高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 12.3 算法初步课件 文 北师大版
届数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数第三节算法初步学案理含解析
第三节算法初步［最新考纲］［考情分析]［核心素养］1.了解算法的含义，了解算法的思想。
2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3。
理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。
依据程序框图直接得出结论，填写部分内容以及程序框图与其他知识交汇是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.1.逻辑推理2。
数学运算‖知识梳理‖1．算法(1）算法通常是指按照错误!一定规则解决某一类问题的错误!明确和错误!有限的步骤．（2）应用：算法通常可以编成计算机错误!程序，让计算机执行并解决问题．2．程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用5程序框、流程线及6文字说明来表示算法的图形．3．三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个错误!依次执行的步骤组成,这是任何一个算法都离不开的错误!基本结构算法的流程根据9条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件错误!反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为错误!循环体程序框图‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”)．(1)算法的每一步都有确定的意义,且可以无限地运算．()（2）一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构和循环结构．(）（3）一个循环结构一定包含条件结构．（)(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．（)答案:（1）×(2)×（3)√(4)×二、走进教材2．（必修3P25例5改编）给出如图程序框图,其功能是(）A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b｜的值D．以上都不对答案:C3．(必修3P33B3改编)执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4,则输入的x应为（)A．－2 B．16C．－2或8 D．－2或16答案：D三、易错自纠4．如图给出的是计算错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(）A．i<50? B．i>50？C．i〈25？D．i>25?解析：选B因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1,间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件,所以判断框内的条件可以填入i>50？故选B．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于（)A．－3 B．－10C．0 D．－2解析：选A第一次循环：k＝0＋1＝1,满足k<4，s＝2×1－1＝1；第二次循环：k＝1＋1＝2，满足k<4,s＝2×1－2＝0;第三次循环：k＝2＋1＝3,满足k<4，s＝2×0－3＝－3;第四次循环：k ＝3＋1＝4,不满足k<4,故输出的s＝－3.故选A．错误!｜题组突破|1．(2019年全国卷Ⅲ）执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0。
高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、推理与证明 12.5 数学归纳法课件(理)
解：根据题意，若 f(4)≥5 成立，则 f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4)， 即 f(k)≥k＋1(k≥5)．综合 f(4)≥5，可知当 k≥4 时，均有 f(k)≥k ＋1 成立．故选 D.
－
n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n
＝
1 2n＋1
＋
2（n1＋1）－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2.故选 D.
(2013·黑龙江模拟)设 f(x)是定义在正整数集上的函数， 且 f(x)满足：“当 f(k)≥k＋1 成立时，总可推出 f(k＋1)≥k＋2 成立”．那么，下列命题总成立的是( )
类型二 证明不等式
已知 f(n)＝1＋213＋313＋413＋…＋n13，g(n)＝32－21n2， n∈N*.
(1)当 n＝1，2，3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系； (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明．
解：(1)当 n＝1 时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以 f(1)＝g(1)； 当 n＝2 时，f(2)＝98，g(2)＝181，所以 f(2)<g(2)； 当 n＝3 时，f(3)＝225116，g(3)＝321126，所以 f(3)<g(3)．
已知数列1×1 2，2×1 3，3×1 4，…，n（n1＋1），通
过计算得
S1
＝
1 2
，
S2
＝
2 3
，
S3
＝
高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图教学案 理
第十二章 算法初步、推理与证明、复数12.1 算法与程序框图考纲要求1．了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的____和____的步骤．2．程序框图又称________，是一种用______、________及文字说明来表示算法的图形．3．顺序结构是由______________________组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构． 其结构形式为：4．条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为：5．循环结构是指从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的步骤称为________．循环结构又分为______________和________________．其结构形式为：当型循环结构直到型循环结构1．下列关于算法的说法正确的个数是( )．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ④算法执行后产生确定的结果．A ．1B ．2C ．3D ．42. 如果执行下边的程序框图，输入x ＝－12，那么其输出的结果是( )．A ．9B ．3C ． 3D ．193．(2012广东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( )．A ．105B ．16C ．15D ．14．给出如下程序框图，其功能是( )．A ．求a －b 的值B ．求b －a 的值C ．求|a －b |的值D ．以上都不对5．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为12，则执行该程序后，输出的y 值为__________．一、算法的基本结构【例1】执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )．A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040 方法提炼1．解决程序框图问题要注意几个常用变量．(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1；(2)累加变量：用来计算数据之和，如s ＝s ＋i ；(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．请做演练巩固提升1二、循环结构设计【例2－1】 执行下图所示的程序框图，输入l ＝2，m ＝3，n ＝5，则输出的y 的值是__________．【例2－2】 如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )．A.1321B.2113C.813D.138方法提炼1．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题．用循环结构表达算法，在画出算法的程序框图之前就应该分析清楚循环结构的三要素：①确定循环变量和初始值；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的终止条件．2．运行程序框图和完善程序框图是高考的热点．解答这一类问题，首先，要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要运行程序框图，理解程序框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答，对程序框图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化程序框图问题的实际背景．请做演练巩固提升2,3加强框图中对逻辑顺序的理解【典例】 (2012天津高考)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )．A ．8B ．18C ．26D ．80解析：n ＝1，S ＝0＋31－30＝2，n ＝2；n ＝2＜4，S ＝2＋32－31＝8，n ＝3；n ＝3＜4，S ＝8＋33－32＝26，n ＝4；4≥4，输出S ＝26.答案：C答题指导：1.本题条件较多，读不懂程序框图的逻辑顺序，盲目作答而导致错误．因此，在解决循环结构问题时，一定要弄明白计数变量和累加变量．2．读程序框图时，要注意循环结构的终止条件．1．对于如图所示的程序框图，输入a ＝ln 0.8，b ＝12e ，c ＝2－e ，经过程序运算后，输出a ，b 的值分别是( )．A ．2－e ，ln 0.8B ．ln 0.8,2－eC ．12e ，2－eD ．12e ，ln 0.82．(2012合肥模拟)执行下面的程序框图，则输出的n ＝( )．A ．6B ．5C ．8D ．73．(2012福建高考)阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于( )．A ．－3B ．－10C ．0D ．－24．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是__________．5．(2012山东潍坊模拟)运行如图所示的程序框图，当输入m ＝－4时，输出的结果为n .若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥n .则目标函数：z ＝2x ＋y 的最大值为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．明确 有限2．流程图 程序框 流程线3．若干个依次执行的步骤5．循环体 当型循环结构 直到型循环结构基础自测1．C 解析：①是不正确的，②③④正确．2．C 解析：依题意得，执行完第1次循环后，x ＝－12＋3＝－9≤0；执行完第2次循环后，x ＝－9＋3＝－6≤0；执行完第3次循环后，x ＝－6＋3＝－3≤0；执行完第4次循环后，x ＝－3＋3＝0≤0；执行完第5次循环后，x ＝0＋3＝3＞0.结合题中的程序框图可知，最后输出的结果是 3.3．C 解析：i ＝1，s ＝1；i ＝3，s ＝3；i ＝5，s ＝15；i ＝7时，输出s ＝15.4．C 解析：求|a －b |的值．5．2 解析：∵12＜1， ∴当x ＝12时，y ＝124＝2. 考点探究突破【例1】 B 解析：当输入的N 是6时，由于k ＝1，p ＝1， 因此p ＝p ·k ＝1，此时k ＝1＜6；第一次循环，k ＝1＋1＝2，p ＝1×2＝2，k ＝2＜6；第二次循环，k ＝2＋1＝3，p ＝2×3＝6，k ＝3＜6；第三次循环，k ＝3＋1＝4，p ＝6×4＝24，k ＝4＜6；第四次循环，k ＝4＋1＝5，p ＝24×5＝120，k ＝5＜6；第五次循环，k ＝5＋1＝6，p ＝120×6＝720，k ＝6＜6不成立． 因此输出p ＝720.【例2－1】 68 解析：由程序框图可知，y 的变化情况为y ＝70×2＋21×3＋15×5＝278，进入循环，显然278＞105，因此y ＝278－105＝173；此时173＞105，故y ＝173－105＝68.经判断68＞105不成立，输出此时y 的值68.【例2－2】 D 解析：由程序框图可得，第一次循环：x ＝1，y ＝2；第二次循环：x ＝2，y ＝3；第三次循环：x ＝3，y ＝5；第四次循环：x ＝5，y ＝8；第五次循环：x ＝8，y ＝13；z ＝21＞20，此时退出循环，输出y x ＝138. 演练巩固提升1．C 解析：该程序框图的设计目的是将a ，b ，c 按照由大到小的顺序排列，即输出的a ，b ，c 满足a ≥b ≥c ，而ln 0.8＜0，12e＞1，0＜2－e ＜1，即12e ＞2－e ＞ln 0.8，故输出的a ＝12e ，b ＝2－e.2．D 解析：此程序框图的功能是计算a 1＝12，q ＝12的等比数列的前n －1项和S ＞3132时，n 的最小值． ∵S ＝a 1(1－q n －1)1－q ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＞3132， ∴n ＞6，∴n ＝7.3．A 解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1；(2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0；(3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3；(4)k ＝4，直接输出s ＝－3.4．15 解析：由题意可得T 为求1＋2＋3＋…＋k 的值． 由于1＋2＋3＋…＋14＝105,1＋2＋3＋…＋15＝120， 所以输出k 的值为15.5．5 解析：由程序框图可知，当输入m ＝－4时，输出的结果为n ＝1， ∴变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1.此不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知目标函数z ＝2x ＋y 在点A (2,1)处取得最大值2×2＋1＝5.。
高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、推理与证明、复数12.3合情推理与演绎推理教学案 理 新人教A版
12.3 合情推理与演绎推理考纲要求1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1．合情推理主要包括__________和__________．合情推理的过程：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想(1)归纳推理：由某类事物的________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由________概括出__________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由________具有某些类似特征和其中________的某些已知特征，推出________也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)，简言之，类比推理是由______到______的推理．2．演绎推理：从______的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由______到______的推理．(1)三段论是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)“三段论”可以表示为①大前提：M是P.②小前提：S是M.③结论：S是P.用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )．A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2．数列2,5,11,20,32，x，…中的x等于( )．A．28 B．32C．33 D．473．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )．A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)4．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．3一、归纳推理【例1】 观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 方法提炼1．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；(2)归纳的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的．所以“前提真而结论假”的情况是可能发生的；(3)人们在进行归纳推理时，总是先收集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行；(4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．2．归纳推理的一般步骤：首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．请做演练巩固提升1 二、类比推理【例2】 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，作AD ⊥BC ，D 为垂足，BD 为AB 在BC 上的射影，CD 为AC 在BC 上的射影，则有AB 2＋AC 2＝BC 2，AC 2＝CD ·BC 成立．直角四面体PABC (即PA ⊥PB 、PB ⊥PC 、PC ⊥PA )中，O 为P 在△ABC 内的射影，△PAB 、△PBC 、△PCA 的面积分别记为S 1、S 2、S 3，△OAB 、△OBC 、△OCA 的面积分别记为S ′1、S ′2、S ′3，△ABC 的面积记为S .类比直角三角形中的射影结论，在直角四面体PABC 中可得到正确结论________(写出一个正确结论即可)．方法提炼1．类比推理的特点：(1)类比推理是由特殊到特殊的推理；(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；(3)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能；(4)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．2．类比推理的步骤：首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而获得一个猜想；最后，检验这个猜想．类比是科学研究最普遍的方法之一．在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段．类比在数学中应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的．请做演练巩固提升2 三、演绎推理【例3】 如图，已知直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，E ，F 分别是棱BC ，B 1C 1上的动点，且EF ∥CC 1，CD ＝DD 1＝1，AB ＝2，BC ＝3.(1)证明：无论点E 怎样运动，四边形EFD 1D 都为矩形； (2)当EC ＝1时，求几何体A EFD 1D 的体积． 方法提炼1．演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式．2．演绎推理的一般模式是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理常用的一种格式，可以用以下公式来表示：如果b ⇒c ，a ⇒b ，则a ⇒c .3．演绎推理是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的．错误的前提可能导致错误的结论．三段论推理也可用集合论的观点来解释：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素也都具有性质P .三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．请做演练巩固提升3把握不准周期性而致误【典例】 (2012陕西高考)观察下列不等式1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个不等式为________________．答案：1＋122＋132＋142＋152＋162＜116答题指导：在解答本题时有两点易造成误解：(1)对于给定的式子，只观察式子结果，而不去继续探究下几项式子，从而找不到规律而误解．(2)在继续探究的情况下，运算错误从而导致周期找不到或找错周期而误解．1．观察下列各式：72＝49,73＝343，74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )． A ．01 B ．43 C ．07 D ．492．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )．A.18B.19C.164 D.1273．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误．．是( )． A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错4．(2012湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第______项； (2)b 2k －1＝______.(用k 表示)5．(2012长沙模拟)有以下命题：设a n 1，a n 2，…，a n m 是公差为d 的等差数列{a n }中任意m 项，若n 1＋n 2＋…＋n m m ＝p ＋r m (p ∈N *，r ∈N 且r ＜m )，则a n 1＋a n 2＋…＋a n mm ＝a p ＋r md ；特别地，当r ＝0时，称a p 为a n 1，a n 2，…，a n m 的等差平均项．(1)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，根据上述命题，则a 1，a 3，a 10，a 18的等差平均项为________．(2)将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中：设a n 1，a n 2，…，a n m 是公比为q的等比数列{a n }中任意m 项，若n 1＋n 2＋…＋n m m ＝p ＋r m(p ∈N *，r ∈N 且r ＜m )，则________；特别地，当r ＝0时，称a p 为a n 1，a n 2，…，a n m 的等比平均项．参考答案基础梳理自测知识梳理1．归纳推理 类比推理 (1)部分对象全部对象 个别事实 一般结论 (2)两类对象 一类对象 另一类对象 特殊 特殊 2．一般性 一般 特殊 基础自测1．A 解析：由图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．2．D 解析：由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9,32－20＝12，则x －32＝15，∴x ＝47. 3．D 解析：由已知的三个求导式可归纳推理得到偶函数的导函数是奇函数，又f (x )是偶函数，所以g(x )是奇函数，故g(－x )＝－g(x )．4．B 解析：只有③正确． 考点探究突破【例1】 解：猜想sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]＝sin2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的．【例2】 S 21＝S 1′S(或S 2＝S 21＋S 22＋S 23)解析：空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体↔多边形，面↔边，体积↔面积，二面角↔平面角，面积↔线段长，…，由此，可类比得S 21＝S 1′S(或S 2＝S 21＋S 22＋S 23)．【例3】 (1)证明：在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，DD 1∥CC 1， ∵EF∥CC 1，∴EF∥DD 1.又∵平面ABCD∥平面A 1B 1C 1D 1， 平面ABCD∩平面EFD 1D ＝ED ， 平面A 1B 1C 1D 1∩平面EFD 1D ＝FD 1，∴ED∥FD 1.∴四边形EFD 1D 为平行四边形． ∵侧棱DD 1⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD ， ∴DD 1⊥DE.∴四边形EFD 1D 为矩形． (2)解：连接AE ，∵四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1为直四棱柱， ∴侧棱DD 1⊥底面ABCD.又AE ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥AE. 在Rt △ABE 中， AB=2，BE=2，则AE=在Rt △CDE 中，EC=1，CD=1，则在直角梯形ABCD 中，=∴AE 2+DE 2=AD 2，即AE ⊥ED. 又∵ED ∩DD 1=D ， ∴AE ⊥平面EFD 1D.由(1)可知，四边形EFD 1D 为矩形，且DD 1=1，∴矩形EFD 1D 的面积为S 矩形EFD 1D =DE ·DD 1∴几何体AEFD 1D 的体积为V AEFD 1D ＝13S 矩形EFD 1D ·AE＝13×2×22＝43.演练巩固提升1．B 解析：(法一)由题意得，72 011＝7502×4＋3＝(74)502·73，由于74＝2 401末位为1，倒数第二位为0，因此2 401502的末两位定为01.又73＝343，∴(74)502·73的末两位定为43.(法二)用归纳法：∵72＝49,73＝343，74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，…，由上知末两位有周期性且T ＝4.又72 011＝7502×4＋3，∴72 011的末两位与73的末两位一样为43.2．D 解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故体积之比为V 1V 2＝127.3．A 解析：y ＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．4．(1)5 030 (2)5k (5k －1)2解析：(1)由题意可得，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n .以上各式相加得，a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(n ＋2)2，故a n ＝n (n ＋1)2.因此，b 1＝a 4＝10，b 2＝a 5＝15，b 3＝a 9＝45，b 4＝a 10＝55，…由此归纳出b 2 012＝a 5 030.(2)b 1＝a 4＝4×52，b 3＝a 9＝9×102，b 5＝a 14＝14×152，….归纳出b 2k －1＝5k (5k －1)2.5．a 8ma n 1·a n 2·…·a n m ＝a p ·r mq解析：(1)∵a 1＋a 3＋a 10＋a 184＝2＋6＋20＋364＝16，∴a 1，a 3，a 10，a 18的等差平均项为a 8.(2)用m a n 1·a n 2·…·a n m 类比a n 1＋a n 2＋…＋a n m m 用a p ·r m q 来类比a p ＋rmd 可得．。
高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、推理与证明 12.1 算法初步课件 理
解：因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法 求解，故选 B.
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类型二 顺序结构
已知直角三角形两直角边长为 a，b，求斜边长 c
的一个算法分下列三步：
①计算 c＝ a2＋b2；
②输入直角三角形两直角边长 a，b 的值；
②统筹法中“烧水泡茶”的故事；
③测量某棵树的高度，判断其是否为大树；
④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该三
角形的面积．
A．1
B．2
C．3
D．4
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解：①中勾画了从济南到巴黎的行程安排， 完成了任务；②中节约时间，烧水泡茶完成了 任务；③中对“树的大小”没有明确的标准， 无法完成任务，不是有效的算法构造；④是纯 数学问题，利用三角形的面积公式求出三角形 的面积．故选 C.
(2)赋值号的左右两边不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋
给赋值号左边的变量．如“A＝B”“B＝A”的含义和运行结果是不同的，如 x
＝5 是对的，5＝x 是错的，A＋B＝C 是错的，C＝A＋B 是对的．
(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)．
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类型三 条件结构
下面的程序框图能判断任意输入的整数 x 是奇数还是偶 数．其中判断框内的条件是( )
A．m＝0?
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B．m＝1?
C．x＝0?
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D．x＝1?
解：由程序框图所体现的算法可知判断一个整 数是奇数还是偶数，看这个数除以 2 的余数是 1 还 是 0.由图可知应该填 m＝1？.故选 B.
高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、推理与证明、复数12.5数学归纳法教学案 理
12.5 数学归纳法考纲要求1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取______时命题成立．(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥k 0，k ∈N *)时命题成立，证明当______时命题也成立． 2．应用数学归纳法时特别注意：(1)数学归纳法证明的对象是与______有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ∈N ，n ≥3)，第一步应验证( )．A ．n ＝1B ．n ＝2C ．n ＝3D ．n ＝42．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋1＝2n ＋2－1(n ∈N *)的过程中，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )．A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋233．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则( )．A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋144．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ＞1)”，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是__________．5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a na n ＋1，则数列的前5项为__________，猜想它的通项公式是__________．一、用数学归纳法证明恒等式【例1】 n ∈N *，求证：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12).方法提炼用数学归纳法证题的关键是第二步由n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把n ＝k ＋1时的表达式拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明．请做演练巩固提升2二、用数学归纳法证明不等式【例2】 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ＝1,2，…)．(1)证明：a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立； (2)令b n ＝a nn(n ＝1,2，…)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由． 方法提炼用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．事实上，在合理运用归纳假设后，可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立．请做演练巩固提升3三、用数学归纳法证明几何问题【例3】 用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数为f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．方法提炼用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．请做演练巩固提升1 四、归纳—猜想—证明【例4】 设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2，3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2. 方法提炼“归纳—猜想—证明的模式”，是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式．请做演练巩固提升5数学归纳法解题步骤要求【典例】 (14分)(2012湖北高考)(1)已知函数f (x )＝rx －x r＋(1－r )(x ＞0)，其中r 为有理数，且0＜r ＜1，求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则1212bba a ≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.规范解答：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(4分)(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r≤rx ＋(1－r )．① 若a 1，a 2中有一个为0，则1212bba a ≤a 1b 1＋a 2b 2成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1, 于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得112b a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)， 即11112b ba a -≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即1212b b a a ≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有1212bba a ≤a 1b 1＋a 2b 2.②(8分)(3)(2)中命题的推广形式为：设a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则1212bba a …n bn a ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③用数学归纳法证明如下：(ⅰ)当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．(10分)(ⅱ)假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则1212bba a …k bk a ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即1－b k ＋1＞0，于是1212b b a a …11k k b b k k a a ++＝(1212b ba a …kb k a )11k b k a ++＝12111111111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aaaa +++++----+….(12分)因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaaa+++---…≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而1212b b a a (1)1k k b bk k a a ++≤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1·11k b k a ++.又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋111k b +-11k b k a ++≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1 ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而1212b b a a (1)1k k b bk k a a ++≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1.故当n ＝k ＋1时，③成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．(14分) 答题指导：解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：1．归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．2．证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．3．不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证． 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．1．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n 个圆将平面分成不同的区域有( )．A ．2n 个B ．2n个C ．n 2－n ＋2个D ．n 2＋n ＋1个2．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )．A ．f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立4．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验的第一个值为n 0＝__________.5．设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1.参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)第一个值n 0(n 0∈N *) (2)n ＝k ＋1 2．(1)正整数 基础自测 1．C 2．C 3．D4．2n－1 解析：当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋1－1＜n ＋1，∴左边增加的项的项数为2n ＋1－1－2n ＝2n ＋1－1－2n ＝2n－1项． 5．12，13，14，15，16 a n ＝1n ＋1考点探究突破【例1】 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．【例2】 (1)证明：当n ＝1时，a 1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＞2k ＋1成立． 那么当n ＝k ＋1时，21k a +＝a k 2＋21k a ＋2＞2k ＋3＋21k a ＞2(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，a k ＋1＞2(k ＋1)＋1成立．综上，a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立．(2)解：∵b n ＋1b n ＝a n ＋1n ＋1a nn＝211n a ⎛⎫+⎪⎝⎭·nn ＋1 ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1·n n ＋1＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1＝2n (n ＋1)2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－14n ＋12＜1.故b n ＋1＜b n .【例3】 证明：(1)∵三角形没有对角线， ∴n ＝3时，f (3)＝0，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥3)时，命题成立，即f (k )＝12k (k －3)，则当n ＝k ＋1时，凸k 边形由原来的k 个顶点变为k ＋1个顶点，对角线条数增加k －1条．∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]．∴当n ＝k ＋1时命题成立，由(1)，(2)可知对任何n ∈N 且n ≥3，命题恒成立． 【例4】 解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 32－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)． (2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立， 即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3， 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2. 根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2. 演练巩固提升1．C 解析：n ＝2时，分成4部分，可排除D ；n ＝3时，分成8部分，可排除A ；n ＝4时，分成14部分，可排除B ，故选C.2．B 解析：n 为正偶数，若n ＝k ，则下一个正偶数为n ＝k ＋2，故选B. 3．D 解析：f (4)≥16，说明当k ＝4时，f (k )≥k 2成立．f (k )≥k 2成立时，f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，说明n ＝k 时f (n )≥n 2成立能推出n ＝k ＋1时，f (n )≥n 2成立，根据数学归纳法可得当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立．4．4 解析：∵凸多边形要有对角线，至少也是四边形，∴n 0＝4. 5．证明：先证必要性． 设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3①两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ， 则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k＝k －1a 1a k，②1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，③将②代入③，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1， 得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k .将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后， 得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a 1＋(n －1)d . 所以{a n }是公差为d 的等差数列．。
高三数学一轮复习 第十二篇 复数、算法、推理与证明 第2节 算法初步(理)
(2)读如图所示的程序框图,则输出的结果是
.
解析:(2)依次执行每步程序得 y=cos π + π = π . 222
答案:(2) π 2
反思归纳 应用顺序结构和条件结构的注意点 (1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上 到下的顺序进行的. (2)条件结构 利用条件结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件不同,对 应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化,故要重点分析判断框 内的条件是否满足.
②程序框图中图形符号的意义
图形符号
名称
终端框 (起止框)
功能
表示一个算法 的 起始 和结束
输入、输 出框
表示一个算法 输入和输出 的信息
处理框 (执行框)
在出口处 标明“是”或“Y”;不成立时标明“否” 或“N”
流程线
连接程序框
连接点 连接程序框图的两部分
知识梳理
1.算法 算法通常是指按照一定 规则 解决某一类问题的 明确和有限 的步骤. 2.程序框图与三种基本逻辑结构 (1)程序框图 ①程序框图的定义:程序框图又称 流程图 ,是一种用程序框、流程线及 文字说明 来表示算法的图形. 通常,程序框图由程序框和流程线组成,一个或几个程序框的组合表示 算法中的一个步骤;流程线带有方向箭头,按照算法进行的顺序将程序 框连接起来.
3.(2015高考天津卷)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为( C ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:第一次执行,i=1,S=10-1=9; 第二次执行,i=2,S=9-2=7; 第三次执行,i=3,S=7-3=4; 第四次执行,i=4,S=4-4=0, 满足条件,则退出循环, 所以输出i的值为4. 故选C.
高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第3讲 数学归纳法及其应用课件 理
①当n＝1时，已证命题成立. ②假设当n＝k时命题成立，即x2k＞x2k＋2，易知xk＞0，那么 x2k＋2－x2k＋4＝1＋1x2k＋1－1＋1x2k＋3＝（1＋x2xk2＋k＋ 1）3－（x21k＋＋1 x2k＋3） ＝（1＋1＋x2k1x＋21k）＋2－（11＋＋1xx22kk＋3） ＝（1＋x2k）（1＋x2k＋x12）k－（x21k＋＋2 x2k＋2）（1＋x2k＋3）＞0， 即 x2(k＋1)＞x2(k＋1)＋2，也就是说，当 n＝k＋1 时命题也成立. 结合①和②知命题成立.
答案 (k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
考点一 用数学归纳法证明等式 【例 1】 用数学归纳法证明：
2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n（21n＋2）＝4（nn＋1）(n∈N*). 证明 (1)当 n＝1 时， 左边＝2×1×（12×1＋2）＝18， 右边＝4（11＋1）＝18，左边＝右边，所以等式成立.
1)(n∈N*).证明 ()当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2， ∴等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1). 当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2) ＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1) ＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1) ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1). 这就是说当n＝k＋1时，等式成立. 根据(1)(2)知，对n∈N*，原等式成立.
猜想 an 的表达式为________. 解析 当 n＝2 时，13＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝3×1 5.当 n＝3 时，13
高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.3 数学归纳法学案 理
§12.3数学归纳法考纲展示►1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．考点1 用数学归纳法证明等式数学归纳法的定义及框图表示(1)定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基．②假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．(2)框图表示：答案：(1)②n＝k＋1[典题1] 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N*)．[证明] (1)当n＝1时，左边＝12×1×2×1＋2＝18，右边＝141＋1＝18， 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋ (12)2k ＋2＝k4k ＋1，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k 2k ＋2＋12k ＋1[2k ＋1＋2]＝k 4k ＋1＋14k ＋1k ＋2＝k k ＋2＋14k ＋1k ＋2＝k ＋124k ＋1k ＋2＝k ＋14k ＋2＝k ＋14k ＋1＋1. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *等式都成立．[点石成金] 用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题 (1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．考点2 用数学归纳法证明不等式[典题2] 用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．[证明] (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12<2－1k＋1k ＋12<2－1k ＋1kk ＋1＝2－1k＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立．由(1)(2)知，原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立． [点石成金] 用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.已知数列{a n }，当n ≥2时，a n <－1，又a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n ，求证：当n ∈N *时，a n＋1<a n .证明：(1)当n ＝1时，∵a 2是a 22＋a 2－1＝0的负根， ∴a 2<a 1.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1<a k ， ∵a 2k ＋1－a 2k ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)，a k ＋1<a k ≤0，∴a 2k ＋1－a 2k >0， 又a k ＋2＋a k ＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴a k ＋2－a k ＋1<0，∴a k ＋2<a k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知，当n ∈N *时，a n ＋1<a n .考点3 观察——归纳——猜想——证明[考情聚焦] 通过近几年的高考试题分析，“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式成为高考命题的热点之一．从考查题型看，数学归纳法常与数列、函数等知识结合在一起考查，常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度，属中高档题．主要有以下几个命题角度： 角度一与数列的通项公式或前n 项和有关的证明[典题3] 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． (1)[解] 当n ＝1时，由已知，得a 1＝a 12＋1a 1－1，则a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a 1>0)．当n ＝2时，由已知，得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0)．同理可得a 3＝7－ 5. 猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)[证明] ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1. 由于a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式， 整理得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， ∴a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1， 即n ＝k ＋1时通项公式成立．由①②可知，对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．[点石成金] “归纳——猜想——证明”的基本步骤是“观察——归纳——猜想——证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．角度二 证明存在性问题[典题4] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． [解] 解法一：(1)a 2＝2，a 3＝2＋1， 再由题设条件知，(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝x －12＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 令c ＝f (c )，即c ＝c －12＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题：a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立， 即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2， 即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1.故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.解法二：(1)a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1. 则a k ＋1＝a k －12＋1＋1＝k －1＋1＋1＝k ＋1－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝x －12＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1，由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立， 所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n < a 22n －2a 2n ＋2－1， 即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2， 因此a 2n <14.③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1> a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1， 解得a 2n ＋1>14.④综上，由②③④知，存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．[点石成金] 利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳——猜想——证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.[方法技巧] 1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．利用归纳假设的技巧在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．[易错防范] 1.数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1.2．推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法．课外拓展阅读 归纳、猜想、证明[典例] [2016·江西九江模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n∈N *)．(1)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明； (2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2n ＋2.[审题视角] (1)将n ＝1,2,3代入已知等式得a 1，a 2，a 3，从而可猜想a n ，并用数学归纳法证明．(2)利用分析法，结合x >0，y >0，x ＋y ＝1，利用基本不等式可证． (1)[解] 分别令n ＝1,2,3，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 21＋12a 1＋a 2＝a 22＋22a 1＋a 2＋a 3＝a 23＋3，∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3. 猜想：a n ＝n . ∵2S n ＝a 2n ＋n ，①当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)．② ①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1.(ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2>0，∴a 2＝2. (ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝2a k ＋1＋a 2k －1＝2a k ＋1＋k 2－1，∴[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0， ∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0， ∴a k ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时也成立．∴a n ＝n (n ≥2)． 显然n ＝1时，也成立， 故对于一切n ∈N *，均有a n ＝n . (2)[证明] 要证nx ＋1＋ny ＋1≤2n ＋2，只要证nx ＋1＋2nx ＋1ny ＋1＋ny ＋1≤2(n ＋2)． 即n (x ＋y )＋2＋2n 2xy ＋nx ＋y ＋1≤2(n ＋2)，将x ＋y ＝1代入，得2n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2， 即只要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2， 即4xy ≤1.∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴xy ≤x ＋y 2＝12，即xy ≤14，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立． [答题模板]第1步：寻找特例a 1，a 2，a 3等． 第2步：猜想a n 的公式．第3步：转换递推公式为a n 与a n －1的关系． 第4步：用数学归纳法证明a n .①验证递推公式中的第一个自然数n ＝2. ②推证a k ＋1的表达式为k ＋1. ③补验n ＝1，说明对于n ∈N *成立． 第5步：分析法证明．[方法点睛] (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳——猜想——证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)为了正确地猜想a n ，首先准确求出a 1，a 2，a 3的值．(3)证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．如本题：∵2S n －1＝a 2n －1＋n －1，∴2(S n －S n －1)＝a 2n －a 2n －1＋1，推导a n 与a n －1的递推关系，再推出a n ，则不是数学归纳法．(4)本题第(2)问中的不等式证明不是关于n 的不等式，由x ＋y ＝1来推证，则不能称为数学归纳法．。
高考数学一轮复习统考 第12章 算法初步、复数、推理与证明 第1讲 算法初步学案(含解析)北师大版-
第十二章算法初步、复数、推理与证明第1讲算法初步基础知识整合1．算法的框图及结构(1)算法算法通常是指按照一定01规则解决某一类问题的02明确和03有限的步骤．(2)程序框图程序框图又称04流程图，是一种用05程序框、06流程线及07文字说明来表示算法的图形．通常，程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；08流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将09程序框连接起来．(3)三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由10若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的11基本结构算法的流程根据12条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件13反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体程序框图步骤n步骤n＋1(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句14INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句15PRINT“提示内容”；表达式输出信息赋值语句16变量＝表达式17将表达式所代表的值赋给变量(2)条件语句的格式及框图①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式(3)循环语句的格式及框图①UNTIL语句DO循环体LOOP UNTIL条件②WHILE语句WHILE 条件循环体WEND1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．1．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析k＝1，s＝1；第一次循环：s＝2，判断k<3，k＝2；第二次循环：s＝2，判断k<3，k＝3；第三次循环：s＝2，判断k＝3，故输出2.故选B.2．下列程序段执行后，变量a，b的值分别为( )a＝15b＝20a＝a＋bb＝a－ba＝a－bPRINT a，bA．20,15 B．35,35C．5,5 D．－5，－5答案 A解析a＝15，b＝20，把a＋b赋给a，因此得出a＝35，再把a－b赋给b，即b＝35－20＝15.再把a－b赋给a，此时a＝35－15＝20，因此最后输出的a，b的值分别为20,15.故选A.3．(2019·武昌调研)执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2,2,5时，输出的S 为17，那么在判断框中可以填入( )A ．k >nB ．k <nC ．k ≥nD ．k ≤n 答案 A解析 第一次输入a ＝2，此时S ＝0×2＋2＝2，k ＝0＋1＝1，不满足k ＝1>n ＝2；第二次输入a ＝2，此时S ＝2×2＋2＝6，k ＝1＋1＝2，不满足k ＝2>n ＝2；第三次输入a ＝5，此时S ＝6×2＋5＝17，k ＝2＋1＝3，满足k ＝3>n ＝2，循环终止，输出的S ＝17.故选A.4．(2019·湖南郴州模拟)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为12时，k 是( )A ．5B ．3C ．4D ．2答案 A解析 模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5，大于4，可得S ＝sin 5π6＝12，输出S 的值为12.故选A.5．(2020·锦州摸底)若如图所示的程序框图输出的S 是30，则在判断框中M 表示的“条件”应该是( )A ．n ≥3B ．n ≥4C ．n ≥5D ．n ≥6 答案 B解析 第一次循环，n ＝1，S ＝2；第二次循环，n ＝2，S ＝6；第三次循环，n ＝3，S ＝14；第四次循环，n ＝4，S ＝30，故选B.6．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为1，则输出n 的值为________．答案 3解析 第一次：x ＝1，x 2－4x ＋3＝0≤0.第二次：x ＝2，n ＝1，x 2－4x ＋3＝－1≤0.第三次：x ＝3，n ＝2，x 2－4x ＋3＝0≤0.第四次：x ＝4，n ＝3，x 2－4x ＋3＝3>0，输出n ，程序结束．核心考向突破考向一 算法的基本结构例 1 (2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s 的值等于( )A ．2－124B ．2－125C ．2－126D ．2－127答案 C 解析＝0.01，x ＝1，s ＝0，s ＝0＋1＝1，x ＝12，x <不成立； s ＝1＋12，x ＝14，x <不成立； s ＝1＋12＋14，x ＝18，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18，x ＝116，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116，x ＝132，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x ＝164，x <不成立；s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x ＝1128，x <成立，此时输出s ＝2－126.故选C.利用循环结构表示算法应注意的问题(1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构． (2)注意准确选择表示累计的变量．(3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．[即时训练] 1.(2019·天津高考)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．29 答案 B解析 i ＝1，S ＝0，i 不是偶数；第一次循环：S ＝1，i ＝2<4；第二次循环：i 是偶数，j ＝1，S ＝5，i ＝3<4；第三次循环：i 不是偶数，S ＝8，i ＝4，满足i ≥4，输出S ，结果为8.故选B.2．(2020·濮阳模拟)执行如图所示的程序框图(其中b ＝c mod 10表示b 等于c 除以10的余数)，则输出的b 为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 D解析a＝2，b＝8，n＝1；c＝16，a＝8，b＝6，n＝2；c＝48，a＝6，b＝8，n＝3；c ＝48，a＝8，b＝8，n＝4；c＝64，a＝8，b＝4，n＝5；c＝32，a＝4，b＝2，n＝6；c＝8，a＝2，b＝8，n＝7，…，易知该程序框图中a，b的值以6为周期重复出现．又因为2019＝6×336＋3，所以当n＝2019时，b＝8.故选D.精准设计考向，多角度探究突破考向二算法的交汇性问题角度1算法与函数的交汇例2 (2019·潍坊模拟)执行右边的程序框图，如果输出的y值为1，则输入的x值为( )A．0B．eC ．0或eD ．0或1 答案 C解析 程序对应的函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，2－ln x ，x >0.若x ≤0，由y ＝1，得e x＝1，得x ＝0，满足条件；若x ＞0，由y ＝2－ln x ＝1，得ln x ＝1，即x ＝e ，满足条件．综上，输入的x 值为0或e ，故选C.角度2 算法与数列的交汇例3 (2020·西宁模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出的S 的值是( )A.910B.1011C.1112D.922答案 B解析 模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝11×2＋12×3＋…＋110×11的值， 可得S ＝11×2＋12×3＋…＋110×11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1－111＝1011.故选B.角度3算法与统计的交汇例4 (2019·九江联考)图1是随机抽取的15户居民月均用水量(单位：吨)的茎叶图，月均用水量依次记为A1，A2，…，A15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，则输出的n的值为________．答案7解析由程序框图，知算法的功能是计算15户居民中月均用水量大于2.1的户数，由茎叶图得，在这15户居民中，月均用水量大于2.1的户数为7，故输出的n的值为7.解决算法的交汇性问题的方法循环结构的程序框图与数列、不等式、统计等知识综合是高考命题的一个热点，解决此类问题时应把握三点：一是初始值，即计数变量与累加变量的初始值；二是两个语句，即循环结构中关于计数变量与累加变量的赋值语句；三是一个条件，即循环结束的条件，注意条件与流程线的对应关系．[即时训练] 3.(2020·宁夏银川模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4,5]D ．[－3,6]答案 D解析 当0≤t ≤2时，S ＝t －3∈[－3，－1]．当－2≤t ＜0时,2t 2＋1∈(1,9]，则S ∈(－2,6]．综上，当－2≤t ≤2时，S ∈[－3,6]，故选D.4．(2019·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内的(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i >100，n ＝n ＋1B ．i <34，n ＝n ＋3C ．i >34，n ＝n ＋3D ．i ≥34，n ＝n ＋3 答案 C解析 算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中的(2)处应为n ＝n ＋3，令1＋(i －1)×3＝100，解得i ＝34，所以终止程序运行的i 值为35，所以判断框内的(1)处应为i >34，故选C.5．在2018～2019赛季NBA 季后赛中，当一个球队进行完7场比赛被淘汰后，某个篮球爱好者对该队的7场比赛得分情况进行统计，如下表：场次i 1 2 3 4 5 6 7 得分x i100104981059796100为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算σ的算法流程图如图所示(其中x －是这7场比赛的平均得分)，求输出的σ的值．解 由题意，知x －＝17×(100＋104＋98＋105＋97＋96＋100)＝100，由算法流程图可知s ＝(100－100)2＋(104－100)2＋(98－100)2＋(105－100)2＋(97－100)2＋(96－100)2＋(100－100)2＝70.故σ＝s7＝10. 考向三 基本算法语句例5 (1)(2019·福州质检)下列程序语句的算法功能是( )INPUT a ，b ，c IF a<b THEN a ＝b END IFIF a<c THEN a ＝c END IF PRINT a ENDA ．输出a ，b ，c 三个数中的最大数B ．输出a ，b ，c 三个数中的最小数C ．将a ，b ，c 从小到大排列D ．将a ，b ，c 从大到小排列答案 A解析由程序语句可知，当比较a，b的大小后，选择较大的数赋给a；当比较a，c的大小后，选择较大的数赋给a，最后输出a，所以此程序的作用是输出a，b，c三个数中的最大数．故选A.(2)运行下面的程序，执行后输出的s的值是( )A．11 B．15C．17 D．19答案 B解析当i＝3时，s＝7，当i＝5时，s＝11，当i＝7时，s＝15，此时不满足“i<6”，所以输出s＝15，故选B.基本算法语句应用中需注意的问题(1)赋值号“＝”的左、右两边不能对调，A＝B和B＝A的含义及运行结果是不同的．(2)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)，在赋值语句中的赋值号右边的表达式中每一个“变量”都必须事先赋给确定的值．(3)赋值号与数学中的等号意义不同，比如在数学中式子N＝N＋1一般是错误的，但在赋值语句中它的作用是将原有的N的值加上1再赋给变量N，这样原来的值被“冲”掉．[即时训练] 6.阅读下面的程序：如果上述程序输入的值是51，则运行结果是( )A ．51B ．15C ．105D ．501答案 B解析 因为51÷10＝5……1，所以a ＝5，b ＝1，x ＝10×1＋5＝15.故选B .7．(2019·龙岩质检)如图所示的程序，若最终输出的结果为6364，则在程序中“____？____”处应填入的语句为( )S ＝0n ＝2i=1DOS ＝S ＋1/nn ＝2*n i ＝i+1LOOP UNTIL ? PRINT S ENDA ．i>＝8B ．i>＝7C ．i<7D ．i<8答案 B解析 S ＝0，n ＝2，i ＝1，执行S ＝12，n ＝4，i ＝2；S ＝12＋14＝34，n ＝8，i ＝3；S ＝34＋18＝78，n ＝16，i ＝4；S ＝78＋116＝1516，n ＝32，i ＝5；S ＝1516＋132＝3132，n ＝64，i ＝6；S ＝3132＋164＝6364，n ＝128，i ＝7.此时满足题目条件输出的S ＝6364，∴“？”处应填上i>＝7.故选B.(2019·沈阳模拟)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为( )A．120 B．84C．56 D．28答案 B解析初始值i＝0，n＝0，S＝0，第一次循环，i＝1，n＝1，S＝1；第二次循环，i＝2，n＝3，S＝4；第三次循环，i＝3，n＝6，S＝10；第四次循环，i＝4，n＝10，S＝20；第五次循环，i＝5，n＝15，S＝35；第六次循环，i＝6，n＝21，S＝56；第七次循环，i＝7，n＝28，S＝84，此时退出循环，输出S＝84，故选B.答题启示求解循环结构的程序框图题的“三注意”(1)注意是当型循环结构，还是直到型循环结构；(2)注意选择准确的表示累计的变量；(3)注意在哪一步开始循环，及执行循环体的条件．对点训练“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b”表示a 除以b的余数)，若输入的a，b分别为675,125，则输出的a＝( )A．0 B．25C．50 D．75答案 B解析初始值：a＝675，b＝125，第一次循环：c＝50，a＝125，b＝50；第二次循环：c＝25，a＝50，b＝25；第三次循环：c＝0，a＝25，b＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a的值为25，故选B.。
高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.4 复数 文
题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算
例2 (1)(2015·湖北改编)i为虚数单位，i607的共轭复数为____i ____. 解析 方法一 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共轭复数为i. 方法二 i607＝i6i08＝i4×i152＝1i ＝－i，其共轭复数为 i.
解析答案
满足条件(a，b为实数)
b＝0
a＋bi为实数b≠⇔0
复数的分 类
a＋bi为虚a＝数0⇔ 且b≠0
答案
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d (a，b，c，d∈R). (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a＝c，b＝－d (a，b，c，d∈R). (5)模：向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |a＋bi|或 |z|，即|z|＝|a ＋bi|＝ a2＋b2 (a，b∈R). 2.复数的几何意义 复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b) 及平面向量O→Z＝(a，b)(a，b∈R) 是一一对应法则.
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是 复数对应的向量的模.( √ )
解析答案
(2)已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若zz12为纯虚数，则复数zz12的 虚部为____1____.
解析
由zz12＝21＋ －a2ii＝2＋a
i1＋2i 2－2a 4＋a
高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复
12.2 基本算法语句考纲要求理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．1．输入语句(1)输入语句的一般格式：______________________.(2)注意事项：“提示内容”与变量之间用“；”隔开，“提示内容”之间用“，”隔开，各变量之间也用“，”隔开，最后一个变量的后面不能加标点符号．2．输出语句(1)输出语句的一般格式：______________________.(2)输出语句中的“提示内容”与表达式之间必须用“；”隔开，“提示内容”之间用“，”隔开，各变量之间也用“，”隔开，最后一个表达式的后面不能加标点符号．输出语句可以输出常量、变量的值以及系统信息．3．赋值语句(1)赋值语句的一般格式：____________.(2)在研究问题的过程中可以取不同数值的量称为______，把一个值a赋给变量b的过程称为______，“____”为赋值符号．注意事项：赋值号“＝”左边只能是变量名，右边是表达式，左右边不能交换；每一个赋值语句只能出现一次“＝”，即只能给一个变量赋值．赋值号“＝”的理解：把右边的数值赋给左边的变量或计算右边表达式的值并把计算结果赋给左边的变量．4．条件语句(1)IF—THEN—ELSE语句的一般格式：(2)IF—THEN语句的一般格式：5．循环语句(1)UNTIL语句的一般格式：(2)WHILE语句的一般格式：1．执行PRINT “2＋2 008＝”；2＋2 008的输出结果是( )．A．2 010 B．2＋2 008＝2＋2 008C．2＋2 008＝2 010 D．2 010＝2 0102．下列语句是正确的赋值语句的是( )．A．5＝x B．x＋y＝3C．x＝y＝－2 D．y＝y*y3．(2012沈阳模拟)如图程序输出的结果是( )．A．3,4 B．4,4C．3,3 D．4,34．当a＝1，b＝3时，执行完下面一段过程后x的值是__________．一、输入、输出和赋值语句【例1】写出下列语句的输出结果：(1)(2)方法提炼1．输入、输出、赋值语句是任何一个算法中必不可少的语句．一个输出语句可以输出多个表达式的值．在赋值语句中，变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换．2．一个赋值语句只给一个变量赋值，但一个语句行可以写多个赋值语句．3．不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、分解因式、解方程等)．4．编写程序的关键在于搞清问题的算法，特别是算法的结构，然后确定采取哪一种算法语句．5．编写程序时，要注意常见运算符号的书写方式如a^b(a b)；a*b(a×b)；a/b(ab )；SQR(x)(x)；ABS(x)(|x|)；a\b(a除以b的整数商，如5\2＝2)；a MOD b(a除以b的余数，如5 MOD 2＝1)等，还要明确它们的运算规则：先乘除，后加减；乘幂优于乘除；函数优于乘幂；同级运算从左向右按顺序进行；括号内最优先，多层括号则从内到外依次进行〔注意表达式中的括号一律用小括号“( )”〕请做演练巩固提升2二、条件循环语句【例2】(2012东北三校模拟)下面程序运行的结果为( )．A．4 B．5 C．6 D．7方法提炼1．在用WHILE语句和UNTIL语句编写程序解决问题时，一定要注意它们的格式及条件的表述方法．WHI LE语句中是当条件满足时执行循环体，而UNTIL语句中是当条件不满足时执行循环体．2．在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和、累乘求积等问题时，应考虑利用循环语句来实现．3．在循环语句中，也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时要注意嵌套这些语句应保证语句的完整性，否则就会造成程序无法执行．请做演练巩固提升1不理解算法语句的功能及格式易致误【典例】(2012湖南衡阳模拟)下面程序运行后输出的结果为( )．A．0 B．1 C．2 D．4解析：当j＝1时，余数a＝1；当j＝2时，余数a＝3；当j＝3时，余数a＝1；当j＝4时，余数a＝0；当j＝5时，余数a＝0；当j＝6时，不满足条件，此时退出循环．答案：A答题指导：1．在解答本题时，易错选D而导致错误，错误原因是：对循环过程不理解，误认为j＝1时，余数a＝0，即j＝1时，没有执行第一次循环．其错误过程如下：当j＝1时，余数a＝0；当j＝2时，余数a＝2；当j＝3时，余数a＝0；当j＝4时，余数a＝4；当j＝5时，余数a＝4.2．解决算法语句的有关问题时，还有以下几点易造成失误，备考时要高度关注：(1)对基本算法语句的功能及格式要求不熟悉．(2)条件语句中的嵌套结构混乱，不能用分段函数的形式直观描述．(3)对循环结构的循环过程把握不准．1．下面程序运行的结果为( )．A．4 B．5 C．6 D．72．(2012黑龙江大庆模拟)以上表示的函数表达式是__________．3．运行如图所示的程序，输出的结果是__________．4．完成下列程序，输入x的值，求函数y＝|8－2x2|的值．①__________，②__________.参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)INPUT “提示内容”；变量 2．(1)PRINT “提示内容”；表达式 3．(1)变量＝表达式 (2)变量 赋值 ＝ 基础自测1．C 解析：这是一个计算2＋2 008的值的简单程序，输出的结果是2＋2 008＝2 010. 2．D 解析：赋值语句中“＝”的左右两边不能互换，不能给常量赋值，左边必须是变量，右边是表达式，故A ，B 错．C 错，一个赋值语句只能给一个变量赋值．D 正确，该语句的功能是将当前的y 平方后赋给变量y .3．B 解析：程序主要为赋值．a ＝b ，则a ＝4，b ＝a ＝4.4．4 解析：x ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，a <b ，a －b ，a ≥b .∵a ＝1，b ＝3，满足a ＜b ， ∴x ＝1＋3＝4. 考点探究突破【例1】解：(1)∵a ＝5，b ＝3，∴c ＝a ＋b 2＝4，d ＝c 2＝16，即输出d ＝16.(2)∵a ＝1，b ＝2，∴c ＝1＋2＝3，b ＝1＋3－2＝2，故输出a ＝1，b ＝2，c ＝3.【例2】C 解析：第一次执行后，S ＝100－10＝90，n ＝10－1＝9；第二次执行后，S ＝90－9＝81，n ＝9－1＝8；第三次执行后，S ＝81－8＝73，n ＝8－1＝7；第四次执行后，S ＝73－7＝66，n ＝7－1＝6.此时S ＝66≤70，结束循环，输出n ＝6.演练巩固提升1．C 解析：该程序依次运行的结果为S ＝90，n ＝9； S ＝81，n ＝8；S ＝73，n ＝7；S ＝66，n ＝6. 此时程序结束，故输出n 的值为6.2．y ＝⎩⎨⎧2x －3，x ≤2x ，x >2解析：当x ≤2时，y ＝2x －3；当x ＞2时，y ＝x .3．3 解析：a ＝1，b ＝2， a ＝a ＋b ＝1＋2＝3. ∴输出的结果为3.4．①x＞＝－2 AND x ＜＝2 THEN ②y＝8－2*x^2。
高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、推理与证明、复数12.6数系的扩充与复数的引入教学案 理
12.6 数系的扩充与复数的引入考纲要求1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法及其几何意义．3．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．数系扩充的脉络是：________→________→______，用集合符号表示为____⊆____⊆ ____，实际上前者是后者的真子集．2．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的____和____．若______，则a＋b i为实数；若______，则a＋b i为虚数；若__________，则a＋b i为纯虚数．(2)复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔__________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔__________(a，b，c，d ∈R)．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示______；除原点外，虚轴上的点都表示__________；各象限内的点都表示非纯虚数．复数集C 和复平面内__________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以______为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(5)复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋b i的模，记作______或__________，其中|z|＝|a＋b i|＝____________.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝____________；②减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝____________；③乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝____________；④除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝a＋b i c－d ic＋d i c－d i＝______________(c＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝____________.1．下列命题中，正确命题的个数是( )．①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.A ．0B ．1C ．2D ．32．(2012安徽高考)复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( )．A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋3iD ．1－2i3．(2012课标全国高考)复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( )． A ．2＋i B ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i4．(2012上海高考)若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx＋c ＝0的一个复数根，则( )．A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝2，c ＝－1C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝－2，c ＝35．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝( )． A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i一、复数的分类【例1】 已知m ∈R ，复数z ＝m m －2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限；(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．方法提炼1．判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证含参数的式子有意义，忽略这一要求会酿成根本性的错误；其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键．因此，解答后进行验算是很有必要的．2．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数z 看成一个整体，又要从实部与虚部的角度将其分解成两部分去认识它，这是解复数问题的重要思路之一．请做演练巩固提升1二、复数的代数运算【例2－1】 (2012浙江高考)已知i 是虚数单位，则3＋i 1－i＝( )．A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i【例2－2】 (2012山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )．A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i方法提炼1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i ；(4)a ＋b i i＝b －a i ；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．请做演练巩固提升2,3三、复数的几何意义【例3】 (2012北京高考)在复平面内，复数10i 3＋i对应的点的坐标为( )．A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)方法提炼复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上．若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限．此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．如：若复数z 的对应点在直线x ＝1上，则z ＝1＋b i(b ∈R )；若复数z 的对应点在直线y ＝x 上，则z ＝a ＋a i(a ∈R )，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用．请做演练巩固提升4易因复数概念不清而致误【典例】 (2012陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由a ＋bi为纯虚数可知a ＝0，b ≠0，所以ab ＝0.而ab ＝0a ＝0，且b ≠0.故选B.答案：B答题指导：1.掌握好复数的有关概念、复数运算的有关规则是解答复数题目的关键．2．对于复数与其他部分知识的综合题，只要明确复数在其中的作用即可． 1．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝2＋b i ，若z 2z 1为实数，则实数b ＝( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．22．(2012济南调研)设a 是实数，且a 1＋i ＋1－i 2是实数，则a ＝( )．A ．12B ．－1C ．1D ．2 3．(2012天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i 4－i＝( )． A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．－1－i4．复数z ＝2－i 2＋i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．(2012上海高考)计算：3－i 1＋i＝________(i 为虚数单位)．参考答案基础梳理自测知识梳理1．自然数集 有理数集 实数集 N Q R2．(1)实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 (2)a ＝c ，b ＝d (3)a ＝c ，b ＝－d (4)x 轴 y 轴 实数 纯虚数 所有的点原点O (5)|z | |a ＋b i| a 2＋b 23．(1)①(a ＋c )＋(b ＋d )i ②(a －c )＋(b －d )i ③(ac －bd )＋(ad ＋bc )i④ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (2)z 2＋z 1 z 1＋(z 2＋z 3) 基础自测1．A 解析：①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，∴③是假命题．2．B 解析：由题意可得，z －i ＝2＋i i ＝(2＋i)i i 2＝1－2i ， 所以z ＝1－i.3．D 解析：z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝－5＋5i 5＝－1＋i ，故z 的共轭复数为－1－i.4．D 解析：由x 1＝1＋2i ，知x 2＝1－2i.则x 1＋x 2＝2＝－b ，即b ＝－2；x 1x 2＝(1＋2i)(1－2i)＝1－2i 2＝3＝c .5．A 解析：1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝1i ＋1i 2·i ＋1i 4·i ＋1i 4·i 2·i ＝1i－1i ＋1i －1i＝0. 考点探究突破【例1】 解：(1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .(2)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0或m ＝2.∴当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．(3)当z 对应的点位于复平面的第二象限时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －2)m －1<0，m 2＋2m －3>0，解得m ＜－3或1＜m ＜2.故当m ＜－3或1＜m ＜2时，z 对应的点位于复平面的第二象限．(4)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时，则有m (m －2)m －1＋(m 2＋2m －3)＋3＝0，得m (m 2＋2m －4)m －1＝0，解得m ＝0或m ＝－1± 5. ∴当m ＝0或m ＝－1±5时，z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．【例2－1】 D 解析：∵3＋i 1－i ＝(3＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝3＋3i ＋i ＋i 22＝1＋2i ， ∴选D.【例2－2】 A 解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z (2－i)＝(a ＋b i)(2－i)＝(2a ＋b )＋(2b －a )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝11，2b －a ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝5，所以z ＝3＋5i ，故选A.【例3】 A 解析：∵10i 3＋i ＝10i(3－i)(3＋i)(3－i)＝10＋30i 10＝1＋3i ， ∴10i 3＋i对应的点的坐标为(1,3)．演练巩固提升1．D 解析：z2z1＝2＋b i1＋i＝(2＋b i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝(2＋b)＋(b－2)i2∈R，∴b＝2.2．B解析：由a1＋i＋1－i2＝a(1－i)＋1－i2＝(a＋1)－i(a＋1)2是实数得，a＋1＝0，故a＝－1.3．C 解析：5＋3i4－i＝(5＋3i)(4＋i)(4－i)(4＋i)＝20＋5i＋12i＋3i216－i2＝17＋17i17＝1＋i.4．D 解析：因z＝2－i2＋i＝(2－i)(2－i)5＝35－45i，故其在复平面内对应的点在第四象限．5．1－2i 解析：3－i1＋i＝(3－i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝2－4i2＝1－2i.。
(通用版)19版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第三节 算法与程序框图、复数实用 理
时，
S 的值为 1.所以输出的 S 的最大值为 2.
答案：C
2.[考点二·考法二](2018·福州五校联
考)执行如图所示的程序框图，若输
出的结果为 170，则判断框内的条件
可以为
()
A．i>5
B．i≥7
C．i>9
D．i≥9
第 2 题图
解析： S＝0＋2＝2，i＝1＋2＝3，不满足条件，执行循环体； S＝2＋23＝10，i＝3＋2＝5，不满足条件，执行循环体； S＝10＋25＝42，i＝5＋2＝7，不满足条件，执行循环体； S＝42＋27＝170，i＝7＋2＝9，满足条件，退出循环体． 故判断框内的条件可以为“i≥9？”，故选 D. 答案：D
(2)当输入的 x 为 4.7 时，执行程序框图可知，4.7>3，4.7－[4.7] ＝0.7，即 4.7－[4.7]不等于 0，因而可得 y＝7＋([4.7－3]＋1)×1.6 ＝10.2，即输出的 y 值为 10.2，故选 C.
[答案] (1)C (2)C
[方法技巧]
顺序结构和条件结构的运算方法 (1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、 框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题， 只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可． (2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功 能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断． (3)对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都 只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．
(2)经第一次循环得到的结果是Sn＝ ＝124， ， i＝2；
经第二次循环得到的结果是nS＝ ＝612， ＋14， i＝3；
经第三次循环得到的结果是nS＝ ＝812， ＋14＋16， i＝4.