2014-2015学年高中数学(人教版必修四)课时训练第二章 2.2 2.2.2 向量数乘运算及其几何意义
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跟 踪 训 练
1．已知 a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，求 a＋b，a－b 与 3a－2b.
解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2， ∴a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1， a－b＝(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝－2e1＋4e2， 3a－2b＝3(e1＋2e2)－2(3e1－2e2)＝－3e1＋10e2.
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基 础 梳 理
2．运算定律．
(λμ)a ， 结合律：λ(μa)＝________
第一分配律：(λ＋μ)a＝ ________ λa ＋μa ， 第二分配律：λ(a＋b)＝ λ________. a＋λb 练习 1： a 为单位向量， 则|3a|＝ ＝ . ， |2a|＝ ， |23a|
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答案：3 2
6
.
练习 2：－3×4a＝
答案：－12a
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思 考 应 用
1．实数与向量可以求积，那么实数与向量能不能进行 加法、减法运算呢？
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解析：不能．向量是既有大小又有方向的量，而数 量只有大小，两者是不相同的量，不能进行加减．
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一、向量的数乘运算
1 ． 实数与向量的积：实数 λ 与向量 a 的积是一个
______ 向量 ，记作：______. λa |λ||a| (1)|λa|＝______. (2)λ>0 时 λa 与 a 方 向 ________ 相同 ； λ<0 时 λa 与 a 方 向 相反 ；λ＝0时λa＝________. ________ 0
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5 答案： 7
2 － 7
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自 测 自 评
3．已知|a|＝3，|b|＝5，b 与 a 的方向相反，若 a＝λb，则 λ＝________.
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3 3 解析： |a|＝ |b|， b 与 a 的方向相反， ∴a＝－ b， 5 5 3 ∴λ＝－ . 5 3 答案：－ 5
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1 → → → 答案：OM＝ (OA＋OB) 2
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思 考 应 用
2．在向量共线定理中，为什么附加上条件 a≠0?
解析：当 a＝0 时，不论实数 λ 为何值，都有 b＝0，而当 b≠0，a＝0 时，向量 a 与 b 共线，此 时 λ 不存在，共线定理不成立．也就是说当 a＝0 时，不能表示任意的向量 b.
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分析：用向量数乘运算律． 解析：(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝15a－10b＋8b－12a＝ 3a－2b.
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(2)6(a－3b＋c)－4(－a＋b－c) ＝6a－18b＋6c＋4a－4b＋4c＝10a－22b＋10c. (3)(x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b) ＝(x－y)(a＋b－a＋b)＝2(x－y)b. 点评：关于向量的运算要遵循向量数乘运算律进行 化简．
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→ ＝e ＋3e ，CD → ＝2e －e ， 解析：∵CB 1 2 1 2 → ＝CD → －CB → ＝(2e －e )－(e ＋3e )＝e －4e . ∴BD 1 2 1 2 1 2 因为 A、B、D 三点共线． → ＝λBD →， ∴存在实数 λ，使得AB 即 2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，解得 k＝－8. 点评：待定系数法是解决两向量平行的重要工具， 适用于两个向量平行的判定中实数的确定．
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自 测 自 评
1．若 a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2，则 a＝____b，b＝____a.
1 解析：根据向量共线条件得 a＝－ b，b＝－2a. 2 1 答案：－ －2 2
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自 测 自 评
AC 5 → ＝________AB →， 2．点 C 在线段 AB 上，且CB＝ ，则AC 2 → ＝________AB →. BC
第二章
平面向量
2.2 平面向量的线性运算 2．2.2 向量数乘运算及其几何意义
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1．理解向量数乘运算的几何意义． 2．掌握向量数乘运算的运算律． 3．掌握向量共线的条件．
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基 础 梳 理
基 础 梳 理
二、向量共线
1．向量共线的条件． (1)对于向量 a(a≠0)、b，Baidu Nhomakorabea有实数 λ，使________ b＝λa ，则 a 与 b 为共线向量． (2)若 a 与 b 共线(a≠0)，则有实数 λ，使__________ b＝λa ． 2．向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线的条件是 ___________________________________________________. 当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa 练 习 3 ： M 是 线 段 AB 的 中 点 ， 对 于 任 意 一 点 O ， 都 有 .
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自 测 自 评
4．已知向量 e，分别求作向量 a＝3e，b＝－3e. e ――→
解析：如下图所示：
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题型1 例1
有关向量的运算
化简： (1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)； (2)6(a－3b＋c)－4(－a＋b－c)； (3)(x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b)．
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题型2
向量的共线问题
→ ＝2e ＋ke ，CB →＝ 例2 设 e1，e2 是两个不共线向量，已知AB 1 2 → ＝2e －e ，若三点 A，B，D 共线，求 k. e1＋3e2，CD 1 2
→ ＝e ＋3e ，CD → ＝2e －e ，求得BD → ＝CD → 分析：由CB 1 2 1 2 → ＝e －4e .因为 A、B、D 三点共线．所以AB → 与BD →存 －CB 1 2 在数量关系．
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1．已知 a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，求 a＋b，a－b 与 3a－2b.
解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2， ∴a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1， a－b＝(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝－2e1＋4e2， 3a－2b＝3(e1＋2e2)－2(3e1－2e2)＝－3e1＋10e2.
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2．运算定律．
(λμ)a ， 结合律：λ(μa)＝________
第一分配律：(λ＋μ)a＝ ________ λa ＋μa ， 第二分配律：λ(a＋b)＝ λ________. a＋λb 练习 1： a 为单位向量， 则|3a|＝ ＝ . ， |2a|＝ ， |23a|
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6
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练习 2：－3×4a＝
答案：－12a
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1．实数与向量可以求积，那么实数与向量能不能进行 加法、减法运算呢？
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解析：不能．向量是既有大小又有方向的量，而数 量只有大小，两者是不相同的量，不能进行加减．
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一、向量的数乘运算
1 ． 实数与向量的积：实数 λ 与向量 a 的积是一个
______ 向量 ，记作：______. λa |λ||a| (1)|λa|＝______. (2)λ>0 时 λa 与 a 方 向 ________ 相同 ； λ<0 时 λa 与 a 方 向 相反 ；λ＝0时λa＝________. ________ 0
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2 － 7
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3．已知|a|＝3，|b|＝5，b 与 a 的方向相反，若 a＝λb，则 λ＝________.
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3 3 解析： |a|＝ |b|， b 与 a 的方向相反， ∴a＝－ b， 5 5 3 ∴λ＝－ . 5 3 答案：－ 5
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1 → → → 答案：OM＝ (OA＋OB) 2
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2．在向量共线定理中，为什么附加上条件 a≠0?
解析：当 a＝0 时，不论实数 λ 为何值，都有 b＝0，而当 b≠0，a＝0 时，向量 a 与 b 共线，此 时 λ 不存在，共线定理不成立．也就是说当 a＝0 时，不能表示任意的向量 b.
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分析：用向量数乘运算律． 解析：(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝15a－10b＋8b－12a＝ 3a－2b.
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(2)6(a－3b＋c)－4(－a＋b－c) ＝6a－18b＋6c＋4a－4b＋4c＝10a－22b＋10c. (3)(x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b) ＝(x－y)(a＋b－a＋b)＝2(x－y)b. 点评：关于向量的运算要遵循向量数乘运算律进行 化简．
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→ ＝e ＋3e ，CD → ＝2e －e ， 解析：∵CB 1 2 1 2 → ＝CD → －CB → ＝(2e －e )－(e ＋3e )＝e －4e . ∴BD 1 2 1 2 1 2 因为 A、B、D 三点共线． → ＝λBD →， ∴存在实数 λ，使得AB 即 2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，解得 k＝－8. 点评：待定系数法是解决两向量平行的重要工具， 适用于两个向量平行的判定中实数的确定．
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1．若 a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2，则 a＝____b，b＝____a.
1 解析：根据向量共线条件得 a＝－ b，b＝－2a. 2 1 答案：－ －2 2
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AC 5 → ＝________AB →， 2．点 C 在线段 AB 上，且CB＝ ，则AC 2 → ＝________AB →. BC
第二章
平面向量
2.2 平面向量的线性运算 2．2.2 向量数乘运算及其几何意义
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二、向量共线
1．向量共线的条件． (1)对于向量 a(a≠0)、b，Baidu Nhomakorabea有实数 λ，使________ b＝λa ，则 a 与 b 为共线向量． (2)若 a 与 b 共线(a≠0)，则有实数 λ，使__________ b＝λa ． 2．向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线的条件是 ___________________________________________________. 当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa 练 习 3 ： M 是 线 段 AB 的 中 点 ， 对 于 任 意 一 点 O ， 都 有 .
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4．已知向量 e，分别求作向量 a＝3e，b＝－3e. e ――→
解析：如下图所示：
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题型1 例1
有关向量的运算
化简： (1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)； (2)6(a－3b＋c)－4(－a＋b－c)； (3)(x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b)．
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题型2
向量的共线问题
→ ＝2e ＋ke ，CB →＝ 例2 设 e1，e2 是两个不共线向量，已知AB 1 2 → ＝2e －e ，若三点 A，B，D 共线，求 k. e1＋3e2，CD 1 2
→ ＝e ＋3e ，CD → ＝2e －e ，求得BD → ＝CD → 分析：由CB 1 2 1 2 → ＝e －4e .因为 A、B、D 三点共线．所以AB → 与BD →存 －CB 1 2 在数量关系．