<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x −+−−<，即()210x −<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1−∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈−∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a −+−−<，即()()10x a x −−>，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a −< =−−<≤，因1a x <≤时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x −. 【答案】见解析【解析】当0x <时，原不等式可化为122x x −+−>，解得13x <−；为为当12x 0≤≤时，原不等式可化为122x x +−>，即1x <−，无解；当12x >时，原不等式可化为212x x +−>，解得1x >. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <−>或.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+−−>．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围【答案】(Ⅰ)2{|2}3x x <<(Ⅱ)(2，+∞) 分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围．解析：(Ⅰ)当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|＞1，等价于11221x x x ≤−−−+−> 或111221x x x −<< ++−> 或11221x x x ≥ +−+> ，解得223x <<，所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a −−<−=+−−≤≤ −++>，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A −，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +．由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >．所以a 的取值范围为(2，+∞)．7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥【答案】153x x x ≤−≥−或分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可解析：原不等式可化为3232x x <− −−≥ 或32332x x ≥−+≥ ．解得5x ≤−或13x ≥−．综上，原不等式的解集是153x x x ≤−≥−或．8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++−>(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【答案】解析：(Ⅰ)11112x x a x a x x a x a a a a a++−=++−≥++−=+≥，仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2．(Ⅱ)()3f =1133335a a a a++−=−++<当03a <<时，()3f =165a a−+<，解得a >当3a ≥时，()3f =15a a +<，解得a >综上所述，a 的取值范围为．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围【答案】(1);(2)．【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,．若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为．【解析】(1)当时,不等式等价于①当时,①式化为,无解;当时,①式化为,从而;当时,①式化为,从而所以不等式的解集为()24f x x ax =−++()11g x x x =++−1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1−a 112x x −+−≤≤[]1,1−1a =()()f x g x ≥2|1||1|40x x x x −+++−−≤x 1x <−11x −≤≤1x >[1,1]x ∈−()2g x =()()f x g x ≥[1,1]−[]1,1x ∈−()2f x ≥()f x []1,1−()1f −()1f ()12f −≥()12f ≥11a −≤≤a []1,1−1a =()()f x g x ≥21140x x x x −+++−−<1x <−2340x x −−≤11x −≤≤220x x −−≤11x −≤≤1x >240x x +−≤1x <≤()()f x g x ≥112xx −+−≤≤(2)当时,所以的解集包含,等价于当时,又在的最小值必为与之一,所以,得．所以的取值范围为．10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数． (1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(1)因为所以不等式等价于或或由无解；由；由综上可得不等式的解集为．(2)解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围不等式的解集为空集等价于不等式恒成立记，则当时，当时，当时， []1,1x ∈−()2g x =()()f x g x ≥[]1,1−[]1,1x ∈−()2f x ≥()f x []1,1−()1f −()1f ()()1212f f −≥ ≥ 11a −≤≤a []1,1−()12f x x x =+−−()1f x ≥()2f x x x m ≥−+m {}1x x ≥5-，4 ∞()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x −<−=+−−=−≤≤ > ()1f x ≥131x <− −≥ 12211x x −≤≤ −≥231x > ≥ 131x <− −≥ ⇒x 1222x x −≤≤ ≥ 12x ⇒≤≤231x >≥ 2x ⇒≥()1f x ≥[)1,+∞()2f x x x m ≥−+m ()2f x x x m ≥−+()2m f x x x >−+()()2F x f x x x =−+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x −+−<−−+−≤≤ −++>()max m F x > 1x <−()()2211131524F x x x x F=−+−=−−−<−=− 12x −≤≤()223535312424F x x x x F =−+−=−−+≤= 2x >()()2211332124F x x x x F=−++=−−+<=所以所以不等式的解集为空集时，所以不等式的解集非空时，的取值范围为．解法二：原式等价于存在，使成立，即设由(1)知当时，，其开口向下，对称轴所以当时，，其开口向下，对称轴为所以当时，，其开口向下，对称轴为所以综上所以的取值范围为．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a −+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =−,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ){}13x x −≤≤;(Ⅱ)[)2,+∞.【解析】(Ⅰ)当2a =时,()222f x x −+.()max 3524F x F== ()2f x x x m ≥−+54m >()2f x x x m ≥−+m 5,4−∞x R ∈2()f x x x m −+≥2max [()]f x x x m −+≥2()()g x f x x x =−+2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x −+−≤− =−+−−<< −++≥1x ≤−2()3g x x x =−+−112x =>−()()11135g x g ≤−=−−−=−12x −<<()231g x x x =−+−32x =()399512424g x g ≤=−+−=2x ≥()23g x x x =−++12x =()()24231g x g ≤=−++=()max 54g x =m 5,4−∞解不等式2226x −+≤,得13x −≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}13x x −≤≤. (Ⅱ)当R x ∈时,()()2122121f x g x x a a x x a x a a a +=−++−−+−+=−+≥ 当12x =时等号成立. 所以当R x ∈时,()()3f x g x +≥等价于13a a −+≥.① 当1a ≤时,①等价于13a a −+≥,无解. 当1a >时,①等价于13a a −+≥,解得2a ≥ 所以的取值范围是[)2,+∞.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【答案】4证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333xy z==，，，所以222x y z ++的最小值为4．2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由．【答案】解析:(1),得,且当, 故,且当,∴的最小值为．(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾, 所以不存在,使得成立．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．0,0a b >>11a b+33a b +,a b 236a b +=11a b =+?2ab ³a b 33a b +?a b 33a b +623a b =+?32ab £2ab ³,a b 236a b +=(Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)+的最大值．【答案】(Ⅰ)3a =−，1b =；(Ⅱ)4．分析：(Ⅰ)先由x a b +<可得b a x b a −−<<−，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；(Ⅱ)，再利用柯西不等式的最大值．解析：(Ⅰ)由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a −−=−=解得3a =-,1b = (Ⅱ≤4=，即1t =时等号成立，故max4=．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c ++的值；(Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ)87．解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=++，当且仅当a x b -＃时，等号成立，又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++,所以a b c 4++=． (Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得 ()()22222114912+3+1164923a b a b c c a b c++++≥×××=++=, 即222118497a b c ++?．当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立所以2221149a b c ++的最小值为87．题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =−+−−．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； (2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =时， 24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +−=−< −+>≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x −． (2)()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++−．而|||2||2|≥x a x a ++−+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a −或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,−∞−+∞ ．2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+−−．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+−−，即2,1,()2,11,2, 1.x f xx x x −≤− =−<< ≥故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +−−>成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax −<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax −≥；若0a >，|1|1ax −<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =−−．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】(1),33a a(2)2解析：(1)若x a ≤,则()22f x a x a x −−<, 即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x −−<, 解得3x a <,即3a x a <<, 综上,不等式的解集为,33a a． (2)2,()23,x a x af x x a x a −+≤ =−>．画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC ,ABC 的高为3,,0,,022a a a A B,所以||=AB a ,所以211||222ABCS AB a a =⋅== ,解得2a =．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+−．(1)求不等式()6f x x ≤−的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤+−≤所确定的平面区域的面积．【答案】(1)[2,2]−； (2)8．解析：(1)依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>=+≤≤ −+<，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x > −≤− 或0226x x x ≤≤ +≤− 或0326x x x < −+≤−，解2326x x x >−≤− ，得无解；解0226x x x ≤≤ +≤− ，得02x ≤≤，解0326x x x < −+≤−，得20x −≤<，因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]− (2)作出不等式组()60f x yx y ≤+−≤表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =−++= ，解得(2,8)A −，由26y x x y =+ +=, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =×−=−×−−= ． 3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+−−．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】(1)详解解析；(2)7,6 −∞−．【解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x+≥=−−<<−−≤−，作出图象，如图所示：(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x −−=+−，解得76x =−．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6 −∞−．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+−−． (I )画出(x)y f =的图像； (II )求不等式(x)1f >的解集．【答案】 (I )见解析 (II )()()11353−∞+∞，，，【官方解答】(I )()4133212342x x f x x x x x−−=−−<<− ，≤，，≥ ，()y f x =如图所示：(II )由()f x 得表达式及图像，当()1f x =时，得1x =或3x =当()1f x =−时，得13x =或5x = 故()1f x >的解集为{}13x x <<；()1f x −<的解集为153x x x <>或 ()1f x >∴，解集为()()11353−∞+∞，，，．【民间解答】(I )如上图所示：(II )()4133212342x x f x x x x x−−=−−<<− ，≤，，≥ ()1f x >当1x −≤，41x −>，解得5x >或3x <1x −∴≤ 当312x −<<，321x −>，解得1x >或13x <113x −<<∴或312x <<当32x ≥，41x −>，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x>综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353−∞+∞，，，．5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++−．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x−<−=+−≤<≥()y f x=的图像如图所示(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】(1)()211f x x x =++−3,112,12132x x x x x x >=+−≤≤ −<−，可作出函数()f x 的图象如下图(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b −+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a −≥，且30a b −+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b −+−≥恒成立结合3a ≥，可知20b −≥即2b ≥综上可知32a b ≥ ≥ ，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明【答案】解析:证明:由柯西不等式得,直线的普通方程为．因为, , 所以, 因此2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥．【答案】(1)见解析 (2)见解析【解析】(1)证明：由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ++++≥++，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤； (2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤，即043a c <+≤，所以1143a c ≥+，由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c ++=+≥=≥++，当且仅当124a c=，即1a =，12c =时取等号，所以113a c+≥ 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc +++++++ ，,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤l 22222()()()ac bd a b c d +++≤224a b +=2216c d +=2()64ac bd +≤8.ac bd +≤()22212ab bc ca a b c ∴++=−++1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=−++<； (2)不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<， 1,a b c a bc=−−= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bcbc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=． (1)求222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥成立，证明：3a −≤或1a −≥．【答案】(1)43；(2)见详解．【官方解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z −++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =−+++++−++++++−2223(1)(1)(1)x y z −++++ …故由已知得232(1)(1)143()x y z −++++≥，当且仅当511,,333x y z ==−=−时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43． (2)由于2[(2)(1)()]x y z a −+−+−.222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =−+−+−+−−+−−+−−2223(2)(1)()x y z a −+−+− …故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +−+−+−…，当且仅当4122,,333a a a xy z −−−==时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a −+−+−的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +…，解得3a −≤或1a −≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z −++++++−++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥，当且仅当511,,333x y z ==−=−时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43． (2)2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a −+−+−++≥．当且仅当4122,,333a a a xy z −−−==时等号成立． 22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a −+−+−++=−+−+−=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a −≤或1a −≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c =324×××=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =−+−，2()1681g x x x =−+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤．【答案】(1)[0，43]；(2)见解析．解析：(1)由f (x )=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1 可得1331x x ≥−≤ ①，或111x x < −≤ ②．解①求得1≤x ≤43，解②求得 0≤x ＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]．(2)由g (x )=16x 2﹣8x +1≤4，求得14−≤x ≤34，∴N =[14−，34]，∴M ∩N =[0，34]．∵当x ∈M ∩N 时，f (x )=1﹣x ，x 2f (x )+x [f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=21142x−−≤14，故要证的不等式成立．7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【答案】[选修4—4：不等式证明选讲]．解析：本小题主要考查本小题满分10分．证法一：因为0,0x y >>，所以210x y ++≥>，故22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=．证法二：(柯西不等式)22222(1)(1)(1)(1)(x y x y x y y x y x ++++=++++≥++ 29xy ≥+=．证法三：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故222(1)(1)(2)(2)2()99x y x y x y y x x y xy xy ++++≥++=−+≥． (江苏苏州褚小光) 证法四：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故2222(1)(1)(2)(2)225459x y x y x y y x x y xy xy xy xy ++++≥++=++≥+=． 8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ． (II22222222111()()(111)()9.p p q r p q r q r ≥×+×+×++++=++即2223q p r ++≥．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >+>+(Ⅱ>是a b c d −<−的充要条件．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析．解析：(Ⅰ)因为2a b =++，2c d =++a b c d+=+，abcd >，得22>++>(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d −<−，则22()()a b c d −<−．即22()4()4a b ab cd cd +−<+−．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由(Ⅰ)>．(ⅱ)>22>，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a bab −=+−2()4c dcd <+−2()c d =−．因此a b c d −<−，综上，>是a b c d −<−的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明: (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．分析：(1)将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法，假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<a ，0>b ，得1=ab ，(1)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；(2)假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤55222222332()()))()4a b a b a b a b ++=+⋅+≥+=5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b ++=+++=+++−33233332()2()4a b a b a b ≥++−=+=解法三：又，所以．当时，等号成立．所以，，即． (2)解法一：由及得所以．解法二：(反证法)假设，则，两边同时立方得：，即，因为，所以，即，矛盾，所以假设不成立，即．解法三：因为，所以：．又，所以: 。

高考数学复习：不等式选讲练习及答案

（x－ 1）＋（ x＋ 2） ≥５
－ 2<x<1，或
－（ x－ 1）＋（ x＋ 2） ≥５
x≤－2，或
－（ x－1）－（ x＋ 2） ≥５，解得 x≥２或 x≤－3. 故原不等式的解集为 { x|x≤－ 3 或 x≥2}．答案 { x|x≤－ 3 或 x≥2} 高频考点二不等式的证明
例 2．【 2017 课标 II ，理 23】已知
.
（ 2）当 x 1,1 时， g x 2 .
所以
的解集包含 1,1 ，等价于当 x 1,1 时 f x 2 .
又 f x 在 1,1 的学科 & 网最小值必为 f 1 与 f 1 之一，所以 f 1 2 且 f 1 2 ，得 1 a 1 .
所以 a 的取值范围为 1,1 .
1.【 2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 10 分） ,选修 4—5：不等式选讲
4. （ 2018 年江苏卷） [ 选修 4—5：不等式选讲 ] 学 -科网
若 x， y， z 为实数，且 x+2 y+2z=6，求
的最小值．
【答案】 4
【解析】证明：由柯西不等式，得
．
，故当且仅当
因为
，所以
，
当且仅当
时，不等式取等号，此时
，
所以
的最小值为 4．
1.【 2017 课标 II ，理 23】已知
1. （ 2018 年全国 I 卷理数） [选修 4–5：不等式选讲 ]
已知
.
（ 1）当时，求不等式
的解集；
（ 2）若
时不等式
成立，求的取值范围 .
【答案】（1）
．
（2）．【解析】 [来源学科网 ZXXK]

不等式选讲专题练习(含解析)【最新】

不等式选讲专题练习1．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围.2．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.3．已知函数()1f x ax =+，若不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （1）求a 的值；（2）若存在x ∈R ，使得不等式()f x a x a k <++成立，求k 的取值范围.4．已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<（1）求实数,a b 的值；（2.5．已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[]0,2，求a 的取值范围.6．已知函数()|21|f x x =+．（1）解不等式：()(2)6f x f x +-„；（2）求证：()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-„．7．已知函数()|22||1|f x x x =+--．（1）在如图所示的坐标系中作出()f x 的图象，并结合图象写出不等式()3f x ≥的解集；（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围．8．设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．9．已知函数()2f x x a x =-+-.（Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .10．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.11．若x R ∃∈，使得不等式221sin 4sin 4t x x -<--成立.（Ⅰ）求t 的取值范围；（Ⅱ）求证：1113221t t t ++>-+.12．已知函数()f x =R .（1）求实数t 的取值范围；（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求222111123a b c +++++的最小值.13．已知函数()221f x x x =-+-．（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数f （x ）的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且12a b c m ++=，求a 2+b 2+c 2的最小值．14．已知函数()31f x x x =-+-.（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.不等式选讲专题练习1．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）()6,m ∈+∞【详解】（1）当1a =时，即解不等式221x x ->+，①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-，所以不等式()21f x x >+的解集为空集，②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <，综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()221f x x x a a ++=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +<-在()1,+∞上有解，又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=，当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞.2．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞．试题解析：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立，所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ①当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.所以a 的取值范围是[2,)+∞.3．已知函数()1f x ax =+，若不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （1）求a 的值；（2）若存在x ∈R ，使得不等式()f x a x a k <++成立，求k 的取值范围.【答案】（1）2a =（2）3k >-【详解】解：（1）∵()1f x ax =+， ∴()f x a ≤，即01a ax a >⎧⎨+≤⎩，解得11a a x a a ---≤≤，又∵不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴2a =. （2）依题意，()21f x x =+，故不等式()f x a x a k <++可化为2122x x k +<++，要使不等式存在解，即1122k x x +<++存在解，即1122k x x +--<存在解，令()1,0211112,022231,22x g x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=+--=->≥-⎨⎪⎪-<-⎪⎩， ∴()g x 的最小值为32-，依题意得322k >-， ∴3k >-.4．已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<（1）求实数,a b 的值；（2.【答案】（1）3,1a b =-=；（2）4【详解】（1）由x a b +<，得b a x b a --<<- 则2,{4,b a b a --=-=解得3a =-,1b = （2=≤4===，即1t =时等号成立，故max 4=．5．已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[]0,2，求a 的取值范围.【答案】（1）(,3][4,)-∞-+∞U ；（2）[22]-，. 【详解】当1a =时，21,1()3,1221,2x x f x x x x -+-⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩„…，当1x ≤-时，由()7f x ≥得217x -+≥，解得3x ≤-；当12x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x -≥，解得4x ≥，所以()7f x ≥的解集为(,3][4,)-∞-+∞U（2）()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[0]2，等价于|||2||4||2|x a x a x x +-+---„在[0]2，上恒成立，当[02]x ∈，时，|||2||4||2|2x a x a x x +-+---=„等价于max |(2|||)2x a a x ++-„恒成立，而|||2||()(2)|||x a x a x a x a a +-++-+=„，∴2a ≤，故满足条件的a 的取值范围是[22]-，6．已知函数()|21|f x x =+．（1）解不等式：()(2)6f x f x +-„；（2）求证：()222(1)232f x a f x x a x a a +--++++-„．【答案】（1）{|12}x x -剟；（2）见解析. 【详解】（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，于是原不等式化为|21||23|6x x ++-„，若21x <-，则21(23)6x x ----„，解得112x -<-„；若1322x -剟，则21(23)6x x --+-„，解得1322x -剟；若32x >，则21(23)6x x ++-„，解得322x <„．综上所述，不等式解集为{|12}x x -剟．（2）由已知条件，对于x ∀∈R ，可得()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+„．又()22222232232323x a x a a a a a a a ++++-+--=-+…，由于22183233033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以222232323x a x a a a a ++++--+…．又由于()22223232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-…，于是2232322a a a -++…．所以()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-„．7．已知函数()|22||1|f x x x =+--．（1）在如图所示的坐标系中作出()f x 的图象，并结合图象写出不等式()3f x ≥的解集；（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析，2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）21m -<<- 【详解】（1）3,1()31,113,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩结合图象可知，当1x ≤-时，33x --≥，6x ≤-；当11x -<<时，313x +≥，解得2,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当1x ≥时，33x +≥成立．综上，不等式()3f x ≥的解集为2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，则()0>g x 恒成立，即2()3f x m m >+恒成立，只需2min ()3f x m m >+．由（1）中图象可知min ()(1)2f x f =-=-．所以232m m +<-，解得21m -<<-．8．设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．详解：（1）()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．9．已知函数()2f x x a x =-+-.（Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .【答案】（Ⅰ）5a ≥或1a ≤-；（Ⅱ），4a =，6m =.【详解】（Ⅰ）因为()()222x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()()20x a x --≤时取等，故()f x 最小值为2a -， 235a a ∴-≥⇔≥或1a ≤-.（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.0a =时，如图所示：不合题意舍去.4a =时，如图所示：由y x =与26y x =-解得：6x =，即6m =，综上，4a =，6m =.10．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.【答案】(Ⅰ)4M =；(Ⅱ)证明见解析.试题解析：(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤，所以实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a ba b ++≥+，所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).11．若x R ∃∈，使得不等式221sin 4sin 4t x x -<--成立.（Ⅰ）求t 的取值范围；（Ⅱ）求证：1113221t t t++>-+. 【答案】（Ⅰ）()0,1；（Ⅱ）证明见解析【详解】（Ⅰ）设sin x m =，[]1,1m ∈-，故()222sin 4sin 44428y x x m m m =--=--=--， max 1y =，故211t -<，解得01t <<，即()0,1t ∈.（Ⅱ）()()222111+1111111322122133t t t t t t t t t -++++⎛⎫++=++≥= ⎪-+-+⎝⎭，等号成立的条件是111221t t t ==-+，方程无解，故1113221t t t ++>-+.12．已知函数()f x =R .（1）求实数t 的取值范围；（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求222111123a b c +++++的最小值.【答案】（1）4t ≥；（2）922【详解】（1）因为函数定义域为R ，即2130t x x ++--=恒成立，所以213t x x ≥-++-恒成立 5,1,21313,13,5, 3.x x x x x x x x +≤-⎧⎪-++-=--<<⎨⎪--≥⎩由单调性可知当1x =-时，213x x -++-有最大值为4，即4t ≥；（2）由（1）知4m =，22216a b c ++=，由柯西不等式知()()22222221111231119123a b c a b c ⎛⎫++⨯+++++≥++=⎪+++⎝⎭所以222111912322a b c ++≥+++，即222111123a b c +++++的最小值为922. 当且仅当2193a =，2163b =，2133c =时，等号成立13．已知函数()221f x x x =-+-．（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数f （x ）的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且12a b c m ++=，求a 2+b 2+c 2的最小值．【答案】（1）{x |x ≥2或x ≤0}．（2）最小值为1．【详解】（1）3321()2211221332x x f x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎪=-+-=+≤≤⎨⎪⎪-+⎪⎩，＞，，＜． ∵()3f x ≥，∴3332x x -≥⎧⎨⎩＞或13122x x +≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或33312x x -+≥⎧⎪⎨⎪⎩＜，解得2x ≥或0x ≤，∴不等式的解集为{x |x ≥2或x ≤0}．（2）由（1）知，函数()f x 在1(,)2-∞上单调递减，在1[,)2+∞上单调递增，所以min 13()()22f x f ==，则1322a b c m ++==，由柯西不等式，有222222211()[()9411]()22a b c a b c ++≥++=++， ∴2221a b c ++≥，当且仅当2a ＝b ＝c ，即a 13=，b ＝c 23=时取等号， ∴222a b c ++的最小值为1．14．已知函数()31f x x x =-+-.（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.【答案】（1）(],1m ∈-∞-（2）证明见解析【详解】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+-- Q ()g x m ≥恒成立∴ ()4,32,13,43,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩其图像如图所示:故()()min 31g x g ==-，∴ (],1m ∈-∞-（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立，∴2s =，即2a b c ++=，原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式得: ()211416a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭=， ∴1148a b c ++≥，当且仅当12a =,12b =,1c =时等号成立，∴ 48ab bc ac abc ++≥成立.。

专题14 不等式选讲解答题30题学生版--高考数学专题训练

专题14不等式选讲解答题30题1．（2022-2023学年高三上学期一轮复习联考（五）理科数学试题（全国卷））已知函数() 2 1f x x a x =-++，() 21g x x =-+.(1)当a =2时画出函数()f x 的图象，并求出其值域；(2)若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.2．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知函数()23f x x a x =+-++.(1)当0a =时，求不等式()9f x ≥的解集；(2)若()2f x >，求a 的取值范围.3．（陕西省渭南市富平县2022-2023学年高三下学期期末文科数学试题）已知函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为m ．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若a ，b 都是正数且ab m =，求2a b +的最小值．4．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）已知a ，b 均为正数，且2226a b +=，证明：(1)2a b +≤(2)12a b +≥5．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题）已知()223f x x x =++-．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c a c m++≥+++．6．（河南省洛平许济联考2022-2023学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题）已知函数()121f x x x =++-．(1)求不等式()8f x <的解集；(2)设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥．7．（河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题）已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时，求不等式()0f x 的解集；(2)当1a -时，若函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明：232b a ->.8．（河南省洛阳市第八高级中学2023届高三下学期开学摸底考试理科数学试题）已知函数()|||4|f x x a x =-++.(1)当2a =时，求不等式()8f x ≥的解集;(2)若()21>+f x a 恒成立，求a 的取值范围.9．（青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学（文）试题）已知函数()|2||22|(0,0)f x x a x b a b =++->>.(1)若2a =，2b =，求不等式()8f x >的解集；(2)若()f x 的最小值为1，求1123a b b++的最小值.10．（2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷(四））已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+．（1）解不等式()5g x <．（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．11．（甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学(文科)试题）已知函数()|21|,()||f x x g x x a=+=+（1）当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在x ∈R ，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．12．（安徽省江淮名校2022届高三下学期5月联考理科数学试题）已知函数()22212f x x m x m =-++-.(1)当3m =时，求不等式()10f x 的解集；(2)若()4f x 恒成立，求实数m 的取值范围.13．（河南省商开大联考2022-2023学年高三下学期考试文科数学试题）设函数()1f x x a x a =-+++．(1)当0a =时，求不等式()21f x x <+的解集；(2)若关于x 的不等式()2f x <有解，求实数a 的取值范围．14．（山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题）（1）解不等式217x x -+-；（2）若正实数,a b 满足1a b +=，求2211a b b a +++的最小值．15．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知函数()2R f x x m m =+-∈，，且()0f x <的解集为[3,1]--．(1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，的最大值.16．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）已知函数()22f x x a a x =---.(1)当1a =-时，求不等式()8f x <的解集；(2)当[]1,2x ∈时，()0f x ≥，求a 的取值范围.17．（内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知()()4f x x m x x x m =-+--(1)当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若(),2x ∈-∞时，()0f x <，求m 的取值范围.18．（内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考数学文科试题）已知函数()|||2|f x x a x =++-，其中a 为实常数．（1）若函数()f x 的最小值为3，求a 的值；（2）若当[]1,2x ∈时，不等式()|4|f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围．19．（内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题）已知m ≥0，函数()212f x x x m =--+的最大值为4，(1)求实数m 的值；(2)若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值.20．（宁夏石嘴山市第三中学2023届高三上学期期未考试数学(理)试题）已知函数f （x ）＝2|x ＋1|＋|x －3|．(1)求不等式f （x ）>10的解集；(2)若函数()()3g x f x x =+-的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝M ，证明2228a b c c a b++≥．21．（河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考理科数学试卷）已知函数()1f x x =+.(1)求不等式()52f x x ≥--的解集；(2)记()1y f x x =+-的最小值为m ，若0a >，0b >，20a b m +-=，证明：189a b+≥.22．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）已知函数()()22R f x ax x a =---∈.(1)当2a =时，求不等式()2f x >的解集；(2)若存在[]2,4x ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围.23．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）已知函数()31f x x =-+．(1)求不等式()82f x x ≤-+的解集；(2)若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．24．（江西省赣州市2023届高三上学期1月期末考试数学（理）试题）已知函数()212f x x x =+++的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)设,,a b c 为正数，且a b c m ++=，求证：2222222a b c a b c c b a+++++≥．25．（2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟（三模）文科数学试题）已知函数()11f x x x =-++.（1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.26．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）已知函数()21,R f x x a a =-+∈，(1)当3a =时，求()f x 的最小值；(2)若对()0,6,R,m x ∀∈∀∈，不等式()f x >a 的取值范围.27．（贵州省贵阳市普通中学2023届高三上学期期末监测考试数学（文）试题）已知0,0a b >>，函数()|2||2|1f x x a x b =++-+的最小值为3．(1)求a b +的值；(2)求证：3221log 42b a ab ⎛⎫++≥- ⎪⎝⎭．28．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（文）试题）已知函数()2f x a x x =-++．(1)当1a =付，求不等式()4f x ≤的解集；(2)若()2f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围．29．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．(1)求证：115236a b -<；(2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．30．（广西柳州市、梧州市2023届高中毕业班2月大联考数学（文）试题）已知函数()|21||1|f x x ax =++-．(1)当2a =时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若0a >时，存在x ∈R ，使得()12a f x <+成立，求实数a 的取值范围．。

高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》全集汇编及解析

新高考数学《不等式选讲》练习题一、141．不等式的解集是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】利用绝对值三角不等式，得到，恒成立.【详解】恒成立.故答案选B 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.2．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}06a a ≤≤B ．{}64a a a ≤≥或C ．{}06a a a ≤≥或D ．{}24a a ≤≤【答案】C 【解析】【分析】根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。

【详解】由111x a x a -<⇔-<-<，解得11a x a -<<+，因为A B =∅I ，所以11a +≤或15a -≥，解得0a ≤或6a ≥，即实数a 的取值范围是{}06a a a ≤≥或，故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。

3．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x …时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（）A ．(,5)(5,)-∞-+∞UB ．(,5)(3,)-∞-+∞UC ．(,7)(3,)-∞-+∞UD ．(,7)(2,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数以及当0x …时，2()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.【详解】∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴当0x ≥时，0x -≤,所以22()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>，∴2|2|4|2|5x x +-+>，所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.4．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（）A ．3B ．13C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =．故选D ．【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．5．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.6．2018年9月24日，英国数学家.M F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记222111123S n =+++++L L ，则（） A ．413S <【答案】C 【解析】【分析】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--，利用放缩法和极限，即可得到答案. 【详解】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--，所以2221111111113111()()()232334121n S n n n n =+++++>+-+-++-=-++L L L 22211111111111(1)()()2232231n S n n n nL L =++++<+-+-++-=--，当n →+∞且n N +∈时，101n →+，且10n →，所以322S <<，故选C. 【点睛】本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用21n 进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.7．在平面内，已知向量(1,0)a =v，(0,1)b =v，(1,1)c =v，若非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，且23p xa yb zc =++v v v v，则（）A ．p vB ．p v的最大值为C ．p vD ．p v的最大值为【答案】A 【解析】【分析】求出p v 的坐标，表示p v ，即：p v柯西不等式即可求得其最小值，问题得解．【详解】因为()1,0a =v ，()0,1b =v ，()1,1c=v，所以23p xa yb zc =++v v v v=()3,23x z y z ++，又非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，所以01z ≤≤，所以pv ==5≥==≥=，当且仅当()()31232,0x z y z z +⨯=+⨯=时，等号成立．即：当且仅当41,,055x y z ===时，等号成立．所以p v，故选A. 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题．8．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（） A ．(]2∞-，B ．(]1∞-， C ．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】2212,21n n a a S n +==++ ()*n N ∈，可得2n ≥时，()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ的取值范围．【详解】2212,21n n a a S n +==++Q ()*n N ∈，2n ∴≥时，()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+，化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++.所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为（） A ．45[,)33B ．2112(,][,)3333--⋃ C ．12[,)33⋃45(,]33D ．随a 的值而变化【答案】C 【解析】试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=13，故函数()f x 的定义的定义域为22[,]33-，又当203x <≤时,()f x 单调递增，∴11113(1)()(1)(){23313x f x f f x f x ->->⇔->⇔-≤，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33⋃45(,]33，故选C考点：本题考查了抽象函数的运用点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用10．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>…；②a b a b -<+；③2(0)b a ab a b+≠…；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 ①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>…，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③，a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.11．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65B ．6 35C ．36 35D ．6【答案】C 【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】由柯西不等式,得：x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++ ≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项. 【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.12．设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】分别求解三次不等式和绝对值不等式确定x 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】由31x <可得1x <，由1122x -<可得01x <<，据此可知“31x <”是“1122x -<”的必要而不充分条件. 故选B . 【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．不等式222log 2log x x x x -<+的解集为（） A ．()1,2 B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】由题意得出0x >，分2log 0x >和2log 0x ≤两种情况讨论，结合222log 2log x x x x -<+可得出2log 0x >，解出该不等式即可.【详解】由题意得出0x >，当2log 0x ≤时，则222log 2log x x x x -=+. 当2log 0x >时，222log 2log x x x x -<+，解不等式2log 0x >得1x >. 因此，不等式222log 2log x x x x -<+的解集为()1,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查绝对值三角不等式的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.14．若,,a b c ∈R ，则下列结论中: (1)2211a a a a+≥+； (2)a b a c b c -≤-+-； (3)若a b >，则11a ba b>++；(4)若1a b +=，则2221a b a b +++的最小值为其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】利用函数知识、换元法、绝对值不等式等知识，对选项进行一一推理证明，即可得答案. 【详解】对（1），2221111()()20a a a a a a a a +≥+⇔+-+-≥，∴12a a +≥或11a a+≤-， ∵12a a +≥或12a a+≤-，∴原不等式成立，故（1）正确；对（2），∵()()a b a c b c a c b c -=---≤-+-，故（2）正确；对（3），令1,52a b =-=-，则51,114a b a b =-=++，显然11a b a b>++不成立，故（3）错误；对（4），∵1a b +=，∴222222(1)231111a b b b b a b b b b+-+++=+=+-+-，当1b >时，2301b b+<-，∴2221a b a b +++的最小值为4）错误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数与不等式的知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意消元法、换元法的使用.15．设x,y,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A ．2211x x x x++≥ BC ．12x y x y-+≥- D ．x y x z y z -≤-+- 【答案】C 【解析】【分析】【详解】试题分析：x y x z z y x z z y x z y z -=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立；由于函数()1f x x x=+,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增, 当1x >时, ()()221,x x f x f x >>>即2211x x x x+>+,当01x <<,()()2201,x x f x f x <<即2211x x x x++≥正确，即A 正确；=<=,故B 恒成立，若1x y -=-,不等式12x y x y-+≥-不成立, 故C 不恒成立,故选C ．考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式．16．已知三个正实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，给出以下几个结论：①22213a b c ++≤；②13ab bc ca ++≤；③2221b c a a b c++≥；≥.则正确的结论个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式及柯西不等式计算可得；【详解】解：①：Q 222222222a b ab b c bc a c ac ⎧+⎪+⎨⎪+⎩………，222a b c ab bc ac ∴++++… 2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ∴++=+++++++„．22213a b c ∴++…，故①不正确．②：由2222()2()3()a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++++…，13ab bc ca ∴++„，故②正确．③：Q 222222b a b ac b c b a c c c ⎧+⎪⎪⎪+⎨⎪⎪+⎪⎩………，∴2221b c aa b c a b c ++++=… ∴2221b c a a b c++…，故③正确． ④：由柯西不等式得2()(111)a b c ++++，∴≤．则④错误．故选：B ．【点睛】本题考查利用基本不等式即柯西不等式证明不等式，属于中档题．17．函数()f x cosx = ，则()f x 的最大值是（） ABC ．1D ．2【答案】A 【解析】【分析】将()f x 化为()f x cosx =，利用柯西不等式即可得出答案.【详解】因为()f x cosx = 所以()f x cosx=„=当且仅当cosx =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的最值，涉及了柯西不等式的应用，属于中档题.18．定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，则满足12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是( ) A ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U B ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭U C ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U D ．()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性化简不等式12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得到12log 1x >，解绝对值不等式和对数不等式，求得x 的取值范围. 【详解】偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，所以()y f x =在(),0-∞上递增，且()10f -=，且距离对称轴越远，函数值越小，由12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可得12log 1x >，所以12log 1x >或12log 1x <-，解可得，102x <<或2x >. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性的单调性解抽象函数不等式，考查绝对值不等式、对数不等式的解法，属于中档题.19．已知函数()222,2log 1,2x x x f x x x ⎧-+≤=⎨->⎩，设12116n x x x ≤<<<≤L ，若()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-++-≤L ，则M 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】【分析】作出函数的图象，由已知分段函数求得f （1）1=，f （2）0=，(16)3f =，等价于12231max [|()()||()()||()()|]n n M f x f x f x f x f x f x -∴≥-+-+⋯+-，再求出不等式右边的最大值即可得M 的最小值．由222,2()log 1,2x x x f x x x ⎧-+=⎨->⎩„，得f （1）1=，f （2）0=，(16)3f =．12116n x x x <<⋯<Q 剟，12231|()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x -∴-+-+⋯+-… 12231max[|()()||()()||()()|]n n M f x f x f x f x f x f x -∴≥-+-+⋯+-12231|()()||()()||()()||(1)(2)||(2)(16)=|10||30|4n n f x f x f x f x f x f x f f f f --+-+⋯+-≤-+--+-=∴4M ≥．则M 的最小值为4．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数及其应用，考查三角绝对值不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（） A ．1 B ．13C ．12D ．3【答案】B 【解析】【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111xy z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++【详解】由柯西不等式得()()()2222222211111xy z x y z ++++≥++==，则22213x y z ++≥，当且仅当13x y z ===时，等号成立，因此，222x y z ++的最小值为13，故选：B.【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，关键在于对代数式朝着定值条件等式去进行配凑，同时也要注意等号成立的条件，属于中等题。

专题十六不等式选讲(试题部分)

专题十六不等式选讲探考情悟真题【真题探秘】【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.绝对值不等式(1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式几何意义证明以下不等式:|a+b|≤|a|+|b|.|a-b|≤|a-c|+|c-b|.(2)会利用绝对值的几何意求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.(3)了解证明不等式的基本法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法2019课标Ⅱ,23,10分2018课标Ⅰ,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的恒成立、参数取值范围的问题不等式的性质和解法★★★2017课标Ⅰ,23,10分2017课标Ⅲ,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的存在性、参数取值范围的问题不等式的性质和解法2016课标Ⅰ,24,10分画绝对值函数的图象,解绝对值不等式不等式的性质和解法2.不等式的证明2019课标Ⅰ,23,10分2019课标Ⅲ,23,10分2017课标Ⅱ,23,10分不等式的证明基本不等式分析解读从近五年的考查情况来看,本专题内容是高考的考查热点,主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答题的形式呈现,难度中等,分值为10分.主要考查学生的数学运算能力、分类讨论思想和数形结合思想的应用.破考点练考向【考点集训】考点一绝对值不等式1.(2020届云南昆明第二次月考,23)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0).(1)设不等式f(x)≤2的解集为A,集合B={x|-2<x<2},若A ⊆B,求实数a 的取值范围; (2)若不等式f(x)+f (1a x +2a )>32对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围. 解析 (1)由|ax-1|≤2,得-2≤ax-1≤2, 又∵a>0,∴-1a≤x ≤3a,得A=[-1a ,3a].∵B={x|-2<x<2},且A ⊆B, ∴{-1a >-2,3a <2,解得{a >12,a >32,∴a>32.∴a 的取值范围是(32,+∞).(4分)(2)由题意,得|ax-1|+|x+1|>32对一切实数x 恒成立,设h(x)=|ax-1|+|x+1|,因为a>0,所以h(x)={-(a +1)x,x <-1,(1-a)x +2,-1≤x ≤1a ,(a +1)x,x >1a ,(6分)所以h(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(1a ,+∞)上单调递增,(7分)①当0<a ≤1时,h(x)在[-1,1a ]上单调递增,h(x)min =h(-1)=a+1>32,∴12<a ≤1.(8分) ②当a>1时,h(x)在[-1,1a ]上单调递减,h(x)min =h (1a )=1a +1>32,∴1<a<2.(9分) 综上所述,a 的取值范围是(12,2).(10分)2.(2018豫南九校5月联考,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|. (1)若关于x 的不等式f(x)<a 有解,求实数a 的取值范围; (2)若关于x 的不等式f(x)<a 的解集为(b,72),求a+b 的值.解析 (1)不等式等价于a>f(x)min , f(x)={2x -2,x >3,4,-1≤x ≤3,2-2x,x <-1,绘制函数f(x)的图象如图所示,观察函数的图象,可得实数a 的取值范围是(4,+∞).(2)由题意可得x=72是方程|x+1|+|x-3|=a 的解,所以a=|72+1|+|72-3|=5,求解绝对值不等式|x+1|+|x-3|<5可得-32<x<72.故b=-32,a+b=5-32=72.考点二不等式的证明1.(2020届山西太原五中10月月考,23)设函数f(x)=|x+1|+|x-1|,已知不等式f(x)≤2√3的解集为M. (1)求M;(2)当a,b ∈M 时,证明:√3|a+b|≤|ab+3|. 解析 (1)f(x)=|x+1|+|x-1|={-2x,x <-1,2,-1≤x ≤1,2x,x >1.当x<-1时,由-2x ≤2√3,得x ≥-√3; 当-1≤x ≤1时, f(x)=2≤2√3; 当x>1时,由2x ≤2√3,得x ≤√3. 所以M=[-√3,√3].(2)证明:当a,b ∈M,即-√3≤a,b ≤√3时,∵3(a+b)2-(3+ab)2=3(a 2+2ab+b 2)-(9+6ab+a 2b 2) =(a 2-3)(3-b 2)≤0,∴3(a+b)2≤(3+ab)2, ∴√3|a+b|≤|3+ab|.2.(2019河南郑州二模,23)关于x 的不等式|x-2|<m(m ∈N *)的解集为A,且32∈A,12∉A.(1)求m 的值;(2)若a,b,c 均为正实数,且ab+bc+ca=mabc,求证:a+4b+9c ≥36. 解析 (1)∵32∈A,12∉A,∴|32-2|<m,|12-2|≥m, ∴12<m ≤32, ∵m ∈N *,∴m=1.(2)证明:由(1)及已知得1a +1b +1c =1, 又a,b,c 均为正实数,∴a+4b+9c=(a+4b+9c)(1a +1b +1c )=14+4b a +a b +9c a +a c +9c b +4bc ≥14+2√4ba ·ab +2√9ca ·ac +2√9cb ·4b c=36,当且仅当a=2b=3c 时等号成立,故a+4b+9c ≥36.思路分析 (1)根据题意可得|32-2|<m,|12-2|≥m,即可求出m 的值;(2)由(1)及已知条件得1a +1b +1c =1,再利用1的代换构造基本不等式即可证明.炼技法提能力【方法集训】方法1 含绝对值不等式的解法1.(2020届武汉第十六中学开学考试,23)已知函数f(x)=|x-a|+|x+1|. (1)若a=2,求不等式f(x)>x+2的解集;(2)如果关于x 的不等式f(x)<2的解集不是空集,求实数a 的取值范围.解析 (1)当a=2时, f(x)={-2x +1(x <-1),3(-1≤x <2),2x -1(x ≥2),不等式f(x)>x+2等价于{x <-1,-2x +1>x +2或{-1≤x <2,3>x +2或{x ≥2,2x -1>x +2,解得x<1或x>3. 故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}.(2)∵f(x)=|x -a|+|x+1|≥|(x-a)-(x+1)|=|a+1|,当(x-a)(x+1)≤0时取等号, ∴若关于x 的不等式f(x)<2的解集不是空集,只需|a+1|<2, 解得-3<a<1,即实数a 的取值范围是(-3,1).2.(2019安徽合肥第一次教学质量检测,23)设函数f(x)=|x+1|. (1)若f(x)+2x>2,求实数x 的取值范围;(2)设g(x)=f(x)+f(ax)(a>1),若g(x)的最小值为12,求a 的值.解析 (1)f(x)+2x>2即|x+1|>2-2x ⇔{x +1≥0,x +1>2-2x 或{x +1<0,-x -1>2-2x⇔x>13,∴实数x 的取值范围是(13,+∞).(2)∵a>1,∴-1<-1a<0,∴g(x)={ -(a +1)x -2,x ∈(-∞,-1),(1-a)x,x ∈[-1,-1a ],(a +1)x +2,x ∈(-1a ,+∞).易知函数g(x)在(-∞,-1a )上单调递减,在(-1a ,+∞)上单调递增, ∴g(x)min =g (-1a )=1-1a . ∴1-1a =12,解得a=2.方法2 与绝对值不等式有关的最值问题1.(2020届甘肃顶级名校阶段测试一,23)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|a-x|+|x+b|+c. (1)当a=b=c=1时,求不等式f(x)>3的解集; (2)当f(x)的最小值为3时,求1a +1b +1c 的最小值. 解析 (1)f(x)=|x-1|+|x+1|+1, ∴{x ≤-1,1-2x >3或{-1<x <1,3>3或{x ≥1,2x +1>3,解得x<-1或x>1,故原不等式的解集为{x|x<-1或x>1}.(2)f(x)=|x-a|+|x+b|+c ≥|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c=3,∴1a +1b +1c =13(a+b+c)(1a +1b +1c )=13[3+(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +b c )]≥13×(3+2+2+2)=3,当且仅当a=b=c=1时取等号,故1a +1b +1c 的最小值为3.2.(2019安徽黄山第二次质量检测,12)已知f(x)=|2-x|-|4-x|.(1)关于x 的不等式f(x)≥a 2-3a 恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若f(m)+f(n)=4,且m<n,求m+n 的取值范围. 解析 (1)f(x)={2(x ≥4),2x -6(2<x <4),-2(x ≤2),∴f(x)min =-2,(3分)∵f(x)≥a 2-3a 恒成立, ∴a 2-3a ≤f(x)min =-2, 解得1≤a ≤2.(5分) (2)由(1)知f(x)max =2, ∴f(m)≤2, f(n)≤2, 则f(m)+f(n)≤4,(8分)又f(m)+f(n)=4,所以f(m)=f(n)=2,于是n>m ≥4, 故m+n>8.(10分)【五年高考】A 组统一命题·课标卷题组考点一绝对值不等式1.(2019课标Ⅱ,23,10分)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x ∈(-∞,1)时, f(x)<0,求a 的取值范围.解析本题考查不等式的基本性质,绝对值不等式的求解,以及含有参数的绝对值不等式恒成立问题.通过对绝对值不等式的分类讨论考查学生的化归与转化的能力,体现了逻辑推理的核心素养. (1)当a=1时, f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时, f(x)=-2(x-1)2<0;当x ≥1时, f(x)≥0. 所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1). (2)因为f(a)=0,所以a ≥1,当a ≥1,x ∈(-∞,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0,所以,a 的取值范围是[1,+∞).思路分析 (1)当a=1时,求解绝对值不等式只需分类讨论去掉绝对值.(2)首先关注f(a)=0,求得a ≥1,这样不需要分类讨论就可以去掉绝对值,得到f(x)=2(a-x)(x-1)<0,求解即可. 2.(2018课标Ⅰ,23,10分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立,求a 的取值范围. 解析 (1)当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)={-2,x ≤-1,2x,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f(x)>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1; 若a>0,则|ax-1|<1的解集为{x|0<x <2a }, 所以2a ≥1,故0<a ≤2.综上,a 的取值范围为(0,2].方法技巧 1.研究含有绝对值的函数问题时,常根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,从而转化为分段函数来解决.2.对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题,常利用绝对值三角不等式解决.3.不等式的恒成立问题可转化为函数的最值问题.注意在x ∈D 上,当f(x)存在最小值时, f(x)>a 恒成立⇔a<f(x)min ,当f(x)存在最大值时, f(x)<a 恒成立⇔a>f(x)max . 3.(2018课标Ⅲ,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象;(2)当x ∈[0,+∞)时, f(x)≤ax+b,求a+b 的最小值.解析本题考查函数的图象与绝对值不等式恒成立问题.(1)f(x)={-3x,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x,x ≥1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时, f(x)≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5. 易错警示对“零点分段法”的理解不到位若不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数,通常先把每个绝对值内代数式等于零时的未知数的值求出(即零点),然后将这些零点标在数轴上,此时数轴被零点分成了若干段(区间),在每一区间里,每一个绝对值符号内的代数式的符号确定,此时利用绝对值的定义可以去掉绝对值符号. 解后反思绝对值不等式问题常见类型及解题策略(1)直接求解不等式,主要利用绝对值的意义、不等式的性质想办法去掉绝对值符号求解.(2)已知不等式的解集求参数值,利用绝对值三角不等式或函数求相应最值,再求参数的取值范围.4.(2017课标Ⅰ,23,10分)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.解析本题考查含绝对值的不等式的解法,考查学生的运算求解能力以及对数形结合思想的应用能力.(1)解法一(零点分段法):当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,从而-1≤x ≤1; 当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,从而1<x ≤-1+√172.所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x ≤-1+√172}.解法二(图象法):由已知可得g(x)={2x,x >1,2,-1≤x ≤1,-2x,x <-1,当a=1时, f(x)=-x 2+x+4,两个函数的图象如图所示.易得图中两条曲线的交点坐标为(-1,2)和-1+√172,-1+√17,所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x ≤-1+√172}.(2)解法一(等价转化法):当x ∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x ∈[-1,1]时f(x)≥2. 又f(x)在[-1,1]内的最小值必为f(-1)与f(1)之一, 所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[-1,1].解法二(分类讨论法):当x ∈[-1,1]时,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于x ∈[-1,1]时f(x)≥2,即-x 2+ax+4≥2,当x=0时,-x 2+ax+4≥2成立;当x ∈(0,1]时,-x 2+ax+4≥2可化为a ≥x-2x ,而y=x-2x 在(0,1]单调递增,最大值为-1,所以a ≥-1; 当x ∈[-1,0)时,-x 2+ax+4≥2可化为a ≤x-2x ,而y=x-2x 在[-1,0)单调递增,最小值为1,所以a ≤1.综上,a 的取值范围为[-1,1].思路分析 (1)利用零点分段法或图象法解含绝对值的不等式;(2)根据题设可去掉绝对值,进而转化为不等式恒成立问题进行求解.方法总结含绝对值不等式问题的常见解法:(1)含绝对值的不等式求解问题,常利用零点分段讨论法或数形结合法求解. (2)与恒成立相关的求参问题,常构造函数转化为求最值问题.5.(2016课标Ⅲ,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x ∈R 时, f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围. 解析 (1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x ≤3}.(5分) (2)当x ∈R 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x ∈R 时, f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a ≥3.①(7分)当a ≤1时,①等价于1-a+a ≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a ≥3,解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2,+∞).(10分)方法指导 (1)将a=2代入不等式,化简后去绝对值求解;(2)要使f(x)+g(x)≥3恒成立,只需f(x)+g(x)的最小值≥3即可,利用|a|+|b|≥|a±b|可求最值.考点二不等式的证明1.(2019课标Ⅲ,23,10分)设x,y,z ∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a ≤-3或a ≥-1.解析本题主要考查不等式的证明以及基本不等式的应用,考查学生推理论证的能力,考查了逻辑推理的核心素养.(1)由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2], 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43, 当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明:由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2], 故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a)23,当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.难点突破 (1)考虑到x+y+z=1,(x-1)+(y+1)+(z+1)=(x+y+z)+1=2,将x-1,y+1,z+1分别看作一个整体,转化为已知三数之和为定值,求它们平方和最小值的问题.和的平方与平方和之间存在等量关系(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc,借助基本不等式可消去乘积,得到(a+b+c)2≤3(a 2+b 2+c 2). (2)只需证明[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2]min ≥13,求[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2]min 的方法同第(1)问.2.(2017课标Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a 3+b 3=2.证明:(1)(a+b)(a 5+b 5)≥4; (2)a+b ≤2.证明本题考查不等式的证明.(1)(a+b)(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6=(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab(a 4+b 4)=4+ab(a 2-b 2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)3≤8,因此a+b ≤2.失分警示运用直接法证明不等式时,可以通过分析和应用条件逐步逼近结论,在证明过程中易因逻辑混乱而失分.B 组自主命题·省(区、市)卷题组考点一绝对值不等式1.(2015重庆,16,5分)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= . 答案 -6或42.(2019江苏,21C,10分)设x ∈R,解不等式|x|+|2x-1|>2.解析本题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力. 当x<0时,原不等式可化为-x+1-2x>2,解得x<-13; 当0≤x ≤12时,原不等式可化为x+1-2x>2,即x<-1,无解;当x>12时,原不等式可化为x+2x-1>2,解得x>1. 综上,原不等式的解集为{x|x <-13或x >1}.考点二不等式的证明1.(2016江苏,21D,10分)设a>0,|x-1|<a3,|y-2|<a3,求证:|2x+y-4|<a. 证明因为|x-1|<a3,|y-2|<a3,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×a 3+a3=a. 2.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=1a +1b .证明: (1)a+b ≥2;(2)a 2+a<2与b 2+b<2不可能同时成立. 证明由a+b=1a +1b =a+bab ,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b ≥2√ab =2,即a+b ≥2.(2)假设a 2+a<2与b 2+b<2同时成立,则由a 2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a 2+a<2与b 2+b<2不可能同时成立.C 组教师专用题组考点一绝对值不等式1.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( ) A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5) 答案 A2.(2018课标Ⅱ,23,10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若f(x)≤1,求a 的取值范围.解析 (1)当a=1时, f(x)={2x +4,x ≤-1,2,-1<x ≤2,-2x +6,x >2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x ≤3}. (2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立. 故f(x)≤1等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4可得a ≤-6或a ≥2.所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).方法总结解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法求解;求含有两个或两个以上绝对值的函数的最值,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解. 3.(2016课标Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解析 (1)f(x)={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,(3分)y=f(x)的图象如图所示.(5分)(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分) 当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(7分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x|x <13或x >5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x <13或1<x <3或x >5}.(10分) 4.(2016课标Ⅱ,24,10分)已知函数f(x)=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.解析 (1)f(x)={-2x,x ≤-12,1,-12<x <12,2x,x ≥12.(2分) 当x ≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)当-12<x<12时, f(x)<2恒成立;(4分) 当x ≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.(5分) 所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(6分)(2)证明:由(1)知,当a,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.(10分)5.(2015课标Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.解析 (1)当a=1时, f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1; 当x ≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为{x |23<x <2}.(5分)(2)由题设可得, f(x)={x -1-2a,x <-1,3x +1-2a,-1≤x ≤a,-x +1+2a,x >a.所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A (2a -13,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2. 所以a 的取值范围为(2,+∞).(10分)解后反思分类讨论解不等式应做到不重不漏,在某个区间上解不等式时一定要注意区间的限制性.6.(2015江苏,21D,10分)解不等式x+|2x+3|≥2.解析原不等式可化为{x <-32,-x -3≥2或{x ≥-32,3x +3≥2.解得x ≤-5或x ≥-13.综上,原不等式的解集是{x|x ≤-5或x ≥-13}.7.(2013课标Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x ∈[-a 2,12)时, f(x)≤g(x),求a 的取值范围. 解析 (1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y={-5x, x <12,-x -2,12≤x ≤1,3x -6,x >1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x ∈[-a 2,12)时, f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a ≤x+3.所以x ≥a-2对x ∈[-a 2,12)都成立. 故-a 2≥a-2,即a ≤43. 从而a 的取值范围是(-1,43]. 方法总结 (1)解含有绝对值符号的不等式的关键是去掉绝对值符号,可利用零点分段讨论法把绝对值不等式转化为我们熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式,也可设出函数,利用函数图象解决.(2)对于不等式恒成立求参数问题,常分离参数,进而构造函数,转化为求最值问题.考点二不等式的证明1.(2017江苏,21D,10分)已知a,b,c,d 为实数,且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明:ac+bd ≤8.证明本小题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力.由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2).因为a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,所以(ac+bd)2≤64,因此ac+bd ≤8.2.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则√a +√b > √c +√d ;(2)√a +√b > √c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明 (1)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d,ab>cd 得(√a +√b )2>(√c +√d )2.因此√a +√b >√c +√d .(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得√a +√b >√c +√d .(ii)若√a +√b >√c +√d ,则(√a +√b )2>(√c +√d )2,即a+b+2√ab >c+d+2√cd .因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.思路分析(1)证明(√a+√b)2>(√c+√d)2即可.(2)两不等式的两边都为非负数,可通过两边平方来证明.易错警示在证明充要条件时,既要证明充分性,也要证明必要性,否则会扣分.3.(2014课标Ⅱ,24,10分)设函数f(x)=|x+1a|+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析(1)证明:由a>0,得f(x)=|x+1a |+|x-a|≥|x+1a-(x-a)|=1a+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=|3+1a|+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+1a ,由f(3)<5得3<a<5+√212.当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a ,由f(3)<5得1+√52<a≤3.综上,a的取值范围是(1+√52,5+√212).本题考查了含绝对值不等式的解法,考查了分类讨论思想.4.(2013课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ca≤13;(2)a 2b +b2c+c2a≥1.证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(2)因为a 2b +b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,故a 2b +b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b2c+c2a≥a+b+c.所以a 2b +b2c+c2a≥1.思路分析(1)利用a2+b2≥2ab及(a+b+c)2=1证明不等式.(2)a+b+c=1,原不等式可转化为a 2b +b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c).两两结合,利用基本不等式证明.【三年模拟】解答题(共80分)1.(2020届四川天府名校第一轮联考,23)关于x的不等式|x+m|≤n的解集为[-6,2].(1)求实数m,n 的值;(2)若实数y,z 满足|my+z|<13,|y-nz|<13,求证:|z|<19.解析 (1)由|x+m|≤n,得-n ≤x+m ≤n,即-n-m ≤x ≤n-m,则{-n -m =-6,n -m =2,解得{m =2,n =4.(2)证明:由(1)可知|2y+z|<13,|y-4z|<13,所以9|z|=|(2y+z)-2(y-4z)|≤|2y+z|+2|y-4z|<13+2×13=1, 所以|z|<19.2.(2020届四川成都外国语学校10月阶段性检测,23)已知a ≥0,b ≥0, f(x)=|x+a|+|2x-b|.(1)若a=0,b=2,求f(x)≤2的解集;(2)若f(x)的最小值为1,求√a +√b 的最大值.解析 (1)f(x)=|x|+|2x-2|={3x -2,x ≥1,2-x,0≤x <1,-3x +2,x <0,∴{x ≥1,3x -2≤2或{0≤x <1,2-x ≤2或{x <0,-3x +2≤2,解得0≤x ≤43. 故f(x)≤2的解集为[0,43]. (2)易知f(x)min =f (b 2)=a+b 2=1,∴2a+b=2. ∴(√a +√b )2=(√2a ·√22+√b ·1)2≤(2a+b)(12+1)=3(柯西不等式),当且仅当2a +b =2,√2a b =√22,即{a =13,b =43时等号成立, ∴√a +√b 的最大值为√3.3.(2020届辽宁沈阳铁路实验中学10月月考,23)已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x ≤5},求实数a 的值;(2)在(1)的条件下,若存在x ∈R 使得f(x)+f(x+5)≤m 成立,求实数m 的取值范围.解析本题考查根据绝对值不等式的解集求解参数值,存在性问题,考查学生的数学运算能力.(1)由f(x)≤3得|x-a|≤3,即-3≤x-a ≤3,解得a-3≤x ≤a+3,又f(x)≤3的解集为{x|-1≤x ≤5},∴{a -3=-1,a +3=5,解得a=2. (2)当a=2时, f(x)=|x-2|,∴f(x)+f(x+5)=|x -2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x ≤2时取等号),∴m ≥5时,存在x ∈R,使得f(x)+f(x+5)≤m,∴m 的取值范围为[5,+∞).4.(2020届云南名校适应性统考,23)已知a,b,c,d 为正数,且满足abcd=1,证明:(1)(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥16;(2)1ab +1bc +1cd +1ad ≤a 2+b 2+c 2+d 2.证明本题考查了不等式的证明,重点考查了基本不等式的应用,意在考查等价转化思想和逻辑推理能力.(1)因为a,b,c,d 为正数,所以a+b ≥2√ab ,b+c ≥2√bc ,c+d ≥2√cd ,d+a ≥2√ad (当且仅当a=b=c=d 时等号同时成立),所以(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥2√ab ×2√bc ×2√cd ×2√ad =16abcd.又abcd=1,所以(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥16(当且仅当a=b=c=d 时等号成立).(2)因为abcd=1,所以1ab +1bc +1cd +1ad =(1ab +1bc +1cd +1ad )abcd=cd+ad+ab+bc.又2(a 2+b 2+c 2+d 2)=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+d 2)+(d 2+a 2)≥2ab+2bc+2cd+2da(当且仅当a=b=c=d 时等号成立), 所以2(a 2+b 2+c 2+d 2)≥2(1ab +1bc +1cd +1ad ), 即1ab +1bc +1cd +1ad ≤a 2+b 2+c 2+d 2(当且仅当a=b=c=d 时等号成立).5.(2020届河南洛阳尖子生第一次联考,23)设函数f(x)=x-|x+2|-|x-3|-m,若∀x ∈R,1m -4≥f(x)恒成立. (1)求实数m 的取值范围;(2)求证:log (m+1)(m+2)>log (m+2)(m+3).解析 (1)∵∀x ∈R,1m -4≥f(x)恒成立, ∴m+1m ≥x-|x+2|-|x-3|+4恒成立.令g(x)=x-|x+2|-|x-3|+4={3x +3,x <-2,x -1,-2≤x ≤3,-x +5,x >3.∴函数g(x)在(-∞,3]上是增函数,在(3,+∞)上是减函数.(3分)∴g(x)max =g(3)=2,∴m+1m ≥g(x)max =2,(4分) 即m+1m -2≥0⇒m 2-2m+1m =(m -1)2m ≥0,∴m>0,∴实数m 的取值范围是(0,+∞).(5分)(2)证明:由m>0,知m+3>m+2>m+1>1,则lg(m+3)>lg(m+2)>lg(m+1)>lg 1=0.要证log (m+1)(m+2)>log (m+2)(m+3),只需证lg(m+2)lg(m+1)>lg(m+3)lg(m+2),即证lg(m+1)·lg(m+3)<lg 2(m+2),又lg(m+1)·lg(m+3)<[lg(m+1)+lg(m+3)2]2=[lg(m 2+4m+3)]24<[lg(m 2+4m+4)]24=lg 2(m+2), ∴log (m+1)(m+2)>log (m+2)(m+3)成立.(10分)6.(2019湖南百所重点名校大联考,23)已知函数f(x)=√x 2-6x +9+√x 2+8x +16.(1)求f(x)≥f(4)的解集;(2)设函数g(x)=k(x-3),k ∈R,若f(x)>g(x)对任意的x ∈R 都成立,求实数k 的取值范围.解析 (1)f(x)=√x 2-6x +9+√x 2+8x +16=√(x -3)2+√(x +4)2=|x-3|+|x+4|,∴f(x)≥f(4)即|x-3|+|x+4|≥9,∴①{x ≤-4,3-x -x -4≥9或②{-4<x <3,3-x +x +4≥9或③{x ≥3,x -3+x +4≥9, 解①,得x ≤-5;②无解;解③,得x ≥4.所以f(x)≥f(4)的解集为{x|x ≤-5或x ≥4}.(5分)(2)f(x)>g(x),即f(x)=|x-3|+|x+4|的图象恒在g(x)=k(x-3)图象的上方,作出f(x)=|x-3|+|x+4|={-2x -1,x ≤-4,7,-4<x <3,2x +1,x ≥3的图象,直线g(x)=k(x-3)恒过点P(3,0),如图,其中k PB =2,∵A(-4,7),∴k PA =-1,由图可知,要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,实数k 的取值范围为-1<k ≤2.(10分)7.(2018河南新乡二模,23)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.(1)求不等式f(x)≤2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k 的取值范围.解析 (1)由f(x)≤2,得{x ≤1,2-2x ≤2或{1<x <4,0≤2或{x ≥4,2x -8≤2,解得0≤x ≤5,故不等式f(x)≤2的解集为[0,5]. (2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3={2-2x,x ≤1,0,1<x <4,2x -8,x ≥4,作出函数f(x)的图象,如图所示,易知直线y=kx-2过定点C(0,-2),当此直线经过点B(4,0)时,k=12; 当此直线与直线AD 平行时,k=-2.故由图可知,k ∈(-∞,-2)∪[12,+∞). 8.(2019江西临川一中,南昌二中等九校重点中学协作体第一次联考,23)已知函数f(x)=|x-2|+|m+x|的图象的对称轴为x=1.(1)求不等式f(x)≥x+2的解集;(2)若函数f(x)的最小值为M,正数a,b 满足a+b=M,求1a +2b 的最小值.解析 (1)∵函数f(x)图象的对称轴为x=1=2-m 2,∴m=0,∴f(x)=|x|+|x -2|={-2x +2,x ≤0,2,0<x <2,2x -2,x ≥2.由f(x)≥x+2,得{x ≤0,-2x +2≥x +2或{0<x <2,2≥x +2或{x ≥2,2x -2≥x +2, 解得x ≤0或x ≥4,故不等式f(x)≥x+2的解集为(-∞,0]∪[4,+∞).(2)由绝对值不等式的性质,可知|x-2|+|x|≥|(x-2)-x|=2,∴f(x)min =M=2,∴a+b=2, ∵a,b 为正数,∴1a +2b =12(1a +2b )·(a+b)=12(3+b a +2a b )≥12(3+2√b a ·2a b )=3+2√22(当且仅当a=2√2-2,b=4-2√2时取等号).。

不等式选讲内容题型大全不看后悔

没有等式选道真量题型大齐没有瞅悔恨之阳早格格创做一．简朴的来千万于值情形1．没有等式：32-x ≤1的解集是_______ ___．2.没有等式：1-x ≥3的解集是_______ _ _．3.解没有等式：312>-+x x 的解集是_______ _ _．4．（2008·山东下考题）若没有等式4|3|<-b x 的解集结的整数有且仅有1、2、3，则b 的与值范畴为.5．设集中{}1,A x x a x =-<∈R ，{}2,B x x b x =->∈R ．若A B ⊆，则真数,a b 必谦脚（）．Ａ．3a b +≤ Ｂ．3a b +≥ Ｃ．3a b -≤Ｄ．3a b -≥ 6. 没有等式：123-<+x x 的解集是_______ _ _．7．（2007广东，14）（没有等式选道选干题）设函数)2(,3|12|)(-++-=f x x x f 则=；若5)(≤x f ，则x 的与值范畴是.8.(2011年下考江苏卷21)选建4-5：没有等式选道（原小题谦分10分）解没有等式：|21|3x x +-<9. (2011年下考世界新课标卷理科24)（原小题谦分10分）选建4-5没有等选道设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，供没有等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果没有等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，供a 的值.二．只波及二个千万于值，没有再有其余项时，用仄要领来千万于值例：1. 没有等式130x x +--≥的解集是______. 2.（2011年下考广东卷理科9)没有等式130x x +--≥的解集是______.3. （2009广东14)没有等式1|2||1|≥++x x 的真数解为.|32||2|x x a +≥+对付x R ∈恒创造，则真数a 的与值范畴为______.5.(2009山东卷理)没有等式0212<---x x 的解集为. .6.【2012下考真题湖北理10】没有等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.三．波及二个且另有一常数时，用分段计划法来千万于值1.没有等式：|||1|3x x +->的解集是_______ _ _．2．没有等式的解集为. 3. 没有等式|21|2|432|+-≥-x x 的解集是_______ __．4．对付于x R ∈，没有等式1028x x +--≥的解集为_-_______5．（2009祸建选考21（3））解没有等式∣2x-1∣<∣x ∣+16.【2012下考真题广东理9】没有等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____．7. (2011年下考山东卷理科4)没有等式|5||3|10x x -++≥的解集为（A ）[-5.7] （B ）[-4,6]（C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞8.【2012下考真题江西理16】（没有等式选干题）正在真数范畴内，没有等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________.9. (2011年下考天津卷理科13) 已知集中{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集中A B ⋂=________.10．（2008广东，14）（没有等式选道选干题）已知R ∈a ，若闭于x 的圆程0|||41|2=+-++a a x x 有真根，则a 的与值范畴是.11.【2012下考真题新课标理24】（原小题谦分10分）选建45-：没有等式选道已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，供没有等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包罗[1,2]，供a 的与值范畴.12．(2011年下考辽宁卷理科24)（原小题谦分10分）选建4-5：没有等式选道已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.（I ）说明：-3≤f （x ）≤3；（II ）供没有等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.四：利用数轴法供解 1.31-+-=x x y 的最小值为 2.21++-=x x y 的最小值为3.【2012下考真题陕西理15】A.（没有等式选干题）若存留真数x 使|||1|3x a x -+-≤创造，则真数a 的与值范畴是. 24≥++-a x x 对付所有的x 皆恒创造，则a 的与值范畴是5．（2009辽宁选做24）设函数.|||1|)(a x x x f -+-=（I ）若3)(,1≥-=x f a 解不等式；（II ）如果a x f x 求,2)(,≥∈∀R 的与值范畴.五．波及千万于值没有等式的恒创造问题，要领：分段来千万于值1．（2007海北、宁夏，22C ，10分）（选建4 –5：没有等式选道）设函数.|4||12|)(--+=x x x f（1）解没有等式2)(>x f ；（2）供函数)(x f y =的最小值 a x x >-+-34对付一确真数x 恒创造，供真数a 的与值范畴_____（问：1a <）；3. 没有等式a x x <---34对付一确真数x 恒创造，供真数a 的与值范畴_____4．（2010年下考祸建卷理科21）（原小题谦分7分）选建4-5：没有等式选道已知函数.（Ⅰ）若没有等式的解集为，供真数的值；（Ⅱ）正在（Ⅰ）的条件下，若对付一确真数x 恒创造，供真数m 的与值范畴. 5.（2009沉庆卷理）没有等式2313x x a a +--≤-对付任性真数x 恒创造，则真数a 的与值范畴为（）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞. C ．[1,2] D ．(,1][2,)-∞+∞ a x x <-+-34有真数解，则真数a 的与值范畴_____7．(2011年下考陕西卷理科15)（没有等式选干题）若闭于x 的没有等式12a x x ≥++-存留真数解，则真数a 的与值范畴是8. 若闭于x 的没有等式34---<x x a 存留真数解，则真数a 的与值范畴为_____9.【2012下考真题辽宁理24】(原小题谦分10分)选建4-5：没有等式选道已知()|1|()f x ax a R =+∈，没有等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x . (Ⅰ)供a 的值；(Ⅱ)若k x f x f ≤-)2(2)(恒创造，供k 的与值范畴. 六：本量：y x y x +≤-，y x y x +≤+使用1. 对付于真数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则1++y x 的最大值为. 2. 对付于真数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则32++y x 的最大值为.3.已知真数x ，y 谦脚1≤+y x ，323≤-y x ，则y x -2的最大值为.4.已知真数x ，y 谦脚12≤+-y x ，323≤-y x ，则45+x 的最大值为.5. 对付于真数x ，y ，若12≤+-y x ，323≤-y x ，则45+x 的最大值为.6. 对付于真数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则3+-y x 的最大值为.7. (2010年下考祸建卷理科)对付于真数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为.8.【2012下考江苏24】[选建4 - 5：没有等式选道] （10分）已知真数x ，y 谦脚：11|||2|36x y x y +<-<，，供证：5||18y <．2. 比较法解没有等式1．(2011年下考祸建卷理科21)（原小题谦分7分）选建4-5：没有等式选道1-x2＜的解集为M．设没有等式1（I）供集中M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．2．（2010年下考江苏卷试题21）选建4-5：没有等式选道（原小题谦分10分）设a、b利害背真数，供证：.1.【2012下考真题祸建理23】（原小题谦分7分）选建4-5：没有等式选道已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].（Ⅰ）供m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且2．（2008江苏，21D，10分）（选建4–5：没有等式选道）设c b a,,为正真数，供证：3．（2010年下考辽宁卷理科24）（原小题谦分10分）选建4-5：没有等式选道已知均为正数，说明：，并决定为何值时，等号创造.。

不等式选讲习题(含答案)

不等式选讲习题1.（2014全国新课标I 卷）若0,0,a b >>且11a b+= （I ）求33a b +的最小值；（II ）是否存在,,a b 使得236?a b +=并说明理由.2.（2014全国新课标II 卷）设函数1()(0).f x x x a a a=++-> （I ）证明：()2;f x ≥ （II ）若(3)5,f <求a 的取值范围.3.（2013全国新课标I 卷）已知函数()212,() 3.f x x x a g x x =-++=+（I ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（II ）设1,a >-且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围.4.（2013全国新课标II 卷）设,,a b c 均为正数，且1,a b c ++=证明：（I ）1;3ab bc ac ++≤ （II ）222 1.a b c b c a ++≥.5.（2012全国新课标卷）已知函数() 2.f x x a x =++-（I ）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（II ）若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围.6.（2011全国新课标卷）设函数()3f x x a x =-+，其中0a >. （I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（II ）若不等式()0f x ≤的解集为{|1},x x ≤-，求a 的值.7.（2015第一次省统测）已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|2||1||2||1|x x a x x -++≤≤--+都成立.（I ）求a 的值；（II ）设,0>>n m 求证：.221222a n n mn m m +≥+-+8.设函数.142)(+-=x x f（I ）画出函数)(x f y =的图象；（II ）若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围.不等式选讲习题参考答案1.（2014全国新课标I 卷）解：（I11a b =+≥得2ab ≥，当且仅当a b ==所以33a b +≥==当且仅当a b ==所以33a b +的最小值为………5分（II ）由（I）知23a b +≥=≥由于6>，从而不存在,,a b 使得23 6.a b +=………10分 2.（2014全国新课标II 卷）解：（I ）由0a >，有1111() 2.f x x x a x a x a a a a a a =++-≥++-=+=+≥= 所以，() 2.f x ≥………4分（II ）1(3)33.f a a=++- 当03a <≤时，1(3)6f a a =-+，由(3)5,f <得165a a-+<3.a <≤ 当3a >时，1(3)f a a =+由(3)5,f <得15a a+<，解得532a +<<综上所述，a的取值范围是15(22a ++<<………10分 3.（2013全国新课标I 卷）解：（I ）当2a =-时，()212 2.f x x x =-+- 由()()f x g x <，得212230x x x -+---<设()21223,f x x x x =-+---则15,,21()2,1,236, 1.x x f x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩其图象如图所示，由图象可知，当且仅当(0,2)x ∈时，()0.f x < 所以，不等式()()f x g x <的解集为(0,2).………5分（II ）当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()1.f x a =+ 不等式()()f x g x ≤可化为1 3.a x +≤+ 所以，2x a ≥-对1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭都成立.故42,.23a a a -≥-≤即所以，a 的取值范围是4(1,].3-.………10分 4.（2013全国新课标II 卷）. 证明：（I ）222a b ab +≥2222,2,2b c bc a c ac +≥+≥222222222a b b c a c ab bc ac ∴+++++≥++，即222a b c ab bc ac ++≥++又()1a b c ++= ，即 2222221a b c a b b c a c +++++= 1222ab bc ac ab bc ac ∴---≥++，即3()1ab bc ac ++≤ 13ab bc ac ∴++≤………5分（II ）2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥ 222()2()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++，即2221.a b c a b c b c a ++≥++= 2221.a b c b c a∴++≥………10分5.（2012全国新课标卷）解：（I ）不等式()3f x ≥的解集为(,1][4,)-∞+∞ （II ）()4f x x ≤-24x a x x ∴++-≤-，即42x x x a ---≥+当[]1,2x ∈时，由42x x x a ---≥+，得42x x x a -+-≥+，即2x a +≤ 解得22a x a --≤≤-又因为()4f x x ≤-的解集包含[]1,2 所以，21a --≤且22a -≥，即30.a -≤≤ 所以，a 的取值范围是[3,0].- 6.（2011全国新课标卷）解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥，由此可得 13x x ≤-≥或故不等式()32f x x ≥+的解集为{|13}x x x ≤-≥或.(Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤此不等式化为不等式组30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩或30x a x a x >⎧⎨-+≤⎩即2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩或4x aa x >⎧⎪⎨≤⎪⎩ 又因为0a >，所以不等式30x a x -+≤的解集为|2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭由题意知12a-=-，解得 2.a =7.（2015第一次省统测）（I ）解：3|21||2||1|=-++≤--+x x x x对任意实数x ，不等式a x x ≤--+|2||1|都成立..3≥∴a3|21||2||1|=-++≥-++x x x x对任意实数x ，不等式|2||1|x x a -++≤都成立..3≤∴a.3=∴a（II ）证明：由（I ）知.3=a222)(1)()(2212n m n m n m n n mn m m -+-+-=-+-+又,0>>n m3)(1))((3)(1)()(322=---≥-+-+-∴n m n m n m n m n m n m.221222a n nmn m m +≥+-+∴8.设函数.142)(+-=x x f（I ）画出函数)(x f y =的图象；（II ）若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围.（Ⅰ）由于25,()23,2x x f x x x -+<2⎧=⎨-≥⎩则函数()y f x =的图像如图所示:12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点，故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为()1,2[,)2-∞-+∞.。

高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》经典测试题含答案

【高中数学】数学《不等式选讲》试卷含答案一、141．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（）A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤【答案】A 【解析】【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.2．若函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（）.A ．2B ．6C ．4D ．1【答案】C 【解析】【分析】当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】当1x >，0a >时，()()111=+=+-+--a a f x ax a x a x x≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式：)0,0a b ab +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.3．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.4．已知集合{}|11A x x =-<，1|10B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（） A ．{}|12x x ≤< B ．{}|02x x << C ．{}|01x x <≤ D ．{}|01x x <<【答案】A 【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，()1011100{0x x x x x x -≥--≥⇒≥⇒≠，解得0,1x x <≥，故[)1,2A B ⋂=.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合交集等知识.解含有一个绝对值不等式，只需要按照口诀“大于在两边，小于在中间”来解即可.解分式不等式主要方法就是通过通分后，转化为整式不等式来求解，在转化的过程中要注意分母不为零这个特殊情况.5．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n L L =+++++，那么下列结论正确的是（） A ．413S <【答案】C 【解析】【分析】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，可得222111111111...11...232231n S n n n =++++<+-+-++--12n=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，由22111341123363++=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.6．设x ∈R ，则“2x <”是4<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】首先求解绝对值不等式和根式不等式，然后分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】由2x <可得22x -<<4<可得016x ≤<，22x -<<是016x ≤<的既不充分也不必要条件，“2x <”是4<”的既不充分也不必要条件. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（） A ．9- B ．9C ．10D ．0【答案】B 【解析】【分析】利用柯西不等式得出最小值．【详解】（x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9．当且仅当xy 2xy=即xy= 时取等号．故选：B ．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．8．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（） A ．1 B ．13C ．12D ．3【答案】B 【解析】【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111xy z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。

高中数学高考总复习不等式选讲习题及详解

高中数学高考总复习不等式选讲习题及详解一、选择题1．对任意x ∈R ，|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．－1≤a ≤5 B ．－1<a ≤5 C ．－1≤a <5 D ．－1<a <5 [答案] A[解析] 因为|2－x |＋|3＋x |≥5，要使|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，即5≥a 2－4a ，解得－1≤a ≤5.2．(2010·山师大附中模考)已知a >0，b >0且1a ＋3b ＝1，则a ＋2b 的最小值为( )A ．7＋2 6B ．2 3C ．7＋2 3D ．14 [答案] A[解析] a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋2b a ＋3a b ≥7＋26，等号在b ＝62a 时成立．3．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定 [答案] B[解析] ∵0<a <1b ，∴ab <1，a >0，b >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b＝(1－a )(1＋b )＋(1＋a )(1－b )(1＋a )(1＋b )＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )>0，∴M >N . 4．下列结论：①(1＋x )n>1＋nx (x ∈R ，n ∈N *)②(1＋x)n>1＋nx(x>－1，n∈R)③(1＋x)n>1＋nx(x>－1,0<n<1)④(1＋x)n≤1＋nx(x>－1,0<n<1)⑤(1＋x)n≥1＋nx(x>－1，n<0)其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析]根据贝努利不等式可知，(1＋x)n>1＋nx的条件为x>－1(n∈N*，n>1)；(1＋x)n≥1＋nx的条件为x>－1，n>1或n<0；(1＋x)n≤1＋nx的条件为x>－1,0<n<1.故④⑤正确，①②③都错．5．f(x)＝2x＋31－x的最大值为()A．5B.1213 13C.13D.52 2[答案] C[解析](2x＋31－x)2≤(22＋32)[(x)2＋(1－x)2]＝13，∴2x＋31－x≤13，等号在x2＝1－x3，即x＝413时成立．6．(2010·江苏泰州)若对任意x∈A，y∈B，(A⊆R，B⊆R)有唯一确定的f(x，y)与之对应，则称f(x，y)为关于x，y的二元函数．满足下列性质的二元函数f(x，y)称为关于实数x，y的广义“距离”：(1)非负性：f(x，y)≥0，当且仅当x＝y时取等号；(2)对称性：f(x，y)＝f(y，x)；(3)三角形不等式：f(x，y)≤f(x，z)＋f(z，y)对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数：①f(x，y)＝|x－y|；②f(x，y)＝(x－y)2；③f(x，y)＝x－y.其中能够成为关于x，y的广义“距离”的二元函数的序号是()A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ [答案] A[解析] 对函数f (x ，y )＝|x －y |，∵f (x ，y )≥0，当且仅当x ＝y 时取等号，满足非负性； f (y ，x )＝|y －x |＝|x －y |＝f (x ，y )，满足对称性；由|a ＋b |≤|a |＋|b |得|x －y |＝|(x －z )＋(z －y )|≤|x －z |＋|z －y |对任意的实数z 均成立．即f (x ，y )≤f (x ，z )＋f (z ，y )，满足三角形不等式．故①满足广义“距离”．对函数f (x ，y )＝(x －y )2，显然满足非负性和对称性．∵当z ＝0时，f (x ，y )－[f (x,0)＋f (0，y )]＝－2xy ，显然不恒小于等于零，故不满足三角形不等式，故②不满足广义“距离”．对函数f (x ，y )＝x －y ，显然不满足对称性．故③不满足广义“距离”．故选A. 7．已知x 、y 、z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．1 B.13 C.12 D ．3 [答案] B[解析] x 2＋y 2＋z 2＝(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)×13≥(1×x ＋1×y ＋1×z )2×13＝13.8．已知a 、b 、c 、d ∈R ＋且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋da ＋b ＋d，则下列判断中正确的是( )A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <4 [答案] B [解析]a a ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <aa ＋c；b a ＋b ＋c ＋d <b b ＋c ＋d bd ＋b；c a ＋b ＋c ＋d <c c ＋d ＋a cc ＋a ；c a ＋b ＋c ＋d <d d ＋a ＋b <dd ＋b .以上四个不等式相加得，1<S <2. 二、填空题9．(2010·陕西宝鸡)若不等式|x ＋1x |≥|a －2|＋1对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是________．[答案] 3[解析] 令f (x )＝|x ＋1x |，∵f (x )＝|x ＋1x |＝|x |＋|1x |≥2，∴|a －2|＋1≤2，解得1≤a ≤3，故a 的最大值是3.10．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．[答案] 32[解析] 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥22(x －a )×2x －a ＋2a ＝2a ＋4≥7，∴a ≥32. 故a 的最小值为32.11．(2010·南京调研)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，则不等式f (x )>3的解集为________． [答案] (－∞，0)∪(3，＋∞)[解析] 当x <1时，有f (x )＝1－x ＋2－x ＝3－2x . 由f (x )>3得3－2x >3，解得x <0；当1≤x ≤2时，有f (x )＝x －1＋2－x ＝1. 此时，不等式f (x )>3无解；当x >2时，有f (x )＝x －1＋x －2＝2x －3. 由f (x )>3得2x －3>3，解得x >3.故不等式f (x )>3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)．[点评] 可画出数轴如图，∵|AB |＝1，∴|PB |>1，|QA |>1，故由图可得x >3或x <0.12．(2010·江苏无锡市调研)已知c 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a的取值范围是________．[答案] (1，2][解析] ⎝⎛⎭⎫b ＋c a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2 ＝b 2＋c 2＋2bc b 2＋c 2＝1＋2bcb 2＋c2，∵b ，c >0，∴1<⎝⎛⎭⎫b ＋c a 2≤2， ∴143时，不等式化为x ＋7－(3x －4)≥1.解得x ≤5，即43<x ≤5；当－7≤x ≤43时，不等式化为x ＋7＋(3x －4)≥1，解得x ≥－12，即－12≤x ≤43；当x <－7时，不等式化为－x －7＋(3x －4)≥1，解得x ≥6，与x <－7矛盾． ∴自变量x 的取值范围为－12≤x ≤5.14．(2010·重庆中学)抛物线y 2＝4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5,0)，倾斜角为π4的直线l 与线段OA 相交(l 不过点O 和点A )且交抛物线于M 、N 两点，则△AMN 的最大面积为________．[答案] 8 2[解析] 设直线l 与x 轴交于点B (t,0)，则由题意知0<t <5，直线l ：y ＝x －t ，代入y 2＝4x 中消去x 得，y 2－4y －4t ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4t ， ∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋t ，∴S △AMN ＝12|AB |·|y 1－y 2|＝21＋t ·(5－t )＝2(1＋t )(5－t )2＝2(2＋2t )(5－t )(5－t )2≤212⎣⎡⎦⎤(2＋2t )＋(5－t )＋(5－t )33＝8 2. 等号在t ＝1时成立．三、解答题15．(2010·福建理)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] 解法一：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．解法二： (1)同解法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．16．(2010·福建龙岩市质检)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且1a ＋2b ＋3c 2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．[解析] ⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＋3c (a ＋2b ＋3c )＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫3c 2[(a )2＋(2b )2＋(3c )2] ≥⎝⎛⎭⎫1a ·a ＋2b ·2b ＋3c·3c 2＝36. 又1a ＋2b ＋3c＝2，∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当1a a＝2b 2b＝3c 3c，即a ＝b ＝c ＝3时等号成立．∴当a ＝b ＝c ＝3时，a ＋2b ＋3c 取得最小值18.17．(2010·苏北四市模考)已知函数f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋(a ＋b ＋c )23(a ，b ，c为实数)的最小值为m ，若a －b ＋2c ＝3，求m 的最小值．[解析] ∵f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋(a ＋b ＋c )23＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋a 2＋b 2＋c 2＋(a ＋b ＋c )23＝3⎝⎛⎭⎫x －a ＋b ＋c 32＋a 2＋b 2＋c 2， ∴x ＝a ＋b ＋c 3时，f (x )取最小值a 2＋b 2＋c 2，即m ＝a 2＋b 2＋c 2.∵a －b ＋2c ＝3，由柯西不等式得 [12＋(－1)2＋22]·(a 2＋b 2＋c 2) ≥(a －b ＋2c )2＝9， ∴m ＝a 2＋b 2＋c 2≥96＝32，当且仅当a 1＝b －1＝c2，即a ＝34b ＝－34，c ＝32时等号成立，所以m 的最小值为32.。

不等式选讲练习题与答案

所以 a 的取值范围是 1 ,1 .
【评注】本题考查解含有绝对值的不等式、第二问解析中数形结合学生有一定难度，也可以用分离参数法解含参不等式恒成立类问题及一元二次不等式值域的求法，考点比较多，综合性比较强，学生在第二问上可能觉得比较麻烦，缺乏继续完成的勇气，另外本题对运算能力要求比较高，稍不留神就容易算错.
1. 解析
（1）由题意得
f
(x)
x
3x
4， 2，
x 3 2
1 x
3 2
.其图像如图所示.
x 4， x 1
（2）当 x 1 时， x 4 1，解得 x 5 或 x 3 ，故 x 1 ；
当 1 x 3 时， 3x 2 1，解得 x 1或 x 1 ，故 1 x 1 或1 x 3 ；
x2 x 3,
由 (1) 可知 g(x) x2 3x 1,
x2
x
3,
x 1 1 x 2 ，分别讨论其最大值可得 m 的取值范围为
图像与 x 轴所围成三角形的三个顶点为：
A
2a 1 3
,
0
，
B
2a
1,
0
，
C
a,
a
1
，
3. 解析（1）当 a 2 时， f (x) 2x 2 2 .解不等式 2x 2 2≤6 ，得 1≤x≤3 .
因此， f (x)≤6 的解集为 x 1≤x≤3 .
（2）当 x R 时， f (x) g(x) 2x a a 1 2x ≥ 2x a 1 2x a 1 a a ，
当 1 x 1时， 3x 2 0 ，解得 2 x 1； 3
当 x 1时， x 2 0 ，解得1 x 2 ．

不等式选讲习题

知识网络§1 绝对值型不等式典例精析题型一解绝对值不等式【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0；当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解；当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞). (2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1).【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ).又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ).解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型三利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果?x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围.【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤x f x 的解集为(－∞，－32]；②当－1＜x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤＜1x f x 的解集为?；③当x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧3≥)(1,＞x f x 的解集为[32，＋∞).综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|不满足题设条件. 若a ＜1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-1,≥1),(-2＜1,＜,1,≤,12x a x x a a a x a xf (x )的最小值为1－a .由题意有1－a ≥2，即a ≤－1.若a ＞1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,≥1),(-2,＜＜1,11,≤,12a x a x a x a x a x f (x )的最小值为a －1，由题意有a －1≥2，故a ≥3. 综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ?B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2?－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a－1)2，解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0?(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0，①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}，因为A ?B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}，因为A ?B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1.综上使A ?B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1?1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.§2 不等式的证明(一)典例精析题型一用综合法证明不等式【例1】若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【证明】由a ，b ，c 为正数，得lg a ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c 2≥lg ac .而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2＝lg(abc )＝lg a ＋lg b ＋lg c .即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【点拨】本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.求证：|ac ＋bd |≤1.【证明】因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，所以|ac ＋bd |≤1. 题型二用作差法证明不等式【例2】设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ). 【证明】a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2－a 2－b 2－c 2＝[(a －b )2－c 2]＋[(b －c )2－a 2]＋[(c －a )2－b 2].而在△ABC 中，||b －a ＜c ，所以(a －b )2＜c 2，即(a －b )2－c 2＜0.同理(a －c )2－b 2＜0，(b －c )2－a 2＜0，所以a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＜0.故a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ).【点拨】不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n≥(a＋b )2.【证明】因为a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn≥0，所以不等式a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2成立.题型三用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c ).【证明】因为a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ] ≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b ).①因为(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )＞0， (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )＞0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f (x )＝x －a (x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a ≥0). (1)求f (x )的单调区间；(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m )n ＜(1＋n )m . 【解析】(1)f ′(x )＝1－a ln(x ＋1)－a ，①a ＝0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数； ②当a ＞0时，f (x )在(－1，aa-1e －1]上单调递增，在[aa -1e －1，＋∞)单调递减. (2)证明：要证(1＋m )n ＜(1＋n )m ，只需证n ln(1＋m )＜m ln(1＋n )，只需证ln(1＋m )m ＜ln(1＋n )n.设g(x)＝ln(1＋x)x(x＞0)，则g′(x)＝x1＋x－ln(1＋x)x2＝x－(1＋x)ln(1＋x)x2(1＋x).由(1)知x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)单调递减，所以x－(1＋x)ln(1＋x)＜0，即g(x)是减函数，而m＞n，所以g(m)＜g(n)，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.§3 不等式的证明(二)典例精析题型一用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证：(a＋2)2＋(b＋2)2≥252.【证明】方法一：(放缩法) 因为a＋b＝1，所以左边＝(a＋2)2＋(b＋2)2≥2[(a＋2)＋(b＋2)2]2＝12[(a＋b)＋4]2＝252＝右边.方法二：(反证法)假设(a＋2)2＋(b＋2)2＜252，则a2＋b2＋4(a＋b)＋8＜252.由a＋b＝1，得b＝1－a，于是有a2＋(1－a)2＋12＜25 2.所以(a－12)2＜0，这与(a－12)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥25 2.【点拨】根据不等式左边是平方和及a＋b＝1这个特点，选用重要不等式a2＋b2≥2(a＋b2)2来证明比较好，它可以将具备a2＋b2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b ＝1，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a 0，a 1，a 2，…，a n －1，a n 满足a 0＝a n ＝0，且有 a 0－2a 1＋a 2≥0， a 1－2a 2＋a 3≥0， …a n －2－2a n －1＋a n ≥0，求证：a 1，a 2，…，a n －1≤0.【证明】由题设a 0－2a 1＋a 2≥0得a 2－a 1≥a 1－a 0. 同理，a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a 2－a 1≥a 1－a 0.假设a 1，a 2，…，a n －1中存在大于0的数，假设a r 是a 1，a 2，…，a n －1中第一个出现的正数. 即a 1≤0，a 2≤0，…，a r －1≤0，a r ＞0，则有a r －a r －1＞0，于是有a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a r －a r －1＞0. 并由此得a n ≥a n －1≥a n －2≥…≥a r ＞0.这与题设a n ＝0矛盾.由此证得a 1，a 2，…，a n －1≤0成立. 题型二用数学归纳法证明不等式【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，n ∈N *，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【证明】方法一：(放缩法)n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2，即n ＜n (n ＋1)＜2n ＋12.所以1＋2＋…＋n ＜a n ＜12[1＋3＋…＋(2n ＋1)].所以n (n ＋1)2＜a n ＜12·(n ＋1)(1＋2n ＋1)2，即n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.方法二：(数学归纳法)①当n ＝1时，a 1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即k (k ＋1)2＜a k ＜(k ＋1)22.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1×2＋2×3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)，所以k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＜a k ＋1＜(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2).而k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＞k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2，(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2)＜(k ＋1)22＋(k ＋1)＋(k ＋2)2＝k 2＋4k ＋42＝(k ＋2)22.所以(k＋1)(k＋2)2＜a k＋1＜(k＋2)22.故当n＝k＋1时，不等式也成立.综合①②知当n∈N*，都有n(n＋1)2＜a n＜(n＋1)22.【点拨】在用放缩法时，常利用基本不等式n(n＋1)＜n＋(n＋1)2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，…，8n(2n－1)2(2n＋1)2，…，S n为其前n项和，计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，观察上述结果推测出计算S n的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜想S n＝(2n＋1)2－1(2n＋1)2(n∈N＋).证明：①当n＝1时，S1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即S k＝(2k＋1)2－1 (2k＋1)2.则S k＋1＝S k＋8(k＋1)(2k＋1)2(2k＋3)2＝(2k＋1)2－1(2k＋1)2＋8(k＋1)(2k＋1)2(2k＋3)2＝(2k＋1)2(2k＋3)2－(2k＋1)2(2k＋1)2(2k＋3)2＝[2(k＋1)＋1]2－1[2(k＋1)＋1]2.即当n＝k＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n∈N＋，等式都成立.题型三用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设a n为n年后该地区森林木材存量.(1)求a n的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a，如果b＝1972a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)【解析】(1)依题意得a1＝a(1＋14)－b＝54a－b，a2＝54a1－b＝54(54a－b)－b＝(54)2a－(54＋1)b，a3＝54a2－b＝(54)3a－[(54)2＋(54＋1)]b，由此猜测a n ＝(54)n a －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54＋1]b ＝(54)n a －4[(54)n －1]b (n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，猜测成立.②假设n ＝k (k ≥2)时猜测成立，即a k ＝(54)k a －4[(54)k －1]b 成立.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫(54)k a －4[(54)k －1]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b ，即当n ＝k ＋1时，猜测仍成立.由①②知，对任意n ∈N ＋，猜测成立.(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a ，所以(54)n a －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ，整理得(54)n ＞5，两边取对数得n lg 54＞lg 5，所以n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0). (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时). (2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如a2＋1＞||a，n(n＋1)＞n；(2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如n(n＋1)＜n＋(n＋1)2；(4)利用常用结论，如k＋1－k＝1k＋1＋k＜12k，1 k2＜1k(k－1)＝1k－1－1k；1 k2＞1k(k＋1)＝1k－1k＋1(程度大)；1 k2＜1k2－1＝1(k－1)(k＋1)＝12(1k－1－1k＋1) (程度小).3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.§4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a1，a2，…，a n都为正实数，证明：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1a n＋a2na1≥a1＋a2＋…＋a n.【证明】方法一：由柯西不等式，有(a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1a n＋a2na1)(a2＋a3＋…＋a n＋a1)≥(a1a2·a2＋a2a3·a3＋…＋a na1·a1)2＝(a1＋a2＋…＋a n)2.不等式两边约去正数因式a1＋a2＋…＋a n即得所证不等式.方法二：不妨设a1≤a2≤…≤a n，则a21≤a22≤…≤a2n，1a1≥1a2≥…≥1a n.由排序不等式有a21·1a2＋a22·1a3＋…＋a2n－1·1a n＋a2n·1a1≥a21·1a1＋a22·1a2＋…＋a2n·1a n＝a1＋a2＋…＋a n，故不等式成立.方法三：由均值不等式有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2na 1＋a 1≥2a n ，将这n 个不等式相加得 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1≥2(a 1＋a 2＋…＋a n )，整理即得所证不等式.【点拨】根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.【证明】左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，(或左边＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2ba cbc b b a ++++•＋2ba a c a cb a ++++•＋2cb ac a c c b ++++•＝9)所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.题型二用柯西不等式求最值【例2】若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 【解析】由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝4 (当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合x ＋2y ＋3z ＝2，解得x ＝17，y ＝27，z ＝37)，所以14(x 2＋y 2＋z 2)≥4.所以x 2＋y 2＋z 2≥27.故x 2＋y 2＋z 2的最小值为27.【点拨】根据柯西不等式，要求x 2＋y 2＋z 2的最小值，就要给x 2＋y 2＋z 2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x ＋2y ＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值.【解析】因为(x2＋2y2＋3z2)[32＋(2)2＋(13)2]≥(3x＋2y·2＋3z·13)2≥(3x＋2y＋z)2，所以(3x＋2y＋z)2≤12，即－23≤3x＋2y＋z≤23，当且仅当x＝－9317，y＝－3317，z＝－317时，3x＋2y＋z取最小值，最小值为－2 3.题型三不等式综合证明与运用【例3】设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.【证明】(1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤x n，由排序原理：顺序和≥反序和得1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋x n·x n≥1·x n＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)x n.①又因为x，x2，…，x n，1为序列1，x，x2，…，x n的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x＋x·x2＋…＋x n－1·x n＋x n·1≥1·x n＋x·x n －1＋…＋x n－1·x＋x n·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋x n≥(n＋1)x n，②将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.③(2)当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞x n.由①②仍然成立，于是③也成立.综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a、b、c，则a＋b＋c＝3，且这三个正三角形面积和S满足：3S＝34(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥34(a＋b＋c)2＝934?S≥334.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.。

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知识网络§ 1绝对值型不等式典例精析题型一解绝对值不等式【例1】设函数f(x) =| x-1| +1 x—2|.(1)解不等式f (x) > 3;(2)若f(x) >a对x € R恒成立，求实数a的取值范围.3 2x, x v1,【解析】(1)因为f (x) = |X- 1| + | x- 2| = 1,1 W x <2, 2x-3,x> 2.所以当x v 1时，3- 2x> 3,解得x v 0; 当 1 < x< 2 时，f (x) >3 无解；当x>2 时，2x- 3> 3,解得x>3.所以不等式f (x) > 3的解集为(一汽0) U (3，+ ^).3 2x, x v 1,(2)因为f (x) = 1,1 <x <2,所以f(X)min= 1.2x-3, x>2.因为f (x) > a恒成立，所以a v 1,即实数a的取值范围是_( -^，1). ________________________________________【变式训练1】设函数f (x) = | x + 1| + | x-2| + a.(1)当a=- 5时，求函数f (x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.【解析】(1)由题设知|x+ 1| + |x-2| -5>0,如图,在同一坐标系中作出函数y =|x + 1| + | x- 2|和y= 5的图象，知定义域为(一汽—2] U [3 , + ^).(2)由题设知，当x € R 时，恒有| x + 1| +1 x-2| + a> 0,即| x + 1| + |x - 2| > -a,又由(1)知|x + 1| + |x- 2| > 3,所以一a< 3,即a> -3. 题型二解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x) = | x- 1| +1 x-2|，若不等式| a+ b| + | a- b| > | a| f (x) 对a^0, a、b€ R恒成立，求实数x的范围.| a+ b| + | a—b| 【解析】由| a+ b| + | a- b| > | a| f (x)且a^0 得> f (x).|1a,| a+ b| + | a- b| | a+ b+ a- b| 亠又因为----- \a\—》 ------- Pa|— = 2,则有2>f(x).1 5解不等式|x—1\ + \ x-2\ < 2 得x< ^._ _ 4【变式训练2】(2010深圳)若不等式\x + 1\ + \x- 3\ > a+-对任意的实数xa恒成立，则实数a的取值范围是 ________________ .【解析】(-%, 0) U {2}.题型三利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f(x) = |x —1| + |x —a|.(1)若a=—1,解不等式f(x) >3;(2)如果?x € R, f(x) > 2,求a的取值范围.【解析】(1)当a=— 1 时，f (x) =|x —1| + | x + 1|.由f (x) > 3 得|x —1| +1 x +1| > 3,①当x< —1时，不等式化为1—x —1—x> 3,即一2x> 3,3不等式组X W 1,的解集为(一X,—-];f(x) >3 \ ，2」'②当一1v x< 1时，不等式化为1 —x + x +1 > 3,不可能成立，不等式组1<X三1,的解集为?；f(x) >3③当x> 1时，不等式化为x — 1 + x + 1>3,即卩2x>3, 不等式组x>1,的解集为[厂+旳.f(x) >3 23 3综上得f(x) >3的解集为(—汽—刁u【2，+旳.(2)若a= 1, f (x) = 2| x —1|不满足题设条件.2x a 1, x w a,若a< 1, f (x) = 1 a, a<x< 1,2x-(a 1),x >1,f (x)的最小值为1 —a.由题意有1 —a>2,即a w — 1.2x a 1,x w1,若a> 1, f (x)= a 1,1 < x< a,2x-(a 1),x >a,f (x)的最小值为a—1,由题意有a— 1 >2,故a>3. 综上可知a的取值范围为(—汽—1] U [3 ,+旳.1 1【变式训练3】关于实数x的不等式| x —2(a+1)2| w ya—1)2与x2—3(a+ 1)x + 2(3a+ 1) w0 ( a€ R)的解集分别为A, B.求使A?B的a的取值范围.111 1 1【解析】由不等式|x —2(a+ 1)2| w/a—1)2? —2(a—1)2w x —^(a+1)2w^(a—1)2,解得2a w x w a2+ 1,于是A= {x|2 a w x w a2+ 1}.由不等式x2—3(a+ 1)x+ 2(3a+1) w 0?(x —2)[ x —(3 a+ 1)] w 0,1①当3a+ 1 >2, 即卩a>-时，B= {x|2 w x w 3a+ 1},2 w9o因为A?B,所以必有2w ,解得1w a w 3;a2 1 w3a 1,1②当3a+ 1<2, 即卩a<-时，B= {x|3a+1 w x w2},3因为A?B,所以3； 1 w2a,解得a= — 1.a2 1 w2,综上使A?B的a的取值范围是a= —1或1< a< 3.1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，| x| v a的解集是(一a, a) ；| x| >a的解集是(一汽一a) U(a, +旳,它可以推广到复合型绝对值不等式| ax + b| <c, | ax+ b| > c 的解法，还可以推广到右边含未知数x的不等式，女口| 3x+ 1| < x —1?1 —x< 3x + 1 冬x — 1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如| x —a| + | X—b| >c和| x—a| +| x —b| < c型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.§ 2不等式的证明(一)典例精析题型一用综合法证明不等式【例1】若a，b，c为不全相等的正数，求证：a+ b b+ c a+clg 2 + lg 2 + lg 2 >lg a+ lg b+ Ig c.【证明】由a，b，c为正数，得a+ b , — b+ c , — a+ c i—lg ~Y~> lg . ab; lg ~Y~>lg be; lg >lg . ac.而a，b，c不全相等，所以lg a-^b+ lg +lg 号^> lgab+ lg bc+ lg ac= lg a2b2c2 =lg( abc) = lg a+ lg b+ lg c.” a+ b b+ c a+ c即lg ~2~ + lg ~2~ + lg 厂 >lg a+ lg b+ lg c.【点拨】本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a，b，c，d都是实数，且a2+ b2= 1，c2+ d2= 1.求证：| ac+ bd| < 1.【证明】因为a，b，c，d都是实数，22222222a + cb + d a + b +c + d所以| ac+ bd| 冬| ac| +1 bd| 冬 2 + 2~ — 2 .又因为a2+ b2= 1，c2+d2= 1，所以| ac + bd| < 1.题型二用作差法证明不等式【例2】设a，b，c ABC的三边，求证：a2+ b2+c2v 2(ab+ bc + ca).【证明】a2+ b2+ c2—2(ab+ bc+ ca) = (a—b)2+ ( b —c)2+ (c —a)2—a2—b2—2c=[(a —b)2—c2] + [( b —c)2—a2] + [( c —a)2—b2].而在△ ABC 中, | b — a | v c ,所以(a — b )2v c 2，即(a — b )2-c 2v 0.同理(a — c )2— b 2v 0, (b — c )2— a 2v 0,所以 a 2 + b 2+ c 2— 2(ab + bc + ca ) v 0.故 a 2 + b 2+ c 2v 2( ab + bc + ca ).【点拨】不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第二边，任意两边之差小于第二边【变式训练2】设a, b 为实数，0v n v 1,0 v m v 1, n =1,求证:+ b )2.2 2 2 2 2 2a b , 2 na + mb nma + 2ab + b ) 【证明】因为一+-— (a + b )2= — m n mn mnn a 2(1 — m 土 mb (1 — n ) — 2mnab — mn2 2 2 2na + mb — 2mnab (na — mbmn2.2所以不等式m n '(a + b)2成立.题型三用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c € R+,且a + b + c = 1.求证：(1 + a )(1 + b )(1 + c ) > 8(1 — a )(1 — b )(1 — c ).【证明】因为a 、b 、c € R+,且a + b + c = 1,所以要证原不等式成立，即证[(a + b + c ) + a ][( a + b + c ) + b ][( a + b + c ) + c ] 》8[( a + b +c ) — a ][( a + b + c ) — b ][( a + b + c ) — c ],也就是证[(a + b ) + (c + a )][( a + b ) + (b + c )][( c + a ) + (b + c )] >8(b + c )( c + a )( a + b ).①因为(a + b ) + (b +c ) >2 (a + b )( b + c ) >0, (b +c ) + (c + a ) >2 ( b + c )( c + a ) >0, (c + a ) + (a + b ) >2 (c + a )( a + b ) >0, 三式相乘得①式成立，故原不等式得证 . 【点拨】本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程 .【变式训练 3】设函数 f (x ) = x — a (x + 1)1 n( x + 1)( x >— 1, a >0). (1) 求f (x )的单调区间；(2) 求证：当 m > n > 0 时，(1 + nr)n v (1 + n ) m【解析】(1)f (x ) = 1— a ln( x + 1) — a ,① a = 0时，f (x ) >0,所以f (x )在(一1,+旳上是增函数；1- a1-a② 当a >0时，f (X )在(—1, e T— 1]上单调递增，在[e 盲—1, +旳单调递减. (2)证明：要证(1 + n )n v (1 + n )m,只需证 n ln(1 + m v m n(1 + n )，只需证2 2a b + - > (a m n2mn,ln(1 + n) in(1 + m v由(1)知x — (1 + x )l n(1 + x )在(0,+旳单调递减, 所以 x — (1 + x )ln(1 + x ) v 0,即卩 g (x )是减函数，而m >n ,所以g (m ) v g (n ),故原不等式成立.总结提高1. 一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法2. 用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等3. 用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等 )，从而得出要证的命题成立.4. 所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法 (或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.§ 3不等式的证明(二)典例精析题型一用放缩法、反证法证明不等式25 【例 1】已知 a , b € R,且 a + b = 1,求证：(a + 2)1 2+ (b + 2)2^^. 【证明】方法一：(放缩法) 因为a + b = 1,22(a + 2) + (b + 2) 2 1225所以左边=(a + 2) + (b + 2)》2[ 2] = ?[( a + b ) + 4]=—右边.方法二：(反证法)2225 2 225 假设(a + 2) + ( b + 2) v-^，贝9 a + b + 4(a + b ) + 8<空.2 2由 a + b = 1,得 b = 1 — a ,于是有 a + (1 — a ) + 12v 而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a +b = 1,得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式•当然本题也可1 2 1 2 所以(a — 2)v 0,这与(a — p >0矛盾.【点拨】根据不等式左边是平方和及 a + b = 1这个特点，选用重要不等式 + b 2>a +b 22 22( 厂)2来证明比较好，它可以将具备a 2+ b 2形式的式子缩小设 g (x )ln(1 + x )x(x >0)，则 g (x ) —ln(1 + x )1 + x 'x — (1 + x )l n(1 +x )25 2 . 故假设不成立，所以(a + 2)2+ (b + 2)2> 2以用分析法和作差比较法来证明•【变式训练1】设a o , a i , a 2，…，a n -1, a n 满足a o = a n = 0,且有 a 。

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