五年级：带余除法
五年级奥数题：带余数除法
带余数除法作业一、填空题1．除107后，余数为2的两位数有_____.2. 27 ( )=( )……3.上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法.3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____.4. 一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____.5. 222……22除以13所得的余数是_____.2000个6. 小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次.7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数.8. 有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.9. 在1,2,3,……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数.10. 用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____.二、解答题11．桌面上原有硬纸片5张。
从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放回；……是否可能在某次放回后，桌上的纸片数刚好是1991？12. 一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到一个商是a(见短除式<1>)；又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是a的2倍(见短除式<2>).求这个自然数.8 所求自然数……余18 第一次商……余18 第二次商……余7a短除式<1>17 所求自然数……余417 第一次商……余152 a短除式<2>13．某班有41名同学，每人手中有10元到50元钱各不相同.他们到书店买书,已知简装书3元一本,精装书4元一本,要求每人都要把自己手中的钱全部用完,并且尽可能多买几本书,那么最后全班一共买了多少本精装书?14. 某校开运动会,打算发给1991位学生每人一瓶汽水,由于商店规定每7个空瓶可换一瓶汽水,所以不必买1991瓶汽水,但是最少要买多少瓶汽水?———————————————答案——————————————————————答案:1. 15,21,35从107里减去余数2,得107-2=105,所以105是除数与商数相乘之积,将105分解质因数得105=3⨯5⨯7,可知这样的两位数有15,21,35.2. 5根据带余数除法中各部分之间的关系可知，商⨯除数=27-3=24.这样可通过分解质因数解答.因为24=2⨯2⨯2⨯3=23⨯3,所以(商,除数)= (1,24),(2,12),(3,8),(4,6), (6,4), (8,3), (12,2),(24,1)又由余数比除数小可知,除数有24,12,8,6,4五种填法.所以原式中括号内的数共有5种填法.3. 51由17与19互质可知,8□98能被(17⨯19=)323整除.因为8098÷323=25…23，根据商数与余数符合题意的四位数应是323的26倍，所以这个四位数是8398.将8398分解质因数.8398=323⨯26=2⨯13⨯17⨯19所以,这个四位数的所有质因数之和是2+13+17+19=51.4. 2设这串数为a1,a2,a3,…，a1992，…，依题意知a1=1a2=1+1a3=1+1+2a4=1+1+2+3a5=1+1+2+3+4……a1992=1+1+2+3+…+1991=1+996⨯1991因为996÷5=199…1，1991÷5=398…1，所以996⨯1991的积除以5余数为1，1+996⨯1991除以5的余数是2.因此,这串数左起第1992个数除以5的余数是2.5. 9因为222222=2⨯111111=2⨯111⨯1001=2⨯111⨯7⨯11⨯13所以222222能被13整除.又因为2000=6⨯333+2222…2=222…200+222000个 199822÷13=1 (9)所以要求的余数是9.6. 52设小明应扔n 次,根据高斯求和可求出所扔石子总数为1+2+3+…+n =n 21⨯(n +1) 依题意知, n 21⨯(n +1)能被106整除,因此可设 n 21⨯(n +1)=106a 即n ⨯(n +1)=212a 又212a =2⨯2⨯53a ,根据n 与n +1为两个相邻的自然数,可知2⨯2⨯a =52(或54).当2⨯2⨯a =52时,a =13.当2⨯2⨯a =54时,a =1321,a 不是整数,不符合题意舍去. 因此, n ⨯(n +1)=52⨯53=52⨯(52+1),n =52,所以小明扔52次.7. 76假设十万位和万位上填入两位数为x ,末两位上填入的数为y ,(十位上允许是0),那么这个七位数可以分成三个部分3007200+10000x +y ,3007200除以101的余数是26, 10000x 除以101的余数为x ,那么当x +y +26的和是101的倍数时,这个七位数也是101的倍数.如:当y =1时, x =74；当y =2时，x =73，……，而当y =76时，x =100，而990≤≤x ，x 不可能是100，所以y 也不可能是76.由此可知末两位数字是76时,这个七位数不管十万位上和万位上的数字是几,都不是101的倍数.8. 1设这个自然数为m ,且m 去除63,90,130所得的余数分别为a ,b ,c ,则63-a ,90-b ,130-c 都是m 的倍数.于是(63-a )+(90-b )+(130-c )=283-(a +b +c )=283-25=258也是m 的倍数.又因为258=2⨯3⨯43.则m 可能是2或3或6或43(显然1≠m ,86,129,258),但是a +b +c =25,故a ,b ,c 中至少有一个要大于8(否则,a ,b ,c 都不大于8,就推出a +b +c 不大于24,这与a +b +c =25矛盾).根据除数m 必须大于余数,可以确定m =43.从而a =20,b =4,c =1.显然,1是三个余数中最小的.9. 15我们把1到30共30个自然数根据除以7所得余数不同情况分为七组.例如,除以7余1的有1,8,15,22,29这五个数,除以7余2的有2,9,16,23,30五个数,除以7余3的有3,10,17,24四个数,…要使取出的数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数，那么能被7整除的数只能取1个，取了除以7余1的数，就不能再取除以7余6的数；取了除以7余2的数，就不能再取除以7余5的数；取了除以7余3的数，就不能再取除以7余4的数.为了使取出的个数最多,我们把除以7分别余1、余2、余3的数全部取出来连同1个能被7整除的数，共有5+5+4+1=15（个）所以，最多能取出15个数.10. 347根据使组成的符合条件的三位数,其最大三位数尽可能小的条件,可知它们百位上的数字应分别选用3,2,1；个位上的数字应分别选用7，8，9.又根据最小的三位数是3的倍数,考虑在1○9中应填5,得159.则在3○7,2○8中被3除余2,余1,选用4,6分别填入圆圈中得347,268均符合条件.这样,最大三位数是347,次大三位数是268,最小三位数是159.11. 每次放回后,桌面上的纸片数都增加6的倍数,总数一定是6的倍数加5.而1991=6⨯331+5,所以是可能的.12. 解法一由(1)式得:8与a相乘的积加上余数7,为第二次商,即8a+7为第二次商,同样地,第二次商与8相乘的积加上余数1,为第一次商,即8(8a+7)+1为第一次商,第一次商与8相乘的积加上余数1,为所求的自然数,即8[8(8a+7)+1]+1为所求的自然数.同理,由(2)式得所求的自然数为17(2a⨯17+15)+4由此得方程8[8(8a+7)+1]+1=17(2a⨯17+15)+48(64a+57)+1=17(34a+15)+4512a+457=578a+25966a=198∴a=3因此,所求自然数为512a+457=512⨯3+457=1993解法二依题意可知所求的自然数有两种表示方法:(1)@⑦①①(8)a<8a<17,可知所求的自然数是(1)a⨯83+7⨯82+1⨯81+1=512a+457(2)2a⨯172+15⨯171+4=578a+259由此得 512a+457=578a+259∴a=3因此,所求的自然数为512a +457=512⨯3+457=1993[注]解法一根据“被除数=除数⨯商+余数”的关系式，由最后的商逐步推回到原来的自然数，需要一定的逆向思考能力，解法二要求小选手熟悉数的十进制与其他数进制之间的互化.13. 每人都要把手中的钱用完,而且尽可能多买几本书,意即3元一本的简装书要尽量多买,4元一本的精装书要尽量少买甚至不买.我们分三种情况进行讨论:(1)当钱数被3整除时,精装书就可以不买；(2)当钱数被3除余1时,3k +1=3(k -1)+4,精装书只要买1本,其中k 为大于2的自然数.(3)当钱数被3除余2时,3k +1=3(k -2)+8,精装书只要买2本,其中k 为大于2的自然数.在10至50这41个自然数中,被3除余1和2的数均各有14个.所以全班一共买精装书14+14⨯2=42(本)14. 因为73=343<1991<2401=74,不考虑余数,能用空瓶换三次汽水,由于每7个空瓶可换一瓶汽水,原有空瓶不一定能被7整除,那么第二次以后换时要考虑上一次的余数,最多能用空瓶换四次汽水.1991÷(1+32717171++)=1707.2825 如果买1707瓶汽水,1707÷7=243…6可换243瓶汽水,(243+6)÷7=35…4可换35瓶汽水,(35+4)÷7=5…4可换5瓶汽水,(5+4)÷7=1…2可换一瓶汽水,1+2<7不能再换.1707+243+35+5+1=1991.如果买1706瓶,用空瓶换的数量不变,但1706+243+35+5+1=1990.所以最少要买1707瓶汽水.。
2014年五年级暑假第4讲-余数的三大定理(教师版)
第四讲余数的三大定理一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)例题1【提高】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【分析】1013121001=⨯⨯，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于-=，100171113除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。
五年级下册数学试题-第十二讲带余除法-全国通用含答案解析
第十二讲带余除法12．1一般余数问题[同步巩固演练]1．两数相除，商是12，余数是8，被除数比除数多822，求除数。
2．一个两位数除321，余数是48，这个两位数是多少？3．641除以一个两位数，余数是46，这个两位数是多少？4．1170除以一个两位数，余数是78，这个两位数是多少？5．244除以一个两位数的余数是13，则符合条件的所有两位数有哪些？6．109除以一个两位数的余数是4，这些两位数有哪些？7．哪些自然数除以6所得的商与余数相同？8．一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7除余6，被8除余7, 被9除余8,被10除余9,求出这样的四位数。
9．一个数除以11所得的余数是3，如果把这个数增加11后，除以13所得的商不变，且余数为0，这个数是多少？10．某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？11．整数除法，余数比除数小，从1到1994各数都除以9，所有余数的和是多少？[能力拓展平台]1．（《小学生数学报》竞赛题）五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？2．（新苗杯数学联赛试题）幼儿园有糖115颗，饼干148块，桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个，问这个大班的小朋友最多有多少人？3．在放暑假的八月份，小明有五天在姥姥家过的，这五天的日期除一天是合数外，其他四天的日期都是质数，这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上2减去1，这个合数乘上2加上1，问小明是哪几天在姥姥家住的？4、有5个不同的自然数，它们当中任意3个数的和是3的倍数，任意4个数的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能小，这5个数分别是什么？5、自然数a除以25的余数是10，自然数b除以25的余数是17，如果a大于b，那么a减b的差除以25的余数是多少？6、一个三位数除以37的余数是10，这个三位数减一个两位数的差除以37的余数是27，这个两位数除以37的余数是多少？7、少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯炮或明或暗，十分有趣，这200个灯炮按1～200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来一亮暗状态，这样继续下去，每4分钟一个周期，问：第200秒时，亮着的灯泡有多少个？8、能被5除尽，被715除余10，被247除余140，被391除余245，被187除余109的最小整数是多少？9、某高场向顾客以放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数之和等于后两位数之和，则称这张购物券为“幸运券”例如如号码0734，因0＋7=3＋4，所以这个号码的购物券是幸运券，试说明，这个商场所以的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。
五年级奥数专题05：带余数除法
五带余数除法(A)年级班姓名得分一、填空题1．小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8.正确的商是_____,余数是_____.2. a ÷24=121……b ,要使余数最大，被除数应该等于_____.3. 一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是_____.4. 393除以一个两位数,余数为8,这样的两位数有_____个,它们是_____.5. 31453⨯68765⨯987657的积,除以4的余数是_____.6. 5050888...8666...6⨯ 个个的积，除以7余数是_____.7. 如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是_____点钟.8. 甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏,从1起按下面顺序进行：甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、乙报5、丁报6、甲报7、乙报8、丙报9，……，这样，报1990这个小朋友是_____.9. 如果按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序，将1991199219921992...1992 个只彩灯依次反复排列，那么_____颜色的彩灯必定要比其他颜色的彩灯少一只.10. 从7开始,把7的倍数依次写下去,一直写到994成为一个很大的数:71421……987994.这个数是_____位数.二、解答题11．幼儿园某班学生做游戏，如果每个学生分得的弹子一样多，弹子就多12颗，如果再增加12颗弹子，那么每个学生正好分得12颗，问这班有多少个学生？原有多少颗弹子？12．已知：1991199119911991...1991a 个,问：a 除以13,余数是几？13．100个7组成的一百位数,被13除后,问：(1)余数是多少？(2)商数中各位数字之和是多少？14．有一个数,甲将其除以8,乙将其除以9.甲所得的商数与乙所得的余数之和为13.试求甲所得的余数.五带余数除法(B)年级班姓名得分一、填空题1．除107后，余数为2的两位数有_____.2. 27 ( )=( )……3.上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法.3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____.4. 一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____.5. 2000222.....22 个除以13所得的余数是_____.6. 小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次.7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数.8. 有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.9. 在1,2,3,……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数.10. 用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____.二、解答题11．桌面上原有硬纸片5张。
五年级奥数数论带余除法(A级)
带余除法的定义及性质1．定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（0b ≠），若有a b q r ÷= ，也就是a b q r =⨯+，0r b ≤<；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式．这里：（1）当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商（2）当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数． 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系．并且可以看出余数一定要比除数小． 2．余数的性质（1）被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； （2）余数小于除数．3．解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于__________．【巩固】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________．例题精讲 知识框架 带余除法【例2】除法算式208□□中，被除数最小等于__________．÷=【巩固】计算÷□△，结果是：商为10，余数为▲．如果▲的值是6，那么△的最小值是__________．【例3】71427和19的积被7除，余数是几?【巩固】在下面的空格中填上适当的数．【例4】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数．【例5】一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？【巩固】大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？【例6】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【巩固】写出全部除109后余数为4的两位数．【例7】甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【巩固】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【例 8】当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？【巩固】有三个自然数a，b，c，已知b除以a，得商3余3；c除以a，得商9余11．则c除以b，得到的余数是_________．【例9】有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【巩固】两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【例 10】 200022222 个除以13所得余数是_____．【巩固】19956666667 个的余数是多少？【随练1】 有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍．且这个三位数除以5余4，除以11余3．这个三位数是__________。
小学五年级奥数(上)第四讲带余除法
补充作业
• 1、某年的十月份有5个星期二，4个星期三， 这年的十月一日是星期几？ • 解：十月份有31天，31÷7＝4……3，由题 意知，这一月的31日是星期二，有五天的 是星期日、星期一，星期二，所以这一年 的十月一日是星期日。
• 2、某年的二月份有5个星期一，4个星期二， 二月一是星期几？ • 分析：如果是平年，二月份有28天，28÷7 ＝4。都是4天，由题意知，这一年是闰年， 有29天，29÷7＝4……1，因此，二月一是 星期一。
如果余数比这几个除数都小b，那么n比 这几个除数的公倍数小b。
综合运用（二） 同余规律的应用
• 例5、一个数除以3余2，除以5余3 ，除以7 余2，求符合条件的最小数 • 解：符合条件除以3 余2，除以7余2的最小 数是[3,7]+2=23， • 而且23÷5=4……3 • 所以，符合条件的数是23
带余除法的一些简单规律（1）
• • • • • • • • 1、我们看下面的算式： 也可以说： 15÷6=2… …3 要想保持余 （15+6）÷6= 3… …3 数不变，被 （15+6×2）÷6= 4… …3 除数要加上 （15+6×3）÷6= 5… …3 除数的倍数 （15+6×7）÷6= 9… …3 我们发现这样的规律：规律（一） 被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变 .
• 例1、一个数除以26，商为15，余数是12，求这个数 • 解：∵被除数=除数×商+余数 ∴被除数=26×15+12= 390+12=402 • 例2、127除以一个数，商和余数分别是6和7，求这个 数 • 解： ∵被除数=除数×商+余数，即127=除数×6+7 • ∴ 127=除数× 6+7 • 除数× 6=127－7=120 • 除数=
小学五年级奥数—数论之同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
人教版小学数学经典例题 带余除法 (含解析答案）
1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4. 根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
知识点拨教学目标带余除法这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲除法公式的应用【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第2题，5分【解析】125【答案】125【例 2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980⨯+=【答案】980。
小学五年级奥数题带余数的除法【五篇】
小学五年级奥数题带余数的除法【五篇】导读：本文小学五年级奥数题带余数的除法【五篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【第一篇】一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解：∵被除数÷除数=商…余数，即被除数=除数×商+余数，∴251=除数×商+41，251-41=除数×商，∴210=除数×商。
∵210=2×3×5×7，∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
【第二篇】用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少? 解：∵被除数=除数×商+余数，即被除数=除数×40+16。
由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，∴(除数×40+16)+除数=877，∴除数×41=877-16，除数=861÷41，除数=21，∴被除数=21×40+16=856。
答：被除数是856，除数是21。
【第三篇】某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几? 解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=7×4+3，∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
∴这年的10月1日是星期四【第四篇】3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日(第二天)，15日(第三天)，…)的第1993天是星期几? 解：每周有7天，1993÷7=284(周)…5(天)，从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二. 【第五篇】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
五年级数学带余除法(含答案)
带余除法知识框架带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，复赛，第2题，5分【解析】125【答案】125【巩固】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727⨯+=÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980【答案】980【例 2】除法算式÷□□=208中，被除数最小等于。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，初赛，4题【解析】本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819+=，所以本题答案为：20×（8+1）+8=188.【答案】188【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。
五年级奥数题：带余数除法（B）
五年级奥数题：带余数除法（B）带余数除法作业⼀、填空题1．除107后，余数为2的两位数有_____.2. 27 ( )=( )……3.上式( )⾥填⼊适当的数,使等式成⽴,共有_____种不同的填法.3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____.4. ⼀串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数⽐第1个数多1；第3个数⽐第2个数多2；第4个数⽐第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____.5. 222……22除以13所得的余数是_____.2000个6. ⼩明往⼀个⼤池⾥扔⽯⼦,第⼀次扔1个⽯⼦,第⼆次扔2个⽯⼦,第三次扔3个⽯⼦,第四次扔4个⽯⼦……，他准备扔到⼤池的⽯⼦总数被106除，余数是0⽌，那么⼩明应扔_____次.7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管⼗万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪⼀个,这个七位数都不是101的倍数.8. 有⼀个⾃然数,⽤它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最⼩的⼀个是_____.9. 在1,2,3,……29，30这30个⾃然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数.10. ⽤1-9九个数字组成三个三位数,使其中最⼤的三位数被3除余2,并且还尽可能地⼩；次⼤的三位数被3除余1；最⼩的三位数能被3整除.那么,最⼤的三位数是_____.⼆、解答题11．桌⾯上原有硬纸⽚5张。
从中取出若⼲张来，并将每张都任意剪成7张较⼩的纸⽚，然后放回桌⾯，像这样，取出，剪⼩，放回；再取出，剪⼩，放回；……是否可能在某次放回后，桌上的纸⽚数刚好是1991？12. ⼀个⾃然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第⼆次所得的商被8除后余7，最后得到⼀个商是a(见短除式<1>)；⼜知这个⾃然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到⼀个商是a的2倍(见短除式<2>).求这个⾃然数.8 所求⾃然数……余18 第⼀次商……余18 第⼆次商……余7a短除式<1>17 所求⾃然数……余417 第⼀次商……余152 a短除式<2>13．某班有41名同学，每⼈⼿中有10元到50元钱各不相同.他们到书店买书,已知简装书3元⼀本,精装书4元⼀本,要求每⼈都要把⾃⼰⼿中的钱全部⽤完,并且尽可能多买⼏本书,那么最后全班⼀共买了多少本精装书?14. 某校开运动会,打算发给1991位学⽣每⼈⼀瓶汽⽔,由于商店规定每7个空瓶可换⼀瓶汽⽔,所以不必买1991瓶汽⽔,但是最少要买多少瓶汽⽔?———————————————答案——————————————————————答案:1. 15,21,35从107⾥减去余数2,得107-2=105,所以105是除数与商数相乘之积,将105分解质因数得105=3?5?7,可知这样的两位数有15,21,35.2. 5根据带余数除法中各部分之间的关系可知，商?除数=27-3=24.这样可通过分解质因数解答.因为24=2?2?2?3=23?3,所以(商,除数)= (1,24),(2,12),(3,8),(4,6), (6,4), (8,3), (12,2),(24,1)⼜由余数⽐除数⼩可知,除数有24,12,8,6,4五种填法.所以原式中括号内的数共有5种填法.3. 51由17与19互质可知,8□98能被(17?19=)323整除.因为8098÷323=25…23，根据商数与余数符合题意的四位数应是323的26倍，所以这个四位数是8398.将8398分解质因数.8398=323?26=2?13?17?19所以,这个四位数的所有质因数之和是2+13+17+19=51.4. 2设这串数为a1,a2,a3,…，a1992，…，依题意知a1=1a2=1+1a3=1+1+2a4=1+1+2+3a5=1+1+2+3+4……a1992=1+1+2+3+…+1991=1+996?1991因为996÷5=199…1，1991÷5=398…1，所以996?1991的积除以5余数为1，1+996?1991除以5的余数是2.因此,这串数左起第1992个数除以5的余数是2.5. 9因为222222=2?111111=2?111?1001=2?111?7?11?13所以222222能被13整除.⼜因为2000=6?333+2222…2=222…200+222000个 199822÷13=1 (9)所以要求的余数是9.6. 52设⼩明应扔n 次,根据⾼斯求和可求出所扔⽯⼦总数为1+2+3+…+n =n 21?(n +1) 依题意知, n 21?(n +1)能被106整除,因此可设 n 21?(n +1)=106a 即n ?(n +1)=212a ⼜212a =2?2?53a ,根据n 与n +1为两个相邻的⾃然数,可知2?2?a =52(或54).当2?2?a =52时,a =13.当2?2?a =54时,a =1321,a 不是整数,不符合题意舍去. 因此, n ?(n +1)=52?53=52?(52+1),n =52,所以⼩明扔52次.7. 76假设⼗万位和万位上填⼊两位数为x ,末两位上填⼊的数为y ,(⼗位上允许是0),那么这个七位数可以分成三个部分3007200+10000x +y ,3007200除以101的余数是26, 10000x 除以101的余数为x ,那么当x +y +26的和是101的倍数时,这个七位数也是101的倍数.如:当y =1时, x =74；当y =2时，x =73，……，⽽当y =76时，x =100，⽽990≤≤x ，x 不可能是100，所以y 也不可能是76.由此可知末两位数字是76时,这个七位数不管⼗万位上和万位上的数字是⼏,都不是101的倍数.8. 1设这个⾃然数为m ,且m 去除63,90,130所得的余数分别为a ,b ,c ,则63-a ,90-b ,130-c 都是m 的倍数.于是(63-a )+(90-b )+(130-c )=283-(a +b +c )=283-25=258也是m 的倍数.⼜因为258=2?3?43.则m 可能是2或3或6或43(显然1≠m ,86,129,258),但是a +b +c =25,故a ,b ,c 中⾄少有⼀个要⼤于8(否则,a ,b ,c 都不⼤于8,就推出a +b +c 不⼤于24,这与a +b +c =25⽭盾).根据除数m 必须⼤于余数,可以确定m =43.从⽽a =20,b =4,c =1.显然,1是三个余数中最⼩的.9. 15我们把1到30共30个⾃然数根据除以7所得余数不同情况分为七组.例如,除以7余1的有1,8,15,22,29这五个数,除以7余2的有2,9,16,23,30五个数,除以7余3的有3,10,17,24四个数,…要使取出的数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数，那么能被7整除的数只能取1个，取了除以7余1的数，就不能再取除以7余6的数；取了除以7余2的数，就不能再取除以7余5的数；取了除以7余3的数，就不能再取除以7余4的数.为了使取出的个数最多,我们把除以7分别余1、余2、余3的数全部取出来连同1个能被7整除的数，共有5+5+4+1=15（个）所以，最多能取出15个数.10. 347根据使组成的符合条件的三位数,其最⼤三位数尽可能⼩的条件,可知它们百位上的数字应分别选⽤3,2,1；个位上的数字应分别选⽤7，8，9.⼜根据最⼩的三位数是3的倍数,考虑在1○9中应填5,得159.则在3○7,2○8中被3除余2,余1,选⽤4,6分别填⼊圆圈中得347,268均符合条件.这样,最⼤三位数是347,次⼤三位数是268,最⼩三位数是159.11. 每次放回后,桌⾯上的纸⽚数都增加6的倍数,总数⼀定是6的倍数加5.⽽1991=6?331+5,所以是可能的.12. 解法⼀由(1)式得:8与a相乘的积加上余数7,为第⼆次商,即8a+7为第⼆次商,同样地,第⼆次商与8相乘的积加上余数1,为第⼀次商,即8(8a+7)+1为第⼀次商,第⼀次商与8相乘的积加上余数1,为所求的⾃然数,即8[8(8a+7)+1]+1为所求的⾃然数.同理,由(2)式得所求的⾃然数为17(2a?17+15)+4由此得⽅程8[8(8a+7)+1]+1=17(2a?17+15)+48(64a+57)+1=17(34a+15)+4512a+457=578a+25966a=198∴a=3因此,所求⾃然数为512a+457=512?3+457=1993解法⼆依题意可知所求的⾃然数有两种表⽰⽅法:(1)@⑦①①(8)a<8a<17,可知所求的⾃然数是(1)a?83+7?82+1?81+1=512a+457(2)2a?172+15?171+4=578a+259由此得 512a+457=578a+259∴a=3因此,所求的⾃然数为512a +457=512?3+457=1993[注]解法⼀根据“被除数=除数?商+余数”的关系式，由最后的商逐步推回到原来的⾃然数，需要⼀定的逆向思考能⼒，解法⼆要求⼩选⼿熟悉数的⼗进制与其他数进制之间的互化.13. 每⼈都要把⼿中的钱⽤完,⽽且尽可能多买⼏本书,意即3元⼀本的简装书要尽量多买,4元⼀本的精装书要尽量少买甚⾄不买.我们分三种情况进⾏讨论:(1)当钱数被3整除时,精装书就可以不买；(2)当钱数被3除余1时,3k +1=3(k -1)+4,精装书只要买1本,其中k 为⼤于2的⾃然数.(3)当钱数被3除余2时,3k +1=3(k -2)+8,精装书只要买2本,其中k 为⼤于2的⾃然数.在10⾄50这41个⾃然数中,被3除余1和2的数均各有14个.所以全班⼀共买精装书14+14?2=42(本)14. 因为73=343<1991<2401=74,不考虑余数,能⽤空瓶换三次汽⽔,由于每7个空瓶可换⼀瓶汽⽔,原有空瓶不⼀定能被7整除,那么第⼆次以后换时要考虑上⼀次的余数,最多能⽤空瓶换四次汽⽔.1991÷(1+32717171++)=1707.2825 如果买1707瓶汽⽔,1707÷7=243…6可换243瓶汽⽔,(243+6)÷7=35…4可换35瓶汽⽔,(35+4)÷7=5…4可换5瓶汽⽔,(5+4)÷7=1…2可换⼀瓶汽⽔,1+2<7不能再换.1707+243+35+5+1=1991.如果买1706瓶,⽤空瓶换的数量不变,但1706+243+35+5+1=1990.所以最少要买1707瓶汽⽔.。
五年级数学 --- 带余除法
_______________________________________________ ______________________________________. 【家长评价】
_______________________________________________ _______________________________________________ __________________________________.
本讲主线 1. 被除数的表达式 2. 带余除法变整除 3. 带余式的综合应用
Hale Waihona Puke 带余除法版块一：带余除法中的被除数
1.
带余除法 被除数÷除数＝商…余数 一般地，A÷B＝c…d d 0 整除
d 0 余数
被除数＝除数×商＋余数
2. 关于余数，被除数÷除数＝商…余数 ⑴ 余数小于除数 ⑵ 被除数＝除数×商＋余数
【例3】(★★★) 1013除以一个两位数，余数是12. 求所有符合条件的两位数.
版块二：带余除法变整除
2. 关于余数，被除数÷除数＝商…余数
⑴ 余数小于除数
3. 约数个数，
⑵ 被除数－余数＝除数×商
⑴ 分解质因数到指数形式
⑶ (被除数－余数)÷除数＝商
⑵ 个数=指数+1连乘
1
【例4】(★★★★)(第15届“迎春杯”数学竞赛初赛试题) 已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10. 那么这些自然数共有 ______个.
【例6】(★★★★)(福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题) 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的 商是余数的3倍，这个自然数是______.
小学五年级奥数课件 同余问题
1. 带余除法表达式 2、复习余数定理. 3、同余问题初步.
本讲主线
1、带余除法被除数÷除数＝商…余数 一般地,A÷B＝c…d d=0 整除 D≠0 余数 2. 被除数－余数＝除数×商.
小练习（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ★ ）
1013除以一个两位数,余数是12. 求所有符合条件的两位数.
减余数,变整除, 1013-12=1001 1001=7×11×13 那么所有的两位数有11,13,77,91 因为“余数小于除数”, 所有,只有13,77,91符合
余5×余6+余0×余1,2007÷7=…5
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
014年4月13日(星期日)是小学“希望杯”全国数学邀请赛举行 复赛的日子,那么这天以后的第2014＋4×13天是星期
．
2014÷7,余数5 4÷7,余数是4 13÷7余数是6 根据余数定理, 5+4×6,除以7的余数是1 所以,之后的第2014+4×13天是一周。
知识链接
同余问题：
若a,b除以c的余数相同, 那么, (a－b)能被c整除 称a,b对于模c同余用 “同余式”表示为a≡b(modc)
例如,23、13除以5的余数都是3 那么,(23－13)可以被5整除.
例题【四】（★ ★ ★ ）
学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将 这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同. 请问学校共有多少个班？
拓展
用一个数除200余5,除300余1,除400余10,这个数是多 少?
13 195 299 390 15 23 30
200÷A=…5 300÷A=…1 400÷A=…10
知识链接
余数的三大性质： ⑴ 和的余数等于余数的和 ⑵ 差的余数等于余数的差 ⑶ 积的余数等于余数的积
小学五年级奥数专题——带余除法问题
小学五年级奥数：专题三——带余除法1 、5122除以一个两位数取得的余数是66，求这个两位数。
2、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
3、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
4、有一个整数，用它去除70，110，160取得的三个余数之和是50。
求这个数。
5、求478×296×351除以17的余数。
6、甲、乙两个代表团搭车去参观，每辆车可乘36人。
两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。
参观完，甲代表团的每一个成员与乙代表团的每一个成员两两合拍一张照片留念。
若是每一个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？7 、9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。
8 、在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。
9 、一个整数，除300、262、205，取得相同的余数（余数不为0）。
这个整数是_____。
10、小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数刚巧相同。
那么该题的余数是多少？11、五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。
夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。
第三、四、五只猴子也都这样做。
问：最初至少有______个桃子。
12 、在1、2、3、……、30这30个自然数中，最多能掏出______个数，使掏出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。
13、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。
求知足条件的最小自然数。
小学五年级下册有余数的除法算式
小学五年级下册有余数的除法算式
本文档将介绍小学五年级下册中涉及有余数的除法算式。
除法是数学中的重要概念，研究有余数的除法算式能够提升学生的计算能力和数学理解。
1. 什么是有余数的除法算式
有余数的除法算式是指当被除数无法被除数整除时，所得的除数不能整除的情况。
例如，8除以3，商为2和余数为2，这就是一个有余数的除法算式。
2. 如何解决有余数的除法算式
解决有余数的除法算式需要通过以下步骤进行：
- 首先，写下被除数和除数。
- 然后，将被除数除以除数，得出商和余数。
- 最后，用商和余数写出整个算式。
例如，计算48除以7的算式如下所示：
48 ÷ 7 = 6 (6)
其中，6是商，6是余数。
3. 注意事项
在进行有余数的除法算式时，需要注意以下几点：
- 商一定是一个整数，而余数是一个小于被除数的正整数。
- 商和余数的关系可以通过以下公式表示：被除数 = 商 ×除数+ 余数。
- 当余数为0时，表示被除数能够被除数整除，即没有余数。
4. 常见问题
问题1：为什么有些除法算式会有余数？
回答：有些除法算式会有余数是因为被除数无法被除数整除，所以会有余数。
问题2：有余数的除法算式有什么实际应用？
回答：有余数的除法算式在实际生活中有很多应用，例如分配
物品、计算剩余数量等。
希望本文档能够帮助您理解小学五年级下册有余数的除法算式。
如有更多疑问，请随时提问。
五年级奥数：带余数除法(B)
五年级奥数：带余数除法(B)年级班姓名得分一、填空题1．除107后，余数为2的两位数有_____.2. 27 ( )=( )……3.上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法.3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____.4. 一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____.5. 222……22除以13所得的余数是_____.2000个6. 小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次.7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数.8. 有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.9. 在1,2,3,……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数.10. 用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____.二、解答题11．桌面上原有硬纸片5张。
从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放回；……是否可能在某次放回后，桌上的纸片数刚好是1991？12. 一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到一个商是a(见短除式<1>)；又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是a的2倍(见短除式<2>).求这个自然数.8 所求自然数……余18 第一次商……余18 第二次商……余7a短除式<1>17 所求自然数……余417 第一次商……余152 a短除式<2>13．某班有41名同学，每人手中有10元到50元钱各不相同.他们到书店买书,已知简装书3元一本,精装书4元一本,要求每人都要把自己手中的钱全部用完,并且尽可能多买几本书,那么最后全班一共买了多少本精装书?14. 某校开运动会,打算发给1991位学生每人一瓶汽水,由于商店规定每7个空瓶可换一瓶汽水,所以不必买1991瓶汽水,但是最少要买多少瓶汽水? ———————————————答案——————————————————————答案:1. 15,21,35从107里减去余数2,得107-2=105,所以105是除数与商数相乘之积,将105分解质因数得105=3⨯5⨯7,可知这样的两位数有15,21,35.2. 5根据带余数除法中各部分之间的关系可知，商⨯除数=27-3=24.这样可通过分解质因数解答.因为24=2⨯2⨯2⨯3=23⨯3,所以(商,除数)= (1,24),(2,12),(3,8),(4,6), (6,4), (8,3), (12,2),(24,1)又由余数比除数小可知,除数有24,12,8,6,4五种填法.所以原式中括号内的数共有5种填法.3. 51由17与19互质可知,8□98能被(17⨯÷323=25…23，根据商数与余数符合题意的四位数应是323的26倍，所以这个四位数是8398.将8398分解质因数.8398=323⨯26=2⨯13⨯17⨯19所以,这个四位数的所有质因数之和是2+13+17+19=51.4. 2设这串数为a 1,a 2,a 3,…，a 1992，…，依题意知a 1=1a 2=1+1a 3=1+1+2a 4=1+1+2+3a 5=1+1+2+3+4……a 1992=1+1+2+3+…+1991=1+996⨯1991因为996÷5=199…1，1991÷5=398…1，所以996⨯1991的积除以5余数为1，1+996⨯1991除以5的余数是2.因此,这串数左起第1992个数除以5的余数是2.5. 9因为222222=2⨯111111=2⨯111⨯1001=2⨯111⨯7⨯11⨯13所以222222能被13整除.又因为2000=6⨯333+2 222…2=222…200+222000个 199822÷13=1 (9)所以要求的余数是9.6. 52设小明应扔n 次,根据高斯求和可求出所扔石子总数为1+2+3+…+n =n 21⨯(n +1) 依题意知, n 21⨯(n +1)能被106整除,因此可设 n 21⨯(n +1)=106a 即n ⨯(n +1)=212a 又212a =2⨯2⨯53a ,根据n 与n +1为两个相邻的自然数,可知2⨯2⨯a =52(或54).当2⨯2⨯a =52时,a =13.当2⨯2⨯a =54时,a =1321,a 不是整数,不符合题意舍去.因此, n ⨯(n +1)=52⨯53=52⨯(52+1),n =52,所以小明扔52次.7. 76假设十万位和万位上填入两位数为x ,末两位上填入的数为y ,(十位上允许是0),那么这个七位数可以分成三个部分3007200+10000x +y ,3007200除以101的余数是26, 10000x 除以101的余数为x ,那么当x +y +26的和是101的倍数时,这个七位数也是101的倍数.如:当y =1时, x =74；当y =2时，x =73，……，而当y =76时，x =100，而990≤≤x ，x 不可能是100，所以y 也不可能是76.由此可知末两位数字是76时,这个七位数不管十万位上和万位上的数字是几,都不是101的倍数.8. 1设这个自然数为m ,且m 去除63,90,130所得的余数分别为a ,b ,c ,则63-a ,90-b ,130-c 都是m 的倍数.于是(63-a )+(90-b )+(130-c )=283-(a +b +c )=283-25=258也是m 的倍数.又因为258=2⨯3⨯43.则m 可能是2或3或6或43(显然1≠m ,86,129,258),但是a +b +c =25,故a ,b ,c 中至少有一个要大于8(否则,a ,b ,c 都不大于8,就推出a +b +c 不大于24,这与a +b +c =25矛盾).根据除数m 必须大于余数,可以确定m a =20,b =4,c =1.显然,1是三个余数中最小的.9. 15我们把1到30共30个自然数根据除以7所得余数不同情况分为七组.例如,除以7余1的有1,8,15,22,29这五个数,除以7余2的有2,9,16,23,30五个数,除以7余3的有3,10,17,24四个数,…要使取出的数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数，那么能被7整除的数只能取1个，取了除以7余1的数，就不能再取除以7余6的数；取了除以7余2的数，就不能再取除以7余5的数；取了除以7余3的数，就不能再取除以7余4的数.为了使取出的个数最多,我们把除以7分别余1、余2、余3的数全部取出来连同1个能被7整除的数，共有5+5+4+1=15（个）所以，最多能取出15个数.10. 347根据使组成的符合条件的三位数,其最大三位数尽可能小的条件,可知它们百位上的数字应分别选用3,2,1；个位上的数字应分别选用7，8，9.又根据最小的三位数是3的倍数,考虑在1○○7,2○8中被3除余2,余1,选用4,6分别填入圆圈中得347,268均符合条件.这样,最大三位数是347,次大三位数是268,最小三位数是159.11. 每次放回后,桌面上的纸片数都增加6的倍数,总数一定是6的倍数加5.而1991=6⨯331+5,所以是可能的.12. 解法一由(1)式得:8与a 相乘的积加上余数7,为第二次商,即8a +7为第二次商,同样地,第二次商与8相乘的积加上余数1,为第一次商,即8(8a +7)+1为第一次商,第一次商与8相乘的积加上余数1,为所求的自然数,即8[8(8a +7)+1]+1为所求的自然数.同理,由(2)式得所求的自然数为17(2a ⨯17+15)+4由此得方程8[8(8a +7)+1]+1=17(2a ⨯17+15)+48(64a +57)+1=17(34a +15)+4512a +457=578a +25966a =198∴a =3因此,所求自然数为512a +457=512⨯3+457=1993解法二依题意可知所求的自然数有两种表示方法:(1) @⑦ ① ①(8) a <8(2)2a 15 ④(17) 2a <17根据数的十进制与其他数的进制的互化关系,可知所求的自然数是(1)a ⨯83+7⨯82+1⨯81+1=512a +457(2)2a ⨯172+15⨯171+4=578a +259由此得 512a +457=578a +259∴a =3因此,所求的自然数为512a +457=512⨯3+457=1993[注]解法一根据“被除数=除数⨯商+余数”的关系式，由最后的商逐步推回到原来的自然数，需要一定的逆向思考能力，解法二要求小选手熟悉数的十进制与其他数进制之间的互化.13. 每人都要把手中的钱用完,而且尽可能多买几本书,意即3元一本的简装书要尽量多买,4元一本的精装书要尽量少买甚至不买.我们分三种情况进行讨论:(1)当钱数被3整除时,精装书就可以不买；(2)当钱数被3除余1时,3k +1=3(k -1)+4,精装书只要买1本,其中k 为大于2的自然数.(3)当钱数被3除余2时,3k +1=3(k -2)+8,精装书只要买2本,其中k 为大于2的自然数.14+14⨯2=42(本)14. 因为73=343<1991<2401=74,不考虑余数,能用空瓶换三次汽水,由于每7个空瓶可换一瓶汽水,原有空瓶不一定能被7整除,那么第二次以后换时要考虑上一次的余数,最多能用空瓶换四次汽水.1991÷(1+32717171++ 如果买1707瓶汽水,1707÷7=243…6可换243瓶汽水,(243+6)÷7=35…4可换35瓶汽水,(35+4)÷7=5…4可换5瓶汽水,(5+4)÷7=1…2可换一瓶汽水,1+2<7不能再换.1707+243+35+5+1=1991.如果买1706瓶,用空瓶换的数量不变,但1706+243+35+5+1=1990.所以最少要买1707瓶汽水.[文章来源：教师之家转载请保留出处][相关优质课视频请访问：教学视频网 ]五年级奥数：约数与倍数（B）年级班姓名得分一、填空题1．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有_____个小朋友.2. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有_____人.3. 用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_____块.4. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_____块.5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.7. 这样的自然数是有的:它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍数,加4是5的倍数,加5是6的倍数,加6是7的倍数,在这种自然数中除了1以外最小的是_____.8．能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是_____.9. 把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公约数是1, 那么至少要分成_____组.10. 210与330的最小公倍数是最大公约数的_____倍.二、解答题11．公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6：00三条路线同时发出第一辆车.该总站发出最后一辆车是20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数,商是12.如果甲乙两数的差是18,则甲数是多少?乙数是多少?13. 用285、5615、2011分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数最小是几?14. 有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.———————————————答 案—————————————————————— 答 案:1. 9若梨减少2个,则有20-2=18(个);若将苹果增加2个,则有25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公约数.所以最多有9个小朋友.2. 36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公约数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.先求14与16的最小公倍数. 2 16 148 7故14与16的最小公倍数是2⨯8⨯7=112.因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板1416112112⨯⨯=7⨯8=56(块) 4． 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块 769126126126⨯⨯⨯⨯=14⨯21⨯18=5292(块) [注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.5. 90依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数.因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.6. 5依题意得花生总粒数=12⨯第一群猴子只数=15⨯第二群猴子只数=20⨯第三群猴子只数由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么第一群猴子只数是5，10，15，……第二群猴子只数是4，8，12，……第三群猴子只数是3，6，9，……所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…….因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒.7. 421依题意知,这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420，所以这个数是421.8. 999768由题意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.因为999999÷1848=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍，或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一组,26=2⨯13,91=7⨯13,143=11⨯13,所以,所分组数不会小于3.下面给出一种分组方案:(1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.因此,至少要分成3组.[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3⨯5，21=3⨯7，35=5⨯7，3，5，7各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:(1)26,35；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数⨯甲乙的最大公约数=甲数⨯乙数”，将210⨯330分解质因数，再进行组合有210⨯330=2⨯3⨯5⨯7⨯2⨯3⨯5⨯11=22⨯32⨯52⨯7⨯11=（2⨯3⨯5）⨯（2⨯3⨯5⨯7⨯11）因此，它们的最小公倍数是最大公约数的7⨯11=77（倍）.11. 根据题意,先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发出后,每隔80分钟又同时发车.从早上6:00至20:00共14小时,求出其中包含多少个80分钟.60⨯14÷80=10…40分钟由此可知,20:00前40分钟,即19:20为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公约数,所得的两个商是互质数.而这两个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数所得的商——12.这一结论的根据是:(我们以“约”代表两数的最大公约数，以“倍”代表两数的最小公倍数) 甲数⨯乙数=倍⨯约 约约乙数甲数⨯⨯=约约约倍⨯⨯，所以：约乙数约甲数⨯=约倍，约乙数约甲数⨯=12 将12变成互质的两个数的乘积：①12=4⨯3，②12=1⨯12先看①,说明甲乙两数：一个是它们最大公约数的4倍，一个是它们最大公约数的3倍.甲乙两数的差除以上述互质的两数(即4和3)之差,所得的商,即甲乙两数的最大公约数.18÷(4-3)=18甲乙两数,一个是:18⨯3=54，另一个是：18⨯4=72.再看②,18÷(12-1)=1171,不符合题意,舍去. 13. 依题意,设所求最小分数为N M ,则 285÷N M =a 5615÷N M =b 2011÷N M =c 即528⨯N M =a 1556⨯N M =b 2120⨯N M =c 其中a ,b ,c 为整数. 因为NM 是最小值,且a ,b ,c 是整数,所以M 是5,15,21的最小公倍数,N 是28,56,20的最大公约数,因此,符合条件的最小分数: N M =4105=4126 14. (1)根据2号~15号同学所述结论,将合数4,6,…，15分解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=2⨯3,8=23,9=32,10=2⨯5,12=22⨯3,14=2⨯7,15=3⨯5由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数(可逐次排除,只有8与9满足要求).22⨯3⨯5⨯7⨯11⨯13=60060因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060.[文章来源：教师之家转载请保留出处][相关优质课视频请访问：教学视频网 ]。
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带余除法
1.两数相除，商为15，余数为11，且被除数、除数、商、余数的和为309，
求被除数？
2.一个两位数去除251，得到的余数为41，求这个两位数？
练习：已知被除数比除数多78，被除数除以除数，所得的商为6，余数为3，求被除数？
3.有一个数列，第一个数是7，第二个数是11，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，求第2009个数除以3的余数是多少？
4.有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个，则这盒乒乓球至少有多少个？
5.被6除余4，被8除余6，被10除余8的最小整数是多少?
练习：
（1）一筐苹果，每次4个4个取，6个6个取，9个9个取，最后都是少2个，这筐苹果最少有多少个？
（2）一个自然数能被3、5、7整除，若用11去除这个数，则余1，这个数最小是多少？
6.有一批书大约300到400本，包装成每包12本，剩下11本；包装成每包18本缺1本；包装成每包15本就有7包每包各多2本。
这批书有多少本？
1.一个整数除以3余2，除以7余2，除以9余5，这个数最小是多少？3.一个自然数除以5整除，除以6余4，除以8余6，这个数最小是多少？练习：某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少？（小
升初试题一中）
3.某次会议有不到200人参加，分房间住宿时，每5人一间又多3人，吃饭时每9人一桌又少1人，分组讨论时，每7人一组又多6人。
求参加会议的人数。
4. 用自然数n去除63、91、129、得到的三个余数之和为25，则n等于几？
5. 一个整数除以7余1，除以6余2，除以9余5，求适合条件的最小数是多少？
6.用1~9这9个数字组成3个三位数（每个数只能用一次），使其中最大的三位数被3除余2 ，并且尽可能的小，次大的三位数被3除余1，最小的三位数能被3整除。
则这3个三位数各是多少？（长青竞赛试题）作业
1.一筐鸡蛋，每次3个3个取，4个4个取，7个7个取，最后都是少2
个，这筐鸡蛋最少有多少个？
2.一个自然数除以5余3，除以6余4，除以7 余1，这个自然数最小是
多少？
3.一个数除以9余1，除以8余3，除以7 余2，求适合条件的最小数。
4.一个数除以5余4，除以6余3，除以9余6，这个数最小是多少?
5.有一个整数，用它去除82、165、240都有余数，且三个余数的和是13，
求这个整数是多少。
6.有一筐鸡蛋，当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，
筐里最后都是剩下一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩。
已知筐里的鸡蛋不足400个，则筐里原来共有鸡蛋多少个？。