变分法简介(简单_明了_易懂)
变分法
tf
t0
M (t )(t )dt 0 。则在 [t 0 , t f ] 内， M (t ) 0 。
（用反证法容易证明，略） 。 二、无约束条件的泛函极值 求泛函 J
tf
t0
(t ), t ]dt （1）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找 F[ x(t ), x
一条曲线 x(t ) ，使给定的二阶连续可微函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为 极值曲线（或轨线） ，记为 x (t ) 。 1．端点固定的情况 设容许曲线 x(t ) 满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f ，且二次可微。 首先计算（1）式的变分：
t t f dt f 。寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定发问进行推导，即有
0 J
t f dt
t0
x , t ]dt | 0 F[ x x, x
t f dt
t0
)dt | 0 F ( x x, x x , t f dt f )dt f | 0(t t f dt f ) ( Fxx Fx x
tf x , t ] 0 dt J [ x(t ) x(t )] 0 F[ x x, x t0 tf
J
ห้องสมุดไป่ตู้
, t )x Fx , t )x ]dt [ Fx ( x, x ( x, x
t0
（2）
对上式右端第二项做分布积分，并利用 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，有
件，有 J
tf
[ Fx
它是这类最简泛函取极值的必要条件。 最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情 况，如二元泛函
变分法简介(简单_明了_易懂)
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分法简介
xB
L
xA
1
dy dx
2
dx
y=y(x)不同，曲线的长度就会不同，也就是说L是曲线y=y(x)的 函数，这就是泛函。
下面不加证明的给出泛函问题的一些定义:
一、泛函 其值由一个或几个函数确定的函数称为泛函。简单记： 泛函-函数的函数。 对前述例题，记为:
xB
L y x
建立控制方程；然后结合具体的定解条件(边界条件和初始条件)求 解控制方程。显然，问题的物理实质不同，控制方程和定解条件也 就不同。然而，它们可被一般地表示为(图2．2)
A1 u
A
u
A2
u
0
M
B1 u
B
u
B2
u
0
M
结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领 域。 前面以弹性力学平面问题为例，阐释了有限单元法的 基本内容。这样的介绍具有直观性，但缺乏系统性和深刻 性。为加深对有限单元法的理解，本章将系统而深入地阐述 有限单元法的基本原理，
内容包括： (1)介绍定解问题的微分方程提法； (2)根据微分方程的等效积分形式，推导虚位移原理及势能变
其中，C，D，E，F是微分算子。通常上式称为微分方程的弱形式(weakform)， 相对而言，定解问题的微分方程称为强形式(strong form)。
由于分部积分的缘故，场函数u的导数的阶次在弱形式中比在等效积分形 式中为低。这样，使用弱形式时对场函数便只要求较低阶的连续性。当然，
降低对u的连续性要求是以提高 v和 v的连续性要求为代价的。不过，由 于原来对 v和 并v 无连续性要求，故适当提高其连续性并不困难。
通俗简易讲解变分问题ppt课件
• 世界上有两个学术中心，引起各国学者的 注意，一个是美国麻省理工学院的赖斯纳、 日本著名学者鹫津久一郎、卞学鐄等人， 另一个就是钱伟长等一批中国的科学家。
• 以往的变分原理工作，大都是凑出来的，即首先写 出泛函，再取驻值验证。所以每一个新原理的出现 都是一项重要成果。钱伟长试图找到系统的做法， 他首先从最小位能原理和最小余能原理出发，把约 束条件利用拉格朗日乘子引入泛函，从而先放松条 件，得到相应广义化的变分原理。在变分中可以把 待定的拉氏乘子确定下来，这是对建立广义变分原 理的泛函提出合乎逻辑的数学方法，无疑是一个重 要成果。
• 一直到1977年，国外的文献上才有这一方面的 论述。O.C·钦科维奇（Zienkiewicz）在《有限元 法》一书中明确地把Courant和Hilbert的经典著 作中有关变分约束条件，待定拉格朗日乘子法 加以讲解，应用到弹性力学变分原理中。比起 钱伟长1964年的工作已晚了13年。
补充几个概念
1
y'2 dx
l
，泛函
a 0
Fl
(x,
y,
y' )dx
ydx
0
•构造一个新函数 F y 1 y'2
λ —拉格朗日乘子。
根据降阶欧拉公式 ：
F
y
'
F' y
'
C
y 1 y '2 y ' 2y '
C
2 1 y '2
y (1 y'2 ) y'2 C
1 y'2
数值的总个数）的待定问题，具有按分布 形式的节点及其一定的节点参数子区域 e称 为单元。
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季泉生 jiquansheng1163
2019.12.13
• 由于60至70年代有限元方法的发展及其在 工程上的广泛应用，变分原理作为其理论 基础，显示出重要性。
• 世界上有两个学术中心，引起各国学者的 注意，一个是美国麻省理工学院的赖斯纳 、日本著名学者鹫津久一郎、卞学鐄等人 ，另一个就是钱伟长等一批中国的科学家 。
y(1y'2)y'2 C
1 y'2
y
1 y'2
C1
• 设 y' tg
y C 11 tg2 C 1se c C 1 co s
dy dx
tg
dxtdgyssiinndcosd xC2sin
cos
x y
1
C
2gy1y'2 2gy1y'2
• 设 y' ctg
1
C
2gy 1ctg2
1
C
2gy csc
sin C
2 gy
yC s2i2 2 n g1 4c go 2 C 2sC 21(1co 2s )
dy ctg
dx
dx
dy ctg
(C 1 2
数值的总个数）的待定问题，具有按分布 形式的节点及其一定的节点参数子区域 e称 为单元。
几个概念
• 泛函—函数的函数，表达式： F(x,y,y')dx； F(x,y,y')dx称为变分； F(x,y,y')dx0泛函的极值条件。
几个实例
• 1. 最大速降问题
• 坐标原点到某点M（a,b）时间最短，是走
什么轨道（轨迹）。
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
变分法简介
西南交通大学峨眉校区基础部 2009—2012年
泛函的极值
【泛函极值的必要条件】
【定理 1】 使 J [ y] a F ( x, y, y)dx 取得极值的函数 y=y(x)且满足固定边界条件
y(a) y0 , y(b) y1
b
Variational Methods
d F 0 dx y
所以，立即就可以得到它的首次积分：
（1.3）
F 常量C 。 y
【2】泛函中的 F F ( y, y) 不显含 x 可以证明，
F d F d F F d F F F y F y y y y y y dx y dx y dx y y y y
f ( x , y, z ) 0
（2）
由高等数学知识知道，曲线(1)的长度为
L
x1
x0
1 y2 ( x) z2 ( x)dx
（3）
这样，短程线问题可归结为在满足约束条件（2）在，寻求过 A、B 两点的方程（1） ，使得积分（3）取得最小值。
短程线的变分问题称为约束极值问题或条件极值问题。
x x(t ), y y(t ) , (t0 t t1 )
（1）
其中，函数 x(t ), y(t ) 连续可微，且 x(t0 ) x(t1 ) , y(t0 ) y(t1 ) 。再设闭曲线的长度是 L，即
L
t1
0
x2 (t ) y2 (t )dt
（2）
根据格林公式，这条曲线所围成的面积是
1 y 2 y 2 c1 2 gy 2 gy (1 y2 )
令c
变分法基础 老大中
变分法基础老大中变分法是数学和物理学中一种重要的数值计算方法，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍变分法的背景和重要性。
变分法源于数学中的变分计算问题，最早起源于的变分问题。
它是一种求函数最值的方法，旨在寻找函数的极值点或稳定点。
变分法的发展历程经过了数学家们的不断研究和推导，逐渐形成了现代变分法的基础理论。
在物理学中，变分法广泛应用于解决各种力学和场的问题。
通过将物理问题转化为最值问题，可以用变分法来求解微分方程和泛函方程，从而获得物理系统的稳定解、极值解或最优解。
变分法在力学、电磁学、量子力学等领域起到了重要的作用。
在工程学中，变分法常用于优化设计问题和界面问题的求解。
通过对设计参数进行变分，可求解出具有最优性能的工程结构或系统。
变分法的应用可以降低系统的能耗、提高系统的效率，并优化系统与环境的交互效果。
总之，变分法作为一种重要的数值计算方法，在数学、物理学和工程学中都有着广泛的应用和重要的意义。
通过变分法的运用，可以获得优化问题的解析解或近似解，为各个领域的研究和实践提供有力的支持和指导。
泛函泛函是一个函数的集合，其中每个函数都将一个输入映射到一个输出。
在变分法中，我们将研究泛函的性质和优化问题。
变分变分是指对函数的微小变化。
在变分法中，我们将通过对函数进行变分来研究泛函的性质和优化问题。
变分法公式变分法公式是一种用于求解泛函优化问题的数学工具。
它涉及将变分应用于泛函，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
变分法公式可以表示为：对于给定的泛函J[y]，寻找函数y 使得J[y]取极值应用变分运算符，通过对函数y 进行变分，得到变分问题求解变分问题，得到泛函J[y]的极值函数y变分法是一种数学方法，广泛应用于不同领域，包括物理学和工程学。
下面列举了一些变分法在这些领域中的应用示例：物理学量子力学：变分法可以用于求解量子系统的基态能量和波函数形式。
经典力学：变分法可以用于求解约束系统的最小作用量路径。
变分法基本引理
变分法基本引理变分法是数学中一种重要的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
其基本引理为变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
本文将围绕变分法基本引理展开讨论，介绍其基本概念、原理和应用。
一、引言变分法是数学中研究变量函数的极值问题的一种方法。
其基本思想是通过将极值问题转化为一个函数的极值问题，从而求解原问题。
变分法的基本引理是变分法的基础，为后续的推导和应用提供了重要的理论支持。
二、变分法基本引理的概念变分法基本引理是对于函数的变分的一种数学表述。
它指出，如果函数在某一点处取得极值，那么在该点处的变分为零。
换言之，如果一个函数在某一点处的变分不为零，那么该点不是函数的极值点。
三、变分法基本引理的原理变分法基本引理可以通过泛函导数的概念来理解。
泛函导数是对函数的变分的一种推广，它表示函数在某一点处的变分相对于该点处的微小变动的比率。
根据变分法基本引理，如果一个函数在某一点处的泛函导数为零，那么该点是函数的极值点。
四、变分法基本引理的应用变分法基本引理在实际问题中有着广泛的应用。
以经济学为例，我们可以将经济系统的效用函数看作一个泛函，通过变分法求解该泛函的极值，得到最优的经济决策。
类似地，变分法在物理学中的应用也十分广泛，例如用于求解最短路径、最小作用量和最小曲面等问题。
五、变分法基本引理的思考虽然变分法基本引理在理论和应用上都具有重要的意义，但在实际问题中的应用也面临一定的挑战。
首先，变分法需要对变分进行严格的数学推导，这对于一些复杂的问题来说是一项困难的任务。
其次，变分法在求解极值问题时并不一定能得到全局最优解，而可能仅能得到局部最优解。
六、结论变分法基本引理是变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
通过对变分法基本引理的理论分析和应用示例的介绍，我们可以看到变分法在实际问题中的重要性和应用价值。
在今后的研究和应用中，我们应进一步深化对变分法的理解，不断拓展其应用领域，为解决复杂问题提供更有效的数学工具。
通俗简易讲解变分问题ppt课件-PPT课件
滚轮（半径为 2 ）沿 x 轴滚动的轨迹为旋轮 线（俗称摆线）钟表中的齿轮齿形曲线不是渐开 线而是摆线，其特点中心距不可分，优点精确。
1
2. 等周问题—条件泛函极值
•
一块钢板围成什么曲面做成的半壁料 仓其容积最大。化成平面问题，定长直线 ，围成什么曲线使其所围面积最大。
' F ( x , y , y )dx ydx 条件： 0 1 y dx l ，泛函0 l
几个概念
• 泛函—函数的函数，表达式：
' F (x ,y ,y )d x称为变分；
F (x ,y , y' )d x；
泛函的极值条件。 Fxyy ( , , ) d x 0
'
几个实例
• 1. 最大速降问题 • 坐标原点到某点M（a,b）时间最短，是走 什么轨道（轨迹）。 ' dF • 根据欧拉方程 Fy' y 0 dx • 降阶欧拉方程（如果泛函不含x）
• 日本鹫津久一郎在1968年出版的《弹性和塑性 力学中的变分法》一书中，才比较明确地应用 了拉氏乘子法，但还有一些要点上不够明确， 如待定乘子通过泛函驻值条件来决定的观点还 没有反映。
• 一直到1977年，国外的文献上才有这一方面的 论述。O.C· 钦科维奇（Zienkiewicz）在《有限元 法》一书中明确地把Courant和Hilbert的经典著 作中有关变分约束条件，待定拉格朗日乘子法 加以讲解，应用到弹性力学变分原理中。比起 钱伟长1964年的工作已晚了13年。
y ( x ,) y ( x ) [ y ( xy ) ( x ) ] 0 0
式中， α为任意实数，易证曲线族 中的每条 曲线都属于容许曲线族。
变分法简介
变分原理 欧拉-拉格朗日方程 使最简泛函
J [ y( x)] F ( x, y, y' )dx
0 x1
取极值且满足固定边界条件
y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1 的极值曲线y应满足必要条件
d Fy Fy ' 0 dx
的解，式中F为x,y,y'的已知函数并有二阶连续 偏导数
变分法简介
姜鲁 5080109215
变分法
变分法是17世纪末开始发展起来的数学分析的一 个分支，它是研究依赖于某些未知函数的积分型 泛函极值的一门科学。简言之，求泛函极值的方 法称为变分法。求泛函极值3年发表了变分法的首篇论文《论极 大极小的某些问题》。欧拉于1744年发表的著作 《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》 标志着变分法这门科学的诞生。变分法一词由拉 格朗日于1755年8月给欧拉的一封信中首次提出， 他当时称为变分方法(the method of variation)， 而欧拉则在1756年的一篇论文中提出了变分法 (the calculus of variation)一词。变分法这门学科 的命名由此而来。
变分
对于任意x∈[x0,x1]，可取函数y(x)与另一可取函 数y0(x)之差y(x)-y0(x)称为函数y(x)在y0(x)处的变 分或函数的变分，记作δy。
泛函的宗量y(x)与另一宗量y0(x)之差y(x)-y0(x)称 为宗量y(x)在y0(x)处的变分。
变分与微分的区别
变分原理
定理
若泛函J[y(x)]在y=y(x)上达到极值，则它在y=y(x) 上的变分δJ等于零。
最速降线问题的解
由欧拉方程首次积分
经过代换、简化、积分，并带入边界条件，得：
变分运算法则范文
变分运算法则范文首先，我们来看一下变分运算法则的定义。
变分运算法则是一种基于极限思想的求导法则，用于求函数的变分导数。
对于给定的函数y=f(x)，其变分导数可以表示为δy/δx，其中δ表示微小的变化量。
变分导数可用以下公式进行计算：δy/δx = lim[δy/δh]其中h为函数f的参数的微小变化量。
这个公式表示了当参数h变化时，函数f的变化率。
变分运算法则在数学的不同领域中都有应用。
在变分法中，变分运算法则用于求解变分问题，如最小值或最大值。
在物理学中，变分运算法则用于求解作用量原理问题，如哈密顿原理和拉格朗日原理。
在控制理论中，变分运算法则用于求解最优控制问题，如最小时间问题和最小能耗问题。
接下来，我们将介绍一些具体的应用例子。
第一个例子是求解最小值问题。
假设我们要求函数y=f(x)在给定区间[a,b]上的最小值。
可以通过变分运算法则构建一个变分函数J(f) =∫[a,b] (f'^2 - f^2) dx，其中f'表示函数f的导数。
然后，求解变分运算法则δJ/δf = 0的方程，可以得到函数f的最小值。
第二个例子是求解哈密顿原理问题。
哈密顿原理是物理学中的一种基本原理，用于描述系统的动力学行为。
通过使用变分运算法则，可以求解出满足哈密顿原理的运动方程。
这个问题在经典力学和量子力学中都有广泛的应用。
第三个例子是求解最优控制问题。
最优控制问题是在给定约束条件下，选择最佳控制策略来优化系统性能的问题。
通过使用变分运算法则，可以求解出满足系统动力学方程和约束条件的最优控制策略。
这个问题在控制理论和工程领域中都有重要的应用。
除了以上三个例子，变分运算法则在其他领域也有广泛的应用。
例如，在经济学中，变分运算法则用于求解最优经济政策问题；在计算机科学中，变分运算法则用于求解图像处理和机器学习问题。
总之，变分运算法则在数学和科学的各个领域都有重要的应用。
综上所述，变分运算法则是微积分中的重要工具，可用于求解最小值问题、哈密顿原理问题和最优控制问题等。
变分法的原理和应用
变分法的原理和应用1. 变分法的原理简述变分法是数学分析中一种重要的方法，它主要用于求解泛函极值问题。
泛函是一类函数，其自变量是函数而非常数或向量。
变分法将泛函问题转化为一个变分问题，通过寻找泛函对应的变分函数，使得泛函在该函数上取得极值。
变分法的原理基于变分运算和极值原理。
变分运算是对函数进行微小变化的一种数学操作，以求出极值条件。
极值原理是基于变分运算，通过变分函数使得泛函在该函数上取得极值。
2. 变分法的应用领域变分法具有广泛的应用领域，主要包括：2.1 物理学中的应用变分法在物理学中有许多应用，尤其在研究物理系统的最小作用量原理中起到重要作用。
例如，光的传播可以通过费马原理来描述，通过对路径进行变分运算求得光线的轨迹。
变分法还可以用于研究量子力学中的马克思方程和薛定谔方程，以及经典力学中的拉格朗日方程和哈密顿方程。
2.2 工程学中的应用在工程学中，变分法广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域。
例如，在结构力学中，变分法可以用于计算结构的位移和应力分布，以及优化设计。
在流体力学中，变分法可以用于求解流体的速度和压力分布，以及优化流体系统的设计。
在热传导中，变分法可以用于求解热传导方程的稳态和非稳态解。
2.3 经济学中的应用变分法在经济学中的应用也比较广泛，主要用于优化问题的求解。
经济学中的很多问题可以转化为泛函极值问题，例如最大化效用函数、最小化成本函数等。
变分法可以通过求解泛函的极值，得到经济系统的最优决策。
2.4 其他领域的应用除了物理学、工程学和经济学外，变分法还在其他领域得到了广泛应用。
例如，在计算机图形学中，变分法可以用于图像变形和图像分割等问题的求解。
在机器学习中，变分法可以用于求解概率图模型的参数估计。
在数学建模中，变分法可以用于求解偏微分方程的边界值问题。
3. 变分法的基本步骤变分法的求解过程通常包括以下几个步骤：3.1 高斯法首先，利用高斯法将泛函问题转化为极值问题。
(完整版)变分法简介(简单明了易懂)
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分原理名词简答
简答题： 有限元法解微分方程的步骤 总体刚度矩阵的特点 描述 Gal的位移 三角形荷载下悬臂梁平衡方程的推导，Ritz 或者 Galerkin 法求解梁的位移 深梁三角单元，单元应力应变矩阵，单元刚度矩阵，单元荷载向量
3. 有限元法原理：最小势能原理 主要的单元形式：以结点位移为基本未知量的位移元 单元特性矩阵：插值函数矩阵，应变矩阵，单元刚度矩阵，荷载向量，并用以形成有限 元法的求解方程。 有限元法的一个重要特点：采用插值函数作位移模式
4. 有限元法的三种途径：结构矩阵法，变分法，加权余量法。 5. 工程设计：运用固体力学理论对结构进行强度，刚度和稳定性分析 6. Ritz 法：利用带未知量的试探函数对势能泛函进行近似，通过对每个未知量求势能泛函
的极小值得到求解未知量的方程组 限制条件：试探函数必须满足边界条件 Galerkin 法：除要求位移试函数满足边界位移条件之外，还要满足外力边界条件。不用 预先判读结构是否超静定，不用判定超静定次数。 7. Ritz 法的求解过程：利用最小势能原理，实质为由位移参数表示的近似平衡方程。 Galerkin 法的求解方程：可以用加权余量法的基本思想解释，当权函数选为试函数中的 各个容许函数时，就是 Galerkin 法。 8. Ritz 法的收敛准则：试函数具有完备性和连续性，且随着 n 的增加，Ritz 法的近似解将 趋近于微分方程的精确解 有限元解的收敛准则：1）完备性要：试函数中必须具备包括本身和直到 m 阶导数为常 数的项，必须能反应单元的刚体位移和常应变状态 2）协调性要求：若泛函中最高阶导 数是 m 阶，则试函数在单元交界面上必须具有 Cm-1 连续性，即在相邻交接面上函数应 具有直到 m-1 阶连续导数。 9. 有限元法实际是变分原理中 Ritz 法的一种 微分方程的解必使泛函 Q（x）取极小值 若泛函在 u（x）取极小值，则 u（x）是微分方程的解 10. Euler 有限差分法：是一种变分直接解法 变分问题的解法：Euler 法和直接法（Ritz，Galerkin 法） 11. 泛函的极小化序列：有限差分法求解泛函极值时 n 取无穷的时候，所得到的一系列曲线 或函数。N 越大，折线越接近于真实的函数曲线。因为真实解使泛函取极小值，因此 n 越大，泛函约小，该序列成为泛函的极小化序列 12. 加权余量法的思想：是使残值 R 在权函数空间 W 中的投影为零。Galerkin 法，矩法，最 小二乘法，配点法，子域法 13. 经典的有限元法：首先通过变分原理，找出微分方程所对应的变分问题，找出对应的泛 函 经典变分原理：最小势能原理和最小余能原理 加权残值法：比较复杂的微分方程，对应的泛函不易找到，则直接用基函数与方程两端 做内积，从而得到离散的求解方程组 14. 等效积分形式：即等效泛函 如
变分法
变分法综述1.变分法1.1.变分法起源变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。
20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。
[1]变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。
譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。
变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。
在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。
变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。
它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。
而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
最优控制的理论是变分法的一个推广。
[2]同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。
变分一词用于所有极值泛函问题。
微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。
极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。
1.2变分问题类型固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。
[3]（1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。
这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。
通俗简易讲解变分问题ppt课件
• 一直到1977年，国外的文献上才有这一方面的 论述。O.C·钦科维奇（Zienkiewicz）在《有限元 法》一书中明确地把Courant和Hilbert的经典著 作中有关变分约束条件，待定拉格朗日乘子法 加以讲解，应用到弹性力学变分原理中。比起 钱伟长1964年的工作已晚了13年。
补充几个概念
• （1）极值曲线（函数）。在通过已知点A、 B的所有曲线（函数）y=y(x)中（函数y(x) 在 区间[a0, a1]上连续），求出这样的函数，使 得泛函
J ( y) a1 F (x, y, y') dx a0
取得极大或极小值，这样的曲线（函数）称 为极值曲线（函数）。
• （2）容许曲线。满足条件y(a0 ) b0, y(a1) b1 的（ 线光。a滑0,曲b0线）称、为M1泛（函a1的, b容1）许的曲曲线线，称即为通容过许M曲0
y(x, ) y0 (x) [ y(x) y0 (x)]
式中， α为任意实数，易证曲线族 中的每条 曲线都属于容许曲线族。
•变分 y y(x) y0 (，x) y(x, ) y0 (x) 可 以y 推
导出在曲线
y(x, )达 到y0极(x)值，则
y y0 (x)必为微分方程
)
C1 2
(1
cos )
滚轮（半径为
C1 2
）沿
x
轴滚动的轨迹为旋轮
线（俗称摆线）钟表中的齿轮齿形曲线不是渐开
线而是摆线，其特点中心距不可分，优点精确。
2. 等周问题—条件泛函极值
•
一块钢板围成什么曲面做成的半壁料
仓其容积最大。化成平面问题，定长直线，
围成什么曲线使其所围面积最大。
a
条件：0a
• 由于60至70年代有限元方法的发展及其在 工程上的广泛应用，变分原理作为其理论 基础，显示出重要性。
分形变分法
分形变分法
分形变分法，是一种数学上的分析工具，用于研究和描述自然界中的复杂结构和现象。
它是由波兰数学家曼德布洛特于20世纪70年代提出的，被广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。
分形变分法是一种迭代过程，通过不断地将一个整体分割成许多越来越小的部分，并对每个部分进行进一步的分析和处理。
这种方法的核心思想是“整体-局部”，即整体的性质在局部也能得到体现。
分形变分法在自然界中的应用非常广泛。
例如，自然界中的云朵、山脉、河流等地貌结构都具有分形的特征。
通过分形变分法，科学家可以对地貌的形成和演化进行模拟和分析，为地质学和气象学的研究提供了重要的工具。
在生物学领域，分形变分法也起到了重要的作用。
生物体内的血管、神经等结构都具有分形的特征，通过对这些结构的分析，可以更好地理解生物体的生理机制和疾病的发生机理。
除此之外，分形变分法还被广泛应用于经济学和金融学中。
经济市场的波动和金融时间序列中的变化都具有分形的特征。
通过对这些数据的分析，可以揭示市场的规律和趋势，为投资者提供决策依据。
总的来说，分形变分法是一种强大的工具，可以帮助科学家和研究者更好地理解和描述自然界中的复杂结构和现象。
它的应用范围非常广泛，不仅仅局限于数学领域，还渗透到了物理学、生物学、经济学等多个学科。
随着科学技术的不断发展，相信分形变分法在未来会发挥更大的作用，为人类的认知进一步提供帮助。
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泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数 的导数：
（4）
这是因为当变分存在时，增量
根据 和 的性质有
所以
1.2泛函极值的相关结论
1.2.1泛函极值的变分表示
利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。
泛函极值的变分表示：若 在 达到极值（极大或极小），则
（5）
， （6）
泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x(t)∈S取得极值，则x(t)满足欧拉方程
（7）
欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分：
对上式右端第二项做分部积分，并利用 ，有
，
所以
利用泛函极值的变分表示，得
因为 的任意性，及 ，由基本引理，即得（7）。
（7）式也可写成
（8）
通常这是关于x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。
泛函的极大值可以类似地定义。其中 称为泛函的极值函数或极值曲线。
1.1.3泛函的变分
如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数 在 的增量记为
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
如果 可以表为
其中 为 的线性项，而 是 的高阶项，则称 为泛函在 的变分，记作
1.1.2泛函极值问题
考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：
在所有连接定点 的平面曲线中，试求长度最小的曲线。
即，求 ，使
取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，
称泛函 在 取得极小值，如果对于任意一个与 接近的 ，都有 。所谓接近，可以用距离 来度量，而距离可以定义为
现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。
1.1变分法的基本概念
1.1.1泛函的概念
设 为一函数集合，若对于每一个函数 有一个实数 与之对应，则称 是定义在 上的泛函，记作 。 称为 的容许函数集。
§1 变分法简介
作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：
约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”
解此方程并适当选取参数，得
（1）
即为悬链线。
悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
证明：对任意给定的 ， 是变量 的函数，该函数在 处达到极值。根据函数极值的必要条件知
再由（4）式，便可得到（5）式。
变分法的基本引理： ， ， ，有
，
则 。
证明略。
1.2.2泛函极值的必要条件
考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。
例如，在 上光滑曲线y(x)的长度可定义为
（2）
考虑几个具体曲线，取 ，
若 ，则
若y(x)为悬链线，则
对应 中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在函数集合 上的一个泛函，此时我们可以写成
我们称如下形式的泛函为最简泛函
（3）
被积函数 包含自变量 ，未知函数 (t)及导数 (t)。如，上述曲线长度泛函即为一最简泛函。
1.2.3几种特殊形式最简泛函的欧拉方程
( ) 不依赖于 ，即
这时 ，欧拉方程为 ，这个方程以隐函数形式给出 ，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。
( ) 不依赖 ，即
欧拉方程为
将上式积分一次，便得首次积分 ，由此可求出 ，积分后得到可能的极值曲线族
( ) 只依赖于 ，即
这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题
(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程