准高三数学(文)入学测试卷

准高三数学（文）入学测试卷

时间:120分钟 满分:150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、 i 是虚数单位，=+-)21(i i （ ）

A 、2+i

B 、2-i

C 、i --2

D 、i -2

2、已知x x f -=1)(定义域为M ，x

e x g =)(值域为N ，则=N M （ ）

A 、]1 , 0[

B 、]1 , 0(

C 、) , 0(∞+

D 、) , 1 [∞+

3、已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，x x x f 2)(2

+=，则=-)1(f （ ） A 、1 B 、1- C 、3 D 、3- 4、已知)2 , 1(-=a ，52||=b ，且b a //，则=b （ ）

A 、)4 , 2(-

B 、)4 , 2(-

C 、)4 , 2(-或)4 , 2(-

D 、)8 , 4(- 5、将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如右所示的茎叶图，由图可知（ ） A 、甲、乙两队得分的中位数相等 B 、甲、乙两队得分的平均数相等 C 、甲、乙两队得分的极差相等 D 、甲、乙两队得分的方差相等

6、若l ，m ，n 是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A 、若βα//，α⊂l ，β⊂n ，则n l // B 、若βα⊥，α⊂l ，则β⊥l C 、若n l ⊥，n m ⊥，则m l // D 、若α⊥l ，β//l ，则βα⊥

7、设a ，R b ∈，则“0)(2

>-a b a ”是“b a >”的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、非充分非必要条件 D 、充要条件 8、执行如图1所示的程序框图，输出的=S （ ）

A 、2013

B 、2014

C 、1

D 、2

9、已知抛物线x y 82

=的焦点F 也是双曲线122

22=-b

y a x 的一个焦点，P 线与双曲线的一个交点，若5||=PF ，则此双曲线的离心率=e （ ）A 、2 B 、3 C 、2 D 、12+

10、设a ，R b ∈，定义运算“⊗”和“⊕”如下：⎩⎨⎧=⊗a b a a b a , , ⎩⎨

⎧>≤=⊕b

a a b

a b b a , , ．若2≥⊗n m ，2≤⊕q p ，则（ ）

图2

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题（11～13题） 11、某厂对一批产品进行抽样检测，图2是抽检产品净重

（单位：克）数据的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78）、 [78，80)、…、[84，86]。若这批产品有120个，估计其中净重大于或等

于78克且小于84克的产品的个数是 ．

12、若变量x ，y 满足⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤≥+≥)2(2a a y y x x y ，y x z 2+=的最大值为7，则实数=a ．

13、在数列{}n a 中，11=a ，n

n n a a a +=

+221（*

∈N n ），试归纳出这个数列的通项公式=n a ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）

已知函数6

2sin()(π

-=x x f ，R x ∈．⑴求)(x f 的最小正周期T ；⑵求)0(f 的值；⑶设α是第一

象限角，且5

3

3

(=

+π

αf ，求αsin 的值．

P

A

C

D

如图4，四棱锥ABCD P -的俯视图是菱形ABCD ，顶点P 的投影恰好为A ．

⑴求证：PC BD ⊥；⑵若a AC 2=，a BD 4=，四棱锥ABCD P -的体积3

2a V =，求PC 的长．

18．（本小题满分14分）

某药厂测试一种新药的疗效，随机选择600名志愿者服用此药，结果如下：

⑴若另有一病人服用此药，请估计该病人病情好转的概率；

⑵现从服用此药的600名志愿者中选择6人作进一步数据分析，若在三种疗效的志愿者中各取2人，这种抽样是否合理？若不合理，应该如何抽样？（请写出具体人数安排）

⑶在选出作进一步数据分析的6人中，任意抽取2人参加药品发布会，求抽取的2人中有病情恶化的志愿者的概率．

P 是圆O ：422=+y x 上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PQ 中点M 的轨迹记为Γ．

⑴求Γ的方程；⑵若直线l ：3+=kx y 与曲线Γ相切，求直线 l 被圆O 截得的弦长． 20．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和122

-=n S n ．

⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵是否存在正整数p 、q （1>p 且1>q ）使1a 、p a 、q a 成等比数列？若存在，求出所有这样的等比数列；若不存在，请说明理由．

已知函数)ln ()(2

x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数．

⑴R a ∈∀，试证明函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线经过定点； ⑵若函数)(x f y =图象上的点都在第一象限，试求常数a 的取值范围．

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参考答案

一、选择题

1—5:C 、B 、D 、C 、B 6—10:D 、A 、D 、C 、A; 二、填空题 11、90 12、37 13、12+n 14、2

5 15、3 三、解答题

16、⑴最小正周期ππ

ωπ===2

2)||2(

T ……3分（列式2分，结果1分） ⑵2

1

)6sin()0(-=-=π

f ……6分（代入1分，结果2分） ⑶由53)3

(=

+

π

αf 得53)22sin(=+πα……7分，所以5

3

2cos =α……8分， 53sin 212=-α……10分，所以5

1

sin 2=α（55sin ±=α）……11分， 因为α是第一象限角，所以5

5

sin =

α……12分． 17、⑴依题意，⊥PA 底面ABCD ……2分 因为⊂BD 底面ABCD ，所以BD PA ⊥……3分 依题意，ABCD 是菱形，BD AC ⊥……4分

因为A AC PA = ，所以⊥BD 平面PAC ……6分，所以PC BD ⊥……7分． ⑵PA S V ABCD ⨯⨯=

3

1

……8分，2421a BD AC S ABCD =⨯⨯=……10分，

PA a a ⨯⨯=234312，a PA 23=……12分，所以a AC PA PC 2

5

22=+=……14分．

18、⑴由已知统计表可知在600个病人中，服药后出现病情好转的频率为

3

2

600400=……1分 所以估计另一个病人服用此药病情好转的概率为

3

2

……3分 ⑵在三种疗效的志愿者中各取2人，这种抽样不合理……4分

由于用药后人治疗效果之间存在明显差异，所以要进一步抽样则应该按照治疗效果进行分层抽样……5分，即从病情好转的志愿者中抽4人，从病情无明显变化的志愿者中抽1人，从病情恶化的志愿者中抽1人组成6人样本……7分

⑶将6人中病情恶化的1人用符号A 代替，其余5人用分别用符号1，2，3，4，5代替……8分 则从6人中任意抽取2人的基本事件表示如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）， （1，A ），（2，3），（2，4），（2，5），（2，A ），（3，4），（3，5），（3，A ），（4，5）， （4，A ），（5，A ）……10分，一共15个基本事件……11分