定积分的概念教案

1
2
1
i
i n
x x x x x x b
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b a
x
n
），在每个小区间
1,i i x 取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1
1
()()n
n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑
如果
x 无限接近于0（亦即n →+∞）
时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数在区间[,]a b 上的定积分。

记为：，
-⎰
积分号，b －积分上限)x dx －被积式
说明：（1）定积分()b
a
f x dx ⎰
是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()b
a
f x dx ⎰，而
不是n S ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间
,a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；
③求和：1()n
i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1
()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰
（3）曲边图形面积：()b
a
S f x dx =⎰；变速运动路程2
1
()t t S v t dt =⎰
；变力做功()b
a W F r dr =⎰
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分
()b
a
f x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和
曲线()y
f x 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，
这就是定积分
()b a
f x dx ⎰的几何意义。

说明：一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ⎰
的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b
之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。

分析：一般的，设被积函数()y
f x ，若()y f x 在[,]a b 上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+
+∆
不妨设1(),(),
,()0i i n f x f x f x +<
于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆+
+∆--∆+
+-∆
()b
a
f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S 吗？
3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
12()]()()()b b
b
m m a
a
a
f x dx f x dx f x dx f x ±=±±
±⎰⎰⎰
12
1
()()()()k
c c b
a
c c x dx f x dx f x dx f x dx =++
+⎰⎰⎰
③性质解释：
C
B
y
1,201x y y x ，与所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，
2
2
1
(1)2
x dx +呢？ [2,2]上，出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）2)2x dx -=性质1 性质4
O。