第一章集合与简易逻辑(教案)
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高中数学第一册(上)
第一章集合与简易逻辑
◇教材分析
【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(可看做集合的化简)、简易逻辑三部分:【知识点与学习目标】
【高考评析】
集合知识作为整个数学知识的基础,在高考中重点考察的是集合的化简,以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维,寻求解决其他问题的方法.
◇学习指导
【学法指导】本章的基本概念较多,要力求在理解的基础上进行记忆.
【数学思想】1.等价转化的数学思想;2.求补集的思想;
3.分类思想;4.数形结合思想.
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【解题规律】
1.如何解决与集合的运算有关的问题?
1)对所给的集合进行尽可能的化简;
2)有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系;
3)有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素.
2.如何解决与简易逻辑有关的问题?
1)力求寻找构成此复合命题的简单命题;
2)利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题.
引言
通过一个实际问题,目的是为了引出本章的内容。
1、分析这个问题,要用数学语言描述它,就是把它数学化,这就需要集合与逻辑的知识;
2、要解决问题,也需要集合与逻辑的知识.
在教学时,主要是把这个问题本身讲清楚,点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对.而要进一步认识、讨论这个问题,就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了.
§1.1集合
〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求:
(1)初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法;(2)初步了解“属于”关系的意义;
(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义.
〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法;难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合.
〖教学过程〗
☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明.然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子.
1、集合的概念:
在初中代数里学习数的分类时,就用到“正数的集合”,“负数的集合”等此外,对于一元一次不等式2x一1>3,所有大于2的实数都是它的解.我们也可以说,这些数组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集.
在初中几何里学习圆时,说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合.
一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.这句话,只是对集合概念的描述性说明.集合则是集合论中原始的、不定义的概念.在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步认识.例如,“我校篮球队的队员”组成一个集合;“太平洋、大西洋、印度
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洋、北冰洋”也组成一个集合.我们一般用大括号表示集合,上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。大西洋,印度洋,北冰洋).为了方便起见,我们还经常用大写的拉丁字母表示集合.例如,A={太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋},B={1,2,3,4,5}.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如,“地球上的四大洋”这一集合的元素是:太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.集合的元素常用小写的拉丁字母表示。
2、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性:
集合中的元素必须是确定的。这就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定7。例如,给出集合(地球上的四大洋),它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素.其他对象都不是它的元素.又如。“我国的小河流”就不能组成一个集合,因为组成它的对象是不确定的。
集合中的元素是互异的。这就是说,集合中的元素是没有重复现象的,任何两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素.
集合中的元素是无序的。这就是说,集合中的元素排列与顺序无关。
3、常用的数集及其记法:
全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N,非负整数集内排除0的集,
也称正整数集,表示成N *
或N
+
;
全体整数的集合通常简称整数集,记作Z;
全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q;
全体实数的集合通常简称实数集,记作R.
★(教科书中给出的常用数集的记法,是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意以下两点:
(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0;
(2)非负整数集内排除0的集,表示成N *
或N
+
。
新的国家标准定义自然数集N含元素O.这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准,以便与之早日相衔接;另一方面,o还是十进位数{0,1,2,…,9}中最小的数,有了0,减法运算a—a仍属于N,其中a∈N.)
4、集合的表示方法,常用的有列举法和描述法:
列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法.
例如,由方程
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x—1=0的所有的解组成的集合,可以表示为{-1,1};
又如,由所有大于0巳小于10的奇数组成的集合,可以表示为{1,3,5,7,9}。
描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
例如,不等式x-3>2的解集可以表示为{x ∈R|x-3>2};
★(列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,
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不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.)
5、集合的分类:
一般地,含有有限个元素的集合叫做有限集.
一般地,含有无限个元素的集合叫做无限集.
不含任何一个元素的集合叫做空集.记作φ。
6、素与集合之间的关系:
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不是集合A的元素,就说a 不属于集合A,记作a∉A(或a∈A).
例如,设B={1,2,3,4,5},那么5∈B,8∉B.
7、练习:①P5与P6练习。②P7习题1.1第1题、第2题的⑴、⑵。
8、小结:(略)。
9、作业:①P7习题1.1第2题的⑶、⑷。②练习册:§1.1集合的内容。
§1.2子集、全集、补集
〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求:
(1)了解集合的包含、相等关系的意义;(2)理解子集、真子集的概念;
(3)理解补集的概念;(4)了解全集的意义.
〖教学重点与难点〗本小节的重点是子集、补集的概念,难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。
〖教学过程〗
☆本小节分为两部分:第一部分讲子集,第二部分讲全集与补集.
第一部分先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系,并引出于集的概念,然后,对比集合的“包含”与“相等”关系,得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质.第二部分是在子集概念的基础上讲述补集的概念,并介绍了全集的概念.
1、子集的定义:
先看集合与集合之间的“包含”关系设A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},集合A是集合B的一部分,我们就说集合B包含集合A。
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A 包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A⊆B(或B⊇A).这时我们也说集合A是集合B的子集.当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,则记作A⊆B(或B⊇A).
规定:空集是任何集台的子集。也就是说,对于任何一个集合A,有φ⊆A。
2、集合与集合的相等:
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B。记作A=B。
3、真子集的定义:
对于两个集合A与B,如果A⊆B,并且A≠B,我们就说集合A是集合B的真子集,