华师版数学九年级上册强化专训-二次根式

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华师版九年级数学上册《二次根式》阶段核心方法专训比较含二次根式的式子的大小的八种方法

n＋3＋ 2
n＋1＞0，
1y＝
1 n＋2－
＝ n
n＋2＋ 2
n＞0，∵
n＋3＋
n＋1
＞ n＋2＋ n＞0，∴1x＞1y＞0，∴x＜y.
阶段核心方法专训
7 ．用 “<” 将
x
，
1 x
，
x2
，
x连接起来为
______________________________(0<x<1)．
解：取特殊值 x＝14，则1x＝4，x2＝116， x ＝12，∴x2＜x＜ x＜1x.
3
8 5－a＞ a－6.
阶段核心方法专训
1．比较 6＋ 11与 14＋ 3的大小．解：因为( 6＋ 11)2＝17＋2 66，( 14＋ 3)2 ＝17＋2 42，17＋2 66＞17＋2 42，所以( 6 ＋ 11)2>( 14＋ 3)2.又因为 6＋ 11>0， 14 ＋ 3>0，所以 6＋ 11＞ 14＋ 3.
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
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1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！

华师版数学九年级上册强化专训-二次根式的除法(1)

华师版数学九年级上册阶段强化专训
二次根式的除法
【知识与技能】
1.理解
b a b a =（a ≥0,b ＞0）和b a b a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算.
2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.
3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
【过程与方法】
1.先由具体数据，发现规律，导出
b a b a = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算.
2.再利用逆向思维，得出
b a b a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简.
3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
【情感态度】通过探究b a b
a =（a ≥0,
b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导b
a b a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.
【教学重点】
1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），b
a b a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简.
2.最简二次根式的运用.
【教学难点】
发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.
一、情境导入，初步认识
（学生活动）请同学们完成下列各题.
1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式.
2.填空：
3.利用计算器计算填空：
【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评.
二、思考探究，获取新知。

华师版数学九年级上册强化专训-二次根式的混合运算(2)

华师版数学九年级上册阶段强化专训二次根式的混合运算一、内容和内容解析1．内容二次根式的加减乘除混合运算．2．内容解析二次根式的混合运算是本章所学内容的综合运用，运算过程中用到乘法分配律，还需用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，教学中要注意让学生体会二次根式的运算与整式运算的．基于以上分析，可以确定本课的教学重点是运用乘法分配律、多项式乘法法则及乘法公式进行二次根式的加减乘除混合运算．二、目标和目标解析1．目标（1）掌握二次根式混合运算的法则，合理使用运算律．（2）灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能在有理数混合运算及整式的混合运算基础上，类比得出二次根式混合运算的法则及算理．目标（2）是通过类比整式乘法公式让学生能熟练进行二次根式混合运算．三、教学问题诊断分析二次根式的混合运算，困难在于让学生体会二次根式的运算与整式运算的．在二次根式运算中，法则和乘法公式仍然适用．本课的教学难点是：二次根式运算中，灵活运用多项式乘法法则及乘法公式．四、教学过程设计（一）提出问题问题1：计算（1）；（2）．问题2：计算（1）；（2）．师生活动：学生独立完成计算，小结算理．追问1：问题1、2中的字母、可以代表哪些数与式．师生活动：学生自由发言，引出、可代表二次根式．设计意图：类比整式运算引出二次根式混合运算的法则与算理．（二）探索新知，解决问题问题3：类比问题，完成计算：（1）；（2）．师生活动：学生独立思考完成，请学生板演，教师适时引导，两题均用乘法分配律．设计意图：让学生体会到数的扩充过程中运算律的一致性．问题4：在问题2中，若令，你能计算下列式子的值吗？（1）；（2）．师生活动：学生通过类比思考得出结论，教师引导学生得出二次根式运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．设计意图：让学生感受到数的扩充过程中数式通性．（三）典型例题例1计算：（1）；（2）．例2计算：（1）；（2）；（3）．师生活动：学生独立完成计算，教师适时给予评价．设计意图：加强学生运算技能的训练，进一步让学生认识二次根式和整式性质运算法则上的一致性（2）、（3）在不能用乘法公式的情况下，可用多项式乘法法则．（四）课堂小结整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算．设计意图：让学生加深数式通性的理解．（五）布置作业课本第12页习题选做．五、目标检测设计。

华师版数学九年级上册强化专训-二次根式的乘法(1)

华师版数学九年级上册阶段强化专训二次根式的乘法说课稿一、教学目标1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．2．会进行简单的二次根式的乘法运算．3．使学生能几何课中学习的勾股定理解决实际问题．二、教学重点和难点1．重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.2．难点：进行二次根式的化简.．重点难点分析：本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.本节难点是掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。

综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.三、教学方法从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．1. 由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解二次根式的乘法时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

2. 积的算术平方根的性质和（）及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。

由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

四、教学手段利用投影仪．五、教学过程(一)引入新课观察下面的例子：于是可得到：又如：类似地可以得到：由上一节知道一般地，有a b •=ba •(a 0≥,b 0≥)；通过上面的例子，大家会发现 b a •=b a •(a 0≥,b 0≥) 也成立. (二)新课积的算术平方根．由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有(a ≥0，b ≥0)．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．要注意a ≥0、b ≥0的条件，因为只有a 、b 都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a ≥0、b ≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a 、b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a 、b 的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形。

华师版数学九年级上册强化专训-二次根式(1)

华师版数学九年级上册阶段强化专训二次根式说课稿一、教材分析随着实际问题的复杂化,学生的学习逐渐涉及到较复杂的平方根、算术平方根的计算和应用。

本章开始就提出第一宇宙速度问题，出现了较复杂的算术平方根表示式情形，激发学生的求知欲，引入本章的学习。

第一节主要研究了二次根式的概念和性质，教科书首先要求学生回顾已学的平方根和算术平方根的知识，由此引出二次根式的概念。

在二次根式的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教科书结合例题对此进行了较详细的分析。

“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，本章是在前面所学的基础上进一步研究二次根式的概念、性质和运算的内容与已学内容“实数”、“整式”、“勾股定理”等紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。

这一节研究的二次根式的概念和性质等内容，既是学习二次根式的化简和运算的依据，也是学习本章的关键。

二、教学目标根据教材内容和学生的特点确定本课时的教学目标为：1、知识技能：使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围。

2、数学思考：使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性。

3、解决问题：提高学生的数学探究能力和归纳表达能力及分类讨论思想。

4、情感态度：学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动体验发现的乐趣，并提高应用的意识，进一步培养学生的分类数学思想以及辩证的认知观点。

三、教学重难点教学重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．教学难点：综合运用性质)0)=aaa。

(2≥(0≥(≥aa和)0四、学情分析1、学生已学习了平方根、算术平方根等有关知识，有了一定的知识基础和认知能力。

2、本课时及后面的知识学习对学生思维的严谨性、分类讨论及类比的数学思想等都有更高的要求，如果学生在此不能很好地理解和正确地认知，将对后续学习产生很大的影响，所以要求学生积极探究、思考，及时加以训练巩固，克服学习困难，真正“学会”。

华师版数学九年级上册强化专训-二次根式的加减(2)

华师版数学九年级上册阶段强化专训二次根式的加减一、内容和内容解析1．内容二次根式加减运算．2．内容解析在二次根式性质和乘除运算的基础上，本课进一步学习二次根式的加减运算．二次根式的加减法是把二次根式化为最简二次根式后，合并被开方数相同的二次根式就可以了，所以本课内容与整式的加减法类似，在教学中可以让学生体会类比思想的实质，通过具体例子，引导学生探索发现二次根式加减运算的核心是合并被开方数相同的二次根式，基本依据是二次根式的性质和分配律．基于以上分析，可以确定本课的教学重点是应用分配律进行二次根式的加减运算．二、目标和目标解析1．目标（1）掌握二次根式加减运算的步骤和方法．（2）会灵活运用二次根式的有关性质进行二次根式的加减运算．2．目标解析达成目标（1）的标志是学生经历类比合并同类项的方法后能探究归纳，概括出二次根式加减运算的方法，先把每一个二次根式化成最简二次根式，再运用分配律合并被开方数相同的二次根式．目标（2）是通过例题教学使学生掌握运算的技巧方法，并能在练习中加以运用，能说出依据．三、教学问题诊断分析类比思想是根据不同对象在某些方面的类似之处，猜想新、旧知识之间的与区别．在二次根式的加减运算中，最后是合并被开方数相同的二次根式．但几个二次根式是否可以合并，这一判断没有整式同类项的判断直接．前者往往需要把每一个二次根式化成最简二次根式，这会造成学生学习的困难．所以在教学教师引导学生进行类比时，指向一定要明确，由浅入深，总结得出“一化简”、“二判断”、“三合并”的步骤．本课的教学难点是准确判断可以合并的二次根式，灵活运用性质、算律运算．四、教学过程设计（一）提出问题问题1：你认为可以怎样计算+？师生活动：让学生讨论，教师了解学生的思路，有的提出可化简求和，教师适时给予肯定评价．设计意图：通过分析如何计算+让学生了解到本课内容并不是孤立的全新知识，而与二次根式的化简密切相关．（二）探索新知，解决问题结果是多少？问题2：化简的师生活动：学生回答，并复习合并同类项的方法．追问1：你能化简吗？师生活动：学生指出它们不是同类项不能合并，老师给予肯定评价．追问2：你能化简吗？师生活动：教师引导学生类比合并同类项，令，学生总结方法得出结果．追问3：能化简吗？与上题区别在哪？师生活动：学生讨论，教师引导，令，，得出结论：不能、的被开方数不相同．设计意图：让学生经历类比合并同类项的方法去探究二次根式加减运算的方法,问题3：、都是最简二次根式，那、是最简二次根式吗？师生活动：学生回答：不是，、，教师给予肯定评价．追问：如何化简+？师生活动：学生讨论得出，教师引导学生类比合并同类项，总结得出二次根式加减运算的方法．“先化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并．”设计意图：让学生感受到合并同类项与二次根式加减运算的与区别，归纳概括出二次根式加减运算的步骤．“一化简，二判断，三合并．”。

华师版数学九年级上册强化专训-二次根式的加减

华师版数学九年级上册阶段强化专训二次根式的加减一、学习目标1.了解同类二次根式的定义。

2.能熟练进行二次根式的加减运算。

二、学习重点重点：二次根式加减法的运算。

难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。

三、自主预习1.计算：（1）2x-3x+5x （2）2223a b ba ab +-2.自学课本内容，完成下面的题目：观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：（1）2322与（2）32与（3）205与（4）1218与你判断同类二次根式的方法：。

3.自学课本，仿例计算：（1）8+18 （2）7+27+397⨯ （3）348-913+312小结：进行二次根式的加减法分三个步骤：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。

四、合作探究1.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（293x x +y 3x y ）-（x 1x-5x y x ）的值。

五、巩固反馈1.二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（） A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A 、2x 与2yB 、3449a b 与5892a bC 、mn 与nD 、m n +与n m + 3.已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式，则满足条件的 a,b 的值（）A ．不存在B ．有一组C ．有二组D ．多于二组4.计算：（1）7238550 （2）)27131(12-- （3）213904540（4）x x x x 1246932-+ （5）232282xy x x +-(0,0)x y >>(6) yy x y x x 1241+-+ （7）)461(9322x x x x x x --5.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（293x x +y 3x y ）-（x 1x-5x y x ）的值。

秋九年级数学上册第21章二次根式阶段强化专训 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九年级上

二次根式阶段强化专训一：利用二次根式的性质解相关问题名师点金：对于二次根式a ，有两个“非负”：第一是a≥0，第二是a ≥0，这两个“非负”在解二次根式的有关题目中经常用到．二次根式的被开方数和值均为非负数，是常见的隐含条件．利用被开方数a≥0解决有关问题1．(2015·某某)若式子x ＋1在实数X 围内有意义，则x 的取值X 围是________． 2．若3x －4－4－3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13y 2，则3x －12y 的值为________． 3．(2014·黔南州)实数a 在数轴上的位置如图，化简（a －1）2＋a ＝________.(第3题)利用a ≥0求代数式的值或平方根4．如果代数式－m ＋m ＋nmn有意义，那么P(m ，n)在坐标系中的位置为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知x ，y 为实数，且x －5＋5－x ＝(x ＋y)2，求x －y 的值．6．已知2|2a －4|＋a 2＋b －1＝0，求a ＋b －ab 的值．利用a ≥0求最值7．若x －3与y ＋2互为相反数，求6x ＋y 的平方根．8．当x取何值时，9x＋1＋3的值最小，最小值是多少？利用被开方数非负性解决代数式化简求值问题9．设等式a（x－a）＋a（y－a）＝x－a－a－y＝0成立，且x，y，a互不相等，求3x2＋xy－y2的值．x2－xy＋y2利用被开方数非负性解与三角形有关问题10．已知实数x，y，a满足：x＋y－8＋8－x－y＝3x－y－a＋x－2y＋a＋3，试问长度分别为x，y，a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的周长；如果不能，请说明理由．阶段强化专训二：比较二次根式大小的八种方法名师点金：二次根式的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等．平方法1．比较6＋11与14＋3的大小．作商法2．比较4－3与2＋3的大小．分子有理化法3．比较15－14与14－13的大小．分母有理化法4．比较12－3与13－2的大小．作差法5．比较19－13与23的大小．倒数法6．已知x ＝n ＋3－n ＋1，y ＝n ＋2－n ，试比较x ，y 的大小．特殊值法7．用“<”连接x ，1x ，x 2，x(0<x<1)．定义法8．比较5－a与3a－6的大小．阶段强化专训三：常见二次根式化简求值的九种技巧名师点金：在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式内仍然适用，在运算的最后注意结果要化到最简形式．在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．估算法1．估计32×14＋18的运算结果应在( )A．5到6之间B．6到7之间C．7到8之间D．8到9之间2．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．(第2题)公式法3．计算：(5＋6)×(52－23)．拆项法4．计算：6＋43＋32（6＋3）（3＋2）.[提示：6＋43＋32＝(6＋3)＋3(3＋2)] 换元法5．已知n ＝2＋1，求n ＋2＋n 2－4n ＋2－n 2－4＋n ＋2－n 2－4n ＋2＋n 2－4的值．整体代入法6．已知x ＝13－22，y ＝13＋22，求x y ＋yx －4的值．因式分解法7．计算：2＋32＋6＋10＋15.8．化简：x y ＋y xx ＋2xy ＋y (x≠y)．配方法9．若a ，b 为实数，且b ＝3－5a ＋5a －3＋15，试求b a ＋ab＋2－b a ＋ab－2的值．辅元法10．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求x ＋y x ＋z ＋x ＋2y的值．先判后算法11．已知a ＋b ＝－8，ab ＝8，化简b ba ＋a ab并求值．答案阶段强化专训一 1．x≥－12．2 点拨：由题意知3x －4＝0，x －13y ＝0，所以x ＝43，y ＝4，代入求值即可．3．1 4.C5．解：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －5≥0，5－x≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≥5，x≤5.∴x 的值为5.∴(x＋y)2＝0，即(5＋y)2＝0，∴y＝－5.∴x－y ＝5－(－5)＝10.6．解：由绝对值、二次根式的非负性，得|2a －4|≥0，a 2＋b －1≥0.又因为2|2a －4|＋a 2＋b －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －4＝0，a 2＋b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，则a ＋b －ab ＝2－3－2×(－3)＝5. 7．解：由题意，得x －3＋y ＋2＝0，∴x－3＝0，y ＋2＝0，解得x ＝3，y ＝－2，则6x ＋y ＝16，∴6x＋y 的平方根为±4.8．解：∵9x ＋1≥0，∴当9x ＋1＝0，即x ＝－19时，式子9x ＋1＋3的值最小，最小值为3.方法点拨：涉及二次根式的最小(大)值问题，要根据题目的具体情况来决定用什么方法．一般情况下利用二次根式的非负性求解．9．解：因为a （x －a ）＋a （y －a ）＝0，所以a(x －a)＝0且a(y －a)＝0. 又因为x ，y ，a 互不相等，所以a ＝0.代入有x －－y ＝0，所以x ＝－y ，所以x ＝－y ，所以3x 2＋xy －y 2x 2－xy ＋y 2＝3x 2－x 2－x 2x 2＋x 2＋x 2＝x 23x 2＝13.10．解：根据二次根式的意义，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≥0，8－x －y≥0，解得x ＋y ＝8，∴3x －y －a ＋x －2y ＋a ＋3＝0.根据非负数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，3x －y －a ＝0，x －2y ＋a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，a ＝4.∴可以组成三角形，它的周长为3＋5＋4＝12.阶段强化专训二1．解：因为(6＋11)2＝17＋266，(14＋3)2＝17＋242，17＋266＞17＋242，所以(6＋11)2>(14＋3)2，又因为6＋11>0，14＋3>0，所以6＋11＞14＋ 3.2．解：∵4－32＋3＝(4－3)(2－3)＝11－63，63≈10.39，∴11－63＜1，又∵4－3>0，2＋3>0，∴4－3＜2＋ 3. 3．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13，∵15＋14＞14＋13，15＋14>0，14＋13>0，∴115＋14<114＋13，即15－14＜14－13.4．解：∵12－3＝2＋3，13－2＝3＋2，2＋3＞3＋2， ∴12－3＞13－2.5．解：因为19－13－23＝19－33，19－3>0，所以19－33>0，所以19－13>23. 6．解：1x ＝1n ＋3－n ＋1＝n ＋3＋n ＋12＞0，1y ＝1n ＋2－n ＝n ＋2＋n 2＞0， ∵n ＋3＋n ＋1＞n ＋2＋n ＞0， ∴1x ＞1y＞0，∴x ＜y. 7．解：取特殊值x ＝14，则x 2＝116，x ＝12，1x ＝4，∴x 2＜x ＜x ＜1x.8．解：∵5－a≥0，∴a≤5，∴a－6＜0，∴3a －6＜0，又∵5－a ≥0，∴5－a ＞3a －6.阶段强化专训三1．C 点拨：原式＝42×12＋32＝22＋32＝5 2.∵2≈1.414，∴52≈7.07. ∵7＜7.07＜8，∴选C .2.7 点拨：因为－3＜0，2＜7＜3，3＜11＜4，所以被墨汁覆盖的数为7. 3．解：原式＝(5＋6)×[52－(2)2×3] ＝(5＋6)×[2×(5－6)]＝2×(5＋6)×(5－6) ＝2×(25－6)＝19 2.4．解：原式＝（6＋3）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝6＋3（6＋3）（3＋2）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝13＋2＋36＋3＝3－2＋6－ 3 ＝6－ 2.5．解：设x ＝n ＋2＋n 2－4，y ＝n ＋2－n 2－4，则x ＋y ＝2n ＋4，xy ＝4n ＋8.原式＝x y ＋y x ＝x 2＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－2xy xy ＝（x ＋y ）2xy －2＝（2n ＋4）24n ＋8－2＝n.当n ＝2＋1时，原式＝2＋1.6．解：由已知得：x ＝3＋22，y ＝3－22，所以x ＋y ＝6，xy ＝1，所以原式＝x 2＋y 2－4xy xy ＝（x ＋y ）2－6xy xy＝30.7．解：2＋32＋6＋10＋15＝2＋32（2＋3）＋5（2＋3）＝2＋3（2＋3）（2＋5）＝12＋5＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－25－2＝5－23.8．解：原式＝xy （x ＋y ）（x ＋y ）2＝xy x ＋y＝xy （x －y ）（x ＋y ）（x －y ）＝x y －y xx －y .9．解：由二次根式的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧3－5a≥0，5a －3≥0，∴3－5a ＝0，∴a＝35.∴b＝15，∴a＋b ＞0，a －b ＜0. ∴b a ＋ab＋2－b a ＋ab－2＝（a ＋b ）2ab－（a －b ）2ab ＝a ＋b ab ab －b －a ab ab ＝(a ＋bab－b －a ab )ab ＝2bab.当a ＝35，b ＝15时，原式＝215×35×15＝25. 方法点拨：对于形如b a ＋a b ＋2或b a ＋a b －2的代数式都要变为（a ＋b ）2ab 或（a －b ）2ab 的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意a ＋b 和a －b 以及ab 的符号． 10．解：设x ＝k(k ＞0)，则y ＝2k ，z ＝3k ， ∴原式＝3k4k ＋5k ＝32＋5＝15－2 3.11．解：∵a＋b ＝－8，ab ＝8，∴a＜0，b ＜0. ∴bb a＋a a b ＝－b a ab －a b ab ＝－ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＝－（a ＋b ）2－2ab ab ＝－64－168＝－488＝－12 2.点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解．。

华师版数学九年级上册强化专训-二次根式的乘法

华师版数学九年级上册阶段强化专训二次根式的乘法一、学习目标1.掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.2.熟练进行二次根式的乘法运算及化简.二、学习重点重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.难点：进行二次根式的化简.三、自主预习1.计算：（1）4×9=___ __ _ ，94⨯=____ ___.16⨯=___ _,（3）100×36（2）16×25 =____ ，25100⨯=___ ____.=_____ ，362.根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：4⨯（1）4×9_____916⨯（2）16×25____25100⨯（3）100×3636综上所述，二次根式的乘法法则：。

当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的，被开方数之积为。

计算下列各式：（1）2×3（2）25×32四、合作探究自学课本内容，完成下列问题：1.用式子表示积的算术平方根的性质：2.化简：①54 ②2212b a ③4925⨯ ④64100⨯小结：化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。

练习：（1）9×27 （2）a 5·ab 51 （3）5·a 3·b 31五、巩固反馈1.等式1112-=-•+x x x 成立的条件是（）A 、x ≥1B 、x ≥-1C 、-1≤x ≤1D 、x ≥1或x ≤-12.下列各等式成立的是（）A 、45×25=85B 、53×42=205C 、43×32=75D 、53×42=2063.下列各式的计算中，不正确的是（）A ．64)6()4(-⨯-=-⨯-=（-2）×（-4）=8B ．2222442)(244a a a a =⨯=⨯=C ．5251694322==+=+D ．12512131213)1213)(1213(121322⨯=-⨯+=-+=-4.计算：（1）3018⨯ （2）7523⨯（3）68×（-26）（4）386ab ab。

华师大版-数学-九年级上册- 二次根式复习指导

《二次根式》复习指导一、考点精析1、二次根式的定义：一般地，式子a （a ≥0）叫做二次根式。

“”叫做二次根号，二次根号下的“a ”叫做被开方数。

2、二次根式的意义二次根式a （a ≥0），就是指非负数a 的算术平方根。

由算术平方根的性质可知，当（）a ≥0时，a 有意义；当a ＜0时，因为负数没有平方根，所以a 没有意义。

3、怎样判定一个式子是不是二次根式。

判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“”。

（2）被开放数不小于0.只要同时满足这两个特征，它就是二次根式；否则，不满足其中任何一个特征，它就不是二次根式。

4、最简二次根式：符合①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫做最简二次根式。

5、同内二次根式：化简最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

6、二次根式的性质（1）（a ）2= a （a ≥0） a （a ≥0）（2）2a =a = -a （a ＜0）（3）ab =a ·b （a ≥0,b ≥0）（4）b a =ba （a ≥0,b ＞0）7、二次根式的乘法a= a（a≥0）（1）算术平方根的性质：2a的化简，将根号内的完全平方式开出根号时，一般先要加上绝对对于二次根式2值的符合，然后再根据a的符号进一步化简，用a进行过渡，可以避免发生错误。

（2）积的算术平方根的性质：ab=a·b（a≥0,b ≥0）（3）二次根式的乘法：a·b=ab（a≥0,b ≥0）即：两个二次根式相除，被开放数相除，根指数不变。

7、二次根式的加减法二次根式的加减；就是合并同类二次根式二次根式加减法的一般步骤：（1）将每一个二次根式化为最简二次根式（2）找出其中的同类二次根式（3）合并根式二次根式8、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样9、本节考察的试题往往以大题（混合运算）的形式出现，解答题要注意步骤及每一步的依据，要特别熟悉二次根式的性质及(m＋n)(m－n)=m－n；n×n=n.二、命题趋势1、能熟练地掌握二次根式的概念和性质。

华师版九年级上册数学第21章二次根式二次根式

2
a
是先开方后平方；③运算结果不同：a＝2 |a|＝ Nhomakorabea2
a
联系：与均为a非a负 0数 ,，且当2a≥0时，
a
a
0
,
a a.
2
a2 a
a2
2
a2 a
感悟新知
知3－练
1．若实数 a，b 满足|a＋1|＋ b－2＝0，则 a＋b＝ ____1____.
课堂小结
2
a
a2
a2
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题补充:
∴x＞.
1
3x 7 7
3
1 3x
7
0,
3x 7 0,
知2－练
感悟新知
（3）欲使有x意义2 ，5 x
则必有 ∴2≤x≤5.
x 2 0, 5 x 0,
（4）欲使有意义，
则必有∴x≥－x 4且4 x≠2. x2
x 4 0,
x
2
0,
知2－练
感悟新知
方法归纳: 求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法：
感悟新知
知2－练
1．式子 x－1在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是( C )
A．x>0
B．x≥－1
C．x≥1
D．x≤1
感悟新知
知2－练
2．已知 y＝ x－4＋ 4－x＋3，则xy的值为( C )
A.43
B．－43
C.34
D．－34
感悟新知
知识点 3 二次根式的性质：( a)2 a, a2 a
达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一宇宙速度的公式是：
其中g为重力加速度，R为地v 球半gR径, ．

华师版数学九年级上册强化专训-二次根式(3)

华师版数学九年级上册阶段强化专训二次根式一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念及其二次根式的性质.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 教材例题讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．本节课的教学重点是：了解二次根式的概念及理解二次根式的性质．二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．（3）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；（4）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简.2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．（3）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；（4）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简.三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性及二次根式性质的灵活运用.四、教学过程设计（一）1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为 3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t?，如果用含有h 的式子表示t ，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？。

华师版数学九年级上册《二次根式-二次根式》有答案

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精编华师大九年级数学上《二次根式》专项强化练习题(4套12页)

精编华师大九年级数学上《二次根式》专项强化练习题（4套12页）一、选择题（每题4分，计24分）1、下列二次根式中，是最简二次根式的是（） A 、a 16 B 、b 3 C 、abD 、45 2、在根式2、75、501、271、15中与3是同类二次根式的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则=---22)1()1(a b （） A 、b-a B 、2-a-b C 、a-b D 、2+a-b4、化简2)21(-的结果是（）A 、21-B 、12-C 、)12(-±D 、)21(-± 5、下列计算中，正确的是（）A 、3232=+B 、3936==+C 、35)23(3253--=-D 、72572173=- 6、如果2121--=--x x x x ，那么x 的取值范围是（） A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞2 二、填空（每题4分，计24分） 1、如果代数式1-x x有意义，那么x 的取值范围是______________ 2、三角形的三边长分别是20、40、45，这个三角形的周长是_________ 3、若588+-+-=x x y ，则xy = _______ 4、当a<0时，||2a a -=________5、满足5-<x<3整数x 是_______________________6、在Rt △ABC 中，斜边AB=5，直角边BC=5，则△ABC 的面积是________· · ·· ab 0 1三、计算或化简（每题7分，计28分） 1、315.01812+-- 2、)65153(1021-⨯3、)2463)(2463(+-4、)35)(15()25(2+++-四、已知：)57(21+=x ，)57(21-=y 求代数式22y xy x +-值五、解方程x x 322123=+六、判断下面各式是否成立（9分）（1）322322= （2）833833= （3）15441544= 探究：1、你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：_____2455= 2、用含有n 的代数式将规律表示出来，说明n 的取值范围，并给出证明参考答案：一、选择1、B2、B3、C4、B5、D6、D 二、填空1、x ≥0且x ≠12、10255+3、404、-2a5、-2，-1，0，16、5三、计算或化简1、227337-2、1556215- 3、22 4、17五、215六、x=6七、解上面三题都正确24552455= 上面规律：1122-=-+n nn n n n 证明：11232-=-+n n n n n =12-n n n 一、选择题：(每小题3分，共30分)323.1.2.7..1ab D x C m B A +-）（式的是下列各式一定是二次根2.().2.2.2.2x A x B x C x D x ≥≤的取值范围＞＜().1.1.11.11A xB xC xD x x =≥≥--≤≤≥≥-或4．在15，61，211，40中最简二次根式的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列各式正确的是（）A ．a a =2B ．a a ±=2C ．a a =2D ．22a a = 6．32-的一个有理化因式是（）A ．3B ．32-C ．32+D ．32+- 7．若1＜x ＜2，则()213-+-x x 的值为（）A ．2x-4B ．-2C ．4-2xD ．2 8，甲、乙两位同学的解法如下：=====对于甲、乙两位同学的解法，正确的判断是（）A ．甲不正确、乙正确B ．甲、乙都不正确C ．甲正确、乙不正确D ．甲、乙都正确4.210.4.102.)()7()3(52.922----+-∆D x C B x A x x x ABC 的值为，则化简、、的三边分别为已知10．下列各式中与327x --是同类二次根式的是（）A ．327x B ．273x - C ．2391x -- D ．3x二、填空题(每小题3分，共18分)11=_________________；120,0)x y ≥≥=__________ 。

华师版数学九年级上册强化专训-二次根式的混合运算(1)

华师版数学九年级上册阶段强化专训二次根式的混合运算一、教学目标知识与技能：二次根式的加减乘除混合运算．过程与方法：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的加减乘除混合运算．情感态度与价值观：学会知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性。

二、教学重、难点重点：二次根式的加减乘除混合运算；难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．三、教学过程（一）、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．（二）、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）683（2）（622分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）6836383182426解：（62262223-32例2．计算：（1）5+6）（5）（2）107107分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1）5+6）（5） 5-5）255（2）107107=102-7 2=10-7=3（三）、巩固练习课本P 12 练习1、2．（四）、应用拓展例3．已知x b a-=2-x a b -，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0， 11x x x x +++11x x x x++- 分析：由于（1x +x （1x +x =1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式2(1)(1)(1)x x x x x x +-+++-2(1)(1)(1)x x x x x x +++-++ 2(1)x x +-2(1)x x ++ =（x+1）(1)x x +(1)x x +=4x+2∵x b a-=2-x a b - ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2。

华师大版-数学-九年级上册- 整理推荐 22.1 二次根式

§22.1 二次根式◆基础知识1. 当a 为实数时10+a ，a ，2a ，12-a ，12+a ，2)1(-a各式中是二次根式。

2. 有意义的条件是。

3．当x___________时，x 31-是二次根式．4. 若2a ＝（a ）2，则a 必须满足条件。

5. (3)2＝，(31)2＝，（x )2＝（x≥0）.6. 当__________x 是二次根式。

7. 2x =-，则x 的取值范围是。

8. )1x <的结果是。

9．下列各式成立的是（）A.()222-=-B.()552-=-C. ()662=-D.x x =210、如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（）A 、 aB 、1a 2C 、3－aD 、－a 211. 下列各式一定是二次根式的是（）12. 当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义：（1）-+21x ；（2）11x +；（3）x 21+13. 计算：（1）25；（2）2)5.1(-；（3）2)3(-a （a<３）；（4）2)32(-x （x<23）◆能力方法作业14. 当__________时，212x x ++-有意义。

15. 若11m m -++有意义，则m 的取值范围是。

16. 若242x x =，则x 的取值范围是。

17. 当15x ≤<时，()215_____________x x -+-=.18. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=。

19. 已知：a 、b 在数轴上的位置如图所示，是化简|a b |)b a (a 22---+的结果是_______。

20. 在式子)))2302,12203,1,2x x y y x x x x y >+=--<++中，二次根式有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个21. 若a31-有意义，则a 的取值范围是（）A. a ≥3B. a>3C. a ≤3D. a<322．的最小值是则正整数是整数n ，n 24（）A.4B.5C.6D.7 23. 若23a ()()2223a a -- ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -24. 设a ，b 为实数，且03292=+-+-a b a ，则b a 等于（）A. ±23B. ±3C. 2D. 23 25. 计算：（1）（52）2；（2）（32）2；（3）（－231）2；（4）（22y x +）226. 把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）8 （2）13 （3）π◆能力拓展与探究27.若m n -++=3102()，则m n +的值为_________。