与圆有关的轨迹方程

求与圆有关的轨迹方程

［概念与规律］求轨迹方程的基本方法。

（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。

（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x0，y0），

求出用x，y 表示x0，y0 的关系式，将（x0，y0）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。

（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。

（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y 之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。

（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。

［讲解设计］重点和难点

例 1 已知定点A（ 4 ，0 ），点 B 是圆x2+y2=4 上的动点，点P 分AB的比为 2 ： 1 ，求点P 的轨迹方程。

例 2 自 A （4，0）引圆x2+y2=4 的割线ABC，求弦BC 中点P 的轨迹方程。

方法一：（直接法）设P（x，y），连接OP，则OP⊥BC，

当x≠0 时，k OP·k AP＝－1 ，即

即x2＋y2－ 4x＝ 0. ①

当x＝ 0 时，P点坐标（0,0）是方程①的解，

∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0（在已知圆内的部分）．

方法二：（定义法）

由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M（2,0），|PM|＝ |OA|＝2，由圆的定义知，P的轨迹方程是（x－2）2＋y2＝4（在已知圆内的部分）．

例 3 已知直角坐标平面上的点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数（

0），求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

设直线MN 切圆于N，则动点M 组成的集合是：P={M||MN|=√2|MQ|} ∵圆的半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，

设点M 的坐标为（x，y），则√（2 + 2 - 1） = √（ - 2）2 +2 整理得（x-4）2+y2=7．

∴动点M 的轨迹方程是（x-4）2+y2=7．

它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为√7

例 4 如图，已知两条直线l1：2x-3y+2=0，l2：3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l1，l2 都相交，

并且l1与l2被截在圆内的两条线段的长度分别是26 和24，求圆心M 的轨迹方程。

• 设动圆的圆心为 M（x,y）,半径为 r,点 M 到直线 l1,l2的距离分别为 d1和 d2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得，消去 r 得动点M 满足的几何关系为=25,

即 =25.

化简得（x+1）2-y2=65.此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程.

练习与作业

1、已知：点P是圆x2+ y2= 16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当P点在圆上运动时，求线

段PA的中点M的轨迹方程

2、已知点A（-1，0）与点B（1，0），C是圆x2+y2=1上的动点，连接BC并延长到D，使|CD|=|BC|，求AC与OD（O

为坐标原点）的交点P 的轨迹方程。

3、求与y轴相切，且与圆x2+ y2-4x = 0也相切的圆P的圆心的轨迹方程

4、由点P分别向两定圆C1:（x+2）2+y2=1及圆C2:（x-2）2+y2=4所引切线段长度之比为1：2，求点P的轨迹方程

5、已知与C : x + y - 2x - 2y +1= 0相切的直线l交x轴、y轴于A、B 两点，O 为坐标原点，OA = a, OB = b(a 2,b2).

(1)求证: (a - 2)(b- 2) = 2 ;(2)求线段AB 中点P 的轨迹