第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
ch3微分中值定理与导数的应用
第三章微分中值定理与导数的应用主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函 这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位 论证过程中，中值定理有着广泛的应用。
一、教学目标与基本要求（一）知识1. 记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论；2. 记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式；3. 记住 e,sin （x ）,cos （x ）,ln （1+x ）,1/1+x 的 N 阶麦克劳林公式；4. 知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法；5. 知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系；6. 知道曲线的凹凸性与拐点的定义；7. 知道弧微分的定义与弧微分公式；8. 知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义； 9. 知道求方程的近似解的基本方法。
（二） 领会1•领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格 朗日中值定理的几何意义；2. 领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的 联系；3. 领会洛必达法则；4. 领会函数的单调性与一阶导数之间的联系；5. 领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系；6. 领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系；7. 领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。
（三） 运用1. 会用中值定理证明等式和不等式；2. 会用洛必达法则求末定式的极限；3. 会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近 似值；4. 会用导数求函数的单调区间和极值；5. 会用函数的单调性证明不等式；6. 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；7. 会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形； 8. 会求一些最值应用问题； 9. 会求曲率和曲率半径；10. 会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。
（四） 分析综合1. 综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和 惟一性；本章内容是上一章的延续， 数的性质及其图形和各种形态， 的几个微分中值定理。
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。
解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。
1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。
通过示例解释罗尔定理的应用。
1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。
通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。
第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。
解释导数与函数单调性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。
2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。
解释导数与函数极值的关系。
通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。
2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。
解释导数与函数凹凸性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。
第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。
通过示例解释洛必达法则的应用。
3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。
通过示例解释泰勒公式的应用。
3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。
第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。
解释如何利用导数进行边际分析。
通过示例说明导数在边际分析中的应用。
4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。
解释如何利用导数解决优化问题。
通过示例说明导数在优化问题中的应用。
第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。
解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。
5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。
指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。
5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。
进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。
第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。
展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。
通过实例演示导数与切线的关系。
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用引言微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它为我们研究函数的性质和应用提供了有力的工具。
本教案将通过分析微分中值定理及其应用，探讨导数在实际问题中的应用，旨在帮助学生深入理解微分中值定理的原理和导数的实际应用，提高他们的问题解决能力和数学建模能力。
第一节：微分中值定理的基本原理及应用1.1 微分中值定理的定义微分中值定理是微积分中的重要定理，它是基于导数的连续性和介值定理而得出的。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理揭示了函数在一定条件下的性质，为我们研究函数的变化提供了便利。
1.2 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理是微分中值定理中最基本的一种形式，它表明在某个开区间上，函数的导数在这个区间内取某个特定的值。
这个定理在实际问题中有广泛的应用，比如在物理学中用于描述物体的速度、加速度等问题。
1.3 柯西中值定理的应用柯西中值定理是微分中值定理中的另一种形式，它是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明在两个不同的点上，函数的导数取相同的值。
这个定理在实际问题中也有很多应用，比如在经济学中用于描述市场供求关系等问题。
1.4 罗尔中值定理的应用罗尔中值定理是微分中值定理中的一种特殊情况，它表明在某个闭区间上，函数的导数在两个端点处取相同的值。
这个定理在实际问题中也有很多应用，比如在工程学中用于描述物体的位移、速度等问题。
第二节：导数的应用2.1 导数与函数的变化率导数是函数在某一点上的变化率，它可以帮助我们研究函数的趋势和性质。
通过导数的计算和分析，我们可以得到函数的最值、拐点、极值等重要信息，进而应用到实际问题中。
2.2 导数与曲线的切线与法线导数还可以帮助我们研究曲线的切线和法线。
通过计算函数在某一点的导数，我们可以确定曲线在该点的切线方程和法线方程，进而研究曲线的几何性质。
2.3 导数与函数的最值问题导数在函数的最值问题中有重要的应用。
高等数学教案-第三章-微分中值定理与导数应用
例6. ( 型未定式)
当然,罗必达法则可与其它的方法结合起来用,对有些问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ更简单(先化简).
例7. (先进行无穷小等价代换)
有些未定式,洛必达法则是无效的,但并不能说明极限不存在,可用其它方法来求.
例8.
………………………………………………………………………………………42分钟
注：称使 的点为驻点。
例2罗尔定理：如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导；
（3） .
则在（a,b）内至少有一点 ,使 .
几何解释:
二、拉格朗日中值定理
1.拉格朗日中值定理:如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导.
则在（a,b）内至少有一点 ,使等式
例10．判断 的凹凸性．
例11．判断 的凹凸性．
3．拐点
拐点定义（画图说明，注意拐点是连续点）：凹凸区间的分界点称为拐点．
拐点的判断：１二阶导数为零的点；２二阶导数不存在的点．
例12．求曲线 的拐点．
例13．求曲线 的凹凸区间与拐点．
例14．指出 是否有拐点．
例15．指出 的拐点．
………………………………………………………………………………………42分钟
（1）若 ，则 点是极大值点；
（2）若 ，则 点是极小值点。
（由凹凸性分析。）
求极值的步骤：
（1）求出一阶导数；
（2）求出一阶导数为零或不存在的点；
（3）判断上述可疑点处的二阶导数或其左右邻域的符号；
（4）判断出极值点并求出极值。
第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
证明：不妨设 x ∈U(x )时， f (x) ≤ f (x ) （若 f (x) ≥ f (x ) ，可以类似地证明）.∆x ≤ 0∆x第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。
教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。
教学内容：一、罗尔定理1. 罗尔定理几何意义：对于在 [a,b ] 上每一点都有不垂直于 x 轴的切线，且两端点的连线与 x 轴平行的不间断的曲线yf (x) 来说，至少存在一点 C ，使得其切线平行于 xC轴。
y = f ( x )ABoaξ ξ bx21从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。
为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理费马引理 设函数 f (x) 在点 x 的某邻域U ( x ) 内有定义, 并且在 x 处可导, 如果对任意 x ∈U(x ), 有 f (x) ≤ f (x ) (或 f (x) ≥ f (x )), 那么 f ' (x ) = 0 .0 0 0 0于是对于 x + ∆x ∈U(x ) ,有 f (x + ∆x) ≤ f (x ) , 从而当 ∆x > 0 时, 0f (x + ∆x) - f (x ) ; 而当 ∆x < 0 时, f (x 0 + ∆x) - f (x 0 ) ≥ 0; 0例如 y = ⎨根据函数 f (x) 在 x 处可导及极限的保号性的得f ' (x 0 ) = f '+ (x 0 ) = lim f (x 0 + ∆x) - f (x 0 ) ≤ 0∆x →0+∆xf ' (x 0 ) = f '- (x 0 ) = lim f (x 0 + ∆x) - f (x 0) ≥ 0∆x →0-∆x所以 f ' (x ) = 0 , 证毕.定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理 如果函数 f (x) 满足：（1）在闭区间 [a,b ] 上连续, （2）在开区间 (a, b ) 内可导,（3）在区间端点处的函数值相等，即f (a) = f (b ), 那么在 (a,b ) 内至少在一点ξ(a <ξ < b ) ,使得函数 f (x) 在该点的导数等于零，即 f ' (ξ ) = 0 .证明：由于 f (x) 在 [a,b ] 上连续，因此必有最大值 M 和最小值 m ，于是有两种可能的情形：（1） M = m ，此时 f (x) 在 [a,b ] 上必然取相同的数值 M ，即 f (x) = M .由此得 f '(x) = 0. 因此，任取 ξ ∈ (a, b ) ，有 f '(ξ ) = 0.（2） M > m ，由于 f (a) = f (b ) ，所以 M 和 m 至少与一个不等于 f ( x ) 在区间[a,b ] 端点处的函数值.不妨设 M ≠ f (a)(若 m ≠ f (a) ,可类似证明),则必定在 (a,b ) 有一点 ξ 使 f (ξ ) = M . 因此任取 x ∈[a,b ]有 f (x) ≤ f (ξ ) , 从而由费马引理有 f '(ξ ) = 0 . 证毕例 1 验证罗尔定理对 f ( x ) = x 2 - 2 x - 3 在区间[-1,3] 上的正确性解 显然 f ( x ) = x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3)( x + 1)在 [-1,3] 上连续，在 (-1,3) 上可导，且f (-1) = f (3) = 0 , 又 f '( x ) = 2( x - 1) , 取 ξ = 1, (1 ∈ (-1,3)) ,有 f '(ξ ) = 0 .说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;2 使得定理成立的ξ 可能多于一个，也可能只有一个.例如 y = x , x ∈ [-2,2]在 [-2,2] 上除 f '(0) 不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但 在区间 [-2,2] 内找不到一点能使 f '( x ) = 0 .⎧1 - x, x ∈ (0,1] ⎩0, x = 0除了 x = 0 点不连续外，在 [0,1] 上满足罗尔定理的一切条2 2,]满足定理的一切条件，而ξ = 0,πx ∈ (0,1) 使 f (x ) = 0 , 即 x 为方程的小于 1 的正实根. 0但 f '(x) = 5(x 4 -1) < 0, ( x ∈ (0,1)) , 矛盾, 所以 x 为方程的唯一实根..件，但在区间 [0,1] 上不存在使得 f '(ξ ) = 0 的点例如 y = x, x ∈ [0,1]. 除了 f (0) ≠ f (1) 外，在 [0,1] 上满足罗尔定理的一切条件，但在区间 [0,1] 上不存在使得 f '(ξ ) = 0 的点又例如 y = cos x,x ∈ [- π 3π2．罗尔定理的应用罗尔定理 1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式.例 2 证明方程 x 5 - 5 x + 1 = 0 有且仅有一个小于 1 的正实根.证明：设 f ( x ) = x 5 - 5x + 1 , 则f (x) 在 [0,1] 上连续，且 f (0) =1, f (1) = -3.由介值定理存在 0 0设另有x ∈ (0,1), x ≠ x , 使 f (x ) = 0. 因为 f (x) 在 x , x 之间满足罗尔定理1 1 0 1 0 1的条件, 所以至少存在一个 ξ （在 x , x 之间）使得 f '(ξ ) = 0 .1拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理1.拉格朗日中值定理在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。
微分中值定理与导数的应用-教案
高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01显然，这3个函数在相应的开区间内没有水平切线，即不存在内点ξ，使得()=0f ξ'. （2）即使罗尔定理的3个条件不满足，但定理的结论仍可能成立.例如函数3()f x x =，显然其在闭区间[11],-上连续，在开区间(11),-内可导，在区间[11],-的两端点处函数值不相等[(1)1f -=-，(1)1f =]，但仍存在0(1,1)ξ=∈-，使得()=0f ξ'[见图3.1（d ）].(a) (b)(c) (d)图3.1罗尔定理的几何意义：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于x 轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于x 轴的切线（见图3.2）.罗尔定理的代数意义：当()f x 可导时，在方程()0f x =的两个实根之间至少存在方程()0f x '=的一个实根．3.1.2拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定理） 如果函数()y f x =满足条件 (1)在闭区间],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导；授课序号02.可以使用等价无穷小替换等方法进行化简，但该方法在有些极限计算中不一定是最授课序号03授课序号04小值）为函数)(x f 在开区间),(b a 内的最大值（或最小值），如图3.14和3.15所示.3.5.2 最值在实际问题中的应用1．在实际问题中求最值，需要先根据实际问题建立一个目标函数，求得实际定义域，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，根据实际问题的实际意义知最大值（或最小值）必存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最大值点（或最小值点），0()f x 即为相应的最大值（或最小值）．2．在经济学中，总收入函数和总成本函数都可以表示为产量（销量）q 的函数，分别记为()R q 和()C q ，则总利润函数()L q 表示为()()()L q R q C q =-．为使总利润最大，需满足最大利润原则，即满足下面两个条件： ①()()()0L q R q C q '''=-=，解得驻点0q q =； ②000()()()0L q R q C q ''''''=-<. 例题讲解例3.28 求函数796)(23++-=x x x x f 在]5,1[-上的最大值和最小值例3.29 求函数123()(1)1f x x =-+的最值．例3.30 一块边长为24cm 的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，以做成无盖的铁盒．问：截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？例3.31 要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒，问：怎样设计才能使所用材料最省？例3.32 某工厂每月生产某种商品的个数x 与需要的总费用的函数关系为21024x x ++（费用单位：万元）.若将这些商品以每个9万元售出，问：每月生产多少个商品时利润最大?最大利润是多少?授课序号05授课序号06。
第三章第一节微分中值定理教学教案
拉格朗日中值公式
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ).
设 f(x )在 [a ,b ]上连 在 (a ,b 续 )内， ,可导
x0,x0 x (a,b)则 , 有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 x 写 ) x ( 0 成 1 ).
在区间 [x1, x2上] 用拉格朗日中值定理得：
f(x 2 ) f(x 1 ) f() (x 2 x 1 )(x1 x2)
由已知 f()0 得
f(x2)f(x1)0
所以f(x)在区间Ｉ上任意两点的函数值都相等
故f(x)在区间I上是一个常数.
例2 证 a明 r x c asri x c n ( c 1 o x 1 s ). 2
例1 验证罗尔 f(x定 )x2理 2x对 3在 区[间 1， 3]上的正 . 确性 解 显f然 (x)在 [1,3]上连 ,在 ( 续 1,3)内可导
且 f( 1 )0,f(3)0. 又 f(x)2(x1)
取 1,(1(1,3)), 则f()0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, yx,x [2,2];
f '( ) 0
证 f(x )在 [a ,b ]连 ,必 续 有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a ) f(b ), 最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
二 、 试 证 明 对 函 数 y px 2 qx r 应 用 拉 氏 中 值 定 理
《高等数学(上)》教学教案—03微分中值定理与导数的应用
第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos ((2x m θ+=+21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值． 四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间． 例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+． 例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？ 例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：预备知识1.1 函数的极限教学目标：理解函数极限的概念，掌握极限的计算方法。
教学内容：引入函数极限的概念，探讨极限的性质和计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解极限的概念，利用图形和数学分析软件演示极限过程，让学生体会极限的意义。
1.2 连续函数教学目标：理解连续函数的概念，掌握连续函数的性质和判断方法。
教学内容：介绍连续函数的定义，探讨连续函数的性质，如保号性、保界性等，学习连续函数的判断方法。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解连续函数的概念，利用图形和数学分析软件演示连续函数的性质，让学生掌握判断连续函数的方法。
教案章节二：微分中值定理2.1 罗尔定理教学目标：理解罗尔定理的内容和意义，学会运用罗尔定理解决问题。
教学内容：介绍罗尔定理的定义，探讨罗尔定理的条件和结论，学习如何应用罗尔定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解罗尔定理的内容，利用图形和数学分析软件演示罗尔定理的应用，让学生学会运用罗尔定理解决问题。
2.2 拉格朗日中值定理教学目标：理解拉格朗日中值定理的内容和意义，学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教学内容：介绍拉格朗日中值定理的定义，探讨拉格朗日中值定理的条件和结论，学习如何应用拉格朗日中值定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解拉格朗日中值定理的内容，利用图形和数学分析软件演示拉格朗日中值定理的应用，让学生学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教案章节三：微分中值定理的应用3.1 导数的应用教学目标：理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
教学内容：引入导数的概念，探讨导数的性质和计算方法，如求导法则、高阶导数等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解导数的概念，利用图形和数学分析软件演示导数过程，让学生体会导数的意义。
3.2 函数的单调性教学目标：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断方法。
第三章微分中值定理与导数的应用
第三章微分中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。
教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。
§3. 1 微分中值定理一、教学目的与要求：1．掌握罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的条件和结论，强调定理的条件是充分而非必要的；2．会验证中值定理的正确性，掌握用拉格朗日中值定理证明不等式的方法（关键是构造辅助函数）；3．理解三个中值定理之间的关系。
二、重点、难点：中值定理的应用三、主要外语词汇：Fermat ，Rolle ，Lagrange，Cauchy，Medium value axioms,Leada reason,shut zone,open zone.四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0) (或f(x)≥f(x0)),那么f'(x0)=0.罗尔定理如果函数y=f(x)在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且有f(a)=f(b),那么在(a, b)内至少在一点ξ,使得f'(ξ)=0.简要证明: (1)如果f(x)是常函数,则f'(x)≡0,定理的结论显然成立.(2)如果f(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点ξ∈(a,b).于是0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x ,0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x ,所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=ab a f b f --)()(,定理的证明: 引进辅函数 令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a ).容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-a b a f b f --)()(.根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-ab a f b f --)()(=0.由此得ab a f b f --)()(= f '(ξ) ,即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而 f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.例2. 证明当x >0时,x x xx <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
高数)第3章：微分中值定理与导数的应用教案资料
yf(x)
1
2
x
5
证明: 只就f (x)在x0达到最大值证明。
由f于 (x)在 x0达到最大值x， 0所 x在 (以 a,b)内 只 , 要
就f有 (x0x)f(x0), 即 f(x 0 x ) f(x 0 ) 0 ,
从f(而 x 0 x )f(x 0)0 ,当 x0 时 ; x
即 方 程 在 (a ,b )内 至 少 有 一 根 .
16
分析问题的条件, 作出辅助 函数是证明的关键 .
17
• 对于罗尔定理中的第三个条件 f(a)f(b) 很多函数都不满足，这样就限制了罗尔定
f(x0 x)f(x0)0,当 x0时 ; x
这 f(x 样 0 0 ) lx 0 im f(x 0 x x ) f(x 0 ) 0 f(x 0 0 ) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0) 0 .
而f(x)在点 x0可导， 所f以 (x0)0.
6
观察与思考：
右图，区间[a, b]上 一条光滑曲线弧，且两 端点处的函数值相等， 除区间端点外处处有不 垂直于x 轴的切线，在 最高点和最低点处切线 有何特点？
第三章
微分中值定理与 导数的应用
1
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
2
第一节 微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1. 预备定理——费马(Fermat)定理
(1, 2)及(2, 3)内。
可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。
微分中值定理与导数的应用教案
5
f ( x )在[ , ]上满足罗尔定理的条件 6 6 5 至少存在一点 ( , )，使f ( ) 0. 由罗尔定理可知：
又 f ( x ) cos x , 令f ( ) 0, 得 ( , 5 ). sin x 2 6 6
一、罗尔( Rolle )定理
第三章
二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
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函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化
有时候，我们要研究函数在整个定义域上的变化 形态，这就是要了解函数在其定义域上的整体性 质。函数的局部性质与整体性质是通过中值定理 表达的。这些中值定理是微分学的基础，它联系 着导数的许多应用。
证明方程f (x)=0有三个实根， 并指出它们所在的区间。
在开区间 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 内可导， 且 f (1) = f (1) = f (2) = f (3). 由罗尔定理，
证：显然, f (x)分别在闭区间[1, 1], [1, 2], [2, 3]上连续，
在(1, 1), (1, 2), (2, 3)内分别存在点1 , 2, 3 ，
练习4：P134 11(1)
| arctan b arctan a |
1 1
2
| b a || b a | .
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练习4：P134 11(2)
证 设f ( x ) e x ,则对任意的x 1, f ( x )在闭区间[1, x ]上 都满足拉格朗日中值定理的条件 : 且f ( x ) e x
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案一、微分中值定理的教学目标1.了解微分中值定理的概念和基本原理。
2.理解微分中值定理的几何意义。
3.掌握应用微分中值定理求导数、判定函数增减性质、研究函数的极值等具体问题。
二、教学重点1.微分中值定理的概念和基本原理。
2.应用微分中值定理解决具体问题。
三、教学难点1.掌握微分中值定理的应用技巧。
2.理解微分中值定理的几何意义。
四、教学过程步骤内容时间分配1导入与导入过程（5分钟）航行导师进入核心概念与重新提醒学生已经具备的数学相关知识，必要的时候通过问题引入概念。
2概念讲解（10分钟）导师介绍微分中值定理的概念和基本原理，并举例说明定理的几何意义。
3教学实例分析（10分钟）导师通过一些典型的例子，引导学生掌握应用微分中值定理求导数、判定函数增减性质、研究函数的极值的方法。
4学生练习（15分钟）学生独立完成一些练习题，巩固和运用所学知识。
6总结与归纳（5分钟）导师总结本节课所学内容和方法，并展望下一节课的内容。
7课后作业（5分钟）导师布置相应的课后习题，要求学生学以致用。
8课堂反馈（5分钟）学生对本节课的知识掌握情况与导师互动，导师对学生的问题进行回答与点评。
五、教学资源1.教科书。
2.笔记本电脑或投影仪。
3.白板和彩色笔。
六、教学评价方式1.课堂练习。
2.课后作业。
七、教学前准备1.备好教学课件及活动设计，确保教案连贯。
2.熟悉微分中值定理的相关知识，准备相应的练习题。
3.提前准备好课件所需的教学资源，并检查电脑和投影仪的工作状态。
八、教学延伸微分中值定理是微分学中一个非常重要的定理，可以用来解决许多实际问题。
在教学中，可以通过举一些和实际生活相关的例子来引导学生理解微分中值定理的几何意义和应用方法。
为了加深学生对微分中值定理的理解和应用能力，可以设计一些探究性的问题，让学生自己发现和解决问题。
同时，还可以引导学生运用微分中值定理解决一些更复杂的问题，如函数的极值、函数图像的性质等。
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理的重要性
微分中值定理是导数应用的基础，它可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
微分中值定理也是解决一些实际问题的关键工具，例如在物理学、工程学等领域中，微分中值定理的应用非常广泛。
微分中值定理的证明方法有多种，其中最常用的是利用拉格朗日中值定理进行证明。
利用导数求切线方程
总结词
通过导数，我们可以找到函数在某一点的切线斜率，从而确定切线方程。
详细描述
给定一个函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$，它表示函数在$x_0$处的切线斜率。切线方程可以由点斜式得出，即$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$，其中$y_0 = f(x_0)$。
利用微分中值定理证明不等式
微分中值定理也可以用于证明不等式。
总结词
通过构造适当的辅助函数，我们可以利用微分中值定理来证明一些不等式。例如，如果我们想证明一个函数在某个区间上的最大值或最小值不超过某个常数，我们可以构造一个辅助函数，使其在区间端点的函数值为零，然后在区间内部取正值或负值，这样就可以利用微分中值定理来证明不等式。
导数大于零表示函数在该区间内单调递增，导数小于零表示函数在该区间内单调递减。
总结词
如果函数$f(x)$在区间$(a, b)$内的任一点都可导，并且$f'(x) > 0$，则函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增；如果$f'(x) < 0$，则函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递减。
详细描述
利用导数研究函数的单调性
VS
函数的极值点满足导数为零或不可导的条件，通过这些点可以找到函数的极值。
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案一、教学目标1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 学会运用微分中值定理解决实际问题。
3. 掌握导数的基本性质和运算方法。
4. 能够运用导数研究函数的单调性、极值和最值等问题。
二、教学内容1. 微分中值定理：洛必达定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
2. 导数的应用：函数的单调性、极值和最值问题。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解微分中值定理的概念和运用方法。
2. 利用案例分析法，分析实际问题中的导数应用。
3. 借助图形演示法，直观展示函数的单调性、极值和最值等问题。
四、教学准备1. 教案、PPT课件。
2. 相关案例资料。
3. 图形演示软件。
五、教学过程1. 导入：回顾导数的基本概念，引导学生思考导数在实际问题中的应用。
2. 微分中值定理讲解：a. 介绍洛必达定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的定义和条件。
b. 通过例题讲解定理的应用方法和步骤。
3. 导数的应用讲解：a. 介绍函数的单调性及其判断方法。
b. 讲解如何利用导数求函数的极值和最值。
c. 通过案例分析，让学生掌握导数在实际问题中的应用。
4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调微分中值定理和导数在实际问题中的应用。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学案例分析1. 案例一：物体运动的速度与时间的关系分析：物体在某段时间内的平均速度等于这段时间内的瞬时速度。
解答：利用微分中值定理，求出物体在某一瞬间的瞬时速度，进而分析物体的运动状态。
2. 案例二：商品价格的变动与需求量的关系分析：商品价格的变动会影响需求量，需求量与价格之间存在某种关系。
解答：利用导数研究商品价格的单调性，从而分析需求量的变化趋势。
七、课堂互动与讨论1. 问题一：如何理解微分中值定理的意义？解答：微分中值定理揭示了函数在某一点的导数与函数在该点的值之间的关系，为我们研究函数的性质提供了重要依据。
高等数学教案
第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理1.费马引理: 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的)(0x U x ∈，有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥)，那么0)(0='x f .2.导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点)3.罗尔中值定理: 如果函数)(x f 满足①在闭区间] , [b a 上连续； ②在开区间) , (b a 内可导； ③在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =， 那么在) , (b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得0)(='ξf . 例1.判别函数54)(2+-=x x x f在]3 , 1[上是否满足罗尔中值定理的条件，若满足试求ξ. 解: 由于)(x f 是初等函数，所以)(x f 在]3 , 1[上是连续的，在)3 , 1(内是可导的，而2)3()1(==f f ，故)(x f 在]3 , 1[上满足罗尔中值定理的条件，从而在)3 , 1(内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf ，即 042=-ξ，解得2=ξ.例2.若函数)(x f 在]1 , 0[上连续，在)1 , 0(内可导，且0)1(=f ，证明至少存在一点)1 , 0(∈ξ，使得0)()(='⋅+ξξξf f . 证: 令)()(x xf x F =，则)(x F 在]1 , 0[上连续，在)1 , 0(内可导，而0)1()0(==F F ，所以)(x F 在]1 , 0[上满足罗尔中值定理的条件，故在)1 , 0(内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF ，即 0)()(='⋅+ξξξf f . 例 3.若0132210=+++++n a a a a n，证明方程02210=++++n n x a x a x a a 在)1 , 0(内至少有一个实根. 解: 令32210)(x a x a x a x f ++=11++++n nx n a ，则)(x f 在]1 , 0[上连续，在)1 , 0(内可导，而0)1()0(==f f ，所以)(x f 在]1 , 0[上满足罗尔中值定理的条件，故在)1 , 0(内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf ，即02210=++++n n a a a a ξξξ ，从而ξ是方程02210=++++n n x a x a x a a 在)1 , 0(内的一个实根.4.拉格朗日中值定理: 如果函数)(x f 满足①在闭区间] , [b a 上连续； ②在开区间) , (b a 内可导， 那么在) , (b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ.4'.如果函数)(x f 在] , [b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，那么x x x f x f x x f ∆∆⋅+'=-∆+)()()(θ，或 x x x f y ∆∆⋅+'=∆)(θ， 其中10<<θ.例4.证明:221arctan arctan 1a a b a b b a b +-<-<+- 其中b a <.证: 令x x f arctan )(=，则)(x f 在] , [b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故在) , (b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ，21arctan arctan ξ+-=-a b a b . 由于222111a a b a b b a b +-<+-<+-ξ， 所以221arctan arctan 1a a b a b b a b +-<-<+-例5.证明:)0( 1ln 1b a a b a b b a <<-<<-. 证: 令x x f ln )(=，则)(x f 在] , [b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故在) , (b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ)(1ln ln a b a b -=-ξ ξa b a b -=ln 由于a b a b a b -<-<-ξ， 所以a ab a b b a b -<<-ln 1ln 1-<<-ab a b b a .例6.证明:)0( 1><-<x xe e x x x .证:令t e t f =)(，则)(t f 在], 0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，故在) , 0(x 内至少存在一点ξ，使得x f f x f )()0()(ξ'=-x e e x ξ=-1由于x xe x e x <<ξ ，所以x x xe e x <-<1.例7.若函数)(x f 在] , [b a 上连续，在) , (b a 内具有二阶导数，且0)()(==b f a f ，0)(>c f )(b c a <<，证明在) , (b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得0)(<''ξf .证: 由于)(x f 在] , [c a 上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在) , (c a 内至少存在一点1ξ，使得))(()()(1a c f a f c f -'=-ξ.由于0)()()(>=-c f a f c f ，所以0)(1>'ξf .由于)(x f 在] , [b c 上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在) , (b c 内至少存在一点2ξ，使得))(()()(2c b f c f b f -'=-ξ.由于0)()()(<-=-c f c f b f ，所以0)(2<'ξf .由于)(x f '在] , [21ξξ上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在) , (21ξξ内至少存在一点ξ，使得))(()()(1212ξξξξξ-''='-'f f f . 由于0)( , 0)(12>'<'ξξf f ，所以0)()(12<'-'ξξf f ，故0)(<''ξf .5.如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，那么)(x f 在区间I 上是一个常数.6.柯西中值定理: 如果函数)(x f 及)(x F 满足①在闭区间] , [b a 上连续；②在开区间) , (b a 内可导； ③对任一) , (b a x ∈，0)(≠'x F ，那么在) , (b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--. 例8.若函数)(x f 在] , [b a 上连续，在) , (b a 内可微，且0>>a b ，证明在) , (b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得)()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-.证: 令2)(x x F =. 由于)(x f ，)(x F 在] , [b a 上满足柯西中值定理的条件，所以在) , (b a 内至少存在一点ξ，使得)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--， ξξ2)()()(22f ab a f b f '=--， )()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-.例9.若函数)(x f 在] , [b a 上连续，在) , (b a 内可微，其中0>>a b ，证明在) , (b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得)(ln )()(ξξf a b a f b f '⋅⋅=-. 证: 令x x F ln )(=. 由于)(x f ，)(x F 在] , [b a 上满足柯西中值定理的条件，所以在) , (b a 内至少存在一点ξ，使得)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=-- ξξ1)(ln ln )()(f a b a f b f '=--)(ln )()(ξξf ab a f b f '⋅⋅=-. §3.2 洛必达法则 1.00型未定式: 如果 0)(lim )(lim ==x F x f ， 那么称)()(lim x F x f 为00型未定式. 2.∞∞型未定式: 如果 ∞==)(lim )(lim x F x f ， 那么称)()(lim x g x f 为∞∞型未定式. 3.洛必达法则: 如果①0)(lim )(lim ==→→x F x f ax a x ； ②在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x F '都存在且0)(≠'x F ； ③)()(lim x F x f a x ''→存在（或为无穷大）， 那么)()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→. 3'.洛必达法则: 如果①0)(lim )(lim ==∞→∞→x F x f x x ； ②当N x >时，)(x f '及)(x F '都存在且0)(≠'x F ； ③)()(lim x F x f x ''∞→存在（或为无穷大）， 那么)()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→. 例1.求下列极限. ①20cos 1lim xx x -→. ②123lim 2331+--+-→x x x x x x . ③x x ex 2lim +∞→. ④x x x x x sin cos lim +++∞→.⑤x x x 21lim ++∞→. ⑥xe e x xx x 30tan )1(2)1(lim --+→. 解: ①原式x x sin lim 0→= 21=. ②原式12333lim 221---=→x x x x 266lim1-=→x x x 23=. ③原式x x ex 2lim +∞→=x x e 2lim +∞→= 0=.④原式xx x x x sin 1cos 1lim ++=+∞→ 1=.⑤原式11lim 2+=+∞→xx 1=.⑥原式302)2(lim xx e x xx ++-=→ 2031)2(lim x e x e xx x +-+=→2031)1(lim x e x xx +-=→xex e x x x 6)1(lim0-+=→ x xe x x 6lim 0→= 61=. 4.其它类型未定式: ∞⋅0型，∞-∞型，00型，1∞型，∞0型.例2.xx x x x x 1ln lim ln lim 00+→+→=011lim 20=-=+→x x x 0=.例3.)1(1lim )111(lim 00---=--→→xxx x x e x x e e x x x x x xe e e +--=→11lim 0 x x x x x xe e e e ++=→0lim 21=. 例4.求极限x x x +→0lim .解: xx x xx e x ln 0lim lim +→+→=. x x x x x x 1ln lim ln lim 00+→+→= 2011lim x x x -=+→ 0=.1lim 0==+→e x xx . 例5.求极限x x x )arctan 2(lim π+∞→. 解:)arctan 2(ln lim )arctan 2(lim x x x x x e x ππ+∞→+∞→=.)arctan 2ln(lim x x x π+∞→x x 1)arctan 2ln(lim π+∞→=221)1(arctan 1limx x x x -+⋅=+∞→ )1(arctan lim 22x x x x +⋅-=+∞→ π2-=.x x x )arctan 2(lim π+∞→π2-=e .例6.求极限x x x 1lim +∞→. 解: x x x e x ln 11lim lim +∞→+∞→=.011lim ln lim ==+∞→+∞→x x x x x . 1lim 01==+∞→e x xx . §3.3 泰勒公式1.泰勒中值定理: 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间) , (b a 内具有直到)1(+n 的导数，则对任一x ) , (b a ∈，有 ))(()()(000x x x f x f x f -'+=+-''+200)(!2)(x x x f)()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+，10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ在0x 与x 之间.2.上式称为)(x f 按)(0x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式称为拉格朗日型余项.3.由于当0x x →时，=)(x R n ])[(0nx x -ο，所以 ))(()()(000x x x f x f x f -'+= +-''+200)()(x x x f])[()(!)(000)(n n n x x x x n x f -+-+ο，而=)(x R n ])[(0nx x -ο称为佩亚诺型余项，此公式称为)(x f 按)(0x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式.4.带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式x f f x f )0()0()('+=+''+2!2)0(x f 1)1()()!1()(!)0(+++++n n n n x n x f x n f θ)10(<<θ.5.带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式 x f f x f )0()0()('+=+''+2!2)0(x f )(!)0()(n n n x x n f ο++.例1.写出函数xe xf =)(的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式. 解:xn e x f x f x f ===''=')()()()( ，1)0()0()0()(==='=n f f f ， xn e x f θθ=+)()1(，!!212n x x x e n x ++++= 1++n xxe θ (10<<θ).6.几个函数的n 阶麦克劳林公式:-+-=sin 53x x x x)()1(2121x R x m m m +-+--， 122)!12(]2)12(sin[)(++++=m m x m m x x R πθ-+-=!4!21cos 42x x x )()1(122x R x m m m ++-+， 2212])1(cos[)(++++=m m x m x x R πθ-+-=+323121)1ln(x x x x )(1)1(1x R x nn nn +--，11)1)(1()1()(++++-=n n nn x x n x R θ. +-++=+2!2)1(1)1(x x x αααα)(!)1()1(x R x n n n n ++--+ααα=)(x R n 11)1()!1()()1(+--++--n n x x n n αθααα .4145P .方法一(直接展开). x x f 1)(='， 21)(x x f -=''， 32)(xx f ='''，4)4(32)(xx f ⋅-=， ………… nn n xn x f )!1()1()(1)(--=-， 2ln )2(=f ，21)2(='f ， 221)2(-=''f ， 322)2(='''f ， 4)4(232)2(⋅-=f ，…………nn n n f 2)!1()1()2(1)(--=-， 23)2(21)2(212ln ln ---+=x x x+--⋅+ 33)2(231x])2[()2(21)1(nn n n x x n -+-⋅-ο 方法二(间接展开).由于-+-=+323121)1ln(x x x x )(1)1(1nn n x x nο+--，所以)]2(2ln[ln -+=x x)221ln(2ln -++=x 23)2(21)2(212ln ---+=x x+--⋅+ 33)2(231x])2[()2(21)1(nn n n x x n -+-⋅-ο 10145P ①. 原式)2131(lim 43xx x x --+⋅=+∞→. )1(3311313x x x ο+⋅+=+. )1(2411214xx x ο+⋅-=-.原式)1(11(lim xx x x ο++⋅=+∞→ ))1(211xx ο-+-))1(23(lim x x x ο⋅+=+∞→ 23=. §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性1.函数单调性的判别法: 设)(x f 在] , [b a 上连续，在) , (b a 内可导，①如果在) , (b a 内0)(>'x f ，那么)(x f 在] , [b a 上单调增加； ②如果在) , (b a 内0)(<'x f ，则)(x f 在] , [b a 上单调减少.例1.求x x x f 2)(2-=的单调区间.解: ) , (∞+-∞=D . 22)(-='x x f . 令0)(='x f ，得10=x .由于在)1 , (-∞内0)(<'x f ，所以)(x f 在]1 , (-∞上单调减少. 由于在) , 1(∞+内0)(>'x f ，所以)(x f 在) , 1[∞+上单调增加.例2.讨论32382383x x y -=的单调性.解: ) , (∞+-∞=D .31231351xx x x y -=-='-.由于3121xx y -='在00=x 处无定义，所以原函数在00=x 处不可导.令0='y ，得1 , 121=-=x x .由于在)1 , (--∞内0<'y ，所以)(x y 在]1 , (--∞上单调减少. 由于在)0 , 1(-内0>'y ，所以)(x y 在]0 , 1[-上单调增加. 由于在)1 , 0(内0<'y ，所以)(x y 在]1 , 0[上单调减少.由于在) , 1(∞+内0>'y ，所以)(x y 在) , 1[∞+上单调增加. 例3.当0>x 时，证明:211x x +<+. 证: 令)21(1)(x x x f +-+=) , 0[∞+∈x .由于当) , 0(∞+∈x 时，1121)(-+='x x f 210121-+<0=，所以)(x f 在) , 0[∞+上单调减少，故当0>x 时，有)0()(f x f <即 0)21(1<+-+x x 211x x +<+.2.设)(x f 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x ，2x 恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+， 那么称)(x f 在I 上的图形是凹的；如果对I 上任意两点1x ，2x 恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+， 那么称)(x f 在I 上的图形是凸的.3.曲线凹凸的判定法: 设)(x f 在区间] , [b a 上连续，在) , (b a 内具有一阶和二阶导数，那么①若在) , (b a 内0)(>''x f ，则)(x f 在] , [b a 上的图形是凹的. ②若在) , (b a 内0)(<''x f ，则)(x f 在] , [b a 上的图形是凸的. 证: ①对于1x ∀、] , [2b a x ∈，21x x ≠，不妨设21x x <.)(x f 在]2, [211x x x +、] , [221x x x +上分别应用拉格朗日中值定理，得)2()()()2(1211121x x x f x f x x f -+⋅'=-+ξ， 即 )()()(121121x x f x f x x f -⋅'=-+ξ， )2()()2()(2122212x x x f x x f x f +-⋅'=+-ξ，即 2)()2()(122212x x f x x f x f -⋅'=+-ξ， 其中), (2111x x x +∈ξ、) , 2(2212x x x +∈ξ，21ξξ<.)(x f '在] , [21ξξ上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212ξξξξξ-⋅''='-'f f f ，其中) , (21ξξξ∈.由于0)(>''x f ，所以0)(>''ξf ，故)()(12ξξf f '>'，从而)()2()2()(121212x f x x f x x f x f -+>+-，即2)()()2(2121x f x f x x f +<+，)(x f 在] , [b a 上的图形是凹的.例4.求3)(x x f =的凹凸区间.解: ) , (∞+-∞=D .23)(x x f ='，x x f 6)(=''. 令0)(=''x f ，得00=x .由于在)0 , (-∞内0)(<''x f ，所以)(x f 在]0 , (-∞上的曲线是凸的.由于在) , 0(∞+内0)(>''x f ，所以)(x f 在) , 0[∞+上的曲线是凹的.4.拐点: 曲线上凹与凸的分界点.例5.求143)(34+-=x x x f 的凹向区间与拐点.解: ) , (∞+-∞=D .231212)(x x x f -='，x x x f 2436)(2-=''.令0)(=''x f ，得01=x ，322=x . 由于在)0 , (-∞内0)(>''x f ，所以)(x f 在]0 , (-∞上的曲线是凹的.由于在)32 , 0(内0)(<''x f ，所以)(x f 在]2 , 0[上的曲线是凸的. 由于在) , 32(∞+内0)(>''x f ，所以)(x f 在) , 32[∞+上的曲线是凹的.由于当0=x 时，1=y ; 当2=x 时，11=y ，所以点)1 , 0(，)11 , 2(都是曲线的拐点. 10153P②.证: 令xe xf =)( ) , (∞+-∞∈x . x e x f =')(，xe xf ='')(.由于0)(>=''xe xf ，所以)(x f 的图形在) , (∞+-∞上是凹的，故任意的x ，y ，当y x ≠时，2)()()2(y f x f y x f +<+， 从而 22yx y x e e e +<+.10153P③.证: 令z z z f ln )(= )0(>z .1ln )(+='z z f ，zz f 1)(=''. 由于当0>z 时，0)(>''z f ，所以)(z f 的图形在) , 0(∞+上是凹的，故当0>x ，0>y ，y x ≠时，2)()()2(y f x f y x f +<+， ln ln ln y y x x y x y x +<++， y y x x yx y x ln ln 2ln )(+<++.§3.5 函数的极值与最大值最小值1.函数的极值: 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，如果对于去心邻域内)(0x U。
《微分中值定理》教学设计
《微分中值定理》教学设计教学目标：1. 理解微分中值定理的概念和意义；2. 掌握微分中值定理的证明过程；3. 能够应用微分中值定理解决实际问题。
教学内容：1. 微分中值定理的概念和意义；2. 微分中值定理的证明过程；3. 微分中值定理的应用。
教学步骤：Step 1：导入新知识通过提问和引入实际问题，引导学生思考微分中值定理的概念和意义。
例如：当一个物体沿着一条曲线运动时，如何求出物体在某个时刻的速度？Step 2：讲解微分中值定理的概念和意义通过示意图和实例，讲解微分中值定理的概念和意义。
强调微分中值定理在解决实际问题中的应用。
Step 3：讲解微分中值定理的证明过程讲解微分中值定理的证明过程，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理的证明。
通过详细的推理和逻辑，让学生理解证明过程。
Step 4：练习与讨论提供一些练习题，让学生运用微分中值定理解决问题。
鼓励学生在小组内讨论解题思路和方法，并展示解题过程。
Step 5：拓展应用引导学生思考微分中值定理在实际问题中的更广泛应用，例如经济学、物理学等领域。
让学生尝试解决一些拓展问题，提高他们的应用能力。
Step 6：总结与归纳总结微分中值定理的概念、意义、证明过程和应用。
让学生回答一些问题，检查他们对知识点的掌握情况。
Step 7：作业布置布置相关的作业，巩固学生对微分中值定理的理解和应用能力。
可以包括练习题、实际问题等。
Step 8：课堂小结对本节课的内容进行小结，强调重点和难点，激发学生对微分中值定理的兴趣和学习动力。
教学资源：1. 教材：包含微分中值定理相关内容的数学教材；2. 示意图和实例：用于讲解微分中值定理的概念和意义；3. 练习题：用于巩固学生对微分中值定理的理解和应用能力；4. 实际问题：用于引导学生思考微分中值定理在实际问题中的应用。
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第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。
教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。
教学内容：一、罗尔定理 1. 罗尔定理几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线)(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。
从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。
为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理费马引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f .证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）.于是对于)(00x U x x ∈∆+,有)()(00x f x x f ≤∆+, 从而当0>∆x 时, 0)()(00≤∆-∆+xx f x x f ; 而当0<∆x 时,0)()(00≥∆-∆+xx f x x f ;根据函数)(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤∆-∆++→∆xx f x x f x==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥∆-∆+-→∆xx f x x f x所以0)(0'=x f , 证毕.定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M=，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f =由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M>，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf .说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个.例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f .例如 ⎩⎨⎧=∈-=0,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条件，但在区间]1,0[上不存在使得0)(='ξf 的点 例如].1,0[,∈=x x y 除了)1()0(f f ≠外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条件，但在区间]1,0[上不存在使得0)(='ξf 的点 又例如]23,2[,cos ππ-∈=x x y 满足定理的一切条件，而πξ,0=2．罗尔定理的应用罗尔定理1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式. 例2 证明方程0155=+-x x 有且仅有一个小于1的正实根. 证明：设15)(5+-=x x x f , 则)(x f 在]1,0[上连续，且.3)1(,1)0(-==f f由介值定理存在)1,0(0∈x 使0)(0=x f , 即0x 为方程的小于1的正实根.设另有,),1,0(011x x x ≠∈使.0)(1=x f 因为)(x f 在10,x x 之间满足罗尔定理的条件, 所以至少存在一个ξ（在10,x x 之间）使得0)(='ξf . 但)1(5)(4-='x x f ))1,0((,0∈<x , 矛盾, 所以0x 为方程的唯一实根.拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）. 二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理 1.拉格朗日中值定理在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。
如果将条件（3）去掉，就是下面要介绍的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, 那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ, 使得等式))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立.几何意义:上述等式可变形为ab a f b f f --=')()()(ξ，等式右端为弦AB 的斜率, 于是在区间],[b a 上不间断且其上每一点都有不垂直于x 轴切线的曲线上，至少存在一点C ，使得过C 点的切线平行于弦AB. 当)()(b f a f =时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理.分析与证明：弦AB 的方程为 ).()()()(a x ab a f b f a f y ---+= 曲线)(x f 减去弦AB ，所得曲线AB 两端点的函数值相等. 作辅助函数)]()()()([)()(a x ab a f b f a f x f x F ---+-=于是)(x F 满足罗尔定理的条件，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF .又ab a f b f x f x F ---'=')()()()(, 所以a b a f b f f --=')()()(ξ即在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得))(()()('a b f a f b f -=-ξ.证毕说明: 1. ))(()()('a b f a f b f -=-ξ又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此公式对于a b <也成立;2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设)(x f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导时, 若),(,00b a x x x ∈∆+, 则有)10()()()(000<<∆⋅∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f当)(x f y=时, 也可写成).10()(0<<∆⋅∆+'=∆θθx x x f y试与微分x x f dy ∆⋅'=)(比较: x x f dy ∆⋅'=)(是函数增量y ∆的近似表达式, 而)10()(0<<∆⋅∆+'=∆θθxx x f y 是函数增量y ∆的精确表达式. 所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 推论 若函数)(x f 在区间I 上导数恒为零，则)(x f 在区间I 上是一个常数. 2. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式. 例3 证明)11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π证明：设]1,1[,arccos arcsin )(-∈+=x x x x f由于0)11(11)(22=--+-='xxx f , 所以]1,1[,)(-∈≡x C x f再选一个特殊的x 值确定C 的值，今取x=0，有 又0arccos 0arcsin )0(+=f 20π+= 2π=, 即2π=C . 故2arccos arcsin π=+x x .例4、设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，试证明：在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ, 使得)(')(ab )(a )(b ξξξf f a f b f +=--分析：根据求证式形式，构造函数：)()(F x xf x =，对其求导：)(')()(F'x xf x f x += 所以欲证等式正是函数)()(F x xf x =在区间],[b a 应用拉格朗日中值定理的结论。
证明：设函数：)()(F x xf x =，对其求导：)(')()(F'x xf x f x +=由题设知，函数)()(F x xf x =在区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ, 使得)('F ab )(F )(F ξ=--a b即)(')(ab )(a )(b ξξξf f a f b f +=--例5、 证明当0>x 时,x x xx<+<+)1ln(1 证明: 设)1ln()(x x f +=, 则)(x f 在],0[x 上满足拉氏定理的条件 于是)0(),0)(()0()(x x f f x f <<-'=-ξξ又xx f f +='=11)(,0)0(, 于是 ξ+=+1)1ln(x x而x <<ξ0, 所以x +<+<111ξ, 故11111<+<+ξx 从而 x x x x <+<+ξ11, 即x x x x <+<+)1ln(1 三、柯西中值定理柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x g 满足在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)('x F 在),(b a 内每一点处均不为零，那末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =--成立 几何解释: 设曲线弧C 由参数方程⎩⎨⎧==)()(x f Y x g X (b x a ≤≤)表示, 其中x 为参数. 如果曲线C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C 上必有一点ξ=x , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB , 曲线C 上点ξ=x 处的切线的斜率为)(')(ξξg f dXdY '=, 弦AB 的斜率为)()()()(a g b g a f b f --. 于是)(')()()()()(ξξg f a g b g a f b f '=--, 即在曲线弧AB 上至少有一点))(),((ξξf g C ,在该点处的切线平行于弦AB.1C证明: 作辅助函数)]()([)()()()()()()(a F x F a F b F a f b f a f x f x -----=ϕ则)(x ϕ满足罗尔定理的条件，于是在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξϕ, 即0)()()()(='---'ξξF ab a f b f f , 所以)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--.证毕 特别地 当x x F =)(时, 1)(,)()(='-=-x F a b a F b F由)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=-- 有)()()(ξf a b a f b f '=-- 即))(()()(a b f a f b f -'=-ξ, 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.例5 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,证明:至少存在一点)1,0(∈ξ，使)]0()1([2)(f f f -='ξξ证明与分析: 结论可变形为ξξ2)(01)0()1(f f f '=--ξ=''=x x x f )()(2设2)(x x g =，则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件于是至少存在一点)1,0(∈ξ，使ξξ2)(01)0()1(f f f '=-- 所以至少存在一点)1,0(∈ξ，使ξξ2)(01)0()1(f f f '=-- 即)]0()1([2)(f f f -='ξξ)(2ξF )(a F A四、 小结罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广; 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 注意中值定理成立的条件. 五、作业作业卡: P24~P27第二节 洛必达法则教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求00型和∞∞型以及∞-∞∞⋅,0型未定式的极限的方法; 了解00,1,0∞∞型极限的求法.教学重点：洛必达法则.教学难点：理解洛必达法则失效的情况, ∞-∞∞⋅,0型的极限的求法. 教学内容：一． 00型和∞∞型未定式的解：法洛必达法则定义：若当a x →（或∞→x ）时，函数)(x f 和)(x F 都趋于零(或无穷大)，则极限)()(lim)(x F x f x a x ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为00型和∞∞型未定式.例如 x x x tan lim 0→, (00型); bx ax x sin ln sin ln lim 0→, (∞∞型).定理：设 (1)当0→x 时, 函数)(x f 和)(x F 都趋于零;(2)在a 点的某去心邻域内,)(x f '和)(x F '都存在且0)(≠'x F ; (3))()(lim)(x F x f x a x ∞→→存在(或无穷大), 则)()(lim )()(lim x F x f x F x f ax ax ''=→→定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则 证明: 定义辅助函数⎩⎨⎧=≠=a x a x x f x f ,0),()(1, ⎩⎨⎧=≠=a x ax x F x F ,0),()(1在),(δa U ︒内任取一点x , 在以a 和x 为端点的区间上函数)(1x f 和)(1x F 满足柯西中值定理的条件, 则有)()()()()()(a F x F a f x f x F x f --=)()(ξξF f ''=, (ξ在a 与x 之间) 当0→x 时,有a →ξ, 所以当A x F x f a x =''→)()(lim , 有A F f a =''→)()(lim ξξξ 故A F f x F x f a a x =''=→→)()(lim )()(lim ξξξ. 证毕说明: 1.如果)()(lim x F x f a x ''→仍属于00型, 且)(x f '和)(x F '满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则, 即Λ=''''=''=→→→)()(lim )()(lim )()(limx F x f x F x f x F x f a x a x a x ;2.当∞→x 时, 该法则仍然成立, 有)()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→;3.对a x →（或∞→x ）时的未定式∞∞，也有相应的洛必达法则;4. 洛必达法则是充分条件;5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.例1 求x x x tan lim0→, (0型)解 原式=)()(tan lim 0''→x x x =11sec lim20=→x x例2 求123lim 2331+--+-→x x x x x x , (00型) 解 原式= 12333lim 221---→x x x x = =-→266lim 1x x x 23例3 求 xx x 1arctan 2lim -+∞→π, (00型)解 原式=22111limxx x -+-+∞→=221lim x x x ++∞→=1 例4 求 bx ax x sin ln sin ln lim0→, (∞∞型).解 原式= ax bx b bx ax a x sin cos sin cos lim 0⋅⋅→= ax bxx cos cos lim 0→=1例5 求 xx x 3tan tan lim 2π→, (∞∞型)解 原式=xx x 3sec 3sec lim 222π→= x x x 222cos 3cos lim 31π→= x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312--→π = x x x 2sin 6sin lim 2π→= 32cos 26cos 6lim 2=→x xx π注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 求xx x x x tan tan lim20-→解 原式= 30tan lim x xx x -→= 22031sec lim x x x -→=220tan lim 31x x x →=31二．0,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞型未定式的求法关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型00型和∞∞型.1．∞⋅0型未定式的求法 步骤：,10∞⋅∞⇒∞⋅或0100⋅⇒∞⋅ 例7 求.lim 2xx e x -+∞→ )0(∞⋅型解 原式=2lim x e x x +∞→=x e x x 2lim +∞→2lim xx e+∞→=.+∞=型∞-∞.2步骤：0101-⇒∞-∞.0000⋅-⇒ 例8 求 ).1sin 1(lim 0xx x -→ )(∞-∞型解 原式=xx xx x sin sin lim 0⋅-→x x x x x cos sin cos 1lim 0+-=→.0=型00,1,0.3∞∞步骤： ⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒例9 求.lim 0x x x +→ )0(0型解 原式=xx x eln 0lim +→xx x eln lim 0+→=xxx e 1ln lim 0+→=2011lim xxx e-+→=0e =.1=例10 求.lim111xx x-→ )1(∞型解 原式=x xx eln 111lim -→xx x e-→=1ln lim111lim 1-→=x x e .1-=e例11 求.)(cot lim ln 10xx x +→ )(0∞型解 由于)ln(cot ln 1ln 1)(cot x xxex ⋅=而)ln(cot ln 1lim 0x xx ⋅+→xxx x 1sin 1cot 1lim 20⋅-=+→x x x x sin cos lim 0⋅-=+→1-=所以 原式=.1-e注意：洛必达法则的使用条件． 例12 求.cos limxxx x +∞→解 原式=1sin 1limx x -∞→).sin 1(lim x x -=∞→极限不存在（洛必达法条件不满足的情况） 正确解法为 原式=)cos 11(lim x x x +∞→.1= 例13 求)]24([tan lim nnn +→∞π解 设)]24([tan )(x x f x +=π，则)]24([tan )(n n f n +=π因为)]24tan(ln lim exp[)(lim xx x f x x +=+∞→+∞→π=]1)24tan(ln limexp[x x x ++∞→π])24tan(1)2)(24(sec lim exp[222x xx x x +--+=+∞→ππ=4e 从而 原式=4)(lim )(lim e x f n f x n ==+∞→∞→三．小结1． 洛必达法则是求00型和∞∞型未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能使用。