八年级数学十字相乘法因式分解
八年级数学十字相乘法因式分解
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例5 将 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分 解因式
；宁波象山包船捕鱼 宁波象山包船捕鱼
；
的事。 ? 她不属于我们，因为她是天使。 是“国家”错了 ? 在民法的慈母般的眼里，每一个人就是整个国家。——孟德斯鸠 1 ? 一百年前的法兰西。正义的一天—— ? 1898年1月13日，著名作家左拉在《震旦报》上发表致共和国总统的公开信，题为《我控诉》，将一宗为当局所讳的 冤案公曝天下，愤然以公民的名义指控“国家犯罪”，替一位素昧平生的小人物鸣不平…… ? 该举震撼了
人教版数学八年级上册-第14章 十字相乘法-课件
1、x4-13x2+36
2、x2+3xy-4y2
3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
五、拓展延伸
例4、把 6x2-23x+10 分解因式
十字相乘法的要领是：“头尾分解， 交叉相乘，求和凑中，观察试验”。
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2 4、10(y+1)2-29(y+1)+10
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b项是正数时，分解的两个数必同 号，即都为正或都为负，交叉相乘之和得 一次项系数。当常数项是负数时，分解的 两个数必为异号，交叉相乘之和仍得一次 项系数。因此因式分解时，不但要注意首 尾分解，而且需十分注意一次项的系数， 才能保证因式分解的正确性。
例2、把 y4-7y2-18 分解因式
三、巩固练习
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12
2. x2+4x-12
3. x2-5x-14 4. y2-11y+24
因式分解 十字相乘法
实习医生发言稿
尊敬的领导、老师和各位同事：
大家好！我是XX医院的实习医生，很荣幸能有机会站在这里向
大家发表一下自己的看法和感受。
作为一名实习医生，我深知自己的责任重大，同时也深感自己
的不足之处。
在医院的实习期间，我不断地学习和进步，不断地提
高自己的专业水平和医疗技能。
我明白，作为一名医生，我们的职
责是保护患者的健康和生命，我们必须时刻保持专业素养和责任心，不断地提高自己的医疗水平，为患者提供更好的医疗服务。
在实习的过程中，我深刻地体会到了医生的辛苦和责任。
医生
不仅要有扎实的医学知识和丰富的临床经验，还要有高度的责任感
和敬业精神。
在面对病患和家属时，我们要保持沉着冷静，用专业
的知识和耐心去安抚他们的情绪，给予他们最大的关怀和帮助。
同时，我也深知自己的不足之处，还有很多需要学习和提高的
地方。
在今后的实习中，我会更加努力地学习，不断地提高自己的
医疗技能和专业水平，争取成为一名优秀的医生。
最后，我要感谢领导和老师对我的关心和指导，也要感谢各位同事的支持和帮助。
我会珍惜实习期间的每一次学习机会，努力做好自己的本职工作，为医院的发展贡献自己的力量。
谢谢大家！。
初中数学十字相乘法因式分解讲义及习题
数学十字相乘法因式分解一、2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。
对这个式子先去括号，得到：pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。
[例1]（1）232++x x （2）672+-x x[例2] （1）22-+x x （2）1522--x x二、一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。
反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
[例3] 把下列各式因式分解。
（1）3722+-x x （2）5762--x x （3）22865y xy x -+[例4] 将40)(3)(2----y x y x 分解因式[例5] 把222265x y x y x --分解因式[例6] 将xy y x 168155-分解因式注意：多项式分解因式的一般步骤是：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提出公因式。
（2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。
部编数学八年级上册专题31十字相乘法因式分解(解析版)含答案
专题31 十字相乘法因式分解1．下列式子中，因式分解正确的是( )A ．2815(3)(5)x x x x -+=--B ．2815(3)(5)x x x x -+=-+C ．2815(3)(5)x x x x -+=++D ．2815(3)(5)x x x x -+=+-【答案】A【分析】根据十字相乘法即可分解因式．【详解】解：2815(3)(5)x x x x -+=--．故选：A ．【点睛】本题主要考查用十字相乘法分解因式，掌握分解因式的方法是解题的关键．2．将多项式x 2－2x －8分解因式，正确的是（ ）A ．（x ＋2）（x －4）B ．（x －2）（x －4）C ．（x ＋2）（x ＋4）D ．（x －2）（x ＋4）【答案】A【分析】利用十字相乘法分解即可．【详解】解：()()2－2－8=24x x x x +-，故选：A ．【点睛】本题考查用十字相乘法进行因式分解，正确掌握十字相乘法是求解本题的关键．3．分解因式x 2-5x -14，正确的结果是（ ）A ．（x －5）（x －14）B ．（x －2）（x －7）C ．（x －2）（x ＋7）D ．（x ＋2）（x －7）【答案】D【分析】根据-14=-7×2，-5=-7+2，进行分解即可．【详解】解：x 2-5x -14=（x -7）（x +2），故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．4．把多项式256x x -+分解因式，下列结果正确的是（ ）A ．(1)(6)x x -+B ．(6)(1)x x -+C ．(2)(3)x x ++D ．(2)(3)x x --【答案】D【分析】利用公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++即可得答案．【详解】解：256(2)(3)x x x x -+=--故选:D ．【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++．5．如果x 2+kx ﹣10＝（x ﹣5）（x +2），则k 应为（ ）A ．﹣3B ．3C ．7D ．﹣7【答案】A【分析】根据多项式乘以多项式把等号右边展开，即可得答案．【详解】解：（x -5）（x +2）=x 2-3x -10，则k =-3，故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是掌握x 2+（p +q ）x +pq =（x +p ）（x +q ）．6．如果多项式x 2﹣5x +c 可以用十字相乘法因式分解，那么下列c 的取值正确的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、252x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；B 、253x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；C 、()()25414x x x x -+=--，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；D 、255x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解．7．因式分解22212x x --=_________【答案】()()223x x +-【分析】先提公因式再利用十字相乘法进行因式分解即可；【详解】解：()()22212=232x x x x ---+；故答案为：()()223x x +-．【点睛】本题考查分解因式．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．8．分解因式：2246a a --=______．【答案】()()231a a -+##()()213a a +-【分析】先提取公因数，再用十字相乘法分解因式即可；【详解】解：原式=()()()2223231a a a a --=-+；故答案为：()()231a a -+；【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如x 2+px +q 的二次三项式，若能找到两数a 、b ，使a •b =q 且a +b =p ，那么x 2+px +q = x 2+（a +b ）x +a •b =（x +a ）（x +b ）．9．因式分解：289x x --=______________．【答案】()()19x x +-【分析】根据二次三项式的特征，采取十字相乘因式分解法直接分解即可．【详解】解：采取十字相乘因式分解法直接分解289x x --，289x x \--()()19x x =+-，故答案为：()()19x x +-．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，根据代数式特征选择恰当的因式分解方法是解决问题的关键．10．因式分解：2412x x --=_______．【答案】(6)(2)x x -+【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．【详解】解：因为1262,624-=-´-+=-，且4-是x 的一次项的系数，所以2412(6)(2)--=-+x x x x ，故答案为：(6)(2)x x -+．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．11．观察下列因式分解中的规律：①()()23212x x x x ++=++；②()()271025x x x x ++=++；③()()25623x x x x -+=--；④()()28422x x x x -=+--；利用上述系数特点分解因式26x x +-=__________．【答案】()()32x x +-【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：()()2632x x x x +-=+-，故答案为：()()32x x +-．【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：()()2()x a b x ab x a x b +++=++．12．分解因式：x 2﹣7xy ﹣18y 2＝___．【答案】()()92x y x y -+【分析】根据十字相乘法因式分解即可．【详解】x 2﹣7xy ﹣18y 2()()92x y x y =-+，故答案为：()()92x y x y -+．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．三、解答题13．阅读材料：由多项式乘法：（x +a ）（x +b ）＝x ²+（a +b ）x +ab ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x ²+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ）．示例：分解因式：x 2+5x +6＝x ²+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）． 请用上述方法分解因式：(1)x 2-3x -4；(2)x 2-7x +12．【答案】(1)()()14x x +-(2)()()34x x --【分析】（1）根据-4=1×(−4)，1-4=-3即可分解因式；（2）根据-3×(-4)=12，-3-4=-7即可分解因式．（1）解：x 2−3x −4=x 2+(1-4)x +1×(−4)=(x +1)(x −4)；（2）解：x 2−7x +12=x 2+(−3−4)x +(−3)×(−4)=(x −3)(x −4)．【点睛】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数．14．阅读理解题：由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x éùéùëû--=++-+´-=+û+ë．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．(1)尝试：分解因式：()()268____________x x x x ++=++；(2)应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【答案】(1)2，4(2)()()23x x --，()()16+-x x 【分析】（1）利用阅读材料的方法解答，即可求解；（2）利用阅读材料的方法解答，即可求解；(1)268x x ++()22424x x =+++´()()24x x =++；故答案为：2，4(2)解：256x x -+()()()()22323x x éùéùëû=+-+-+-´-ëû()()23x x =--；256x x --()()21616x x éùéùëû=++-+-ë´û()()16x x =+-【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，理解阅读材料的因式分解方法是解题的关键．15．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：2(2)(3)56x x x x ++=++；2(1)(3)23x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：256(2)(3)x x x x ++=++；223(1)(3)x x x x +-=-+．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是111=´，常数项3(1)3-=-´，一次项系数2(1)3=-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：223(1)(3)x x x x +-=-+．利用这种方法，将下列多项式分解因式：(1)2710x x ++=__________；(2)223x x --=__________；(3)2712y y -+=__________；(4)2718x x +-=__________．【答案】(1)()()25x x ++(2)()()31x x -+(3)()()34y y --(4)()()92x x +-【分析】（1）仿照题意求解即可；（2）仿照题意求解即可；（3）仿照题意求解即可；（4）仿照题意求解即可．(1)解：根据题意可知()()271025x x x x ++=++(2)解：根据题意可知()()22331x x x x --=-+(3)解：根据题意可知()()271234y y y y =---+(4)解：根据题意可知()()271892x x x x +-=+-【点睛】本题主要考查分解因式，正确理解题意是解题的关键．16．阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，()()225710x x x x --=-+．反过来，就得到2710x x -+的因式分解形式，即2710(2)(5)x x x x -+=--．把这个多项式的二次项系数1分解为11´，常数项10分解为(2)(5)-´-，先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把2-，5-分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数7-（如图1）．像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．例如，将二次三项式243x x +-分解因式，它的“十字”如图2：所以，()()243143x x x x +-=+-．请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：(1)256x x ++= ；(2)2273x x -+= ；(3)()222x m x m +--= ．【答案】(1)（x +2）（x +3）(2)（2x -1）（x -3）(3)（x +2）（x -m ）【分析】根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案．（1）解：由上图可知：x 2+5x +6=（x +2）（x +3），故答案为：（x +2）（x +3）；（2）解：由上图可知：2x 2-7x +3=（2x -1）（x -3），故答案为：（2x -1）（x -3）；（3）解：由上图可知：x2+（2-m）x-2m=（x+2）（x-m），故答案为：（x+2）（x-m）．【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤．17．探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：________；（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12【答案】（1）不能；（2）3；5；3；5；3；5；（3）x2+8x+15；（4）（x-4）（x+3）【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征进行判断即可；（2）将x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）即可得出答案；（3）根据整式乘法计算（x+3）（x+5）的结果即可；（4）将x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]即可得出答案．【详解】解：（1）因为x2+8x+16=（x+4）2，所以x2+8x+15不是完全平方公式，故答案为：不能；（2）∵x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）∴x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）=（x+3）（x+5），故答案为：3，5，3，5，3，5；（3）∵（x+3）（x+5）=x2+5x+3x+15=x2+8x+15，∴x2+8x+15=（x+3）（x+5）因此多项式x2+8x+15的因式分解是符合题意的；（4）x2-x-12=x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]=（x+3）（x-4）．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握x 2+（a +b ）x +ab =（x +a ）（x +b ）的结构特征是正确应用的前提．18．由多项式乘法：（x +a ）（x +b ）＝x 2+（a +b ）x +ab ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ）．示例：分解因式：x 2+5x +6＝x 2+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）．（1）尝试：分解因式：x 2+6x +8＝（x +____）（x +____）；（2）应用：请用上述方法解方程：①x 2﹣3x ﹣4＝0；②x 2﹣7x +12＝0．【答案】（1）2，4；（2）①1x =-或4x =；②3x =或4x =【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）①利用十字相乘法将左边因式分解为()()41x x -´+后求解可得；②利用十字相乘法将左边因式分解()()43x x -´-后求解可得．【详解】解：（1）2268(24)24(2)(4)x x x x x x ++=+++´=++，故答案为：2，4；（2）①2340x x Q --=，2(41)(4)10x x +-++-´=，(4)(1)0x x \-+=，则10x +=或40x -=，解得：1x =-或4x =，②27120x x -+=Q ，2(34)(3)(4)0x x +--+-´-=，(3)(4)0x x \--=，则30x -=或40x -=，解得：3x =或4x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法中的因式分解法．19．阅读材料：解方程22350x x +-=我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式2235x x +-，①竖分二次项与常数项：2x x x =×，()()3557-=-´+．②交叉相乘，验一次项：57x x -+752x x x Þ-=．③横向写出两因式：()()223557x x x x +-=-+．（2）根据乘法原理：若0ab =，则0a =或0b =，则方程22350x x +-=可以这样求解22350x x +-=方程左边因式分解得()()570x x -+=所以原方程的解为15=x ，27x =-．试用上述方法和原理解下列方程：（1）2560x x ++=；（2）2670x x --=．【答案】（1）12x =-，23x =-；（2）11x =-，27x =【分析】（1）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可；（2）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可．【详解】解：（1）2560x x ++=，()()230x x ++=，20,30x x +=+=，12x =-，23x =-．（2）2670x x --=，()()170x x +-=，10,70x x +=-=，11x =-，27x =．【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式的应用，解题的关键是正确利用十字相乘法分解因式．20．阅读下列材料：材料1：将一个形如x 2＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n ，则可以把x 2＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（＋n ）的形式，如x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1解：将“x ＋y ”看成一个整体，令x ＋y ＝A ，则原式＝A 2＋2A ＋1＝（A ＋1）2，再将“A ”还原，得原式＝（x ＋y ＋1）2上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x 2﹣6x ＋8分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3【答案】（1）()()42x x --；（2）()()31x y x y -+-+【分析】（1）根据材料1的方法，满足()()()()842,642=-´--=-+-，进而进行因式分解即可；（2）根据材料1的方法，满足313,413=´=+，根据材料2将“x y -” 看成一个整体，进而因式分解即可【详解】（1）()()()()842,642=-´--=-+-Q \x 2﹣6x ＋8()()42x x =--（2）令x y A -=,313,413=´=+Q 则（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3(3)(1)A A =++\（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3=()()31x y x y -+-+【点睛】本题考查了因式分解，运用整体思想是解题的关键．。
如何利用十字相乘法分解因式
数学篇学思导引所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式ax 2+bx +c 分解因式的方法.十字相乘法在因式分解中经常用到，它可以解答很多公式法、配方法等不能解答的问题.在运用十字相乘法分解因式时需要拆分常数项或二次项系数，并逐一核验对角线乘积的和是否等于一次项系数，若相等，则拆分成功，否则拆分不成功，需要舍弃，最后将拆分后的项按照乘积的形式书写出来，即可完成因式分解.一、二次项系数为“1”时，拆常数项，凑一次项对于二次三项式x 2+bx +c ，当二次项系数为1时，采用十字相乘法分解因式通常是“拆常数项，凑一次项”.即将常数项c 拆分成两个因数c 1和c 2,使这两个因数c 1和c 2的乘积结果刚好是常数项c ,同时c 1和c 2的和刚好是一次项系数b .如图1所示:只要能满足c =c 1c 2,b =c 1+c 2,则x 2+bx +c =x 2+(c 1+c 2)x +c 1c 2=(x +c 1)(x +c 2).图1例1分解因式y 2-8y +15.分析：此二项式的二次项系数为“1”，直接拆分常数项15即可.常数项15=1×15=-1×图2解：y 2-8y +15=(y -3)(y -5).例2分解因式x 2-2x -15.分析：此题可直接拆分常数项-15，因为常数项是负数，所以拆分的因数中需要安排一个负号，这就需要核验一次项系数后确定.-15=-1×15=1×（-15）=-3×5=3×（-5），-1×15和1×（-15）的情形很容易看出不符合要求，另外两种情形如图3、图4所示；拆分为图3核验结果为1×5+1×（-3）=2，不等于一次项系数-2，舍弃；图4验核结果为1×（-5）+1×3=-2，等于一次项系数-2，核验正确.图3图4解：x 2-2x -15=（x +3）（x -5）.评注：从以上的解题过程可以发现:当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.二、二次项系数不为“1”时，拆两头，凑中间如何利用十字相乘法分解因式盐城市初级中学陈爱荣数学篇学思导引“拆两头，凑中间”，即分别把二次项系数a 和常数项c 各自拆分成两个因数a 1和a 2、c 1和c 2,使a 1和a 2的乘积结果等于二次项系数a ，c 1和c 2的乘积结果等于常数项c ,并使a 1c 2+a 2c 1正好等于一次项系数b ，如图5所示，则ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+（a 1c 2+a 2c 1）x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2),a x1c 1a x 2c 2a x 1a 22c 1c 2(a +1c a c x 221)图5例3分解因式5x 2+7x -6.分析：此题中二次项系数不为“1”，需要拆分二次项系数和常数项系数，即5=1×5，-6=-1×6=1×（-6）=-2×3=2×（-3），如下图6-1至6-8所示，然后逐一核对对角线乘积和与一次项系数是否一致，由表1可知，图6-6的分解符合题意.图6-1图6-2图6-3图6-4图6-5图6-6图6-7图6-8表1十字相乘法数据核验表序号12345678图示6-16-26-36-46-56-66-76-8数据验核1×6+5×（-1）=11×（-6）+5×1=-11×1+5×（-6）=-291×（-1）+5×6=291×3+5×（-2）=-71×（-3）+5×2=71×2+5×（-3）=-131×（-2）+5×3=13取舍情况舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×解：5x 2+7x -6=(5x -3)(x +2).例4分解因式9+5x -4x 2.分析：此题二次项系数为负数，如果提取负号则可以转化为二次项系数为正数的情形，即9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）.然后求解出4x 2-5x -9的因式分解结果即可.二次项系数可拆分为4=1×4=2×2，常数项可拆分为-9=-1×9=1×（-9）=-3×3，如下图7-1至7-9所示，然后逐一核对对角线乘积和转化后的一次项系数（-5）是否一致.由表2可知，图7-2的分解符合题意.图7-1图7-2图7-3图7-4图7-5图7-6图7-7图7-8图7-9表2十字相乘法数据核验表（转化后）序号123456789图示7-17-27-37-47-57-67-77-87-9数据验核1×9+4×（-1）=51×（-9）+4×1=-51×1+4×（-9）=-351×（-1）+4×9=351×3+4×（-3）=-91×（-3）+4×3=92×9+2×（-1）=162×（-9）+2×1=-162×（-3）+2×3=0取舍情况舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×解：9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）=-（x +1）（4x -9）.评注：当二次项系数和常数项系数有多种拆分情况时，同学们需要逐一核验拆分后对角线乘积的和是否与一次项系数一致，然后舍弃所有不符合的情况，保留正确的拆分情况.此外，如果二次项系数是负数，则应先将负号提到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解.27。
初中数学因式分解2十字相乘法、分组分解法
【知识要点】1.十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 （2）二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
2．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++=例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2（2）bx by ay ax -+-5102（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++-例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --； （2）()()267a b a b +-+-；（3）()()22524x x -+-+ （4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++例4 把下列各式分解因式（1）()()z y y z x x +-+ （2）()()b a x ab x 34322-+-（3）()()cd b adc ab 2222--- （4）()()y a bx by b y ax 2233+++思考题（5）()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++【练 习】给下列各式分解因式1．221x x +-= 2．2352x x ++=3．232x x +-= 4．221315x x ++=5．2122512x x -+= 6．2310x x +-=7．ax ＋ay －bx －by = 8．x 2－xy －ax ＋ay =9．x 2＋6y －xy －6x = 10．a 2－b 2－a ＋b =11．4x 2－y 2＋2x ＋y = 12．a 2－2ab ＋b 2－c 2=13．1－x 2－2xy －y 2= 14．x 2－9a 2＋12a －4=15．x 2y ＋3xy 2－x －3y= 16．na 2－2ba 2＋mn －2bm=17．x 3＋3x 2＋3x ＋9= 18．20ax 2＋5xy －8axy －2y 2=19．bx ＋ax ＋by ＋bz ＋ay ＋az=20．2ax －3bx ＋x －2a ＋3b －1=一、分解因式1．2249y x -3、2a 4－324、a 2(3a ＋1)－b 2(3a ＋1)5、x 2－8x ＋166、a 2b 2－10ab ＋257、－x 4＋2x 2y 2－y 48、(2x 2＋1)2＋2(2x 2＋1)＋1二、分解因式1、9222+--a b ab 2．x 3＋3x 2－4x －123．x 2－b x －a 2＋a b 4．m －m 3－mn 2＋2m 2n5．9ax 2＋9bx 2－a －b 6．a 2－2a ＋4b －4b2C 组三、分解因式1、(a2＋b2)2－4a2b22、a4(x－y)＋b4(y－x)3、(a2＋1)2－4a(a2＋1)＋4a2 4.a2＋2ab＋b2－ac－bc5.m2＋2mn＋n2－p2－2pq－q26.(x2－3)2－4x27. (x2－3)2＋(x2－3)－28.(x2－2x)2－4(x2－2x)－59.a4－2a2b2－8b4 10.x4－6x3＋9x2－16。
十字相乘法进行因式分解讲解与练习
十字相乘法与配方法1.十字相乘法的依据和具体内容依据:逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ ⇒ 2()()()x a b x ab x a x b +++=++x x a b步骤: ①竖分而次项与常数项;②交叉相乘,和相加;③检验确定,横写因式.如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．【同步练习】一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－2二、填空题4．=-+1032x x __________．5．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．a ＝__________，b ＝__________．6．=--3522x x (x －3)(__________)．7．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．8．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题9．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．10．已知332426x y xy a x y =＋＝，＝＋，+，求a 的值．2.配方法：步骤:1.转化： 将此一元二次方程化为20ax bx c ++=的形式(即一元二次方程的一般形式）。
7 初二数学 十字相乘法----因式分解
• 当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一定同号, 符号与一次项系数相同。
• 当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异号;绝对值 大的数与一次项系数同号。
17
18
拓展引申1
把下列各式分解因式
(1)(x+y)2-4(x+y)-5 =(x+y+1)(x+y-5)
(2) y2-2y(x-1)-15(x-1)2 =[y+3(x-1)][y-5 (x-1)]
=(y+3x-3)(y-5 x+5)
13
分解下列因式
（1）(m+n)2-5(m+n)+6 =(m+n-2)(m+n-3)
（2）x2+(2k+2)+2k+1 =(x+2k+1)(x+1)
14
拓展引申2
首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解
1.6x2 7x 2 (2x 1)(3x 2)
2.3x2 11x 10 (3x 5)(x 2)
总结
ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 )
a a1
x
4
⑵ y2- 8y+15
=(y-3)( y-5)
y
-3
y -5
4
例1把下列各式分解因式
⑶ x2 – 3x-4
=(x+1)(x-4)
方法:
➢ 先把首项和尾项拆分成两个因式相乘 ➢ 交叉相乘再相加等于中间项
(不仅要验证绝对值,更要验证符号)
5
例1把下列各式分解因式
⑶ x2 – 3x-4
=(x+1)(x-4)
1
因式分解(十字相乘法)
十字相乘法简单易懂，并且适用于各种类型的多项式。
十字相乘法步骤
1
步骤详解
2
2. 根据十字相乘法规则，将各项依次
相乘
3
实例演示
4
通过实例演示，展示十字相乘法的具 体步骤和计算过程。
步骤详解
1. 将多项式写成乘法形式
步骤详解
3. 将相乘得到的项合并并简化
练习及应用
练习题目
通过一些练习题，巩固因式分解和十字相乘法的 运用。
因式分解(十字相乘法)
因式分解是一种数学技巧，用于将一个多项式表达式拆分为两个或多个较简 单的因式。
基本概念介绍
什么是因式分解
因式分解是将一个复杂的代数式拆解成较简单的乘积形式。
因式分解的应用场景
因式分解在代数方程、因子分析和问题求解中具有广泛的应用。
十字相乘法原理
1 原理概述
十字相乘法是一种用于因式分解的方法，通过交叉相乘求得多项式的因子。
推广因式分解的学习方法和技巧，提供应用建议并鼓励学生探索更多数学概念。
பைடு நூலகம்
应用案例
介绍一些实际问题，在解决这些问题中应用因式 分解和十字相乘法。
常见问题解答
1 常见问题梳理
整理并解答关于因式分解和十字相乘法的常见问题。
2 解答分享
分享一些解题技巧和策略，帮助学生更好地理解和掌握因式分解。
总结及推广
因式分解的价值
因式分解有助于简化复杂的数学问题，提高解题速度和准确度。
推广和应用建议
八年级数学(上册)-因式分解的方法汇总
（3）原式=
x4 2x2 1 2x(x2 1) x2 (x2 1)2 2x(x2 1) x2 (x2 x 1)2
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题 的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已 知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种 方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一般步骤是：
解法三：将三次项 x3 拆成 9x3 8x3
解法四：添加两项 x2 x2
对应练习
分解因式：
（1）x9 x6 x 3 3
（2）(m2 1)(n2 1) 4mn
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全 平方式或几个完全平方式的和的形式， 这种方法叫配方法。配方法的关键是通 过拆项或添项，将原多项式配上某些需 要的项，以便得到完全平方式 ，然后在 此基础上分解因式。
(1999x 1)(x 1999)
（5）原式= (x y)2 2(x y) 2xy(x y) 4xy (xy)2 2xy 1
(x y xy)2 2(x y xy) 1 (x y xy 1)2 (x 1)2 ( y 1)2
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察等分解的代数式，尽可能地找出它 们的分因数（式）
方法二：公式法
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)
因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
十字相乘法分解因式
(x+p)(x+q)= x ( p q) x pq
2
整式乘法中，有
计算
(1) (x＋2)(x＋1) (2) (x+2)(x-1) (3) (x-2)(x-1) (4) (x+2)(x+3)
=x2+3x* x 1)
(5) x 5x 4
4 2
2
( x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
2 (2)3x +8x-3
(6) (2x y) 5(2x y) 4
(2 x y 1)(2 x y 4)
( x 3)(3x 1)
分解因式—十字相乘法
你学过哪些分解因式的方法？
01 提公因式法
02
03
公式法
拆项添项法
04
分组分解法
拆项添项法
因式分解 x4 + 4 解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 完全平方公式 2 2 2 平方差公式 = (x +2) – (2x) 2 2 = (x +2x+2)(x –2x+2)
2 2x -7x+3 2 2 5x +6xy-8y
(3) (4)
( x 3)(2 x 1)
( x 2 y)(3x y)
(7) 10 (x ＋2)2 －29(x＋2) ＋10 (2 x 1)(5x 8)
(8) 7(x+y)3+5(x+y)2-2(x+y)
( x y)(x y 1)(7 x 7 y 2)
因式分解之十字相乘法
待定系数法 二次六项式
学习心得
• 1.十字相乘法的两种模型： =(x+p)(x+q) acx2+(ad+bc)x+bd=
x2+(p+q)x+pq (ax+b)(cx+d)
.
猜想 合并同类项
• 2.双十字相乘法： (ax+by+c)(dx+ey+f)=(a+d)x2+(bd+ae)xy+bey2+(af+cd)x+(bf+ce)y+cf
• (x-7)(x-4)=x2-7x-4x+(-7)×(-4) =x2-11x+28 x • =x2+3x-8x+3×(-8) =x2-5x-24 x -7 +3 -4 -7x-4x ∴x2-11x+28=(x-7)(x-4) ∴x2-5x-24= . (x-8)
x
x
-8
(x+3) +3x-8x (x+3)(x-8)
2x
3x
-2y 4xy-10xy
• 2.3x2+11x+10=(3x )( x 3x x
)
• 4.7x2-19x-6=( x x
)( x
)
5 2 1 6x+5x
x
7
2
7×(-3)x+2x
模型小结
• 1.6x2+7x+2=(2x-1)(3x ) • 2.3x2+11x+10=(3x )( x ) • 3.5x2-6xy-8y2=( x )( x ) • 4.7x2-19x-6=( x )( x ) 的
因式分解---《十字相乘法》教学PPT课件 初中数学八年级下册公开课
6.挑战自我
(x y)2 10(x y) 9
解( x原 式y)
(x y)
(x
y
1)(x--19y
9)
x4 10x2 9
解 原式 (x2 1)( x2 9)
(x 1)(x 1)(x 3)(x 3)
四、课堂练习
n -14
1. 因式分解
n2 4n 140
义务教育教科书北师大版八年级数学下册
第四章 因式分解
4.十字相乘法
一、前情回顾
因式分解: 把一个多项式化 为几个整式的乘积的形式。 这种变形也叫分解因式。
分解因式的常见方字相乘法是指什么？ 2.今天所学能用十字相乘法 的多项式有什么特征？ 3.你能否快速的运用十字相 乘法进行因式分解？
(n+9)(n+8)=n²+17n+72 . 4y²-3y-70= (y-10)(y+7)
x²-5x+(-84)=(x+7)(x-12)
x²y²+(-4xy)-60 = (xy-10)(xy+ 6 )
3.观察与探究
(x a)(x b) x2 bx ax ab
即：十字 x2 (a b)x ab 交叉线左边 相乘等于二 次项, 右边 相乘等于常数项,交叉相乘再 相加等于一次项。
三、合作交流，探究新知
(a 3)(a 5) a2 8a 15 (x 3)(x 2) x2 x 6
(m 7)(m 8) m2 15m 56
通过计算,请思考：
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
2.快速写出答案
4.试一试
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
第 8 讲 十字相乘法因式分解
第八讲 十字相乘法因式分解【知识要点】十字相乘法：1．针对q px x ++2的因式：恰好p 可写成b a +，q 可写成ab ，则有： 222()()()()()()x px q x ax bx abx ax bx ab x x a b x a x a x b ++=+++=+++=+++=++ 2．由21122122122111))((c c x c a c c a x a a c x a c x a +++=++，反过来看，就得到c bx ax ++2的因式分解式。
即))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++与c bx ax ++2比较，就知道a 分解成21a a ，c 分解成21c c ，并且把2121,,,c c a a 排列成方阵再交叉相乘后相加，就得到b 。
b c a c a c a c a =+211222113、十字相乘法口诀：拆两头、凑中间、交叉乘、横着写。
【经典例题】例1．分解因式：（1）1492++x x （2）1032+--x x（3）5922-+x x （4）22823y xy x --同步练习：（1）122--x x (2)1032--x x（3）31082---x x （4）221435y xy x --例2．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x 2+2x ﹣3，解：原式＝x 2+2x +1﹣1﹣3＝（x 2+2x +1）﹣4＝（x +1）2﹣4＝（x +1+2）（x +1﹣2）＝（x +3）（x ﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x 2﹣4x +3 （2）4x 2+12x ﹣7．例3．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x +p ）（x +q ）＝x 2+（p +q ）x +pq ，可得x 2+（p +q ）x +pq ＝（x +p ）（x +q ）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x 2+3x +2分解因式．这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2，所以x 2+3x +2＝x 2+（1+2）x +1×2．解：x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．上述分解因式x 2+3x +2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x 2﹣5x +6＝ ；（2）若x 2+px +8可分解为两个一次因式的积，则整数P 的所有可能值是 ．例4．分解因式（1）()a x a x +++12 （2）()k x k kx +++122例5．阅读理解：对于多项式x 2+px +q ，若满足关系式p ＝a +b ，q ＝ab ，那么这个多项式可进行如下的因式分解：x 2+px +q ＝x 2+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ），这种因式分解的方法叫做常数项分解法．例如多项式x 2+5x +6，因为6＝2×3，5＝2+3，故可因式分解为x 2+5x +6＝x 2+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）．（1）多项式x 2+3x ﹣18分解结果正确的是 ；A ．（x ﹣6）（x +3）B ．（x ﹣9）（x +2）C ．（x +6）（x ﹣3）D ．（x +9）（x ﹣2）（2）填空：x 2+2x ﹣8＝x 2+[ + ]x +[ ]×[ ]＝[x + ][x + ]；（3）仿照上面的方法分解因式：x 2﹣5x ﹣24．思考题:（1）38844322--+-+y x y xy x （2）612767322-++--y x y xy x【课堂练习】一、填空1．若3,5-+x x 都是152--kx x 的因式，则=k ．2．若202++ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是 ．3．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2﹣x ﹣3的方法．（1）二次项系数2＝1×2；（2）常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）＝1 1×（﹣1）+2×3＝5 1×（﹣3）+2×1＝﹣1 1×1+2×（﹣3）＝﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1＝﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x +1）（2x ﹣3）＝2x 2﹣3x +2x ﹣3＝2x 2﹣x ﹣3，则2x 2﹣x ﹣3＝（x +1）（2x ﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2+5x ﹣12＝ ．二、分解因式1．1072+-x x 2．1492-+-x x 3. 223102ab b a a -+4．22673y xy x -- 5．223108y xy x ++ 6．2252710y xy x ++7．2)(3)(2++-+y x y x 8．8)(6)(2++++y x y x 9. 221y xy a a x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++10．()()42522+-+-x x 11．()()2532++++b a b a【课后作业】一、因式分解：（1）（x ﹣4）（x +7）+18． （2）（x 2﹣x ）2+（x 2﹣x ）﹣6． （3）x 2+x ﹣2（4）a 2﹣2a ﹣15 （5）（x 2﹣2x ）2﹣2（x 2﹣2x ）﹣3 （6）x 2﹣4x ﹣12（7）2254y xy x -- （8）1032-+x x （9）222212y xy x --8．若041222=+-+-y xy x x ，则=x ，=y ． 9．若36412++kx x 是一个完全平方式，则=k ． 10．a a a 1216423++-在分解因式时，应提取的公因式是 ． 11．多项式78622++-+y x y x 的最小值为 ．12．阅读下列问题因式分解：x 2+4x +3．解：原式＝x 2+4x +4﹣4+3＝（x 2+4x +4）﹣1＝（x +2）2﹣1＝（x +2+1）（x +2﹣1）＝（x +3）（x +1）上述因式分解的方法称为配方法．请仿照上述配方法的解题步骤将下列各式因式分解：（1）x 2﹣6x +5 （2）4x 2+4x ﹣15第八讲 十字相乘法因式分解【知识要点】十字相乘法：1．针对q px x ++2的因式：恰好p 可写成b a +，q 可写成ab ，则有： 222()()()()()()x px q x ax bx abx ax bx ab x x a b x a x a x b ++=+++=+++=+++=++ 2．由21122122122111))((c c x c a c c a x a a c x a c x a +++=++，反过来看，就得到c bx ax ++2的因式分解式。
十字相乘法分解因式
课前练习 ：下列各式因式分解
1．- x2+2 x+15
2
4
2
3．x -7x +18；
．（ x+y ） 2-8 （x+y ） +48；
2
2
4． x -5xy+6y 。
答： 1．-（ x+3）（ x-5）；
2．（ x+y-12 ）（ x+y+4 ）；
3 ．（ x+3 ）（ x-3 ）（ x 2+2）；
4．（ x-2y ）（ x-3y ）。
课堂教学设计说明
1．为了使学生切实掌握运用十字相乘法把某些二次三项式因式分解的思路和方法，
在
教学设计中，先通过例 1，较祥尽地讲解借助画十字交叉线分解系数的具体方法，在此基础
上再进一步概括如何运用十字相乘法把二次三项式
ax2+bx+c 进行因式分解的一般思路和方
法。只有使学生掌握了十字相乘法的一般法则， 才能进一步指导解决各种具体的问题， 这种
我们已经学习了把形如 x 2+px+q 的某些二次三项式因式分解， 也学习了通过设辅助元的
方法把能转化为形如 x2+px+q 型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是 1 的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题， 某些形如 ax2 +bx+c 的课 例1
把 2x2-7x+3 因式分解。
指出： 通过例 1 和例 2 可以看到， 运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1 的二次三项
式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。
对于二次项系数是 1 的二次三项式， 也可以用十字相乘法分解因式， 这时只需考虑如何 把常数项分解因数。例如把 x 2+2x-15 分解因式，十字相乘法是
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pk10规则
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