第8章 非线性系统

第七章非线性系统1．基本要求通过本章学习，应该达到：（1）正确理解描述函数的基本思想和应用条件。

（2）准确理解描述函数的定义、物理意义和求法，并会灵活应用。

（3）熟练掌握理想继电特性、死区继电特性、滞环继电特性和死区特性等典型非线性环节的描述函数，并会运用典型非线性特性的串并联分解求取复杂非线性特性的描述函数。

（4）熟练掌握运用描述函数法分析非线性系统的稳定性和自振荡的方法和步骤，并能正确计算自振荡的振幅和频率。

（5）正确理解相平面图的基本概念。

（6）熟练掌握线性二阶系统的典型相平面图及其特征。

（7）会画出非线性系统工程的典型相平面图。

（8）熟练掌握运用相平面法分析非线性系统的动态响应的方法和步骤。

2．内容提要本章介绍了非线性系统的两种基本分析方法：描述函数法和相平面法。

（1）描述函数法这是一种频域法，基于谐波线性化的近似分析方法。

其基本思想是首先通过描述函数将非线性环节线性化，然后应用线性系统的频率法对系统进行分析。

描述函数法在应用时是有条件限制的，其应用条件是：（i）非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节和一个线性部分串联的典型负反馈结构。

若不是这种典型结构，则必需首先利用系统中信号间的传递关系简化成这种典型结构，才能应用描述函数法做进一步的分析。

（ii）非线性环节的静特性曲线是奇对称的。

（iii）线性部分应具有良好的高频衰减特性。

（iv）只能用来分析非线性系统的稳定性和自振荡。

（2）描述函数N(A)的计算及其物理意义描述函数N(A)可以从定义式（7-15）出发求得，一般步骤是：（i）首先画出非线性特性在正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的数学表达式。

（ii）利用付氏级数求出输出的基波分量。

（iii）将求得的基波分量代入定义式（7-15），即得N(A)。

对于复杂的非线性特性也可以将其分解为若干简单的典型非线特性的串并联，然后再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线性特性的描述函数。

描述函数的物理意义是描述了一个非线性元件对基波正弦量的传递能力。

（3）描述函数法分析稳定性和自振荡的一般步骤是：（i）首先求出非线性环节的描述函数N(A)。

（ii）分别画出线性部分的G(jω)曲线和非线性部分的-1/ N(A)曲线。

（iii）用奈氏判据判断稳定性和自振荡，若存在稳定的自振荡，则进一步求出自振荡的振幅和频率。

特别强调的是，应用描述函数法分析非线性系统，其结果的准确程度取决于线性部分高频、衰减特性的强弱。

在对数坐标图上，取决于L(ω)曲线高频段的斜率和位置，其高频段斜率越负，位置越低，高频衰减特性越强，分析结果就越准确。

（4）相平面法是分析非线性系统的一种时域法、图解法，不仅可以分析系统的稳定性和自振荡（极限环），而且可以求取系统的动态响应。

这种方法只运用于二阶系统，但由于一般高阶系统又可用二阶系统来近似，因此相平面法也可用于高阶系统的近似分析。

关于相平面法应着重掌握以下两个问题：（5）相平面图的基本概念：对于绘制和理解相平面图，以及进一步分析系统的动态响应是至关重要的。

相平面图的基本概念有：相轨迹和相平面图的定义；奇点的类型、性质和求法，极限环的分类及性质；相平面图的绘制方法。

应当注意，奇点中的中心点和奇线中的极限环，它们的相平面图是不一样的，这是两个截然不同的概念，不要混淆。

（6）相平面法分析非线性系统的一般步骤：（i）首先选择合适的相平面坐标，并根据非线性特性将相平面划分成若干个线性区域。

若系统没有外部输入，而是分析初始条件下系统的动态过程，可选取系统的输出量c及其导数c&，作为相坐标。

当系统有阶跃或斜坡输入时，选取系统的误差e和e&作为相坐标，会更为方便。

（ii）根据系统的微分方程式绘制各区域的相轨迹。

（iii）把相邻区域的相轨迹，在区域的边界上适当连接起来，便得到系统的相平面图。

然后根据相平面图，进一步分析系统的动态响应。

相平面法分析非线性系统的准确程度，取决于相轨迹曲线的绘制精度。

因此在绘制相轨迹曲线时，要保证一定的绘制精度。

应当特别指出，由于在非线性系统中，其非线性特性往往可以分段加以线性化，而在每一个分段中，系统都可以用线性微分方程描述，因此线性系统的相平面分析是非线性系统相平面分析的基础。

解题示范[例7-1]求间隙特性的描述函数解首先画出间隙特性及其在正弦信号x(t)=A sinωt作用下的输出波形，如图7-30所示。

图7-30 间隙特性及其输入—输出波形其输出波形的数学表达式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-+-≤≤-≤≤-=πωψπωψπωππωωt b t A k tb A k t b t A k t y )( )sin ()(2 )(20 ) sin ()(11因y (t )具有半波对称性，故A 1和B 1可按下式计算。

)1(4 )](cos )sin ( )(cos )()(cos )sin ([2)(cos )(111202201-=++-+-==⎰⎰⎰⎰--Abkb t td b t A k t yd b A k t td b t A k t td t y A πωωωωωωωωπωωππψππψϕπππ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++-+-==⎰⎰⎰⎰--2202201)21(221arcsin 2 )](sin )sin ( )(sin )()(sin )sin ([2)(sin )(111A b A b A b A b kA t td b t A k t yd b A k t td b t A k t td t yB ππωωωωωωωωπωωππψππψπππ由式（7-15）可得间隙特性的描述函数为：)( )1(4])1()21(2 )21arcsin(2[)(11b A AbA kb j A b A b A b Ab k A A j A B A N ≥-+--+-+=+=πππ[例7-12] 求变增益特性的描述函数解 变增益特性可以分解为一个线性与一个死区特性的并联，如图7-31所示。

线性图7-31 变增益特性及其并联分解特性的描述函数就是其频率特性，也就是其比例系数k 1 ，而死区特性的描述函数可由表7-1查得，故变增益特性的描述函数为)( ])(1[arcsin)(2 ])(1arcsin 2[)(2 )()()(2212221121s A AsA s A s k k k A sA s A s k k k A N A N A N ≥-+-+=-----=-=πππ [例7-13] 具有饱和非线性的控制系统如图7-32所示，试求。

(1) K =15时系统的自由运动状态。

(2) 欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，K 的临界稳定值是多少。

解查表7-1可知饱和非线性特性的描述函数为)( ])(1[arcsin2)(2a A Aa A a A a kA N ≥-+=π其中k =2，a =1，于是⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-21111arcsin 4)(1A A A A N π 起点A =1时，-1/N (A )=-0.5。

当A →∞时，-1/N (A )= -∞，因此-1/N (A )曲线位于-0.5~ -∞这段负实轴上。

系统线性部分的频率特性为：]105.00004.0[)]02.01(3.0[)125.0)(11.0()(242++---=++==ωωωωωωωj k s s kj G j s令I m [G (j ω)]=0即1-0.02ω2=0，得G (j ω)曲线与负实轴交点的频率为：s rad /07.702.01==ω 代R e [G (j ω)]，可求得G (j ω)曲线与负实轴的交点为：5.43.0105.00004.03.0)]([07.724kkj G R e -=++-==ωωωω (1) 将K =15代入上式，得R e [G (j ω)]= -1。

图7-33绘出了K =15时的G (j ω)曲线与-1/N (A )图7-32 例7-13非线性系统的结构图图7-33 例7-13系统的G (j ω)和-1/N (A )曲线曲线，两曲线交于（-1，j 0）点。

显然，交点对应的是下一个稳定的自振荡，根据交点处的幅值相等，即：1)1(111[arcsin 42-=-+-AA A π求得与交点对应的振幅A =2.5。

因此当K =15时系统的自由运动状态为自振荡状态，其振幅和频率为A =2.5，ω=7.07rad /s 。

（2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于G (s )极点均在左半s 平面，故根据奈氏判据知，应使G (j ω)曲线不包围-1/N (A )曲线，即5.05.43.0-≥-k故K 的临界稳定值为：5.73.04.05.0=⨯=MAX K [例7-14] 非线性系统如图7-34 所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定自振荡的振幅和频率。

解： 由图7-34可知，系统的结构图不是描述函数应用时的典型结构，因此首先变换成典型结构。

由于在用描述函数分析稳定性和自振荡时，不考虑r (t )的作用，故设r (t )=0。

再根据结构图中信号间的相互关系，故图7-34可变换成图7-35的典型结构。

由结构图知，非线性特性是滞环继电特性：M =1，h =0.2,故图7-34 例7-14非线性系统的结构图（a ） （b ）图7-35 例7-14结构图变换2.0 8.0)2.0(14 4)(14)(2222=≥--=--=h A Aj A A A Mhj A h A M A N ππππ画出-1/N (A )曲线与G (j ω)曲线如图7-36所示，-1/N (A )曲线是一条虚部为-j πh /4M =-j 0.157的直线。

显然两曲线的交点处决定了一个稳定的自振荡。

)1(10110)1(10)(22ωωωωωω+-+-=+=j j j j G Θ 令157.0)1(10)]([2-=+-=ωωωj G I m ，试探法解下列方程：0.0157ω(1+ω2)=1得 ω ≈4（rad /s ）将ω=4代入R e [G (j ω)]： 588.01102=+-ω令 R e [G (j ω)] = R e [-1/N (A )]-0.588 = -222.04-A π得 A =0.775 故自振荡的振幅A =0.775，频率ω =4rad /s 。

[例7-15] 图7-37(a )是一种非线性积分器的电路原理图。

这种非线性积分器对输入信号的幅值完成积分作用，而引入的相位滞后只有-38.1︒。

采用这种非线性积分器可以提高系统的无差型号，而对动态品质的影响却明显减小。

通常又把这种积分器称为Clegg 非线性积分器，试求Clegg 非线性积分器的描述函数。