定积分的概念教案

1

2

1

i

i n

x x x x x x b

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b a

x

n

），在每个小区间

1,i i x 取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1

1

()()n

n

n i i i i b a

S f x f n

ξξ==-=∆=∑∑

如果

x 无限接近于0（亦即n →+∞）

时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数在区间[,]a b 上的定积分。记为：，

-⎰

积分号，b －积分上限)x dx －被积式

说明：（1）定积分()b

a

f x dx ⎰

是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()b

a

f x dx ⎰，而

不是n S ．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间

,a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；

③求和：1()n

i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1

()lim n b i a n i b a

f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰

（3）曲边图形面积：()b

a

S f x dx =⎰；变速运动路程2

1

()t t S v t dt =⎰

；变力做功()b

a W F r dr =⎰

2．定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分

()b

a

f x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和

曲线()y

f x 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，

这就是定积分

()b a

f x dx ⎰的几何意义。

说明：一般情况下，定积分

()b

a

f x dx ⎰

的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b

之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。 分析：一般的，设被积函数()y

f x ，若()y f x 在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+

+∆

不妨设1(),(),

,()0i i n f x f x f x +<

于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆+

+∆--∆+

+-∆

()b

a

f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）

思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S 吗？

3．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

12()]()()()b b

b

m m a

a

a

f x dx f x dx f x dx f x ±=±±

±⎰⎰⎰

12

1

()()()()k

c c b

a

c c x dx f x dx f x dx f x dx =++

+⎰⎰⎰

③性质解释：

C

B

y

1,201x y y x ，与所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，

2

2

1

(1)2

x dx +呢？ [2,2]上，出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）2)2x dx -=性质1 性质4

O