16.新人教版九年级数学上册22.1二次函数的图象和性质(第6课时)

故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a
－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由
图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则
(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a
＋c)2＜b2，故④正确．
2
y
先利用图形的对称性列表
10
然后描点画图，
得到图象如右图.
5
O
5
10 x
问题5 结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出 2
其性质.
y
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；10
当x>6时，y随x的增大而增大.
5
O
5
10 x
典例精析
例1
画出函数
y 1 x2 x 5
2
2
的图象，并说明这个
当x＜1时，函数值y随x 的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大 值，最大值y=-2.
练一练
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解： y 2x2 8x 7
2(x2 4x) 7
2(x2 4x 4) 8 7
2(x 2)2 1.
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
提示:配方后的 表达式通常称为 配方式或顶点式.
问题2 你能说出y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗？ 2
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题3 二次函数y 1 (x 6)2 3 可以看作是由 y 1 x2
第二十二章
二次函数
22.1二次函数的图象 和性质 第6课时
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成
顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点 坐标、对称轴.（重点）
导入新课
复习引入
y=a(x-h)2+k 开口方向 顶点坐标 对称轴
2a
随x的增大而增大；当
x> b 时，y随x的增大
2a
而减小.
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值
随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称
轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
…… …… ……
余
飞
恰惆壶红拾夜飘忆，酒世
生 茫 茫 。
只 叹 伊 人 已 去 ，
雪 ， 茫 然 又 一 岁
举 杯 独 醉 ， 饮 罢
如 流 年 负 了 青 春
怅 泪 溶 了 雪 ，
月 光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮 一
弹 指 雪 花 ？ 谁 痴
讲授新课 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这 些知识来讨论 y 1 x2 6x 21 的图象和性质？
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 2
化成y=a(x-h)2+k的形式？
配方可得 y 1 x2 6x 21 2
2
2
怎样平移得到的？
答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4 如何画二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象？
2
x
… 3 4 5 6 7 8 9…
y 1 (x 6)2 3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
…… ……
……
去又醉年
月红谁，粟醉？华
， 余 生 茫 茫 。
一 岁 只 叹 伊
， 饮 罢 飞 雪 ，
负 了 青 春 举
泪 溶 了 雪 ， 恰
光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮
拾 弹 指 雪 花 ？
今 夜 无 月 亦 无
纷 纷 飘 香 。 雪
一 回 。 忆 苍 茫
前 尘 旧 梦 ， 不
， 怎 敌 我 浊 酒
2a
4a
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
( b , 4ac b2 ). 2a 4a
对称轴是：直线 x b . 2a
y x b
2a
y x b
2a
O
x
(1)
如果a>0,当x< b 时，y
2a
随x的增大而减小；当
x> b 时，y随x的增大
2a
而增大.
O
x
(2)
如果a<0,当x< b 时，y
无 月 亦 无 殇 。 谁
香 。 雪 入 窗 ， 今
苍 茫 ， 罂 粟 纷 纷
不 若 笑 醉 一 回 。
一 杯 ？ 前 尘 旧 梦
繁 华 ， 怎 敌 我 浊
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
开离留去不念倾一为夜 古
始，不别成，了丝何静 去，终下离双道天纠泪谧 ；陌是相相，是涯缠悄，
路缠思思抹相的，落佳
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0 开口_向__上____
a＜0 开口_向__下____
b=0 对称轴为__y___轴
a、b同号 对称轴在y轴的__左__侧 a、b异号 对称轴在y轴的__右__侧
c=0 c＞0 c＜0
经过原点
正
与y轴交于_____半轴
负
与y轴交于_____半轴
韵 风 味
离绵别，不思思谁，人
x 开口向上，a＞0
对x称 轴b在2 ＞y轴0 右侧，2xa＞2 0
x b3 y
2a3
x=0时，
y=c.
O
对x=称x0轴 2是ba11y=轴0 ，
x b4 2a4
a3_＜__ 0 b3_＝__ 0
c3_＞__ 0
a4_＜__ 0 b4_＞__ 0 c4_＜__ 0
x
开口向下，a＜0
对右x称侧 轴，2b在xa2＞2 ＞y轴00
若（-3，y1）,（
3 2
，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正
确的是（ B ）
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O 2x x=-1
4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐 标：
(1) y 2x2 12x 13; 直线x=3 3, 5
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8 8, 1
的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应
在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴x
2
b (1)
b
，
即b≤1，故选择D .
填一填
y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5
顶点坐标 (1,3) (0,-1)
( 1 ,-6) 3
对称轴
x=1 y轴
当堂练习
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1 -1
1
则该二次函数图象的对称轴为( D )
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x=
5 2
D.直线x= 3
2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
y
的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
增 减 性 极值
a>0 向上
(h ,k) x=h
a<0 向下 (h ,k) x=h
当x<h时，y随着x的增 当x<h时,y随着x的增大 大而减小；当x>h时， 而增大；当x>h时， y随着x的增大而增大. y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6
顶点坐标 对称轴
(0,0) (0,-5) (-2,0) (-2,-4) (4,3)
? ?
y轴 y轴 直线x=-2 直线x=-2 直线x=4
? ?
最值 0 -5 0 -4 3 ? ?
y=k3x+b3
y=k2x+b2
问题2 二次函数 y ax2 bx c 的图象如下图所示，
请根据二次函数的性质填空：
x b1
2a1 y x=0时，y=c.
x b2 2a2
a1 _＞__ 0 b1_＞__ 0 c1_＞__ 0
a2_＞__ 0 b2_＜__ 0 c2_＝__ 0
O 对左x称侧轴， 2x在ba1＜1y＜轴00
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
x
（4）当y=–2时，x的值只能取0； –1 O
3
其中正确的是 （2） .
–2
直线x=1
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称
轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a x
b
2
b2
c
2a 4a
归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化
成y=a(x-h)2+k的形式，即
y ax2 bx c a(x b )2 4ac b2 .
1 (x2 12x 42) 2
1 (x2 12x 62 62 42) 2
1 [(x2 12x 62 ) 62 42] 2
1 [(x 6)2 6] 2
想一想：配方的方法及步
1 (x 6)2 3. 骤是什么？ 2
y 1 x2 6x 21 你知道是怎样配方的吗？
2
(1)“提”：提出二次项系数；
对称轴： x b 2a
XXX X
X X
古 X
X 设
风 计
P P T 模 版
，陌 长芦 门殇 清， 宫半
古 韵 一
问胜 卿逝 ，一 忆江 解秋
古 韵 二
千三丝 落千三 何落千 处满落 ？地腰
古 韵 三
人是
难水
，间
不残
寒
烦，
唤花
，
丝风
，香
莫
三尘
人茫杯如惆一谁殇入，若一世
已然独流怅壶痴。窗罂笑杯繁
直线x=
1 3
最值 最大值1 最大值-1
最小值-6
二次函数字母系数与图象的关系
合作探究
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据
一次函数图象的性质填空：
y
y
k1 _＞__ 0
k3 _＜__ 0
k2 _＜__ 0
b1 _＞__ 0
b3 _＞__ 0
b2 _＜__ 0
O
x
O
x
y=k1x+b1
函数具有哪些性质.
解:
函数y
1 2
x2
x
5 2
通过配方可得
y
1 2
(x
1)2
2
，
先列表：
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 ···
然后描点、连线，得到图象如下图.
y -4 -2
0 -2 -4 -6 -8
24
由图象可知，这个函数 x 具有如下性质：
(3)
y
2
x
1 2
xBiblioteka Baidu
2
;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
(4) y x 12 x.
直线x= 0.5
1 2
,
9 4
课堂小结
配方法
y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式)
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
(顶点式)
公式法
顶点： ( b , 4ac b2 ) 2a 4a
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直 线x=2，顶点坐标为(2,-1).
将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0) 化成顶点式y=a(x-h)2+k？
y=ax²+bx+c
ax2
b
x
b
2
b
2
c
a 2a 2a
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中
正确的个数是
( D)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧
可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，