2016经典考题整理构造函数

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高三构造函数练习题

高三构造函数练习题在高三的数学学习中，构造函数是一个重要的概念。

它不仅能够帮助我们解决问题，还能够提高我们解题的效率。

下面，将会给出一些高三构造函数的练习题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

1. 请找出以下函数的构造函数：a) f(x) = x^2 + 3x + 2b) g(x) = sqrt(x) + 1c) h(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 12. 如果已知 f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1，那么请写出 f(x + 1) 的构造函数。

3. 如果已知 f(x) = 2x^2 - 3，那么请写出 f(3x) 的构造函数。

4. 如果已知 f(x) = 4 - x^2，那么请写出 f(a + x) 的构造函数。

5. 如果已知 f(x) = 3x - 2，那么请写出 f(kx) 的构造函数。

解答：1. a) 构造函数为 f(x) = x^2b) 构造函数为 g(x) = sqrt(x)c) 构造函数为 h(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x2. 将 x + 1 代入 f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1，得到 f(x + 1) = (x + 1)^3 + 2(x + 1)^2 + (x + 1) + 1展开并化简得到 f(x + 1) = x^3 + 4x^2 + 6x + 43. 将 3x 代入 f(x) = 2x^2 - 3，得到 f(3x) = 2(3x)^2 - 3进一步化简得到 f(3x) = 18x^2 - 34. 将 a + x 代入 f(x) = 4 - x^2，得到 f(a + x) = 4 - (a + x)^2展开并化简得到 f(a + x) = -x^2 - 2ax - a^2 + 45. 将 kx 代入 f(x) = 3x - 2，得到 f(kx) = 3(kx) - 2进一步化简得到 f(kx) = 3kx - 2通过以上练习题，我们可以看到构造函数的作用。

构造函数(含答案)

构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=⇒<>'+'或；（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =⇒<>''或；（3）kx x f x F k x f -=⇒<>')()()(k )(或； 2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =⇒<>'+'或；（2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(≠=⇒<>''x g x x f x F x g x f x x f 或；（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =⇒<>+'或；（4）)0(x)()()0(0)(-)(x ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或；（5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n=⇒<>+'或; (6))0(x)()()0(0)(n -)(x n ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x=⇒<>+'或; (8))0(e )()()0(0)(-)(x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx=⇒<>+'或; (10))0(e)()()0(0)(k -)(k x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =⇒<>'+或;(12))0(sin sinx )()()0(0tan )(-)(≠=⇒<>'x x f x F x x f x f 或; (13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(≠=⇒<>+'x xx f x F x f x f 或; (14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =⇒<>'或;(15)()+lna ()0(0)()()xf x f x F x a f x '><⇒=或;(16)()()lna ()0(0)()x f x f x f x F x a '-><⇒=或;考点一。

导数构造函数十三种题型归纳

导数构造函数十三种题型归纳目录【题型一】利用x nf （x ）构造型【题型二】利用f （x ）/x n构造型【题型三】利用e nx f （x ）构造型【题型四】利用f （x ）/e nx 构造型【题型五】利用sinx 与f （x ）构造型【题型六】利用cosx 与f （x ）构造型【题型七】复杂型：e n与af （x ）+bg(x)等构造型【题型八】复杂型：（kx+b ）与f （x ）型【题型九】复杂型：与ln （kx+b ）结合型【题型十】复杂型：基础型添加因式型【题型十一】复杂型：二次构造【题型十二】综合构造【题型十三】技巧计算型构造【题型一】利用x nf （x ）构造型【典例精讲】函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且满足'()2()0+>xf x f x ，则不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+的解集为A ．{}2011x x -B ．{}|2011x x <-C ．{}|20110x x -<<D ．{}|20162011x x -<<-【答案】D 【解析】设2()()g x x f x =，则2'()2()'()['()2()]g x xf x x f x x xf x f x =+=+，由已知当0x >时，'()0g x >，()g x 是增函数，不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+等价于22(2016)(2016)5(5)x f x f ++<，所以020165x <+<，解得20162011x -<<-．本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：()()g x xf x =，()()f x g x x =，()()x g x e f x =，()()x f x g x e=，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式．【总结提升】基本规律1.x ()+()0 0g x =x f x f x f x '><对于（），构造（）（），2.k x ()k ()0 0g x =x f x f x f x '+><对于（），构造（）（）【变式练习】1.已知定义域为的奇函数的导函数为()f x '，当时，()()0f x f x x'+>，若，则的大小关系正确的是 A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】构造函数()()g x xf x =，利用已知条件确定'()g x 的正负，从而得其单调性．设()()g x xf x =，则'()()'()g x f x xf x =+， ∵()'()0f x f x x +>，即'()()'()0xf x f x g x x x+=>， ∵当0x <时，)'(0g x <，当0x >时，'()0g x >，()g x 递增．又()f x 是奇函数，∵()()g x xf x =是偶函数，∵(2)(2)g g -=，1(ln )(ln 2)(ln 2)2g g g =-=，∵10ln 222<<<，∵1()(ln 2)(2)2g g g <<，即a c b <<．故选C ．2.已知()f x 的定义域为0,，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,【答案】B 【分析】根据题意，构造函数()y xf x =，结合函数的单调性解不等式，即可求解. 【解析】根据题意，构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x ''=+<，所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减.又因为()()()2111f x x f x +>--，所以()()22(1)(1)11x f x x f x ++>--，所以2011x x <+<-，解得2x >或1x <-（舍）.所以不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是()2,+∞.故选：B.3.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且2()()0f x xf x '+>．则下列不等式在R 上恒成立的是（） A ．()0f x ≥ B ．()0f x ≤C ．(x)x f ≥D ．()f x x ≤【答案】A【分析】根据给定不等式构造函数2()()g x x f x =，利用导数探讨()g x 的性质即可判断作答. 【解析】依题意，令函数2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+，因2()()0f x xf x '+>，于是得0x <时()0g x '<，0x >时()0g x '>，从而有()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因此得：2,()()(0)0x R x f x g x g ∀∈=≥=，而(0)0f >，即f (x )不恒为0，所以()0f x ≥恒成立.故选：A【题型二】利用f （x ）/x n构造型【典例精讲】函数()f x 在定义域0,内恒满足：∵()0f x >，∵()()()23f x xf x f x '<<，其中fx 为()f x 的导函数，则A ．()()111422f f <，0g x，∵函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∵()()12g g <，即()()412f f <，()()1124f f <，令()()3f x h x x =，()0,x ∈+∞，()()()43xf x f x h x x '-'=，∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，()0h x '<，∵函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∵()()12h h >，即()()218f f >，()()1182f f <，故选D.【总结提升】基本规律1.f x x ()-()0 0g x =xf x f x '><（）对于（），构造（）， 2.k f x x ()-k ()0 0g x =xf x f x '><（）对于（），构造（）【变式练习】1.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =，利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【解析】构造函数2()()f x g x x =,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，又()f x 为偶函数，21y x= 为偶函数，所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减.(3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）;()19f x x x <，当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ；当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃.故选：A2.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】C 【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集. 【解析】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型三】利用e nx f （x ）构造型【典例精讲】已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：当1x ≠时，()()()1x f x f x ⎡⎤-+⎣'⎦>0，()()222xf x e f x -=-，则下列判断一定正确的是 A ．()()10f f D ．()()330e f f >【答案】D【分析】构造函数()()xg x f x e =,结合导函数,判定()g x 的单调性,()()g 2x g x 由，-=得()g x 的对称轴,对选项判断即可.【解析】构造函数()()x g x f x e =,计算导函数得到()'g x =()()x e f x f x +'⎡⎤⎣⎦，由()1x -()()f x f x +'⎡⎤⎣⎦>0,得当x 1>,()()f x f x '+>0,当x 1<时,()()f x f x '+<0.所以()g x 在()1,∞+单调递增,在(),1∞-单调递减,而()()()()()2x 2x x 22xf xg 2x f 2x e e f x e g x e----=-=⋅==,所以()g x 关于x 1=对称,故()()()()()3g 3e f 3g 1g 00f ==->=,得到()()3e f 3f 0>,故选:D.【总结提升】基本规律1.x ()+()0 0g x =e f x f x f x '><对于（），构造（）（），2.kx ()+k ()0 0g x =e f x f x f x '><对于（），构造（）（）【变式练习】1.已知()f x 是R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为()f x '，且当0x >时，满足()()20'+>f x xf x ，则不等式()()121xe f x f x -->-的解集为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,∞+【答案】B【分析】构造函数2()()x g x e f x =，根据()()20'+>f x xf x ，结合题意可知函数()g x 是偶函数，且在()0,∞+上是增函数，由此根据结论，构造出x 的不等式即可．【解析】由题意：不等式()()121xef x f x -->-可化为：21(1)()x f x f x e -->，两边同乘以2(1)x e -得：22(1)(1)()x x e f x e f x -->，令2()()x h x e f x =，易知该函数为偶函数，因为[]2()()2()x h x e f x xf x ''=+， ()()20'+>f x xf x ，所以()0,(0)h x x '>>所以()h x 在()0,∞+上是单调增函数，又因为()h x 为偶函数，故22(1)x x ->，解得：12x <．故选：B ．2.设函数()f x 的定义域为R ，()'f x 是其导函数，若()()e ()x f x f x f x '-'+>-，()01f =，则不等式()f x >21x e +的解集是（） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)【答案】A【分析】构造函数()()1()xg x e f x =+，通过求导判断函数()g x 的单调性,利用函数()g x 的单调性解不等式即可.【解析】令()()1()x g x e f x =+，则()()()1()x x g x e f x e f x ''=++，因为()()e ()x f x f x f x '-'+>-，所以()()1e ()0x f x f x -'++>，化简可得()e ()e 1()0x x f x f x '++>，即()0g x '>，所以函数()g x 在R 上单调递增，因为()f x >21xe +，化简得()1()2xe f x +>，因为()()0202g f ==，()()1()xg x e f x =+，所以()(0)g x g >，解得0x >，所以不等式2()1xf x e >+的解集是(0,)+∞.故选：A 3.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】C【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集. 【解析】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型四】用f （x ）/e nx 构造型【典例精讲】已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且对于x R ∀∈，均有()()'f x f x >，则有A ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f -B ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f -<<C ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f ->>D ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f ->< 【答案】D【分析】通过构造函数()()x f x g x e =，研究()()xf xg x e =函数的单调性进而判断出大小关系．【解析】因为()()'f x f x >。

高考压轴题解题方法归纳总结之构造函数

高考压轴题解题方法归纳总结之构造函数一、构造差函数h (x )＝f (x )－g (x )证明不等式f (x )>g (x ) 二、参变分离后构造函数例1．(2016·沈阳一模)已知函数f (x )＝a ln x (a >0)，e 为自然对数的底数． (1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值；(2)当x >0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (3)若在区间(1，e)上存在x 使得01<-x e e aax 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a2＝2，a ＝4.(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1x ，g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2. 令g ′(x )>0，即a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2>0，解得x >1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . (3)由题意可知01<-x e e aax ，化简得x －1a <ln x ，又x ∈(1，e)，∴a >x －1ln x .令h (x )＝x －1ln x ，则h ′(x )＝ln x －(x －1)·1x (ln x )2＝ln x －1＋1x (ln x )2，由(2)知，当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1x>0，∴h ′(x )>0，即h (x )在(1，e)上单调递增，由洛毕达法则，可知111lim ln 1lim11==-→→xx x x x ，∴a >1.变式训练1当0≥x 时，若不等式1+≥ax e x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________. 略解：1≤a 。

三、利用目标不等式构造函数例2．(2018·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )＞1，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )＞32－2sin 2x 2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 B.⎝⎛⎭⎫－π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫0，π3 D.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12＞0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )＞32－2sin 2x2，即g (2cos x )＞0，∴2cos x ＞1.又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3. 变式训练2函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2＞0，∴m (x )在R 上是增函数． ∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )＞0的解集为{}x |x ＞－1，即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)． [答案] B四、利用导函数构造原函数例3．（1）(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，x f ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)[解析] 设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A. [答案] A（2）已知函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，若f (0)＝1，则函数)()('x f x f 的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－2，0]C ．[0，1]D ．[0，2]解析：选B 由f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，得e x f ′(x )＋e x f (x )＝2x ，∴[e x f (x )]′＝2x ，设e x f (x )＝x 2＋c ，由于f (0)＝1，因而c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1e x ，f ′(x )＝2x e x －（x 2＋1）e x e 2x ＝－（x －1）2e x，∴f ′（x ）f （x ）＝－（x －1）2x 2＋1＝－1＋2x x 2＋1，当x ＝0时，f ′（x ）f （x ）＝－1，当x ≠0时，2x x 2＋1＝2x ＋1x∈[－1，1]，当x ＝－1时取得最小值，当x ＝1时取得最大值，从而f ′（x ）f （x ）的取值范围为[－2，0]，故选B.（3）(2016·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，x f ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．答案：D变式训练3（1）已知函数f (x )，g (x )在区间[a ，b ]上均有f ′(x )<g ′(x )，则下列关系式中正确的是( )A ．f (x )＋f (b )≥g (x )＋g (b )B ．f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )C ．f (x )≥g (x )D ．f (a )－f (b )≥g (b )－g (a ) 答案：B（2）已知函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，y ＝f ′(x )是y ＝f (x )的导数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立．已知a ＝f (log 32)log 32，b ＝f (log 52)log 52，c ＝2f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 解析：选B 由函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，可知y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数．令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，由题意知g (x )在(－∞，0)上单调递减．又y ＝f (x )为偶函数，则g (x )为奇函数，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又0＜log 52＜log 32＜1＜2，所以g (log 52)＞g (log 32)＞g (2)，即b ＞a ＞c .（3）若的导数为,且满足则与的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．不能确定答案：C ．（4）定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0，∴y ＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12，即f (2)f (1)>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0，∴y ＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8.综上，4<f (2)f (1)<8.五、构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数；例4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若x 2f ’(x )＋xf (x )＝sin x (x ∈(0，6))，f (π)＝1，则下列结论正确的是( )A ．)1(31)3(f f x xx f πD ．以上结论都不对解析：选D 因为x 2f ′(x )＋xf (x )＝sin x ，x ∈(0，6)，所以xf ′(x )＋f (x )＝sin xx，设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，6)，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝sin xx，由g ′(x )>0得0<x <π，g ′(x )<0得π<x <6，所以当x ＝π时，函数g (x )＝xf (x )有最大值g (π)＝πf (π)＝π.变式训练4 f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )<0，对任意正数a ，b ，若a ++=b x bx f x F ．对任意2121],2,0(,x x x x ≠∈，都有1)()(2121-<--x x x F x F ，求实数b 的取值范围.()f x ()f x '()(),f x f x '<(3)f 3(0)e f 3(3)(0)f e f >3(3)(0)f e f =3(3)(0)f e f <解：当1=a 时，x x x g ln 21)(--=，定义域为），（∞+0，xx x x g 221)(-=-=' 当)2,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减，当)2(∞+∈，x 时，0)(>'x g ,)(x g 单调递增，综上，)(x g 的单调递增区间为)2(∞+，，单调递减区间为)2,0(，所以2ln 21)2(-==g y 极小值（2）由题意得01)()(2121<+--x x x F x F ，即112212()[()]0F x x F x x x x +-+<-，若设x x F x G +=)((），则）x G (在]2,0(上单调递减， ①当]2,1[∈x 时，x x bx x G +++=1ln (），011-1(2≤++='）（）x b x x G ， 313)1()1(222+++=+++≥xx x x x x b 在]2,1[上恒成立，设313)(21+++=x x x x G ，则211-32)(xx x G +='，当]2,1[∈x 时，0)(1>'x G ， )(1x G 在]2,1[上单调递增，2272)(11=≤）（G x G ，∴227≥b②当]1,0（∈x 时，x x bx x G +++-=1ln (），011-1(2≤++-='）（）x b x x G ， 11)1()1(222--+=+++-≥xx x x x x b 在]1,0(上恒成立，设1-1-)(22x x x x G +=，则0112)(22>++='xx x G ，即)(2x G 在]1,0(上单调递增，01)(22=≤）（G x G ，∴0≥b . 综上，由①②可得227≥b变式训练5 (2017·洛阳模拟)已知函数f (x )＝e x ＋m ln x (m ∈R ，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] 依题意得，对于任意的正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2，因此函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x ＞0时，g ′(x )＝f ′(x )－1＝e x ＋mx－1≥0，即x (e x －1)≥－m 恒成立．设h (x )＝x (e x－1)，x ＞0，则有h ′(x )＝(x ＋1)e x －1＞(0＋1)e 0－1＝0(x ＞0)，故h (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，h (x )的值域是(0，＋∞)，因此－m ≤0，m ≥0. 故所求实数m 的取值范围是[0，＋∞)． [答案] [0，＋∞)六、利用点的轨迹构造函数例6．设2222)4(ln )(4),(a a m a m m a f +-+-=，当正数m ，实数a 变化时，),(m a f 的最小值为____________．解析：设点)ln ,(m m P ，)4,(2a a Q ，则点P 在函数x y ln =的图象上，点Q 在函数42x y =的图象上。

专题01 函数与导数之构造函数(解析版)

专题01 构造函数一、考情分析函数与导数是高考必考的知识点，考试形式有选择题也有填空题，并且都以压轴题为主。

题目难度都偏大，对学生的思维能力考查都要求比较高。

构造函数，是我们高中数学处理和研究函数与导数的一种有效方法，通过分离变量和参数，构造新的函数去研究其新函数的单调性，极值点，从而使问题得到解决。

二、经验分享（常见函数构造类型）（1）.常见函数的变形1. 对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()b kx x f x g +-=.2. 对于不等式()()0'>+x f x xf ，构造函数()()x xf x g =3. 对于不等式()()0'>-x f x xf ，构造函数()()xx f x g =()0≠x 4. 对于不等式()()0'>+x nf x xf ，构造函数())(x f x x g n=5. 对于不等式()()0'>-x nf x xf ，构造函数()n x x f x g )(=6. 对于不等式()()0'>-x f x f ，构造函数()x e)(x f x g =7. 对于不等式()()0'>+x f x f ，构造函数())(x f e x g x=8. 对于不等式()()0'>+x kf x f ，构造函数())(x f e x g kx = （2）.双变量函数的变形1.形如()b a f f ab ⎛⎫⎪⎝⎭或的函数，构造函数，令b a t t a b ==或者，求(t)f ； 2.对于(x)f ,形如1212(x )(x )f f x x --的函数，要结合图像构造函数的切线方程，求斜率；3.形如(x)g(x)f >或(x)g(x)f <的函数不等式，（1）.可以构造函数)(-)(x g x f x F =）（，然后求）（x F 的最大值和最小值；（2）.如果(x)0g >，我们也可以构造函数()(x)(x)f G xg =，求()G x 的最值 .三、题型分析(一) 与圆锥曲线（双参数）有关的构造函数例1.【四川省成都市2019届高三第一次诊断性考试，理科，12】设椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ，则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（） A.51 B.22 C.54D.23【答案】D【解析】设()()(),,,0,,0,00y x P a B a A -，点P 在双曲线上，得()01220220>>=+b a bya x C ：，220222)(a x a b y -=，所以a x y m +=00，a x y m -=00，化简,22a b mn -= 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=b a b a b a b a a b a b a b b a ln 63232ln 62323232222 所以设1>=b a t ，构造函数t t t t t f ln 63232)(23++-=，求导可以得到： 2t = 时，函数取得最小值=)2(f ，2=ba，23=e 。

构造函数和析构函数习题

构造函数和析构函数习题一、选择题1、以下有关构造函数的叙述不正确的是( )。

A、构造函数名必须和类名一致B、构造函数在定义对象时自动执行C、构造函数无任何函数类型D、在一个类构造函数有且仅有一个2、以下有关析构函数的叙述不正确的是( )。

A、一个类只能定义一个析构函数B、析构函数和构造函数一样可以有形参C、析构函数不允许有返回值D、析构函数名前必须冠有符号“~”3、系统提供的默认拷贝构造函数中形参表和函数体分别为( )。

A、形参表为空，函数体为空B、形参表为空，函数体不为空C、形参表不为空，函数体为空D、形参表不为空，函数体不为空4、设A为test类的对象且赋有初值，则语句test B=A; 表示( )。

A、语法错B、为对象A定义一个别名C、调用复制构造函数，将对象A复制给对象BD、仅说明B和A属于同一类5、若有如下类定义，则下列叙述正确的是( )。

class Time{ int H,M,S;public:void Time(int h,int m,int s) { }; //A} //BA、A行有错误B、B行有错误C、A和B行都有错误D、A和B行都没有错误6、若有如下类定义，则下列叙述正确的是( )。

class S{ int x;public:S ( ) {x=0;}S (int a) {x=++a;}void show( ) {cout<<”x=”<<x<<endl; } };int main(){ S s1=100;s1.show();return 0;}A、有语法错B、100C、101D、07、若有如下类定义，x的值是( )。

class S{ int x;S (int a=0) {x=++a;}~S ( ) { };};int main( ){ S a (10);return 0;}A、0B、10C、11D、有语法错，得不到值8、假定AB为一个类，则执行“AB a(4),b[3],*p[2];”语句时，自动调用该类构造函数的次数为( )。

微专题：运用导数运算法则构造函数(解析版)

微专题：运用导数运算法则构造函数一、知识梳理导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；特别的 [cf (x )]′＝cf ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．常见函数的变形1、对)()(x g x f '>'，构造)()()(x g x f x h -=；对()k x f >'()0≠k ，构造()()b kx x f x g +-=.2、对于形如'fxkf x ，构造函数())(x f e x g kx =；特别的，对'f xf x ，构造())(x f e x g x =3、对形如'fxf x ，构造函数()xe )(x f x g =4、对形如'xf xnf x ，构造函数())(x f x x g n =，特别的'xf xf x ，构造()()x xf x g =5、对形如'xfxnf x ，构造函数()nxx f x g )(=；特别的'xf x f x ，构造()()xx f x g =()0≠x 6、对形如()()ln f x f x x x'+，构造()()ln h x f x x =. 7、对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '-><，构造()()cos h x f x x =．对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=．二、常见题型剖析题型一、根据导数运算公式构造函数【例1】设(),()f x g x 是R 上的可导函数，(),()f x g x 分别是(),()f x g x 的导函数，且满足()()()()0f x g x f x g x ，则当a x b <<时，有（）.()()()()A f a g b f b g a > .()()()()B f a g a f a g b > .()()()()C f a g a f b g b > .()()()()D f a g a f b g a >【答案】【解析】因为''()()()g ()0f x g x f x x +<不等式左边的原函数为()()f x g x ，令()()()h x f x g x =，可知'()0h x <，则函数()h x 是单调递减函数，因此当a x b <<，有()()h a h b >即C【变式1】设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时()()()()0f x g x f x g x ，且(3)0f ，则不等式()()0f x g x 的解集是（）A ．()()303－，，＋ B ．()()3003－，，C ．()()33－，－，＋ D ．())303(－，－，【答案】D【解析】构造函数()()()f x h xg x ，易知()h x 为奇函数且(3)0h ．2()()()()()()f xg x f x g xh x g x ．故当0x时，()0h x ，()h x 单调递增．所以()h x 在(−∞，0)上为增函数，且ℎ(−3)＝0，当R ∈(−∞，−3)时，()0h x ，此时()()0f x g x ，因为函数()h x 为奇函数，当R ∈(0，3)时，()0h x ，此时()()0f x g x ，综上，不等式()()0f x g x 的解集是())303(－，－，(－∞，－3)∪(0，3)．故选：D题型二、根据()()f x g x ''±构造函数()()f x g x c ±+【例2】函数的定义域为，对任意则的解集为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】令，则，因为对任意所以对任意恒成立；因此，函数在上单调递增；()f x R (1)7,f =,x R ∈()3,f x '>()34f x x >+(1,1)-(1,+)∞(,1)-∞-(,+)-∞∞()()3g x f x x =-()()3g x f x ''=-,x R ∈()3,f x '>()()30g x f x ''=->x R ∈()()3g x f x x =-R又所以，因此不等式可化为，所以.故选B【变式2】已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()12f x '<，则不等式()122x f x <+的解集为（） A ．()1,+∞ B ．(),1-∞ C ．()1,1- D ．()(),11,-∞+∞【答案】A【解析】因为()122x f x <+可化为()1022x f x --<，令()()122x g x f x =--，则()()12g x f x ''=-，因为()12f x '<，所以()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()11f =，所以()()1111022=--=g f ，所以()()1g x g <，所以1x >，即不等式()122x f x <+的解集为()1,+∞．故选：A ．题型三、根据()()xf x nf x '+(或()()xf x nf x '-)构造函数【例3】已知定义在(0,)上的函数f (x )满足22()()0xf x x f x ，3(2)4f ，则关于x 的不等式23()f x x的解集为（） A ．(0,4) B ．(2,) C ．(4,) D ．(0,2)【答案】D 【详解】令2()()h x x f x ，则2()2()()0h x xf x x f x ，所以ℎ(x )在(0,)单调递减，不等式23()f x x以转化为()(2)h x h ，所以02x故选：D.【变式3】定义域为R 的奇函数()f x ,当(),0x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<恒成立,若()()33,1a f b f ==,()22c f =--,则（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>(1)7,f =(1)(1)34g f =-=()34f x x >+()(1)g x g >1x >【答案】D【解析】构造函数()()g x xf x =,因为()f x 是奇函数,所以()()g x xf x =为偶函数当(),0x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<恒成立,即()'0g x <,所以()()g x xf x =在(),0x ∈-∞时为单调递减函数 ()()g x xf x =在()0,x ∈+∞时为单调递增函数根据偶函数的对称性可知()()33,1a f b f ==,()22c f =--所以a c b >>,所以选D题型四、根据()()f x nf x '+(或()()f x nf x '-)构造函数【例4】已知奇函数f (x )的定义域为R ，当0x 时，02()()f x f x ，且(2)0f 则不等式()0f x 的解集为___________．【答案】()()202－，，＋【解析】构造函数2()()=xg x e f x ，则当0x时，2()()())0=(2x g x e f x f x 所以当0x时()g x 单调递增．因为(2)0f ，所以4(2)(2)0g e f ，所以当x ＞2时()0g x ，从而()0f x ．当0＜x ＜2时，()0g x ，从而()0f x ．又奇函数f (x )的图像关于原点中心对称，所以()0f x 的解集为()()202－，，＋故答案为：()()202－，，＋．【变式4】已知定义在R 上的函数()f x 满足2()()0f x f x '-<,且(ln 2)2f =,则(ln )20f x x >的解集是（）A ．(0,2)B ．2)C ．(0,)eD ．)e【答案】A【解析】令ln ,x t t R =∈,构造函数'22''222()(2)()()22()()(2()())242t t tt tf t e e f x f tg t g t f t f t e e --=⇒==-, 由已知可知：'2()()0f t f t -<,所以'()0()g t g t <⇒是R 上的减函数, 当ln 2t <时,ln 21ln 222(ln 2)2()(ln 2)122()f g t g ee >===,22()()1()22t t f t g t f t e e=>⇒>,所以当ln ln 2x <时,ln 2(ln )22(ln )20x f x ex f x x >=⇒>成立,也就是当02x <<时,ln 2(ln )22(ln )20x f x ex f x x >=⇒->成立,故本题选A.题型五、根据()()tan f x f x x '+(或()()tan f x f x x '-)构造函数【例5】已知定义在(0,)2π上的函数f(x),f’(x)是它的导函数,且对任意的(0,)2x π∈,都有()'()tan f x f x x <恒成立,则（）A 3()2()43ππ>B 2()()64f ππ>C 3()()63f ππ>D ．(1)2()sin16f f π>【答案】D【解析】由题得()cos '()sin f x x f x x <,即()cos '()sin 0f x x f x x -<,令()()sin f x g x x=(0,)2x π∈,导函数2'()sin ()cos '()0sin f x x f x xg x x-=>,因此g(x)在定义域上为增函数.则有()()(1)()643g g g g πππ<<<,代入函数得(1)2()2()()64sin133f f f πππ<<<,由该不等式可得(1)2()sin16f f π>,故选D.【变式5】已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π24a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【解析】设()()sin f x g x x=，()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x ---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数，并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减， 4244sin 4f a g ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c >>.故选：D题型六、根据()()ln f x x xf x '±构造函数【例6】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为( ) A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(),1-∞ D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】 D【解析】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0g x >得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞.故选：D【变式6】设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '-++<，则（）A ．()()2130f f >>B ．()()2130f f <<C ．()()2310f f >>D ．()()2310f f <<【答案】B【解析】由题意，在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，构造函数ln(1)()()x g x f x +=，则()()2()ln(1)1()f x f x x x g x f x '-++'=，∵[)0,∞+上()()()()()1ln ()ln(1)0111f x x f x x f x f x x x x -+'-+'+=<++，即()0g x '<， ∴()g x 在[)0,∞+上单调递减，而(0)0g =，故0(1)(3)g g >> ∴ln 2ln 42ln 20(1)(3)(3)f f f >>=，可得2(1)(3)0f f <<.题型七、根据()()()f x f x g x ±-=构造函数【例7】设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ,x R ∀∈,有3()()f x f x x --=,在(0,)+∞上有22'()30f x x ->,若2(2)()364f m f m m m --≥-+-,则实数m 的取值范围为（）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞【答案】B【解析】因为()()3f x f x x --=,所以33()()()22x x f x f x --=--令3()()()()2x g x f x g x g x =-∴=-即函数()g x 为偶函数,因为()0,∞+上有()22'30f x x ->,所以23()()02x g x f x ''=->即函数()g x 在(0,)+∞单调递增；又因为()()22364f m f m m m --≥-+-所以33(2)(2)()(2)()22m m g m g m f m f m ---=---+2(2)()3640f m f m m m =--+-+≥即(2)()g m g m -≥,所以2m m -≥,解得1m ≤ ,故选B.【变式7】设函数f （x ）在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上，x x f <')(，若0618)()6(≥+---m m f m f ，则实数m 的取值范围为（） A ．),2[+∞ B ．),3[+∞ C ．[-3，3] D ．),2[]2,(+∞--∞ 【答案】B【解析】令221)()(x x f x g -=，∵021)(21)()()(22=-+--=+-x x f x x f x g x g ，∴函数g （x ）为奇函数，∵),0(+∞∈x 时，0)()(<-'='x x f x g ，函数g （x ）在),0(+∞∈x 上为减函数，又由题可知，f （0）=0，g （0）=0，所以函数g （x ）在R 上为减函数，061821)()6(21)6(618)()6(22≥+----+-=+---m m m g m m g m m f m f ，即0)()6(≥--m g m g ，∴)()6(m g m g ≥-，∴m m ≤-6，∴3≥m。

专题1.1“构造函数,比较大小”之归纳大全

一、作差构造函数，求参数范围1．设函数()()2,xf x xeg x ax x ==+．（Ⅰ）若()f x 与()g x 具有完全相同的单调区间，求a 的值; （Ⅱ）若当0x ≥时，恒有()()f x g x ≥，求a 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求导，通过导函数的符号变化确定函数()f x 的单调区间，再通过二次函数的对称性和单调性求出a 值；（Ⅱ）作差构造函数，将问题转化为函数的最小值为正，再通过研究导数的符号变化研究函数的最值．试题解析：（1）()xf x xe =，()(1)xxxf x e xe x e =+=+ 当1x <-时，()0f x '<，∴()f x 在(,1)-∞-上单调递减；当1x >-时，()0f x '>，∴()f x 在(1,)-+∞上单调递增；又()21g x ax '=+，由()1210g a '-=-+=，得12a =，此时()22111(1)222g x x x x =+=+- 显然()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，故12a =（Ⅱ）当0x ≥时恒有()()f x g x ≥，即()()()10xf xg x x e ax -=--≥恒成立，故只需()10xF x e ax =--≥恒成立，对()F x 求导可得()xF x e a '=-．()0,x x F x e a ≥∴='-若1,a ≤则当()0,x ∈+∞时， ()()0,F x F x '>为增函数，从而当0x ≥时， ()()00F x F ≥= 即()();f x g x ≥若1,a >则当()0,x lna ∈时， ()()0,F x F x '<为减函数，从而当()0,x lna ∈时， ()()00,F x F <=即()(),f x g x <故()();f x g x ≥不恒成立．故a 的取值范围为(],1-∞．2．已知函数()()()2,xf x x ax bg x ecx d =++=+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（Ⅰ）求,,,a b c d 的值;（Ⅱ）若2x ≥-时， ()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）由已知得()()()()02,02,0=4,0=4f g f g ''==，即可求解,,,a b c d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设()()()()22142xh x kg x f x kex x x =-=+=--，求得()h x '，根据题意()00h ≥，得1k ≥，利用导数分类讨论，的奥函数的单调性与最值，即可求得实数k 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知得()()()()02,020=40=4f g f g ''==，，()()()2,,x f x x a g x e cx d c =+=++''4,2,2, 2.a b c d ∴====（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()()()242,21xf x x xg x ex =++=+，设()()()()22142xh x kg x f x ke x x x =-=+=--，则()()()()2224221xx h x kex x x ke =+--+'=-由题意知， ()00h ≥，即1k ≥，令()0h x '=，则122,ln x x k =-=-，当21k e ≤<即220x -<≤时，由()0h x '>得， ln x k >-，由()0h x '>得， 2ln x k -<<-，所以()h x 在()2,ln k --单调递减，在()ln ,k -+∞单调递增，所以()h x 在区间[)2,-+∞上的最小值()()()min ln ln ln 20h x h k k k =-=-+≥，所以当2x ≥-时， ()0h x ≥即()()f x kg x ≤恒成立．当2k e =即22x =-时， ()0h x '≥恒成立，即()h x 在[)2,-+∞单调递增，所以()h x 在区间[)2,-+∞上的最小值()()min 20h x h =-=，所以当2x ≥-时， ()0h x ≥即()()f x kg x ≤恒成立．当2k e >即22x <-时， ()0h x '≥恒成立即()h x 在[)2,-+∞单调递增，所以()h x 在区间[)2,-+∞上的最小值()()()22min 220h x h e k e -=-=--<，所以当2x ≥-时， ()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上所示， k 的取值范围是21,e ⎡⎤⎣⎦．3．已知函数()()221ln f x x m x x =-++ ()m R ∈．（1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围；（2）当1x >时， ()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围．【思路引导】()1将当12m =-时代入，得()2ln g x a x x =+，求导，分类讨论当0a =时、当0a >时、当0a <时三种情况求出a 的取值范围(2)构造()()221ln h x mx m x x =-++，求导，讨论102m <<、12m ≥、0m ≤三种情况，求出m 的取值范围解析：（1）函数()g x 的定义域为(0,)+∞当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以，()222a x a g x x x x+'=+=①当0a =时，()2g x x =，0x >时无零点；②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，取10ax e-=，则112()1()0aa g e e --=-+<，因为(1)1g =，所以0()(1)0g x g <，此时函数()g x 恰有一个零点.③当0a <时，令()'0g x =，解得x =．当0x << ()'0g x <，所以()g x 在⎛ ⎝上单调递减；当2a x >-时， ()'0g x >，所以()g x 在,2a⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则ln 0222a a ag a ⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭即2a e =-．综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >．（2）令22()()(1)(21)ln h x f x m x mx m x x =--=-++，依题意，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <恒成立.又1(1)(21)()2(21)x m h x mx m x x--'=-++= ①若102m <<，则1(,)2x m ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在1(,)2m +∞上是增函数，且1()((),)2h x h m ∈+∞，所以不符题意；②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时， ()'0h x >恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意；③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()'0h x <，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤．综上，m 的取值范围是[]1,0-．4．已知函数()13ln f x x b x x=-+．（1）当4b =-时，求函数()f x 的极小值；（2）若[]1,x e ∃∈上，使得()114b x f x x x+--<-成立，求b 的取值范围．【思路引导】（1）将参数值代入表达式，再进行求导，根据导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到极值；（2）()1h x ln 0bx b x x+=-+<，有解，即h(x)的最小值小于0即可，对函数求导，研究函数的单调性，得到最小值即可．解析：（1）当时， ()()()/22311413x x fx x x x---=++= 令()/fx =0，得且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以在时取得极小值为()12f =．（2）由已知：，使得()()1111440b b x f x x f x x x x x++--<-⇒--+< 11143ln 0b x x b x x x x +⇒--+-+<，即： 1ln 0bx b x x+-+< 设，则只需要函数在上的最小值小于零．又，令，得（舍去）或．①当，即时，在上单调递减，故在上的最小值为，由，可得．因为，所以．②当，即时，在上单调递增，故在上的最小值为，由，可得（满足）．③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为．因为，所以，所以，即，不满足题意，舍去．综上可得或，所以实数的取值范围为．5．已知函数()22ln f x x x a x =--， ()g x ax =．（1）求函数()()()F x f x g x =+的极值；（2）若不等式()sin 2cos xg x x≤+对0x ≥恒成立，求a 的取值范围．【思路引导】（1）由题意的()F x ，求得()F x '，分类讨论得到函数的单调性，即可确定函数的极值；（2）设()sin 2cos x h x ax x =-+，得到()h x '，令cos t x =，则[]1,1t ∈-， ()()2122tt t ϕ+=+，求得()t ϕ'，得到()t ϕ的单调性和值域，进而分类讨论，得到()h x 的最小值，得到实数a 的取值范围．试题解析：（1）()22ln F x x x a x ax =--+，()22(2)(2)(1)x a x a x a x F x x x+--+-'==，()F x 的定义域为(0,)+∞①02a-≤即0a ≥时，()F x 在(0,1)上递减，()F x 在(1,)+∞上递增，()=1F x a -极小，()F x 无极大值 ②012a <-<即20a -<<时， ()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减， ()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， ()()11F x F a ==-极小．③12a-=即2a =-时，()F x 在()0,+∞上递增，()F x 没有极值． ④12a ->即2a <-时，()F x 在()0,1和,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，()F x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减， ∴()()11F x F a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．综上可知： 0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值；2a <-时，()()11F x F a ==-极大， ()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．②当0a ≤时，∵10222h a ππ⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，∴不适合条件． ③当103a <<时，对于02x π<<， ()sin 3xh x ax <-，令()sin 3x T x ax =-， ()cos 3xT x a =-'，存在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00,x x ∈时， ()0T x '<， ∴()T x 在()00,x 上单调递减，∴()()000T x T <=，即在()00,x x ∈时， ()0h x <，∴不适合条件．综上，a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．6．已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈．（1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围；（2）当1x >时， ()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围．【思路引导】(1)函数()g x 的定义域为()0,+∞，当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以()222a x ag x x x x='+=+，对a 分类讨论，得到函数的单调区间，由此求得a 的取值范围．(2) 令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，利用()h x 的导数，对m 分类讨论函数的单调区间，利用最大值小于零，来求得m 的取值范围．③当0a <时，令()0g x '=，解得2a x =-，当02a x <<-()0g x '<，所以()g x 在2a ⎛- ⎝上单调递减；当2a x >-时， ()0g x '>，所以()g x 在,2a⎫-+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则0222a a ag a -=-=即2a e =-，综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >；（2）令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，根据题意，当()1,x ∈+∞时， ()0h x <恒成立，又()()()()1211221x mx h x mx m x x--=-++='， ①若102m <<，则1,2x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()0h x '>恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，且()1,2h x h m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不符题意．②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时， ()0h x '>恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意．③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()0h x '<，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤．综上，m 的取值范围是[]1,0-．7．已知函数()22xf x e kx =--．（Ⅰ）讨论函数()f x 在()0,+∞内的单调性；（Ⅱ）若存在正数m ，对于任意的()0,x m ∈，不等式()2f x x >恒成立，求正实数k 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求导数可得()'2xf x e k =-， ()0,x ∈+∞，根据k 的取值情况进行讨论可得函数的单调性．（Ⅱ）在（Ⅰ）中结论的基础上分02k <≤和2k >两种情况讨论求解，首先探求得到区间()0,m ，通过对函数()f x 在此区间上单调性的讨论进一步得到()f x 的符号，进而将不等式()2f x x >去掉绝对值后进行讨论分析、排除，然后得到所求的范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得()'2xf x e k =-， ()0,x ∈+∞，因为0x >，所以22xe >．当2k ≤时， ()'0f x >，此时()f x 在()0,+∞内单调递增．当2k >时，由()'0f x >得ln 2kx >，此时()f x 单调递减；由()'0f x <得0ln2kx <<，此时()f x 单调递增．综上，当2k ≤时， ()f x 在()0,+∞内单调递增；当2k >时， ()f x 在0,ln2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在ln ,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增．②当2k >时，由（Ⅰ）可得()f x 在0,ln2k ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，且()00f =，所以存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈都有()0f x <．这时()2f x x >可化为()2f x x ->，即()2220xe k x -+-+>．设()()222xh x e k x =-+-+，则()()'22xh x e k =-+-．（i ）若24k <≤，则()'0h x <在()0,+∞上恒成立，这时()h x 在()0,+∞内单调递减，且()00h =，所以对于任意的()00,x x ∈都有()0h x <，不符合题意．（ii ）若4k >，令()'0h x >，得2ln 2k x -<，这时()h x 在20,ln2k -⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，且()00h =，所以对于任意的20,ln2k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0h x >，此时取02min ,ln2k m x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则对于任意的()0,x m ∈，不等式()2f x x >恒成立．综上可得k 的取值范围为()4,+∞．8．已知()()()211x f x x e a x =--+，[)1,x ∈+∞．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()2ln f x a x ≥-+，求实数a 的取值范围．【思路引导】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）令()()()211ln x g x x e a x x =----，问题转化为()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得当12e a ->时不合题意，当12e a -≤时，可证明()g x 在[)1,+∞上单调递增；所以()()10g x g ≥=，满足题意，从而可得结果．试题解析：（1）()2x f x xe ax '=- ()2xx e a =-，当2ea ≤时， [)1,x ∈+∞，()0f x '≥． ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增；当2ea >时，由()0f x '=，得()ln 2x a =．当()()1,ln 2x a ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在()()1,ln 2a 单调递减；在()()ln 2,a +∞单调递增．（2）令()()()211ln x g x x e a x x =----，问题转化为()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立， ()12x g x xe ax x=--'，注意到()10g =．当12e a ->时， ()1210g e a '=--<， ()()()()1ln 21ln 21ln 21g a a a +=+-+'，因为21a e +>，所以()ln 211a +>， ()()ln 210g a +>'，所以存在()()01,ln 21x a ∈+，使()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，所以()()10g x g <=，不满足题意．当12e a -≤时，()()11x g x xe e x x≥---' ()11xx e e x ⎡⎤=---⎣⎦，因为1x >，()11xx e e ⎡⎤-->⎣⎦，101x<<，所以()0g x '>， ()g x 在[)1,+∞上单调递增；所以()()10g x g ≥=，满足题意．综上所述： 12e a -≤． 9．已知函数()ln f x x =．（1）设()()1g x f x ax =-+，讨论()g x 的单调性；（2）若不等式()()f x a e x b ≤-+恒成立，其中e 为自然对数的底数，求ba的最小值．【思路引导】（1）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()1g x a x'=-，分情况0a ≤和0a >，由导函数的正负求单调区间即可；（2）设函数()()ln F x x a e x b =---， ()1F x e a x+'=-，分a e ≤易知不成立， a e >，计算函数的最大值为1F a e ⎛⎫⎪-⎝⎭，由()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭，得()()1ln a e b a e a a ---≥>，令()()1ln x e G x x---=， x e >，求最值即可．试题解析：（1）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()1g x a x'=-， ①当0a ≤时， ()0g x '>，则()g x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0g x '=，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0g x '>， ()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0g x '<， ()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）设函数()()ln F x x a e x b =---，其中e 为自然对数的底数， ∴()1F x e a x+'=-， 0x >，当a e ≤时，()0F x '>，()F x 在()0,+∞上是增函数， ∴()0F x ≤不可能恒成立，当a e >时，由()10F x e a x =+-='，得1x a e=-， ∵不等式()0F x ≤恒成立，∴()max 0F x ≤，当10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时， ()0F x '>， ()F x 单调递增，当1,x a e ⎛⎫∈+∞⎪-⎝⎭时， ()0F x '<， ()F x 单调递减， ∴当1x a e =-时， ()F x 取最大值， ()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭， ∴满足()ln 10a e b -++≥即可，∴()1ln b a e ≥---，∴()()1ln a e b a e a a---≥>，令()()1ln x e G x x---=，x e >，()()()()()221ln ln xx e x e x e e x e G x x x e x -++-----=-'=．令()()()ln H x x e x e e =---， ()()ln 1H x x e '=-+，由()0H x '=，得1x e e=+，当1,x e e⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时， ()0H x '>， ()H x 是增函数，当1,x e e e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时， ()0H x '<， ()H x 是减函数，∴当1x e e =+时， ()H x 取最小值11H e e e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， ∵x e →时， ()0H x →， 2x e >时， ()0H x >， ()20H e =， ∴当(),2x e e ∈时， ()0G x '<， ()G x 是减函数，当()2,x e ∈+∞时， ()0G x '>， ()G x 是增函数， ∴2x e =时， ()G x 取最小值， ()11122G e e e--==-， ∴b a 的最小值为1e-． 10．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对恒成立，求的取值范围．【思路引导】（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意，根据a 的不同取值逐一讨论导函数符号即可（2）若对恒成立，显然需要转化为最值问题，设，则，当时，，或，，则，∴在上递增，从而．若，令，当时，；当时，．∴综合得出结论即可解析：（1），当时，，∴在上单调递增．当时，，故当或时，在上单调递增．当时，令，得或；令，得．∴在上单调递减，在，上单调递增．（2）设，则，当时，，或，，则，∴在上递增，从而．此时，在上恒成立．若，令，当时，；当时，．∴，则不合题意．故的取值范围为．【总结】导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）二、作差构造函数证明不等式1．已知函数()21ln 2f x x a x =+． (1)若1a =-，求函数()f x 的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若1a =，求证：在区间[)1+∞，上，函数()f x 的图像在函数()323g x x =的图像的下方．【思路引导】（1）定义域为(0，＋∞)，f ′(x ) ()()11x x x+-=，可求得单调区间有望极小值。

【数学】构造函数之大题教师版

构造函数之大题一、直接构造形式一：应用于比较大小，通过构造新函数()()()h x f x g x =-，判断新函数最值与0的关系例1. 已知函数()ln f x a x =，()213222g x x x =-+-，对任意的[)1,x ∈+∞，都有()()f xg x ≥恒成立，则实数a 的最小值是______．（恒成立问题，要注意到端点值()()11f g =，讨论函数单调性）【答案】1练1. 已知函数()x f x e =，()()1g x bx b R =+∈．若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合．（讨论函数单调性，利用单调性判断最值，注意端点值和单调性对函数的影响）解析：令()()()1x x f x g x e bx ϕ=-=--，所以()'x x e b ϕ=-.① 当0b ≤时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ在R 上单调递增．又()00ϕ=，所以(),0x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾．② 当0b >时，由()'0x ϕ>，得ln x b >；由()'0x ϕ<，得ln x b <，所以函数()x ϕ在(),ln b -∞上单调递减，在()ln ,b +∞上单调递增．1°当01b <<时，所以ln 0b <.又()00ϕ=，所以()ln 0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾； 2°当b>1时，同理φ(lnb)<0，与函数()()f x g x ≥矛盾；3°当1b =时，ln 0b =，所以函数()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增．所以()()00x ϕϕ≥=，故1b =满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{}1．形式二：分参后得到新函数()h x ，转化为min()a h x ≤例2. 对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若sin ax x bx ≤≤恒成立，求b a -的最小值练2. 若不等式2ln 1ax x>+对任意()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．令()'0f x =得1x =，易知当()0,1x ∈时，()'0f x >；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <．故()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减．二、间接构造形式一：变化率1 ()()1212f x f x a x x > 对1212,,x x I x x ∀∈≠，假设()()12120f x f x x x >，则()'0f x ≥；反之若()'0f x ≥，则()()12120f x f x x x >，这表明()()12120f x f x x x >⇔()'0f x ≥。

构造函数微专题

构造函数微专题以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“()()f x g x ±、()()f x g x 、()()f xg x ”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．1、导数和差，构造和差型函数：[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x )(1)f ′(x )-g ′(x )>0：构造：h (x )＝f (x )-g (x )； (2)f ′(x )+g ′(x )>0：构造：h (x )＝f (x )+g (x ). 2、和与积联系，构造乘积型函数：)]'()([)(')()()('x g x f x g x f x g x f =+(1)()()f x xf x '+，构造()xf x ； (2)22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ； (3)3()()f x xf x '+，构造3()x f x ； (4)()()nf x xf x '+，构造()n x f x ；(5)()()f x f x '+，构造e ()x f x ； (6)a x f x f >+)()('，构造)]')(([a x f e x-；(7))(cos )('sin x xf x xf +，构造)]'([sin x xf ； (8))()('tan x f x xf +，构造)]'([sin x xf ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx3、差与商联系，构造分式型函数：'2)()()()(')()()('⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-x g x f x g x g x f x g x f (1)()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x =； (2)()2()0xf x f x ->'，构造2()()f x F x x =； (3)()()0xf x nf x ->'，构造()()n f x F x x =， (4)()()f x f x '-，构造()()ex f x F x =， (5)a x f x f >-)()('，构造'))((⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x e a x f ， (6)()2()f x f x '-，构造2()()e x f x F x =， (7)()()f x nf x '-，构造()()e nx f x F x =， (8))(cos )(sin x xf x f x -'，构造'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x f sin )( (9))(sin )(cos x xf x f x +'，构造'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x f cos )(； (10))()(tan x f x f x -'，构造⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈'⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2sin )(ππx x x f ，. 【类型一】构造“()()y f x g x =±”型可导函数【例1】（2020银川一中模拟）设奇函数()f x 在R 上的可导函数，当0x ＞时有()cos 0f x x '+＜，则当0x ≤时，有（）A ．()sin (0)f x x f +≥B ．()sin (0)f x x f +≤C ．()sin (0)f x x f -≥D ．()sin (0)f x x f -≤【答案】A【解析】联想[()sin ]()cos f x x f x x ''+=+，可设()()sin g x f x x =+，则()g x 在()0+，∞在上为减函数，又()f x 为奇函数，故()g x 也为奇函数，所以()g x 在(0]-，∞上也为减函数，故当0x ≤时，()(0)g x g ≥，即()sin (0)sin0(0)f x x f f ++=≥．【练习1】定义在()0+，∞上的函数()f x 满足()10xf x '-<，且(1)1f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．【答案】()112，【解析】()()ln F x f x x =-，则()11()()xf x F x f x xx-=-='''，而()10xf x '-<，且0x >，∴()0F x '<，即()F x 在()0+，∞上单调递减，不等式()()21ln 211f x x ->-+可化为()()21ln 2111ln1f x x --->=-，即()()211F x F ->，故210 211x x ->-<⎧⎨⎩，解得：112x <<，故解集为：()112，．【练习2】（2020·山西高考模拟（理））定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()251,22x f x f ='>，则关于x 的不等式()13xxf e e <-的解集为（）A ．()20,eB ．()2,e +∞C ．()0,ln 2D ．(),2ln -∞【答案】D【详解】构造函数()()1F x f x x =+，依题意可知()()()222110x f x F x f x x x-=-=''>'，即函数在()0,∞+上单调递增.所求不等式可化为()()1e e 3e xx x F f =+<，而()()12232F f =+=，所以e 2x <，解得ln 2x <，故不等式的解集为(),ln 2-∞.【类型二】构造“()()f x g x ”型可导函数【例2.1】（2020南昌一模）设函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>且(3)=0g ，则不等式()()0f x g x >的解集是（）A ．(30)(3)-+ ，，∞B ．(30)(03)- ，，C ．(3)(3)--+ ，，∞∞ D ．(3)(03)-- ，，∞ 【答案】A【解析】联想[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，可知函数()()()F x f x g x =在(0)-，∞内递增，又()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， ∴()F x 为奇函数，则()F x 在()0+，∞内也为增函数．又(3)=0g ，∴(3)(3)0F F -==．∴不等式()()0f x g x >的解集是(30)(3)-+ ，，∞．【例2,2】（2018•辽宁期末）函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上可导函数，其导函数为()f x '且满足()2()0xf x f x '+>，则不等式(2019)(2019)5(5)52019x f x f x ++<+的解集为（） A ．{|2014}x x >- B ．{|20192014}x x -<<-C ．{|02014}x x <<D ．{|2014}x x <-【例2.3】（2020·陕西高考模拟）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x ∈R 满足'()()0f x f x +<，则下列结论正确的是（）A ．23(2)(3)e f e f >B ．23(2)(3)e f e f <C ．23(2)(3)e f e f ≥D ．23(2)(3)e f e f ≤【答案】A 【解析】令()()x g x e f x = ，则()(()())0x g x e f x f x '+'=<，所以(2)(3),g g > 即()()2323e f e f >，选A.【例2.4】定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(>x f 且1)(')(>+x f x f ，5)0(=f ，其中)('x f 是)(x f 的导函数，则不等式x x f ->-4ln ]1)(ln[的解集为（） A ．),0(+∞B ．),3()0,(+∞-∞C ．),0()0,(+∞-∞D ．)0,(-∞成立，则使得()0f x >成立的x 的取值范围为（） A ．)1,0()0,1( -B ．)1,0()1,( --∞C ．),1()0,1(+∞-D ．),1()1,(+∞--∞【解析】由题意可设()()g x x f x =，则()()()g x x f x f x '='+，当0x >时，有()()0xf x f x '+>，∴则当0x >时，()0g x '>，∴函数()()g x xf x =在(0,)+∞上为增函数，函数()f x 是奇函数，()()()()[()]()()g x x f x x f x xf x g x ∴-=--=--==，∴函数()g x 为定义域上的偶函数，由(1)0f -=得，(1)0g -=，函数()g x 的图象大致如图：由函数的图象得，10x -<<或1x >，∴使得()0f x >成立的x 的取值范围是：),1()0,1(∞+- ，故选C ．【练习2】（2018•长沙期末）已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：当1x ≠时，(1)[()()]0x f x f x -'+>，22()(2)x f x e f x -=-，则下列判断一定正确的是（） A ．)0()1(f f D ．)0()3(3f f e >【练习3】（2020南充质检）()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21()2()0x f x xf x '++<，且(2)0f =，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()()22--+ ，，∞∞B ．()()2002- ，，C ．()()202-+ ，，∞D ．()()202-- ，，∞【答案】C ．【解析】构造函数()2()1()g x x f x =+，则()2()1()g x x f x ''=+．又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2()1()g x x f x =+为奇函数，且当0x >时，()2()1()2()0g x x f x xf x ''=++<，()g x 在()0+，∞上函数单减， ()0()0f x g x <⇒<．又(2)0g =，所以有()0f x <的解集()()202-+ ，，∞．故选C ．【练习4】（2020荆州模拟）设函数()f x '是奇函数()f x (x ∈R )的导函数，当0x >时，1ln ()()x f x f x x '<- ，则使得()21()0x f x ->成立的x 的取值范围是（） A ．()()1001- ，， B ．()()11--+ ，，∞∞ C ．()()101-+ ，，∞D ．()()101-- ，，∞ 【答案】D.【解析】设()ln ()g x x f x = ，当0x >时，1()()ln ()0g x f x xf x x '=+<'，()g x 在()0+，∞上为减函数，且(1)0g =，当()01x ∈，时，()0g x >，ln 0x <∵，()0f x <∴，2(1)()0x f x ->；当()1x ∈+，∞时，()0g x <，ln 0x >∵，()0f x <∴，()21()0x f x -<， ∵()f x 为奇函数，∴当()10x ∈-，时，()0f x >，()21()0x f x -<；当()1x ∈--，∞时，()0f x >，()21()0x f x ->．综上所述：使得()21()0x f x -<成立的x 的取值范围是()()101-- ，，∞【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x 与()f x 的积或商，2x 与()f x 的积或商，e x 与()f x 的积或商，ln x 与()f x 的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式．【练习5】（2020·河北高考模拟）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则（） A ．()0f x > B ．()0f x <C ．()f x 为减函数D ．()f x 为增函数【答案】A【解析】令()e [()]x g x xf x =，则由题意，得()e [(1)()()]0x g x x f x xf x '+'=+>，所以函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0>g x ，则()0f x >，当0x <时，()0<g x ，则()0f x>，而()()()1'0x f x xf x ++>恒成立，则(0)0f >；所以()0f x >；故选A.点睛：本题的难点在于如何利用()()()1'0x f x xf x ++>构造函数()e [()]x g x xf x =。

构造函数的应用及例题—高考数学

构造函数的应用及典型例题几种导数的常见构造：1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h −=若遇到()()0'≠>a a x f ，则可构()()ax x f x h −=2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=3．对于'()()0f x f x +>，构造()()x f e x h x= 4．对于'()()f x f x > [或'()()0f x f x −>]，构造()()x f x h x e =5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =6．对于()()0'>−x f x xf ，构造()()x x f x h =7. '()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x −−=+=+（注意对x 的符号进行讨论）例1．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈−∞+<成立，0.20.22(2)a f =g ，log 3(log 3)b f ππ=g ，33log 9(log 9)c f =g ,则,,a b c 的大小关系是 ( ).A a b c >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>变式1: 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x +>，若111(),2(2),ln (ln 2)222a fb fc f ==−−=，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（） .A a b c >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>例2．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有A ．2016(2016)(0)ef f −<，2016(2016)(0)f e f > B ．2016(2016)(0)e f f −<，2016(2016)(0)f e f < C ．2016(2016)(0)e f f −>，2016(2016)(0)f e f > D ．2016(2016)(0)e f f −>，2016(2016)(0)f e f < 变式2: 已知函数()f x 为定义在R 上的可导函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，e 为自然对数的底数，则（ C ）2016.(1)(0)(2016)(0)A f e f f e f >⋅<⋅、 2016.(1)(0)(2016)(0)B f e f f e f <⋅>⋅、2016.(1)(0)(2016)(0)C f e f f e f >⋅>⋅、 2016.(1)(0)(2016)(0)D f e f f e f <⋅<⋅、例3．已知函数)(x f y =对任意的)22(ππ，−∈x 满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>,则（）A ．)4(2)0(πf f > B. )3(2)0(π−<f f C. )4()3(2ππf f < D. )4()3(2ππ−<−f f例4．若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（）A ．()()af b bf a <B ．()()bf a af b <C ．()()af a bf b <D ．()()bf b af a < 变式3．已知)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x −'≤0，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（）A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a bf b ≤D ．()()bf b af a ≤ 变式4. 设函数b x a x g x f b a x g x f <<'<'则当且上均可导在),()(,],[)(),( 时，有（）A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f <C ．)()()()(a f x g a g x f +<+D ．)()()()(b f x g b g x f +<+例5．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>，下面不等式恒成立的是（）A ．0)(>x fB ．0)(<x fC ．x x f >)(D ．x x f <)(变式5. 已知函数)(x f y =是R 上的可导函数，当0≠x 时，有0)()(>+'x x f x f ,则函数xx xf x F 1)()(+=的零点个数是( )A.0B.1C. 2D.3。

导数运算中的构造函数

导数运算中的构造函数1. 若()()0f x f x '+>，则可构造函数()()xF x e f x =⋅； 2. 若()()0f x f x '->，则可构造函数()()xf x F x e =； 3. ①若()2()0f x f x '+>，则可构造函数12()()x F x e f x =⋅； ②若()()0f x nf x '+>，则可构造函数1()()x nF x e f x =⋅，(*n N ∈).4. ①若()2()0f x f x '->，则可构造函数12()()x f x F x e=；②若()()0f x nf x '->，则可构造函数1()()x nf x F x e=，(*n N ∈).5. ①若2()()0f x f x '+>，则可构造函数2()()xF x f x e =⋅； ②若()()0nf x f x '+>，则可构造函数()()nxF x f x e =⋅，(*n N ∈).6. ①若2()()0f x f x '->，则可构造函数2()()xf x F x e =； ②若()()0nf x f x '->，则可构造函数()()nx f x F x e=，(*n N ∈).7. 若()()0f x x f x '+⋅>，则可构造函数()()F x x f x =⋅； 8. 若()()0f x x f x '-⋅>，则可构造函数()(),(0)f x F x x x=≠； 9.①若22()()0x f x x f x '⋅+⋅>，则可构造函数2()()F x x f x =⋅；②若2()()0f x x f x '⋅+⋅>，则可构造函数2()()F x x f x =⋅(注意x 的正负)；③若()()0n f x x f x '⋅+⋅>，则可构造函数()()n F x x f x =⋅(注意x 的正负，n 的奇偶)； 10. 若()()0n f x x f x '⋅-⋅>，则可构造函数()()n f x F x x=(注意x 的正负，n 的奇偶)； 11. ① 若()cos ()sin 0f x x f x x '+>，则可构造函数()sin ()F x x f x =⋅；②若()()tan 0f x f x x '+>，则可构造函数()sin ()F x x f x =⋅(注意x 的取值范围)； 12. ①若()cos ()sin 0f x x f x x '->，则可构造函数()()sin f x F x x=； ②若()()tan 0f x f x x '->，则可构造函数()()sin f x F x x= (注意x 的取值范围)； 13. ①若()ln ()0f x x f x x'+⋅>，则可构造函数()ln ()F x x f x =⋅； ②若()ln ()0f x x x f x '+⋅⋅>，则可构造函数()ln ()F x x f x =⋅；14. ①若()ln ()0f x x f x x '-⋅>，则可构造函数()()ln f x F x x=(0,1x x >≠)； ②若()ln ()0f x x x f x '-⋅⋅>，则可构造函数()()ln f x F x x=(0,1x x >≠)；练习题1．已知定义在R 上的函数()(),'f x f x 是其导函数，且满足()()()212f x f x f e '->=-，,则不等式()2xf x e +≥的解集为（）A ．(,1)-∞B ．[1,)+∞C ． (,2)-∞D ．(2,)+∞ 解：令()()2x f x F x e +=，则()()()()'2'0,xf x f x F x F x e --=>∴在R 上为增函数，又()12f e =-， ()()()1211,2x f F f x e e +∴==+≥Q 可化为()21xf x e+≥，即()()1F x F ≥，[1,)x ∴∈+∞ 故选：B2．定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()2019e 0xf x +<的解集为（） A ．(),0-∞ B ．()0,∞+C ．1(,)e-∞D ．1(,)e+∞解：由题意，构造新函数()()x f x F x e =，则()()()xf x f x F x e'-'=，因为()()f x f x '>，所以()0F x '<，所以函数()F x 在R 上单调递减，又因为()2019f x +为奇函数，所以()020190f +=，所以()02019f =-，则()02019F =-，所以不等式()20190xf x e +<等价于()2019xf x e <-，又等价于()()0F x F <，即0x >，所以不等式()2019e 0x f x +<的解集为()0,∞+，故选B.3．己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x <'，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()xf x e <的解集为A ．(2,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 解：设()()x f x F x e=（x R ∈），则2()()()()()()x x x x f x e f x e f x f x F x e e ''--'== 又∵()()f x f x <'，∴()0F x '<（x R ∈），∴函数()F x 在定义域上单调递减∵(2)f x +为偶函数，即将()f x 的图象向左平移2个单位后，图象关于y 轴对称， ∴()f x 的图象关于2x =对称∴(4)(0)1f f ==，所以0(0)(0)1f F e== 作出F (x )模拟图象，如下图思考：我们对所构造的函数要研究它的哪些性质？∵()()()1x xf x f x e F x e <⇔=<，由图象可知：0x >，故选B ．4．已知函数f x （）在0x >上可导且满足()()0f x f x '->，则下列一定成立的为（）A ．23(2)(3)e f e f > B ．23(3)(2)e f e f < C ．32(2)(3)e f e f < D ．23(2)(3)e f e f <解：令()()x f x F x e=,()0,x ∈+∞ 则()()()()()()2x x x x f x e e f x f x f x F x e e ''--'== ()()0f x f x '->Q ()()()()()()20x x xx f x e e f x f x f x F x e e ''--'==>即()()x f x F x e =在定义域()0,∞+上单调递增 ()()32F F ∴>,即()()3232f f e e>, ()()2332e f e f ∴> 故C 正确，故选：C5．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当0x <时()()20f x xf x '+<，则( ) A ．()()()24293f e f e f >>B ．()()()24293f f e f e ->->-C ．()()()29342f f e f e >>-D ．()()()24293e f e f f >->-解：构造新函数为：2()()F x x f x =，因为()f x 是偶函数，故()()f x f x -=，于是有22()()()()()F x x f x x f x F x -=--==，所以函数()F x 是偶函数.2()2()()[2()()]F x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x <时，()()20f x xf x '+<，所以当0x <时，()0.F x '>则()F x 在(,0)-∞上是增函数, 根据()F x 是偶函数得知，()F x 在(0,)+∞上是减函数23e <<Q ，(2)()(3)F F e F ∴>>，即2222(2)()3(3)f e f e f >>故选：A 6．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-⋃+∞C ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)⋃+∞ 解：构造新函数()()f x F x x =,由()f x 为奇函数知()F x 为偶函数. ()()()2 'xf x f x F x x'-=Q ，当0x >时()'0F x <.∴()()f x F x x=在()0,∞+上单减，由()10f =，得()10F =. 根据()F x 为偶函数可知，()()f x F x x=在(),0-∞上单增，且(1)0F -=.故选A.7．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x <-'成立（其中()()f x f x '是的导函数），若a =，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =则,,a b c 的大小关系是（） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>解：由题意当(,0)x ∈-∞时，()()(),()()0,(())0,xf x f x f x xf x f x xf x '<-=-∴<'+<'∴令()()F x xf x =，则()F x 是(,0)-∞上的减函数，而()F x 是偶函数(奇乘奇=偶)，所以()F x 是(0,)+∞上的增函数，而21(1),(log )(2)(2)4a Fb Fc F F F ====-=，且12<<，b a c <<.8．若函数()f x 在R 上可导，()()f x xf x '<则( )A ．()()e 1e f f C ．()()e 1e f f =D ．()()1e f f =解：根据()'()f x xf x <可得'()()0xf x f x ->，可知当0x >时，2'()()0xf x f x x ->，即()[]'0f x x>，所以可知函数()f x x 在(0,)+∞上是增函数，即(1)()1f f e e<，从而得(1)()ef f e <，故选A.9．若函数()f x 在()0,∞+上可导，且满足()()'f x xf x <，则一定有( ) A ．函数()()f x F x x=在()0,∞+上为增函数 B ．函数()()f x F x x=在()0,∞+上为减函数 C ．函数()()G x xf x =在()0,∞+上为增函数 D ．函数()()G x xf x =在()0,∞+上为减函数解：因为()()f x xf x <'，构造新函数()()f x F x x=，其导数为()()2()0f x x f x F x x -=''>，所以函数()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递增，故选A ．10．定义在{}|0x x ≠上的函数()f x 满足()()0,()f x f x f x --=的导函数为()'f x ，且满足(1)0f =，当0x >时，()2()xf x f x '<，则使得不等式()0f x >的解集为( )A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()(),11,-∞-+∞UC ．()()1,01,-⋃+∞D ．()()1,00,1-U解：由函数定义域为{}|0x x ≠，且()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数令()()2f x F x x =，则()()()32f x x f x F x x-'='，由当0x >时，()2()xf x f x '<，即()22()x f x xf x '<，此时()0F x '<，所以可知()F x 在()0,∞+递减则()F x 在(),0-∞递增，又(1)0f =，所以()()110f F ==，同理(1)(1)0F F -== 作出()F x 列表：故选：D11．已知函数()f x 的定义为R ，(1)f e -=，若对任意实数x 都有()f x e '>，则不等式()2f x ex e >+的解集是（）A ．(1)-∞-，B ．(1)-+∞，C ．(11)-，D ．(1)+∞，解：令()()F x f x ex =-，Q 对任意实数x 都有()f x e '>，()()0F x f x e ''∴=->，∴函数()F x 为定义在R 上的单调递增函数，(1)f e -=Q ()()112F f e e ∴-=-+=，作出F (x )模拟图象，如下图()2f x ex e >+Q ，()2f x ex e ∴->，()2F x e ∴>，1x ∴>- 故不等式()2f x ex e >+的解集是(1)-+∞，. 故选：B 12．已知函数()()y f x x R =∈的图象过点()1,1，()f x ' 为函数()f x 的导函数，e 为自然对数的底数.若 ()1f x '>恒成立，则不等式()f x x >的解集为（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,+∞D ．(),e +∞解：设()()F x f x x =-，则()()''1F x f x =-，因为()1f x '>恒成立，()'0F x ∴>恒成立，()F x ∴单调递增， ()11f =Q ，()()1110F f ∴=-=，作出F (x )模拟图象，如下图Q 不等式()f x x >()0F x ⇔>，由图象知 1x ∴>，故选：C ．13．定义在R 上的函数()f x，()f x '是其导函数，且满足()()2f x f x +'>， ()412f e=+，则不等式()42x x e f x e >+的解集为( )A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞解：令()()24xxF x e f x e =--，()()()2[()()2]xxxxF x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-；()()2f x f x +'>Q ； ()0F x ∴'>； ()F x ∴在R 上单调递增； 4(1)2f e =+Q ；∴4(1)(2)240F e e e=+--=；，作出F (x )模拟图象，如下图 ()42()0x x e f x e F x >+⇔>Q 1x ∴> ∴原不等式的解集为(1,)+∞．故选：B ．14．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有2()4()f x x f x -=-，当(,0]x ∈-∞时，()41f x x '<-，若()()142f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)-+∞D ．[2,)-+∞解：由已知条件()41f x x '<-分析，可构造函数2()()2F x f x x x =-+，求导得()()41F x f x x ''=-+.显然()0F x '<，从而()F x 在(,0]x ∈-∞上单调递减. 已知条件2()4()f x x f x -=-如何利用？如何才能出现()()f x f x -+？我们计算22222()()()2()()()2()()4440F x F x f x x x f x x x f x f x x x x -+=---+-+-+=-+-=-= 即()()F x F x -=-，这能说明()F x 为奇函数.()F x 在(0,)+∞上单调递减，从而()F x 在R 上调递减.下一个已知条件()()142f m f m m +≤-++如何利用？如何才能出现(1)()f m f m +--？我们计算:22(1)()(1)2(1)(1)[()2()()](1)()21422121F m F m f m m m f m m m f m f m m m m m +--=+-+++----+-=+----≤+--=+ 再经过变形得：(1)(1)()()F m m F m m +-+≤---.这个不等式两边在形式上具有一致性，我们继续构造函数：令()()x F x x ϕ=-，由前面分析()F x 在R 上单调递减，可知()x ϕ在R 上单调递减 .我们所要研究的不等式(1)(1)()()F m m F m m +-+≤---等价于(1)()m m ϕϕ+≤-，从而1m m +≥-，求得12m ≥-.15．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 的图象经过点(2,4)，且对(0,)+∞，都有()1f x '>，则不等式(22)2x xf -<的解集为（） A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(0,1)解：由已知：(2)4f =.令22x t -=，0t >，且22x t =+，不等式(22)2x x f -<等价于()2f t t <+.构造函数令()()(0)F t f t t t =-> ，对其求导()()10F t f t ''=->，于是()F t 在(0,)+∞上单调递增. 为了利用上(2)4f =，我们得计算(2)(2)22F f =-=.作出F (t )模拟图象，如下图2<等价于()2F t <. 由图象可知：02t <<，所以0222x <-<，(1,2)x ∴∈，应选答案C.16．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '>，且()12f =，则不等式1()2x f x e -<的解集为（） A ．()1,+∞B ．(),2-∞C ．(),1-∞D ．()2,+∞解：构造函数()()()2'()'()()'()()x xxx xf x f x e f x e f x f x F x F x ee e--=⇒==因为()()()0()f x f x F x F x '⇒<⇒'>单调递减.()212(1)f F e=⇒=作出F (x )模拟图象，如下图所求的不等式()1()2)22(x x f x F x e f e e ex -<<⇔⇔< ，由图象知1x > ，故答案选A0时，()()0f x xf x '+>，且(3)0f -=，则不等式)()33,+∞U D ．()(),30,3-∞-U()0x '> ()F x ∴在(,0)-∞是单调递增，列表：所以()0f x <的解集为(3,0)(0,3)-⋃. 故选:B.18．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '、(1)f x +的图象关于点(1,0)-对称，且对于任意的实数x ，均有()()ln 2f x f x '>成立，若(2)2f -=，则不等式1()2x f x ->-的解集为（） A ．(2,)-+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2)-∞解：)1(f x +Q 的图象关于点(1,0)-对称，也就是说把函数()f x 图象向左平移1个单位后关于点(1,0)-对称，()f x ∴图象关于原点对称，从而()f x 为奇函数.由已知：()()()()ln 2<0ln 2f x f x f x f x ''>⇔-, 令()()2xf x F x =, 则()2()22()ln 2()()ln 2()022x x xxf x f x f x f x F x ''⋅-⋅-'==<,则()F x 在(,+)-∞∞上单调递减,由(2)2f -=,得(2)2f =-,所以(2)1(2)42f F ==-. 作出F (x )模拟图象，如下图所以1()2x f x ->-⇔()()11222x f x F x >-⇔>-，由图象知：2x <. 故选:D .19．函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，()f x '为其导函数，若()()xxf x f x e '+=，且(2)0f =，则()0f x <的解集为（） A ．(0, 1)B ．(0, 2)C ．(1, 2)D ．(1, 4)解：由()()xxf x f x e '+=得[()]xxf x e '=，()xxf x e c ∴=+，从而()(0)x e c f x x x+=>，又(2)0f =，2c e ∴=-，2()(0)x e e f x x x-∴=>，()0f x <时，2x <，又(0,)x ∈+∞，故02x <<.故选：B .20．已知()f x ' 是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________. 解：令()()f x F x x=，因为()f x 为奇函数，所以()F x 为偶函数，定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞ 对()F x 求导得：()2()()xf x f x F x x'-'=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以当0x >时，()0F x '>，即()F x 在(0,)+∞上单调递增由()F x 为偶函数知：()F x 在(,0)-∞上单调递减由()10f -=，可知 (1)0F =，则(1)(1)0F F -==.作出()F x 草图：列表：综上，()0f x >时，1x >或10x -<< 故答案为：()()1,01,-⋃+∞21．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()'>xf x f x ，若()20f =，则不等式()0x f x ⋅>的解集为________解：由题意，令()()f x F x x=，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以 ()F x 为奇函数，定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞对()F x 求导得：2()()()xf x f x F x x'-'=．由已知当0x >时，()()'>xf x f x ，所以 ()F x 在(0,)+∞上单调递增.再由()F x 为奇函数，可得()F x 在(,0)-∞上单调递增. 由()20f =得(2)0,(2)(2)0F F F =-=-=. 作出()F x 草图：∴不等式()0()0x f x F x >⇔>g 的解集为{|20x x -<<或2}x >．故答案为：()()2,02,-+∞U ．22．若定义域为R 的函数()f x 满足'()()f x f x >，则不等式(ln )(1)0ef x xf -<的解集为______（结果用区间表示）．解：令()()xf x F x e =，则2(()())()x xe f x f x F x e '-'=，因为()()f x f x >'，所以()0F x '>，所以，函数()F x 为(,)-∞+∞上的增函数，由(ln )(1)ef x xf <，得：(ln )(1)f x f x e<，即ln 1(ln )(1)xf x f e e <，即(ln )(1)F x F <，因为函数()F x 为(,)-∞+∞上的增函数，所以ln 1x <．所以不等式的解集是(0,)e ．故答案为(0,)e ．23．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()() f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是_______解：设()()2(0)f x F x x x =>，则()()()320xf x f x F x x-''=>，故函数()F x 在()0,+∞上单调递增，因为：23<，所以(2)(3)F F <，即()()2349f f <，故()()2439f f <．设()()3(0)f x G x x x=>，则()()()430xf x f x G x x-''=<，故()G x 在()0,+∞上单调递减，因为23<，所以(2)(3)G G >所以()()23827f f >，则()()28327f f >，所以()()2842739f f <<．故()()23f f 的取值范围是84,279⎛⎫⎪⎝⎭．24．函数()f x 的定义域为R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()4f x '>，则()45f x x <+的解集为________. 解：令()()4F x f x x =-，则()()4F x f x ''=-，因为x ∈R 时，()40f x '->，即()0F x '>，因此，()F x 在定义域R 上为单调递增函数；由于()11f -=，则()51F -=，作出F (x )模拟图象，如下图要求()45f x x <+，则()45f x x -<，即()5F x <，由()F x 的图象知1x <-.故答案为：(),1-∞-.25．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()2f x +为偶函数，()41f =，则不等式()xf x e <的解集为______解：设()()x f x Fx e=，则：()()()()()2x x e f x f x F x e '-'=()()f x f x '<Q ，()0F x ∴'<．所以函数()F x 是R 上的减函数，Q 函数(2)f x +是偶函数，∴函数()f x 图象关于直线2x =对称， (4)(0)1f f ∴==为了利用上(0)1f =，我们得计算0(0)(0)1f F e==.作出F (x )模拟图象，如下图原不等式()xf x e <等价为()1F x <，由图象知0x >，故答案为: (0,)+∞26．已知函数()f x 的导数为()'f x ，()11f =，若对任意的实数x 都有()()'0f x f x ->，则()1x f x e e<的解集为__________．解：设()()x F x f x e =，则2()()()()()x x x xf x e f x e f x f x F x e e'-'-'==，因为对任意的实数x 都有()()0f x f x -'>，所以()0F x '<，即()F x 在R 上单调递减，又因为(1)1f =，所以1(1)F e=，作出F(x)模拟图象，如下图所求不等式()1x f x e e <等价于1()F x e<，由图象知，1x >. 故答案为：(1,)+∞ 27．函数()()f x x R ∈满足(1)2f =，且()f x 在R 上的导函数'()f x 满足'()3f x >，则不等式(2)321x x f <⋅-的解集为________.解：构造函数()()3F x f x x =-，则'()'()30F x f x =->，说明()F x 在R 上是增函数，为了利用(1)2f =，我们得计算(1)(1)31F f =-=-. 作出F(x)模拟图象，如下图又不等式(2)321x x f <⋅-可化为(2)321x x f -⋅<-，即(2)1xF <-，∴21x <，解得0x <.∴不等式(2)321x x f <⋅-的解集为(,0)-∞.故答案为：(,0)-∞28．函数()f x （x ∈R ）满足(1)2f =且()f x 在R 上的导数'()f x 满足'()30f x ->，则不等式33(log )3log 1f x x <-的解集为___________.解：构造函数()()3F x f x x =-，则'()'()30F x f x =->，说明()F x 在R 上是增函数，为了利用(1)2f =，我们得计算(1)(1)31F f =-=-.作出F(x)模拟图象，如下图又不等式33(log )3log 1f x x <-可化为33(log )3log 1f x x -<-，即3(log )1F x <-， ∴3log 1x <，解得03x <<. ∴不等式33(log )3log 1f x x <-的解集为(0,3). 故答案为：(0,3)29．已知函数()f x 的定义域为R ， ()'f x 是()f x 的导函数，且()23f =， ()'1f x <，则不等式()1f x x >+的解集为_______．解：令()()()1F x f x x =-+，则()()1F x f x ''=-，由已知()'1f x <可知()0F x '<，从而()F x 在R 上单调递减.为了利用上()23f =，我们得计算(2)(2)30F f =-=. 作出F(x)模拟图象，如下图试卷第21页，总21页所求不等式()1f x x >+等价于()0F x >，由图象知：2x <. 即不等式()1f x x >+的解集为(),2-∞.30．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件： ① ()()(,)01x f x a g x a a >≠⋅=； ② ()0g x ≠；③ ()()()()f x g x f x g x ''>⋅⋅，若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则log 1>a x 成立的x 的取值范围是________．解：由已知g(x)≠0,所以得()()x f x a g x =, 于是有()()()()()()20xf xg x f x g x a g x '-''=<成立，所以()()x f x a g x =是R 上的减函数，即有01a << 又由(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-,代入得152a a -+=,得12a =，（2a =舍去）所以有：11221log log 1log 2a x x =>=,可得102x <<，故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

导数中的构造函数(最全精编)

1、利用 f (x ) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x ),f (x )；这类形式是对u ⋅ v , u型数导数计算的推广及应用，我们对u ⋅ v , u的导函数观察可得知， u ⋅ v 型导函数中体现的是“ + ”法， u型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“ + ”法形式时，优先考虑构造u ⋅ v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造 u，我们根据得出的“优先”原则，看一看例 1，例 2.【例 1】 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，且f (-4) = 0 ，则不等式 xf (x ) > 0 的解集为【解析】构造 F (x ) = xf (x ) ，则 F ' (x ) = f (x ) + xf ' (x ) ，当 x < 0 时，f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，可以推出 x < 0 ， F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递减.∵ f (x ) 为偶函数， x 为奇函数，所以 F (x ) 为奇函数， ∴ F (x ) 在 (0,+∞) 上也单调递减. 根据 f (-4) = 0 可得F (-4) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x ) > 0 的解集为(-∞,-4) ⋃ (0,4) .❀❀❀思路点拨：出现“ + ”形式，优先构造 F (x ) = xf (x ) ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

构造函数(含答案)

构造函数专练-最新,经典试题,通用

20、【答案】C令，，则．因为，所以，所以函数在上单调递增．易得，因为函数的定义域为，所以，解得，所以不等式等价于，即．又，所以，所以等价于．因为函数在上单调递增，所以，解得，结合可得．故不等式的解集是．故选C．2Biblioteka 、【答案】C ，则，，，
高谈阔论夸夸其谈口若悬河冷嘲热讽
【描写树木的词语】
树形优美高大笔直优雅自在勃勃生机
郁郁葱葱枝繁叶茂旁逸斜出
【AABB式词语】
从从容容安安全全飘飘荡荡断断续续
浩浩荡荡扭扭捏捏昏昏沉沉
【无A无B式词语】
无缘无故无边无际无声无息无忧无虑无法无天
【AABC式词语】
勃勃生机津津有味娓娓动听熠熠生辉
（2）若已知，可构造函数：分析问题；
（3）若已知，可构造函数：分析问题；
（4）若已知，可构造函数：分析问题.
14、【答案】A函数f(x)是定义在R上的单调增函数，f'(x)是f(x)的导函数，
所以，由＜x可得，即，
令，则，所以g(x)为增函数，所以g(2018)<g(2019)，即 < ，故选A.
，，则是增函数，，
，
即，，解得，故选 .
12、【答案】A令，则，
可设，，所以
解不等式，即，所以
解得，所以不等式的解集为故选：A
13、【答案】A由可得，
设，则，
，在上为减函数，又由，可得， .故选：A.
【点睛】
常见的利用导数的不等关系构造函数的类型：
（1）若已知，可构造函数：分析问题；
(戴)戒指(掏)耳朵(强硬)的曲线 (优美)的曲线

构造函数题型

第1页共2页 ◎ 第2页共2页1．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()23'f x x f x =-，当(),0x ∈-∞时，则实数m 的取值范围是（） A ．[)2,-+∞ 2．已知函数 ()()2ln x x f x e e x -=++，则使得()()23f x f x >+ 成立的x 的取值范围是（） A.()1,3- B.()(),33,-∞-+∞ C.()3,3- D.()(),13,-∞-+∞ 3．已知函数()f x 的导数为()f x '，且()()()10x f x xf x '++>对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（）A ．()f x B ．()xf x C ．()x e f x D ．()x xe f x 4．已知()f x 是R 上的减函数，其导函数'()f x 满足那么下列结论中正确的是（） A ．x R ∀∈，()0f x D ．当且仅当(1+)x ∀∈∞，，()0f x > 5．定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有()()4f x f x =-，且其导函数()f x '满足()()20x f x '->，则当24a <<时，有（）A ．()()()222log a f f f a <时，()()'0xf x f x -<成立，记则（）A ．a b c <<B ．b a c << C ．c a b <<D ．c b a << 8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x ≠时，()22b f =--，） A ．a b c << B ．a c b<< 9．已知函数，则关于的不等式的解集是（） A ． B ． C ． D ． 10．设奇函数()fx 在R 上存在导数()'f x,且在()0,+∞上()2'fx x <,若则实数m 的取值范围为（） A 1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭11．函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f 且有'3()()0f x xf x +<，则不等式3(2016)(2016)8(2)0x f x f +++-<的解集为（）12．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （2）＝0，当x>0恒成立，则不等式x 2f （x ）>0的解集是（）A ．（－2,0）∪（2，＋∞） B ．（－2,0）∪（0,2）C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－2）∪（0,2） 13．设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为14．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x ->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 15．已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足4)1(=f ，且)(x f 的导函数满足3)(<'x f ，则不等1ln 3)(ln +>x x f 的解集为（）A ．),1(+∞ B ．),(+∞e C ．)1,0( D ．),0(e参考答案1．A【解析】试题分析：不妨取A. 考点：1、函数的导数；2、函数与不等式.【方法点晴】本题函数的导数、函数与不等式，涉及分函数与不等式思想、特殊与一般思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用特殊与一般思想，不妨取特殊函数用特殊与一般思想解题具有四两拨千斤的功效.2．D【解析】试题分析：因为()()()22ln ()ln ()x x x x f x e e x e e x f x ---=++-=++=，所以函数()f x 是偶函数.易知函数x x y e e -=+在(0,)x ∈+∞是增函数，所以函数()()2ln x x f x e e x -=++在(0,)x ∈+∞也是增函数，所以不等式()()23f x f x >+等价于|2||3|x x >+，解得1x <-或3x >.考点：1、函数的奇偶性性与单调性；2、不等式的解法.3．D【解析】试题分析：设()()x f xe x F x =,则()()()()()()()[]x f x x f x e x f xe x f e x x F x x x '++='++='11, ()()()01>'++∴x f x x f x 对R x ∈恒成立,且()()x F x F e x ∴>'∴>,0,0在R 上递增,故选D.考点：导数的应用.4．C【解析】试题分析：因()f x 是定义在R 上的减函数，'()f x 0<，所以)()(f )(x f x x x f '>∙'+，所以0)1)(()(>-'+x x f x f ，所以0])()1[(>'-x f x ，所以函数)()1x y x f -=（在R 上单调递增，而1x =时，0y =，则0y 1x <<时，，当1x >时，,01x >-故0)(>x f ，又()f x 是定义在R 上的减函数，所以1x ≤时，0)(>x f 也成立，∴()0f x >对任意R x ∈成立．考点：导数的综合应用.【方法点晴】本题是一道函数与导数相结合的小综合题，难度中等.利用好条件有关问题.本题的难点是处理问题眼光不要太狭窄，要善于居高临下处理问题，本题局限在()f x 上很难突破，而依据条件把问题转移到新函数)()1x y x f -=（上，问题就豁然开朗了. 5．C【解析】试题分析：∵函数()f x 对任意R x ∈都有()()4f x f x =-，∴函数()f x 对任意R x ∈都有()()x f x f -=+22，∴函数()f x 的对称轴为2=x ，∵导函数()x f '满足()()20x f x '->，∴函数()f x 在()+∞,2上单调递增，()2,∞-上单调递减，∵42<<a ，∴1624<<a ，∵函数()f x 的对称轴为2=x ，∴()()a f a f 22l o g 4l o g -=，∵42<<a ，∴2l o g 12<<a ∴3log 422<-<a ∴a a 2log 422<-<，∴()()()a f a f f 2l o g422<-<，∴()()()22log 2a f f a f <<，故选C. 考点：（1）函数的图象；（2）利用导数研究函数的单调性.6．B【解析】由图可知,当0<x 时,()0>'x f,即()x f 在()0,∞-单调递增；,()0<'x f ,即()xf 在,()0>'x f ,即()x f .而()x f '和()x f 的交点为4,1,0===x x x ,所以,在()1,0和()+∞,4时,()()x f x f <',即()0<'x g ,故选B.考点：函数的单调性.7．C【解析】在(0,)+∞上单调递减，又20.220.2122log 5<<<<，所以c a b <<，选C. 考点：导数应用【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系8．D【解析】试题分析：构造函数)()(x xf x g =，则)(')()('x xf x f x g +=，由已知，)(x g 为偶函数，0)(')(<+x xf x f ，即0)('<x g ，所以函数)(x g 在所以，即a c b <<．考点：导数的应用．9．A【解析】试题分析：因为的定义域为，且，所以函数是奇函数，又因为在上为增函数，所以可化为，则，解得；故选A ．考点：1．函数的单调性；2．函数的奇偶性．【易错点睛】本题考查对数函数的运算性质、正弦函数的奇偶性、函数的奇偶性、单调性的综合应用，属于中档题；解决本题的关键在于先判定函数的奇偶性，再将不等式转化为的形式，再利用函数的单调性将问题转化成的形式，再利用不等式的性质进行求解，但要注意定义域的限制范围．10．B【解析】试题分析：所以函数()g x 的奇函数，因为(0,)x ∈+∞时，()2()0g x f x x ''=-<，所以函数()g x 在(0,)+∞为减函数，又题意可知，()00,(0)0f g ==，所以函数()g x 在R 上为减函数，所即(1)()g m g m -≥，所以1m m -≤，故选B.考点：函数的奇偶性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键.11．A【解析】试题分析：依题意，有()()()'32'30x f x x f x xf x ⎡⎤⎡⎤=+<⎣⎦⎣⎦，故()3x f x 是减函数，原不等式化为()()()()332016201622x f x f ++<--，即()020162,2018,2x x >+>-∈--. 考点：函数导数与不等式、构造函数．【思路点晴】构造函数法是解决导数与不等式有关题型的常见方法.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．12．D【解析】试题分析：因为当0>x 时，在()+∞,0内单调递减．因为()02=f ，所以在()2,0内恒有()0>x f ；在()+∞,2内恒有()0<x f ．又因为()x f 是定义在R 上的奇函数，所以在()2,-∞-内恒有()0>x f ；在()0,2-内恒有()0<x f ．又不等式()02>x f x 的解集，即不等式()0>x f 的解集．故答案为：()()2,02,⋃-∞-，选D.考点：函数的单调性与导数的关系.【思路点晴】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判后利用导函数的正负性，在()+∞,0内单调递减；再由()02=f ，易得()x f 在()+∞,0内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得()x f 在()0,∞-内的正负性．则()()002>⇔>x f x f x 的解集即可求得．13．B【解析】试题分析：，()g x 为奇函数，在),0(+∞上()'()0g x f x x '=-< ，()g x 在),0(+∞上递减，在(),0-∞上也递减，由()00g = 知，()g x 在R 上递减，m m f m f 48)()4(-≥--可得()()4,4,2g m g m m m m -≥-≤≥，即实数m 的取值范围为),2[+∞，故选B. 考点：1、抽象函数的求导法则；2、函数的单调性及构造函数解不等式.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题根据R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，联想到函数进而得出正确结论.14．B【解析】试题分析：考虑取特殊函数3()f x x x =-，是奇函数，且(1)0f -=，2'()31f x x =-，当0x >时，'233()()(31)()2xf x f x x x x x x -=---=>0，满足题设条件.直接研究函数3()f x x x =-，图象如下图，可知选B 答案.考点：1、函数的奇偶性；2、导数在研究函数的单调性中的应用；3、导数在研究函数的极值中的应用.【思路点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、导数在研究函数的单调性中的应用和导数在研究函数的极值中的应用，考查学生综合知识能力，渗透着转化与化归的数学思想，属中档题.其解题的方法运用的是特值法，将抽象问题具体化，找出与已知条件符合的特殊函数，分析其函数的图像及其性质，进而得出所求的结果，其解题的关键是特值函数的正确选取.15．D【解析】试题分析：令ln t x =，则；1ln 3)(ln +>x x f ，()31,()310f t t f t t >+-->，可构造函数，()=f(t)-3t-1,()=f (t)-3,f (t)<3,()0g t g t g t ''''<，为减函数．又，4)1(=f 可得；(1)(1)310g f =--=，使1ln 3)(ln +>x x f 成立，即；1,ln 1,(0,)t x x e <<∈考点：导数与函数的单调性及构造能力．。

构造函数法

f ( 2) 4 f (1)
D、 2
f ( 2) 3 f (1)
/ 2、对于 x R ，函数 f ( x) 的导数存在，若 f ( x) f ( x) ，且a 0，则下列说法正确的是（
）
A、 f ( a ) e a f ( 0 )
B、 f (a ) ea f (0)
） D、 1,0
A、 4,3
B、 3,2
C、 2,1
/ 5 、 (2015 全国 II 卷）已知 f ( x) 为奇函数 f ( x)( x R) 的导函数， f (1) 0 ，当 x 0 时，
x f ( x) f ( x) 0 ，则使得 f ( x) 0 成立的 x 取值范围（
2
/

f ( x) sin 2 x - 2sinx cos xf ( x) f ( x) sin x - 2 cos xf ( x) 4 3 sin x sin x
/
/
cos x / tan xf ( x) 2 f ( x) 3 sin x
/

/
tan x f ( x) 2 f ( x) / sin x 0 F
f ( x) F ( x) cos x
/ /
f ( x) cos x f ( x) sin x f ( x) f ( x) tan x 2 cos x cos x
/
/
/
f ( x) cos x 2 sin xf ( x) f ( x) 2 tan xf ( x) 0 F
2016 年 09 月 02 日

（ 1）
二、关系为“-”的组合：

构造函数法

构造函数法第一篇：构造函数法函数与方程数学思想方法是新课标要求的一种重要的数学思想方法，构造函数法便是其中的一种。

高等数学中两个重要极限1．limsinx=1 x→0x11x2．lim(1+)=e（变形lim(1+x)x=e）x→0x→∞x由以上两个极限不难得出，当x>0时1．sinx<x，2．ln(1+x)<x（当n∈N时，(1+)n<e<(1+)n+1）．下面用构造函数法给出两个结论的证明．（1）构造函数f(x)=x-sinx，则f'(x)=1-cosx≥0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)>f(0)=0．所以x-sinx>0，即sinx<x．（2）构造函数f(x)=x-ln(1+x)，则f'(x)=1-*1n1n1x=>0．所以函数f(x)在1+x1+x(0,+∞)上单调递增，f(x)>f(0)=0，所以x>ln(1+x)，即ln(1+x)<x．⎛1⎫要证 1+⎪⎝n⎭事实上：设1+n+11⎛1⎫>e,两边取对数，即证ln 1+⎪>, nn+1⎝⎭11=t,则n=(t>1), nt-11因此得不等式lnt>1-(t>1)t1构造函数g(t)=lnt+-1(t>1),下面证明g(t)在(1,+∞)上恒大于0． t 11g'(t)=-2>0, tt∴g(t)在(1,+∞)上单调递增，g(t)>g(1)=0, 即lnt>1-, 1t1⎛1⎫⎛1⎫∴ ln 1+⎪>,∴ 1+⎪⎝n⎭⎝n⎭n+1n+1>e,以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用．第二篇：构造法之构造函数构造法之构造函数⎧：题设条件多元-构造一次函数⎪⎪B：题设有相似结构-构造同结构函数主要介绍⎨⎪C：题设条件满足三角特性-构造三角函数⎪D：其它方面——参考构造函数解不等式⎩A、题设条件多元时，选择构造一次函数例1、已知x.y.z∈(0,1).求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1（第15届俄罗斯数学竞赛题）分析此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。

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经典考题整理
构造函数
2015全国卷2的12题
设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数，,0)()(,0,0)1('<->=-x f x xf x f 时当则使得0)(>x f 的成立的x 的取值范围（）
A 、)1,0()1,( --∞
B 、),1()0,1(+∞-
C 、)0,1()1,(---∞
D 、),1()1,0(+∞ 提示：x
x f x F )()(= 恒成立，则（）若其导函数为上的函数、设定义在x x f x f x f x f tan )()(),(),()2
,0(1''<π
A 、
)3(2)4(3ππf f > B 、1sin )6(2)1(πf f < C 、)4()6(2ππf f > D 、
)3()6(3ππf f < 提示：x x f x F sin )()(=
2、若定义域为R 的函数f(x),满足f(0)=1, ,1)()('+<x f x f 则不等式 x e x f 21)(<+的解集为（）
A 、}{1/>x x
B 、}{10/<<x x
C 、}{0/<x x
D 、{}0/>x x 提示：x e x f x F 1)()(+=
3、已知f(x)为定义域在),0(+∞上的可导函数，且)()('
x xf x f >，则不等式
0)()1(2<-x f x f x 的解集为。

提示：构造0)()1(,)()(<-=x H x H x x f x H 。

4、设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数，f(-1)=0,当x>0时，0)()('<+x f x xf ，则使得xf(x)>0成立的x 的取值范围。

（提示：)()(),()(x h x h x xf x h -==）
5、函数f(x)是定义在区间),0(+∞上的可导函数，其导函数为)('
x f ，且满足,0)(2)('>+x f x xf 则不等式
)4(16)2015()2015(2
f x f x <++的解集为 A 、{}2015
|->x x B 、{}2015|-<x x C 、
{}20112015|-<<-x x D 、{}02011|<<-x x （提示：)()(2x f x x g =）
6、设)('
x f 为函数f(x)的导函数，已知
x x xf x f x ln )()('2=+，21)1(=f ，则下列结论正确的是（）
A 、xf(x)在区间),0(+∞上是单调递增
B 、xf(x)在区间),0(+∞上是单调递减
C 、xf(x)在区间),1(+∞上有极大值21
D 、xf(x)在区间),1(+∞上有极小值21 （提示：x x x f x xf x h ln )()()('
=+=） 7、定义在区间（0，+∞）上的函数0)(>x f 且)(2)()('
x f x xf x f <<恒成立，其中)()('
x f x f 为的导函数，则（）
A 、41)2()1(81<<f f
B 、21)2()1(41<<f f
C 、1)2()1(21<<f f
D 、41)2()1(0<<f f （提示：2)(,)(x x f x x f ）
8、已知)(x f 为R 上的可导函数，且,R x ∈∀ 均有)()('x f x f >，则有（）
A 、)2016()0(),0()2016(20162016->>f e f f e f。