试探互斥事件与相互独立事件的区分方法

试探互斥事件与相互独立事件的区分方法

随机试验中事件的概率计算何时使用互斥事件概率的加法公式，何时使用相互独立事件概率的乘法公式，常是初学这部分知识的人难以把握的问题，引起麻烦的根源主要是无法确定事件间的关系究竟属于互斥事件还是独立事件。

判断两个事件之间的关系首先从定义入手，互斥事件发生在一次试验可能出现的不同结果中，这两个（或多个）事件不可能同时发生，而相互独立事件发生互不干涉的不同试验中，一个事件发生与否对另一个事件发生的概率不产生影响。

其次，从事件发生的结果入手判断事件间的关系，互斥事件若有一个发生，那么其他事件在试验中就不能再发生了；而相互独立事件中一个事件在试验中发生，对其它事件是否发生不产生任何影响。

再之，从事件的来源入手，即从产生事件的试验入手，互斥事件发生在同一次试验中，两个互斥事件A和B不会同时发生，但它们的概率相互影响，总有0≤P（A）+P（B）≤1相互独立事件发生于不同试验中，两个相互独立事件A和B是否发生互斥影响，产生事件的试验也相互独立互不影响，概率关系同样互不影响，总有0≤P（A）≤1、0≤P（B）≤1。

从两个概率公式入手，分析适应的事件关系也可以判断事件间的关系，对于互斥事件有一个发生的概率加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），要求事件A、B之一发生（且只能有一个发生），具有明确的排斥性；对于相互独立事件的概率乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），要求事件A、B同时发生，如果满足不了同时发生的条件，那么这两个事件肯定不是相互独立事件。

从两个概率公式的适用条件看，是否能够分清事件A和B的关系（这些事件是一次试验的结果还是几次独立试验的结果）到关重要，下面举两个例子加以阐述。

例1：甲乙两人各进行一次射击，如果两人击目标的概率都是0.8计算：

（1）工人都击中目标的概率

（2）其中恰有一人击中目标的概率

（3）至少有一人击中目标的概率

解（1）：把甲射击目标的过程看作一次试验，记“甲射击一次击中目标”为事件A，“乙射击一次击中目标”为事件B，两人各射击一次，这两个试验相互之间互不影响，因此，A、B为两个相互独立事件，2人都击中目标是A发生且B发生，即A、B同时发生，因此求解应利用相互独立事件的乘法公式。

P（A·B）=P（A）·P（B）=0.8×0.8=0.64

即甲乙两人都击中目标的概率为0.64

(2)”其中恰有一人击中目标”这一要求是把甲乙两人各射击一次的过程看作一次试验,这次试验含有两个过程,在由这两个过程形成的每一个事件中都抱括两种同时发生的情况,“恰有一人击中”包括A击中B没有击中（事件A·B，在这里A和B又是相互独立事件），或A没有击中B击中（事件A·B，在这里A和B相互独立）两个互斥事件，所以首先要利用相互独立事件的概率乘法公式分别计算A·B和A·B，再利用互斥事件的概率加法公式求A·B+A·B，所以其中恰有一人击中目标的概率为P（A·B+A·B）

=P（A·B）+P（A·B

=P（A）·P(B)+P（A）·P(B

=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32

（3）通过上面分析，对于“至少有一人击中目标的概率可直接求解，也可以从对立事件入手，易得：

P=P（A·B+ A·B+ A·B）=P（A·B）

=P（A·B）+P（A·B）+P（A·B）

=P（A）·P（B）+P（A）P（B）+ P（A）P（B）

=0.8×0.8+0.8×0.2+0.2×0.8=0.96

或P=P(A+B)=1-( A·B)

=1-P(A) ·P(B))

=1-(1-0.8)×(1-0.8)

=0.96 (对立事件法)

解2 有三种产品，合格率分别为0.9 0.85 0.85各抽取一件进行检验,求

恰有一件不合格品的概率

至少有两件不合格品的概率

解析:从抽取的结果看,每次在三件产品中各抽取一件,共三件,这三件产品合格与否互不影响,可以看作是相互独立的结果(把结果看成事件时,如三个相互独立事件),当把抽出的产品看成是一次试验(这个试验包含三个抽取过程)的结果时,不同质量的三件产品构成的事件为互斥事件.

记“三种产品各抽取一件，抽取的是合格产品”的事件分别为A、B、C，P（A）=0.9 P(B)=0.85 P(C)=0.85

(1)“恰有一件不合格品”的事件有ABC，ABC，ABC三种情况，其概率为

P=P（ABC+ABC+ABC）

=P（A·B·C）+P（A·B·C）+P（A·B·C）

=P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）

=0.9×0.85×0.15+0.9×0.15×0.85+0.1×0.85×0.85

≈0.302

(2)至少有两件不合格品的概率为

P=P(A·B·C+ A·B·C + A·B·C + A·B·C)

=(1-0.9) ×(1-0.85) ×(1-0.85)+2×(1-0.9)(1-0.85) ×0.85+0.9×0.15×0.15

=0.048

总之，在利用两个公式计算事件概率时，确定出事件间的相互关系是正确利用公式的前提条件，能否在作题之前有珍上明确的思路判断和清楚的思想认识，显得尤为重要，也特别希望大家在学习过程中，不断研究，不断探索，在学习中提高，在总结中进步。

试用隔离法解“至少”的组合问题

对于初学排列与组合知识的学生而言解题非常困难，往往感到无从下手，那么我们谈谈一类组合问题的解法：有一类“至少”有一个的组合问题，用隔离法可快速求解。

例1：7个相同的小球全部装入3个不同的盒子，且每一个盒子至少装1个球，有多少种不同的装法？

解法1：设这三个盒子装入小球的个数分别为1

x 23、x 、x 则1237x x x ++=，且1

x 23、x 、x 均为正整数，所以小球的不同装法数等于上述方程的解的组数。 若，则236x x +=，有5组不同的正整数解

若12x =，则235x x +=，有4组不同的正整数解

…… …… …… ……

若，则方程232x x +=，有一组不同的正整数解

所以方程1237x x x ++=

，共有5+4+3+2+1=15组不同的正整数解，故有15种不同的装法。

解法2：我们先把每一个盒子装入一个球，再求剩余4个球全部放入3个盒子的不同装法数，就是原题答案。

第一类4个球装入1个盒子有13C 种装法

第二类1个盒子装3个，一个盒子装1个有23A 种装法

第三类2个盒子各装2个，有种装法

第四类1个盒子装2个，其余两个盒子各装1个有13C 种装法

因此，共有13C +23A ++13C =15种不同装法。

解法2比解法1简捷且容易想到，但随盒子和小球数目的增加，难度将越来越大，还不是一般性方法，下面给出一种隔离法解答。

解法3：将7个球排成一列，它们之间有6个空位，从中取两个空位把7个球分成三个组，叫6个空取出2个空的一种隔离，显然所有这样隔离的个数，就是本题的解答，因此共=15种装法。

例2 20种相同的物品，全部分给5名学生，且每人至少一件，有多少种不同分法？

解：将20种物品排成一排，它们之间有19个空位中任取4个的隔离数为419C =3876，因此，共有3876种分法。

例3 10个相同的小球，全部装入3个盒子，要求每个盒子至少装两个小球，有多少种不同装法？

解：先把每个盒子各装一个球，则问题转化为7个小球全部装入3个盒子，每盒至少装一个球的问题，共有=15种装法。

例4 12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，每盒可空，有多少不同装法？

解：因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，插入法无法应用，现在建立如下模型，将三块隔板与12个球排成一排，则如下000||00000|0000，隔板将这