第四章弹塑性波的相互作用
弹 塑 性 力 学第四章
x e 2 x y e 2 y z e 2 z
（4-3）
y y x y 3 2 2 3 2
且
K
E 3 1 2
因此
E K e 3 1 2v
广义胡克定律
3、 应力张量和应变张量表示的广义胡克定律
球张量
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
m
1 x y z x y z x y z 3 3E 1 E 2 1 2 x y z 1 2 m m, K 3 3K 3 1 2 3 E E m
1 m 3K 2 K 3
对比等式两边，可得：sij 2Geij
广义胡克定律
（4-12） 广 sij 2Geij 西 工 物体的变形可分为两部分：一部分是各向相等的正应力引起的 学 院 相对体积改变；一部分是应力偏量引起的物体几何形状的变化。
广义胡克定律可写为 m 3K m
x y z
2 ij sij m ij ij e 2 ij 3 ij m 2G eij m ij 2Geij 3 G m ij 3
偏张量
eij ij m ij
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
式中， G
E 2 1 v
为各向同性物体的剪切弹性模量。
表示材料弹性性能的常数有3个（E、v、G)，但只有两个是 独立的。 1 v v 张量记法： ij ij ij E E vE ij e E ij ij 1 v 1 v 1 2v
弹性波和塑性波
第一题：推导波动方程，简述弹性波和塑性波的主要区别？要求给出主要的推导步骤，主要的方程，以及弹性波和塑性波的本质区别。
圆柱杆中的弹性波的传播，如图所示为撞击杆以速度V 撞击长圆柱杆，并在圆柱杆中产生了自左向右传播的压缩应力波。
T 时刻，这个扰动的波阵面在x 位置处。
分析时忽略横向即杆Oy 方向的应变和惯性。
在t 时刻，考察波阵面在截面AB 和A`B`的情况，截面A`B`离起始位置的距离为x+δx,对AA ’BB ’部分。
这里需要设定几个假设：1、忽略细长杆的横向应变和横向惯性效应；2、忽略杆的重力和材料阻尼；3、变形前后横截面为平面，即平截面假定。
应用牛顿第二定律，有图：波在杆中的传播（a ）冲击前；（b ）冲击后F ma =22x A A x A x x t σσσδρδ⎡∂⎤∂⎛⎫--+= ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦ 22u x tσρ∂∂=∂∂ 而变形是弹性的且假定满足胡克定律：=E σε其中ε为应变，定义为/u x ∂∂，负号表示压应变，因此有22u u E x x tρ∂∂∂⎡⎤=⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 和2222u E u t xρ∂∂=∂∂ 上式即为弹性波的波动方程，其中0EC ρ=为波速。
二、弹性波和塑性波的区别当物体某部分突然受力时，该处将产生弹性变形，并以波的形式向周围传播，使整个物体产生弹性变形，这种波称为弹性波。
当物体受到超过弹性极限的冲击应力扰动后产生的应力和应变的传播、反射，并使得物体产生塑性变形，这种波称为塑性波。
由于固体材料弹性性质和塑性性质的不同，因此在均匀的弹塑性介质中传播的塑性波和弹性波是有区别的，主要表现在：1、塑性波波速与应力有关，它随着应力的增大而减小，较大的变形将以较小的速度传播，而弹性波的波速与应力大小无关；2、在应力σ和应变ε的关系满足()σσε=时，塑性波波速总比弹性波波速小；3、塑性波在传播的过程中波形会发生变化,而弹性波则保持波形不变。
弹性波和塑性波的这些本质区别可以从波动方程中看出，在波动方程中的C 表示的就是应力波的传播速度，其中 弹性波的波速为：001d C C d σερ==，,Y d d E σσε≤= 塑性波的波速为：001d C C d σερ=<，,Y d d E σσε>< 其中Y 表示材料的屈服强度，E 表示材料的弹性模量。
弹塑性力学第四章
代入广义胡克定律
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
b
广义胡克定律
由应力分量的坐标变换公式（2-20）可得：
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
xy l11l22 xy xy 2 x l11 x x 2 y l22 y y 2 z l33 z z
上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下 的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律
广义胡克定律的张量表示： ij cijkl kl cijkl 称为弹性系数，一共有36个。
i, j, k , l 1, 2.3
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将 有不同的弹性效应，因此一般的讲，cmn 是坐标x，y，z 的函数。 如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点， 如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各 点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 因此cmn为弹 性常数，与坐标无关。 各向同性材料，独立的弹性常数只有两个。
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
式中， G
E 2 1 v
为各向同性物体的剪切弹性模量。
表示材料弹性性能的常数有3个，但只有两个是独立的。 张量记法：
1 v v ij ij E E vE ij e E ij ij 1 v 1 v 1 2v
弹塑性详解
弹塑性的未来发展
智能材料
未来弹塑性材料将与智能传感器和控制系统集成,实现自主监测和自适应调节,提高结构系统的稳定性和可靠性。
高性能应用
在航空航天、汽车制造、能源等领域,弹塑性材料将发挥更大作用,提高关键部件的抗冲击和耐疲劳能力。
仿生设计
从生物体的运动机理中吸取灵感,开发出更高效、协调的弹塑性机构,应用于机器人、生化假肢等领域。
制造工艺控制
弹塑性理论在冲压、挤压、锻造等成形加工中发挥重要作用,可预测工件变形、确定最佳工艺参数,提高产品质量。
生物医学应用
医疗器械和义肢设计需要利用弹塑性分析,确保其能适应人体组织的变形特性,提高舒适度和功能性。
弹塑性的重要性
1
提高结构安全性
弹塑性能够增强材料和结构在外力作用下的变形能力,有效降低意外事故发生的风险,提高结构的安全可靠性。
弹塑性的影响因素
应力-应变关系
材料的弹塑性行为主要取决于其应力-应变曲线的形状,包括弹性模量、屈服强度和最大强度等关键参数。
材料成分与微观结构
材料的化学成分、晶粒大小、相组成等微观结构特征直接影响其宏观力学性能和弹塑性行为。
应力状态与几何形状
零件或结构的受力状态和几何形状会导致局部应力集中,从而影响弹塑性响应和失效模式。
工程应用
20世纪中后期,弹塑性理论和方法广泛应用于工程实践,在航空、汽车、建筑等领域发挥了重要作用。
现代进展
当前,随着计算机技术的发展,弹塑性分析方法不断创新,在复杂结构设计、材料选择和工艺优化中展现强大的潜力。
弹塑性的基本原理
数学描述
弹塑性通过应变-应力关系的数学模型来描述材料在力学作用下的变形行为。这些模型结合了材料的弹性特性和塑性特性。
第四章 塑性本构关系
一 、理想材料的加卸载准则 理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。 由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上， 应力增量 d 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。 d 加载 f ( ij ) 0, 弹性状态
d
n
f ( ij ) 0, f df d ij 0 ij
（4-1）
其中 张量写法：
G E / 2(1 )
ij 3 ij m ij 2G E
1 m kk 为平均正应力。 3
（4-2）
其中
本构关系
将三个正应变相加，得：
kk
3 1 2 m kk kk 2G E E
kk
(5 37)
对理想塑性材料，比例系数d要联系屈服条件来确定。 1 dw sij ( dsij d sij ) 2G 1 dJ 2 2 J 2 d dWe dW p 2G
进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。
e d ij d ij d ijp
（4-30） （4-31） （4-32）
由Hooke定律， d
e ij
d ij 2G
3 d m ij E
由Drucker公设，d d ij
p ij
其中为加载函数。塑性加载 d 0，中性变载或卸载时 0 时 d
e
注意到（5 - 5）式，We可表示为：
1 1 1 1 1 2 2 W J 2 G 2G 2 2 2 6G
e
本构关系
§4.2 Drucker公设
两类力学量 外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。 内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。 内变量只能根据一定的假设计算出来。 关于塑性应变和塑性功的假设： 1、材料的塑性行为与时间，温度无关。
第四章弹塑性波的相互作用1110
弹塑性波的相互作用
一种 弹塑性加载波的相互作用;
迎面加载（同号加载） 追赶加载（递增硬化材料）形成冲击波
二种：卸载波的相互作用;
1
第四章
弹塑性波的相互作用
4.1 弹塑性加载波的相互作用 4.1.1 强间断塑性波的迎面加载 问题: 长为L的均匀等截面杆,原先处于静止的自然状态.两 端突然受到突加恒速冲击载荷,右端X=L处v3 >0,在左端 v4<0.讨论杆中的弹塑性波的传播.
初始状态对应于va ,σa（>0）状态，杆两端分别受到渐加
载荷到vc和vb后均保持恒值，有vY < vc < va < vb 。分析波 的传播规律. 连续波的动量守恒条件:
d 0Cdv
代替强间断的动量守恒条件: [ ] 0C[v]
X
13
第四章
弹塑性波的相互作用
杆中迎面传播两弱间断弹塑性拉伸波的相互作用
把特征线ab和ac分别分成m段和n段，根据分割点做出 相应的特征线将相互作用区域分成许多小网格，近似认为网
格内的质点速度、应力等参量值是相等的。
19
第四章 弹塑性波的相互作用
于是特征线段 Qs 的斜率可近似按 Q 点的状态 来确定，特征线段 Rs 的斜率可近似按 R 点的 状态来确定。
X s X Q C ( Q )(ts tQ ) S点的位置： X X C ( )(t t ) R R s R s
2
第四章
分析:
弹塑性波的相互作用
杆中波的传播 ：撞击面开始,从杆的左端向右传播弹塑性强
间断拉伸波,同时从杆的右端向左传播弹塑性强间断拉伸波,
但由于初始冲击速度不同,引起应力扰动幅度不同。两波相
弹性波和塑性波
第一题：推导波动方程，简述弹性波和塑性波的主要区别？要求给出主要的推导步骤，主要的方程，以及弹性波和塑性波的本质区别。
圆柱杆中的弹性波的传播，如图所示为撞击杆以速度V 撞击长圆柱杆，并在圆柱杆中产生了自左向右传播的压缩应力波。
T 时刻，这个扰动的波阵面在x 位置处。
分析时忽略横向即杆Oy 方向的应变和惯性。
在t 时刻，考察波阵面在截面AB 和A`B`的情况，截面A`B`离起始位置的距离为x+δx,对AA ’BB ’部分。
这里需要设定几个假设：1、忽略细长杆的横向应变和横向惯性效应；2、忽略杆的重力和材料阻尼；3、变形前后横截面为平面，即平截面假定。
应用牛顿第二定律，有图：波在杆中的传播（a ）冲击前；（b ）冲击后F ma =22x A A x A x x t σσσδρδ⎡∂⎤∂⎛⎫--+= ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦ 22u x tσρ∂∂=∂∂ 而变形是弹性的且假定满足胡克定律：=E σε其中ε为应变，定义为/u x ∂∂，负号表示压应变，因此有22u u E x x tρ∂∂∂⎡⎤=⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 和2222u E u t xρ∂∂=∂∂ 上式即为弹性波的波动方程，其中0EC ρ=为波速。
二、弹性波和塑性波的区别当物体某部分突然受力时，该处将产生弹性变形，并以波的形式向周围传播，使整个物体产生弹性变形，这种波称为弹性波。
当物体受到超过弹性极限的冲击应力扰动后产生的应力和应变的传播、反射，并使得物体产生塑性变形，这种波称为塑性波。
由于固体材料弹性性质和塑性性质的不同，因此在均匀的弹塑性介质中传播的塑性波和弹性波是有区别的，主要表现在：1、塑性波波速与应力有关，它随着应力的增大而减小，较大的变形将以较小的速度传播，而弹性波的波速与应力大小无关；2、在应力σ和应变ε的关系满足()σσε=时，塑性波波速总比弹性波波速小；3、塑性波在传播的过程中波形会发生变化,而弹性波则保持波形不变。
弹性波和塑性波的这些本质区别可以从波动方程中看出，在波动方程中的C 表示的就是应力波的传播速度，其中 弹性波的波速为：001d C C d σερ==，,Y d d E σσε≤= 塑性波的波速为：001d C C d σερ=<，,Y d d E σσε>< 其中Y 表示材料的屈服强度，E 表示材料的弹性模量。
弹塑性力学第四章
若通过物体每一点可作这
样的轴（如x3轴），在此轴 成垂直的平面内，所有射
线方向的弹性性质都是相
同的，称这个平面为各向
同性面，如地层属于此类。
[C]中独立系数为5个：
x1
x3 x2’
x2Fra bibliotek各向同性面
x1’
2019/10/18
28
§4-2 线弹性体的本构关系
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
ij
2019/10/18
12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
W ijij
比较上面二式，得：
W
W
ij
ij
ij
W
ij
fij ( kl )——本构关系（方程）
适用于各种弹性情况（线性、非线性）
2019/10/18
13
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
本构关系
时刻达到 应变增量
t
+t：位移有增量 u
ijeie j
uiei
外力功增量 ：
A V f udV SF udS
2019/10/18
8
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
：函数增量
A V f udV SF udS
WdV
V
S Fi uidS S (ij ui )njdS V ( ji ui ), j dV
代入外力功增量
2019/10/18
10
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
弹塑性波的相互作用共98页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
水平地震作用下桩—土—上部结构弹塑性动力相互作用分析
水平地震作用下桩—土—上部结构弹塑性动力相互作用分析一、本文概述《水平地震作用下桩—土—上部结构弹塑性动力相互作用分析》这篇文章主要探讨了水平地震作用对桩—土—上部结构体系的影响，并详细分析了这一复杂系统在地震作用下的弹塑性动力相互作用。
本文旨在深入理解地震时桩—土—上部结构体系的动态行为，为工程实践提供理论依据和指导，以提高结构的抗震性能。
本文首先介绍了地震作用下桩—土—上部结构体系的研究背景和意义，阐述了国内外在该领域的研究现状和发展趋势。
接着，文章对桩—土—上部结构体系的弹塑性动力相互作用进行了理论分析，包括桩土相互作用、地震波的传播与散射、结构的动力响应等方面。
在理论分析的基础上，本文进行了数值模拟和实验研究。
通过建立合理的数值模型，模拟了不同地震波作用下的桩—土—上部结构体系的动态响应过程，得到了结构的地震反应特性和破坏模式。
同时，结合实验数据，验证了数值模拟的有效性，并对模拟结果进行了深入分析。
本文总结了地震作用下桩—土—上部结构弹塑性动力相互作用的研究成果，指出了现有研究的不足和未来研究方向。
文章强调了在实际工程中应考虑桩土相互作用的影响，合理设计抗震结构，以提高结构的整体抗震性能。
通过本文的研究，可以为工程师和科研人员提供有益的参考，推动桩—土—上部结构体系抗震设计方法的改进和完善，为保障人民生命财产安全和提高建筑行业的可持续发展水平做出贡献。
二、桩—土—上部结构相互作用的基本理论桩—土—上部结构的相互作用是一个复杂且关键的动力学问题，涉及到地震波传播、土壤动力学、结构动力学等多个领域。
在水平地震作用下，土壤对桩的约束和桩对土壤的支撑形成了相互作用力，这些力通过桩传递到上部结构，进而影响整个系统的动力响应。
桩—土相互作用的理论基础主要是基于土的动力学特性和桩土之间的接触关系。
土壤在地震作用下的行为受到其本身的物理特性（如密度、弹性模量、泊松比等）和动力特性（如阻尼比、剪切波速等）的影响。
《弹塑性力学》课件
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。
声波调控下弹塑性形变现象分析
声波调控下弹塑性形变现象分析引言：声波调控是一种新兴的技术手段，通过声波对物质的影响和控制，可以实现许多独特的现象和效应。
弹塑性形变是固体材料在外力作用下发生的一种形变过程，既具有弹性回复的特点，又伴随着一定程度的塑性变形。
本文将讨论声波调控对材料弹塑性形变现象的影响及其机理。
一、声波调控下弹性形变现象分析声波是一种机械波，将物质中的粒子进行周期性的振动。
当声波传播到固体材料中时，声波的压力波将作用于材料表面，使材料发生弹性形变。
这种形变是临时的，一旦声波停止，材料将恢复到原来的形状。
因此，声波调控下的弹性形变现象主要体现为材料的压缩、拉伸和扭转等。
在声波场的作用下，材料会产生压力变化。
当声波作用于材料表面时，声波的压力波将引起表面的局部压缩或拉伸，从而导致形变。
这种形变可以通过弹性模量来描述，即形变的比例与应力的比值。
根据胡克定律，压力与形变成正比，且成反比于材料的弹性模量。
因此，弹性形变可以通过调整声波的振幅和频率来控制。
二、声波调控下塑性形变现象分析塑性形变是固体材料在外力作用下，超过其弹性限度后发生的不可逆形变。
声波调控下的塑性形变现象主要体现为材料的滑移、扩散和晶格变形等。
声波可以通过激活材料中的位错，引起位错运动和扩散，从而促进塑性变形。
位错是材料中的晶格缺陷，是材料塑性变形的重要因素。
当声波作用于材料中时，它会给位错施加额外的力，促使位错进行滑移和扩散。
这将导致材料的局部塑性变形，形成塑性形变。
通过调控声波的频率和振幅，可以改变位错的密度和活动能力，从而控制材料的塑性形变。
较高的声波频率和振幅使材料中的位错活动增加，导致更大的塑性形变。
而较低的频率和振幅则减少位错的活动能力，限制了材料的塑性变形。
三、声波调控下弹塑性形变的机理分析声波调控下材料的弹塑性形变机理主要涉及声波的作用原理和材料的力学特性。
首先，声波作用于材料表面的压力波会引起材料分子的振动和位移。
这种振动和位移会产生应力和形变，使材料发生弹性变形。
弹塑性本构关系和弹塑性波
Ruan D, Lu G, Wang B & Yu TX: In-plane dynamic crushing of honeycombs -- A finite element study. IJIE 28(2003): 161-182
d d
c0 , cp
c0
,
if Y , d d E if Y , d d E
❖ cp is a function of strain/stress ❖ For stress-strain curves concave
downwards
– cp decrease as stress increases
undisturbed
x
5
Man-made cellular materials
◄ Hexagonal honeycombs Open-cell nickel foam by
vapor deposition technique ►
◄ Open-cell polymer foam Aluminum foam coated by aluminum skins ►
elastic
❖ 1-D wave equation u v u
x
t
Engineering strain
v
t x
0
v t
x
v t
1 0
x
1 0
d d
x
c2
x
c2 1 d 0 0 d
2020年9月24日
2u t 2
c2
2u x2
1
塑性波的速度取决于硬化模量
c
1
0
– slope reduces with strain
弹塑性力学定理和公式
弹塑性⼒学定理和公式应⼒应变关系弹性模量||⼴义虎克定律1.弹性模量对于应⼒分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常⽤的弹性常数包括:a弹性模量单向拉伸或压缩时正应⼒与线应变之⽐,即b切变模量切应⼒与相应的切应变之⽐,即c体积弹性模量三向平均应⼒与体积应变θ(=εx+εy+εz)之⽐,即d泊松⽐单向正应⼒引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之⽐,即此外还有拉梅常数λ。
对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独⽴的。
常⽤弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。
室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。
2.⼴义虎克定律线弹性材料在复杂应⼒状态下的应⼒应变关系称为⼴义虎克定律。
它是由实验确定，通常称为物性⽅程，反映弹性体变形的物理本质。
A各向同性材料的⼴义虎克定律表达式（见表3-3 ⼴义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应⼒公式中的x 、y、z分别⽤r、θ、z和r、θ、φ代替。
对于平⾯极坐标，表中平⾯应⼒和平⾯应变公式中的x、y、z⽤r、θ、z代替。
B⽤偏量形式和体积弹性定律表⽰的⼴义虎克定律应⼒和应变量分解为球量和偏量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律应⼒偏量与应变偏量关系式在直⾓坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性⼒学基本⽅程及其解法弹性⼒学基本⽅程|| 边界条件|| 按位移求解的弹性⼒学基本⽅法|| 按应⼒求解的弹性⼒学基本⽅程|| 平⾯问题的基本⽅程|| 基本⽅程的解法|| ⼆维和三维问题常⽤的应⼒、位移公式1.弹性⼒学基本⽅程在弹性⼒学⼀般问题中，需要确定15个未知量，即6个应⼒分量，6个应变分量和3个位移分量。
这15个未知量可由15个线性⽅程确定，即(1)3个平衡⽅程[式（2-1-22）]，或⽤脚标形式简写为(2)6个变形⼏何⽅程[式（2-1-29）]，或简写为(3)6个物性⽅程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为或2.边界条件弹性⼒学⼀般问题的解，在物体部满⾜上述线性⽅程组，在边界上必须满⾜给定的边界条件。
第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程
弹性变形特点: ⑴ 弹性变形特点:
弹性变形是可逆的。物体在变形过程中， ① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内， 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来， 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复； 以完全恢复； 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， ② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 ③ 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 因此，应力与应变是一一对应的关系。 因此，应力与应变是一一对应的关系。
◆ 理想线性强化刚塑性力学模型
理想线性强化刚 塑性力学模型， 塑性力学模型，其 应力应变关系的数 学表达式为： 学表达式为：
σ = σ s + E1ε
弹塑性力学
(当ε ≥ 0时)
（4--5）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续7）
◆ 幂强化力学模型 为了避免在 ε = ε s 处 的变化， 的变化，有时可以采用幂 强化力学模型。 强化力学模型。当表达式 中幂强化系数 n 分别取 0 或 1 时，就代表理想弹塑 性模型和理想刚塑性模型。 性模型和理想刚塑性模型。 其应力应变关系表达式为： 其应力应变关系表达式为：
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续3）
塑性变形特点: ⑵ 塑性变形特点:
塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆， ① 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。 ② 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系， 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定， 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。 或加载历史）。 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， ③ 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区， 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 ④ 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 弹塑性力学
弹塑性力学-第4章_本构方程
第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。
但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。
对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。
因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。
通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。
塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。
以上构成塑性本构关系。
4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。
该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。
这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。
如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。
然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。
1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。
这个条件是弹性的另一种定义。
换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 弹塑性波的相互作用
于是可得：
X S X Q C(Q )(tS tQ ) X S X R C( R )(tS tR )
S Q R a S Q R a
第四章 弹塑性波的相互作用
有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用
解abdc区这类在两条不 同系的特征线上给定 v 和 ，则可在以这两条 特征线和经过它们端点 的另两条特征线为界的 曲线四边形中求得单值 解的问题，常称为 Darboux问题或特征线 边值问题。
两弹性波波相遇后t2时刻应力图
两弹性前驱波首先相 遇于a点。两波相遇界面的 右侧有：
5
1
5 1 0C1
Y
5 Y 0C1
，
两波相遇界面的左侧有：
5 2
5 2 0C1
Y
5 Y 0C1
第四章 弹塑性波的相互作用
在界面上应满足质点速度相等 和应力相等条件，即有：
5 5 5
5 5 5
X
E
X
d dX
m
Em
0C02
X
d m
dX
0C02
dm
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
如果X点和X +dX 两点卸载开始时的 分m 别如图中的a点和b点所示，某时刻t此两点 的卸载应力 分别如图中i点和h点所示，则表
达式 /中X 各项的意义如图中所示。
X
E
X
d dX
m
Em
b1
0C02
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
§4-2 卸载波的控制方程 和特征线
弹塑性材料在加载和卸载时遵循不同 的应力应变关系，因而相应地有不同的控 制方程。
X
d m
dX
0C02
dm
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
卸载时杆的运动学方程和动力学
方程和加载时相同，连同卸载应力应
变关系就可列出卸载区的控制方程组
为：
t X
0
t
X
m E( m )
第四章 弹塑性波的相互作用
消去 ，则得
X t
t
C02
X
1
0
d m
dX
C02
d
m
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
一维应力下弹性卸载的应力应变关系
用字母上加一横来表 示卸载后的量，则一维 应力下弹性卸载的应力 应变关系可写作：
m E （ 4-1m）
第四章 弹塑性波的相互作用
对卸载区而言， m 和 m 都只是X的 函数，与t无关。
上式对t和X分别求导可得：
t
E
t
0C02
t
由上述四个方程联立求解得：
5 0
5
Y
0C1Y
(1
C1 )Y C0
第四章 弹塑性波的相互作用
内反射与入射塑性波相遇后t3时刻应力图
第四章 弹塑性波的相互作用
入射塑性波相遇后t4时刻应力图
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性强间断加载波相互作用的 ~ v 图
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性强间断加载波相互作用的 ~ v 图
第四章 弹塑性波的相互作用
1．强间断弹塑性波的迎面加载 先讨论线性硬化材料的情况，
这时弹性波速 C0 ( E / 0 ) 和塑性波 速 C1( E1 / 0 ) 都是恒值。
第四章 弹塑性波的相互作用
设有一长为l 的均匀等截面杆， 原先处于静止的自然状态。两端同时 受到突加恒速冲击载荷，其值在右端 为 v3 0 ，在左端为 v4 0 。于是在 杆中有迎面传播两强间断弹塑性拉伸 波。
第四章 弹塑性波的相互作用
t t1 时，1区和2区的状态有:
1
Y，1
Y
Y E
1
Y0C0Y Nhomakorabea2 *2 * E1 (1 E1 1 E )Y
2
1
0C0
1
0C1
Y
* 0C1
*
第四章 弹塑性波的相互作用
当 t t1 时 ,卸载区3区的状态有：
3 0 3 2 2 E *
3
2
2 0C0
第四章 弹塑性波的相互作用
强间断弹塑性加载波相互作用
第四章 弹塑性波的相互作用
两波相遇前，和弹塑性简单波的情
况完全一样。图中0，1、2、3、4各区
的状态均可作为已知，即：
0 0 0
1
2
Y，1
2
Y
0C0
3 1 0C1(3 1)
4 2 0C1(4 2 )
第四章 弹塑性波的相互作用
第四章 弹塑性波的相互作用
消去 ，则得
t
0C02
X
X
0
t
第四章 弹塑性波的相互作用
也可以表示为以位移为未知函数 的两阶偏微分方程：
2u t 2
C02
2u X 2
1
0
d m
dX
C02
dm
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
采用特征线法求解，可得对应的特 征线方程和特征线上相容条件。
dX C0dt
第四章 弹塑性波的相互作用
2．弱间断弹塑性波的迎面加载
递减硬化材料(d 2 / d 2 0) 的弹性波速
C0 (
E / 0 )是恒值，但塑性波速 C()
1 d d
不再是恒值，塑性波以连续波的形式传播。
第四章 弹塑性波的相互作用
设有一长为 l 的递减硬化材料 等截面杆，原先处于va ( 0) ， a ( 0) 的状态。右端受到渐加冲击载荷到 vb ( va ) ，在左端受到渐加冲击载荷 到 vc ( va ) 后保持恒值，于是在杆 中迎面传播两束弱间断弹塑性拉伸 波，在相遇前都是已知的简单波。
d d b 0C
对于杆的左侧有 ：
d c
d d c 0C
第四章 弹塑性波的相互作用
在界面上应满足质点速度相等 和应力相等条件，即有：
vd vd vd
d d d
由上述四个方程联立求解得 vd， 和 d 。
第四章 弹塑性波的相互作用
如果用 来表示，则上四式可化为：
d b
弹塑性波在固定端的反射
带有(”)的区域 都是恒值区，在平 面上正负特征线都 是直线，在状态平 面上只对应于一点。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
带有(’)的区域都是 简单波区，它总是和 恒值区相邻出现。
在状态平面上它 对应于一线段。如果 这线段是正向的，则 平面上的负向特征线 族为直线，而另一族 特征线为曲线。
即：
R
d
a
2b
a
2 I
弹塑性波在刚壁反射后应力 扰动值加倍。
第四章 弹塑性波的相互作用
递减硬化弹塑性材料有限长杆， 其左端(X=0)固定，右端(X=L)在t=0 时受一突加恒速撞击。弹塑性波在 固定端和撞击端间来回反射而逐渐 增强。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
在应力波到达 固定端之前，在弹 性前驱波波阵面LA 上，应力、应变、 质点速度分别从零
第四章 弹塑性波的相互作用
§4-3 追赶卸载
一线性硬化材料的半无限长杆，原来 处于静止的自然状态，在t = 0时受一突加 恒值冲击载荷 ，经过时间t1后又突然卸 载到零。
在两杆突然相撞后又突然跳开的情况 下就会遇到这类问题。
第四章 弹塑性波的相互作用
加载扰动和卸载扰动都以强间断 波阵面的形式在杆中传播，并且卸载 扰动的传播快于塑性加载扰动的传播。
(d a ) (c a ) (b a )
第四章 弹塑性波的相互作用
弱间断弹塑性波的迎面加载 ，引 入 来代替 ，就可应用叠加原理来 求解。
第四章 弹塑性波的相互作用
有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用
把特征线ab和ac分 别分成m段和n段 ，经 过ab线上诸分割点的左 行特征线和经过线ac上 诸分割点的右行特征线 将把区域划分成许多小 网格，而网格内的质点 速度和应力可以近似地 看作是均匀的。
第四章 弹塑性波的相互作用
三种类型的定解问题：
Cauchy问题(初值问题)； Picard问题(混合问题)； Darboux问题(特征线边值问题)。
第四章 弹塑性波的相互作用
3．弹塑性加载波在固定端的反射
弹性波在刚壁(固定端)的反射，等 同于两应力值相同弹性波的相互撞击。
和弹性波相似，弹塑性波在刚壁 (固定端)的反射，也等同于两应力值相 同弹塑性波的相互撞击。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
不带(”)和(’) 的区域都是混合 波区，在物理平 面和状态平面上 有一一对应的区 域。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
d
C0d
1
0C0
d m
C0d m
dX C0dt
d
1
0C0
d
第四章 弹塑性波的相互作用
以 和 v 为未知函数的控制方程
组及其相应的特征线方程组，与弹性 波中的形式完全一致，这是弹性卸载 假定的必然结果。
第四章 弹塑性波的相互作用
追赶卸载：在半无限长杆中，杆端先受到 弹塑性加载，然后卸载。由于卸载扰动的 传播比塑性加载扰动的传播快，后发生的 卸载扰动将追上先发生的塑性加载扰动而 相互作用的问题。 迎面卸载：在有限长杆中，由另一端传 来的卸载扰动迎面与塑性加载扰动相互作 用的问题。