小度写范文【可逆矩阵判定典型例题】 矩阵可逆模板

【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆典型例题（二）方阵可逆的判定

例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式：

（1）若|A|≠0, 则(AT)-1=(A-1)T

；

（2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则

(AB)*=B*A*

；（3）

(AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0, 则(A*)-1=(A-1)*

；（5）

(-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0, 则(Al)-1=(A-1)l

（l为自然数）；（7）

(kA)*=kn-1A*. 证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵, 且

AA-1

=E两边同时取转置可得

(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E

故由可逆矩阵的定义可知

(A-1)T是AT的逆矩阵. 即

(A-1)T=(AT)-1

（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有

(AB)*(AB)=|AB|E

另一方面

(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B

=|A|B*B=|A| |B|E=|AB|E

比较式（2-7）、（2-8）可知

(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)

又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘(AB)-1 可得

(AB)*=B*A*

（3）设 n

阶方阵A为

⎡aa12 a⎡11

1n⎡A=⎡a⎡⎡21a22 a2n⎡⎡ ⎡

⎡⎡aa⎡

⎡n1n2 ann⎡ 于是可得A的伴随矩阵A*

为

⎡AA⎡11

21 An1⎡A*=⎡A⎡⎡12A22 An2⎡⎡ ⎡

⎡⎡⎡AA⎡1n2n Ann注意到⎡A 的转置矩阵为

2-7）2-8）（

（

T

可推出A的伴随矩阵为

⎡a11⎡⎡a12

AT=⎡

⎡⎡a⎡1n

a21a22 a2n

A12A22 An2

an1⎡⎡an2⎡⎡ ⎡ann⎡⎡

*

比较A与(A)可知

T*

⎡A11⎡⎡A21

(AT)*=⎡

⎡⎡A⎡n1

*T

T*

A1n⎡⎡A2n⎡⎡ ⎡Ann⎡⎡

(A)=(A)

*-1|A|≠0AA （4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵为, 并且由A=|A|E可知-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得 A由于, 可逆且

1

(A-1)*=A

|A|

另一方面, 由

A*=|A|A-1

A*(A-1)*=|A|A-1

*

由矩阵可逆的定义知, A可逆, 并且*-1

-1*

1

A=E|A|

(A)=(A)

（5）对于（3）给出的矩阵A, 有-a12⎡-a11

⎡

-a22⎡-a21

-A=⎡

⎡

⎡-a-an2⎡n1

即

a1j-1 -ai-1j-1-ai+1j-1

-anj-1

-a1n⎡

⎡-a2n⎡

⎡⎡-ann⎡⎡

-aij

的代数余子式为

-a11

(-1)

i+j

-a1j+1 -ai-1j+1-ai+1j+1

-anj+1

-a1n -ai-1n-ai+1n -ann

-ai-11-ai+11 -an1

故

=(-1)

n-1

Aij (i,j=1, 2, , n)

⎡(-1)n-1A11(-1)n-1A21 (-1)n-1An1⎡⎡⎡n-1n-1n-1 (-1)A22 (-1)An2⎡⎡(-1)A12n-1*

(-A)*=⎡⎡=(-1)A

⎡⎡⎡⎡n-1n-1n-1(-1)A(-1)A (-1)A1n2nnn⎡⎡

（6）因为|A|≠0, 故A可逆, 并且

l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AA A)=AA A=(A)

l个 l个（7）对于（3）给出的矩阵A, 有

ka11 ka1n⎡⎡ka11

⎡⎡kaka ka⎡21222n⎡kA=⎡⎡

⎡⎡⎡kakan2 kann⎡n1⎡⎡

kaijkn-1Aij

类似于（5）可知的代数余子式为, 故

**T

例2 设A是n阶非零矩阵, 并且A的伴随矩阵A满足A=A, 证明A是可逆矩阵. 证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式, 有

*T

反证, 假设A不可逆, 故有|A|=0, 由上式及条件A=A, 有

AA*=AAT=O （2-6）

设矩阵A为

a12 a1n⎡⎡a11

⎡⎡aa a⎡21222n⎡A=⎡⎡

⎡⎡⎡aan2 ann⎡n1⎡⎡

由式（2-6）可知

a12 a1n⎡⎡a11a21 an1⎡⎡a11

⎡⎡⎡⎡aa aaa a⎡21222n⎡⎡1222n2⎡

AAT=⎡ ⎡⎡⎡

⎡⎡⎡⎡⎡a⎡aan2 ann⎡a2n ann⎡n11n⎡⎡⎡⎡

nn

⎡n2⎡

aaa aa⎡1i1i2i1ini⎡i=1i=1i=1⎡⎡nnn⎡⎡2

aaa aa2i1i2i2ini⎡=O=⎡i=1i=1i=1⎡⎡ ⎡n⎡nn⎡2⎡aaaa ani1ini2ini⎡⎡i=1i=1i=1⎡⎡