最新《线性代数》讲稿(1)

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第一章 行列式

本章说明与要求:

行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：

(1) 行列式的定义；

(2) 行列式的基本性质及计算方法；

(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．

本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式．

计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．

行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。

。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

1.1 二阶与三阶行列式

行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．

设有二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221

211

112111b x a x a b x a x a

(1)

用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22 – a 12a 21≠0 时，有

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

--=--=2112221121

1211221

1222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)

这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号

2112221122

211211a a a a a a a a -=

为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．

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根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成

22

2

121212221a b a b b a a b =

-，2

21

111211211b a b a a b b a =

-，

如果记 22

21

1211a a a a D =

，22

2

1211a b a b D =

，2

21

1112b a b a D =

则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成

2221121122212111a a a a a b a b D D x ==， 22

21121122111122a a a a b a b a D D x ==， (3) 象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．

首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．

例1 用二阶行列式解线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+231

4221

21x x x x

解：这时 0214323

142≠=⨯-⨯==

D ，

524313

2

411-=⨯-⨯==

D ，311222

1

122=⨯-⨯==

D ，

因此，方程组的解是 2511-==D D x ，2322==D D x ，

对于三元一次线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++33332321

3123232221211

313212111b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (4)

作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号

31

22133321123223113221133123123322113332

31

23222113

1211

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (5)

为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．

例2 5

3

2

1

34

2

12

-1062012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==

⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=

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3

32

31

22221

1

1211

3b a a b a a b a a D =． 当 D ≠0时，(4)的解可简单地表示成

D D x 11=

，D D

x 22=，D

D x 33= (6)

它的结构与前面二元一次方程组的解类似．

例3 解线性方程组 ⎪⎩⎪

⎨⎧=-+=-+=+-4

2315230

2321321321x x x x x x x x x

解：282315231

12=---=D ， 1323

4

521

1101=---=D ，472

415131022=--=D ，

214

3

11230

123=-=D ．

所以，28

13

11=

=

D D x ，284722==D D x ，43282133===D D x ． 例4 已知01

01

00

=-a b

b a

，问a ，b 应满足什么条件？(其中a ，b 均为实数)．

解：221

0100

b a a b b a +=-，若要a 2+b 2=0，则a 与b 须同时等于零．因此，当a =0且b =0时给定行列式等

于零．

为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．

1.2 排列

在n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识． 定义1由数码1，2，…，n 组成一个有序数组称为一个n 级排列．

例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．

数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列．

定义2在一个n 级排列i 1i 2…i n 中，如果有较大的数 i t 排在较小的数 i s 的前面(i s