第二章波动方程资料

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第二章-直线上的波动方程

第二章直线上的波动方程本章采用特征线和Green 公式两种方法讨论一维波动方程的解法。

讨论了下列方程的解。

1）齐次波动方程20,,0(,0)(),(,0)()tt xx t u c u x t u x x u x x ϕψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩；2）非齐次波动方程22222(,)(,)(,),,0(,0)(),(,0)()t u x t u x t c f x t x t t x u x x u x x ϕψ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩3）边值问题20,0,(,0)(),(,0)(),0(0,)(),(,)(),tt xx t u c u x l t u x x u x x x u t f t u l t g t t ϕψ⎧-=<<-∞<<∞⎪==<<∞⎨⎪==-∞<<∞⎩。

§2.1 直线上的波动方程讨论无限长弦振动满足的齐次波动方程22222(,)(,)0,,0(,0)(),(,0)()t u x t u x t c x t tx u x x u x x ϕψ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩（1）定理方程（1）的解为()()1(,)()22x atx atx at x at u x t s ds a ϕϕψ+--++=+⎰ （2）解首先不考虑初始条件的所有可能解。

此时，()()0c c u t x t x∂∂∂∂-+=∂∂∂∂。

问题分解为分别求解方程()0c v t x∂∂-=∂∂ （3）和()c u v t x∂∂+=∂∂。

（4）利用特征线方法，方程（3）的解：dxc t=-∂，(,)(,0)v x t v x ct =+。

方程（4）的解：dxc t=∂，因此沿00()x x c t t =+-， 0000((),)((2),0)du x c t t t v x c t t dt+-=+-，即000000000001(,)(,0)((2),0)(,0)2t x ctx ct u x t u x ct v x c t t dt v t dt c +---=+-=⎰⎰。

波函数和波动方程

满足的波动方程
量子力学与原子核物理
第二章波函数和波动方程
边界条件和归一化条件
边界条件－波函数 (r)及其导数 (r) / x
在边界处保持连续。归一化条件－粒子在整个空间出现的几率为1
全空间 (r,t) 2d 3r 1
量子力学与原子核物理
第二章波函数和波动方程
几率流密度 (1)
S方程： ( 2 2 V ) (r,t) i (r,t)
2m
t
*(r,t) 为 (r,t)的复数共轭, 它满足
( 2 2 V ) *(r,t) i *(r,t)
2m
t
其中
V
*
(r )

V
(r )
量子力学与原子核物理
第二章波函数和波动方程
光子的偏振态的叠加 (1)
设有一束线性偏振光，射向一个理想的电气石晶片
情况(a) 当光的偏振方向与晶轴平行时，光束将全部通过。
情况(b) 当光的偏振方向与晶轴垂直时，光束将被完全吸收。
情况(c) 当光的偏振方向与晶轴成角，光束部
分通过:
I I0 cos2
sin 0.776n
n 1
50.90
与实验结果吻合
量子力学与原子核物理
微观粒子的状态
第二章波函数和波动方程
经典力学的决定性观念－经典力学中，对于一个受到已知力的粒子(或系统)，只要给定初始
条后任件意，时即刻t=0粒时子的(确或切系位统置)的与位动置量r，t 与那动么量在p以t
薛定谔方程的引入 (1)
描述一维自由粒子的波函数
(x,t)
1
i ( pxEt)

第二章波动方程

第二章波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。

对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。

1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。

（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。

对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。

（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。

(完整版)波动方程

y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
t 1.0s y (1.0m) cos[ π (π m1)x]
波形方程
2
(1.0m) sin(π m1)x
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
第二节波动方程
用数学表达式表示波动----波函数波函数—任意时刻任意位置处的质点的振动位移。
y y(x,t)
各质点相对于平衡位置的位移
波线上各质点平衡位置
一、平面余弦行波的波函数
1、从无穷远处来到无穷远处去
已知原点的振动
（1）前进波（波沿X轴正方向传播）已知：一列平面简谐波从无穷远处来到无穷远处去，沿X
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解写出波动方程的标准式
O
y
A
y Acos[2π ( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0
π
2
t
y (1.0m) cos[2π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
2）求t 1.0s 波形图.
已知波源的振动 y(0,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程: y(x,t)
x 0处前进波 x 0处后退波
y( x, t ) y( x, t )
A cos[ (t A cos[ (t
x) ux ) u
0 ] 0 ]
4、已知真实波源的振动，波源不在原点

《大学物理》第二章--波动方程

S
u
a o
● ●
b
●
u
d
S
x

●
x
x dx
选棒长的方向为 x 轴，在棒上距 o 点 x 处附近
取一体积元 ab ，这一体积元的长度为 dx，体积 dV Sdx 当有纵波传播时，该体积元发生线变，设 t 时刻体积元正被拉长(先做力分析—应力分析）：左端受到应力为σ，方向向左；右端受到应力为 σ＋dσ ，方向向右；
a o
● ●
b
●
u
d
S
x

●
x
x dx
a
t
时刻
b
u
x
o
●
y
●
y dy
●
y E x
y v t
v dxS Sdx x t
a o
● ●
b
●
u
d
S
x

●
x
x dx
a
t
时刻
b
u
x
o
●
y
2
●
y dy
●
y y E 2 2 x t
式中的Ａ，Ｂ，Ｃ为正值恒量，则
Ａ，波速为Ｃ／ＢＢ，周期为１／Ｂ
Ｃ，波长为 C / 2 Ｄ，圆频率为ＢＤ
例４，一列平面简谐波在媒质中以波速u=5m/s沿x轴正向传播，原点处质元的振动曲线如图所示．（１）求解并画出x=25m处质元的振动曲线．（２）求解并画出t=3s时的波形曲线． Y(cm) 1
S
x

●
x
x dx
a
t
时刻
b

第二章波动方程和薛定谔方程

1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化），J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ

任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ，即： c = 1 ，所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数）。

大学物理波动方程

x
2 10 x 2 8 x -π 2
所以波动方程为：特别注意半波损失
10 根据已知条件,x=0处的振动为:
0
x
y 0 . 01 cos 100 t 0
y0 .01 cos( 100 t ) 0 .01 cos( 100 t 8 x/2 ) 0 .01 cos( 100 t x/2 )
y 0 A cos t 0.1 10 3 cos(2 12.5 10 3 t ) m 0.1 10 3 cos 25 10 3 t m
《大学物理》
(2 ) 波动表式为
y A cos ( t
式中 x 以 m 计， t 以 s 计。
u
波长周期 T
Y

1 .9 1011 N m 2 7 .6 10 3 kg m 3
5 .0 10 3 m/s
u

1

5.0 10 3 m s 1 12.5 10 kg m
3 3
0.40m

8 10 5 s
(1) 原点处质点的振动表式可写成
知原点处质点振动的振幅为 A = 0 .1 m m ，试求： (1 )原点处质点的振动表式， (2 )波动表式， (5 )在原点振动 0 .0 0 2 1 s时的波形。
解棒中的波速
(3 )离原点 1 0 c m处质点的振动表式， (4 )离原点 2 0 c m和 3 0 c m两点处质点振动的相位差，
反射波反射到x处，引起的振动与入射波在x=6处引起的振动的相位差为:

第2章波动方程

引理证毕。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面上的曲线是曲线 u = F ( x ) 向右平移了 at 个单位，所以齐次弦振动方程的形如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。

数理方程第2章波动方程

π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
17
例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
23
• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩

第2章波动

y( x , t ) A cos t
A cos t
“+”表示沿 x 方向传播
2l x
x

2π
2π π
2l

2π π
取+、均可
§2-3 物体的弹性形变
Elastic Deformation of a Body
弹性媒质(无论是固体还是流体)在受力时都会产生形变。在其弹性限度内形变是可恢复的，称这种形变为弹性形变。弹性形变的分类：线变杨氏模量 E 切变切变模量 G 体变体变模量 K
1. 简谐波波速和波长
简谐波——各媒质质元作简谐运动的波。
平面简谐（行）波——波面为平面的简谐波。
振幅不随传播而衰减。A = 常量波速——振动状态的传播速度。相速波速的大小决定于媒质的特性。 §2-4 不是质元振动速度
波长——传播方向上相邻同相点之间的间距。位差2 一个周期时间里某相位传播的距离就是波长示意图因此有
p K (V V ) 其中 K——体变模量
2
1 1 (V p) K V 1 弹性势能： W p K (V V ) 2 (V ) （证明略）
压缩系数
G和K决定于材料的特性。
§2-3 物体的弹性形变
有波动时媒质质元的形变
横波
u

纵波

x

u
返回

x

§2-3 物体的弹性形变
波动曲线 t = t0 0

振动曲线
T x = x0
x
（2） x = x0，y t 给出 x 点的振动函数。 y
0 t
y( x , t ) A cos t 2 π x

大学物理-第二章-薛定谔方程

的概率最大
4
4
n → ∞时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致
2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）：
由： k
2mE n
2
a
22
h2
E
n2
n2
2ma 2
8ma 2
Ek
p2 2m
说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。
能级图为n 4
n3
E4 16E1
E3 9E1
h2 En 8ma 2 n2
➢薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实
i
[
2
2 U(r , t)]
t 2m
i Hˆ t
2) 由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理
（量子力学第一原理）
设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2 3
——都是可能存在的状态
则： C11 C22 C33
势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2( x)
E( x)
2m dx2
2mE k2 2
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： (x) 0
势阱内（0＜x＜a) ：
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
k 2mE 2
其解为： (x) Asin(kx )
d 2 3
E
2m dx2
3
根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得
Aeik1x Aeik1x 1
Bek2x 2
Ceik1x 3
在粒子总能量低于
势垒壁高 (E U ) 0
的情况下
“隧道效应”
粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能更高的势垒的现象，称为隧道效应

大学物理第二章行波波动方程

应表示出所有质元在时刻 t 的位移，
除了取决 t o 外，
还应与质元的位置坐标有关
下面来写出平面简谐波的表达式
假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的均匀无限大媒质中传播。
波传播的速度为 u ，方向如图 u
●
o
x
选择平行波线方向的直线为 x 轴。
u
●
o
x
在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同），
即应变，则有
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“－”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源作机械振动的物体——波源媒质传播机械振动的物体在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的，因此这样的媒质又称弹性媒质。
什么是物质的弹性？
机械振动是如何靠弹性来传播呢？
T
将上式改写

u

表明：波的频率等于单位时间内通过媒质某一点的“完整波”的个数。
4. 波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质，
(1) 固体中的横波
(2) 固体棒中的纵波
u
G

u E

G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中ｕ横波 <ｕ纵波

a
2. 表达式也反映了波是振动状态的传播
y( x x，t t) y( x, t)
x ut
y
o●
u
t
ut
●
●
x
x x x
y Acos( t 2 x )

《波函数与波动方程》课件

玻恩那里取得博士学位， 1924～1926年又和玻尔一起工作。
1932年海森堡获得诺贝尔物理学奖。
举例
1. 设一维粒子具有确定的动量p0，即动量的不确定度Δp＝0. 相应的波函数为平面波
p0 (x) eip0 x/
2
所以 p0 (x) 1 ，即粒子在空间各点的几率都相同(不依赖于x)。即粒子的位置是完全不确定，即 Δx＝∞ 。
P1 1 2
P2 2 2
P12 1 2 2 1 2 2 2 (12* 1*2 )
P1 P2 2 P1P cos
1 2
1,2 称为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子数的多少，将由波函数的模的平方 2 来表征。
空间若有两个波，强度则应由波函数 1 2 的模的平方来描述。
2. 粒子是由波函数 (x,t) 来描述，但波函数并不能告诉你，t0 时刻测量时，粒子在什么位置。粒子位置可能在x1，可能在 x2, ，而在 x1 x1 dx 中发现粒子的几率为 (x1,t0) 2 dx 。
也就是说， (x,t0) 2 在某 x 处越大，则在时刻
测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我
但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答，电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样出现。
几率诠释—几率波
Max Born真正将量子粒子的微粒性和波动性统一起来。
如电子用一波函数 (x)来描述，则
1. 从上面分析可以看到，在 x x dx 范围内，接收到电子多少是与 P(x)dx (x) 2 d的x 大小有关；
们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的
结果）。
我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体系去测量发现粒子可能就处于x1 ，只测得一个值。

数学物理方程第二章(波动)

横向： T cos T 'cos ' 得：
T T '，与x位置无关
纵向： sin T 'sin ' gds f 0 ds ma T 其中： cos 1 cos ' 1
y
M'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x m ds
分析与假设：
1)柔软的细弦：弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。 2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。 3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。
u 1 x
4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即
数学物理方程
第二章波动方程
用微元法及牛顿运动定律推导：
数学物理方程
第二章波动方程
第二章波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件一维波动方程的初值问题半无界弦的自由振动问题高维波动方程的初值问题混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦，在平衡位置附近作微小横振动，求不同时刻弦线的形状。
2 u ( x, t ) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx f 0 dx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x
u ( x,0) af1( x) af 2( x) ( x) t 1 x 积分得： f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0 1 1 x C 1 1 x C f 1 ( x) ( x) ( )d f 2 ( x) ( x) ( )d 2 2a 0 2 2 2a 0 2 1 1 x at C 1 1 x at C u ( x at) 0 ( )d 2 2 ( x at) 2a 0 ( )d 2 2 2a 1 1 x at u ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 一维波动方程的达朗贝尔公式

第二章波动方程

2 3 utt a (uxx u yy u zz ) 2( y t ), ( x, y, z ) R , t 0 3 u ( x, y, z, 0) x y z, ut ( x, y, z, 0) 0, ( x, y, z ) R
解. 由例1，仅需计算推迟势
f ( x, t ) 延拓到 x < 0, 使得
数即可。而由命题1知，只要 ( x), ( x), F ( x, t ) 是 x 的奇
函数。为此，只需要对
( x), ( x), f ( x, t ) 关于
x 作奇延拓。
( x), x 0, ( x) ( x), x 0. ( x), x 0, ( x) ( x), x 0. f ( x, t ), x 0, t 0, F ( x, t ) f ( x, t ), x 0, t 0.
当
1 2a

x at
x at
( )d

0
t
x a ( t )
x a ( t )
f ( s, )dsd .
x at 0, x 0 时，有
1 2 1 2a
u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
1 2a
得到新定解问题的解
U ( x, t ) [( x at ) ( x at )]
1 2
1 2a

x at
x at
( )d

限制在 0
1 2a

t
x a ( t )
0 x a ( t )
F ( s, )dsd ,

第二章波动方程和平面波解

Ssuarmfaecephwaisthe
kR
kI
之间的夹角为未知。在半空间介质反折射情况需要通过边界条件才可确定。
若 kR // kI 例如平面波垂直于有耗介质表面入射时的透射波
kR2 kI2 2 2kR kI
《高等电磁场理论》
kR2
2
2
1
2
1
kI2
2
2
1
材料名称电导率σ /(S/m) 趋肤深度δ /m
银
6.17×107
紫铜
5.8×107
铝
3.72×107
钠
2.1×107
黄铜
1.6×107
锡
0.87×107
石墨
0.01×107
《高等电磁场理论》
0.064 / f 0.066 / f 0.083/ f 0.11/ f 0.13/ f 0.17 / f 1.6 / f
vphase
k
0 0
k 0
vgroup
1 dk
d
dk 0
d 0
若波数k不是频率ω的线性函数，这时 vphase vgroup，且和
频率有关，这一类介质称为色散介质。《高等电磁场理论》
y1
cos
1
t
z c
,
1
51
y2
cos 2
t
z c
,
2
49
《高等电磁场理论》
18
E
2
E0
cos
为电子浓度为电子电量为电子质量
《高等电磁场理论》
5000 1000
白天夜间
F2
电离层电子密度的典型高度分布
F1
100

第二章三类典型的偏微分方程

Q x1k TkT (x x1,t)
单位时间内通过 B 端面的热量为：
Q x2k TkT(xx2,t)
在 dt 时段内通过微元的两端流入的热量
d Q 1 ( Q x 1 Q x 2 ) d t k ( T ( x x 2 ,t) T ( x x 1 ,t) ) d t
x2 2T(x,t)
☆ 均匀杆的纵振动考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直
杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位移)完全相同。试写出杆的振动方程。
在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)。在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力：
通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用通过截面x + dx受到弹性力P(x + dx, t)S的作用 P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正．
(1)要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定弦的运动方程
（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.
（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动。不受外力影响。
研究对象：u ( x , t ) 线上某点在 t 时刻沿垂直方向的位移。
等号两边用中值定理：并令 x 0
T2u (xx 2,t)g2u (tx 2,t)F (x,t) 等号两边除以
2tu2 a2x2u2 gf(x,t)
f (x,t) F(x,t)
为单位质量在 x 点处所受外力。
弦振动方程中只含有两个自变量：x , t 。由于它描写的是
弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：

第二章波动方程资料

第二章-直线上的波动方程

波函数和波动方程

第二章波动方程

(完整版)波动方程

《大学物理》第二章--波动方程

第二章波动方程和薛定谔方程

大学物理波动方程

第2章波动方程

数理方程第2章波动方程

第2章 波动

大学物理-第二章-薛定谔方程

大学物理第二章 行波波动方程

《波函数与波动方程》课件

数学物理方程第二章(波动)

第二章 波 动 方 程

第二章 波动方程和平面波解

第二章 三类典型的偏微分方程

第2章波动

大学物理第二章行波波动方程

第二章波动方程

第二章波动方程和平面波解

第二章三类典型的偏微分方程