高中数学必修二——两条平行直线间的距离

.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的 |C1－C2| d＝ 2 A ＋B2 距离为 .
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
本 课 时 栏 目 开 关
[问题情境] 构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有两点 之间的距离，点到直线的距离及两条直线之间的距离．上 节课我们已经学习了两点之间的距离，本节我们来研究点 到直线的距离及两条直线之间的距离．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
例1
1 解 如图，设AB边上的高为h，则S△ABC＝2|AB|· h. |AB|＝ 3－12＋1－32＝2 2，
已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求三角形ABC的面积．
本 课 时 栏 目 开 关
AB边上的高h就是点C到AB的距离． y－3 x－1 AB边所在直线的方程为 ＝ ， 1－3 3－1
y 轴都相交，过点 P0 作 x 轴的平行线，交 l 于点 R(x1，y0)，作 y 轴的平行线，交 l 于点 S(x0，y2)，将 R 点坐标代入 l 的方程，得 By0＋C Ax0＋C x1＝－ ，将 S 点坐标代入 l 的方程，得 y2＝－ .于是 A B Ax0＋By0＋C Ax0＋By0＋C 有|P0R|＝|x0－x1|＝| |，|P0S|＝|y0－y2|＝| | A B 2 2 A ＋ B .|RS|＝ |P0R|2＋|P0S|2＝ |AB| ×|Ax0＋By0＋C|.
即x＋y－4＝0. |－1＋0－4| 5 点C(－1,0)到x＋y－4＝0的距离为h＝ ， 2 2 ＝ 2 1 ＋1 1 5 因此，S△ABC＝2×2 2× ＝5. 2
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
小结
本 课 时 栏 目 开 关
(1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般
不相等．
所以可设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0. |－k－2＋2k＋1| |3k＋2k＋1| 1 由 ＝ ，解得k＝0或k＝－ .因此，所求直 2 k2＋1 k2＋1 线方程为y＝1，或x＋2y＝0.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 导引
答
3.3.3-3.3.4
两条平行直线间的距离
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
问题3 你能说出求点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0距 离的一个解题思路吗？
本 课 时 栏 目 开 关
A 答 由P0Q⊥l，以及直线l的斜率为－ ，可得l的垂线P0Q的 B B 斜率为 ，因此，垂线P0Q的方程可求出．解垂线P0Q与直线l A 的方程组成的方程组，得点Q的坐标，用两点间距离公式求 出|P0Q|，即为点P0到直线l的距离．
设直线l1∥l2，如何求l1与l2间的距离？
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线
问题1 两条平行直线间的距离是指什么线段的长？
本 课 时 栏 目 开 关
段的长． 问题2 能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何
转化？ 答 能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条
平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求 这点到另一条直线的距离即可．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
问题3 已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，如何推导 出l1与l2的距离公式呢？
答
本 课 时 栏 目 开 关
由l1与l2的方程可知直线l1∥l2，设P0(x0，y0)是直线Ax＋By＋
C2＝0上任一点，则点P0到直线Ax＋By＋C1＝0的距离为d＝ |Ax0＋By0＋C1| .又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝ 2 2 A ＋B |C1－C2| 2 2. A ＋B
填一填·知识要点、记下疑难点
3.3.3-3.3.4
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ． 本
课 时 栏 目 开 关
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0
|Ax0＋By0＋C| d＝ 2 2 A ＋ B 的距离为
式，再利用公式求距离．(2)若点P在直线上，点P到直线的距离 为零，距离公式仍然适用．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
跟踪训练1
求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的
直线的方程．
解
本 课 时 栏 目 开 关
当直线斜率不存在时，直线为x＝－2，它到A、B两点距离
研一研·问题探究、课堂更高效
问题4 用代数的方法求点P0到直线l距离的思路 十分自然，但不易得出点到直线的距离公式， 如下图，如何利用三角形面积公式求出点到直 线的距离d呢？
本 课 时 栏 目 开 关
3.3.3-3.3.4
答
设直线 l：Ax＋By＋C＝0 中，A≠0，B≠0，这时 l 与 x 轴、
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一
答
本 课 时 栏 目 开 关
3.3.3-3.3.4
点到直wk.baidu.com的距离
问题1 两点间的距离公式是什么？
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2
什么是平面上点到直线的距离？
答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
由三角形面积公式可知d· |RS|＝|P0R|· |P0S|.
本 课 时 栏 目 开 关
|Ax0＋By0＋C| 所以d＝ . 2 2 A ＋B 可证明，当A＝0，或B＝0时，上述公式也成立．
小结 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| . 2 2 A ＋B
3.3.3-3.3.4
3.3.3 3.3.4
[学习要求]
本 课 时 栏 目 开 关
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
1.了解点到直线距离公式的推导方法； 2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距 离等问题； 3.初步掌握用解析法研究几何问题的方法． [学法指导] 通过对点到直线距离及两平行线间距离公式的探究，领会 寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法，体验数 形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.