试探互斥事件与相互独立事件的区分方法
事件的独立性与互斥性
事件的独立性与互斥性无题早晨，在阳光透过窗户照射下，一切都显得特别宁静。
迷迷糊糊中，我从床上坐起，打开手机看了看时间，已经是早上8点了。
今天是周末，没有上班的压力，可以好好享受这个属于自己的休息日。
我走到阳台，深深地吸了一口清新的空气，感觉焕然一新。
突然，手机响了起来，是一个看起来很久没有联系的朋友给我发来了一条信息。
他问我有没有空，想约我一起去打羽毛球。
我想想，这个安排听起来不错，既可以锻炼身体，又可以与朋友聚聚。
所以我很快回复他，答应了这个邀约，并且约好在大悦城门口见面。
出门前，我先进了洗手间，洗漱了一番。
然后穿上合适的运动装备，整理好自己的东西，便背上背包出门了。
来到见面的地点，我远远地看到了他。
我们打了个招呼，一起来到了羽毛球馆。
羽毛球馆里，一片喧闹，不同的场地上，人们们正热火朝天地打着羽毛球。
我们找到了一个空场地，拿起球拍后开始了我们的游戏。
在紧张激烈的比赛中，我们尽情地挥洒汗水，享受着比赛的乐趣。
一小时的比赛结束后，我们非常疲惫，但是心情却很好。
我们一起走出羽毛球馆，决定去一家附近的餐厅吃午饭。
在餐厅里，我们点了我们喜欢的菜品，一边享受美食，一边畅谈着彼此的近况。
“你最近怎么样啊？”我问他。
“还行吧，公司最近有些忙，但是工作也很有意思。
”他回答。
我们一直谈论着工作、生活、兴趣爱好等话题，感觉时间过得飞快。
吃完饭后，我们决定再去电影院看一场电影。
我们选择了一部犯罪推理片，一边观影，一边分析电影中的情节和真相。
观影结束后，我们再次坐在了一家咖啡馆里，品尝着咖啡，继续聊天。
我突然提起了我最近的一个困扰，自己对工作和生活的迷茫。
他安慰我并且给我一些建议，让我觉得心情豁然开朗起来。
他的理解和支持，给了我很大的鼓励。
时间流逝得很快，我们聊到了傍晚时分。
我觉得不好意思一直占用他的时间，就和他道别，给予了他一个拥抱，并说了声再见。
在回家的路上，我想着今天的经历，觉得非常满足和快乐。
经历了一天的活动，我意识到独立性和互斥性的重要性。
互斥与相互独立
1.“互斥”的含义设若事件A与B不可能同时发生，即A与B的交为不可能事件（空集），从而P(AB)=0，则称A与B互不相容或互斥。
进一步地，设若A与B同时满足必有一个事件发生的条件，即A与B的交为不可能事件，A与B的并为必然事件，从而P(A)+P(B)=1，P(AB)=0，则称A与B互相对立(互逆)事件。
上述所谓两个互斥事件A 、B 不可能同时发生，具体包括三种情景：一是仅事件A 发生；二是仅事件B 发生；三是事件A和B 都不发生。
当然，设若事件A、B 对立，则只须考虑前两种情况了。
因此，互斥的概念适用于描述多个事件之间的关系，而对立概念则只适用于描述两个事件之间的关系。
两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可能都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
2.“相互独立”的含义设若事件A和B满足P(A/B)=P(A)，P(B/A)=P(B) ，从而满足P(AB)=P(A)P(B)，则称该事件A和B 相互独立。
可见，事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念。
互斥说的是两个事件不能同时发生；而相互独立则是允许两个事件同时发生，只是其中一个事件的发生与否对另外一个事件发生的可能性不会产生任何影响。
因此，互斥属于纯粹用来刻画事件之间相互关系的概念；而相互独立则是用来刻画事件之间概率关系的概念。
在逻辑上，可以将互斥事件理解为一次试验下可能出现的不同基本事件，而将相互独立事件理解为两次或更多次不同试验下相应出现的不同事件。
故此，若A 与B 为互斥事件，则应使用概率加法公式来计算A或B发生的概率：P( A + B) = P( A) +P( B)。
而若A 与B 为相互独立事件，则应使用概率乘法公式来计算A和B同时发生的概率（联合概率）：P( AB) = P( A)P( B) 。
3. “相互独立”与“互斥”互不相容设若A、B相互独立，则根据定义，必有P(AB)=P(A)P(B)。
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点在概率论中，随机事件的独立性与互斥性是两个非常重要的概念。
理解这两个概念对于解决各种概率问题以及理解随机现象的本质具有关键意义。
首先，我们来谈谈互斥事件。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生。
比如说，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是互斥事件，因为在一次抛硬币的过程中，不可能既正面朝上又反面朝上。
再比如，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥事件，因为一张牌不可能既是红桃又是黑桃。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即P(A ∩ B) ＝ 0。
这里的 P 表示概率。
互斥事件的概率计算相对简单。
如果事件 A 和事件 B 互斥，那么事件 A 或者事件 B 发生的概率，就等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
举个例子，一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机摸出一个球，摸到红球和摸到蓝球就是互斥事件。
摸到红球的概率是 5/8，摸到蓝球的概率是 3/8，那么摸到红球或者蓝球的概率就是 5/8 ＋ 3/8 ＝ 1。
接下来，我们说说独立事件。
独立事件是指一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率。
比如说，今天下雨和明天考试成绩好不好就是独立事件，今天下雨不会影响明天考试成绩的好坏。
再比如，你第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上也是独立事件，第一次的结果不会影响第二次的结果。
如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 发生且事件 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以事件 B 发生的概率，即P(A ∩ B) ＝P(A) × P(B)。
举个例子，有两个独立的抽奖活动，抽奖活动甲中奖的概率是 02，抽奖活动乙中奖的概率是 03。
那么同时在甲和乙两个抽奖活动中中奖的概率就是 02 × 03 ＝ 006。
那么，互斥事件和独立事件之间有什么区别和联系呢？区别在于，互斥事件关注的是两个事件能否同时发生，而独立事件关注的是一个事件的发生对另一个事件发生概率的影响。
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点在概率论中，随机事件的独立性与互斥性是两个非常重要的概念。
理解这两个概念对于我们正确分析和解决概率问题至关重要。
首先，让我们来谈谈互斥事件。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，出现点数为 1 和出现点数为 2 就是互斥事件，因为骰子在一次投掷中不可能同时出现 1 点和 2 点。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的交集为空集，即 A ∩ B ＝∅。
再举个例子，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥事件。
因为一张牌不可能既是红桃又是黑桃。
互斥事件的概率计算相对简单，如果 A 和 B 互斥，那么 P(A 或 B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
接下来，我们说一说独立事件。
独立事件是指一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率。
例如，今天下雨和明天你考试取得好成绩就是两个独立事件。
今天是否下雨并不会对明天考试成绩的好坏产生直接影响。
用数学公式来表达，如果事件 A 和事件 B 独立，那么P(A ∩ B) ＝P(A) × P(B)。
比如说，有两个抽奖箱，抽奖箱 1 中有 5 个红球和 5 个白球，抽奖箱 2 中有 3 个红球和 7 个白球。
从抽奖箱 1 中抽取一个球是红球的事件 A 和从抽奖箱 2 中抽取一个球是红球的事件 B 就是独立事件。
那互斥事件和独立事件有什么区别呢？互斥事件强调的是两个事件不能同时发生，而独立事件强调的是一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
可以说，互斥事件关注的是事件的“同时性”，而独立事件关注的是事件的“关联性”。
为了更好地理解这两个概念，我们来看一些具体的题目。
假设事件 A 是掷一枚硬币正面朝上，事件 B 是掷另一枚硬币反面朝上。
这两个事件是独立事件，因为一枚硬币的投掷结果不会影响另一枚硬币的投掷结果。
那么 P(A) ＝ 05，P(B) ＝ 05，P(A ∩ B) ＝ P(A)× P(B) ＝ 025。
如何区分互斥事件与相互独立事件
如何区分互斥事件与相互独立事件作者：田麦来源：《世纪之星·交流版》2015年第07期[摘要]解决概率问题，需要明确所求事件是由哪些基本事件构成，这些基本事件有一个发生，还是同时发生，即事件是彼此互斥的还是相互独立的。
[关键词]互斥事件；相互独立事件试验中事件的概率计算何时使用概率的加法公式，何时使用相互独立事件概率乘法公式，常是初学这部分知识的人难以把握的问题。
引起麻烦的主要根源是无法确定事件的关系是互斥的还是相互独立。
下面我们从四个方面来解决这个问题。
首先，判定两个事件之间的关系从定义入手，互斥事件发生在一次实验可能出现的不同结果中，这两个事件不可能同时发生：而相互独立事件发生在互不干涉的不同实验中，一个事件发生与否对另一个发生的概率不产生影响。
其次，从事件发生的结果入手判断事件间的关系。
互斥事件若有一个发生，那么其它事件在实验中就不再发生了。
而相互独立事件中一个事件在实验中发生，对其它事件是否发生不产生任何影响。
再次，从事件的来源入手，即从产生事件的试验入手。
互斥事件发生在同一次试验中，两个互斥事件A和B不会同时发生，但它们的概率相互影响，总有相互独立事件发生于不同试验中，两个相互独立事件A和B是否发生不影响，产生事件的试验也相互独立互不影响，概率关系同样互不影响，总有.最后，根据两个概率公式，分析适应的事件关系也可以判断事件间的关系，对于互斥事件有一个发生的概率加法公式，要求事件A、B之一发生，具有明确的排它性。
对于相互独立事件的概率乘法公式，要求事件A、B同时发生，如果满足不了同时发生的条件，那这两个事件就肯定不是相互独立事件。
所以，是否能够分清事件A和B的关系至关重要，下面举例说明：例1 甲，乙两人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.8，计算（1）2人都击中目标的概率；＼（2）其中恰有一人击中目标的概率。
（3）至少有1人击中目标的概率。
解：（1）把甲射击一次的过程看作一次实验记“甲射击1次，击中目标”为事件A“乙射击1次，击中目标”为事件B2人各射击一次，这两个试验相互不影响，因此A，B为相互独立事件，2人都击中目标即A、B同时发生。
概率与统计中的独立与互斥事件
互斥事件的性质
互斥事件的定 义：两个事件 A和B是互斥的， 如果它们不能
同时发生。
概率与统计中的互斥事件：在决策分析中，互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生，即一个事件的发生会阻止另一个 事件的发生。例如，在体育比赛中，每个参赛选手只能获得一个名次，一个选手获得第一名就会阻止其他选手获得该名次。
独立与互斥事件的实例分析：在决策分析中，独立与互斥事件的应用非常广泛。例如，在金融投资中，投资者可以根据不 同投资品种之间的独立性来分散投资风险；在生产管理中，企业可以根据不同生产环节之间的互斥性来优化生产流程。
独立与互斥事件的实例分析
第五章
生活中的独立与互斥事件实例
独立事件实例：抛掷一枚骰子，出现偶数点与出现点数大于3的事件是 独立事件，因为一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
互斥事件实例：抽奖活动中，中奖与不中奖是互斥事件，因为两个事件 不能同时发生。
独立事件实例：投篮命中与投篮未命中是独立事件，因为一个事件的发 生不影响另一个事件的发生。
互斥事件实例：在掷骰子游戏中，出现1、2、3和出现4、5、6是互斥 事件，因为两个事件不能同时发生。
概率论中的经典独立与互斥事件问题解析
蒙提霍尔问题：一个著名的概率论问题，涉及到独立事件和概率计算。
生日悖论：一个经典的独立事件与互斥事件问题，通过实例分析理解概率 论在实际中的应用。
投掷硬币实验：通过投掷硬币的实验，分析独立事件和互斥事件的概率， 理解概率论的基本概念。
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点在概率论中，随机事件的独立性与互斥性是两个非常重要的概念。
理解这两个概念对于解决各种概率问题以及深入理解概率的本质都具有关键意义。
首先，咱们来聊聊什么是随机事件。
简单说，随机事件就是在一定条件下，可能出现也可能不出现的事情。
比如说，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
那么，什么是互斥事件呢？互斥事件指的是两个事件不能同时发生。
举个例子，扔骰子的时候，“出现 1 点”和“出现 2 点”这两个事件就是互斥的，因为骰子扔一次，不可能既出现 1 点又出现 2 点。
再来说说独立事件。
独立事件是指一个事件的发生与否，不影响另一个事件发生的概率。
比如，今天下雨和明天考试成绩好坏，这两件事通常就是相互独立的，今天下不下雨不会影响明天考试成绩的好坏。
为了更清楚地理解互斥事件，咱们来看看互斥事件的概率计算。
如果 A 和 B 是互斥事件，那么 A 或 B 发生的概率就等于 A 发生的概率加上 B 发生的概率，即 P(A 或 B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
比如说，盒子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机取出一个球，“取出红球”和“取出蓝球”就是互斥事件。
取出红球的概率是 5/8，取出蓝球的概率是 3/8，那么取出红球或者蓝球的概率就是 5/8 ＋ 3/8 ＝ 1 。
接下来谈谈独立事件的概率计算。
如果 A 和 B 是独立事件，那么A 和B 同时发生的概率等于 A 发生的概率乘以 B 发生的概率，即 P(A且 B) ＝ P(A) × P(B)。
例如，有两个独立的抽奖活动，第一个抽奖中奖的概率是 02，第二个抽奖中奖的概率是 03，那么同时在这两个抽奖中中奖的概率就是 02 × 03 ＝ 006 。
需要注意的是，互斥事件和独立事件并不是一回事。
互斥事件强调的是两个事件不能同时发生，而独立事件强调的是一个事件的发生不影响另一个事件的概率。
有时候，人们容易混淆这两个概念。
事件的互斥和独立性判断
事件的互斥和独立性判断事件的互斥和独立性是概率论中的重要概念，用于描述事件之间的关系和发生的可能性。
正确判断事件的互斥性和独立性对于理解概率论和应用概率进行合理推断至关重要。
本文将从事件互斥和独立的定义、判断方法以及实际案例等方面展开讨论。
一、事件互斥和独立的定义事件的互斥性指的是两个或多个事件不能同时发生的情况。
如果事件A发生，那么事件B就不会发生，反之亦然。
例如，抛掷一枚硬币的正面和反面事件就是互斥事件，因为只能有正面或反面，不可能同时出现。
事件的独立性指的是一个事件的发生与其他事件的发生无关。
如果事件A的发生与事件B的发生没有关联，那么它们就是独立事件。
例如，抛掷一枚硬币的正面事件与掷一颗骰子的点数为奇数事件就是独立事件，因为它们之间没有任何关系。
二、事件互斥和独立的判断方法判断事件的互斥性和独立性可以通过以下方法进行：1. 对事件发生的样本空间进行分析：样本空间是指事件可能发生的所有情况组成的集合。
通过分析样本空间中的元素，我们可以判断事件之间是否互斥或独立。
2. 对事件的发生概率进行比较：事件发生的概率是描述事件发生可能性的数值。
通过比较事件的概率，可以初步判断事件是否互斥或独立。
如果事件A的发生与事件B的发生的概率之和与事件A的概率相等，则说明事件A与事件B互斥；如果事件A的发生与事件B的发生的概率之积与事件A的概率相等，则说明事件A与事件B独立。
三、事件互斥和独立的实际应用事件的互斥和独立性在现实生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是几个实际案例的应用：1. 抽奖活动：在抽奖活动中，每个抽取的奖品都是互斥的。
一个人只可能获得一个奖品，而不可能同时获得多个奖品。
2. 医学诊断：在医学中，多个疾病的发生可能会相互影响，因此需要判断这些疾病之间是互斥还是独立的，以进行正确的诊断和治疗。
3. 统计调查：在统计学中，通过对不同事件的调查和分析，可以判断事件之间是互斥还是独立的，从而进行正确的推断和预测。
“互斥事件”与“相互独立事件”的概念辨析
“互斥事件”与“相互独立事件”的概念辨析江少芳 上海市上海大学附属中学 邮编 （200444）电子邮箱：联系电话：通信地址：上海市宝山区上大路688号互斥事件和相互独立事件是概率论中的两个重要概念，但是很多同学在学习了这两个概念之后产生了混淆，从而在解题时导致了一些不易察觉的错误，那么互斥事件和相互独立事件到底有什么联系与区别？下面就来对这两个概念做一个有效的辨析。
一、概念辨析：（1）互斥事件：对于事件A 、B ，若不可能同时发生，则称A 、B 为互斥事件。
从集合的角度来认识，满足A B φ⋂=，进一步的，当A B =ΩU 时，事件A 、B 是对立事件。
因此有概率加法公式：()()()P A B P A P B ⋃=+，即()0P AB =，特别地，当A 、B 对立，记B A =，有()()=1P A P A +。
（2）独立事件：对于事件A 、B ，如果()()()P AB P A P B =•，那么称A 、B 是相互独立事件。
直观解释就是，事件A （或B ）发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响。
上述定义中的公式即相互独立事件的概率乘法公式。
可以证明，如果A 与B 相互独立，则A B A B A B 与、与、与也都相互独立。
二、实例辨析：判断下列事件A 、B 是否是互斥事件？是否是相互独立事件？（1）将一枚硬币连抛两次，事件A ：“两次出现正面”，事件B ：“只有一次出现正面”； 解析：显然事件A 、B 不可能同时发生，故为互斥事件，()0P AB =。
()()()()()11,42P A P B P AB P A P B ==≠•Q 又，则，因此A 、B 不是相互独立事件。
（2）如图所示，用A 、B 两类不同的元件连接成系统S ，当元件A 、B 都正常工作时，系统S 正常工作，已知元件A 、B 正常工作的概率依次为、，求系统S 正常工作的概率；解析：设元件A 、B 正常工作分别为事件A 、B ，由已知得()()0.80.9P A P B ==，，显然事件A （或B ）发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，A 、B 是相互独立事件，()()()0.720P AB P A P B =•=≠，即事件A 、B 完全可能同时发生，不是互斥事件。
概率的互斥与独立
概率的互斥与独立互斥与独立概率是描述事件发生关系的概念。
在概率论中，互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而独立事件是指一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
首先，让我们来了解一下互斥事件。
在概率论中，如果两个事件A 和B是互斥的，那么事件A和事件B不可能同时发生。
这意味着如果事件A发生了，那么事件B一定不会发生，反之亦然。
一个简单的例子是抛掷一枚硬币，如果事件A是正面朝上，事件B就是反面朝上，那么事件A和事件B就是互斥事件。
接下来，我们来讨论一下独立事件。
在概率论中，如果两个事件A 和B是独立的，那么事件A的发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，反之亦然。
一个常见的例子是抛掷一枚骰子，事件A是得到一个偶数点数，事件B是得到一个大于4的点数。
这两个事件是相互独立的，因为得到一个偶数点数并不会影响到得到一个大于4的点数的概率。
互斥事件和独立事件是概率论中非常重要的概念。
它们可以帮助我们计算复杂的概率问题，以及理解事件之间的关系。
现在让我们来看看一些使用互斥和独立概率的实际例子。
假设有一家电子公司正在考虑推出两种产品A和B。
公司的市场调研部门进行了调查，发现大约55%的顾客对产品A感兴趣，而40%的顾客对产品B感兴趣。
如果一个顾客被选择进行调查，那么以下是几种可能的情况：1. 如果事件A和事件B是互斥的，那意味着一个顾客要么对产品A 感兴趣，要么对产品B感兴趣，而不可能同时对两种产品感兴趣。
这意味着随机选择一个顾客，他对产品A感兴趣的概率是55%，对产品B感兴趣的概率是40%。
2. 如果事件A和事件B是独立的，那意味着一个顾客对产品A感兴趣与否与他对产品B感兴趣与否没有关系。
这意味着随机选择一个顾客，他对产品A感兴趣的概率仍然是55%，对产品B感兴趣的概率仍然是40%。
通过以上例子，我们可以看到互斥事件和独立事件之间的差异。
互斥事件发生的概率总和不会超过1，而独立事件发生的概率可以独立计算。
总结一下，互斥与独立是概率论中描述事件发生关系的重要概念。
高二数学独立性检验知识点
高二数学独立性检验知识点独立性检验是高中数学中的重要概念之一，用于判断两个或多个事件是否相互独立。
在数学考试中，独立性检验经常被应用于概率统计等相关题目。
本文将详细介绍高二数学中的独立性检验知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、独立性的定义和特性在进行独立性检验之前，我们首先需要了解独立性的定义和特性。
在概率统计中，两个事件A和B的独立性表示事件A的发生与事件B的发生是互相独立的，即A的发生不影响B的发生，反之亦然。
独立性的特性包括以下几个方面：1. 互斥性：如果A和B互斥（即A和B不能同时发生），则A和B是相互独立的。
2. 互不影响性：如果A和B是相互独立的，那么A和B的补事件也是相互独立的。
即P(A) = 1 - P(A')，P(B) = 1 - P(B')。
3. 乘法法则：如果A和B是相互独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
二、独立性检验方法在实际应用中，我们需要通过数据分析或实验来判断两个事件是否独立。
针对不同情况，有不同的独立性检验方法。
1. 经验法：当数据较少或不能进行大样本实验时，我们可以使用经验法来判断独立性。
经验法主要是通过观察、比较和思考来判断两个事件是否独立。
2. 理论法：当数据比较充足并且满足一定的条件时，我们可以使用理论法来进行独立性检验。
理论法主要是基于概率计算和统计推断来判断独立性。
三、常见的独立性检验方法在高二数学中，常见的独立性检验方法包括以下几种：1. 卡方检验：卡方检验是一种针对频数资料的检验方法，用于检验两个事件是否独立。
通过计算观察频数和期望频数之间的差异来判断独立性。
2. 相关系数检验：相关系数检验可以用于判断两个事件之间是否存在线性相关性。
当两个事件呈现出线性相关性时，它们往往是不独立的。
3. 二项分布检验：二项分布检验可以用于判断两个事件的独立性。
当事件满足二项分布的条件时，可以通过计算观察值与理论值之间的差异来判断独立性。
概率与统计中的事件的独立性与互斥性
概率与统计中的事件的独立性与互斥性在概率与统计领域中，事件的独立性与互斥性是两个重要的概念。
独立性指的是两个或多个事件之间的发生没有相互影响；而互斥性则表示两个或多个事件之间的发生是互相排斥的，即不能同时发生。
本文将详细介绍事件的独立性与互斥性的概念、特点以及在概率计算中的应用。
1. 独立性的概念事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生与不发生之间没有相互影响。
具体来说，对于两个事件A和B，如果事件A的发生与否不会对事件B的发生概率产生影响，并且事件B的发生与否也不会对事件A的发生概率产生影响，那么我们说事件A和事件B是独立的。
2. 独立性的特点事件的独立性具有以下几个特点：1) 两个事件同时发生的概率等于它们分别发生的概率的乘积。
即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
2) 两个事件同时不发生的概率等于它们分别不发生的概率的乘积。
即P(A'∩B') = P(A') * P(B')。
3) 事件的独立性与事件的互补性无关。
即事件A的独立性与事件A 的补事件（A'）的独立性无关。
3. 独立性的应用独立性在概率计算中有着广泛的应用，下面介绍其中几个常见的应用场景：1) 独立试验：当进行多次独立试验时，我们可以利用独立性的性质来计算事件的概率。
例如，抛掷一枚硬币，每次独立抛掷的结果都是相互独立的，这样我们可以计算出出现正面的概率为1/2。
2) 条件概率的计算：在已知某些事件已经发生的条件下，我们可以利用独立性来计算其他事件发生的概率。
例如，已知某个人患有某种疾病的概率为0.1，而在此疾病患者中，接受某种血液检测的概率为0.8，那么在已知某人接受该血液检测的情况下，他患病的概率为多少？3) 独立事件组合的概率计算：当多个事件之间相互独立时，我们可以利用独立性来计算多个事件同时发生或者同时不发生的概率。
例如，抛掷两枚硬币，求两个硬币都是正面的概率。
4. 互斥性的概念事件的互斥性是指两个或多个事件之间的发生是互相排斥的，即不能同时发生。
互斥事件和独立事件
互斥事件和独立事件浙江奉化奉港高级中学 罗永高 315500互斥事件和独立事件是高中数学概率中的两个重要概念,学生在学习这两个概念时,常常会混淆两着关系而导致判断错误和计算错误，怎样才能有效消除混淆，更好地区别这两个概念，本文结合实例，来阐述这两个概念的关系.问题 抛掷一颗骰子，记A 为事件“落地向上的数为奇数”，B 为事件“落地向上的数为偶数”，C 为事件“落地向上的数为3的倍数”，D 为事件“落地向上的数为大于3的数”，E 为事件“落地向上的数为7”。
判断下列每对事件是否互斥事件？是否对立事件？是否相互独立事件？（1）A 与B ，（2）A 与C ，（3）B 与C ，（4）A 与D ，（5）A 与.E分析解答 }.7{},6,5,4{},6,3{},6,4,2{},5,3,1{=====E D C B A,0)(,21)(,31)(,21)(,21)(=====E P D P C P B P A P .0)(,61)(,61)(,61)(,0)(=====AE P AD P BC P AC P AB P 得结论如下归纳方法1 对于事件,,B A 若B A ,所含结果组成的集合彼此互不相交，则B A ,为互斥事件，其意义为事件A 与B 不可能同时发生.思考 （1）若B A ,为互斥事件，问A 发生对事件B 发生的概率有影响吗？（2）若)()()(B P A P B A P +=+，问B A ,为互斥事件吗？（3）若,0)(=AB P 问B A ,为互斥事件吗？2对于事件,,B A 若),()()(B P A P AB P =则B A ,为相互独立事件，其意义为事件(A 或B ）发生件B （或)A 发生的概率没有影响，从集合角度看，若.0)(,0)(≠≠B P A P 则事件B A ,所包含的结果一定相交.3 若B A ,为相互独立事件，则A 与B ，A 与,B A 与B 均为相互独立事件，事件B A B A B A ⋅⋅⋅,,为互斥事件.揭示关系1 对于事件,,B A 若B A ,至少一个为不可能事件，则B A ,一定互斥，也一定相互独立.2 对于事件,,B A 若)(),(B P A P 至少一个为零，则B A ,一定相互独立，B A ,可能互斥也可能不互斥.3 对于事件,,B A 若)(),(B P A P 都不为零，（1） 若B A ,相互独立，则B A ,一定不互斥.证明 假设B A ,互斥，则,0)(=AB P 得.0)(0)(==B P A P 或与已知矛盾，所以B A ,一定不互斥.（2） 若B A ,互斥，则B A ,一定不相互独立.（3） 若B A ,不相互独立，则B A ,可能互斥也可能不互斥.（4） 若B A ,不互斥，则B A ,可能独立也可能不独立.思考 对于事件,,B A 若)(),(B P A P 都不为零，问B A ,是否可能既互斥又相互独立.应用举例例1 某人忘记了电话号码地最后一个数字，因而他随意的拨号，求拨号不超过3次就通电话的概率.分析 用i A 表示事件“第i 次拨通”，.3,2,1=i则 .)(,)(,101)(310293210192!A A A P A A A P A P === 321,,A A A 互斥，.103)()()(321=++=∴A P A P A P p 例2 某车间在三天内，每天生产10件产品，其中第一，第二，第三天分别生产了1，2，2件次品。
独立事件与互斥事件
独立事件与互斥事件概念解析独立事件和互斥事件都是概率论中的重要概念。
它们用于描述不同事件之间的关系，理解这两个概念对于正确计算概率和进行概率推断至关重要。
独立事件定义在概率论中，独立事件指的是两个或多个事件之间不会相互影响的情况。
也就是说，当一个事件发生时，并不会对其他事件的发生概率产生影响。
换句话说，独立事件是指事件之间的发生与否相互独立，没有关联性。
例如，假设我们有一个袋子里有红球和蓝球，每次从袋子里随机取出一个球后，放回袋子中再取，这个过程可以重复多次。
在这种情况下，每次取球时的结果都是独立事件，因为之前取球的结果不会对后续的取球产生影响。
互斥事件定义互斥事件指的是两个或多个事件之间不存在重叠部分的情况。
当一个事件发生时，其他事件就不可能发生。
换句话说，互斥事件是指事件之间的发生与否是相互排斥的。
以抛掷一枚硬币为例，当我们抛掷硬币时，结果只能是正面或者反面。
这两个结果是互斥事件，因为无法同时出现正面和反面。
抛掷硬币的结果被称为一个事件，而正面和反面是互斥事件。
两者关系比较独立事件和互斥事件都是用来描述事件之间的关系，但它们在本质上是不同的。
首先，独立事件是指事件之间的发生与否相互独立，没有关联性；而互斥事件则是指事件之间的发生与否是相互排斥的。
其次，独立事件的发生不会对其他事件的发生概率产生影响；而互斥事件的发生与否是互相排斥的，当一个事件发生时，其他事件就不可能发生。
最后，独立事件和互斥事件在计算概率时的处理方法也不同。
对于独立事件，我们可以直接将各个事件的概率相乘来计算整体概率；而对于互斥事件，我们需要将各个事件的概率相加来计算整体概率。
结论独立事件是指事件之间的发生与否相互独立，没有关联性；互斥事件是指事件之间的发生与否是相互排斥的。
理解独立事件和互斥事件的概念对于正确计算概率和进行概率推断至关重要。
在实际应用中，我们需要根据具体情况判断事件之间的关系，选择适当的方法进行概率计算和分析。
试探互斥事件与相互独立事件的区分方法
试探互斥事件与相互独立事件的区分方法随机试验中事件的概率计算何时使用互斥事件概率的加法公式，何时使用相互独立事件概率的乘法公式，常是初学这部分知识的人难以把握的问题，引起麻烦的根源主要是无法确定事件间的关系究竟属于互斥事件还是独立事件。
判断两个事件之间的关系首先从定义入手，互斥事件发生在一次试验可能出现的不同结果中，这两个（或多个）事件不可能同时发生，而相互独立事件发生互不干涉的不同试验中，一个事件发生与否对另一个事件发生的概率不产生影响。
其次，从事件发生的结果入手判断事件间的关系，互斥事件若有一个发生，那么其他事件在试验中就不能再发生了；而相互独立事件中一个事件在试验中发生，对其它事件是否发生不产生任何影响。
再之，从事件的来源入手，即从产生事件的试验入手，互斥事件发生在同一次试验中，两个互斥事件A和B不会同时发生，但它们的概率相互影响，总有0≤P（A）+P（B）≤1相互独立事件发生于不同试验中，两个相互独立事件A和B是否发生互斥影响，产生事件的试验也相互独立互不影响，概率关系同样互不影响，总有0≤P（A）≤1、0≤P（B）≤1。
从两个概率公式入手，分析适应的事件关系也可以判断事件间的关系，对于互斥事件有一个发生的概率加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），要求事件A、B之一发生（且只能有一个发生），具有明确的排斥性；对于相互独立事件的概率乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），要求事件A、B同时发生，如果满足不了同时发生的条件，那么这两个事件肯定不是相互独立事件。
从两个概率公式的适用条件看，是否能够分清事件A和B的关系（这些事件是一次试验的结果还是几次独立试验的结果）到关重要，下面举两个例子加以阐述。
例1：甲乙两人各进行一次射击，如果两人击目标的概率都是0.8计算：（1）工人都击中目标的概率（2）其中恰有一人击中目标的概率（3）至少有一人击中目标的概率解（1）：把甲射击目标的过程看作一次试验，记“甲射击一次击中目标”为事件A，“乙射击一次击中目标”为事件B，两人各射击一次，这两个试验相互之间互不影响，因此，A、B为两个相互独立事件，2人都击中目标是A发生且B 发生，即A、B同时发生，因此求解应利用相互独立事件的乘法公式。
概率的独立与互斥事件
概率的独立与互斥事件概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在概率理论中，独立事件和互斥事件是两个基本概念。
本文将讨论概率中的独立与互斥事件，并分析它们之间的关系。
1. 独立事件独立事件指的是两个或多个事件之间相互没有影响，即一个事件的发生不会对其他事件的发生产生影响。
更准确地说，事件A和事件B是独立事件，当且仅当它们的联合概率等于各自概率的乘积。
表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
例如，考虑两个骰子的掷骰实验。
事件A为第一个骰子出现点数为3，事件B为第二个骰子出现点数为6。
由于每个骰子的点数是相互独立的，事件A和事件B是独立事件。
因此，P(A∩B) = P(A) × P(B) =1/6 × 1/6 = 1/36。
2. 互斥事件互斥事件指的是两个事件之间不可能同时发生，即一旦其中一个事件发生，另一个事件就不可能发生。
用数学语言表示，事件A和事件B是互斥事件，当且仅当它们的交集为空集。
表示为：A∩B = ∅。
例如，考虑抛硬币的实验。
事件A为硬币正面朝上，事件B为硬币反面朝上。
由于硬币不能同时出现正反两面，事件A和事件B是互斥事件。
因此，A∩B = ∅。
3. 独立与互斥的关系独立事件和互斥事件是概率理论中常用的两个概念，它们之间存在一定的关系。
首先，对于独立事件来说，它们是不互斥的。
因为独立事件的定义是互不影响，即一个事件的发生对其他事件的发生没有任何影响。
其次，对于互斥事件来说，它们不一定是独立的。
互斥事件并不排斥同时发生，只是它们的交集为空。
因此，即使互斥事件发生的可能性很高，但它们仍然可能在某些情况下同时发生，所以不能简单地认为互斥事件就是独立事件。
最后，独立事件和互斥事件是两个相互排斥的概念。
当两个事件既不独立又不互斥时，它们之间存在了一定的关联性，需要通过其他的概率理论概念来描述和计算。
综上所述，概率中的独立和互斥事件是两个基本概念。
概率中的独立事件与相互排斥事件
概率中的独立事件与相互排斥事件概率理论是数学中一个重要的分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在概率论中，有两个重要的概念：独立事件和相互排斥事件。
这两个概念在概率计算中起着至关重要的作用，让我们来深入了解它们。
独立事件独立事件是指一个事件的发生不会影响另一个事件发生的概率。
换句话说，两个事件是相互独立的，它们的发生与否互不影响。
在概率计算中，如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的联合概率可以简单地通过各自概率的乘积来计算。
举个简单的例子来说明独立事件：抛一枚硬币和掷一颗骰子，这两个事件是独立的。
抛硬币出现正面的概率不会影响到骰子掷出特定点数的概率，它们之间是相互独立的。
相互排斥事件相互排斥事件是指两个事件之间不可能同时发生的情况。
也就是说，如果事件A发生了，那么事件B就不可能再发生，反之亦然。
在概率计算中，如果事件A和事件B是相互排斥事件，那么它们的联合概率为零。
举个简单的例子来说明相互排斥事件：一枚硬币既不可能同时出现正面和反面，这两个事件是相互排斥的。
当硬币正面朝上时，反面朝上的概率就为零，它们之间是相互排斥的。
独立事件和相互排斥事件在概率论中扮演着不同的角色，但都对概率计算有着重要的影响。
了解这两种事件类型的特点和计算方法，有助于我们更准确地理解和运用概率理论，解决各种实际问题。
概率中的独立事件与相互排斥事件，是我们在处理概率计算时常常会涉及到的重要概念。
通过深入理解它们的定义和特点，我们可以更好地运用概率理论解决现实生活中的各种问题。
熟练掌握独立事件和相互排斥事件的概念及其计算方法，对于提升概率计算的准确性和效率具有重要意义，同时也为我们更好地理解和运用概率理论提供了有力支持。
互斥与相互独立的关系
互斥与相互独立的关系
互斥与相互独立是一种截然不同的概念，它们涉及到在某些特定情境中有可能
发生的各种情况。
互斥关系是指两个相互对立的场景或对象无法同时存在，而只能有一方存在。
而相互独立的关系指的是，事件或者对象之间彼此之间可以相互结合，但是又不存在互斥的关系。
从理论上来看，我们生活中每一件事都有互斥与相互独立的可能性。
比如，科
技与文化的关系就是互斥的，科技的发展会对文化的传承造成破坏。
但是，新的科技也可以帮助大众更加容易地获取文化知识，进而助推文化传承的可能性也就有了。
再比如，音乐与电影是相互独立的，一部电影可以没有音乐，而音乐也可以没有媒体形式，只由声乐家一人表演出来。
在很多情况下，这种结合形式更能引发情感共鸣和感受。
实际上，互斥与相互独立关系也可以转化成我们生活中的一些有趣的“游戏”。
比如将国际象棋转变成四项棋，加入飞行的部分，以此来发展多角棋的可能性，诸如此类。
我们可以将这种多元思维施于生活娱乐中，将普通的游戏变为充满乐趣的华丽色彩。
总之，互斥与相互独立关系是多元思维体系中的重要组成部分，它们可以被广
泛应用于多种不同的情境，尤其是生活娱乐方面。
真正的强大的想象力和创造力使一切变得美好，给我们创造出更多精彩的体验。
互斥与相互独立
1.“互斥”的含义设若事件A与B不可能同时发生，即A与B的交为不可能事件（空集），从而P(AB)=0，则称A与B互不相容或互斥。
进一步地，设若A与B同时满足必有一个事件发生的条件，即A与B的交为不可能事件，A与B的并为必然事件，从而P(A)+P(B)=1，P(AB)=0，则称A与B互相对立(互逆)事件。
上述所谓两个互斥事件A 、B 不可能同时发生，具体包括三种情景：一是仅事件A 发生；二是仅事件B 发生；三是事件A和B 都不发生。
当然，设若事件A、B 对立，则只须考虑前两种情况了。
因此，互斥的概念适用于描述多个事件之间的关系，而对立概念则只适用于描述两个事件之间的关系。
两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可能都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
2.“相互独立”的含义设若事件A和B满足P(A/B)=P(A)，P(B/A)=P(B) ，从而满足P(AB)=P(A)P(B)，则称该事件A和B 相互独立。
可见，事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念。
互斥说的是两个事件不能同时发生；而相互独立则是允许两个事件同时发生，只是其中一个事件的发生与否对另外一个事件发生的可能性不会产生任何影响。
因此，互斥属于纯粹用来刻画事件之间相互关系的概念；而相互独立则是用来刻画事件之间概率关系的概念。
在逻辑上，可以将互斥事件理解为一次试验下可能出现的不同基本事件，而将相互独立事件理解为两次或更多次不同试验下相应出现的不同事件。
故此，若A 与B 为互斥事件，则应使用概率加法公式来计算A或B发生的概率：P( A + B) = P( A) +P( B)。
而若A 与B 为相互独立事件，则应使用概率乘法公式来计算A和B同时发生的概率（联合概率）：P( AB) = P( A)P( B) 。
3. “相互独立”与“互斥”互不相容设若A、B相互独立，则根据定义，必有P(AB)=P(A)P(B)。
互斥事和独 立事件的区分与应 用
p 薛振峰互斥事件和独立事件的区分与应用作为新教材刚增加的内容)))概率,年年高考都有大题出现,可见其重要性.下面以近几年的高考题为例说明其应用.一、互斥事件和独立事件的区分互斥事件独立事件定义不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件事件A(或B )是否发生对事件B (或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件.判断11无公共的基本事件21从集合角度看无公共元素,即A H B =1.由定义直观判断;21具体场合分析其属性;31判断P (AB )与P (A )#P (B )是否相等.公式P (A +B )=P (A)+P (B )P (AB )=P (A)#P (B )关系互斥一定不独立,独立一定不互斥.注:对/互斥一定不独立,独立一定不互斥0的解释,若事件A 、B 互斥,即A B =,P (AB)=0,而P (A)#P (B )X 0,P (AB)X P (A )#P (B ),所以事件A 、B 一定不独立;若事件A 、B 独立,有P (A B )=P (A)#P (B ),则事件A 、B 一定不互斥(否则事件A 、B 互斥,有A B =,P (A B )=0,即P (A )#P (B )=0,P (A)=0或P (B )=0矛盾).二、互斥事件和独立事件的应用例1(2000年天津)甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题.()甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?()甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?解:()甲从选择题中抽到一题的可能结果有C 16个,乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C 14个,故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有C 16C 14个;又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为C 110C 19个,所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为C 16C 14C 110C 19=415,所求概率为415;()甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为C 14C13C 110C 19,故甲、乙二人中至少有一人抽取选择题的概率为1-C 14C 13C 110C 19=1315,所求概率为1315.或C 16C 15C 110C 19+C 16C 14C 110C 19+C 14C 16C 110C 19=13+415+415=1315,所求概率为1315.本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.例2(2001年天津)如图1,用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2.当元件A 、B 、C 都正常工作时,系统N 1正常工作;当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时,系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.解:P (A)=0.80,P (B )=0.90,P (C )=0.90.()因为事件A 、B 、C 是相互独立的,所以,系统N 正常工作的概率=(#B#)=()#(B )#()=@@##数理化学习(高中版)1P 1P A C P A P P C 0.800.900.9022=0.648.故系统N1正常工作的概率为0.648.()系统N2正常工作的概率P2= P(A)[1-P(B#C)]=P(A)[1-P(B)# P(C)],因为P(B)=1-P(B)=1-0.90= 0.10,P(C)=1-P(C)=1-0.90=0.10.所以P2=0.80@[1-0.10@0.10]=0.80@0. 99=0.792.故系统N2正常工作的概率0.792.本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法,考查运用概率知识解决实际问题的能力.例3(2003年新课程卷文)有三种产品,合格率分别是0.90、0.95和0.95,各抽取一件进行检验.(1)求恰有一件不合格的概率;(2)求至少有两件不合格的概率.(精确到0.001)解:设三种产品各抽取一件,抽取合格产品的事件分别为A、B和C.(1)P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95, P(A)=0.10,P(B)=P(C)=0.50.因为事件A、B、C相互独立,恰有一件不合格的概率为P(A#B#C)+P(A#B#C)+P(A#B#C) =P(A)#P(B)#P(C)+P(A)#P(B)#P(C) +P(A)#P(B)#P(C)=2@0.90@0.95@ 0.05+0.10@0.95@0.95=0.176.答:恰有一件不合格的概率为0.176.(2)解法1:至少有两件不合格的概率为P(A#B#C)+P(A#B#C)+P(A#B#C)+ P(A#B#C)=0.90@0.052+2@0.10@0.05 @5+@52=解法三件产品都合格的概率为P(A#B#C)=P(A)#P(B)#P(C)= 0.90@0.952=0.812由()知,恰有一件不合格的概率为0.176,所以至少有两件不合格的概率为1-[P(A#B#C)+0.176]=1-(0.812+0.176) =0.012.答:至少有两件不合格的概率为0.012.例4(2002年天津)某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)(1)求至少3人同时上网的概率;(2)至少几人同时上网的概率小于0.3?解:(1)至少3人同时上网的概率C360.56+ C460.56+C560.56+C660.56=2132,或1-C060.56-C160.56-C260.56=2132.(2)至少4人同时上网的概率C460.56+ C560.56+C660.56=1132>0.3,至少5人同时上网的概率C560.56+C660.56=764<0.3.因此至少5人同时上网的概率小于0.3.本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法,考查运用概率知识解决问题的能力.总之,概率高考题有时考查互斥事件的概率,如例1,也有时考查独立事件的概率,如例2,也有时综合考查事件的概率,如例3、例4,因其题型以解答题出现,因此应稍有点难度,特别要用好对立事件的概率,另外上海高考题一直是以填空题的形式考查概率,以后全国高考题也必然会出现这种形式,不管哪一种题型,解题的基础是等可能事件的概率.山东省高密市第四中学(261514)#3#数理化学习(高中版)0.90.100.00.0122:2。
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试探互斥事件与相互独立事件的区分方法
随机试验中事件的概率计算何时使用互斥事件概率的加法公式，何时使用相互独立事件概率的乘法公式，常是初学这部分知识的人难以把握的问题，引起麻烦的根源主要是无法确定事件间的关系究竟属于互斥事件还是独立事件。
判断两个事件之间的关系首先从定义入手，互斥事件发生在一次试验可能出现的不同结果中，这两个（或多个）事件不可能同时发生，而相互独立事件发生互不干涉的不同试验中，一个事件发生与否对另一个事件发生的概率不产生影响。
其次，从事件发生的结果入手判断事件间的关系，互斥事件若有一个发生，那么其他事件在试验中就不能再发生了；而相互独立事件中一个事件在试验中发生，对其它事件是否发生不产生任何影响。
再之，从事件的来源入手，即从产生事件的试验入手，互斥事件发生在同一次试验中，两个互斥事件A和B不会同时发生，但它们的概率相互影响，总有0≤P（A）+P（B）≤1相互独立事件发生于不同试验中，两个相互独立事件A和B是否发生互斥影响，产生事件的试验也相互独立互不影响，概率关系同样互不影响，总有0≤P（A）≤1、0≤P（B）≤1。
从两个概率公式入手，分析适应的事件关系也可以判断事件间的关系，对于互斥事件有一个发生的概率加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），要求事件A、B之一发生（且只能有一个发生），具有明确的排斥性；对于相互独立事件的概率乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），要求事件A、B同时发生，如果满足不了同时发生的条件，那么这两个事件肯定不是相互独立事件。
从两个概率公式的适用条件看，是否能够分清事件A和B的关系（这些事件是一次试验的结果还是几次独立试验的结果）到关重要，下面举两个例子加以阐述。
例1：甲乙两人各进行一次射击，如果两人击目标的概率都是0.8计算：
（1）工人都击中目标的概率
（2）其中恰有一人击中目标的概率
（3）至少有一人击中目标的概率
解（1）：把甲射击目标的过程看作一次试验，记“甲射击一次击中目标”为事件A，“乙射击一次击中目标”为事件B，两人各射击一次，这两个试验相互之间互不影响，因此，A、B为两个相互独立事件，2人都击中目标是A发生且B发生，即A、B同时发生，因此求解应利用相互独立事件的乘法公式。
P（A·B）=P（A）·P（B）=0.8×0.8=0.64
即甲乙两人都击中目标的概率为0.64
(2)”其中恰有一人击中目标”这一要求是把甲乙两人各射击一次的过程看作一次试验,这次试验含有两个过程,在由这两个过程形成的每一个事件中都抱括两种同时发生的情况,“恰有一人击中”包括A击中B没有击中（事件A·B，在这里A和B又是相互独立事件），或A没有击中B击中（事件A·B，在这里A和B相互独立）两个互斥事件，所以首先要利用相互独立事件的概率乘法公式分别计算A·B和A·B，再利用互斥事件的概率加法公式求A·B+A·B，所以其中恰有一人击中目标的概率为P（A·B+A·B）
=P（A·B）+P（A·B
=P（A）·P(B)+P（A）·P(B
=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32
（3）通过上面分析，对于“至少有一人击中目标的概率可直接求解，也可以从对立事件入手，易得：
P=P（A·B+ A·B+ A·B）=P（A·B）
=P（A·B）+P（A·B）+P（A·B）
=P（A）·P（B）+P（A）P（B）+ P（A）P（B）
=0.8×0.8+0.8×0.2+0.2×0.8=0.96
或P=P(A+B)=1-( A·B)
=1-P(A) ·P(B))
=1-(1-0.8)×(1-0.8)
=0.96 (对立事件法)
解2 有三种产品，合格率分别为0.9 0.85 0.85各抽取一件进行检验,求
恰有一件不合格品的概率
至少有两件不合格品的概率
解析:从抽取的结果看,每次在三件产品中各抽取一件,共三件,这三件产品合格与否互不影响,可以看作是相互独立的结果(把结果看成事件时,如三个相互独立事件),当把抽出的产品看成是一次试验(这个试验包含三个抽取过程)的结果时,不同质量的三件产品构成的事件为互斥事件.
记“三种产品各抽取一件，抽取的是合格产品”的事件分别为A、B、C，P（A）=0.9 P(B)=0.85 P(C)=0.85
(1)“恰有一件不合格品”的事件有ABC，ABC，ABC三种情况，其概率为
P=P（ABC+ABC+ABC）
=P（A·B·C）+P（A·B·C）+P（A·B·C）
=P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）
=0.9×0.85×0.15+0.9×0.15×0.85+0.1×0.85×0.85
≈0.302
(2)至少有两件不合格品的概率为
P=P(A·B·C+ A·B·C + A·B·C + A·B·C)
=(1-0.9) ×(1-0.85) ×(1-0.85)+2×(1-0.9)(1-0.85) ×0.85+0.9×0.15×0.15
=0.048
总之，在利用两个公式计算事件概率时，确定出事件间的相互关系是正确利用公式的前提条件，能否在作题之前有珍上明确的思路判断和清楚的思想认识，显得尤为重要，也特别希望大家在学习过程中，不断研究，不断探索，在学习中提高，在总结中进步。
试用隔离法解“至少”的组合问题
对于初学排列与组合知识的学生而言解题非常困难，往往感到无从下手，那么我们谈谈一类组合问题的解法：有一类“至少”有一个的组合问题，用隔离法可快速求解。
例1：7个相同的小球全部装入3个不同的盒子，且每一个盒子至少装1个球，有多少种不同的装法？
解法1：设这三个盒子装入小球的个数分别为1
x 23、x 、x 则1237x x x ++=，且1
x 23、x 、x 均为正整数，所以小球的不同装法数等于上述方程的解的组数。
若，则236x x +=，有5组不同的正整数解
若12x =，则235x x +=，有4组不同的正整数解
…… …… …… ……
若，则方程232x x +=，有一组不同的正整数解
所以方程1237x x x ++=
，共有5+4+3+2+1=15组不同的正整数解，故有15种不同的装法。
解法2：我们先把每一个盒子装入一个球，再求剩余4个球全部放入3个盒子的不同装法数，就是原题答案。
第一类4个球装入1个盒子有13C 种装法
第二类1个盒子装3个，一个盒子装1个有23A 种装法
第三类2个盒子各装2个，有种装法
第四类1个盒子装2个，其余两个盒子各装1个有13C 种装法
因此，共有13C +23A ++13C =15种不同装法。
解法2比解法1简捷且容易想到，但随盒子和小球数目的增加，难度将越来越大，还不是一般性方法，下面给出一种隔离法解答。
解法3：将7个球排成一列，它们之间有6个空位，从中取两个空位把7个球分成三个组，叫6个空取出2个空的一种隔离，显然所有这样隔离的个数，就是本题的解答，因此共=15种装法。
例2 20种相同的物品，全部分给5名学生，且每人至少一件，有多少种不同分法？
解：将20种物品排成一排，它们之间有19个空位中任取4个的隔离数为419C =3876，因此，共有3876种分法。
例3 10个相同的小球，全部装入3个盒子，要求每个盒子至少装两个小球，有多少种不同装法？
解：先把每个盒子各装一个球，则问题转化为7个小球全部装入3个盒子，每盒至少装一个球的问题，共有=15种装法。
例4 12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，每盒可空，有多少不同装法？
解：因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，插入法无法应用，现在建立如下模型，将三块隔板与12个球排成一排，则如下000||00000|0000，隔板将这
一排球分成4块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即1、2、3、4四个盒子相应放入3个、0个、5个、4个小球，这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法，排列的位置有15个，先将这15个位置中选出3个位置放隔板有315C 种选法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以球与隔板的排法
有315C 种，故球的放法有315C =455种。