误差的基本性质与处理

γ 0 (10, 0.05 ) = 0.477 γ 11 = 0.5 > γ 0 (10, 0.05 ) = 0.477
故表中第 9 个测得值含有粗大误差，应予剔除。 再判别最小值 x(1) ，计算统计量
γ 11
= 10.0003 − 10.0004 = 0.25 10.0003 − 10.0007
例3 αi 34º56′ 对某一角度值，分两个测回进行测量，其权等于测量次数，测得值如下， 第一测回 pi 7 αi 34º55′40〞 34º55′30〞 34º55′20〞 34º54′ 1 34º55′0〞 第二测回 pi 3 2 1 1
34º55′70〞 34º55′10〞 34º55′ 2 34º55′50〞 试求该角度的最可信赖值及其标准差？ 解：第一测回的加权平均值及标准差
第二章
误差的基本性质与处理
例 题
例1 测量小轴直径共 10 次，得到一系列等精度测得值如下（单位 mm） ：25.0360， 25.0365，25.0362，25.0364，25.0367，25.0363，25.0366，25.0363，25.0366，25.0364。若 已排除了系统误差的影响和剔除了粗大误差， 试求其算术平均值及标准差， 并写出测量结果。 解： 列表计算如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n=10 Di/mm 25.0360 25.0365 05.0362 25.0364 25.0367 25.0363 25.0366 25.0363 25.0366 25.0364 Vi / μ m -0.4 +0.1 -0.2 0 +0.3 -0.1 +0.2 -0.1 +0.2 0 Vi2/μm 0.16 0.01 0.04 0 0.09 0.01 0.04 0.01 0.04 0
各组相应的残余误差为
υ1 = L1 − L = (1000.0045 − 1000.0020 ) mm
= +0.0025mm
υ2 = L2 − L = (1000.0055 − 1000.0020 ) mm
= +0.0035mm
υ3 = L3 − L = (1000.0015 − 1000.0020 ) mm
x(1) = 10.0003, x( 2) = 10.0004, ⋅⋅⋅, x( 9) = 10.0007, x(10) = 10.001
今有两测得值 x(1) , x(10 ) 可怀疑，但由于
x − x(1) = 10.00055 − 10.0003 = 0.00025 x(10) − x = 10.001 − 10.00055 = 0.00045
0.0025 0.0225 0.0225 0.0025 0.0625 0.0025 0.0025 0.0025 0.2025 0.0225
υ i′ μm
0 +0.2 -0.1 0 -0.2 +0.1 0 +0.1 — -0.1
υi ′ 2 μ m2
0 0.04 0.01 0 0.04 0.01 0 0.01 — 0.01
L1 = 1000.0045mm, σ L1 = 0.5μ m L2 = 1000.0055mm, σ L2 = 1.0μ m L3 = 1000.0015mm, σ L3 = 0.2μ m
试求其最终测量结果。 解：已知各组标准差，即可确定各组的权：
p1 : p2 : p3 = = 1
σ
2 L1
:
1
σ
2
2 L2
:
1
2 σL
3
1
( 0.5) (1.0 ) ( 0.2 )
2
:
1
:
1
2
= 4 :1: 25
加权算术平均值为
q(1) =
x′ − x(1)
σ′
=
10.0005 − 10.0003 ≈ 1.67 0.00012
4 × 0.0030 + 1× 0.0040 ⎞ ⎛ L = ⎜1000.0015 + ⎟ mm 4 + 1 + 25 ⎝ ⎠ = 1000.0020mm
xi / mm
1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ 150.0015 150.0017 150.0016 150.0014 150.0013 150.0015 150.0016 150.0014 1200.0120mm
n
x / mm
υi / μ m
0 +0.2 +0.1
υi2 / μ m 2
0 0.04 0.01 0.04 0.01 0 0.01 0.01 0.12 μ m
x(1) = 10.0003, x( 2) = 10.0004, ⋅⋅⋅, x( 9) = 10.0007, x(10) = 10.001
首先判别最大值 x(10 ) ，因 n=10，故计算统计量 γ 11
γ 11 =
查表得 则
x( n ) − x( n −1) x( n ) − x( 2)
=
10.001 − 10.0007 = 0.5 10.001 − 10.0004
γ 11 =
则
x(1) − x(2) x(1) − x( n −1)
γ 11 = 0.25＜ γ 0 (10,0.05) = 0.477
x′ = 10.0005 σ ′ = 0.12
q(1) =
查表得
x′ − x(1)
σ′
=
10.0005 − 10.0003 ≈ 1.67 0.00012
q0 ( 9, 0.05 ) = 2.11
q(1) = 1.67 < q0 ( 9, 0.05 ) = 2.11
故可判别 γ 11 = 0.5 > γ 0 (10, 0.05 ) = 0.477 不含有粗大误差， 而各 q( i ) 皆小于 2.11， 故可认为 其余测得值也不含有粗大误差。 3） 按狄克松准则，将测得值从小到大顺序排列得
υ1 = 7′′,υ2 = −3′′,υ3 = −13′′,υ4 = −33′′, υ5 = −37′′,υ6 = −23′′,υ7 = −17′′ σ2 = σα =
2
∑ pυ ∑p
: 1
2
2
2 i i
m −1
i
=
3610 2 ( '') = 24.53′′ 7 −1
α2
= 7.76′′
两个测回的权比
σ1 = σα =
1
∑ pυ ∑ pi
α1
2 i i
m −1
=
15840 ( '') = 88.99′′ 3 −1
= 28.14′′
第二测回的加权平均值及标准差
α 2 = 34D54′ +
= 34D55′33′′
40′′ × 3 + 30′′ × 2 + 20′′ × 1 + 70′′ × 1 + 10′′ × 1 + 50′′ × 1 3 + 2 +1+1+1+1+1
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n=10
xi μm
+0.5 +0.7 +0.4 +0.5 +0.3 +0.6 +0.5 +0.6 +1.0 +0.4
υi μm
-0.05 +0.15 -0.15 -0.05 -0.25 +0.05 -0.05 +0.05 +0.45 -0.15
υi2 μ m2
故应先怀疑 x(10 ) 是否含有粗大误差
q(10) =
查表得 则
x(10) − x
σ
=
10.001 − 10.00055 = 2.25 0.0002
q0 (10, 0.05 ) = 2.18
q(10) = 2.25 > q0 (10, 0.05 ) = 2.18
故表中第 9 个测得值含有粗大误差，应予剔除。 剩下 9 个测得值，再重复上述步骤，判别 x(1) 是否含有粗大误差。
2
150.0015
-0.2 -0.1 0 +0.1 -0.1 0
x = ∑ xi / n = 1200.0120 / 8 = 150.0015mm
1
σ=
∑υ / ( n − 1) =
2 i 1
n
0.12 μ m ≈ 0.13μ m 8 −1
因测量次数 n 较小，应按 t 分布。 置信概率为 99.73%时， 置信概率为 95%时， 查 t 分布表得 则算术平均值的极限误差为
2
x1 = 150.0015 ± 0.0002mm x2 = 150.0015 ± 0.0001mm
例5 在立式光学比较仪上鉴定 L0=10mm 的量块。所用基准量块 4 等，其中心长度的 实际偏差-0.1μm，检定的极限误差δlim1=±0.2μm。测量时恒温条件为 t=20±2ºC。10 次 重复测得值（单位μm）为+0.5，+0.7，+0.4，+0.5，+0.3，+0.6，+0.5，+0.6，+1.0，+0.4。 试求此测量方法的极限误差，并写出最后结果。
或
σα = σα
2
p1 250 = 7.76′′ = 7.5′′ p1 + p2 269
例4 在万能测长仪上测量某校对量具。 重复测量 8 次， 测得值 （单位 mm） 为 150.0015， 150.0017，150.0016，150.0014，150.0013，150.0015，150.0016，150.0014。试分别以 99.73% 和 95%的概率确定测量结果 解：列表计算如下：
α1=0.0027，ν1=7 α2=0.05，ν2=7
tα 1 = 4.53, tα 2 = 2.36
4.53 × 0.13 μ m ≈ 0.21μ m 8 2.36 × 0.13 = tα 2σ / n = μ m ≈ 0.11μ m 8
δ lim x = tα 1σ / n =
1
δ lim x
最后测量结果为
x9 = 10.0005mm
σ 9 = 0.12μ m
选取显著度α=0.05，已知 n=10 查表得
k (10, 0.05 ) = 2.43
则 因
kσ 9 = 2.43 × 0.00012 = 0.00029
x9 − x = 10.001 − 10.0005 = 0.0005 > 0.00029
故第 9 个测得值含有粗大误差，应予剔除。 剩下 9 个测得值，再重上述步骤，由判别可知不再含有粗大误差。 2） 按格罗布斯准则，按测得值的大小，顺序排列得
∑d
i
= 250.364mm
∑v
i
=0
∑v
2
i
= 0.40μ m 2
算术平均值： 标准差，按贝塞尔公式：
d=
∑d
n
i
=
250.364 mm = 25.0364mm 10
σ=
算术平均值的标准差：
∑υ
2 i
n −1
=
0.4 μ m ≈ 0.21μ m 10 − 1
σd =
σ
n
≈ 0.07 μ m
测量结果为 d = d ± 3σ d = 25.0364 ± 0.0002mm 例2 果： 对某一 1 等米尺，在 20ºC 的条件下，进行不等精度测量，获得以下三组测量结
υi = xi − x (数据见上表)
（3） 求标准差
σ 10 =
∑υ
2 i
n −1
=
0.345 0.345 μm = μ m ≈ 0.2μ m 10 − 1 9
（4） 判断有无粗大误差 1）按罗曼诺夫斯基准则，首先怀疑第 9 各测得值含有粗大误差，将其剔除，根 据剩下的 9 个测得值计算算术平均值及标准差，得
2
∑x
i
= 5.5μ m
∑υ
i
=0
∑υ
2 i
= 0.345μ m 2
∑υ ′ = 0 ∑υ ′
i i
= 0.12 μ m 2
解：按测量顺序，用表格记下测得数据。 （1） 求算术平均值
x=
∑x
n
i
0.0055 ⎞ ⎛ = ⎜10 + ⎟ mm = 10.00055mm 10 ⎠ ⎝
（2） 求各测得值的残余误差
p1 : p2 =
最可信赖值
1
2
1
σα σα
=
1
2
( 28.14′′ ) ( 7.76′′)
:
1
2
= 19 : 250
α = 34D55′′ + σα = σα
1
36′′ × 19 + 33′′ × 250 = 34D55′33.2′′ 19 + 250 p1 19 = 28.14′′ = 7.5′′ p1 + p2 269
1 1 1
α1 = 34D54′ +
2′ × 7 + 1′ × 2 = 34D55′36′′ 7 +1+ 2
υ1 = 24′′,υ2 = −96′′,υ3 = −36′′
∑ pυ
2 i i
= 7 × ( 24′′ ) + 1× ( −96′′ ) + 2 × ( −36′′ )
2 2 2
2
= 15840 × ( '')
= −0.00Baidu Nhomakorabea5mm
加权算术平均值的标准差为
σL =
= =
最终测量结果为
∑ pυ ( m − 1) ∑ p
2 i 2
i 2 2
4 × ( 25 ) + 1× ( 35 ) + 25 × ( −5 ) ( 3 − 1)( 4 + 1 + 25) 4350 = 0.0009mm 60
L0 = L ± 3σ L = 1000.0020 ± 0.0027 mm