郑州市2018年高中毕业班第一次质量预测理科数学试卷含答案
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题(本题共12小题，每小题5分,共60分）1．（5分)已知集合A={x｜x2﹣2x﹣3＞0｝，B=N，则集合（∁R A）∩B中元素的个数为（)A．2B．3C．4D．52．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(）A．﹣6B．13C．D．3．（5分）已知f（x)=sinx﹣tanx，命题p:∃x0∈（0，）,f（x0）＜0，则（）A．p是假命题,￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f(x0）≥0C．p是真命题,￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题,￢p：∃x0∈（0，)，f（x0）≥04．(5分）已知程序框图如图，则输出i的值为（）A．7B．9C．11D．135．（5分）2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1）班、(2)班，(3）班、(4）班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中（1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（)A．18种B．24种C．48种D．36种6．(5分）《九章算术》是我国古代数学名著,在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,若某阳马”的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（）A．1+B．1+2C．2+D．2+27．(5分）设不等式组表示的平面区域为D,若圆C:（x+1)2+y2=r2（r＞0）不经过区域D上的点，则r的取值范围为()A．（0，）∪（,+∞）B．（，+∞）C．(0，）D．［，］8．（5分)若等边三角形ABC的边长为3,平面内一点M满足6﹣3=2，则•的值为(）A．﹣B．﹣2C．2D．9．（5分）关于函数f(x)=3sin（2x﹣）+1（x∈R），下列命题正确的是(）A．由f（x1)=f（x2)=1可得x1﹣x2是π的整数倍B．y=f（x)的表达式可改写成f(x）=3cos（2x+）+1C．y=f（x）的图象关于点（，1）对称D．y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称10．（5分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1,若对于x∈[1，3］，f（x）＜﹣m+4恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0］B．C．D．11．（5分)设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若双曲线的渐近线被圆M：x2+y2﹣10x=0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点,顶点P在双曲线上，则的值等于（）A．B．C．D．12．（5分)已知定义在R上的函数f（x）和g（x)分别满足f（x）=，e2x﹣2+x2﹣2f（0)•x,g′（x)+2g（x）＜0，则下列不等式恒成立的是（）A．g(2016）＜f（2）•g（2018)B．f（2）•g（2016）＜g（2018）C．g（2016）＞f（2）•g（2018）D．f（2)•g（2016）＞g（2018）二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13．(5分）设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式(a﹣）6的展开式中含x2项的系数为．14．（5分）若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f(a+b）的值为．15．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为．16．(5分）如图，OA,OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区﹣区域I和区域Ⅱ，点C在上,∠COA=θ，CD∥OA,其中，半径OC及线段CD需要用渔网制成．若∠AOB=,OA=1，则所需渔网的最大长度为．三、解答题（共70分)17．（12分)已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2,a n＞0,6S n=+3a n+2，n∈N ＊．（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）若对∀n∈N＊，b n=(﹣1)n，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18．（12分)如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°，DC=DA=2AB=2，点E为AD的中点，BD∩CE=H，PH⊥平面ABCD，且PH=4．（1)求证：PC⊥BD；（2)线段PC上是否存在一点F，使二面角B﹣DF﹣C的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19．(12分)某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（1）估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2）假设在（90,100]段的学生中有3人得满分100分,有2人得99分,其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．20．（12分)已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，点(2，4）在抛物线C2上．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A,B两点，M（0，2），直线AM与BM 的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点N，使｜AN｜=｜BN｜,求△ABN的面积的最小值．21．（12分)已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx(a,b∈R），其导函数为y=f′（x)．（1)当b=2时,若函数y=f′（x)在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）设a≠0，点P(m，n)（m,n∈R）是曲线y=f（x)上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m）使得f（x0）﹣n=f′（)（x0﹣m）成立？并证明你的结论．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]22．(10分)在直角坐标系xOy中，已知直线l1：（t为参数），l2:（t为参数）,其中α∈(0，），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（1）写出l1，l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设l1，l2分别与曲线C交于点A,B(非坐标原点），求｜AB｜的值．［选修4—5：不等式选讲］23．设函数f（x）=|x﹣a|（a＞0）．(1）当a=2时,解不等式f（x）≥1﹣2x；（2）已知f（x）+|x﹣1｜的最小值为3，且m2n=a（m＞0,n＞0），求m+n的最小值．2018年河南省高考数学一模试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分）1．【分析】可先求出集合A=｛x｜x＜﹣1，或x＞3｝,然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：A=｛x|x＜﹣1，或x＞3｝；∴∁R A={x|﹣1≤x≤3};∴（∁R A)∩B={0，1,2，3}．故选：C．【点评】考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念,交集和补集的运算．2．【分析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a的值．【解答】解：由复数==是纯虚数，则,解得a=﹣6．故选:A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3．【分析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（x）=sinx﹣tanx,x∈（0,）,当x=时，∴f(x）=，命题p：∃x0∈（0,)，f(x0)＜0，是真命题,命题p:∃x0∈（0，）,f（x0）＜0，则￢p：∀x∈(0，），f（x）≥0．故选:C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值,模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=1，i=3；当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=3，i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15，i=7；当S=15时，不满足退出循环的条件,故S=105,i=9；当S=105时，不满足退出循环的条件,故S=945,i=11;当S=945时，不满足退出循环的条件,故S=10395，i=13；当S=10395时,满足退出循环的条件，故输出的i=13，故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．【分析】分类讨论，第一类,一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类,一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3×4=12种．第二类,一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B．【点评】本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力,属于中档题．6．【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD⊥底面ABCD，且侧棱AD=1,∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形,且PA=PC=，∴四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2S△SAD+2S△SAB=1+2××1×1+2××1×=2+．故选：C．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部，而圆C表示以（﹣1，﹣1)为圆心且半径为r的圆．观察图形，可得半径r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1，1），N（2，2），P（1，3)∵圆C:(x+1）2+y2=r2（r＞0)表示以C（﹣1，0)为圆心，半径为r的圆,∴由图可得，当半径满足r＜CM或r＞CP时,圆C不经过区域D上的点，∵CM==,CP==．∴当0＜r＜或r＞时，圆C不经过区域D上的点，故选：A．【点评】本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围．着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识,属于中档题．8．【分析】根据条件可先求出，而由即可得出,这样即可用分别表示出，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：等边三角形ABC的边长为3;∴；;∴；∴==，=；∴===﹣2．故选:B．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9．【分析】根据函数f（x)=3sin（2x﹣）+1(x∈R）,结合三角函数的性质即可判断各选项．【解答】解：函数f(x）=3sin(2x﹣）+1（x∈R)，周期T=，对于A：由f（x1)=f（x2）=1，可能x1与x2关于其中一条对称轴是对称的，此时x1﹣x2不是π的整数倍；∴A 不对．对于B：由诱导公式，3sin（2x﹣)+1=3cos［﹣（2x﹣)］+1=3cos（2x﹣）+1．∴B不对．对于C:令x=，可得f(）=3sin（2×﹣）+1=﹣1=，∴C不对，对于D:当x=﹣时，可得f（）=3sin（﹣﹣）+1=﹣1×3+1=﹣2，f(x）的图象关于直线x=﹣对称．故选：D．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ)的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10．【分析】利用分离参数法,再求出对应函数在x∈［1，3］上的最大值，即可求m 的取值范围．【解答】解：由题意，f（x)＜﹣m+4，可得m(x2﹣x+1）＜5．∵当x∈[1，3］时，x2﹣x+1∈[1,7］，∴不等式f（x）＜0等价于m＜．∵当x=3时，的最小值为，∴若要不等式m＜恒成立,则必须m＜，因此，实数m的取值范围为(﹣∞，），故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11．【分析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再根据点到直线的距离公式可得=4,得到5b=4c，即可求出a=c，根据正弦定理可得===【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=x，双曲线的渐近线被圆M：x2+y2﹣10x=0，即（x﹣5）2+y2=25所截得的两条弦长之和为12,设圆心到直线的距离为d，则d==4，∴=4，即5b=4c，即b=c∵a2=c2﹣b2=c2，∴a=c，∴|AP﹣BP|=2a,由正弦定理可得===2R，∴sinB=，sinA=,sinP=，∴===,故选：C．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12．【分析】f(x）=e2x﹣2+x2﹣2f（0）•x，令x=0，则f（0）=．由f′（x）=f′(1）•e2x﹣2+2x﹣2f（0）,令x=1，可得f（0）．进而得出f′（1)，f(x），f （2）．令h（x）=e2x g（x），及其已知g′(x)+2g（x）＜0，可得h′（x)=e2x[g′（x）+2g（x）]＜0，利用函数h（x)在R上单调递减，即可得出．【解答】解：f（x)=e2x﹣2+x2﹣2f（0）•x，令x=0，则f（0)=．∵f′（x）=f′(1）•e2x﹣2+2x﹣2f（0)，令x=1,则f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），解得f(0）=1．∴f′（1）=2e2．∴f（x）=e2x+x2﹣2x，∴f（2)=e4．令h（x)=e2x g（x），∵g′(x）+2g（x)＜0，∴h′（x）=e2x g′（x）+2e2x g（x)=e2x［g′(x）+2g（x）］＜0，∴函数h（x)在R上单调递减，∴h(2016）＞h（2018），∴e2016×2g（2016）＞e2018×2g(2018），可得:g（2016)＞e4g（2018）．∴g(2016）＞f（2）g(2018)．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力,属于难题．二、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）13．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）｜=﹣1﹣1=﹣2，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1=26﹣r C6r•x3﹣r，令3﹣r=2,求得r=1，故含x2项的系数为26﹣1C61=192．故答案为:192【点评】本题主要考查定积分、二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．【分析】由已知中函数f(x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，可得a，b的值，进而可得f（a+b）的值．【解答】解：∵函数f（x)==为奇函数，故f（﹣x）=﹣f（x）恒成立,故．即，∴f（x)=，∴f（a+b)=f（1）=1﹣2=﹣1，故答案为:﹣1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的奇偶性,函数求值,难度中档．15．【分析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长,即可求出AA1的长度．【解答】解:由题意,△ABC的外接圆即为球的大圆，r=2，设底面△ABC外接圆圆心G，即GA=GB=GC=2，从而正三角形ABC边长2,设球心O,由题意，E、D在球面上,OE=OD=2,F为DE中点，则OF⊥DE，OF=GD=GC=1，在Rt△OEF中，OE=2，OF=1，∴EF=，∴DE=2，∴AA1=2．故答案为：2．【点评】本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系,通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力,逻辑推理能力．16．【分析】确定∠COD，在△OCD中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式,利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】解：由CD∥OA,∠AOB=,∠AOC=θ，得∠OCD=θ,∠ODC=，∠COD=﹣θ;在△OCD中，由正弦定理，得CD=sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ),可得f（θ）=θ+1+sin(﹣θ）,所以f′(θ）=1﹣cos（﹣θ）,因为θ∈(0，），所以﹣θ∈（0，），令f′（θ)=0，得cos（﹣θ)=，所以﹣θ=，所以θ=．θ（0,）（,）f′（θ）+0﹣f（θ）极大值所以f（θ)∈（2,］．故所需渔网长度的最大值为．【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题,是难题．三、解答题（共70分）17．【分析】（1）6S n=+3a n+2,n∈N＊．n≥2时，6a n=6S n﹣6S n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3)=0,由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1=3，n=1时，6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2）b n=(﹣1）n=（﹣1）n（3n﹣2）2．b2n﹣1+b2n=﹣(6n﹣5）2+（6n﹣2）2=3（12n﹣7）=36n﹣21．利用分组求和即可得出．【解答】解：（1）6S n=+3a n+2，n∈N*．n≥2时，6a n=6S n﹣6S n﹣1=+3a n+2﹣（+2)，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=3，n=1时,6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得a1=1．∴数列{a n｝是等差数列，首项为1，公差为3．∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2)b n=（﹣1）n=（﹣1）n（3n﹣2）2．+b2n=﹣（6n﹣5）2+(6n﹣2)2=3（12n﹣7）=36n﹣21．∴b2n﹣1∴数列｛b n｝的前2n项的和T2n=36（1+2+……+n）﹣21n=﹣21n=18n2﹣3n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（1)推导出△BAD≌△EDC,∠DBA=∠DEH,从而BD⊥EC，由PH⊥平面ABCD，【分析】得BD⊥PH,由此能证明BD⊥平面PEC，从而PC⊥BD．（2）推导出PH、EC、BD两两垂直,建立以H为坐标原点,HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系,利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F 满足CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【解答】证明：(1）∵AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠EDC=∠BAD=90°,∵DC=DA=2AB，E为AD的中点，∴AB=ED，∴△BAD≌△EDC,∴∠DBA=∠DEH，∵∠DBA+∠ADB=90°,∴∠DEH+∠ADB=90°，∴BD⊥EC,又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH，又∵PH∩EC=H，且PH,EC⊂平面PEC，∴BD⊥平面PEC，又∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD．解：（2）由(1）可知△DHE∽△DAB，由题意得BD=EC=5，AB=DE=，∴,∴EH=1，HC=4，DH=2,HB=3，∵PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，H(0，0，0）,B（3，0，0)，C（0，4，0)，D（﹣2，0，0），P（0，0，4）,假设线段PC上存在一点F满足题意，∵与共线,∴存在唯一实数λ，（0≤λ≤1)，满足=λ，解得F（0，4﹣4λ，4λ),设向量=（x,y,z）为平面CPD的一个法向量,且=（0,﹣4，4），=(﹣2，﹣4,0）,∴，取x=2,得=（2，﹣1,﹣1），同理得平面CPD的一个法向量=(0，λ，λ﹣1），∵二面角B﹣DF﹣C的余弦值是，∴|cos＜＞｜===，由0≤λ≤1,解得λ=，∴=,∵CP=4,∴线段PC上存在一点F,当点F满足CF=3时,二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【点评】本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是中档题．19．【分析】（1)把组中值看作各小组的平均数,根据加权平均数公式计算;（2）根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．【解答】解:（1）=45×0。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)-(含解析)
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.已知集合，，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 52.若复数i为虚数单位是纯虚数，则实数a的值为A. B. 13 C. D.3.已知，命题p：，，则A. p是假命题，￢：，B. p是假命题，￢：，C. p是真命题，￢：，D. p是真命题，￢：，4.已知程序框图如图，则输出i的值为A. 7B. 9C. 11D. 135.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中班、班，班、班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学乘同一辆车的4名同学不考虑位置，其中班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种6.《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为A.B.C.D.7.设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为A. B.C. D.8.若等边三角形ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为A. B. C. 2 D.9.关于函数，下列命题正确的是A. 由可得是的整数倍B. 的表达式可改写成C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称10.设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围为A. B. C. D.11.设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆M：所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于A. B. C. D.12.已知定义在R上的函数和分别满足，，，则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.13.设，则二项式的展开式中含项的系数为______．14.若函数为奇函数，则的值为______．15.已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为______．16.如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区区域I和区域Ⅱ，点C在上，，，其中，半径OC 及线段CD需要用渔网制成若，，则所需渔网的最大长度为______．三、解答题17.已知为数列的前n项和，且，，，．求数列的通项公式；若对，，求数列的前2n项的和．18.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且求证：；线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19.某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩均为整数的频率分布直方图如图所示．估计这次考试数学成绩的平均分和众数；假设在段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为，求的分布列及数学期望．20.已知椭圆：的离心率为，右焦点F是抛物线：的焦点，点在抛物线上求椭圆的方程；已知斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，，直线AM与BM的斜率乘积为，若在椭圆上存在点N，使，求的面积的最小值．21.已知函数，其导函数为当时，若函数在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．22.在直角坐标系xOy中，已知直线：为参数，：为参数，其中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出，的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；设，分别与曲线C交于点A，非坐标原点，求的值．23.设函数．当时，解不等式；已知的最小值为3，且，求的最小值．答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. D5. B6. C7. A8. B9. D10. D11. C12. C13. 19214.15.16.17. 解：，．时，，化为：，，，时，，且，解得．数列是等差数列，首项为1，公差为3．．．．数列的前2n项的和．18. 证明：，，，，E为AD的中点，，≌ ，，，，，又平面ABCD，平面ABCD，，又，且PH，平面PEC，平面PEC，又平面PEC，．解：由可知 ∽ ，由题意得，，，，，，，、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，0，，0，，4，，0，，0，，假设线段PC上存在一点F满足题意，与共线，存在唯一实数，，满足，解得，设向量y，为平面CPD的一个法向量，且，，，取，得，二面角的余弦值是，，由，解得，，，线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．19. 解：分，众数为75分．分以上的人数为人．的可能取值为2，3，4，，，．的数学期望是．20. 解：点在抛物线上，，解得，椭圆的右焦点为，，椭圆：的离心率为，，，，椭圆的方程为，设直线l的方程为，设，，由，消y可得，，，，直线AM与BM的斜率乘积为，，解得，直线l的方程为，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得，，垂直平分线段AB，当时，设直线ON的方程为，同理可得，，当时，的面积也适合上式，令，，，则，当时，即时，的最小值为．21. 解：当时，，，，，由题意得，即，令，则，解得，当时，，单调弟增，当时，，单调递减，，当时，，当时，，由题意得当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则有，即，，，即，，，令，则，两边同时除以，得，即，令，，令在上单调递增，且，对于恒成立，即对于恒成立，在上单调递增，，对于恒成立，不成立，同理，时，bngidnuu，不存在实数使得成立．22. 解：，的极坐标方程为，．曲线C的极坐标方程方程为即得，利用，得曲线C的直角坐标方程为．因为，，所以，所以的值为．23. 解：当时，，得，故，当时，，得，故，综上，不等式的解集是；的最小值是3，，故，，当且仅当即，时取“”．【解析】1. 解：，或；；1，2，．可先求出集合，或，然后进行交集、补集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．2. 解：由复数是纯虚数，则，解得．故选：A．利用复数的除法运算化简为的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3. 解：，，当时，，命题p：，，是真命题，命题p：，，则￢：，．故选：C．利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4. 解：当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，满足退出循环的条件，故输出的，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为，故有种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为，这时共有种，根据分类计数原理得，共有种不同的乘车方式，故选：B．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．6. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱底面ABCD，且侧棱，四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且，四棱锥的表面积为．底面故选：C．由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7. 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，圆C：表示以为圆心，半径为r的圆，由图可得，当半径满足或时，圆C不经过区域D上的点，，当或时，圆C不经过区域D上的点，故选：A．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，而圆C表示以为圆心且半径为r的圆观察图形，可得半径或时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．8. 解：等边三角形ABC的边长为3；；；；，；．故选：B．根据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，然后进行数量积的运算即可．考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9. 解：函数，周期，对于A：由，可能与关于其中一条对称轴是对称的，此时不是的整数倍；不对．对于B：由诱导公式，不对．对于C：令，可得，不对，对于D：当时，可得，的图象关于直线对称．故选：D．根据函数，结合三角函数的性质即可判断各选项．本题主要考查利用的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10. 解：由题意，，可得．当时，，不等式等价于．当时，的最小值为，若要不等式恒成立，则必须，因此，实数m的取值范围为，故选：D．利用分离参数法，再求出对应函数在上的最大值，即可求m的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11. 解：双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的渐近线被圆M：，即所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则，，即，即，，，由正弦定理可得，，，，，故选：C．根据垂径定理求出圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可得，得到，即可求出，根据正弦定理可得本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：，令，则．，令，则，解得．．，．令，，，函数在R上单调递减，，，可得：．．故选：C．，令，则由，令，可得进而得出，，令，及其已知，可得，利用函数在R上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13. 解：由于，的通项公式为，令，求得，故含项的系数为．故答案为：192根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：函数为奇函数，故恒成立，故即，，，故答案为：．由已知中函数为奇函数，恒成立，可得a，b的值，进而可得的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15. 解：由题意，的外接圆即为球的大圆，，设底面外接圆圆心G，即，从而正三角形ABC边长，设球心O，由题意，E、F在球面上，，F为DE中点，则，，在中，，，，，．故答案为：．由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出的长度．本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．16. 解：由，，，得，，；在中，由正弦定理，得，，设渔网的长度为，可得，所以，因为，所以，令，得，所以，所以．所以故所需渔网长度的最大值为．确定，在中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题．17. ，时，，化为，由，可得，时，，且，解得利用等差数列的通项公式可得．利用分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 推导出 ≌ ，，从而，由平面ABCD，得，由此能证明平面PEC，从而．推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19. 把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算；根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．20. 先求出p的值，即可求出c的值，根据离心率求出a的值，即可得到椭圆方程，设直线l的方程为，设，，由，根据直线AM与BM的斜率乘积为，求出，再根据弦长公式求出和，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．21. 当时，，，，，由题意，令，则，解得，由此能求出当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则，利用导数性质推导出不存在实数使得成立．本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．22. 考查直线，参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化重点都是消去参数t．利用，极坐标方程，结合余弦定理，计算出的长度．考查极坐标方程与参数方程，普通方程的互化记准互化公式和原则是关键，属于中档题目．23. 通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．。
2018郑州一模理
AC AG
2
物线定义，
BE BF 3 ==
AG AF xA + 1
，因为
BE = BF = xB +1 = 3 ， 所 以
xB = 2 ，
( ) ( ) B 2,−2 2 , M
5,0
，根据
A, M ,
B
三点共线，设
A
y2 4
,
y
，则有
22 5−2
=
y2
y −
，
5
4
( ) ( )( ) 可得 2y2 − 2 5 + 4 y − 4 10 = 0 ， y − 2 2 2 y − 2 5 = 0 ，解得 y = 2 2, 10 ，
B． −2 或1
C． 2 或 −1
D． 2
【解析】 z = (a2 − a − 2) + (a −1)i 为纯虚数，则 (a2 − a − 2) = 0 ， (a +1) 0 ，可求得 2
3. 下列说法正确的是
A．“若 a 1，则 a2 1”的否命题是“若 a 1，则 a2 1”
9. 如图，在 ABC 中， N 为线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 P 在 BN 上且 AP = (m + 2 ) AB + 2 BC ，则实数 m 的值为
11 11
A．1
B． 1
C． 9
D． 5
3
11
11
【答案】D
【考点】向量的拆分、三点共线
( ) 【解析】 AP = (m + 2 )AB + 2 BC = (m + 2 )AB + 2 AC − AB = mAB + 2 AC ，因
河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测(模拟)理科数学试题+Word版含解析
2018年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题：共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵ ，∴．选A．2. 若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值是（）A. B. 或1 C. 2或 D. 2【答案】D【解析】由题意得，解得．选D．3. 下列说法正确的是（）A. “若，则”的否命题是“若，则”B. “若，则”的逆命题为真命题C. ，使成立D. “若，则”是真命题【答案】D【解析】选项A，否命题为“若，则”，故A不正确．选项B，逆命题为“若，则”，为假命题，故B不正确．选项C，由题意知对，都有，故C不正确．选项D，命题的逆否命题“若，则”为真命题，故“若，则”是真命题，所以D正确．选D．4. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为（）A. 50B. 70C. 90D. 120【答案】C【解析】在中，令得，即展开式中各项系数和为；又展开式中的二项式系数和为．由题意得，解得．故二项式为，其展开式的通项为，（）．令得．所以的系数为．选C．5. 等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（）A. 1B.C. 1或D. 或【答案】C【解析】．由题意得，即，两式相除整理得，解得或．选C．6. 若将函数图象上的每一个点都向左平移个单位，得到的图象，若函数是奇函数，则函数的单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，∵函数是奇函数，∴，∴，又，∴．∴．由，得．∴函数的单调递增区间为．选B．点睛：解答本题时注意以下两点：（1）函数为奇函数；函数为偶函数．（2）求函数的单调增区间时要注意解析式前面的符号的限制，此时把看作一个整体后需要代入正弦函数的单调递减区间．此处容易出错，解题时要注意．7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内的取值范围是（）A. B.。
【数学】河南省郑州市2018届高三上学期入学考试数学理试题Word版含答案
【关键字】数学郑州一中2017-2018上期高三入学测试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，（）A．B．C．D．2.已知向量均为单位向量，若它们的夹角为，则等于（）A．B．C．D．43.若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（）A．-1 B．．27 D．-274.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（）A．（）B．（）C. （）D．（）5.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面，若，，则下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中正确命题的个数是（）A．0 B．.2 D．36.阅读下面程序框图，输出的结果的值为（）A．B．. D．7.已知圆与直线相切于第三象限，则的值是（）A．B． C. D．8.若变量满足条件，则的取值范围是（）A．B． C. D．9.在中，，，，则（）A．B． C. D．10.设，若函数存在整数零点，则符合条件的的取值个数为（）A．2 B．. 4 D．511.已知双曲线（）的左、右两个焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，该双曲线的离心率为，则（）A．2 B． C. D．12.数学上称函数（，）为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：，利用这一方法，的近似代替值（）A．大于B．小于 C.等于D．与的大小关系无法确定第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数（），若，，则．14.由数学2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为．15.下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图均是高为2，底边长为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是．16.已知函数（），则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 等差数列中，已知，且为递加的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的通项公式（），求数列的前项和.18. 河南多地遭遇跨年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾，郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》，自12时将黄色预警升级为红色预警，0时启动I级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成下表：（1）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；（2）若从年龄在，两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.19. 如图所示的多面体中，是平行四边形，是矩形，面，，. （1）求证：平面平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.20. 已知椭圆（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8. （1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为的直线与椭圆交于两点，点在直线的左上方，若，且直线分别与轴交于点，求线段的长度21. 已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直. （1）试比较20172016与20162017的大小，并说明理由；（2）若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，证明：212x x e •>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，（t 为参数，[0,)απ∈），以原点O 为极点，以x 轴正关轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=.（1）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围； （2）若直线l 与曲线C 交于两点,A B ，求AB 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知()215f x x ax =-+-（05a <<） （1）当1a =时，求不等式()9f x ≥的解集； （2）如果函数()y f x =的最小值为4，求实数a 的值.试卷答案一、选择题1-5: BCAAC 6-10:CBDBC 11、12：DA二、填空题13.16.2三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意2333(2)(2)()a d a d a d -+=-， 即220d d -=，解之得2d =或0d =（舍去），所以3(3)21n a a n d n =+-=-，即21n a n =-，*n N ∈为所求 （2）当2n k =，*k N ∈时，22214nn =+-； 当21n k =-，*k N ∈时，12n k +=综上，2212221,24232,214nn n n n k S n n n k -⎧+-=⎪⎪=⎨+-⎪+=-⎪⎩，（*k N ∈）18.解：（1）补全频率分布直方图如图年示： （2）X 的所有可能的取值为0，1，2，3，2264225109015(0)45075C C P X C C ==•==， 2111264644222251051020434(1)45075C C C C C P X C C C C •==•+•==， 1112246444222251051013222(2)45075C C C C C P X C C C C ==•+•==，所以X 的数学期望为() 1.2E X =.19.（1）证明：在平行四边形ABCD 中，6ABD π∠=，2AB AD =，由余弦定理，得BD =，从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥. 可得ABD ∆为直角三角形且090ADB ∠=，又由DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得DE BD ⊥ 又ADDE D =，所以BD ⊥平面ADE .由BD ⊂平面BDEF ，得平面BDEF ⊥平面ADE ， （2）解：由（1）可得在Rt ABD ∆中，3BAD π∠=，BD =，又由ED BD =设1AD =，BD ED ==DE ⊥平面ABCD ，BD AD ⊥，建立以D 为坐标原点，以射线,,DA DB DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：得(1,0,0)A，(C -，E，F设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，得00n AE n AC ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，所以020x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，得(3,2,1)n =又因为(AF =-， 所以42cos ,14n AF n AF n AF•==• 所以直线AF 与平面AEC所成角的正弦值为14. 20.解：（1）由题意知22228c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之得：28a =，22b =所以椭圆C 的方程为22182x y += （2）设直线1:2l y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 将12y x m =+代入22182x y +=中，化简整理，得222240x mx m ++-= 22(2)4(24)0m m ∆=-->，得22m -<<于是有122x x m +=-，21224x x m =-，1112PA y k x -=-，2212PB y k x -=-， 注意到121221121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)PA PB y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 上式中，分子122111(1)(2)(1)(2)22x m x x m x =+--++-- 从而，0PA PB k k +=，由090APB ∠=，可知1,1PA PB k k ==- 所以PMN ∆是等腰直角三角形，24P MN x ==即为所求. 21.解：（1）依题意得'2ln ()()x axx f x x a +-=+， 所以'211()(1)1a f x a a +==++，又由切线方程可得'(1)1f =，即111a =+，解得0a = 此时ln ()x f x x =，'21ln ()x f x x-=， 令'()0f x >，即1ln 0x ->，解得0x e <<； 令'()0f x <，即1ln 0x -<，解得x e > 所以()f x 的增区间为(0,)e ，减区间为(,)e +∞ 所以(2016)(2017)f f >，即ln 2016ln 201720162017>， 2017ln 20162016ln 2017>，2017201620162017>.（2）证明：不妨设120x x >>因为12()()0g x g x ==所以化简得11ln 0x kx -=，22ln 0x kx -=可得1212ln ln ()x x k x x +=+，1212ln ln ()x x k x x -=-.要证明212x x e >，即证明12ln ln 2x x +>，也就是12()2k x x +>因为1212ln ln x x k x x -=-，所以即证121212ln ln 2x x x x x x ->-+即112212lnx x x x x x ->+，令12x t x =，则1t >，即证2(1)ln 1t t t ->+. 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+（1t >），由2'2214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++ 故函数()h t 在(1,)+∞是增函数，所以()(1)0h t h >=，即2(1)ln 1t t t ->+得证. 所以212x x e >.22.解：（1）将曲线C 的极坐标方程2cos 4sin ρθθ=，化为直角坐标方程为24x y = ∵(,)M x y 为曲线C 上任意一点，∴2211(2)144x y x x x +=+=+- ∴x y +的取值范围是[1,)-+∞.（2）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入24x y =整理得22cos 4sin 40t t αα--=，∴2216sin 16cos 160αα∆=+=>，设方程22cos 4sin 40t t αα--=的两根为12,t t 所以12244cos AB t t α=-=≥，当0α=时AB 取得最小值4. 23.解：（1）当1a =时，()215f x x x =-+-所以1()92639x f x x ⎧<⎪≥⇔⎨⎪-≥⎩或15249x x ⎧≤<⎪⎨⎪+≥⎩或5369x x ≥⎧⎨-≥⎩ 解之，得1x ≤-或5x ≥，即所求不等式的解集为(,1][5,)-∞-+∞（2）∵05a <<，∴51a >，则1(2)6,215()(2)4,25(2)6,a x x f x a x x a a x x a ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，注意到12x <时()f x 单调递减，5x a>时()f x 单调递增， 故()f x 的是小值在152x a≤≤时取到，即min 021()()42a f x f <≤⎧⎪⎨==⎪⎩，或min 255()()4a f x f a <≤⎧⎪⎨==⎪⎩， 解之，得2a =.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B=N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52. 若复数a+3i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）1+2iA.−6B.13C.3D.√132)，f(x0)<0，则（）3. 已知f(x)=sinx−tanx，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x)≥0A.p是假命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x0)≥0B.p是假命题，￢p:∃x0∈(0, π2)，f(x)≥0C.p是真命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x0)≥0D.p是真命题，￢p:∃x0∈(0, π24. 已知程序框图如图，则输出i的值为（）A.7B.9C.11D.135. 2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中（1）班、（2）班，（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A.18种B.24种C.48种D.36种6. 《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A.1+√2B.1+2√2C.2+√2D.2+2√27. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0 表示的平面区域为D ，若圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围为（ ） A.(0, √5)∪(√13, +∞) B.(√13, +∞) C.(0, √5) D.[√5, √13]8. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM →−3CA →=2CB →，则AM →⋅BM →的值为( ) A.−152 B.−2 C.2D.1529. 关于函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是（ ） A.由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍 B.y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π6)+1 C.y =f(x)的图象关于点(3π4, 1)对称 D.y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称10. 设函数f(x)=mx 2−mx −1，若对于x ∈[1, 3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.(−∞, 0]B.[0,57) C.(−∞,0)∪(0,57) D.(−∞,57)11. 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，若双曲线的渐近线被圆M:x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP||sinA−sinB|的值等于（ ） A.35 B.√73C.53D.√712. 已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=f ′(1)2，e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，g′(x)+2g(x)<0，则下列不等式恒成立的是（ ） A.g(2016)<f(2)⋅g(2018) B.f(2)⋅g(2016)<g(2018) C.g(2016)>f(2)⋅g(2018) D.f(2)⋅g(2016)>g(2018)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 设a =∫π(cosx −sinx)dx ，则二项式(a √x √x )6的展开式中含x 2项的系数为________．若函数f(x)={x(x −b),x ≥0,ax(x +2),x <0(a, b ∈R)为奇函数，则f(a +b)的值为________．已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA 1的长度为________．如图，OA ，OB 为扇形湖面OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区-区域I 和区域Ⅱ，点C 在AB^上，∠COA =θ，CD // OA ，其中AC ^，半径OC 及线段CD 需要用渔网制成．若∠AOB =π3，OA =1，则所需渔网的最大长度为________．三、解答题（共70分）已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1<2，a n >0，6S n =a n 2+3a n +2，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若对∀n ∈N ∗，b n =(−1)na n 2，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB // CD ，∠BAD =90∘，DC =DA =2AB =2√5，点E 为AD 的中点，BD ∩CE =H ，PH ⊥平面ABCD ，且PH =4．（1）求证：PC ⊥BD ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使二面角B −DF −C 的余弦值是√1515？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示． （1）估计这次考试数学成绩的平均分和众数；（2）假设在(90, 100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．已知椭圆C 1:x 2a+y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，右焦点F 是抛物线C 2:y 2=2px(p >0)的焦点，点(2, 4)在抛物线C 2上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）已知斜率为k 的直线l 交椭圆C 1于A ，B 两点，M(0, 2)，直线AM 与BM 的斜率乘积为−12，若在椭圆上存在点N ，使|AN|=|BN|，求△ABN 的面积的最小值．已知函数f(x)=ae x +x 2−bx(a, b ∈R)，其导函数为y =f′(x)．（1）当b =2时，若函数y =f′(x)在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设a ≠0，点P(m, n)(m, n ∈R)是曲线y =f(x)上的一个定点，是否存在实数x 0(x 0≠m)，使得f(x 0)−n =f′(x 0+m 2)(x 0−m)成立？并证明你的结论．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1:{x =tcosαy =tsinα （t 为参数），l 2:{x =tcos(α+π4)y =tsin(α+π4) （t 为参数），其中α∈(0, 3π4)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cosθ=0．（1）写出l1，l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设l1，l2分别与曲线C交于点A，B（非坐标原点），求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x−a|(a>0)．（1）当a=2时，解不等式f(x)≥1−2x；（2）已知f(x)+|x−1|的最小值为3，且m2n=a(m>0, n>0)，求m+n的最小值．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】 C【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】可先求出集合A ={x|x <−1, 或x >3}，然后进行交集、补集的运算即可． 【解答】A ={x|x <−1, 或x >3}； ∴ ∁R A ={x|−1≤x ≤3}； ∴ (∁R A)∩B ={0, 1, 2, 3}． 2.【答案】 A【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的模复数的基本概念 【解析】利用复数的除法运算化简为a +bi(a, b ∈R)的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值． 【解答】由复数a+3i1+2i =(a+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=(a+6)+(3−2a)i5=a+65+3−2a 5i 是纯虚数，则{a+65=03−2a5≠0，解得a =−6．3.【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用 命题的否定 【解析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果． 【解答】f(x)=sinx −tanx ，x ∈(0, π2)，当x =π4时，∴ f(x)=√22−1<0，命题p:∃x 0∈(0, π2)，f(x 0)<0，是真命题，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，则￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0．4.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=1，i=3；当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=3，i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15，i=7；当S=15时，不满足退出循环的条件，故S=105，i=9；当S=105时，不满足退出循环的条件，故S=945，i=11；当S=945时，不满足退出循环的条件，故S=10395，i=13；当S=10395时，满足退出循环的条件，故输出的i=13，5.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32＝3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21＝4，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31＝3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21＝4，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12+12＝24种不同的乘车方式，6.【答案】C【考点】由三视图求表面积【解析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， ∴ 四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱PD =1，∴ 四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴ 四棱锥的表面积为S =S 底面ABCD +2S △PAD +2S △PAB=1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2． 故选C . 7.【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，而圆C 表示以(−1, −1)为圆心且半径为r 的圆．观察图形，可得半径r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r 的取值范围． 【解答】作出不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，其中M(1, 1)，N(2, 2)，P(1, 3)∵ 圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)表示以C(−1, 0)为圆心，半径为r 的圆， ∴ 由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点， ∵ CM =√(1+1)2+12=√5，CP =√(1+1)2+32=√13． ∴ 当0<r <√5或r >√13时，圆C 不经过区域D 上的点， 8.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算向量加减混合运算及其几何意义 【解析】根据条件可先求出CA →∗CB →=92，而由6CM →−3CA →=2CB →即可得出CM →=12CA →+13CB →，这样即可用CA →,CB →分别表示出AM →,BM →，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：等边三角形ABC 的边长为3； ∴ CA →⋅CB →=|CA →||CB →|cos60∘=92；6CM →−3CA →=2CB →； ∴ CM →=12CA →+13CB →；∴ AM →=AC →+CM →=−CA →+12CA →+13CB →=−12CA →+13CB →，BM →=BC →+CM →=−CB →+12CA →+13CB →=12CA →−23CB →； ∴ AM →⋅BM →=(−12CA →+13CB →)⋅(12CA →−23CB →)=−14CA →2+12CA →⋅CB →−29CB →2=−94+94−2=−2． 故选B . 9.【答案】 D【考点】正弦函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由f(x)=3sin (2x −π3)+1=1，得sin (2x −π3)=0，即2x −π3=kπ(k ∈Z)，解得x =kπ2+π6(k ∈Z)，所以x 1=k 1π2+π6(k 1∈Z ),x 2=k 2π2+π6(k 2∈Z )，所以x 1−x 2=π2(k 1−k 2)(k 1,k 2∈Z )，是π2的整数倍，故A 错误；由f(x)=3sin (2x −π3)+1，得f(x)=−3cos (2x −π3+π2)+1=−3cos (2x +π6)+1，故B 错误；由2x −π3=kπ(k ∈Z)，得x =kπ2+π6(k ∈Z)．令kπ2+π6=3π4(k ∈Z)，解得k =76，不符合题意，故C 错误；由2x −π3=kπ+π2(k ∈Z)，得x =kπ2+5π12(k ∈Z)．令k =−1，则x =−π12，即y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称，故D 正确． 故选D ． 10.【答案】 D【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1, 3]上的最大值，即可求m 的取值范围． 【解答】由题意，f(x)<−m +4，可得m(x 2−x +1)<5． ∵ 当x ∈[1, 3]时，x 2−x +1∈[1, 7]， ∴ 不等式f(x)<0等价于m <5x 2−x+1． ∵ 当x =3时，5x 2−x+1的最小值为57， ∴ 若要不等式m <5x 2−x+1恒成立， 则必须m <57，因此，实数m 的取值范围为(−∞, 57)， 11.【答案】 C【考点】 双曲线的特性 【解析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d =4，再根据点到直线的距离公式可得√a 2+b 2=4，得到5b =4c ，即可求出a =35c ，根据正弦定理可得|sinP||sinA−sinB|=2c 2R |BP 2R −AP 2R |=2c 2a=53【解答】双曲线的一条渐近线方程为y =ba x ，双曲线的渐近线被圆M:x 2+y 2−10x =0，即(x −5)2+y 2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d ，则d =√25−9=4， ∴√a 2+b 2=4，即5b=4c，即b=45c∵a2=c2−b2=925c2，∴a=35c，∴|AP−BP|=2a，由正弦定理可得APsinB =PBsinA=ABsinP=2R，∴sinB=AP2R ，sinA=BP2R，sinP=2c2R，∴|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53，12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】f(x)=f′(1)2e2x−2+x2−2f(0)⋅x，令x=0，则f(0)=f′(1)2e．由f′(x)=f′(1)⋅e2x−2+2x−2f(0)，令x=1，可得f(0)．进而得出f′(1)，f(x)，f(2)．令ℎ(x)= e2x g(x)，及其已知g′(x)+2g(x)<0，可得ℎ′(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0，利用函数ℎ(x)在R上单调递减，即可得出．【解答】f(x)=f′(1)2e2x−2+x2−2f(0)⋅x，令x=0，则f(0)=f′(1)2e2．∵f′(x)=f′(1)⋅e2x−2+2x−2f(0)，令x=1，则f′(1)=f′(1)+2−2f(0)，解得f(0)=1．∴f′(1)=2e2．∴f(x)=e2x+x2−2x，∴f(2)=e4．令ℎ(x)=e2x g(x)，∵g′(x)+2g(x)<0，∴ℎ′(x)=e2x g′(x)+2e2x g(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0，∴函数ℎ(x)在R上单调递减，∴ℎ(2016)>ℎ(2018)，∴e2016×2g(2016)>e2018×2g(2018)，可得：g(2016)>e4g(2018)．∴g(2016)>f(2)g(2018)．故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】192【考点】二项式定理及相关概念定积分根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决． 【解答】 解：由于a =∫π(cosx −sinx)dx=(sinx +cosx)|π=−1−1=−2，∴ (−2√x −√x )6=(2√x √x )6 的通项公式为 T r+1=26−r C 6r ⋅x 3−r ， 令3−r =2，求得r =1，故含x 2项的系数为26−1C 61=192． 故答案为：192. 【答案】 −1【考点】 函数的求值 分段函数的应用 【解析】由已知中函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立，可得a ，b 的值，进而可得f(a +b)的值． 【解答】解：∵ 函数为奇函数， 故f(−x)=−f(x)恒成立， 故{a =−1,−b =2a,即{a =−1,b =2, ∴ f(x)={x 2−2x,x ≥0,−x 2−2x,x <0,∴ f(a +b)=f(1)=1−2=−1. 故答案为−1． 【答案】 2√3【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度． 【解答】由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、D 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =12GC =1， 在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴ EF =√3， ∴ DE =2√3， ∴ AA 1=2√3．π+6+2√36【考点】扇形面积公式【解析】确定∠COD，在△OCD中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】由CD // OA，∠AOB=π3，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=2π3，∠COD=π3−θ；在△OCD中，由正弦定理，得CD=√3sin(π3−θ)，θ∈(0, π3)，设渔网的长度为f(θ)，可得f(θ)=θ+1√3sin(π3−θ)，所以f′(θ)=1−√3cos(π3−θ)，因为θ∈(0, π3)，所以π3−θ∈(0, π3)，令f′(θ)=0，得cos(π3−θ)=√3，所以π3−θ=π6，所以θ=π6．所以f(θ)∈(2, π+6+2√36]．故所需渔网长度的最大值为π+6+2√36．三、解答题（共70分）【答案】6S n=a n2+3a n+2，n∈N∗．n≥2时，6a n=6S n−6S n−1=a n2+3a n+2−(a n−12+3a n−1+2)，化为：(a n+ a n−1)(a n−a n−1−3)=0，∵a n>0，∴a n−a n−1=3，n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1<2，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为3．∴a n=1+3(n−1)=3n−2．b n=(−1)na n2=(−1)n(3n−2)2．∴b2n−1+b2n=−(6n−5)2+(6n−2)2=3(12n−7)=36n−21．∴数列{b n}的前2n项的和T2n=36(1+2+……+n)−21n=36×n(n+1)2−21n= 18n2−3n．【考点】数列递推式 【解析】（1）6S n =a n 2+3a n +2，n ∈N ∗．n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1，化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0，由a n >0，可得a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1．利用等差数列的通项公式可得a n ．（2）b n =(−1)na n 2=(−1)n (3n −2)2．b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21．利用分组求和即可得出． 【解答】6S n =a n 2+3a n +2，n ∈N ∗．n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1=a n 2+3a n +2−(a n−12+3a n−1+2)，化为：(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0，∵ a n >0，∴ a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1=1．∴ 数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为3． ∴ a n =1+3(n −1)=3n −2． b n =(−1)na n 2=(−1)n (3n −2)2．∴ b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21． ∴ 数列{b n }的前2n 项的和T 2n =36(1+2+……+n)−21n =36×n(n+1)2−21n =18n 2−3n ． 【答案】∵ AB // CD ，∠BAD =90∘，∴ ∠EDC =∠BAD =90∘， ∵ DC =DA =2AB ，E 为AD 的中点，∴ AB =ED ， ∴ △BAD ≅△EDC ，∴ ∠DBA =∠DEH ，∵ ∠DBA +∠ADB =90∘，∴ ∠DEH +∠ADB =90∘，∴ BD ⊥EC ， 又∵ PH ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ BD ⊥PH ，又∵ PH ∩EC =H ，且PH ，EC ⊂平面PEC ，∴ BD ⊥平面PEC ， 又∵ PC ⊂平面PEC ，∴ PC ⊥BD ． 由（1）可知△DHE ∽△DAB ，由题意得BD =EC =5，AB =DE =√5， ∴ DHDA =EHBA =DEDB ，∴ EH =1，HC =4，DH =2，HB =3， ∵ PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系， H(0, 0, 0)，B(3, 0, 0)，C(0, 4, 0)，D(−2, 0, 0)，P(0, 0, 4)， 假设线段PC 上存在一点F 满足题意，∵ CF →与CP →共线，∴ 存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF →=λCP →， 解得F(0, 4−4λ, 4λ)，设向量n →=(x, y, z)为平面CPD 的一个法向量，且CP →=(0, −4, 4)，CD →=(−2, −4, 0)， ∴ {n →∗CP →=−4y +4z =0n →∗CD →=−x −2y =0 ，取x =2，得n →=(2, −1, −1)，同理得平面CPD 的一个法向量m →=(0, λ, λ−1)，∵二面角B−DF−C的余弦值是√1515，∴|cos<n→,m→>|=|n→∗m→||n→|∗|m→|=√6∗√2λ2−2λ+1=√1515，由0≤λ≤1，解得λ=34，∴CF→=34CP →，∵CP=4√2，∴线段PC上存在一点F，当点F满足CF=3√2时，二面角B−DF−C的余弦值是√1515．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）推导出△BAD≅△EDC，∠DBA=∠DEH，从而BD⊥EC，由PH⊥平面ABCD，得BD⊥PH，由此能证明BD⊥平面PEC，从而PC⊥BD．（2）推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足CF=3√2时，二面角B−DF−C的余弦值是√1515．【解答】∵AB // CD，∠BAD=90∘，∴∠EDC=∠BAD=90∘，∵DC=DA=2AB，E为AD的中点，∴AB=ED，∴△BAD≅△EDC，∴∠DBA=∠DEH，∵∠DBA+∠ADB=90∘，∴∠DEH+∠ADB=90∘，∴BD⊥EC，又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH，又∵PH∩EC=H，且PH，EC⊂平面PEC，∴BD⊥平面PEC，又∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD．由（1）可知△DHE∽△DAB，由题意得BD=EC=5，AB=DE=√5，∴DHDA =EHBA=DEDB，∴EH=1，HC=4，DH=2，HB=3，∵PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，H(0, 0, 0)，B(3, 0, 0)，C(0, 4, 0)，D(−2, 0, 0)，P(0, 0, 4)，假设线段PC上存在一点F满足题意，∵CF→与CP→共线，∴存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF→=λCP→，解得F(0, 4−4λ, 4λ)，设向量n →=(x, y, z)为平面CPD 的一个法向量，且CP →=(0, −4, 4)，CD →=(−2, −4, 0)， ∴ {n →∗CP →=−4y +4z =0n →∗CD →=−x −2y =0 ，取x =2，得n →=(2, −1, −1)，同理得平面CPD 的一个法向量m →=(0, λ, λ−1)， ∵ 二面角B −DF −C 的余弦值是√1515，∴ |cos <n →,m →>|=|n →∗m →||n →|∗|m →|=6∗√2λ2−2λ+1=√1515， 由0≤λ≤1，解得λ=34， ∴ CF →=34CP →，∵ CP =4√2，∴ 线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B −DF −C 的余弦值是√1515．【答案】x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72（分）， 众数为75分．90分以上的人数为160×0.005×10=8人． ∴ ξ的可能取值为2，3，4， P(ξ=2)=C 33∗C51+C32∗C22C 84=435，P(ξ=3)=C 32∗C21∗C31+C31∗C22∗C31+C32∗C32+C22∗C32C 84=3970，P(ξ=4)=C 32∗C31∗C21+C33∗C51C 84=2370．∴ ξ的分布列为：∴ ξ的数学期望是E(ξ)=2×435+3×3970+4×2370=4514．【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算； （2）根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列． 【解答】x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72（分）， 众数为75分．90分以上的人数为160×0.005×10=8人． ∴ ξ的可能取值为2，3，4， P(ξ=2)=C 33∗C51+C32∗C22C 84=435，P(ξ=3)=C 32∗C21∗C31+C31∗C22∗C31+C32∗C32+C22∗C32C 84=3970，P(ξ=4)=C 32∗C31∗C21+C33∗C51C 84=2370．∴ ξ的分布列为：∴ ξ的数学期望是E(ξ)=2×435+3×3970+4×2370=4514．【答案】∵ 点(2, 4)在抛物线y 2=2px 上， ∴ 16=4p ， 解得p =4，∴ 椭圆的右焦点为F(2, 0)， ∴ c =2， ∵ 椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，∴ ca =√22，∴ a =2√2，∴ b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴ 椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1，设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{y =kx +mx 2+2y 2=8 ，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， ∴ x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴ y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2∵ M(0, 2)，直线AM 与BM 的斜率乘积为−12， ∴ k 1⋅k 2=y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=y 1y 2−2(y 1+y 2)+4x 1x 2=m−22(m+2)=−12，解得m =0，∴ 直线l 的方程为y =kx ，线段AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32(k 2+1)1+2k 2，∵ |AN|=|BN|，∴ ON 垂直平分线段AB ，当k ≠0时，设直线ON 的方程为y =−1k x ， 同理可得|ON|=12√32(1k 2+1)2×1k2+1=12√32(k 2+1)k 2+2，∴ S △ABN =12|ON|⋅|AB|=8√(k 2+1)2(k 2+2)(2k 2+1)，当k =0时，△ABN 的面积也适合上式， 令t =k 2+1，t ≥1，0<1t ≤1， 则S △ABN =8√t 2(t+1)(2t−1)=8√1−1t 2+1t+2=8√1−(1t −12)2+94，∴ 当1t =12时，即k =±1时，S △ABN 的最小值为163．【考点】椭圆的定义 【解析】（1）先求出p 的值，即可求出c 的值，根据离心率求出a 的值，即可得到椭圆方程，（2）设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{y =kx +mx 2+2y 2=8 ，根据直线AM 与BM 的斜率乘积为−12，求出m =0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】∵ 点(2, 4)在抛物线y 2=2px 上， ∴ 16=4p ， 解得p =4，∴ 椭圆的右焦点为F(2, 0)， ∴ c =2， ∵ 椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22， ∴ c a =√22，∴ a =2√2，∴ b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴ 椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1，设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{y =kx +mx 2+2y 2=8 ，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， ∴ x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴ y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2∵ M(0, 2)，直线AM 与BM 的斜率乘积为−12， ∴ k 1⋅k 2=y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=y 1y 2−2(y 1+y 2)+4x 1x 2=m−22(m+2)=−12，解得m =0，∴ 直线l 的方程为y =kx ，线段AB 的中点为坐标原点， 由弦长公式可得|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32(k 2+1)1+2k 2，∵ |AN|=|BN|，∴ ON 垂直平分线段AB ，当k ≠0时，设直线ON 的方程为y =−1k x ， 同理可得|ON|=12√32(1k 2+1)2×1k2+1=12√32(k 2+1)k 2+2，∴ S △ABN =12|ON|⋅|AB|=8√(k 2+1)2(k 2+2)(2k 2+1)，当k =0时，△ABN 的面积也适合上式， 令t =k 2+1，t ≥1，0<1t ≤1， 则S △ABN =8√t 2(t+1)(2t−1)=8√1−1t 2+1t+2=8√1−(1t −12)2+94，∴ 当1t =12时，即k =±1时，S △ABN 的最小值为163． 【答案】解：（1）当b =2时，f(x)=ae x +x 2−2x ，(a ∈R)， f′(x)=ae x +2x −2，(a ∈R)， 由f ′(x)=0得ae x +2x −2=0，即a =2−2x e x，令ℎ(x)=2−2x e x，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x =2．当x <2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x >2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增． ∴ ℎ(x)min =ℎ(2)=−2e 2． ∵ 当x →−∞时，ℎ(x)=2−2x e x →+∞；当x →+∞时，ℎ(x)=2−2x e x→0．所以更满足题意，则a =−2e 2或a ∈[0,+∞)．(2)由f(x)=ae x +x 2−bx ，得f ′(x)=ae x +2x −b ， 假设存在满足题意的x 0， 则有f (x 0)=f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+f(m)，即f (x 0)−f(m)x 0−m=f ′(x 0+m 2)(x 0≠m )．因为f ′(x 0+m 2)=ae 12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b ，f (x 0)−f(m)x 0−m =a (e x 0−e m )+(x 02−m 2)−b (x 0−m )x 0−m =a(e x 0−e m)x 0−m +(x 0+m )−b ，所以ae 12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b =a (e x 0−e m )x 0−m+(x 0+m )−b ，即ae12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m，因为a ≠0，所以e−12(x 0+m)=e x 0−e m x 0−m，不妨令t =x 0−m >0，则有e 12t+m =e m+t −e mt，两边同时除以e m ，得e 12t =e t −1t，即te 12t =e t −1，令g(t)=e t −te 12t −1，所以g ′(t)=e t −(e 12+t2e 12)=e 12(e 12−t2−1)，令ℎ(t)=e 12−t 2−1，则ℎ′(t)=12e12−12=12(e 12−1)>0(t >0)，所以ℎ(t)在(0,+∞)上单调递增，又ℎ(0)=0，所以ℎ(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立，即g ′(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立， 所以g(t)在(0,+∞)上单调递增，又g(0)=0， 所以g(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立， 所以ae 12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m不成立，同理可证得当t =x 0−m <0时，也不成立， 所以不存在实数x 0(x 0≠m )，使得f (x 0)−n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m)成立．【考点】导数求函数的最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）当b =2时，f(x)=ae x +x 2−2x ，(a ∈R)， f′(x)=ae x +2x −2，(a ∈R)， 由f ′(x)=0得ae x +2x −2=0，即a =2−2x e x，令ℎ(x)=2−2x e x，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x =2．当x <2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x >2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．∴ ℎ(x)min =ℎ(2)=−2e 2．∵ 当x →−∞时，ℎ(x)=2−2x e x →+∞；当x →+∞时， ℎ(x)=2−2xe x →0．所以更满足题意，则a =−2e 2或a ∈[0,+∞)．(2)由f(x)=ae x +x 2−bx ，得f ′(x)=ae x +2x −b ，假设存在满足题意的x 0，则有f (x 0)=f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+f(m)， 即f (x 0)−f(m)x 0−m =f ′(x 0+m 2)(x 0≠m )．因为f ′(x 0+m 2)=ae 12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b ，f (x 0)−f(m)x 0−m =a (e x 0−e m )+(x 02−m 2)−b (x 0−m )x 0−m =a(e x 0−e m )x 0−m+ (x 0+m )−b ，所以ae12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b =a (e x 0−e m )x 0−m +(x 0+m )−b ， 即ae 12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m， 因为a ≠0，所以e −12(x 0+m)=e x 0−e mx 0−m， 不妨令t =x 0−m >0，则有e 12t+m =e m+t −e m t， 两边同时除以e m ，得e 12t =e t −1t ，即te 12t =e t −1，令g(t)=e t −te 12t −1， 所以g ′(t)=e t −(e 12+t 2e 12)=e 12(e 12−t 2−1)， 令ℎ(t)=e 12−t 2−1，则ℎ′(t)=12e 12−12=12(e 12−1)>0(t >0)，所以ℎ(t)在(0,+∞)上单调递增，又ℎ(0)=0，所以ℎ(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立，即g ′(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立， 所以g(t)在(0,+∞)上单调递增，又g(0)=0，所以g(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立，所以ae 12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m 不成立，同理可证得当t =x 0−m <0时，也不成立，所以不存在实数x 0(x 0≠m )，使得f (x 0)−n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m)成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]【答案】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）考查直线l1，l2参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化．重点都是消去参数t．（2）利用l1，l2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度．【解答】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．【考点】绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．【解答】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．。
2018年郑州市一测理科数学
2018年郑州市一测理科数学一、 选择题1.设集合{}{}1,216x A x x B x =>=<，则A B （ ）A.(1,4)B.(,1)-∞C.(4,)+∞D. (,1)(4,)-∞+∞ 2.若复数2(2)(1)z a a a i =--++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ） A.-2 B.-2或1 C.2或-1 D.2 3.下列说法正确的是（ ）A.“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”.B.“若22am bm <，则a b <”的逆否命题为真命题.C.0(0,),x ∃∈+∞使0034x x >成立.D.“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题. 4.在(nx+的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为（ ）A.50B.70C.90D.120 5.等比数列{}n a 中，39a =，前3项和32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A.1B.12-C.1或12-D.1-或12-6.若将函数()3sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象上的每一点都向左平移3π个单位，得到()y g x =的图象，若函数()y g x =是奇函数，则()y g x =函数的单调递增区间为（ ）A.[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B.3[,]()44k k k Z ππππ++∈ C.2[,]()36k k k Z ππππ--∈ D.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是（ ）A.(30,42]B.(30,42)C.(42,56]D.(42,56) 8.刍薨，中国古代算数中的一种几何体.《九章算术》中记载“刍薨者，下有袤无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（ ）A.24 C.64 9.如图，在ABC ∆中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且22()1111AP m AB BC =++，则实数m 的值为（ ）A.1B.13C.911D.51110.设抛物线24y x =的焦点为F，过点M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，3BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ）A.34B.45C.56D.6711.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为S =，则ab 的最小值为（ ）A.28B.36C.48D.5612.已知函数32()92930f x x x x =-+-，实数m,n 满足()12,()18f m f n =-=，则m +n =（ ）A.6B.8C.10D.12二、 填空题13.设变量x,y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为 .14.已知函数2,(1)()ln(1),(12)x x f x x x ⎧≤=⎨-<<⎩,若不等式()5f x mx ≤-恒成立，则实数m的取值范围是 .15.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 .16.已知双曲线C ：22221x y a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若73MF FN =，则双曲线的渐近线方程为 . 三解答题17.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且25525,55a a S +==. （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设131n n a b n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行人数，画出茎叶图如下：（1） 若甲单位数据的平均数是122，求x ；（2） 现从右图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中 甲、乙两单位低碳出行人数不低于130人的天数为12,ξξ，令12ηξξ=+，求η的 分布列和期望.19.如图，在三棱锥P-ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，6,AB BC ==AC =,D,E 分别为线段AB,BC 上的点，且AD=2DB,CE=2EB,PD ⊥AC. （1）求证：PD ⊥平面ABC ； （2）若P A 与平面ABC 所成的角为4π，求平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12F F 以为直径的圆与直线20ax by +=相切. （1）求椭圆C 的离心率；（2）如图，过1F 做直线l 与椭圆分别交于两点P ,Q ，若2PQF ∆的周长为求22F P F Q ⋅的最大值.21.已知函数11()ln ,f x x a R ax a=+-∈且0a ≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1[,e]x e∈时，试判断函数()(ln 1)x g x x e x m =-+-的零点个数.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的的第一题记分.做答时请用2B 铅笔在答题卡上吧所选题目对应的题号涂黑. 22.（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点（1,0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，以x 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是28cos 1cos θρθ=-. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AOB ∆的面积. 23.（选修4-5：不等式选讲） 设函数()3,()21f x x g x x =+=-. （1）解不等式()()f x g x <；（2）若2()()4f x g x ax +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.2018年郑州市一测理科数学答案及解析一、选择题二、填空题 13.1-14.5[0,]215.123516.2y x =±三、 解答题17.18.19.20.21.22.23.。
河南省郑州市第一中学2018届高三12月月考数学(理)试题Word版含答案
D. 3 2
①对于不重合的两条直线， “两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件；
②命题“ x R ， sin x 1”的否定是“ x R ， sin x 1”；
③“ p 且 q 为真”是“ p 或 q 为真”的充分不必要条件；
④已知直线 a ， b 和平面 ，若 a ， b ，则 a b .
A.1
B.2
C.3
D.4
8. 已知直线 ax by 1 0 与圆 x2 y2 1相切，则 a b ab 的最大值为（
）
A.1
B. 1
C. 2 1 2
D. 1 2
9. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 2n 1 k ，则 f x x3 kx2 2x 1 的极大值为
（）
A.2
B.3
C. 7
D. 5
河南省郑州市第一中学 2018 届高三上学期诊断测试
数学（理科）
本试卷共 23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
. 答卷前考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上 .
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
2
2
Байду номын сангаас
10. “今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日
自半，问几何日相逢？” ，意思是“今有土墙厚 7.875 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一
天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天
打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（
【高三数学试题精选】郑州市2018年高考数学一模试卷(理科有解析)
郑州市2018年高考数学一模试卷（理科有解析）5 c 4坐标系与参数方程23．已知曲线c1的参数方程为曲线c2的极坐标方程为ρ=2 cs （θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线c2的直角坐标方程；（2）求曲线c2上的动点到直线c1的距离的最大值．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）= （a＞0）的最小值总大于函数f （x），试求实数a的取值范围．4坐标系与参数方程23．已知曲线c1的参数方程为曲线c2的极坐标方程为ρ=2 cs （θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线c2的直角坐标方程；（2）求曲线c2上的动点到直线c1的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+2，=ρsinθ，x=ρcsθ，能求出c2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线c1消去参数，得c1的直角坐标方程为，求出圆心到直线c1的距离，由此能求出动点到曲线c1的距离的最大值．【解答】解（Ⅰ），…即ρ2=2（ρcsθ+ρsinθ），∴x2+2﹣2x﹣2=0，故c2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（﹣1）2=2．…（Ⅱ）∵曲线c1的参数方程为，∴c1的直角坐标方程为，由（Ⅰ）知曲线c2是以（1，1）为圆心的圆，且圆心到直线c1的距离，…∴动点到曲线c1的距离的最大值为．…选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）= （a＞0）的最小值总大于函数f （x），试求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；分段函数的应用．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集．（2）由条利用基本不等式求得，f（x）∈[﹣3，1），再由，求得a的范围．【解答】（1）解当x＞2时，原不等式可化为x﹣2﹣x﹣1＞1，此时不成立；当﹣1≤x≤2时，原不等式可化为2﹣x﹣x﹣1＞1，即﹣1≤x＜0，当x＜﹣1时，原不等式可化为2﹣x+x+1＞1，即x＜﹣1，综上，原不等式的解集是{x|x＜0}．（2）解因为当x＞0时，，当且仅当时“=”成立，所以，，所以f（x）∈[﹣3，1），∴ ，即a≥1为所求．2018年8月15日5 c。
2018年河南省高考数学一诊试卷(理科)
2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．25．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2 11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E ⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B．2．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵集合M={x|≤0}={x|1＜x≤3}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}={x|﹣6x2+11x﹣4＞0}={x|}，∴M∩N={x|1＜x≤3}∩{x|}=（1，）．故选：C．3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，∴公比q===，∴=，∴===．故选：A．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B．6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C．7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，=，∴S△PAD则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1，∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+9=10，即a≤5；∵|PF1|≥|PA|﹣|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|﹣|AF1|+|PF|≥9﹣1=8，即a≥4，∴4≤a≤5，∴故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e为自然对数的底数，∴f′（x）=+（2e2﹣a），x＞0，当a≤2e2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞2e2时，由f′（x）=0，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=时，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣2e2）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣2e2）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣2e2），∴•≥（a＞2e2），令F（x）=，x＞2e2，F′（x）==，令H（x）=（x﹣2e2）ln（x﹣2e2）﹣2e2，H′（x）=ln（x﹣2e2）+1，由H′（x）=0，得x=2e2+，当x∈（2e2+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（2e2，2e2+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=2e2+时，H（x）取最小值H（2e2+）=﹣2e2﹣，∵x→2e2时，H（x）→0，x＞3e2时，H（x）＞0，H（3e2）=0，∴当x∈（2e2，3e2）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（3e2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，∴x=3e2时，F（x）取最小值，F（3e2）==﹣，∴•的最小值为﹣，即有的最小值为﹣．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=﹣5．【解答】解：（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=C63•（﹣1）3+C62•（﹣1）2=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=2．【解答】解：当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，）=﹣S，即为（k﹣S n）（S n﹣S n﹣1化为﹣=，可得=1+，可得S n=．由S99=，可得=，解得k=2．故答案为：2．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．【解答】解：（1）根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC==；又由cosC===，解可得a=4，即BC=4，则CD=2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcosC=6，则AD=；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则==，变形可得：CE=BC=，cosC=，则sinC==，S△ADE=S△ACD﹣S△ACE=×2×2×﹣×2××=．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则．（2）随机变量X的取值可以为1，2，3，4．，，，．X的分布列为随机变量X的概率分布列为：所以数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．又BB1⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，同理可证，BC∥平面A1DE．因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，又B1C⊂平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．解：（2）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），，则，．设平面ABB1的一个法向量，则，即，取z 1=1，得．同理，设平面BB 1C的一个法向量，又，，由，得，取z=﹣1，得，所以，故二面角A﹣BB1﹣C的正弦值为：=．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．【解答】解：（1）根据题意，设直线l的方程为y=k（x﹣3），联立方程组得，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，y1y2=﹣6p，又，所以p=2，从而抛物线E的方程为y2=4x．（2）证明：因为，，所以，，因此==，又，y1y2=﹣6p=﹣12，所以，即为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．【解答】解：（1）f（x）=（x+1）e ax（a≠0）的导数f′（x）=e ax+a（x+1）e ax=（ax+a+1）e ax，因为是f（x）的一个极值点，所以，所以a=﹣3．（2）由（1）知f（x）=（x+1）e﹣3x，f′（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x，易知f（x）在上递增，在上递减，当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，；当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递减，；当，即时，．（3）证明：g（x）=（x+1）e﹣3x+2x+3xlnx，设g（x）=m1（x）+m2（x），x∈（0，1），其中，m2（x）=3xlnx，则，设h（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x+2，则h'（x）=（9x+3）e﹣3x＞0，可知m1'（x）在（0，1）上是增函数，所以m1'（x）＞m1'（0）=0，即m1（x）在（0，1）上是增函数，所以．又m2'（x）=3（1+lnx），由m2'（x）＞0，得；由m2'（x）＜0，得，所以m2（x）在上递减，在上递增，所以，从而．所以，对任意x1，x2∈（0，1），．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分。
2018年河南省高考数学一模试卷理科含解析
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B=N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 52.若复数a+3i1+2i(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A. −6B. 13C. 32D. √133.已知f(x)=sinx−tanx，命题p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)<0，则()A. p是假命题，￢p：∀x∈(0,π2)，f(x)≥0B. p是假命题，￢p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)≥0C. p是真命题，￢p：∀x∈(0,π2)，f(x)≥0D. p是真命题，￢p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)≥04.已知程序框图如图，则输出i的值为()A. 7B. 9C. 11D. 135.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班，(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种1/ 166. 《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( ) A. 1+√2 B. 1+2√2 C. 2+√2 D. 2+2√27. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域为D ，若圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围为( ) A. (0,√5)∪(√13,+∞) B. (√13,+∞) C. (0,√5) D. [√5,√13]8. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −152B. −2C. 2D. 1529. 关于函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是( )A. 由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍B. y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π6)+1 C. y =f(x)的图象关于点(3π4,1)对称 D. y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称10. 设函数f(x)=mx 2−mx −1，若对于x ∈[1,3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m的取值范围为( )A. (−∞,0]B. [0,57)C. (−∞,0)∪(0,57)D. (−∞,57)11. 设双曲线的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，若双曲线的渐近线被圆M ：x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP||sinA−sinB|的值等于( )A. 35B. √73C. 53D. √712. 已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=f′(1)2，e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，g′(x)+2g(x)<0，则下列不等式恒成立的是( ) A. g(2016)<f(2)⋅g(2018) B. f(2)⋅g(2016)<g(2018) C. g(2016)>f(2)⋅g(2018) D. f(2)⋅g(2016)>g(2018) 二、填空题13.设a=∫(π0cosx−sinx)dx，则二项式(a√x−√x)6的展开式中含x2项的系数为______．14.若函数f(x)={ax(x+2),x<0x(x−b),x≥0(a,b∈R)为奇函数，则f(a+b)的值为______．15.已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为______．16.如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区−区域I和区域Ⅱ，点C在AB⌢上，∠COA=θ，CD//OA，其中AC⌢，半径OC及线段CD需要用渔网制成.若∠AOB=π3，OA=1，则所需渔网的最大长度为______．三、解答题17.已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1<2，a n>0，6S n=a n2+3a n+2，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若对∀n∈N∗，b n=(−1)n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠BAD=90∘，DC=DA=2AB=2√5，点E为AD的中点，BD∩CE=H，PH⊥平面ABCD，且PH=4.(1)求证：PC⊥BD；(2)线段PC上是否存在一点F，使二面角B−DF−C的余弦值是√1515？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．3/ 1619.某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2)假设在(90,100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同.现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．20.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，右焦点F是抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点，点(2,4)在抛物线C2上.(1)求椭圆C1的方程；(2)已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M(0,2)，直线AM与BM的斜率乘积为−12，若在椭圆上存在点N，使|AN|=|BN，求△ABN的面积的最小值．21.已知函数f(x)=ae x+x2−bx(a,b∈R)，其导函数为y=f′(x).(1)当b=2时，若函数y=f′(x)在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；(2)设a≠0，点P(m,n)(m,n∈R)是曲线y=f(x)上的一个定点，是否存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2)(x0−m)成立？并证明你的结论．5 / 1622. 在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：{y =tsinαx=tcosα(t 为参数)，l 2：{x =tcos(α+π4)y =tsin(α+π4)(t为参数)，其中α∈(0,3π4)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cosθ=0． (1)写出l 1，l 2的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设l 1，l 2分别与曲线C 交于点A ，B(非坐标原点)，求|AB|的值．23. 设函数f(x)=|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，解不等式f(x)≥1−2x ； (2)已知f(x)+|x −1的最小值为3，且m 2n =a(m >0,n >0)，求m +n 的最小值．答案和解析【答案】 1. C 2. A 3. C 4. D 5. B 6. C7. A8. B 9. D 10. D 11. C 12. C13. 192 14. −1 15. 2√316. π+6+2√3617. 解：(1)6S n =a n2+3a n +2，n ∈N ∗． n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1=a n 2+3a n +2−(a n−12+3a n−1+2)，化为：(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0， ∵a n >0，∴a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1=1．∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为3． ∴a n =1+3(n −1)=3n −2．(2)b n =(−1)n a n 2=(−1)n (3n −2)2．∴b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21．∴数列{b n }的前2n 项的和T 2n =36(1+2+⋯…+n)−21n =36×n(n+1)2−21n =18n 2−3n ．18. 证明：(1)∵AB//CD ，∠BAD =90∘，∴∠EDC =∠BAD =90∘，∵DC =DA =2AB ，E 为AD 的中点，∴AB =ED ， ∴△BAD≌△EDC ，∴∠DBA =∠DEH ，∵∠DBA +∠ADB =90∘，∴∠DEH +∠ADB =90∘，∴BD ⊥EC ，又∵PH ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PH ， 又∵PH ∩EC =H ，且PH ，EC ⊄平面PEC ，∴BD ⊥平面PEC ，又∵PC ⊂平面PEC ，∴PC ⊥BD ． 解：(2)由(1)可知△DHE∽△DAB ，由题意得BD =EC =5，AB =DE =√5， ∴DH DA=EH BA=DE DB，∴EH =1，HC =4，DH =2，HB =3， ∵PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系， H(0,0，0)，B(3,0，0)，C(0,4，0)，D(−2,0，0)，P(0,0，4)， 假设线段PC 上存在一点F 满足题意， ∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，∴存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 解得F(0,4−4λ,4λ)，设向量n ⃗ =(x,y ，z)为平面CPD 的一个法向量，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,0)，∴{n ⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4y +4z =0n⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −2y =0，取x =2，得n⃗ =(2,−1,−1)， 同理得平面CPD 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,λ,λ−1)，7 / 16∵二面角B −DF −C 的余弦值是√1515，∴|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√6⋅√2λ2−2λ+1=√1515， 由0≤λ≤1，解得λ=34， ∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵CP =4√2，∴线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B −DF −C 的余弦值是√1515．19. 解：(1)x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72(分)， 众数为75分．(2)90分以上的人数为160×0.005×10=8人． ∴ξ的可能取值为2，3，4， P(ξ=2)=C 33⋅C 51+C 32⋅C 22C 84=435，P(ξ=3)=C 32⋅C 21⋅C 31+C 31⋅C 22⋅C 31+C 32⋅C 32+C 22⋅C 32C 84=3970，P(ξ=4)=C 32⋅C 31⋅C 21+C 33⋅C 51C 84=2370．∴ξ的数学期望是E(ξ)=2×435+3×3970+4×2370=4514．20. 解：(1)∵点(2,4)在抛物线y 2=2px 上，∴16=4p ，解得p =4，∴椭圆的右焦点为F(2,0)， ∴c =2， ∵椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，∴ca =√22， ∴a =2√2，∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1，(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x 2+2y 2=8y=kx+m，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， ∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2∵M(0,2)，直线AM与BM的斜率乘积为−12，∴k1⋅k2=y1−2x1⋅y2−2x2=y1y2−2(y1+y2)+4x1x2=m−22(m+2)=−12，解得m=0，∴直线l的方程为y=kx，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√32(k2+1)1+2k2，∵|AN|=|BN|，∴ON垂直平分线段AB，当k≠0时，设直线ON的方程为y=−1kx，同理可得|ON|=12√32(1k2+1)2×1k2+1=12√32(k2+1)k2+2，∴S△ABN=12|ON|⋅|AB|=8√(k2+1)2(k2+2)(2k2+1)，当k=0时，△ABN的面积也适合上式，令t=k2+1，t≥1，0<1t≤1，则S△ABN=8√t2(t+1)(2t−1)=8√1−1t2+1t+2=8√1−(1t−12)2+94，∴当1t =2时，即k=±1时，S△ABN的最小值为163．21. 解：(1)当b=2时，f(x)=ae x+x2−2x，(a∈R)，f′(x)=ae x+2x−2，(a∈R)，由题意得ae x+2x−2=0，即a=2−2xe x，令ℎ(x)=2−2xe x ，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x=2，当x<2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调弟增，当x>2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)min=ℎ(2)=−2e2，∵当x=−1时，ℎ(−1)=4e>0，当x>2时，ℎ(x)=2−2xe x<0，由题意得当a=−2e2或a∈[0,+∞)时，f′(x)在R上有且只有一个零点．(2)由f(x)=ae x+x2−bx，得f′(x)=ae x+2x−b，假设存在x0，则有f(x0)=f′(x0+m2)(x0−m)+n=f′(x0+m2)(x0−m)+f(m)，即f(x0)−f(m)x0−m =f′(x0+m2),(x0≠m)，∵f′(x0+m2)=ae x0+m2+2⋅x0+m2−b，f(x0)−f(m)x0−m =a(e x0−e m)+(x02−m2)−b(x0−m)x0−m=a(e x0−e m)x0−m+(x0+m)−b，∴ae x0+m2+2⋅x0+m2−b=a(e x0−e m)x0−m+(x0+m)−b，即ae x0+m2=a(e x0−e m)x0−m，∵a≠0，∴ex0+m2=e x0−e mx0−m，令t=x0−m>0，则e t2−m=e t+m−e mt，两边同时除以e m，得e t2=e t−1t，即te t2=e t−1，令g(t)=e t−te t2−1，∴g′(t)=e t−(e t2+t2e t2)=e t2(e t2−t2−1)，令ℎ(t)=e t2−t2−1在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(0)=0，∴ℎ(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，即g′(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，∴g(e)在(0,+∞)上单调递增，g(0)=0，∴g(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，∴ae x0+m2=a(e x0−e m)x0−m不成立，同理，t=x0−m<0时，bngidnuu，∴不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2)(x0−m)成立．22. 解：(1)l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0.即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．(2)因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1.ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．23. 解：(1)当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；(2)∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥33m2⋅m2⋅n=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．【解析】1. 解：A={x|x<−1，或x>3}；∴∁R A={x|−1≤x≤3}；∴(∁R A)∩B={0,1，2，3}．故选：C．9/ 16可先求出集合A ={x|x <−1，或x >3}，然后进行交集、补集的运算即可． 考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．2. 解：由复数a+3i 1+2i =(a+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=(a+6)+(3−2a)i5=a+65+3−2a 5i 是纯虚数，则{a+65=03−2a5≠0，解得a =−6．故选：A ．利用复数的除法运算化简为a +bi(a,b ∈R)的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3. 解：f(x)=sinx −tanx ，x ∈(0,π2)，当x =π4时，∴f(x)=√22−1<0，命题p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)<0，是真命题，命题p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)<0，则￢p ：∀x ∈(0,π2)，f(x)≥0．故选：C ．利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 4. 解：当S =1时，不满足退出循环的条件，故S =1，i =3； 当S =1时，不满足退出循环的条件，故S =3，i =5； 当S =3时，不满足退出循环的条件，故S =15，i =7； 当S =15时，不满足退出循环的条件，故S =105，i =9； 当S =105时，不满足退出循环的条件，故S =945，i =11； 当S =945时，不满足退出循环的条件，故S =10395，i =13； 当S =10395时，满足退出循环的条件， 故输出的i =13， 故选：D ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C 32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C 21C 21=4，故有3×4=12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C 31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C 21C 21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式， 故选：B ．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．11 / 166. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， ∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱AD =1，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴四棱锥的表面积为S =S 底面ABCD +2S △SAD +2S △SAB =1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2． 故选：C ．由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥， 画出图形结合图形求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题． 7. 解：作出不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域， 得到如图的△MNP 及其内部，其中M(1,1)，N(2,2)，P(1,3)∵圆C ：(x +1)2+(y +1)2=r 2(r >0)表示以C(−1,−1)为圆心，半径为r 的圆，∴由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，∵CM =√(1+1)2+(1+1)2=2√2，CP =√(1+1)2+(3+1)2=2√5∴当0<r <2√2或r >2√5时，圆C 不经过区域D 上的点， 故选：A ．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，而圆C 表示以(−1,−1)为圆心且半径为r 的圆.观察图形，可得半径r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r 的取值范围． 本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r 的取值范围.着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．8. 解：等边三角形ABC 的边长为3； ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60∘=92； 6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗=−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−94+94−2=−2． 故选：B ．根据条件可先求出CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =92，而由6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样即可用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后进行数量积的运算即可． 考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9. 解：函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，周期T =2π2=π，对于A ：由f(x 1)=f(x 2)=1，可能x 1与x 2关于其中一条对称轴是对称的，此时x 1−x 2不是π的整数倍；∴A 不对． 对于B ：由诱导公式，3sin(2x −π3)+1=3cos[π2−(2x −π3)]+1=3cos(2x −5π6)+1.∴B 不对． 对于C ：令x =3π4，可得f(3π4)=3sin(2×3π4−π3)+1=3×(−12)−1=−52，∴C 不对， 对于D ：当x =−π12时，可得f(−π12)=3sin(−π6−π3)+1=−1×3+1=−2， f(x)的图象关于直线x =−π12对称． 故选：D ．根据函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，结合三角函数的性质即可判断各选项． 本题主要考查利用y =Asin(ωx +φ)的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10. 解：由题意，f(x)<−m +4，可得m(x 2−x +1)<5． ∵当x ∈[1,3]时，x 2−x +1∈[1,7]， ∴不等式f(x)<0等价于m <5x 2−x+1． ∵当x =3时，5x 2−x+1的最小值为57， ∴若要不等式m <5x 2−x+1恒成立， 则必须m <57，因此，实数m 的取值范围为(−∞,57)，故选：D ．利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,3]上的最大值，即可求m 的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11. 解：双曲线的一条渐近线方程为y=bax，双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0，即(x−5)2+y2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则d=√25−9=4，∴√a2+b2=4，即5b=4c，即b=45c∵a2=c2−b2=925c2，∴a=35c，∴|AP−BP|=2a，由正弦定理可得APsinB =PBsinA=ABsinP=2R，∴sinB=AP2R ，sinA=BP2R，sinP=2c2R，∴|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53，故选：C．根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再根据点到直线的距离公式可得5b√a2+b2=4，得到5b=4c，即可求出a=35c，根据正弦定理可得|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：f(x)=f′(1)2e2x−2+x2−2f(0)⋅x，令x=0，则f(0)=f′(1)2e2．∵f′(x)=f′(1)⋅e2x−2+2x−2f(0)，令x=1，则f′(1)=f′(1)+2−2f(0)，解得f(0)=1．∴f′(1)=2e2．∴f(x)=e2x+x2−2x，∴f(2)=e4．令ℎ(x)=e2x g(x)，∵g′(x)+2g(x)<0，∴ℎ′(x)=e2x g′(x)+2e2x g(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0，∴函数ℎ(x)在R上单调递减，∴ℎ(2016)>ℎ(2018)，∴e2016×2g(2016)>e2018×2g(2018)，可得：g(2016)>e4g(2018)．∴g(2016)>f(2)g(2018)．故选：C．13/ 16f(x)=f′(1)2e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，令x =0，则f(0)=f ′(1)2e 2.由f′(x)=f′(1)⋅e 2x−2+2x −2f(0)，令x =1，可得f(0).进而得出f′(1)，f(x)，f(2).令ℎ(x)=e 2x g(x)，及其已知g′(x)+2g(x)<0，可得ℎ′(x)=e 2x [g′(x)+2g(x)]<0，利用函数ℎ(x)在R 上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13. 解：由于a =∫(π0cosx −sinx)dx =(sinx +cosx)| 0π=−1−1=−2，∴(−2√x −1√x)6=(2√x +1√x)6的通项公式为T r+1=26−r C 6r⋅x 3−r ，令3−r =2，求得r =1，故含x 2项的系数为26−1C 61=192． 故答案为：192根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：∵函数f(x)={ax(x +2),x <0x(x−b),x≥0={ax 2+2ax,x <0x 2−bx,x≥0为奇函数，故f(−x)=−f(x)恒成立， 故{−b =2a a=−1.即{b =2a=−1， ∴f(x)={−x 2−2x,x <0x 2−2x,x≥0，∴f(a +b)=f(1)=1−2=−1， 故答案为：−1．由已知中函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立，可得a ，b 的值，进而可得f(a +b)的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档． 15. 解：由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、F 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =12GC =1，在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴EF =√3， ∴DE =2√3， ∴AA 1=2√3． 故答案为：2√3．由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度．本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．16. 解：由CD//OA ，∠AOB =π3，∠AOC =θ，得∠OCD =θ，∠ODC =2π3，∠COD =π3−θ； 在△OCD 中，由正弦定理，得CD =√3sin(π3−θ)，θ∈(0,π3)， 设渔网的长度为f(θ)，可得f(θ)=θ+1+√3sin(π3−θ)，15 / 16所以f′(θ)=1−√3cos(π3−θ)，因为θ∈(0,π3)， 所以π3−θ∈(0,π3)，令f′(θ)=0，得cos(π3−θ)=3，所以π3−θ=π6，所以θ=π6．所以f(θ)∈(2,π+6+2√36]. 故所需渔网长度的最大值为π+6+2√36． 确定∠COD ，在△OCD 中利用正弦定理求得CD 的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题．17. (1)6S n =a n2+3a n +2，n ∈N ∗.n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1，化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0，由a n >0，可得a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1.利用等差数列的通项公式可得a n ．(2)b n =(−1)n a n 2=(−1)n (3n −2)2.b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21.利用分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. (1)推导出△BAD≌△EDC ，∠DBA =∠DEH ，从而BD ⊥EC ，由PH ⊥平面ABCD ，得BD ⊥PH ，由此能证明BD ⊥平面PEC ，从而PC ⊥BD ．(2)推导出PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B −DF −C 的余弦值是√1515．本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 19. (1)把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算； (2)根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．20. (1)先求出p 的值，即可求出c 的值，根据离心率求出a 的值，即可得到椭圆方程， (2)设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 2+2y 2=8y=kx+m，根据直线AM 与BM 的斜率乘积为−12，求出m =0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．21. (1)当b =2时，f(x)=ae x +x 2−2x ，(a ∈R)，f′(x)=ae x +2x −2，(a ∈R)，由题意a =2−2x e x，令ℎ(x)=2−2x e x，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x =2，由此能求出当a =−2e 2或a∈[0,+∞)时，f′(x)在R上有且只有一个零点．= (2)由f(x)=ae x+x2−bx，得f′(x)=ae x+2x−b，假设存在x0，则f(x0)−f(m)x0−m ),(x0≠m)，利用导数性质推导出不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2f′(x0+m)(x0−m)成立．2本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．22. (1)考查直线l1，l2参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化.重点都是消去参数t．(2)利用l1，l2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度．考查极坐标方程与参数方程，普通方程的互化.记准互化公式和原则是关键，属于中档题目．23. (1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)
2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．（5 分）已知会合 A={ x| x2﹣ 2x﹣3＞0} ，B=N，则会合（ ?R A）∩ B 中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（ 5 分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣ 6B．13C．D．3．（ 5 分）已知 f（x）=sinx﹣tanx，命题 p：? x0∈（ 0，），f （x0）＜0，则（）A．p 是假命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0B．p 是假命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 0C．p 是真命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0D．p 是真命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 04．（5 分）已知程序框图如图，则输出i 的值为（）A．7B．9C．11D．135．（5 分） 2018 年元旦假期，高三的8 名同学准备拼车去旅行，此中（1）班、（2）班，（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4 名同学（乘同一辆车的4 名同学不考虑地点），此中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A．18 种B．24 种C．48 种D．36 种6．（5 分）《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如下图，此中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（）A．1+B．1+2C．2+D．2+27．（5 分）设不等式组表示的平面地区为D，若圆 C：（x+1）2+y2=r2（r ＞0）不经过地区 D 上的点，则 r 的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（0，）D．[，]8．（5 分）若等边三角形ABC的边长为 3，平面内一点 M 知足 6﹣3=2，则?的值为（）A．﹣B．﹣ 2C．2D．9．（ 5 分）对于函数 f（x）=3sin（ 2x﹣）+1（x∈R），以下命题正确的选项是（）A．由 f（ x1）=f（ x2） =1 可得 x1﹣ x2是π的整数倍B．y=f（x）的表达式可改写成f（ x） =3cos（2x+）+1C．y=f（x）的图象对于点（，1）对称D．y=f（x）的图象对于直线x=﹣对称10．（ 5 分）设函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，若对于 x∈[ 1， 3] ，f （x）＜﹣ m+4 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）A．（﹣∞， 0]B．C．D．11．（ 5 分）设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若双曲线的渐近线被圆 M ：x2+y2﹣10x=0 所截得的两条弦长之和为12，已知△ ABP的极点 A，B 分别为双曲线的左、右焦点，极点 P 在双曲线上，则的值等于（）A．B．C．D．12．（ 5 分）已知定义在R 上的函数 f（ x）和 g（x）分别知足 f（x）=，e2x﹣2+x2﹣ 2f（0）?x，g′（x）+2g（ x）＜ 0，则以下不等式恒成立的是（）A．g（2016）＜ f（2）?g（ 2018）B．f （2）?g（ 2016）＜ g（ 2018）C．g（2016）＞ f （2）?g（ 2018）D．f（2）?g（ 2016）＞ g（2018）二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．（ 5 分）设 a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的睁开式中含x2项的系数为．14．（ 5 分）若函数 f （x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为．15．（ 5 分）已知三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面 ABC，如有一半径为 2 的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为．16．（ 5 分）如图， OA，OB 为扇形湖面 OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区﹣地区I 和地区Ⅱ，点 C 在上，∠ COA=θ，CD∥OA，其中，半径 OC及线段 CD 需要用渔网制成．若∠ AOB=，OA=1，则所需渔网的最大长度为．三、解答题（共70 分）17．（ 12 分）已知 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，且 a1＜2，a n＞0， 6S n=+3a n+2，n∈N* ．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）若对 ? n∈ N* ，b n（﹣）n ，求数列 { b n 的前2n 项的和2n ．=1 } T18．（12 分）如下图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AB∥CD，∠BAD=90°，DC=DA=2AB=2 ，点 E 为 AD 的中点，BD∩ CE=H，PH⊥平面 ABCD，且 PH=4．（1）求证： PC⊥BD；（ 2）线段 PC上能否存在一点 F，使二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是？若存在，请找出点 F 的地点；若不存在，请说明原因．19．（ 12 分）某地域为认识学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出 160 名，其数学构成绩（均为整数）的频次散布直方图如下图．（ 1）预计此次考试数学成绩的均匀分和众数；（ 2）假定在（ 90，100] 段的学生中有 3 人得满分 100 分，有 2 人得 99 分，其他学生的数学成绩都不同样．现从 90 分以上的学生中任取 4 人，不一样分数的个数为 ξ，求 ξ的散布列及数学希望 E （ξ）．20．（12 分）已知椭圆 C 1： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为 ，右焦点 F 是抛物线 C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点（ 2，4）在抛物线 C 2 上．（ 1）求椭圆 C 1 的方程；（ 2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 1 于 A ，B 两点， M （ 0，2），直线 AM 与 BM的斜率乘积为﹣ ，若在椭圆上存在点 N ，使| AN| =| BN| ，求△ ABN 的面积的最小值．21．（ 12 分）已知函数 f （x ）=ae x +x 2﹣bx （a ，b ∈ R ），其导函数为 y=f ′（ x ）．（ 1）当 b=2 时，若函数 y=f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点，务实数 a 的取值范围；（ 2）设 a ≠0，点 P （m ， n ）（m ， n ∈ R ）是曲线 y=f （x ）上的一个定点，能否存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立？并证明你x xx的结论．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．（ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 1：（ t 为参数）， l 2：（t 为参数），此中 α∈（ 0，），以原点 O 为极点， x 轴第 5页（共 25页）非负半轴为极轴，取同样长度单位成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（1）写出 l1， l2的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设 l1，l 2分别与曲线 C 交于点 A，B（非坐标原点），求 | AB| 的值．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．设函数 f （x）=| x﹣a| （ a＞ 0）．（1）当 a=2 时，解不等式 f（x）≥ 1﹣ 2x；（2）已知 f（x）+| x﹣1| 的最小值为 3，且 m2n=a（ m＞0，n＞0），求 m+n 的最小值．2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．【剖析】可先求出会合A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ，而后进行交集、补集的运算即可．【解答】解： A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ；∴?R A={ x| ﹣1≤x≤3} ；∴（ ?R A）∩ B={ 0，1，2，3} ．应选： C．【评论】考察一元二次不等式的解法，以及描绘法、列举法表示会合的观点，交集和补集的运算．2．【剖析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0 且虚部不等于求解 a 的值．【解答】解：由复数==是纯虚数，则，解得 a=﹣6．应选： A．【评论】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的基本观点，是基础的计算题．3．第 7页（共 25页）否认是全称命题写出结果．【解答】解：f（ x）=sinx﹣tanx，x∈（ 0，），当x=时，∴ f（x）=，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，是真命题，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，则￢p：? x∈（0，），f（x）≥ 0．应选： C．【评论】此题考察命题的否认，特称命题与全称命题的否认关系，基本知识的考察．4．【剖析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．【解答】解：当 S=1时，不知足退出循环的条件，故S=1，i=3；当 S=1时，不知足退出循环的条件，故 S=3，i=5；当S=3时，不知足退出循环的条件，故 S=15， i=7；当S=15时，不知足退出循环的条件，故 S=105，i=9；当 S=105时，不知足退出循环的条件，故 S=945， i=11；当S=945时，不知足退出循环的条件，故 S=10395，i=13；当S=10395时，知足退出循环的条件，故输出的 i=13，应选： D．【评论】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采纳模拟循环的方法解答．5．【剖析】分类议论，第一类，一班的 2 名同学在甲车上；第二类，一班的2 名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，一班的 2 名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不一样的班级，从三个班级中选两个为C2=3，而后分别从选择的班级中再选第 8页（共 25页）择一个学生为 C21C21=4，故有 3×4=12 种．第二类，一班的 2 名同学不在甲车上，则从剩下的 3 个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为 C31=3，而后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有 3×4=12 种，依据分类计数原理得，共有 12+12=24 种不一样的搭车方式，应选： B．【评论】此题考察计数原理的应用，考察组合知识，考察学生的计算能力，属于中档题．6．【剖析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形联合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图；正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，此中一条侧棱 PD⊥底面 ABCD，且侧棱 AD=1，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且 PA=PC= ，∴四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2S△SAD+2S△SAB=1+2××1×1+2××1×=2+．应选： C．【评论】此题考察了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7．【剖析】作出题中不等式组表示的平面地区，获得如图的△MNP 及其内部，而圆 C 表示以（﹣ 1，﹣1）为圆心且半径为 r 的圆．察看图形，可得半径r ＜CM或 r＞CP 时，圆 C 不经过地区 D 上的点，由此联合平面内两点之间的距离公式，即可获得 r 的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面地区，获得如图的△ MNP 及其内部，此中M（1，1）， N（2，2），P（1，3）∵圆 C：（x+1）2 +y2=r2（r ＞0）表示以 C（﹣ 1，0）为圆心，半径为r的圆，∴由图可得，当半径知足r＜ CM 或 r＞CP时，圆 C 不经过地区 D 上的点，∵CM==，CP==．∴当 0＜r ＜或r＞时，圆C不经过地区D上的点，应选： A．【评论】此题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面地区，求半径r的取值范围．侧重考察了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面地区等知识，属于中档题．8．【剖析】依据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，而后进行数目积的运算即可．【解答】 解：等边三角形 ABC 的边长为 3；∴；；∴；∴==，=；∴= ==﹣2．应选： B ．【评论】考察向量数目积的运算及计算公式， 以及向量的数乘运算， 向量加法的几何意义．9．【剖析】依据函数 f （ x ）=3sin （ 2x ﹣ ）+1（ x ∈ R ），联合三角函数的性质即可 判断各选项．【解答】 解：函数 f （x ） =3sin （2x ﹣ ）+1（x ∈R ），周期 T=，对于 A ：由 f （ x 1） =f （ 2） ，x =1可能 x 1 与 x 2 对于此中一条对称轴是对称的，此时 x 1﹣x 2 不是 π的整数倍；∴ A不对．对于 B ：由引诱公式， 3sin （2x ﹣ ） +1=3cos[ ﹣（ 2x ﹣ ） ]+ 1=3cos （ 2x﹣）+1．∴ B 不对．第11页（共 25页）∴C不对，对于 D：当 x=﹣时，可得f（）=3sin（﹣﹣）+1=﹣1×3+1=﹣2，f（x）的图象对于直线x=﹣对称．应选： D．【评论】此题主要考察利用y=Asin（ωx+φ）的信息特点，判断各选项的正误，属于中档题．10．【剖析】利用分别参数法，再求出对应函数在x∈ [ 1，3] 上的最大值，即可求m 的取值范围．【解答】解：由题意， f（x）＜﹣ m+4，可得 m（ x2﹣x+1）＜ 5．∵当 x∈[ 1， 3] 时， x2﹣x+1∈[ 1，7] ，∴不等式 f（ x）＜ 0 等价于 m＜．∵当 x=3 时，的最小值为，∴若要不等式 m＜恒成立，则一定 m＜，所以，实数 m 的取值范围为（﹣∞，），应选： D．【评论】此题考察恒成立问题，考察分别参数法的运用，解题的要点是分别参数，正确求最值，属于中档题．11．【剖析】依据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再依据点到直线的距离公式可得=4，获得5b=4c，即可求出a= c ，依据正弦定理可得第12页（共 25页）== =【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=x，双曲线的渐近线被圆M ：x2+y2﹣ 10x=0，即（x﹣ 5）2+y2=25 所截得的两条弦长之和为 12，设圆心到直线的距离为d，则 d==4，∴=4，即 5b=4c，即 b= c∵ a2=c2﹣ b2=c2，∴a= c，∴| AP﹣BP| =2a，由正弦定理可得∴sinB= ， sinA====2R，，sinP=，∴== =，应选： C．【评论】此题考察了双曲线的简单性质以及圆的相关性质和正弦定理，属于中档题12．【剖析】 f（x）=2x﹣2 2﹣ 2f（0）?x，令 x=0，则 f （0）= ．由 f ′e +x（x）=f （′1）?e2x﹣2+2x﹣2f（0），令 x=1，可得 f（0）．从而得出 f （′1），f（ x），（）．令（）2x （），及其已知2x[ g′f 2h x =e g x g′（x）+2g（x）＜0，可得 h′（x）=e （x）+2g（x）] ＜0，利用函数 h（ x）在 R 上单一递减，即可得出．【解答】解： f（x） =2x﹣ 2 2e +x ﹣2f（ 0） ?x，令 x=0，则 f（0）=．∵f （′ x）=f ′（1）?e2x﹣2+2x﹣ 2f（0），令 x=1，则 f ′（ 1） =f ′（1）+2﹣2f（0），解得 f（ 0） =1．∴ f （′ 1） =2e2．∴ f（x）=e2x+x2﹣2x，∴f（2）=e4．令 h（x） =e2x g（x），∵ g′（x） +2g（x）＜ 0，∴h′（x） =e2x g′（x）+2e2x g（ x） =e2x[ g′（ x）+2g（ x） ] ＜ 0，∴函数 h（ x）在 R 上单一递减，∴ h（2016）＞ h（ 2018），∴e2016×2g（2016）＞ e2018×2g（ 2018），可得： g（2016）＞ e4g（2018）．∴g（ 2016）＞ f（ 2）g（2018）．应选： C．【评论】此题考察了利用导数研究函数的单一性极值与最值、结构法、方程与不等式的解法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．第14页（共 25页）出 r 的值，问题得以解决．【解答】解：因为 a= （cosx﹣sinx）dx=（ sinx+cosx）| =﹣ 1﹣ 1=﹣2，∴（﹣2 ﹣）6+ ）6的通项公式为r+1 6﹣r 6r 3﹣r ，=（2 T =2 C ?x令 3﹣r=2，求得 r=1，故含 x2项的系数为 26﹣1C61=192．故答案为： 192【评论】此题主要考察定积分、二项式定理的应用，二项式睁开式的通项公式，属于基础题．14．【剖析】由已知中函数f（ x）为奇函数， f（﹣ x）=﹣f（ x）恒成立，可得 a，b 的值，从而可得 f （a+b）的值．【解答】解：∵函数 f （x）==为奇函数，故 f（﹣ x） =﹣ f（ x）恒成立，故．即，∴ f（x）=，∴f（a+b） =f（1）=1﹣ 2=﹣1，故答案为：﹣ 1．【评论】此题考察的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15．【剖析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA1的长度．【解答】解：由题意，△ ABC的外接圆即为球的大圆，r=2，设底面△ ABC外接圆圆心 G，即 GA=GB=GC=2，从而正三角形 ABC边长 2 ，设球心 O，由题意， E、D 在球面上， OE=OD=2，F 为 DE中点，则 OF⊥DE， OF=GD= GC=1，在 Rt△OEF中， OE=2， OF=1，∴EF= ，∴ DE=2 ，∴AA1=2 ．故答案为： 2 ．【评论】此题考察正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，经过两者的关系求出正三棱柱的体积，考察计算能力，逻辑推理能力．16．【剖析】确立∠ COD，在△ OCD中利用正弦定理求得CD 的长度，依据所需渔网长度，即图中弧 AC、半径 OC和线段 CD长度之和，确立函数的分析式，利用导数确立函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】解：由 CD∥OA，∠ AOB=，∠ AOC=θ，得∠ OCD=θ，∠ ODC=，∠COD=﹣θ；在△ OCD中，由正弦定理，得CD= sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ），可得 f （θ）=θ+1+ sin（﹣θ），所以 f ′（θ）=1﹣cos（﹣θ），因为θ∈（0，），所以﹣θ∈（ 0，），第16页（共 25页）令 f ′（θ）=0，得 cos（﹣θ）=，所以﹣θ= ，所以θ= ．θ（0，）（，）f （′θ）+0﹣f（θ）极大值所以 f （θ）∈（ 2，] ．故所需渔网长度的最大值为．【评论】此题考察了正弦定理的应用问题，也考察了函数模型的建立与最值应用问题，是难题．三、解答题（共70 分）17．【剖析】（1）6S n=+3a n+2，n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1，化为（ a n+a n﹣1）（a n﹣ a n﹣1﹣3）=0，由 a n＞0，可得 a n﹣a n﹣1=3，n=1 时，6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得 a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2） b n=（﹣ 1）n =（﹣ 1）n（3n﹣2）2． b2n﹣1+b2n=﹣（ 6n﹣ 5）2+（6n﹣ 2）2=3（12n﹣7）=36n﹣21．利用分组乞降即可得出．【解答】解：（1）6S n =+3a n+2， n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1= +3a n +2﹣（+2），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵a n＞0，∴ a n﹣ a n﹣1=3，n=1 时， 6a1= +3a1+2，且 a1＜2，解得 a1=1．∴数列 { a n} 是等差数列，首项为1，公差为 3．∴a n=1+3（ n﹣ 1）=3n﹣2．=（﹣ 1）n（3n﹣ 2）2．（ 2） b n =（﹣ 1）n∴b+b=﹣（ 6n﹣5）2+（6n﹣ 2）2=3（ 12n﹣7）=36n﹣21．第17页（共 25页）∴数列 { b n 的前2n 项的和 2n （）﹣21n=﹣ 2} T =36 1+2+ +n 21n=18n ﹣3n．【评论】此题考察了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与乞降公式、分组乞降方法，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【剖析】（1）推导出△ BAD≌△ EDC，∠ DBA=∠DEH，从而 BD⊥EC，由 PH⊥平面 ABCD，得 BD⊥PH，由此能证明 BD⊥平面 PEC，从而 PC⊥ BD．（2）推导出 PH、 EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为 x，y， z 轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC 上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【解答】证明：（1）∵ AB∥CD，∠ BAD=90°，∴∠ EDC=∠BAD=90°，∵DC=DA=2AB，E 为 AD 的中点，∴ AB=ED，∴△ BAD≌△ EDC，∴∠ DBA=∠DEH，∵∠ DBA+∠ADB=90°，∴∠ DEH+∠ADB=90°，∴ BD⊥EC，又∵ PH⊥平面 ABCD，BD? 平面 ABCD，∴ BD⊥PH，又∵ PH∩ EC=H，且 PH，EC? 平面 PEC，∴ BD⊥平面PEC，又∵ PC? 平面 PEC，∴ PC⊥BD．解：（ 2）由（ 1）可知△ DHE∽△ DAB，由题意得 BD=EC=5，AB=DE= ，∴，∴EH=1， HC=4，DH=2，HB=3，∵ PH、EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为x，y，z 轴的坐标系，H（0，0，0），B（3，0，0），C（0，4，0），D（﹣ 2，0，0），P（0，0，4），假定线段 PC上存在一点 F 知足题意，∵与共线，∴存在独一实数λ，（0≤λ≤ 1），知足 =λ，解得F（0，4﹣4λ， 4λ），设向量=（x，y， z）为平面 CPD的一个法向量，且=（0，﹣ 4，4），=（﹣2，﹣4，0），∴，取 x=2，得=（2，﹣ 1，﹣ 1），同理得平面 CPD的一个法向量=（0，λ，λ﹣1），∵二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是，∴ | cos＜＞| ===，由 0≤λ≤ 1，解得λ=，∴=，∵CP=4 ，∴线段 PC上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【评论】此题考察线线垂直垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是中档题．19．【剖析】（1）把组中值看作各小组的均匀数，依据加权均匀数公式计算；（ 2）依据组合数公式计算各样状况的概率，得出散布列．【解答】解：（1） =45×0.005×10+55×0.015×10+65× 0.02×10+75× 0.03×10+85×0.025×10+95× 0.005×10=72（分），众数为 75 分．（2） 90 分以上的人数为 160×0.005×10=8人．∴ξ的可能取值为 2， 3， 4，P（ξ =2）==，P（ξ =3）==，P（ξ =4）==．∴ξ的散布列为：ξ 2 3 4P∴ξ的数学希望是 E（ξ）=2× +3×+4×=．【评论】此题考察了频次散布直方图，失散型随机变量的散布列和数学希望，属于中档题．20．【剖析】（1）先求出 p 的值，即可求出 c 的值，依据离心率求出 a 的值，即可得到椭圆方程，（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（ x1，1），（2，2），由，yB x y依据直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，求出m=0，再依据弦长公式求出| AB|和| ON| ，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：（1）∵点（ 2， 4）在抛物线 y2=2px 上，∴16=4p，第20页（共 25页）∴椭圆的右焦点为F（2，0），∴c=2，∵椭圆 C1：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，∴= ，∴a=2 ，∴b2=a2﹣ c2=8﹣4=4，∴椭圆 C1的方程为+，=1（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（x1，1 ），（ 2 ， 2 ），y B x y 由，消 y 可得（ 1+2k2） x2 +4kmx+2m2﹣8=0，∴ x1 2 ， 1 2 ，+x = x x =∴ y1 2 （ 1 2 ）+2m= ，12 212 （ 1 2） 2=+y =k x +x y y =k x x +km x +x +m∵ M（0，2），直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，∴ k1?k2=?===﹣，解得 m=0，∴直线 l 的方程为 y=kx，线段 AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得 | AB| ==，∵| AN| =| BN| ，∴ ON 垂直均分线段 AB，当 k≠0 时，设直线 ON 的方程为 y=﹣x，同理可得|ON|== ，∴ S △ ABN = | ON| ?| AB| =8，当 k=0 时，△ ABN 的面积也合适上式，令 t=k 2+1， t ≥1，0＜ ≤ 1，则S =8=8=8，△ABN∴当 = 时，即 k=±1 时， S △ABN 的最小值为 ．【评论】此题考察椭圆的标准方程， 直线与椭圆的地点关系， 考察椭圆与二次函数函数的应用，考察计算能力，属于难题．21．【剖析】（1）当 b=2 时，f （ x ）=ae x +x 2﹣ 2x ，（ a ∈ R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣2，（ a ∈ R ），由题意 a=，令 h （ x ）= ，则 =0，解得 x=2，由此能求出当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2 ）由f （ x ） =ae x +x 2 ﹣ bx ， 得 f ′（ x ） =ae x +2x ﹣ b ， 假定 存在 x 0 ，则，利用导数性质推导出不存在实数x （0 x 0≠m ）使得 f （x 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立．x【解答】 解：（1）当 b=2 时， f （x ）=ae x +x 2﹣2x ，（a ∈R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣ 2，（a ∈R ）， 由题意得 ae x +2x ﹣ 2=0，即 a= ，令 h （x ） =，则=0，解得 x=2，当 x ＜2 时， h ′（ x ）＜ 0，h （x ）单一递减，当 x ＞2 时， h ′（ x ）＞ 0，h （x ）单一递加， ∴ h （ x ）min =h （ 2）=﹣ ，∵当 x=﹣ 1 时， h （﹣ 1） =4e ＞0，当 x ＞2 时， h （x ）=＜0，由题意适当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2）由 f （x ）=ae x +x 2﹣bx ，得 f ′（x ）=ae x +2x ﹣ b ，假定存在 x 0，则有 f （x 0）==，即，∵ f （′）= +2 ﹣b ，==+（x 0+m ）﹣ b ，∴+2?﹣ b=+（x 0 +m ）﹣ ，b即 = ，∵ a ≠0，∴，令 t=x 0﹣ m ＞ ，则，两边同时除以 e m ，得，即 ，令 g （t ） =，∴ ，令 h （t ） =﹣ ﹣1 在（ 0，+∞）上单一递加，且 h （0）=0，∴ h （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，即 g ′（t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴ g （ e ）在（ 0，+∞）上单一递加， g （0）=0，∴ g （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴= 不可立，同理， t=x 0﹣ m ＜0 时，∴不存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f ′（）（0﹣ m ）成立． x xx【评论】此题考察利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、 知足条件的实数能否存在的判断与证明，考察函数与方程思想、转变与化归思想，考察运算求解能力、推理论证能力，考察创新意识，是中档题．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．【剖析】（1）考察直线 l 1，l 2 参数方程与极坐标方程的互化，曲线 C 的极坐标方程与直角坐标方程的互化．要点都是消去参数t ．（ 2）利用 l 1， l 2 极坐标方程，联合余弦定理，计算出 | AB| 的长度．【解答】 解：（1）l 1，l 2 的极坐标方程为 θ1=α（ρ∈R ）， θ2=α+ （ρ∈R ）．曲线 C 的极坐标方程方程为 ρ﹣4cos θ=0．即得 ρ2﹣4ρcos θ=0，222利用 ρ x +y ，x=ρcos θ得曲线 C 的直角坐标方程为（ x ﹣2）2+y 2=4． （ 2）因为 ρ1=4cos α， ρ2=4cos （α+ ），所以|AB|2﹣ ρ1． ρ222（ ）﹣ cos αcos=+2 cos=16[ cos α+cos（）]=16[ cos 2α+ （cos α﹣ sin α）2﹣cos α（ cos α﹣ sin α）] =8，所以| AB| 的值为 2 ．【评论】考察极坐标方程与参数方程， 一般方程的互化． 记准互化公式和原则是要点，属于中档题目．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]第24页（共 25页）23．【剖析】（1）经过议论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）依据绝对值不等式的性质求出 a 的值，联合基本不等式的性质求出 m+n 的最小值即可．【解答】解：（1）当 x≥2 时， x﹣ 2≥ 1﹣ 2x，得 x≥1，故 x≥2，当 x＜2 时， 2﹣x≥1﹣2x，得 x≥﹣ 1，故﹣ 1≤x＜2，综上，不等式的解集是 { x| x≥﹣ 1} ；（ 2）∵ f（ x）+| x﹣ 1| 的最小值是 3，∴ f（x）+| x﹣1| ≥| x﹣ a﹣（ x﹣ 1） | =| a﹣ 1|=3，故 a=4，∵ m+n= + +n≥3 =3，当且仅当=n 即 m=2， n=1 时取“=．”【评论】此题考察认识绝对值不等式问题，考察绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．第25页（共 25页）。
数学---河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测(模拟)试题(文)(扫描版)
河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测（模拟）数学试题（文）【参考答案】一、 选择题二、填空题13.614.315.10016.y x = 三、解答题 17．解：(1).sin sin sin a b cA B C==2sin cos 2sin sin ,C B A B =+由已知可得，2sin cos 2sin )sin .C B B C B =++则有（2sin cos sin 0,B C B ∴+=sin 0.B B ∴≠ 为三角形的内角1cos .2C ∴=-2π.3C C ∴=又为三角形的内角,（2）11sin ,.22S ab C c ab ==∴= 222222cos ,c a b ab C a b ab =+-=++又22223.4a b a b ab ab ∴=++≥12.ab ∴≥故ab 的最小值为12.18．解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名.80(5101547)3x ∴=-+++=，20(23102) 3.y ==+++=抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A ，B ，C ；两位女生设为a ，b .从5名任意选2名，总的基本事件有(,)A B ，(,)A C ，(,)A a ，(,)A b (,)BC ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b ，(,)a b ，共10个.设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A ”.则事件包含的基本事件有(,)A a ，(,)A b ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b 共6个.63()105P A ∴==. （2）22⨯列联表如下表：则222()100(5015305)9.091.()()()()80205545n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯9.091 6.635> 且2( 6.635)0.010P k ≥=.所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘体育达人’与性别无关”. 19．（1）证明：连接CD ，据题知.2,4==BD AD222,90,AC BC AB ACB +=∴∠= cos 63ABC ∠== 22CD =2+12-2?2?ABC =8∴∠.22=∴CD222+=∴CD AD AC ,则CD AB ⊥,又因为⊥PAB ABC 平面平面，所以,,⊥∴⊥CD PAB CD PD 平面 因为⊥PD AC ，,AC CD 都在平面ABC 内，所以⊥PD 平面ABC ； （2）π,4PAB ∠=4,PD AD ∴==PA ∴=Rt PCD PC ∴∆==在中， PAC ∴∆是等腰三角形，PAC S ∆∴可求得=,B PAC d 设点到平面的距离为B PAC P ABC V V --=由，11,33PAC ABC S d S PD ∆∆∴⨯=⨯=3.ABC PAC S PD d S ∆∆⨯∴=B PAC 故点到平面的距离为3.20．解：（1）222:210C y x x y +-+=+可化为22(1)(1)1x y ++-=，则-1,1C 圆心为（）.∴抛物线的方程为212.y x =（2）1122(0),(,),(,).l x my t t A x y B x y =+≠设直线为：212120.y my t --=联立可得121212,12,y y m y y t ∴+==- 1212,0,OA OB x x y y ⊥∴+=2212121)()0.m y y mt y y t ++++=即（2120t t -=整理可得，0,12.t t ≠∴=12,l x my ∴=+直线的方程为：(12,0).l P 故直线过定(1,1)CN l M C l ∴⊥-当时，即动点经过圆心时到动直线的距离取得最大值.当l CP ⊥时，即动点M 经过圆心C (-1,1)时到动直线l 的距离取得最大值.,1,101=∴-=-==m k k CP MP21．解：（1）由已知可得()f x 的定义域为(0,).+∞1(),f x a x '=- (1)10,f a '∴=-= 1.a ∴=11()1,x f x x x-'∴=-= ()001,f x x '><<令得()01,f x x '<>令得()01+f x ∴∞的单调递增区间为（，），单调递减区间为（1，）.（2）不等式21()2(1)22x f x x k x -++>-可化为21ln (1)22x x x k x -+->-，21()ln (1),(1),22x g x x x k x x =-+--->令21(1)1()1,x k x g x x k x x-+-+'=-+-=令1,x > 2()(1)1,h x x k x =-+-+令1(),2kh x x -=的对称轴为 111,2kk -≤≥-当时，即0()1),h x x 易知在（，上单调递减 ()(1)1,h x h k ∴<=-1,()0,k h x ≥≤若则()0,g x '∴≤0()1),g x x ∴在（，上单调递减 ()(1)0g x g ∴<=，不适合题意.-1,(1)0,k h ≤<>若1则001)()0,x x x g x '∴∈>必存在使得（，时 0()1),g x x ∴在（，上单调递增()(1)0g x g ∴>=恒成立,适合题意.①111,2kk -><-当时，即00()1),x h x x 易知必存在使得在（，上单调递增 ()(1)10,h x h k ∴>=->()0,g x '∴>0()1),g x x ∴在（，上单调递增 ()(1)0g x g ∴>=恒成立,适合题意.综上，k 的取值范围是(,1).-∞22.解：(1)直线l 的参数方程为：1cos ,(sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）.28cos sin θρθ=，2sin 8cos ,ρθθ∴=22sin 8cos ,ρθρθ∴=28.y x =即 （2）当π4α=时，直线l的参数方程为：1,2(2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）,代入28y x =可得2160,t --=12,,A B t t 设、两点对应的参数分别为则11t t +=1216t t =-12AB t t ∴=-==π1sin,42O AB d =⨯=又点到直线的距离11222AOB S AB d ∆∴=⨯=⨯=23.解：(1)321,x x +<-由已知，可得22321.x x +<-即21080,x x -->则有：324.3x x ∴<->或 2(,)(4,).3-∞-+∞ 故所求不等式的解集为： 45,3,1(2)()2()()23217,3,2145,.2x x h x f x g x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=+=++-=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩由已知，设3454,49,x x ax ax x ≤--->+<--当时，只需恒成立即499304x x a x x --≤-<∴>=-- 恒成立.,1,)94(max ->∴-->∴a x a1374,302x ax ax -<<>+-<当时，只需恒成立即恒成立..61,61,0321033≤≤-∴⎩⎨⎧≤-≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--a a a a a 只需1454,4 1.2x x ax ax x ≥+>+<+当时，只需恒成立即14110,42x x a x x+≥>∴<=+ 恒成立. 414>+x,且无限趋近于4，.4≤∴a 综上，a 的取值范围是(1,4].-。
河南省2018年高考数学一模试卷(理科)Word版含解析
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）选择题1.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】故选【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解题的关键，属于基础题。
2.）A. -6B. 13C.D.【答案】A【解析】解答：a=−6.本题选择A选项.3.已知pA. p，B. pC. p，D. p【答案】C【解析】【分析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果。
命题：，是真命题【点睛】本题主要考查了命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题。
4.已知程序框图如图，则输出iA. 7B. 9C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】运行过程，可得答案．【点睛】本题主要考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答。
5.2018年元旦假期，高三的8各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐44班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种【答案】B【解析】【分析】组合知识，问题得以解决。
根据分类计数原理得，共有【点睛】本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积。
【详解】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且故选【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7.D，若圆C：D上的点，则r的取值范围为【答案】A【分析】表示以【详解】及其内部，其中时，圆的取值范围，着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题。
郑州市2018年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题(含答案)(2018.1.10)
2018年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案二、填空题13. -1; 14. 50,;2⎡⎤⎢⎥⎣⎦15. 12;35 16. .210x y ±= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（1）⎩⎨⎧=+===+=+5510552552135152d a a S d a a a ，求得.23,3,51+=∴⎩⎨⎧==n a d a n ...............6分（2）).231131(31)23)(13(1)13(1+--=+-=-=n n n n n a b n n ...............8分),23121(31)23113181515121(3121+-=+--++-+-=++=n n n b b b T n n ΛΛ.)23(269161+=+-=∴n n n T n ...............12分 18.解析：（1）由题意12210141134132)120(126119115113107105=++++++++++x ，解得8=x ；...............4分（2）随机变量η的所有取值有0,1,2,3,4.;457)0(2102102627===C C C C p η ;22591)1(210210261317===C C C C C p η;31)2(2102101416131724272623=++==C C C C C C C C C C p η ;22522)3(210210241317141623=+==C C C C C C C C p η ;2252)4(2102102423===C C C C p η...............9分η∴的分布列为：η0 1 2 3 4P457 22591 31 22522 225257225242252233122259114570)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ηE ...............12分19.（1）证明：连接DE ，由题意知,2,4==BD AD.90,222οΘ=∠∴=+ACB AB BC AC.33632cos ==∠ABC .8cos 322212222=∠⨯⨯-+=∴ABC CD.22=∴CD222AC AD CD =+∴,则AB CD ⊥,...............2分又因为ABC PAB 平面平面⊥，所以,,PD CD PAB CD ⊥∴⊥平面 因为AC PD ⊥，CD AC ,都在平面ABC 内， 所以⊥PD 平面ABC ；...............4分（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，且PA 与平面ABC 所成的角为4π，有4=PD ， 则)4,0,0(),0,2,0(),0,0,22(),0,4,0(P B C A -∴)4,4,0(),0,4,22(),0,2,22(--==-=PA AC CB 因为,//,2,2AC DE EB CE DB AD ∴==由（1）知,BC AC ⊥⊥PD 平面ABC ，∴ CB ⊥平面DEP ...............8分 ∴)0,2,22(-=CB 为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =v，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,PA n AC n∴⎩⎨⎧=--=+0440422z y y x ，令1=z ，则1,2-==y x ，...............10分∴)1,1,2(-=为平面PAC 的一个法向量. ∴.2312424,cos -=⋅-->=<故平面PAC 与平面PDE 的锐二面角的余弦值为23, 所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为ο30................12分20.解析：（1）由题意c b a ab =+-2243，即).4)(()4(3222222222b a b a b a c b a +-=+=所以222b a =，22=∴e ................4分 （2）因为三角形2PQF ∆的周长为24，所以,2,244=∴=a a由（1）知12=b ，椭圆方程为1222=+y x ，且焦点)0,1(),0,1(21F F -， ①若直线l 斜率不存在，则可得l x ⊥轴，方程为)22,1(),22,1(,1----=Q P x ， )22,2(),22,2(22--=-=F F ，故2722=⋅Q F P F ................6分 ②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，由⎩⎨⎧=++=22),1(22y x x k y 消去y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ， 设),(),,(2211y x Q y x P ，则.1222,12422212221+-=+-=+k k x x k k x x ...............8分 ,)1)(1(),1(),1(2121221122y y x x y x y x F F +--=-⋅-=⋅则.1))(1()1(221221222+++-++=⋅k x x k x x k F F 代入韦达定理可得,)12(292712171)124)(1(1222)1(222222222222+-=+-=+++--++-+=⋅k k k k k k k k k k F F由02>k 可得)27,1(22-∈⋅Q F P F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1(22-∈⋅F F ， 所以F F 22⋅最大值是27...............12分 21.解析：（1）)0(,1)(2>-='x ax ax x f当0a <时，0)(>'x f 恒成立，所以函数()f x 是()0,+∞上的单调递增函数；当0a >时，()210ax f x ax -'=>，得1x a>， 01)(2<-='ax ax x f ，得ax 10<<， 函数单调递增区间为),1(+∞a ，减区间为).1,0(a综上所述，当0a <时，函数()f x 增区间为()0,.+∞.当0a >时，函数单调递增区间为),1(+∞a ，减区间为).1,0(a...............4分 （2）∵],1[e ex ∈，函数m x e x x g x-+-=)1(ln )(的零点， 即方程m x e x x=+-)1(ln 的根. 令()()ln 1e x h x x x =-+，()1ln 1e 1.x h x x x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭'................6分 由（1）知当1a =时， ()1ln 1f x x x=+-在)1,1[e 递减，在[]1,e 上递增，∴()()10f x f ≥=.∴1ln 10x x+-≥在],1[e e x ∈上恒成立.∴()1ln 1e 1010x h x x x ⎛⎫=+-+≥+>⎪⎭'⎝，...............8分 ∴()()ln 1e xh x x x =-+在],1[e ex ∈上单调递增. ∴()1min112e h x h e e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，e x h =max )(..........10分所以当112em e e <-+或e m >时，没有零点，当112e e m e e-+≤≤时有一个零点................12分22.(1)直线l 的参数方程为：1cos ,(sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）. ……2分28cos sin θρθ=Q ，2sin 8cos ,ρθθ∴=22sin 8cos ,ρθρθ∴=28.y x =即 ……5分（2）当4πα=时，直线l的参数方程为：1,(2x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）,……6分代入28y x =可得2160,t --=12,,A B t t 设、两点对应的参数分别为则11t t +=1216t t =-g12AB t t ∴=-==……8分1sin42O AB d π=⨯=又点到直线的距离11222AOB S AB d ∆∴=⨯=⨯=……10分23.（本小题满分10分）解：(1)321,x x +<-由已知，可得 22321.x x +<-即……1分21080,x x -->则有：324.3x x ∴<->或 ……3分 2(,)(4,).3-∞-+∞U 故所求不等式的解集为： ……4分45,3,1(2)()2()()23217,3,2145,.2x x h x f x g x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=+=++-=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩由已知，设……6分 3454,49,x x ax ax x ≤--->+<--当时，只需恒成立即499304x x a x x --≤-<∴>=--Q 恒成立.,1,)94(max ->∴-->∴a x a ……7分1374,302x ax ax -<<>+-<当时，只需恒成立即恒成立..61,61,0321033≤≤-∴⎩⎨⎧≤-≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--a a a a a 只需 ……8分1454,4 1.2x x ax ax x ≥+>+<+当时，只需恒成立即14110,42x x a x x +≥>∴<=+Q 恒成立.414>+x Θ,且无限趋近于4，.4≤∴a ……9分综上，a 的取值范围是(1,4].- ……10分。
郑州市2018年高中毕业班第一次质量预测理科数学试卷含标准答案
2018年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案二、填空题 13. -1; 14. 50,;2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 15. 12;3516. .210x y ±= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（1）⎩⎨⎧=+===+=+5510552552135152d a a S d a a a ，求得.23,3,51+=∴⎩⎨⎧==n a d a n ...............6分（2）).231131(31)23)(13(1)13(1+--=+-=-=n n n n n a b n n ...............8分 ),23121(31)23113181515121(3121+-=+--++-+-=++=n n n b b b T n n ΛΛ .)23(269161+=+-=∴n n n T n ...............12分 18.解析：（1）由题意12210141134132)120(126119115113107105=++++++++++x ， 解得8=x ；...............4分 （2）随机变量η的所有取值有0,1,2,3,4.;457)0(2102102627===C C C C p η ;22591)1(210210261317===C C C C C p η ;31)2(2102101416131724272623=++==C C C C C C C C C C p η ;22522)3(210210241317141623=+==C C C C C C C C p η ;2252)4(222423===C C C C p η....9分η∴的分布列为： 57225242252233122259114570)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ηE ....12分 19.（1）证明：连接DE ，由题意知,2,4==BD AD .90,222οΘ=∠∴=+ACB AB BC AC.33632cos ==∠ABC .8cos 322212222=∠⨯⨯-+=∴ABC CD .22=∴CD222AC AD CD =+∴,则AB CD ⊥,...............2分又因为ABC PAB 平面平面⊥，所以,,PD CD PAB CD ⊥∴⊥平面因为AC PD ⊥，CD AC ,都在平面ABC 内，所以⊥PD 平面ABC ；...............4分（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，且PA 与平面ABC 所成的角为4π，有4=PD ， 则)4,0,0(),0,2,0(),0,0,22(),0,4,0(P B C A - ∴)4,4,0(),0,4,22(),0,2,22(--==-=PA AC CB因为,//,2,2AC DE EB CE DB AD ∴==由（1）知,BC AC ⊥⊥PD 平面ABC ，∴ CB ⊥平面DEP ...............8分∴)0,2,22(-=CB 为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =v ，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,PA n AC n ∴⎩⎨⎧=--=+0440422z y y x ，令1=z ，则1,2-==y x ，...............10分∴)1,1,2(-=n 为平面PAC 的一个法向量.∴.2312424,cos -=⋅-->=<CB n 故平面PAC 与平面PDE 的锐二面角的余弦值为23, 所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为ο30................12分20.解析：（1）由题意c b a ab =+-2243，即).4)(()4(3222222222b a b a b a c b a +-=+=所以222b a =，22=∴e ................4分 （2）因为三角形2PQF ∆的周长为24，所以,2,244=∴=a a 由（1）知12=b ，椭圆方程为1222=+y x ，且焦点)0,1(),0,1(21F F -， ①若直线l 斜率不存在，则可得l x ⊥轴，方程为)22,1(),22,1(,1----=Q P x ， )22,2(),22,2(22--=-=Q F P F ，故2722=⋅Q F P F ................6分 ②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，由⎩⎨⎧=++=22),1(22y x x k y 消去y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ， 设),(),,(2211y x Q y x P ，则.1222,12422212221+-=+-=+k k x x k k x x ...............8分 ,)1)(1(),1(),1(2121221122y y x x y x y x Q F P F +--=-⋅-=⋅则.1))(1()1(221221222+++-++=⋅k x x k x x k Q F P F代入韦达定理可得,)12(292712171)124)(1(1222)1(222222222222+-=+-=+++--++-+=⋅k k k k k k k k k k Q F P F由02>k 可得)27,1(22-∈⋅F F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1(22-∈⋅F F ， 所以F F 22⋅最大值是27...............12分 21.解析：（1）)0(,1)(2>-='x ax ax x f当0a <时，0)(>'x f 恒成立，所以函数()f x 是()0,+∞上的单调递增函数； 当0a >时，()210ax f x ax -'=>，得1x a>， 01)(2<-='ax ax x f ，得ax 10<<， 函数单调递增区间为),1(+∞a ，减区间为).1,0(a综上所述，当0a <时，函数()f x 增区间为()0,.+∞. 当0a >时，函数单调递增区间为),1(+∞a ，减区间为).1,0(a...............4分 （2）∵],1[e ex ∈，函数m x e x x g x -+-=)1(ln )(的零点， 即方程m x e x x =+-)1(ln 的根.令()()ln 1e x h x x x =-+，()1ln 1e 1.x h x x x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭'................6分 由（1）知当1a =时， ()1ln 1f x x x=+-在)1,1[e 递减，在[]1,e 上递增，∴()()10f x f ≥=. ∴1ln 10x x+-≥在],1[e e x ∈上恒成立. ∴()1ln 1e 1010x h x x x ⎛⎫=+-+≥+> ⎪⎭'⎝，...............8分 ∴()()ln 1e x h x x x =-+在],1[e ex ∈上单调递增. ∴()1min 112e h x h e e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，e x h =max )(..........10分 所以当112em e e <-+或e m >时，没有零点，当112e e m e e-+≤≤时有一个零点................12分 22.(1)直线l 的参数方程为：1cos ,(sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）. ……2分 28cos sin θρθ=Q ，2sin 8cos ,ρθθ∴=22sin 8cos ,ρθρθ∴=28.y x =即 ……5分 （2）当4πα=时，直线l的参数方程为：1,2(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）,……6分代入28y x =可得2160,t --= 12,,A B t t 设、两点对应的参数分别为则11t t +=1216t t =-g12AB t t ∴=-== ……8分1sin4O AB d π=⨯=又点到直线的距离1122AOB S AB d ∆∴=⨯=⨯=……10分 23.（本小题满分10分） 解：(1)321,x x +<-由已知，可得22321.x x +<-即……1分 21080,x x -->则有：32 4.3x x ∴<->或 ……3分 2(,)(4,).3-∞-+∞U 故所求不等式的解集为： ……4分45,3,1(2)()2()()23217,3,2145,.2x x h x f x g x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=+=++-=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩由已知，设……6分3454,49,x x ax ax x ≤--->+<--当时，只需恒成立即 499304x x a x x --≤-<∴>=--Q 恒成立. ,1,)94(max ->∴-->∴a x a ……7分1374,302x ax ax -<<>+-<当时，只需恒成立即恒成立. .61,61,0321033≤≤-∴⎩⎨⎧≤-≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--a a a a a 只需 ……8分 1454,4 1.2x x ax ax x ≥+>+<+当时，只需恒成立即 14110,42x x a x x+≥>∴<=+Q 恒成立.414>+x Θ,且无限趋近于4， .4≤∴a ……9分综上，a 的取值范围是(1,4].- ……10分。
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2018年高中毕业年级第一次质量预测 参考答案理科数学 一、选择题
二、填空题10512??-1; 14. ?x.?y;0,; 16. 13. 15. ??
2235??
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25??a ?a 2a ?5d ,5a ???1521.2?a ?3n ? 分17.解析：（1），求得...............6??n 55?a ?5a ?10dS ?5,3d ???53111111???(?).b ）2 （...............8分
n
2n ?13n ?(3n ?1)(3n ?2)331a(3n ?)n n11.?T ??? ...............12分
n
)?2(3n69n ?62意由题（1）18.解析：
141?134?119
?126?(120?x )?132?105?107?113115?122? ，
108x ? 解
得...............4分；?0,1,2,3,4.
的所有取值有（2）随机变量22CC2??43;p(??4)??分....9 的分布列为：
72791122??0)E ??(?3?1??2????4 分 (12)
5225452253225 222.,90,?4,BD2AD ?DE ??ABACB ? AC ?BC ?，由题意知）证明：连接19.（1 222
AC ?AD ??CD ABCD ? ,,...............2分则ABC ?平面平面PAB ,PD 平面CD ?PAB,?CD ? ，所以又因为CD,AC ABC PD ?AC 内，因为都在平面，ABC ?PD ；所以...............4平面分xyzDAB ?PD,CD, 2（）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系，?ABC4PD ?PA 所成的角为，有 且，与平面
4),4),B(0,2,0P(0,0),,C4(A0,?,0),(220,0 则CB ?(?22,2,0),AC ?(22,4,0),PA ?(0,?4,?4) ∴
AD?2DB,CE?2EB,?DE//AC,因为CB?,BCAC?ABC?PD DEP分...............8平面，∴平面）知1由（．
)CB?(?22,2,0DEP∴的一个法向量为平面.?,?ACn????PACzxn?,y,设平面的法向量
为，则?,?PAn??0y?22x?41??x?2,y1z?...............10分，令，则，∴?
0??4y?4z?PAC),1n?(2,?1的一个法向量.为平面∴32?4?.?cos?n,CB???∴
212?43PAC PDE的锐二面角的余弦值为与平面, 故平面2 PAC30PDE的锐二面角为
与平面分所以平面................12ab3?222222222c?).ab?)?(a?3abb?c4(a)(?4b1，即）由题意（20.解析：22ba4?222?e?ba?2分所以，................4224PQF?,24a?4,?a?2的周长为，所以2（）因为三角形22x221??y)0,),F(1F(?1,01?b，椭圆方程为1）知，且焦点，由（
21222xl?l,?1x??1,P),Q(?1,?)(轴，方程为斜率不存在，则可得，①若直线
22722?Q?FFP)?2,?2,),FQ?F(?P(?，故分................62222222ll)?1y?k(x 的方程为，②若直线斜率存在，设直线),?1y?k(x?22220?)?1x?4kx?2k?2(2k y得，由消去
?222?x?2y?222?k2k4?,xx?.?x?x)y,y),Q(xP(x,，则设...............8分21212112221?2k?12k222.?k1?x)k?FQ?(??1)xx?(kx?1)(PF则
22211222297k74k?2k1?2222)?1Q?(k1)(?)?k????,FP?F??(k1代入韦达定理可得
77)?Q?(1,FP?F]1,FQ?(?FP?2k0k?由，不存在时的情况，得，222222)k1k??12k?122(22k1?2
结合当可得2222227FP?FQ最大值是所以分 (12)
?????0a???xf0,0?)(xf上的单调递增函数；2221?ax??)(fx,(?0)x）121.解析：（2ax
恒成立，所以函数时，当是ax?11???0?a?x?0?fx时，当，得，
2aax1ax?1??x0?(fx)?0?，得，2aax11).0(,??,()，减区间为函数单调递增区间为aa
????0a?.0,x??f.
综上所述，当时，函数增区间为110?a).,)(0(,??，减区间为时，函数单调递增区间为分...............4当a a1x m?e?x?g(x)(lnx?1)]x?[,e，函数2）∵的零点，（
e x mx?x?1)e?(ln即方程的根.1????????xx?xexh?x1??ln?h1ex?1.?lnx?，
令................6分??x??11????????1?a0?f?1,ef1x)[,11?xf?x?ln递减，在上递增，∴.时，在由（1）知当e x11],x?[e0?lnx?1?在∴上恒成立.
e x1????x?00h?x???lnx?1e1?1?∴分，...............8??
x??1????x x?elnx?1hx?]e[x?,.
上单调递增在∴e111??????h??2hex e)?h(x e..........10，分∴??maxmin ee??1111
e ??2e ??m ??2e ?m e ?m ee 所以当...............12分时有一个零点时，没有零点，当.或 ee ?,cos1?tx ??.t 为参数）(l 直线22.(1)? 的参数方程为：?sin ?ty ?分 ……
2?8cos 2222?????????.sin8?8xcos,?sin
即?8cosy,?? ，分 5 ……
2?sin
? 2,1?tx ???
?2??,为参数）(tl 直线2）当（? 时，的参数方程为： 4
2?ty ??
2?分6 ……
22
x ?y80,16?t ?82t ? 可得代入
2
t ?84?tt)3.?t ?AB ??t ?(t 211212 ……8分
112
ABS ??d ??83??26.?
AOB ?222 ……10 分23.（本小题满分10分）
(1)由已知，可得x ?3?2x ?1,解：
22
.1?2x ?即x ?3 分 ……124.??x ??或x ……3 分 32故所求不等式的解集为：
(??,?)(4,??).
……4分
3???4x ?5,x ??3,?1? (2)由已知，设h(x)?2f(x)?g(x)?2x ?3?2x ?1?7,?3?x ?,? 2?1?4x ?5,x ?.? ?2分6……．
9?a ?(?4?),?a ??1, max x ……7分
?3a ?3?0?a ??1?? ……8分 .?6,只需,???1?a ??1a ?6a ?3?0?? 2?1,且无限趋近
于4， 4?4? x ……9分 .a ?4?
综上，的取值范围是 分10…… 1,4].?(a。