基于MUSIC算法的测向性能分析

基于MUSIC算法的测向性能仿真2013 年 1 月 16 日摘要随着移动通信技术的飞速发展，智能天线技术研究的不断深入，来波方向(DOA)估计技术逐渐成为研究的热点之一，而MUSIC算法是智能天线技术的典型算法。

本文在对MUSIC算法进行分析的基础上，设计了MUSIC算法的仿真程序，对不同情况下该算法的性能进行了仿真分析。

仿真结果表明该算法在不同阵列结构、信号入射角度时具有不同的性能。

关键词：智能天线；DOA；MUSIC；阵元目录摘要 (I)引言 (1)一、MUSIC算法介绍 (1)1.1 MUSIC算法的提出 (1)1.2波达方向估计问题中的阵列信号数学模型 (2)1.3阵列协方差矩阵的特征分解 (4)1.4 MUSIC算法的原理及实现 (6)1.5 MUSIC算法的实现步骤： (8)二、MUSIC算法的DOA估计仿真 (8)2.1MUSIC算法的基本仿真 (8)2.2 MUSIC算法DOA估计与阵元数的关系 (9)2.3 MUSIC算法DOA估计与阵元间距的关系 (10)2.4 MUSIC算法DOA估计与快拍数的关系 (11)2.5 MUSIC算法DOA估计与信噪比的关系 (12)2.6 MUSIC算法DOA估计与信号入射角度差的关系 (13)三、MUSIC算法性能分析小结 (15)参考文献 (15)附录 (16)附录一：MUSIC算法的基本仿真源代码 (16)附录二：MUSIC算法DOA估计与不同阵元数关系仿真源代码 (17)附录三：MUSIC算法DOA估计与阵元间距的关系仿真源代码 (18)附录四：MUSIC算法DOA估计与快拍数的关系仿真源代码 (21)附录五：MUSIC算法DOA估计与信噪比的关系仿真源代码 (22)附录六：MUSIC算法DOA估计与信号入射角度差的关系仿真源代码 (24)图目录图1-1等距线阵与远场信号 (2)图2-1MUSIC算法的DOA估计谱 (9)图2-2阵元数不同时MUSIC算法的DOA估计谱 (10)图2-3阵元间距不同时MUSIC算法的DOA估计谱 (11)图2-4快拍数不同时MUSIC算法的DOA估计谱 (12)图2-5信噪比不同时MUSIC算法的DOA估计谱 (13)图2-6角度间隔不同时MUSIC算法的DOA估计谱 (14)引言智能天线技术是当前无线移动通信领域颇为关注和研究的热点领域之一，可将无线电的信号导向到具体的方向上，产生空间定向波束，使天线主波束对准用户信号到达方向，旁瓣或零陷对准干扰信号的到达方向，起到充分高效利用移动用户信号并删除或抑制干扰信号的目的。

而波束形成的关键是要准确知道信号的到达方向，即波达方向，所以波达角估计(DOA)是波束形成的基础。

本文着重分析了用于DOA估计的典型算法--MUSIC(Multiple Signal Classification)算法，然后对不同的条件下MUSIC算法的性能进行了Matlab的仿真和分析。

一、MUSIC算法介绍1.1 MUSIC算法的提出多重信号分类（MUSIC）算法是Schmidt等人在1979年提出的。

这一算法的提出开创了空间谱估计算法研究的新时代，促进了特征结构类算法的兴起和发展，该算法已成为空间谱估计理论体系中的标志性算法。

此算法提出之前的有关算法都是针对阵列接收数据协方差矩阵进行直接处理，而MUSIC算法的基本思想则是对任意阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分解，从而得到与信号分类相对应的信号子空间和与信号分量相正交的噪声子空间，然后利用这两个子空间的正交性构造空间谱函数，通过谱峰搜索，检测信号的DOA。

正是由于MUSIC算法在特定的条件下具有很高的分辨力、估计精度及稳定性，从而吸引了大量的学者对其进行深入的研究和分析。

总的来说，它用于阵列的波达方向估计有以下一些突出的优点：(1)多信号同时测向能力(2)高精度测向(3)对天线波束内的信号的高分辨测向(4)可适用于短数据情况(5)采用高速处理技术后可实现实时处理1.2波达方向估计问题中的阵列信号数学模型为了分析推导的方便，现将波达方向估计问题中的数学模型作理想状态的假设如下：(1)各待测信号源具有相同的极化、且互不相关的。

一般考虑信号源为窄带的，且各信号源具有相同的中心频率0ω。

待测信号源的个数为D 。

(2)天线阵列是由M(M>D)个阵元组成的等间距直线阵，各阵元特性相同，各向同性，阵元间隔为d ，并且阵元间隔不大于最高频率信号半波长。

(3)天线阵列处于各信号源的远场中，即天线阵列接收从各信号源传来的信号为平面波。

(4)各阵元上有互不相关，与各待测信号也不相关，方差为2σ的零均值高斯白噪声)(t n m 。

(5)各接收支路具有完全相同的特性。

图1-1 等距线阵与远场信号设由第k （k=1，2，…D ）个信号源辐射到天线阵列的波前信号为)(t S k ，前面已假设)(t S k 为窄带信号，则)(t S k 可以表示为以下形式：}ex p{)()(t j t s t S k k k ω= （1.1）式中)(t s k 是)(t S k 的复包络，k ω是信号)(t S k 的角频率。

前面已经假设D 个信号具有相同的中心频率，所以有：λπωωck 20== （1.2）式中c 是电磁波波速，λ是公用的信号波长。

设电磁波通过天线阵列尺寸所需的时间为1t ，则根据窄带假设，有如下近似：)()(1t S t t S k k ≈- （1.3）故延迟后的波前信号为：)](exp[)()](exp[)()(~101011t t j t S t t j t t S t t S k k k -≈--=-ωω （1.4）所以，若以第一个阵元为参考点，则t 时刻等间距直线阵中的第m(m=1，2，…M)个阵元对第k 个信号源的感应信号为：]sin 2)1(exp[)(λθπkk k d m j t S a -- （1.5）其中，k a 为第m 个阵元对第k 个信号源的影响，前面以假设各阵元无方向性，所以可取1=k a 。

k θ为第k 个信号源的方位角，c d m k θsin )1(-表示由第m 个阵元与第1个阵元间的波程差所引起的信号相位差。

计及测量噪声和所有信号源来波，第m 个阵元的输出信号为：)(]sin 2)1(ex p[)()(1t n d m j t S t x m D k k k m +--=∑=λθπ （1.6）其中)(t n m 是测量噪声，所有标号为m 表示该量属于第m 个阵元，所有标号 为k 表示该量属于第k 个信号源。

设]sin 2)1(exp[)(λθπθk k m d m j a --= （1.7）为第m 个阵元对第k 个信号源的响应函数。

则第m 个阵元的输出信号为：)()()()(1t n t S a t x m k k m Dk m +=∑=θ （1.8）其中)(t S k 是第k 个信号源在阵元上的信号强度。

运用矩阵的定义，可以得到更为简洁的表达式：X=AS+N （1.9） 式中T Mt x t x t x X )](),...(),([21= （1.10） T D t S t S t S S )](),...(),([21= （1.11）T Da a a A )](),...(),([21θθθ= =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------D D M j j M j j M j j e e e e e e ϕϕϕϕϕϕ)1()1()1(...1...............1...12211 （1.12） k k dθλπϕsin 2= （1.13）T Mt n t n t n N )](),...,(),([21= （1.14） 对)(t x m 进行N 点采样，要处理的问题就变成了通过输出信号)(t x m 的采样},...,2,1),({M i i x m =估计出信号源的波达方向角D θθθ...,,,21。

由此，可以很自然的将阵列信号看作是噪声干扰的若干空间谐波的叠加，从而将波达方向估计问题与谱估计联系起来。

1.3阵列协方差矩阵的特征分解对阵列输出x 作相关处理，得到其协方差矩阵x R ：][H x XX E R = （1.15）其中，H 表示矩阵共轭转置。

前面已假设信号与噪声互不相关、且噪声为零均值白噪声，因此将式(1.9)代入式(1.15)，可以得到：]))([(H x N AS N AS E R ++==][][H H H NN E A SS AE +=N H s R A AR + （1.16） 式中][H s SS E R = （1.17）称为信号的相关矩阵。

I R N 2σ= （1.18）是噪声的相关矩阵，2σ是噪声功率，I 是M*M 阶的单位矩阵。

实际应用中，通常无法直接得到x R ，能使用的只有样本的协方差矩阵x R )：∑==N i H x i Xi X N R 1)()(1) （1.19）x R )是x R 的最大似然估计，当采样数∞→N 时，它们是一致的，但实际情况中将由于样本数有限而造成误差。

根据矩阵特征分解的理论，可以对阵列协方差矩阵进行特征分解。

首先考虑理想情况，即无噪声的情况：H s x A AR R = （1.20）对于均匀线阵，矩阵A 是由式(1.12)所定义的范德蒙德矩阵，只要满足：j i θθ≠ j i ≠ （1.21）则，它的各列相互独立，这样，若s R 为非奇异矩阵（D R Rank s =)(，各信号源两两不相干），且M>D ，则有：D A AR rank H s =)( （1.22）由于][H x XX E R =，所以有：x Hx R R = （1.23）即x R 是Hermite 矩阵，它的特征值都是实数。

又由于s R 是正定的，因此矩阵H s A AR 是半正定的，它有D 个正特征值和M-D 个零特征值。

再考虑有噪声存在的情况I A AR R H s x 2σ+= （1.24）由于2σ>0，x R 为满秩阵，所以x R 有M 个正实特征值M λλλ,...,,21，分别对应于M 个特征向量M v v v ,...,21。

又由于x R 是Hermite 矩阵，所以各特征向量是相互正交的，即：0=j H i v v j i ≠ （1.25）与信号有关的特征值只有D 个，分别等于矩阵H s A AR 的各特征值与2σ之和，其余的M-D 个特征值为2σ，也就是说，2σ是R 的最小特征值，它是M-D 维的。

对应的特征向量i v ，i=1,2，…，M 中，也有D 个是与信号有关的，另外M-D 个是与噪声有关的，在下一节里，将利用以上这些特征分解的性质求出信号源的波达方向k θ。

1.4 MUSIC 算法的原理及实现通过对阵列协方差矩阵的特征分解，可以得到如下结论：将矩阵x R 的特征值进行从小到大的排序，即0...21>≥≥≥M λλλ （1.26）其中D 个较大的特征值对应于信号，M-D 个较小的特征值对应于噪声。