高中数学必修二——两条平行直线间的距离
两直线间的距离公式是什么
在数学课堂学习中，我们会学到两直线间的距离公式，那么两直线间的距离公式是什么呢。
以下是由编辑为大家整理的“两直线间的距离公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。
两直线间的距离公式两平行线之间的距离公式：d=|C1-C2|/√(A2+B2)。
两平行线方程分别是：Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0。
两平行线之间的距离公式设两条直线方程为Ax+By+C1=0Ax+By+C2=0则其距离公式为|C1-C2|/√(A2+B2)推导：两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a，b)在直线Ax+By+C1=0上，则满足Aa+Bb+C1=0，即Aa+Bb=-C1，由点到直线距离公式，P到直线Ax+By+C2=0距离为d=|Aa+Bb+C2|/√(A2+B2)=|-C1+C2|/√(A2+B2)=|C1-C2|/√(A2+B2)学习数学的方法一)、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二)、适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
高中数学知识点：两平行线间的距离
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本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=
的距离为d =.
要点诠释：
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
(2)利用两条平行直线间的距离公式2221|
|B A C C d +-=时，一定先将两
直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.。
2.3.4 两平行直线间的距离公式 教案
2.3.4两平行直线间的距离公式(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)一、教学目标1.理解两平行线间距离的定义2.会求两平行线间的距离，及应用公式求距离3.培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力二、教学重难点1.理解和掌握两条平行线间的距离公式2.应用距离公式解决综合问题三、教学过程1.概念的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。
问题1：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离B.点到直线的距离C.点到点的距离【预设的答案】A【设计意图】通过生活中跳远的问题情境，引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题，用跳远这一实例，让学生感受“距离”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.问题2：已知两条平行直线l1,l2的方程，如何求l1与l2间的距离？根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0,y0)，,点P(x0,y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。
【活动预设】引导学生归纳概括出平行线间的距离定义1. 图示：2. 定义：夹在两平行线间的__________的长.公垂线段3. 求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.1.2探究典例，形成概念活动：已知两条平行直线12:2780,:62110l x y l x y --=--=，求12l l 与间的距离. 【活动预设】感受如何计算两条平行线间的距离？ 【设计意图】为引入两条平行直线间的距离作准备. 问题3：如何取点，可使计算简单？解：在直线2x － 7y －8=0上任取一点，如P(4,0) 则两平行线的距离就是点P(4,0)到直线6x-21y-1=0的距离. 因此，d =√62+(−21)2=【设计意图】从引例中的具体问题入手，根据平行线间的距离的定义，由点到直线的距离公式求出两平行线间的距离.问题4：两条平行线10Ax By C ++=与20Ax ByC ++=间的距离为________d =【活动预设】（1）分析两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离；（2）如何取直线上一般的点？如何由点到直线的距离化简得到两平行线间的距离？ 教师讲授：在直线10Ax By C ++=上任取一点()00,P x y ，点()00,P x y 到直线20AxBy C ++=的距离就是这两条平行直线间的距离，即d =.因为点()00,P x y 在直线10Ax By C ++=上，所以0010Ax By C ++=，即001Ax By C+=-，因此d ===【设计意图】理解由特殊到一般推导出两条平行直线间的距离公式.验证：已知两条平行直线l 1：2x −7y −8=0,l 2：6x −21y −1=0， 求l 1与l 2间的距离. 【设计意图】直接使用平行线间的距离公式问题5：两条平行直线间的距离公式写成时d =对两条直线应有什么要求？【活动预设】(1)把直线方程化为直线的一般式方程;(2)两条直线方程中x,y 的系数必须分别相等； 【设计意图】平行线间距离公式使用的注意事项. 1.3具体感知，理性分析 活动：自主举例的接龙活动. 【活动要求】第一组用一般式写出两条平行直线并求出两平行直线间的距离； 第二组用斜截式写出两条平行直线并求出两平行直线间的距离； 【活动预设】引导学生合理构造平行直线，并用公式求距离。
山东省临清实验高中高中数学 3.3.3点到直线的距离和两条平行直线间的距离教案 新人教A版必修2
3.3.3 点到直线的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【教学过程】 导入新课思路1.点P(0,5)到直线y=2x 的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为(x 0,y 0),直线l 的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离(为使结论具有一般性，我们假设A 、B≠0).图1新知探究 提出问题①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A 、B 均不为零的假设下推导出公式的，若A 、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(ⅰ)x 0=0,y 0=0时，d=22||BA C +；(ⅱ)x 0≠0,y 0=0时，d=220||BA C Ax ++；(ⅲ)x 0=0,y 0≠0时，d=220||BA C By ++.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x 0,y 0)，d=? 学生应能得到猜想：d=2200||BA C By Ax +++.启发诱导：当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax+By+C 1=0，令y=0，得P′(AC 1-,0). ∴P′N=221221|||)(|B A C C B A C A C A +-=++-•.(*)∵P 在直线l 1:Ax+By+C 1=0上, ∴Ax 0+By 0+C 1=0.∴C 1=-Ax 0-By 0. 代入(*)得|P′N|=2200||BA By Ax C +++即d=2200||BA C By Ax +++,.以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0与l 2:Ax+By+C 2=0的距离d=2221||BA C C +-.证明：设P 0(x 0,y 0)是直线Ax+By+C 2=0上任一点，则点P 0到直线Ax+By+C 1=0的距离为d=2200||BA C By Ax +++.又Ax 0+By 0+C 2=0,即Ax 0+By 0=-C 2，∴d=2221||BA C C +-.讨论结果：①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离公式为d=2200||BA C By Ax +++.②当A=0或B=0时，上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离公式为d=2221||BA C C +-.应用示例例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=5251012|102)1(2|22==+-+-⨯.(2)因为直线3x=2平行于y 轴，所以d=|32-(-1)|=35. 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.解:2243|2643|+-⨯-a =4⇒|3a-6|=20⇒a=20或a=346. 例2 已知点A (1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积. 解:设AB 边上的高为h ，则S △ABC =21|AB|·h. |AB|=22)31()13(22=-+-， AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在的直线方程为131313--=--x y ,即x+y-4=0. 点C 到x+y-4=0的距离为h=2511|401|22=+-+-，因此，S △ABC =21×2522⨯=5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练 求过点A(-1,2),且与原点的距离等于22的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x ＋y －1=0或7x ＋y ＋5=0.例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=5353145314)7(2|80732|22==-++⨯-⨯. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离.答案：1332.解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-54,52)， 则直线MO′的方程为y-3=413x. 直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(511,158--)即为所求， 相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=5185. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.当堂检测 导学案当堂检测 【板书设计】一、点到直线距离公式 二、例题 例1 变式1 例2 变式2【作业布置】课本习题3.3 A 组9、10；B 组2、4及导学案课后练习与提高学校--临清实高学科--数学 编写人—张子云 审稿人--周静3.3.3 点到直线的距离课前预习学案一、预习目标让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离二、学习过程预习教材P 117~ P 119，找出疑惑之处问题1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为 ，AB 间的长度为 .问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?5分钟训练1.点（0，5）到直线y=2x 的距离是( )A.25 B.5 C.23D.252.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.3.已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x-y+3=0的距离为1,则a 的值等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+答案：C 三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案 一、学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题 学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立 二、学习过程知识点1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：0022Ax By C d A B++=+.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离； ⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢并画出图形来.例 分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y -- 0=的距离.问题2：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y + 10-=的距离.知识点2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为d =注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.典型例题例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2.变式训练点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积变式训练求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离当堂检测课本本节练习. 拓展提升 问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l 上找一点P ，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值. .学习小结1. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式课后巩固练习与提高30分钟训练1.点（3,2）到直线l :x-y+3=0的距离为( )A.24B.2C.22D.3 2.点P(m-n,-m)到直线nym x +=1的距离为( ) A.22n m + B.22n m - C.22n m +-D.22n m ±3.点P 在直线x+y-4=0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.13 B.22 C.6 D.24.到直线2x+y+1=0的距离为55的点的集合为( ) A.直线2x+y-2=0 B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0 5.若动点A 、B 分别在直线l 1：x+y-7=0和l 2：x+y-5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A.23B.22C.33D.24 6.两平行直线l 1、l 2分别过点P 1(1,0)、P 2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l 1：_________________,l 2：_______________.7.已知直线l 过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l 的距离为3，求直线l 的方程. 8.已知直线l 过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程. 9.已知三条直线l 1：2x-y+a=0(a ＞0),直线l 2：4x-2y-1=0和直线l 3：x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值.(2)能否找到一点P,使得P 点同时满足下列3个条件:①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 到l 2的距离的21；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是5:2？若能,求P 点的坐标;若不能,请说明理由.参考答案1.解析:由点到直线的距离公式可得d=222|323|=+-.答案：C 2.解析:⇒=+1nym x nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得 222222222|||)(|n m n m m n n m mn m n m n +=+--=+---.答案：A3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O 到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得2224=.答案：B4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为55.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得⇒=-555|1|m ｜m-1｜=1，解得m=2或m=0 故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0. 答案：D8.解：直线l 平行于直线AB 时，其斜率为k=k AB =1531---=-1， 即直线方程为y=-(x-1)+1⇒x+y-2=0；直线l 过线段AB 的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l 的方程为y=1.综上，直线l 的方程为x+y-2=0或y=1.9.解：(1)根据题意得：l 1与l 2的距离d=⇒=+⇒=+27|21|51075|21|a a a=3或a=-4(舍).(2)设P 点坐标为(x 0,y 0),则x 0＞0,y 0＞0.若P 点满足条件②,则2×⇒--=+-5|212|5|32|0000y x y x ｜8x 0-4y 0+12｜=｜4x 0-2y 0-1｜,8x 0-4y 0+12=4x 0-2y 0-1或8x 0-4y 0+12=-(4x 0-2y 0-1)⇒4x 0-2y 0+13=0或12x 0-6y 0+11=0; ①若P 点满足条件③, 则⇒--⨯=+-⨯2|12|25|32|20000y x y x ｜2x 0-y 0+3｜=｜x 0+y 0-1｜,2x 0-y 0+3=x 0+y 0-1或2x 0-y 0+3=-(x 0+y 0-1),x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0; ②由①②得⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+-=+-023,011612023,01324042,013240000000000x y x x y x y x y x 或或⎩⎨⎧=+-=+-.042,0116120000y x y x 或解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1837,9121,32631,3221,300000000y x y x y x y x 或或或故满足条件的点P 为(-3,21)或(631,32-)或(21,32-)或(1837,91).。
高中数学 3.3.2点到直线的距离及两条平行直线间的距离练习 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2
3.3.2点到直线的距离及两条平行直线间的距离 基础梳理1．点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0练习1：点P 0(0，5)到直线2x －y ＝02．平行直线Ax ＋By ＋n ＝0，Ax ＋By ＋m ＝0练习2：直线y ＝a 与直线y ＝b 的距离d ＝|b －a |．►思考应用1．点P(x ，y)到直线y ＝b 的距离为|b －y|，点P(x ，y)到直线x ＝a 的距离d ＝|a －x|．2．已知直线l 1：3x ＋y －3＝0，l 2：6x ＋2y ＋1＝0，l 1与l 2是否平行？若平行，求l 1与l 2间的距离．解析：l 1方程可化为6x ＋2y －6＝0，l 1∥l 2，由两平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|36＋4＝71020. 自测自评1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为(D ) A ．1 B . 3 C ．2 D . 5解析：d ＝|－5|1＋22＝ 5.2．若点(2，k)到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是(D )A ．1B ．－3C ．1或53D ．－3或173解析：由点到直线的距离公式|10－12k ＋6|52＋122＝4， 解得k ＝－3或k ＝173. 3．点P(－2，0)到直线y ＝3的距离为3．4．两条平行直线3x ＋4y －2＝0，3x ＋4y －12＝0之间的距离为2．解析：d ＝|－2＋12|32＋42＝105＝2. 基础达标1．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(D) A ．4 B.21313C.52613D.72613 解析：∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0平行，∴m ＝4.∴两平行线间的距离：d ＝|－3－12|32＋22＝7213＝72613. 2．两平行线y ＝kx ＋b 1与y ＝kx ＋b 2之间的距离是(B )A ．b 1－b 2 B.|b 1－b 2|1＋k2 C ．|b 1－b 2| D ．b 2－b 1解析：两直线方程可化为kx －y ＋b 1＝0，kx －y ＋b 2＝0. ∴d ＝|b 1－b 2|1＋k2. 3．过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程是(A )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：所求为过A (1，2)，且垂直OA 的直线，∴k ＝－12， ∴y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 4．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n ＝1的距离等于(A )A.m 2＋n 2B.m 2－n 2C.n 2－m 2D.m 2±n 2解析：直线方程可化为nx ＋my －mn ＝0，故d ＝|（m －n ）n －m 2－mn |m 2＋n 2＝|mn －n 2－m 2－mn |m 2＋n2＝m 2＋n 2. 5．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为(D ) A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2. 所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 6．垂直于直线x －3y ＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程是________． 解析：由题意，可设所求直线方程为3x ＋y ＋c ＝0，则|c |2＝5. ∴|c |＝10，即c ＝±10.答案：3x ＋y －10＝0或3x ＋y ＋10＝07．求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14； (2)y ＝6；(3)x ＝4.解析：(1)把方程y ＝34x ＋14写成3x －4y ＋1＝0， 由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－4×（－2）＋1|32＋（－4）2＝185. (2)因为直线y ＝6平行于x 轴，所以d ＝|6－(－2)|＝8.(3)因为直线x ＝4平行于y 轴，所以d＝|4－3|＝1.巩固提升8．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(A)A．8 B．2 2C. 2 D．169．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________．解析：显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵点A，B到l的距离相等，∴|－2k＋1－k|k2＋1＝|4k－5－k|k2＋1.∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.综上，l的方程为x＝1，或x－y－1＝0.答案：x＝1，或x－y－1＝010．求与直线2x－y－1＝0平行，且和2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．解析：解法一由已知可设所要求的直线方程为2x－y＋c＝0，则两条平行直线间的距离为d＝|c－（－1）| 22＋（－1）2，∴|c＋1|5＝2，∴|c＋1|＝2 5.∴c＝－1±25，所求直线方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0. 解法二设所要求的直线上任意一点P(x，y)，则P到直线2x－y－1＝0的距离为d＝|2x－y－1|22＋（－1）2，∴|2x－y－1|5＝2，∴2x－y－1＝±2 5.∴所要求的直线方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.1．点到直线的距离公式是本节的重要公式，其用途十分广泛，在使用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．2．点到直线的距离的特殊形式：P(x0，y0)到直线y＝b的距离为|y0－b|，到直线x＝a 的距离为|x0－a|；若P(x0，y0)在直线上，公式也适用，此时d＝0.3．在求两平行线间距离时要注意首先将两直线方程中x，y的系数化为相同的．。
新教材高中数学第二章两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册ppt
得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.
微练习
原点到直线x+2y-5=0的距离为(
B. 3
A.1
解析 d=
|-5|
12 +22
)
C.2
D. 5
= 5.
答案 D
微思考
点P(x0,y0)到x轴,y轴,直线y=a,x=b的距离分别是什么?
提示 到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的
(方法 2)∵直线 x=2 与 y 轴平行,
∴由图知 d=|-1-2|=3.
=3.
|-1×0+2-1|
(3)(方法 1)由点到直线的距离公式,得 d=
02 +12
=1.
(方法 2)∵直线 y-1=0 与 x 轴平行,
∴由图知 d=|2-1|=1.
反思感悟 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接利用点到直线
方法总结
解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离
相等的点的直线有两条(三定点不共线),根据这两条直线的几何特征可求
出其直线方程.二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,
且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数
对应不同,必须先等价化为系数对应相同才能套用公式.
微练习
两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:6x-8y-7=0间的距离为(
1
A.
2
3
B.
5
解析 l2 的方程可化为
d=
7
2
-1+
32 +(-4)2
高中数学必修二《两条平行直线间的距离》优秀教学设计
两条平行直线间的距离
【学习目标】
1、会计算平行线间的距离。
2、学会优化解题思路，选择合适的点来求平行线之间的距离。
一、自学指导
1、我们把夹在两条平行线间的公垂线段的长叫做两条平行线间的距离。
请你画出下面这组平行线间的距离。
并考虑，公垂线段只有一条吗？
2、点到直线的距离公式你背熟了吗？ 二、新课探究
间的距离
若平行，求是否平行？与、已知直线例212121,,01216:,0872:1l l l l y x l y x l =--=--
思考：1、如果我选用（4,0）点求平行线间的距离行吗？那（11,2）呢？
2、如果我选用（0，211-
）点呢？这时候应该怎么求呢？
★根据以上问题的探究，请小组总结出如何最简单的求出平行线间的距离。
例2、求证：
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ， 2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221B A C C d +-=
思考：任何不重合的平行线是否都可以转化成这种21,l l 的形式呢？。
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∴l1:x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线均与l垂直,
∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,
∴ | 3 a | = | 3 b | = | 1 5 | ,
32 (1)2 32 (1)2 12 32
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9, ∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
夹在两条平行直线间的公垂线 段的长
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离d=①
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l 2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)
| Ax0 By0 C | A2 B2
间的距离d=②
| C1 C2 | A2 B2
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离.( √ )
2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 b | . ( ✕ )
1 k2
提示:直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 y0 b | .
解析 (1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5),由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间
的距离,则 | 5 1| =
32 42
|d 32
两条平行直线间的距离
+2
2
×
= −1
+1
3
−1
−2
−
3
×
+
2
2
33
= − 13
4
= 13
设对称点为M′(a，b)，则
设m与l的交点为N，则由
+2
+0
−
3
×
+
2
2
−0
2
×
= −1
−2
3
1=0
6
解得
= 13
30
= 13
即M′
6 30
,
13 13
2 − 3 + 1 = 0
第
二
章
直线和圆的方程
2.3.4两条平行直线间的距离
一、复习回顾
两点间的距离公式
已知平面内两点 P1 ( x1 ,y1 )，P2 ( x2 ,y2 ) ，
2
2
|=
(
x
x
)
(
y
y
)
则 |PP
1 2
2
1
2
1 .
点到直线的距离公式 点 P ( x0 ,y0 ) 到直线 l：Ax+By+C = 0 的距离
分析：在 l1 上选取一点，如 l1 与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这
点到 l2 的距离，即 l1 与 l2 间的距离.
解：先求 l1 与 x 轴的交点 A 的坐标. 容易知道，点 A 的坐标为（4，0）.
点 A 到直线 l2 的距离 d
| 6 4 21 0 1|
人教A版高中数学必修二3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离
人教A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离选择题(2016·青岛高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是()A. 4B.C.D.【答案】D【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，由两条平行直线间的距离公式可得：d===.点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离。
用两条平行直线间的距离公式时，要注意两条直线要化成直线方程的一般式，并且两条直线方程中的系数要，这时才可以有两条平行直线间的距离为。
选择题点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A. a>7B. a7或a7或-3>3，解得a>7或a=5，故0【答案】直线l2的方程是x+y-3=0.【解析】试题分析：由l1∥l2设出l2的方程y=-x+b(b>1)，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离,然后由梯形的面积求解试题解析：设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD=，BC= b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.选择题点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点P 的坐标为()A. (8，0)B. (-12，0)C. (8，0)或(-12，0)D. (0，0)【答案】C【解析】设P(x0，0)，因为d==6，所以|3x0+6|=30，故x0=8或x0=-12.故选C选择题已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为()A. 1B. -1C.D. ±【答案】D【解析】.由题意，得=1，即|a|=，所以a=±.解答题在△ABC中，A(3，2)，B(-1，5)，点C在直线3x-y+3=0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标.【答案】点C的坐标为(-1，0)或.【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，所以只需求AB两点间距离，然后设C点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求出C 点坐标试题解析：由题知|AB|==5，因为S△ABC=|AB|·h=10，所以h=4.设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y-2=-(x-3)，即3x+4y-17=0.所以解得或所以点C的坐标为(-1，0)或.选择题过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为()A. 4x+y-6=0B. x+4y-6=0C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0【答案】D【解析】显然直线斜率存在，设直线方程为：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，A，B到直线距离相等，则=，解得k=-4或k=-，代入方程得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.点晴：本题考查的是过一点到另外两点距离相等的直线方程。
人教新课标版数学高一必修2课件点到直线的距离两条平行直线间的距离
问题3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0， |3－c| |c＋1|
由题意知： 22＋12＝ 22＋12， 得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟
解析答案
探究点3 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1 的最小值
7 为___1_0____. 解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12， ∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， ∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝ |86－2＋18| 2＝170.
取一点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
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解析答案
当堂测试
1 23 45
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )
A.1
B.－1
C. 2
D.± 2
|a－1＋1| 解析 由题意知 12＋12 ＝1，
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
解析答案
1 23 45
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( C )
《两条平行线间的距离》示范课教学设计【高中数学】
《两条平行直线间的距离》教学设计在学习点到直线的距离之后，本节进一步探求如何求两条平行线间的距离。
希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。
教师要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。
【知识与能力目标】解两平行线间距离公式的推导，熟练掌握两平行线间距离公式。
【过程与方法目标】经历两平行线间距离公式的推导，会求解两平行线距离。
【情感态度价值观目标】认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题。
【教学重点】两平行线间距离公式的推导和应用。
【教学难点】对距离公式推导方法的感悟。
多媒体课件。
（一）导入新课复习回顾：点到直线的距离公式是什么？我们是如何推导的？（二）推进新课、新知探究、提出问题探究：设直线1l //2l ，如何求它们之间的距离？（1） 能否将平行线间的距离转化为点到直线的距离?（2） 如何取点，可使计算简单？（三）应用示例例1 已知直线12:2780:62110l x y l x y --=--=l 1与l 2是否平行？若平行，求l 1与l 2间的距离。
求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。
解：因为l 1，l 2的斜率分别为12262,,7217===k k 所以l 1，l 2平行。
先求l 1与x 轴的交点A 的坐标，易得A （4,0），点A 到直线l 2的距离为===d 所以l 1，l 2点评：把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离。
求证：两平行线Ax+By+1C =0与Ax+By+2C =0间的距离为d=2221||B A C C +- 证明：设P 0(x 0,y 0)是直线Ax+By+C 2=0上任一点，则点P 0到直线Ax+By+C 1=0的距离为d=2200||BA C By Ax +++。
高中数学：《点到直线、两平行线间的距离》课件(新人教A必修2)
AB边所在直线的方程为
O
x
y-3 x1 1-3 31
即xy40
h|104|5
1212
2
因,此 SAB C1 222525
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
l2
Q
o
x
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 的距离公式是 d=Ax0+By0+C
A2 +B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是
d=
C1 - C2 A2 + B2
[思路一] 利用两点间距离公式:
y
P
l
Q
o
x
[思路二] 构造直角三角形求其高.
y
R Q
O
P(x0,y0)
S
x
L:Ax+By+C=0
点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d| Ax0By0C| A2 B2
练习2
1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.
2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
d
C1 -C2
A2 B2
练习3
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___53___;
两条平行直线间的距离教学反思高中
一、概述在高中数学教学中，平行直线间的距离是一个重要的概念，也是学生容易混淆的知识点之一。
通过教学实践的总结和反思，我们可以更好地指导学生理解和掌握这一概念，提高他们的学习成绩。
二、知识点梳理1. 平行直线的性质在平面几何中，平行直线的性质是指如果两条直线在同一平面上，且不相交，那么这两条直线就是平行线。
平行线之间的距离是一条直线到另一条直线的垂直距离。
这一知识点是学生学习几何学中的基础，也是后续学习中更复杂问题的基础。
2. 平行线间距离的求解要求解平行线之间的距离，可以利用垂直平分线的性质来实现。
具体的求解方法可以通过给出几何图形和问题进行实例讲解，引导学生熟练掌握。
三、问题分析在教学实践中，我们发现学生在理解和应用平行线间距禽问题时，存在以下几个常见问题：1. 混淆概念一些学生容易将平行线的概念与垂直线的概念混淆，导致在求解题目时出现错误。
2. 求解方法不熟练学生在求解平行线间距禽问题时，经常会忽视垂直平分线的性质，导致求解出错或者犯错。
3. 缺乏实际问题的应用教学中通常只给出抽象的几何图形和问题，缺乏实际问题的应用，导致学生对平行线间距禽的理解不够深刻。
四、教学改进策略为了帮助学生更好地理解和掌握平行线间的距离问题，可以采取以下教学改进策略：1. 强调基础概念在教学中，要特别强调平行线的概念和性质，与垂直线进行对比，帮助学生清晰地理解这一概念，避免混淆。
2. 应用实例讲解教学中引入实际问题，通过应用实例讲解来引导学生理解平行线间距离问题的具体求解方法，增强学生的实际运用能力。
3. 强化练习通过大量的练习来训练学生的解题能力，帮助他们熟练掌握求解平行线间距离的方法，提高应对各种问题的能力。
五、教学实践在教学实践中，我们可以采取以下一些具体的教学方法和活动：1. 通过示意图和直观的几何图形来解释平行线间距离的求解方法，让学生更清晰地理解。
2. 引导学生根据实际情境设计相应的问题，对平行线间距离进行求解，增强学生解决实际问题的能力。
高中数学必修2直线与圆常考题型：点到直线的距离、两条平行线间的距离(教师版)
点到直线的距离、两条平行线间的距离【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1 B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. 【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3.答案：3【例2】 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________． 解析：因为两直线平行，所以m ＝2.法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝|6×0＋2×3－1|62＋22＝104. 法二：将6x ＋2y －1＝0化为3x ＋y －12＝0，由两条平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－3＋1232＋12＝104. 答案：104题型三、距离的综合应用【例3】 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程． [解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．【对点训练】4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫2，－23. ①当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ， 则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.【练习反馈】1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|5＝ 5.2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.3．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：124．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1735．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y 2－0＝x ＋31＋3， 即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.。
高中数学人教A版必修2第3章 3.3 3.3.3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离
|3×－1＋C2| 6 则 ＝ ，即|C2－3|＝6. 10 10
解得 C2＝9 或 C2＝－3.
所以正方形另两边所在直线的方程为 3x－y＋9＝0 和 3x－y
－3＝0. 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为 x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.
17
14
高中数学人教版必修2课件
例 4：两平行直线 l1 、l2 分别过 A(1,0)，B(0,5)，若 l1 与 l2 的距离为 5，求这两条直线方程． 错因剖析：易忽略 l1、l2 是特殊直线的情况，导致漏解．
|5＋k| 正解： 设 l1 的方程为 y＝k(x－1)， 则点 B 到 l1 的距离为 2 k ＋1 5 ＝5，所以 k＝0 或 k＝12.
的思想使运算量减少．
13
高中数学人教版必修2课件
3－1.过点 P(－1,2)引一直线，使它与点 A(2,3)，B(－4,5)的 距离相等，求该直线的方程．
1 解：当直线与 AB 平行时，k＝kAB＝－3， 1 ∴直线的方程 y－2＝－3(x＋1)，即 x＋3y－5＝0.
当直线过 AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线的方程为 x＝－1. 故所求直线的方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1.
由两平行直线间的距离公式，得
|C－6| 2＝ 2 2， 5 ＋－12
解得 C＝32 或 C＝－20.
故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
8
高中数学人教版必修2课件
(1)求两条平行线之间的距离，可以在其中的
一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两平行
4
高中数学人教版必修2课件
(2)∵直线 y＝6 平行于 x 轴，
高中数学必修二 3.3.4 两条平行直线间的距离
=
10 5
=
2.
错因分析:错解中,未把 l2 的方程化为 3x+4y+m=0 的形
式而导致出错.
正解:l2:12x+16y-8=0 可化为 3x+4y-2=0,
则所求距离 d=
|2-(-2本节结束，谢谢观看！
不妨取点������
0,
5 4
,
则点 P 到直线 l2:6x+8y-9=0 的距离即为两条平行直线
间的距离.
因此 d=
0×6+8×54-9 62 +82
= 1.
10
方法二:把
l2:6x+8y-9=0
化为
3x+4y−
9 2
=
0,
则两条平行直线间的距离 d=
-5- -92 32 +4 2
= 1.
10
题型一 题型二 题型三
d=
|������ ������ 0 +������������0 +������2 | ������2 +������ 2
=
|-������1 +������2 | ������2 +������ 2
=
|������1 -������2 | ������2 +������ 2
,
即直线 l1,l2 间的距离 d=
所以所求的距离
d=
|3×2+4×1-15| 32 +4 2
=
1.
方法二:直线l1,l2的方程可化为3x+4y-10=0,3x+4y-15=0,
则两条平行直线间的距离为
d=
|-10-(-15)| 32 +4 2
两条平行直线间的距离-高中数学知识点讲解
两条平行直线间的距离
1．两条平行直线间的距离
【概念】
两平行线的距离就是指平行线上的点到另一条直线的最短距离，因为两直线平行，所以直线上的点到另一条平行线上的点的距离都相等，若设两条平行线的表达式为：ax+by+c＝0 和ax+by+d＝0，其中c≠d，那么这两条直线
的距离为：d =|푐―푑|푎2+푏2
【例题解析】
例：求曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线 2x﹣y+3＝0 的最小距离
解：求导函数可得푦′=
2
2푥―1
令푦′=
2
2푥―1= 2，可得x＝1，∴y＝0
即曲线y＝ln（2x﹣1）在（1，0）处的切线与直线 2x﹣y+3＝0 平行，该点到直线 2x﹣y+3＝0 的距离最小，
最小为푑=5
5=5．
这个题其实是个数形结合的题，其过程是通过平移该直线，当这条直线与曲线相切时，就找到了曲线到直线的最小距离的点，原理是平行线上的点到另一条平行线上的点的距离相等．然后在套用距离公式求解即可．
【考点分析】
点到直线还是直线到直线的距离，考查的较多的是他们的原理，他们的应用，另外再是距离的计算，在这里需要点出复习时一定要注意他们的应用，特别是平行线的平移．
1/ 1。
高考高中数学必修2A 两条平行直线间的距离 试题
两条平行直线间的间隔制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
教学目的：使学生理解什么是两条平行直线间的间隔，会将直线间的间隔转化为点到直线的间隔来求解。
教学重点：将直线间的间隔转化为点到直线的间隔来求解两条平行直线间的间隔。
教学难点：两平行直线间的间隔的求法。
教学过程一、复习提问1、点到直线的间隔公式是什么？默写一遍。
2、两平行线间的间隔有什么性质？3、点A〔－3，－4〕，B〔6,3〕到直线l：ax＋y＋1＝0的间隔相等，求a 的值。
二、新课1、两条平行直线间的间隔的定义两条平行直线间的间隔 是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。
两条平行直线间的间隔 处处相等。
2、探究两条平行直线间的间隔 的求法设直线l1∥l2，如何l1与l2之间的间隔 ？〔1〕能否将平行直线间的间隔 转化为点到直线的间隔 ？〔2〕如何取点，使计算简单？例7、直线,l1：2x －7y －8＝0，l2：6x －21y －l ＝0，ll 与l2是否平行？假设平行求ll 与l2间的间隔 。
解：将两条直线化为斜截式可求得两直线的斜率：l1的斜率k1＝72，l2的斜率k2＝72，因为 k1＝k2，所以 l1∥l2先求l1与轴的交点A 的坐标，容易知道点A 的坐标为〔4,0〕点A 到直线l2的间隔 为：d ＝22216102146+-⨯-⨯＝531592353323=所以，ll 与l2间的间隔 为5315923。
由上面的例题可知，两条平行直线间的间隔 可以转化为点到直线的间隔，取点时可考虑取x轴上的点或者y轴上的点，运算可以简便点。
练习：求两条平行线间的间隔：〔1〕2x+3y-8=0 2x+3y+18=0(2)3x+4y=10, 3x+4y=0制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
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设直线l1∥l2，如何求l1与l2间的距离？
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线
问题1 两条平行直线间的距离是指什么线段的长？
本 课 时 栏 目 开 关
段的长． 问题2 能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何
转化？ 答 能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条
平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求 这点到另一条直线的距离即可．
3.3.3-3.3.4
3.3.3 3.3.4
[学习要求]
本 课 时 栏 目 开 关
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
1.了解点到直线距离公式的推导方法； 2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距 离等问题； 3.初步掌握用解析法研究几何问题的方法． [学法指导] 通过对点到直线距离及两平行线间距离公式的探究，领会 寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法，体验数 形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
问题3 你能说出求点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0距 离的一个解题思路吗？
本 课 时 栏 目 开 关
A 答 由P0Q⊥l，以及直线l的斜率为－ ，可得l的垂线P0Q的 B B 斜率为 ，因此，垂线P0Q的方程可求出．解垂线P0Q与直线l A 的方程组成的方程组，得点Q的坐标，用两点间距离公式求 出|P0Q|，即为点P0到直线l的距离．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
问题3 已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，如何推导 出l1与l2的距离公式呢？
答
本 课 时 栏 目 开 关
由l1与l2的方程可知直线l1∥l2，设P0(x0，y0)是直线Ax＋By＋
C2＝0上任一点，则点P0到直线Ax＋By＋C1＝0的距离为d＝ |Ax0＋By0＋C1| .又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝ 2 2 A ＋B |C1－C2| 2 2. A ＋B
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一
答
本 课 时 栏 目 开 关
3.3.3-3.3.4
点到直线的距离
问题1 两点间的距离公式是什么？
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2
什么是平面上点到直线的距离？
答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
填一填·知识要点、记下疑难点
3.3.3-3.3.4
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ． 本
课 时 栏 目 开 关
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0
|Ax0＋By0＋C| d＝ 2 2 A ＋ B 的距离为
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
由三角形面积公式可知d· |RS|＝|P0R|· |P0S|.
本 课 时 栏 目 开 关
|Ax0＋By0＋C| 所以d＝ . 2 2 A ＋B 可证明，当A＝0，或B＝0时，上述公式也成立．
小结 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| . 2 2 A ＋B
研一研·问题探究、课堂更高效
问题4 用代数的方法求点P0到直线l距离的思路 十分自然，但不易得出点到直线的距离公式， 如下图，如何利用三角形面积公式求出点到直 线的距离d呢？
本 课 时 栏 目 开 关
3.3.3-3.3.4
答
设直线 l：Ax＋By＋C＝0 中，A≠0，B≠0，这时 l 与 x 轴、
即xh＝ ， 2 2 ＝ 2 1 ＋1 1 5 因此，S△ABC＝2×2 2× ＝5. 2
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
小结
本 课 时 栏 目 开 关
(1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般
式，再利用公式求距离．(2)若点P在直线上，点P到直线的距离 为零，距离公式仍然适用．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3-3.3.4
跟踪训练1
求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的
直线的方程．
解
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当直线斜率不存在时，直线为x＝－2，它到A、B两点距离
不相等．
所以可设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0. |－k－2＋2k＋1| |3k＋2k＋1| 1 由 ＝ ，解得k＝0或k＝－ .因此，所求直 2 k2＋1 k2＋1 线方程为y＝1，或x＋2y＝0.
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探究点二 导引
答
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两条平行直线间的距离
.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的 |C1－C2| d＝ 2 A ＋B2 距离为 .
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[问题情境] 构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有两点 之间的距离，点到直线的距离及两条直线之间的距离．上 节课我们已经学习了两点之间的距离，本节我们来研究点 到直线的距离及两条直线之间的距离．
y 轴都相交，过点 P0 作 x 轴的平行线，交 l 于点 R(x1，y0)，作 y 轴的平行线，交 l 于点 S(x0，y2)，将 R 点坐标代入 l 的方程，得 By0＋C Ax0＋C x1＝－ ，将 S 点坐标代入 l 的方程，得 y2＝－ .于是 A B Ax0＋By0＋C Ax0＋By0＋C 有|P0R|＝|x0－x1|＝| |，|P0S|＝|y0－y2|＝| | A B 2 2 A ＋ B .|RS|＝ |P0R|2＋|P0S|2＝ |AB| ×|Ax0＋By0＋C|.
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例1
1 解 如图，设AB边上的高为h，则S△ABC＝2|AB|· h. |AB|＝ 3－12＋1－32＝2 2，
已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求三角形ABC的面积．
本 课 时 栏 目 开 关
AB边上的高h就是点C到AB的距离． y－3 x－1 AB边所在直线的方程为 ＝ ， 1－3 3－1