第二讲算式巧求和

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第二讲：等差数列及求和公式(教师)

第二讲：等差数列、等比数列的通项公式【知识结构】1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d （与项数n无关），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。

等差数列的递推公式为：即a n a n 1 d,n 2,n N （d为常数）/a ni a n d,n N /，这就是一个恒等式，数列中的恒等式一定要注意变量的范围，即项数n的范围。

a b2、等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A -2 3、等差数列的通项公式：a n a i （n 1）d dn 佝d）。

当d 0时，从函数的角度看，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，它的图象是在一条直线的散点。

【典型例题】例1、（1）已知等差数列｛a n｝中，a12，公差为3,则通项公式a n3n 1。

（2）已知等差数列｛a n｝中，a2 3，a4 7，则通项公式a n2n1。

（3）已知等差数列｛a n｝中，2a2 a31,a7 a8 20 ，a k15，则k 10。

（4）在等差数列a n中，若a1 a4a$ a12 a15 2 则2。

解:⑶设a1,公差d 3a1 4d 12耳13d 20,解得［c3 a n 2nd 25k 10等差数列的通项公式的作用是把等差数列中的任意一项用首项和公差表示。

练习：P7自主练习中的1,2,3（2）（3）（4）,4 。

例2、（1）a n 1a n2,n N*；（2）满足2a n 1a n 2 a n, n N * ；（3）a n 1a n n,n N *满足条件（2），数列｛a n｝是等差数列。

例3、两个数列1, x i , X 2,……，X 7, 5和1, y i , y 2,……，y 6, 5均成等差数列公差分别解：5 = 1+ 8d 1, d 1 = 1,又 5= 1 + 7d 2, d 22(2)证明： a n pn q(p,q 为常数)是等差数列，说明首项与公差。

第二讲等比数列数列的求和

第二讲等比数列数列的求和1. 等比数列的概念(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．(2) 符号语言：a n ＋1a n_＝q(n ∈N ，q 是等比数列的公比)．2. 等比数列的通项公式：设{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则第n 项a n ＝a 1q n －1．推广：a n ＝a m q (n－m)．3. 等比中项：若a ，G ，b 成等比数列，则G 为a 和b 的等比中项且G4. 等比数列的前n 项和公式(1) 当q ＝1时，S n ＝na 1． (2) 当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q．5. 等比数列的性质(1) a n ＝a m q n －m ．(2) 等比数列{a n }中，对任意的m 、n 、p 、q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ．特殊的，若m ＋n ＝2p ，则a m a n ＝a 2p ．(3) 等比数列{a n }中依次每m 项的和仍成等比数列，即S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、…仍成等比数列，其公比为q m (q ≠－1)．6. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n .7. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用迭乘法求数列的通项a n . 8. (1) a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(2) 等差数列前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2，推导方法：倒序相加法． (3) 等比数列前n 项和S n ＝⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 推导方法：错位相减法．9. 常见数列的前n 项和：(1) 1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2； (2) 2＋4＋6＋…＋2n ＝n(n ＋1)；(3) 1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2； (4) 12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6．10. (1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． (3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (4) 倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法． 11. 常见的拆项公式有：(1) 1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1； (2) 1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）； (4) 1a ＋b ＝1a －b(a －b).1.等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则a 3＋a 5＝________．答案：6 解析：a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝(a 3＋a 5)2＝36，又a 1>0，∴ a 3，a 5>0，∴ a 3＋a 5＝6. 2. 已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝na n (n ∈N *)，则该数列的通项公式a n ＝________．答案：a n ＝1n 解析：a n a 1＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1＝1n.3. 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n （n ＋1），则S 4＝________．答案：45 解析：a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴ S 4＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45.4.数列112，214，318，4116，…的前n 项和是 __________．答案：S n ＝n （n ＋1）2＋1－12n解析：S n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n （n ＋1）2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n （n ＋1）2＋1－12n.题型1 等比数列的基本运算例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n ∈N )．(1) 求a 1，a 2； (2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n .(1) 解：由3S 1＝a 1－1，得3a 1＝a 1－1，∴ a 1＝－12. 又3S 2＝a 2－1，即3a 1＋3a 2＝a 2－1，得a 2＝14.(2) 证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．(3) 解：由(2)可得a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＝⎝⎛⎭⎫－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n1－⎝⎛⎭⎫－12＝－13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n .变式训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1) 求证：数列{a n －n}是等比数列； (2) 求数列{a n }的前n 项和S n ； (3) 求证：不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．(1) 证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N *.又a 1－1＝1，所以数列{a n －n}是首项为1，公比为4的等比数列．(2) 解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n －13＋n （n ＋1）2.(3) 证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎡⎦⎤4n －13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)≤0，所以不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．题型2 等比数列的性质例2 已知等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＋1<a n .(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值及相应的n 值．解：(1) q 6＝a 8a 2＝1232＝164， a n ＋1<a n ，所以q ＝12.以a 1＝a 2q ＝3212＝64为首项，所以通项公式为a n ＝64·⎝⎛⎭⎫12n －1＝27－n (n ∈N )． (2) 设b n ＝log 2a n ，则b n ＝log 227－n ＝7－n.所以{b n }是首项为6，公差为－1的等差数列．T n ＝6n ＋n （n －1）2(－1)＝－12n 2＋132n ＝－12(n －132)2＋1698.因为n 是自然数，所以n ＝6或n ＝7时，T n 最大，其最大值是T 6＝T 7＝21.变式训练2 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是________．解析：∵a 5＝a 2q 3，∴14＝2×q 3，∴q ＝12，∴a 1＝a 2q ＝4，∴a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1＝23－n ， ∴a k a k ＋1＝12k －3·12k －2＝122k －5，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝122×1－5＋122×2－5＋…＋122n －5＝32×⎝⎛⎫14＋142＋…＋14n ＝32×14⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323⎝⎛⎭⎫1－14n ∈⎣⎡⎭⎫8，323. 题型3 分组转化求和例3 求下面数列的前n 项和： 112，314，518，7116， …解：S n ＝112＋314＋518＋7116＋…＋⎣⎡⎦⎤（2n －1）＋12n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n[1＋（2n －1）]2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n 2－12n ＋1.变式训练3 已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n ＋1，n 为奇数，2n 2，n 为偶数. (1) 求数列{a n }的前10项和S 10； (2) 求数列{a n }的前2k 项和S 2k .解：(1) S 10＝(6＋16＋26＋36＋46)＋(2＋22＋23＋24＋25) ＝5（6＋46）2＋2（1－25）1－2＝192.(2) 由题意知数列{a n }的前2k 项中，k 个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k 个偶数项组成首项为2，公比为2的等比数列．∴ S 2k ＝[6＋16＋…＋(10k －4)]＋(2＋22＋ (2))＝k[6＋（10k －4）]2＋2（1－2k ）1－2＝5k 2＋k＋2k ＋1－2.题型4 裂项相消求和例4 求下面各数列的前n 项和：(1) 11×5，13×7，15×9，17×11，… (2) 2222－1，4242－1，6262－1，8282－1，…解：(1) ∵ a n ＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14(12n －1－12n ＋3)，∴ S n ＝14(1－15＋13－17＋15－19＋…＋12n －3－12n ＋1＋12n －1－12n ＋3)＝14(1＋13－12n ＋1－12n ＋3)＝n （4n ＋5）3（2n ＋1）（2n ＋3）.(2) ∵ a n ＝（2n ）2（2n －1）（2n ＋1）＝1＋1（2n －1）（2n ＋1）＝1＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴ S n ＝n ＋12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝2n （n ＋1）2n ＋1. 变式训练4 求1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解：∵a k ＝2⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1，∴S n ＝2nn ＋1.题型5 倒序相加求和例5 设f(x)＝13x ＋3，求f(－12)＋f(－11)＋f(－10)＋…＋f(0)＋…＋f(11)＋f(12)＋f(13)的值．解：∵ f(x)＋f(1－x)＝33，∴ 原式＝1333. 变式训练5 一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为________．答案：11 解析：∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝26，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝110，∴a 1＋a n ＝26＋1104＝34.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝187，∴n ＝11.题型6 错位相减求和例6 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4，5a 3成等差数列． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n .解：(1) 设{a n }公比为q ，由题意得q>0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋3，3a 2＋5a 3＝2a 4，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（q －2）＝3，2q 2－5q －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝3或⎩⎨⎧a 1＝－65，q ＝－12(舍)，所以数列{a n}的通项公式为a n＝3·3n －1＝3n ，n ∈N．(2) 由(1)可得b n ＝log 3a n ＝n ，所以a n b n ＝n·3n . 所以S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n ，所以3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n ＋1，两式相减得，2S n ＝－3－(32＋33＋ (3))＋n·3n ＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n )＋n·3n ＋1＝－3（1－3n ）1－3＋n ·3n ＋1＝3＋（2n －1）·3n ＋12，所以数列{a n b n }的前n 项和S n ＝3＋（2n －1）·3n ＋14.变式训练6 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 若b n ＝log 13(S n ＋1)，求数列{b n a n }的前n 项和T n .解：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，综上所述，a n ＝2×3n －1. (2) b n ＝log 13(S n ＋1)＝log 133n ＝－n ，所以b n a n ＝－2n ×3n －1，T n ＝－2×1－4×31－6×32－…－2n ×3n －1， 3T n ＝－2×31－4×32－…－2(n －1)×3n －1－2n ×3n ，相减，得－2T n ＝－2×1－2×31－2×32－…－2×3n －1＋2n ×3n ＝－2×(1＋31＋32＋…＋3n －1)＋2n ×3n ，所以T n ＝(1＋31＋32＋…＋3n －1)－n ×3n＝1－3n 1－3－n ×3n＝－（2n －1）×3n ＋12，n ∈N *.1.已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和为________．答案：3(1－3－10) 解析：q ＝－13，a 1＝4，则S 10＝4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．2.若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________．答案：a n ＝(－2)n－1解析：S n ＝23a n ＋13，S n －1＝23a n －1＋13(n ≥2)，相减得a n ＝23a n －23a n －1，即a n ＝－2a n －1(n ≥2)．又S 1＝23a 1＋13，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.3.等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1) 求{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ）.解得a 1＝1，d ＝12. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2) b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫21－22＋⎝⎛⎭⎫22－23＋…＋⎝⎛⎭⎫2n －2n ＋1 ＝2n n ＋1. 4.设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0，2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N ．(1) 求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{na n }的前n 项和．解：(1) ∵ S 1＝a 1.∴ 当n ＝1时，2a 1－a 1＝S 1·S 1a 1≠0，a 1＝1. 当n>1时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －a 1S 1－2a n －1－a 1S 1＝2a n －2a n －1a n ＝2a n －1{a n }是首项为a 1＝1公比为q ＝2的等比数列，a n ＝2n －1，n ∈N *.(2) 设T n ＝1·a 1＋2·a 2＋3·a 3＋…＋n·a n qT n ＝1·qa 1＋2·qa 2＋3·qa 3＋…＋n·qa n qT n ＝1·a 2＋2·a 3＋3·a 4＋…＋n·a n ＋1，上式左右错位相减：(1－q)T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1＝a 11－q n 1－q－na n ＋1＝2n －1－n·2n T n ＝(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.1. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求n 和公比q 的值．解：解法1：在等比数列{a n }中，a 1a n ＝a 2a n －1＝128.又a 1＋a n ＝66，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a n ＝66，a 1a n ＝128，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2，∴q ≠1. 由a n ＝a 1q n －1和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝126，得⎩⎪⎨⎪⎧2q n －1＝64，2（1－q n ）1－q ＝126或⎩⎪⎨⎪⎧64q n －1＝2，64（1－q n ）1－q ＝126，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，q ＝12.综上所述，n 的值为6，q ＝2或12.2. 已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 4·a 7＝15，a 3＋a 8＝8.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 令b n ＝19a n －1a n(n ≥2)，b 1＝13，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1) 根据题意：a 3＋a 8＝8＝a 4＋a 7，a 4·a 7＝15，知：a 4，a 7是方程x 2－8x ＋15＝0的两根，且a 4<a 7，解得a 4＝3，a 7＝5，设数列{a n }的公差为d ，由a 7＝a 4＋(7－4)·d ，得d ＝23.故等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 4＋(n －4)·d＝3＋23(n －4)＝2n ＋13.(2) 当n ≥2时，b n ＝19a n －1a n＝19⎝⎛⎭⎫23n －13⎝⎛⎭⎫23n ＋13＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.又b 1＝13＝12⎝⎛⎭⎫1－13， ∴ S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.1. 重点是本着化多为少的原则，解题时，需抓住首项a 1和公比q.2. 运用等比数列求和公式时，要对q ＝1和q ≠1进行讨论．3. 解决等比数列有关问题的常见思想方法：①方程的思想：等比数列中有五个量a 1，q ，n ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程组求关键量a 1，q ；②分类的思想：当a 1>0，q>1或者a 1<0，0<q<1时，等比数列{a n }递增；当a 1>0，0<q<1或者a 1<0，q>1时，等比数列{a n }递减；当q<0时，等比数列为摆动数列；当q ＝1时，等比数列为常数列；③函数的思想：用函数的观点来理解和掌握等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．4. 巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．5. a n 的两种常见变形a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)(累加法)a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…a na n －1(累乘法)6. 数列求和的方法技能① 倒序相加 ② 错位相减 ③ 分组求和 ④ 拆项相消。

第2讲算式巧求和

算式巧求和【知识点睛】1. 裂项法（拆分法）：将分数写成两个或几个分数的和或差的形式，我们称之为裂项法（或拆分法）裂项公式：（1）an n a n n a +-=+⨯11)（（2）)2()1(1)11)2)12+⨯+-+⨯=+⨯+⨯n n n n n n n （（（ 2. 等差数列：像1,2,3,4 这样后一项与前一项的差都相等的数列称为等差数列。

求和公式为：（首项+末项）×项数÷23. 错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大到原来的整数（0除外）倍，用扩大后的算式同原来的算式相减，再除以扩大的倍数与1的差，可以使复杂的计算变得简便。

例1：5049149481431321211⨯+⨯++⨯+⨯+⨯练习：1.2019119181431321211⨯+⨯++⨯+⨯+⨯2.10099199981431321211⨯+⨯++⨯+⨯+⨯3.200820071200720061200320021200220011200120001⨯+⨯++⨯+⨯+⨯例2：102975171251275725⨯++⨯+⨯+⨯练习：1.35323322931183853523⨯+⨯++⨯+⨯+⨯2.454014035120151151011051⨯+⨯++⨯+⨯+⨯3.199019891990198919881990431990321990211990⨯+⨯++⨯+⨯+⨯例3：）（）（）（）（200520051-1200420051-1320051-1220051-120051-1⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯+练习:1.）（）（）（）（200220021-1200120021-1320021-1220021-120021-1⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯+2. ）（）（）（）（200220021-2002200120021-0012320021-3220021-220021-1⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯+3. ）（）（）（）（2003200311200220031132003112200311200311⨯++⨯+++⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+++例4：503211432113211211++++++++++++++练习：1.203211432113211211++++++++++++++2.1003211432113211211++++++++++++++3. 20113211432113211211++++++++++++++例5：641321161814121+++++练习： 1. 160180140120110151+++++2. 9614812411216131+++++3. 2561-1281-641-321-161-81-41-21-1例6：（1）54322121212121++++（2）54325151515151++++练习：1.65432212121212121+++++2.43251515151+++3.654323131********+++++【课后练习】1.5049149481232212221121201⨯+⨯++⨯+⨯+⨯2.50505049503502501+++++3. 641-321-161-81-41-21-14.1043211432113211211+++++++++++++++5.3029282543243223212⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯6. ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+200820081-2008200720081-2007320081-3220081-220081-1 ）（）（7. 10110210210143424131323332312122211+++++++++++++++++挑战自我：200220012002200143433232212122222222⨯+++⨯++⨯++⨯+。

六年级上奥数第二讲等差和裂项求和

第二讲等差和裂项求和【知识概述】一、等差数列求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：二、列项求和实质：将一个分数裂项，分成几个分数的和与差的形式。

例 3121232361-=⨯-= 41314343127+=⨯+= 目的：将一串分数中的每一个分数适当地裂项，出现一对一对可以抵消的数，从而简化计算。

减法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之差。

直接裂项加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和。

变形裂项：先变形再直接裂项。

【典型例题】例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？例2 3＋7＋11＋…＋99＝？项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。

例3 计算：3012011216121++++例4 计算：7217561542133011209127651-+-+-+-例5.+⨯+⨯+⨯752532312……+1192⨯例6 1111111248163264128++++++例7 110118116114112122222-+-+-+-+-【我能行】1、17＋19＋21＋ (39)2、5＋8＋11＋14＋ (50)3、+⨯+⨯+⨯199919981199819971199719961……+200220011⨯+200214．521⨯+851⨯+1181⨯+……+29261⨯5．7217561542133011209127311+-+-+-+6． 34313312831073743413⨯+⨯+⨯+⨯+⨯7、3512214152127653221---+-+8、 256112816413211618141211--------【我试试】1、2＋4＋6＋ (200)2、3＋10＋17＋24＋ (101)3．1431119919631735151513311+++++4． 152403187632145245---++5． 6432168421214181161321641++++++++++++6．11231631431232222-+⋅⋅⋅+-+-+-。

小学三年级奥数试题集锦六(含答案)

小学三年级奥数试题集锦六（含答案）第一讲速算与巧算1.用简便方法求和：①536+(541+464)+459 ②588+264+148③ 8996+3458+7546 ④567+558+562+555+563解答：① 536+(541+464)+459=(536+464)+(541+459)=2000② 588+264+148=588+(12+252)+148=(588+12)+(252+148)=600+400=1000③ 8996+3458+7546=(8996+4 +(3454+7546=9000+11000(把3458分成4和=9000+110003454)=20000④ 567+558+562+555+563=560×5+(7-2+2-5+3)(以560为基准数)=2800+5=28052.用简便方法求差：① 1870-280-520 ② 4995-(995-480)③ 4250-294+94 ④ 1272-995解答：① 1870-280-520=1870-(280+520)=1870-800=1070②4995-(995-480)=4995-995+480=4000+480=4480③4250-294+94=4250-(294-94)=4250-200=4050④ 1272-995=1272-1000+5=2773.用简便方法计算下列各题：① 478-128+122-72 ② 464-545+99+345③ 537-(543-163)-57 ④ 947+(372-447)-572解答：① 478-128+122-72=(478+122)-(128+72)=600-200=400② 464-545+99+345=464-(545-345)+100-1=464-200+100-1=363③ 537-(543-163)-57=537-543+163-57=(537+163)-(543+57)=100④ 947+(372-447)-572=947+372-447-572=(947-447)-(572-372)=3004.计算下面各题：①23×1010101 ②4568×100010001③72×125 ④45×99 ⑤75×36解答：①23232323 ②456845684568 ③9000 ④4455 ⑤27005.计算下面各题：①77×83 ②56×64③134×73 ④9×11×101解答：①6391 ②3584 ③9782 ④99996.计算：9×17+91÷17-5×17+45÷17.解答：9×17+91÷17-5×17+45÷17=9×17-5×17+91÷17+45÷17=(9-5)×17+(91+45)÷17=4×17+136÷17=68+8=76第二讲数列求和1.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

四年级思维第2讲简单数列求和一

第3讲：简单数列求和（一）知识要点:许多同学都知道这样一个故事:大数学家高斯在很小的时候,就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。

那高斯是用什么方法来巧妙进行计算的呢?因为1到100这100个自然数有这样的关系:1+100=101,2+99=101,3+98=101…一共有多少个101呢?因为一共有100个数,每两个数一组,一共有100÷2=50(组),也就是说有50个101。

所以1+2+3+……+100=101×50=5050。

若干个数按一定的规律排成一列,称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。

从第一项开始,后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为该数列的公差。

这种数列有极简便的求和方法:等差数列的和=(首项十末项)×项数÷2。

通过这一讲的学习,我们不仅掌握有关这种数列求和的方法,而且还能学会利用这种数列来解决许多有趣的问题。

例1、1+2+3+4+5+6+………+99+100练习1、89+90+91+92+93+94+95+96+97+98例2、求下列各式的和。

(1)1+3+5+7+9+……+97+99(2)2+4+6+8+10+……+98+100练习2(1)1+3+5+7+9+……+47+49(2) 2+4+6+8+10+……+48+50例3、把一堆苹果分给8个小朋友,如果要使每个小朋友都能拿到苹果,而且每人拿到的苹果个数都不同这堆苹果至少要有多少个?练习3、某市举行数学竞赛,比赛前规定,前12名可以获奖,比赛结果第一名1人,第二名并列2人,第三名并列3人……第十二名并列12人,得奖的一共有多少人?例4、把27枚棋子放到7个不同的空盒子中,如果要求每个盒子都不能空,且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多,问能否办到?说明理由。

练习4、有10个盒子,56只乒乓球,能不能把56只乒乓球放进盒中,并且各个盒子里的乒乓球只数不相等?(每个盒子至少放一只球)例5、小明家的一个时钟,在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟的点数,每半点也敲一下。

小学奥数巧妙求和知识点+例题+练习 (分类全面)

例2、312+315+318+321+324
巩固(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 108+128+148+168+188
例3、有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一两点钟敲2下，……二十四点钟敲24下，这个钟一昼夜敲多少下？
教学内容
巧妙求和、图形计数、容斥原理
教学目标
掌握巧妙求和、图形计数、容斥原理
重点
巧妙求和、图形计数、容斥原理
难点
巧妙求和、图形计数、容斥原理
教
学
过
程
课堂精讲
1、巧妙求和
例1、高斯求和
1+2+3+4+……+9+10=
巩固（1) 1+2+3+4+……+99+100 (2) 21+22+23+24+……+100
例4、计算991+992+993+994+995+996+997+998+999。
巩固：(1) 9997+9998+9999 (2) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19
课后作业
1、 1+2+3+4+5+……+20
2、48+50+52+54+56+58+60+62
3、体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？

小学三年级奥数精品讲义(1-34讲全集)

小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。

于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。

你可以试一试。

”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。

二年级数学《巧妙求和》

1+19=20
3+17=20 5+15=20 7+13=20
原来的式子相当于5个20的和： 20+20+20+20+20=100
9+11=20
拓展训练2
1+2+3+4+5+6+7+8+9+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 90
解题思路：通过观察题中有两组一样的数列，聪明的你想到了哪些方法呢？
小学数学二年级上册——冬之韵
巧妙求和
巧妙求和的常用方法：
1、凑整先算 2、改变运算顺序 3、基数法 4、拆数法
冬之韵 P20
在动物学院里，马老师出了一道数学题：2+4+6+…+18=？大家看了都目瞪口呆，小兔子算着 :”2+4=6 ，6+6=12，…” 1 分钟后，小猪说：“这道题的答案是 90。” 可是大家都疑惑不解，马老师给大家讲解到：“孩子们，做什么事都要找窍门。我们可以用：2+18=20，4+16=20， 6+14=20，…，一直到 8+12=20，那么中间就还剩一个 10，把这几个20 加上，再加一个我们先前没有算的 10，答案是不是出来了呢？” 大家恍然大悟。同学们，你会算吗？试着算一算。
2+4+6+8+10+12+14+16+18= 90
解析：利用巧算中的常用方法——凑整，我们可以用2+18=20，4+16=20，6+14=20，8+12=20，那么原来这个式子的和为：20+20+20+20+10=90

小学数学难题讲解及答案

第一讲速算与巧算例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3 计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算 9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9第二讲速算与巧算例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1，x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 × 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？① 1992×1999＋1999② 1993×1998＋1998③ 1994×1997＋1997④ 1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.第三讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③ 2，4，6，8，10，12，14…④ 3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。

四年级奥数讲义之精讲精练第8讲巧妙求和一

第2讲巧妙求和〔一〕一、知要点假设干个数排成一列称数列。

数列中的每一个数称一。

其中第一称首，最后一称末，数列中的个数称数。

从第二开始，后与其相的前之差都相等的数列称等差数列，后与前的差称公差。

在一章要用到两个非常重要的公式：“通公式〞和“数公式〞。

通公式：第n=首+〔数－1〕×公差数公式：数=〔末－首〕÷公差＋1等差数列和=〔首+末〕×数÷2个公式也叫做等差数列求和公式。

二、精精【例1】有一个数列：4，10，16，22.⋯，52.个数列共有多少？1：1、等差数列中，首=1，末=39，公差=2.个等差数列共有多少？2、有一个等差数列：，8，11.⋯，101.个等差数列共有多少？【例2】有一等差数列：，，⋯⋯，个等差数列的第100是多少？2：1、一等差数列，首=3.公差=2.数=10，它的末是多少？2、求1，4，7，10⋯⋯个等差数列的第30。

【例3】有一个数列：，⋯，99，100。

求出个数列所有的和。

3：1/6算下面各。

1〕1+2+3+⋯+49+502〕6+7+8+⋯+74+75【例4】求等差数列2，4，6，⋯，48，50的和。

4：算下面各。

1〕2+6+10+14+18+222〕5+10+15+20+⋯+195+200【例5】算〔2+4+6+⋯+100〕－〔1+3+5+⋯+99〕5：用便方法算下面各。

1〕〔2001+1999+1997+1995〕－〔2000+1998+1996+1994〕2〕〔2+4+6+⋯+2000〕－〔1+3+5+⋯+1999〕三、后作1、等差数列11，16，21，26，⋯，1001.个等差数列共有多少？2、求等差数列2，6，10，14⋯⋯的第100。

3、100+99+98+⋯+61+604、〔1+3+5+⋯+1999〕－〔2+4+6+⋯+1998〕5、100+95+90+⋯+15+10+56、4+7+10+13+⋯+298+301+298+⋯+10+7+4+137、2021-2021+2021-2021+⋯+3-2+12/68、影院有座位假设干排，第一排有25个座位，以后每一排比前一排多3个座位，最后一排有94个座位。

四年级下册数学教案-6.2 巧妙求和丨苏教版

四年级下册数学教案-6.2 巧妙求和一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握巧妙的求和方法，能够运用所学的求和技巧解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论等活动，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和解决问题的能力。

二、教学重点、难点1. 教学重点：掌握巧妙的求和方法，能够运用求和技巧解决实际问题。

2. 教学难点：灵活运用求和技巧，解决实际问题。

三、教学过程1. 导入通过提问方式引导学生回顾已学的求和方法，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课讲解（1）出示例题，引导学生观察、分析、讨论，发现求和的规律。

例题：计算1 2 3 ... 100的和。

（2）引导学生总结求和的方法，并加以验证。

方法一：高斯求和法1 2 3 ... 100 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050方法二：等差数列求和公式1 2 3 ... 100 = (首项末项) × 项数÷ 2 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050（3）出示练习题，巩固所学方法。

练习题1：计算1 3 5 ... 99的和。

练习题2：计算2 4 6 ... 100的和。

3. 小组合作探究（1）出示探究题，引导学生小组合作，共同解决问题。

探究题：计算1×1 2×2 3×3 ... 10×10的和。

（2）小组展示探究成果，师生共同总结求和方法。

方法：平方求和公式1×1 2×2 3×3 ... 10×10 = n(n 1)(2n 1) ÷ 6 = 3854. 课堂小结通过本节课的学习，学生能够掌握巧妙的求和方法，并能够运用求和技巧解决实际问题。

同时，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。

5. 课后作业（布置必做题和选做题）必做题：完成练习册相关题目。

第二讲：简单的等差数列求和【三年级秋季解答】

第二讲：简单的等差数列求和【三年级秋季解答】知识导航被人们誉为“数学王子”的高斯在年幼的时候，就用一种非常简便、快速的方法算出了1＋2＋3＋4＋…＋49＋50的结果。

高斯，真是一个神童！现在我们就来揭秘这其中的奥秘吧！数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2，=（大+小）×个数÷2，但是往往在求和时，项数或者末项还不清楚，所以还需记住以下两个公式：最大数=小数＋公差×（个数－1）；或最小数=大数-公差×（个数－1）个数比公差数多1，所以个数=（大－小）÷公差＋1精典例题例1：下面算式求和，你有妙招吗？1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20思路点拨：方法一：凑整法。

从1到20总共有20个数，我们发现1+19=20，2+18=20，3+17=20，……，9+11=20，每两个数为一组，每组和为20，最后不要忘记加上10和20哦！方法二：配对求和：可用最大加最小，次大加次小等培对的办法，每两个数为一对，每对和都是21，共10对。

方法一：凑整法。

1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20=（1+19）+（2+18）+（3+17）+……+（9+11）+10+20=20+20+20+……+20+10=20×10+10=210方法二：配对求和。

1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20=（1+20）+（2+19）+（3+18）+……+（9+12）+（10+11）=21+21+21+……+21+11=21×10=210模仿练习计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19=（1+19）×10÷2=20×5=100例2：你能迅速算出下列算式的结果吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（）思路点拨如果我们还是按照配对求和的方法，1+9，2+8，3+7，4+6，那么还剩下5就不能配对了，为了解决这样的问题，高斯又发现了有新的绝招：现在你该知道怎么写算式了吧！快快行动吧！方法一：等差数列求和法。

小学数学能力展示-利用加法算式巧妙求和

小学数学能力展示:利用加法算式巧妙求和教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.以下是小编为大家整理的关于小学数学能力展示:利用加法算式巧妙求和的文章，希望大家能够喜欢！计算：1+2+3+4+5+6+7这样想：首先，我们把加法算式抄下来，然后再把这个算式倒着抄一遍，如下：1+2+3+4+5+6+77+6+5+4+3+2+1容易发现，两个加式上下相对的两个数相加的和都是8，共有7个8，但是，7个8的和是两个1+2+3+4+5+6+7的和，所以原加式的和等于7个8的和的一半。

1+2+3+4+5+6+7=（1+7）_7÷2=8_7÷2=56÷2=28还可以这样想：上面的算式有7个加数，其中4是中间的一个，我们可以把4当作基准数，每个小于基准数4的用基准数4减去某数的差的形式表示，每个大于基准数的用基准数与某数的和的形式表示。

1+2+3+4+5+6+7=（4-3）+（4-2）+（4-3）+4+（4+1）+（4+2）+（4+3）=4_7-3-2-1+1+2+3=4_7+0=28其实，单数个连续的数相加，我们只要用正中间的那个数（当作基准数）乘以加数的个数，乘积就是这些加数的和。

以例4为例，题中加数共有7个，4是中间的一个，所以这些加数的和就等于4_7=28。

小学数学能力展示:利用加法算式巧妙求和.到电脑，方便收藏和打印：。

8巧妙求和(二)

思远教育四年级拓展测试卷第8次课姓名：分数（60）：【教学目标】主讲内容：巧妙求和（二）例4、例51.解决自然数各个数位数字之和的问题。

2.已知首项、末项、总和，求项数及公差的问题。

3.涉及公式：项数 = 总和×2÷（首项+末项）公差 =（末项-首项）÷（项数-1）在解自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数字适当分组，并将每组中的数字合理配对，使问题得以顺利解决。

【测试】1、求1-699的699个连续自然数的所有数字之和。

2、李师傅做零件，他第一天做了8个，以后每一天比前一天多做的数量相同，最后一天做了36个，共做了330个。

李师傅每天比前一天多做了多少个？3、求1-499的499个连续自然数的所有数字之和。

4、星华剧院共有座位598个。

已知第一排有座位22个，最后一排有座位70个，而且每相邻的两排相差的座位相等，那么相邻的两排相差多少个座位？5、求1-4000的4000个连续自然数的所有数字之和。

【能力冲浪】1、求1-709这1001个连续自然数的全部数字之和。

微信作业周一：1、求1-599的599个连续自然数的全部数字之和。

2、求1-399的399个连续自然数的全部数字之和。

周二：1、求1-5000的5000个连续自然数的全部数字之和。

2、求2000-3000的1001个连续自然数的全部数字之和。

周三：刘阿姨做一批帽子，她第一天做了3顶，以后每天比前一天多做的数量相同，最后一天做了25顶，共做了168顶，刘阿姨每天比前一天多做几顶帽子？。

第二讲加减法巧算

第二讲加减法巧算一、加减法巧算的含义加减法巧算是第一讲“数字规律”在计算问题中的应用，也是数学思想性和方法性统一的最好素材。

计算要求的是迅速和准确，巧算方法这一章，课标的目的是评价算法，算法不好可能导致繁中出错，而“巧算”步步体现运算过程的优选法。

因此，巧算是算法上的洗心。

学完这一章，我们都会得出一个相近的结论：计算不好，实际是计算的水平不高，绝不是通常所说的粗心大意。

巧算的目标是“高、专、准”。

“高”意味着计算的境界高，计算学得好，都要经历由方法到实践，由实践到方法的反复和总结。

也就是说应当熟悉题型和方法的统一。

“专”即选用的计算方法是最优化，最专业的。

“准”则是指计算的速度快、做得对。

加减法巧算的解题思想是：①合并、②抵消、③拆数（以合并、抵消为最终目的的）。

二、常用的巧算方法①凑整方法；②基准数方法；③分组求和方法；④去（加）括号方法；⑤位序求和方法；⑥平均数方法；⑦高斯求和方法；⑧等比数列求和；⑨数列公式求和。

(高年级介绍)三、教会方法：①看符号；②看数字关系；③想方法。

在进行加减运算时，为了又快又准确地算出结果，除了要熟练地掌握运算法则外，还需要掌握一些常用运算方法和技巧在速算与巧算中常用的三大基本思想：1.凑整（目标：整十整百整千...）2.分拆（分拆后能够凑成整十整百整千...）3.组合(合理分组再组合)常见运算定律及其方法加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。

即a+b=b+a一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。

a+b+c+d=d+b+a+c加法结合律：几个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。

即a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)，常见方法：1.补数法：什么叫“补数”2.去括号添括号法则3.带符号搬家“+” ,“-”4.合理分组5.基准数法（标准数）6.公式法（等差数列...）7.靠经验来做题（多种方法的综合应用）接下来我们进行演练1.凑整法（补数法）两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

人教版四年级下册奥数专讲：巧妙求和(教案)

1. 数列求和：学生已掌握简单的整数加减法，能运用此知识解决等差数列的求和问题。
2. 连续整数求和：学生掌握了乘法口诀，能运用口诀快速计算连续整数的求和。
3. 对称数求和：学生在学习多位数加减法时，已接触过对称数的概念，本节课将引导学生运用对称性简化求和过程。
核心素养目标
本节课旨在培养学生以下学科核心素养：
针对这些反思，我计划采取以下改进措施：
1. 在小组讨论环节，我会更加关注那些不太发言的学生，鼓励他们勇敢地表达自己的观点，并适时给予肯定和表扬。
2. 尝试引入更多样的教学方法，如角色扮演、数学建模等，让学生在丰富的教学活动中提高学习兴趣和参与度。
3. 加强学生的预习指导，通过设计具有思考性的预习问题，激发学生的求知欲，为课堂学习打下坚实基础。
2. 建议学生利用课余时间玩一些数学游戏，锻炼逻辑思维和计算能力，同时培养良好的学习习惯。
3. 鼓励学生阅读数学家传记，了解数学家的奋斗历程和成就，激发学生树立远大理想，为数学学习树立榜样。
4. 定期组织学生参加数学实践活动，如数学竞赛、讲座等，提高学生的数学素养，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
b. 讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中互相启发，共同探讨解决问题的方法。
c. 案例研究：通过具体的求和案例，让学生分析问题、总结规律，培养学生解决问题的能力。
d. 项目导向学习：将学生分成小组，每组负责研究一种求和方法，最后进行汇报和分享，以提高学生的团队协作和自主学习能力。
2. 教学活动：
人教版四年级下册奥数专讲：巧妙求和（教案）
主备人
备课成员
教学内容分析
本节课的主要教学内容为人教版四年级下册奥数专讲中的“巧妙求和”。教学内容主要包括：数列的求和、连续整数的求和以及对称数的求和。这些内容与学生在三年级学过的整数加减法、乘法口诀以及本学期学习的多位数加减法有密切联系。