平方根和立方根经典讲义
平方根、算术平方根、立方根重点 例题讲解
平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解平方根、算术平方根、立方根，这三个概念听起来好像很高大上，但其实它们都是我们日常生活中经常用到的数学知识。
今天，我就来给大家讲解一下这三个概念，让你在生活中轻松运用数学。
我们来说说平方根。
平方根就是一个数的正平方根，也就是一个数的平方等于这个数本身的那个数。
比如说，4的平方根是2,因为2乘以2等于4;9的平方根是3,因为3乘以3等于9。
平方根在我们生活中有很多应用，比如说计算土地面积、测量身高等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的平方根是多少呢？”这就需要用到计算器或者手算的方法了。
如果你不会手算，也没关系，我可以教你一个简单的方法：把那个数想象成一个正方形，然后找到它的边长，边长的平方就是那个数的平方根。
我们来说说算术平方根。
算术平方根就是一个数的正平方根，但是它只考虑奇数的情况。
比如说，5的算术平方根是无理数，因为5不能表示成两个整数相乘的形式；而4的算术平方根是2,因为2乘以2等于4。
算术平方根在我们生活中也有很多应用，比如说计算房间面积、测量长度等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的算术平方根是多少呢？”这同样需要用到计算器或者手算的方法。
如果你不会手算，也可以试试下面的方法：把那个数想象成一个正方形，然后找到最短的那条边，这条边的长度就是那个数的算术平方根。
我们来说说立方根。
立方根就是一个数的三次方根，也就是一个数的三次方等于这个数本身的那个数。
比如说，8的立方根是2,因为2乘以2乘以2等于8;27的立方根是3,因为3乘以3乘以3等于27。
立方根在我们生活中也有很多应用，比如说计算体积、计算速度等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的立方根是多少呢？”这同样需要用到计算器或者手算的方法。
如果你不会手算，也可以试试下面的方法：把那个数想象成一个正方体，然后找到最短的那条棱，这条棱的长度就是那个数的立方根。
平方根、算术平方根、立方根这三个概念虽然看起来有点复杂，但是只要掌握了它们的规律和方法，就可以在生活中轻松运用数学了。
平方根、算术平方根、立方根重点 例题讲解
For personal use only in study and research; not for commercial use6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
（2）平方根的性质：（3）注意事项： a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。
（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算： ① b a ab ∙=()0,0>>b a , ab b a =∙()0,0>>b a② b a b a =)0,0(>≥b a , b a ba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()b a b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：③ 333b a ab ∙= , 333ab b a =∙ 333b a b a = )0(≠b , 333b a b a = )0(≠b ④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（ 第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
无理数、平方根与立方根讲义
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ,那么这个数x 就叫做a 的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，的立方根是－－273，0是0的立方根。
注：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
二、同步题型分析1、说说谁“有理”，谁“无理” 以下各数：－1,23,3.14,－π,3.⋅3,0,2,27,24,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________. 在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________. 答案：有理数：－1，23，3.14,3.3,0,2,27,24. 无理数：－π,－0.2020020002…… 分数：23，3.3,27整数：－1，0，2，242、在“()05，3.14 ，-π，()23，0.123334， 0.212212221…”这6个数中，无理数的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3、下列语句正确的是（ ） A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数4、在直角△ABC 中，△C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ）A.整数B.分数C.无理数D.不能确定答案：B5、面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 答案：不是，是）解：解：()28=±64±=即()2711=±）解：解：解：利用平方根来解下列方程．（2x-1）2-169=0变式训练：、下列计算正确的是（=±2 B ()0.02±0.0004±即()225=±11的平方根是（2）∵（x ﹣1）3=8， ∴x ﹣1=2， ∴x=3． 点评： 本题考查了学生开平方、立方的能力，也考查了解方程的方法，比较容易解答．变式训练1．求下列各式中的x ：（1）4x 2=9； （2）1﹣（x+1）3=1001． 解答：解：（1）∵x 2=， ∴；（2）∵1﹣（x+1）3=1001，∴（x+1）3=﹣1000，∴x+1=﹣10，∴=﹣11．1、判断题(1)－0.01是0.1的平方根.………………………………………………………… …( )(2)－52的平方根为－5.……………………………………………………………… （ ） (3)0和负数没有平方根.……………………………………………………………… （ ）（4）因为161的平方根是±41,所以161=±41.……………………………………… （ ）（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.…………………………………… （ ） 2、选择题（1）下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.aD.－（a 2+1）(2)2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对（3）如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m(4)若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a3、填空题(1)若9x 2－49=0,则x =________.(2)若12 x 有意义，则x 范围是________.(3)已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x =________,y =________.(4)如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________.4、已知一个正方形ABCD 的面积是4a 2 cm 2,点E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 各边的中点，依次连结E 、F 、G 、H 得一个正方形.(1)求这个正方形的边长.(2)求当a =2 cm 时，正方形EFGH 的边长大约是多少厘米？（精确到0.1cm ）图1参考答案1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(1)D (2)D (3)D (4)B3.(1)±37 (2)x ≥－21(3)x =4,y =－8 (4)－a ,－a 4.(1)2a cm (2)2.8 cm【巩固练习】1、算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0 2、2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 3、满足53<<-x 的整数x 是（ ） A 、3,2,1,0,1,2-- B 、3,2,1,0,1- C 、3,2,1,0,1,2-- D 、2,1,0,1-4、下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根5、已知x ，y 是实数，且34x ++（y-3）2=0，则xy 的值是（ ） A ．4 B ．-4 C ．94 D ．-946、下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B ．16的算术平方根是±2 C. 16的算术平方根是4 D. 16的平方根是±27、下列说法中，正确的是（ ）[来源:学&科&网Z&X&X&K]A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，18、已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 答案：7cm。
第7讲 平方根、立方根
第7讲平方根、立方根一、学习目标1、了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根和立方根.2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，能用立方运算求某些数的立方根.3、能进行方根的估算，会区分立方根与平方根的不同.考情分析中考对这部分知识的考查一般分成两种情况:一是在实数的运算中,一是在解决综合问题中.虽然很少单独考查,但是由于它是学习无理数的前奏,是实数运算中必不可少的内容,故中考时常与其他知识综合考查.二、基础知识·轻松学1.算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a,那么这个正数x就叫做a的算数平方根，a a”,a叫做被开方数.【精讲】（1）被开方数a表示非负数，即a≥0.(2)0的算术平方根是0.（3）a也表示非负数，即a≥0．即：非负数的算术平方根是非负数．负数不存在算术平方根，即a＜0时，a＝4，5是252.平方根（1）平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)．就是说，如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根．因为3和-3的平方都是9，所以3和-3都是9的平方根.（2）平方根的性质：○1正数有两个平方根，它们是互为相反数．记作：a±.○20的平方根是0，记作：00=.○3负数没有平方根．【精讲】算术平方根与平方根的区别与联系：（1）区别①定义不同：如果x2=a,那么x叫做a的平方根，正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.②个数不同：正数有两个平方根, 而算术平方根只有一个.±, 正数a的算术平方根③表示方法不同：正数a的平方根表示为a表示为a.④结果不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负．（2）联系①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个．②存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有．③0的平方根、算术平方根均为0．3．开平方求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方.【精讲】(1)开方与平方互为逆运算.（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根就是这个数的算术平方根.4.立方根如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根) ．用式子表示就是，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．因为2的立方为8，所以8的立方根为2.5.开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方．一个数a的立方根用符号表示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数．注意：根指数3不能省略．【精讲3】平方根与立方根的联系与区别（1）联系①都与相应的乘方运算互为逆运算．开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算．②平方根、立方根都是开方的结果.③0的平方根、立方根都有一个是0.(2)区别：（1）定义不同如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根.（2）写法不同在用符号表示平方根时，根指数2可省略，而用符号表示立方根时，根指数3不能省略．（3）个数不同任何一个正数有两个平方根，0的平方根有一个是0，负数没有平方根；任何一个数都有一个立方根．（4）表示法不同正数a 的平方根表示为±a ，a 的立方根表示为3a .（5）被开方数的取值范围不同 ±a 中的被开方数a 是非负数；3a 中的被开方数可以是任何数.三、重难疑点·轻松破1.求算术平方根和平方根因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根.一般的，.被开方数的小数点向右或向左每移动两位，算术平方根则相应地向右或向左移动一位．例1. 求下列各数的平方根：0 (6) a 5 -4 0.0289 3 361225 2 196 162）（））（（）（）（）（2222515(1) 1961423611922515 196 143611915141=±=±±±±±±=±解：因为（）（）因为（）所以的平方根是：所以的平方根是：即：即：2222930.02890.1740.02890.170.17ππππ=±-=±±-±±=±（）因为（）（）因为（）（）所以的平方根是：所以（）的平方根是：即：63226335a a (6) 00a a 0 0aπ±±=±=±±=±即：（）因为（）因为所以的平方根是：所以的平方根是：即：0=点评:求一个数的平方根，也就是求一个非负数是什么数的平方.由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，a≥0(当a＜0时，a无意义) ,用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为a (a应是非负数) 的正方形的边长a就表示a的算术平方根.变式1、计算：.264.)23(-3.9722.0.0225142±-±）（）（）（）（2.求立方根立方根是与平方根等同的两个概念，在前面学习平方根与算术平方根概念的基础上,很容易学习,要注意: 立方的结果是唯一的；在开立方运算中，被开方数可以是正数,0,负数，开立方的结果是唯一的.例2 求下列各式的值：327、364-解析: (1)∵33=27，∴27的立方根是3,即327=3．(2)∵(-4)3=-64，∴-64的立方根是-4,即364-=-4．(3)∵(35)3=27125，∴27125的立方根是35,35． 点评: 求一个数的立方根的基本方法和基本步聚（1）明确（或易求出）所要求的数是哪一个数的立方的；（2）先指出所要求立方根的那个数是哪个数的立方；（3）根据立方根的定义，求出这个数的立方根.变式2.求下列各数的立方根：（1）512 （2）125.0- （3）3)3(- （4）833- 3.方根的估算：例3 已知3﹣的整数部分是a ，小数部分是b ，求500a 2+（2+）ab +4的值．解析：∵12，∴a =1，b =2∴500a 2+（ab +4=500×12+（×1×（2+4=500+4﹣3+4=505．点评：此题考查了二次根式的化简以及计算，同时考查了学生的估算能力，“夹逼法”是估算的一般方法,有时我们也会先估算整数部分,再用原数减去整数部分即为小数部分．变式3：小明做了以下三道计算题，请你判断一下他的结果对吗？（19.7；（2123；（3 5.1．四、课时作业·轻松练A .基础题组1.下列说法错误的是A .0的平方根是它本身B .-9没有平方根C .（-2）2的平方根是±2D .1的平方根是12.若x 是25的平方根，y x 与y 的关系是（）A .x =yB . x =-yC .x =±yD .x =y 23.一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ）A 、a 是b 的平方根B 、a 是b 的的算术平方根C 、b a ±=D 、a b =4.144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 64-的立方根是5..a +1是9的平方根，那么a 的值为_______.6.求下列各式的值（1）2）2（3）（2（45） 3 7.求下列各式中的x(1)x 2-36=0 (2)0.25x 2=1(3)(x +5)3=27 (4)27(x +1)3=-1000B .提升题组8.a 是正数，如果a 的值扩大100 ）A 、扩大100倍；B 、缩小100倍；C 、扩大10倍；D 、缩小10倍；9.若a <0，则aa 22等于（ ） A 、21 B 、21- C 、±21 D 、0 10.若164=x ，则x = ；若813=n ，则n = .11.已知-3是2a -1的平方根，3a -b -1的立方根是2，求6a +b 的算术平方根.12.已知一个正数x 的两个平方根分别是a +4,a -2,求a 与x 的值. 中考试题初体验1.（2012 ）A ．4B ．2C ．﹣2D ．2.(2013贵州黔西南州）的平方根是 ±3 ．3.（2012（ ）A ． 3B ． ﹣3C ． ﹣2D ． 24.（2012湖北荆州）﹣（﹣2）﹣2﹣2）0= ． 五、我的错题本参考答案变式练习变式1：123450.15 -233=====±==解析：（）（（）（）226=±变式2.解析：（1）∵83=512，∴512的立方根是8 （2）∵（-0.5）3=-0.125，∴ -0.125的立方根是-0.5 （3）3)3(-的立方根是-3 （4）∵（32-）3=833-，∴833-的立方根是32-.变式3.解析：（110；（2）也是错误的，因为31001000000=，它比12345大得多；（3）是正确的，因为2525.936<<，所以96，即56<．课时作业·轻松练A.基础题组1.D解析：一个正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，故选D.2.C.解析：x是25的平方根，所以x=±5, y,y2=5.所以x=±y，选C.3. B解析：由题意得，a2=b,正方形的边长为a，只能是正数，所以a 是b的的算术平方根,故选B.4. 12，±2，-2，所以144的算术平方根是12；16=4，±2，所以16的平方根是±2；64-=-8，64-的立方根是=-2.5. a =2或a =-4 ±3，所以a +1=±3,所以，a =2或a =-4.6.解：（1）（2）2=42（3）（2=12（414（5）3=8.7.解：(1)∵x 2-36=0∴x 2=36 ±6∴x =±6(2) ∵0.25x 2=1∴x 2=4±2∴x =±2(3) ∵(x +5)3=27∴x +5=3∴x =-2(4) ∵27(x +1)3=-1000∴(x +1)3=100027-∴x =103--1=133- B .中档题组8.C =C .9.B .解析：∵a <0a , ∴a a 22=2a a -=12-,故选B . 10.±2；4 解析：∵（±2）4=16，∴x =±2；∵34=81，n =411.解：∵-3是2a -1的平方根，∴2a -1=32=9，a =5; 3a -b -1的立方根是2, ∴3a -b -1=23=8,a =5,b =6, ∴6a +b =6×5+6=3612.解：∵正数x 的两个平方根互为相反数，∴a +4+a -2=0，∴a =-1，∴a +4=-1+4=3，（a +4）2=32=9, ∴x =9.中考试题初体验1.解析：根据算术平方根的定义解答．∵22=4．故选B ．2.解析：首先化简，再根据平方根的定义计算平方根=9，9的平方根是±3，故答案为：±3．3.解析：∵33=27．故选A．4.解析：分别根据二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂的知识将各部分化简，然后合并即可得出答案．原式=14﹣14﹣1=﹣1．11。
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问平方根和立方根是数学中重要的概念，它们在各个学科领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将详细讲解平方根和立方根的概念、运算规则以及需要注意的事项，以解答学生们提出的疑问。
一、平方根的概念和运算规则平方根是指一个数的平方等于该数的非负根。
即，对于任意非负数x和非负数a，若a的平方等于x，那么我们称a是x的平方根。
用符号表示，可以写作√x=a。
平方根的运算规则如下：1. 非负数的平方根是唯一的。
即，一个非负数x只有一个非负平方根。
2. 负数没有实数平方根。
平方根的定义要求平方根是非负的，因此负数没有实数平方根。
3. 平方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意非负数x和y，有√(x*y)=√x*√y和√(x/y)=√x/√y。
4. 平方根运算满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，平方根运算和幂运算可以互相转换，即√(x^n)=(√x)^n。
二、立方根的概念和运算规则立方根是指一个数的立方等于该数的非负根。
即，对于任意数值x 和非负数a，若a的立方等于x，那么我们称a是x的立方根。
用符号表示，可以写作³√x=a。
立方根的运算规则如下：1. 实数的立方根是唯一的。
即，一个实数x只有一个实立方根。
2. 负数的立方根是存在的。
与平方根不同，负数是存在实数立方根的，例如-8的立方根是-2，因为(-2)^3=-8。
3. 立方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意数值x和y，有³√(x*y)=³√x*³√y和³√(x/y)=³√x/³√y。
4. 立方根运算也满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，立方根运算和幂运算可以互相转换，即³√(x^n)=(³√x)^n。
三、注意事项在计算平方根和立方根时，需要注意以下几点：1. 平方根和立方根的符号。
平方根是指非负根，因此其结果为正数或零。
平方根与立方根课件
平方根的减法运算
平方根的乘法运算
平方根的除法运算
对于任何正实数a和b，有√a √b = √(a-b)。
对于任何正实数a和b，有√a * √b = √(ab)。
对于任何正实数a和b（b≠0） ，有√a / √b = √(a/b)。
02
立方根的定义与性质
立方根的基本定义
80%
立方根的概念
若一个数的三次方等于a，则这 个数称为a的立方根。
开方与加减法的关系
当被开方数的小数点向右移动一位，则其立方根的小数点相应地向右移 动三位；当被开方数的小数点向左移动一位，则其立方根的小数点相应 地向左移动三位。
03
平方根与立方根的应用
在数学中的应用
平方根用于求解非负数平方的问题，例如计算一个数的平方或求 解一元二次方程的实数根。
立方根用于求解一个数的立方的问题，例如计算一个数的立方或 求解一元三次方程的实数根。
详细描述
配方法适用于求解任意实数的平方根。首先，将被开方数进行配方，使其成为一 个完全平方数的形式，然后利用开平方的公式进行计算。例如，求√25的值，可 以先将25写成(5×5)的形式，即√25=√(5×5)=5。
因式分解法
总结词
因式分解法是一种通过因式分解来求解平方根的方法。
详细描述
因式分解法适用于求解一些特殊数的平方根。首先，将被开方数进行因式分解，将其写成两个相同因数的乘积形 式，然后利用开平方的公式进行计算。例如，求√8的值，可以先将8写成(2×2×2)的形式，即 √8=√(2×2×2)=2√2。
运算性质
立方根具有一些运算性质，例 如√[3]a^3=a， √[3](a+b)^3=a+b等。
立方根的运算规则
七年级数学6.1平方根、立方根讲解与例题
6.1 平方根、立方根1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．1．平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．【例1－1】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)3625；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－322．分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652＝3625，∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－322的平方根是±32.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如⎝ ⎛⎭⎪⎫－322是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有－32.【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)2516；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 分析：解：(1)因为16是正数，所以16有两个平方根．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根，是它本身．(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．2．算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)179；(3)16.分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2＝a ，则x 就是a 的算术平方根．(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．(2)因为179＝169，⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．解：(1)196＝14．(2)179＝169＝43.(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现11649＝147的错误．3．开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：①在计算器上依次键入529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为529＝23．②在计算器上依次键入44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程．(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2＝a .(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2＝16．分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．(1)因为x 2＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．解：(1)因为(±5)2＝25， 所以x ＝±5．(2)因为(±4)2＝16， 所以2a ＋3＝±4．当2a ＋3＝4时，解得a ＝12.当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－72.故所求a 的值是12或－72.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．4．立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)－27；(3)338；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．解：(1)因为33＝27，所以327＝3． (2)因为(－3)3＝－27，所以3－27＝－3．(3)因为338＝278，而⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278，所以3338＝32.(4)因为(－0.4)3＝－0.064， 所以3－0.064＝－0.4． (5)因为03＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3－5.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3－5.5．开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方． ①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．②被开立方的数可以是正数、负数和0；③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求31 845，在计算器上依次键入2ndf 31845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即31 845≈12.26．【例5】解方程：(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125后，可知x 是27125的立方根．(2)把5x －3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .解：因为125x 3－27＝0，所以x 3＝27125.故x ＝35.(2)因为(5x －3)3＝343，所以5x －3＝3343＝7， 即5x ＝10．故x ＝2．利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3m .特别地，要注意整体思想的应用．6．立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； (3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56D ．(－1)2的立方根是－1解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是56，因此C 是错误的；因为(－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．7．用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． (2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3－a ＝－3a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72＝49． 综上可知，所求的数为49或441．【例7－2】若32a －1＝－35a ＋8，求a 2 012的值．分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值． 解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3－a ＋，即2a －1＝－(5a ＋8)．解得a ＝－1．故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0；(2)平方a 2≥0；(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0. 非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋ ＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋ ＝0〕；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例8－1】如果y ＝2x －1＋1－2x ＋2，则4x ＋y 的平方根是__________．解析：因为2x －1≥0且1－2x ≥0，所以2x －1＝1－2x ＝0，即x ＝12.于是y ＝2x －1＋1－2x ＋2＝2．因此4x ＋y ＝4×12＋2＝4．故4x ＋y 的平方根为±2．答案：±2【例8－2】如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 012成立，求x 2＋y －3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知x 2－4≥0,4－x 2≥0，因此，只有x 2－4＝0，即x ＝±2；又x ＋2≠0，即x ≠－2，所以x ＝2，y ＝2 012，于是得解．解：由题意可知x 2－4≥0且4－x 2≥0，因此x 2－4＝0，即x ＝±2． 又∵x ＋2≠0，即x ≠－2， ∴x ＝2，y ＝2 012．故x 2＋y －3＝22＋2 012－3＝2 013．【例8－3】已知a －1＋(b ＋2)2＝0，求(a ＋b )2 012的值．分析：a －1表示a －1的算术平方根，所以a －1为非负数．因为(b ＋2)2为偶次幂，所以(b ＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．解：因为a －1≥0，(b ＋2)2≥0，且a －1＋(b ＋2)2＝0，所以a －1＝0，(b ＋2)2＝0， 解得a ＝1，b ＝－2．故(a ＋b )2 012＝(1－2)2 012＝1．9．利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索． 【例9】(1)观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332，…，观察上述各式特点，__________.解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． (2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或35n 个.答案：(1)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1) (2)5555n 个10．平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可．注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)． 故地板砖的边长为0.4 m.【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3，求组成它的每个小正方体的棱长．解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a3＝216，a 3＝8，a ＝2(cm)．故每个小正方体的棱长为2 cm.。
平方根和立方根讲义
专题1: 平方根和立方根【基础知识梳理】 一、算术平方根1、算术平方根定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x =a (x ≥0)中，规定x =a ，x 就是a 的算术平方根。
例1：下列说法中正确的是（ ）A.25是5的算术平方根B.5是25的算术平方根C.5是25的算术平方根D.25是5的算术平方根 例2：81的算术平方根是 。
例3：若a+2有算术平方根，则a= 。
例4：若一个圆的面积为236cm π，则这个圆的直径为 cm 。
小结：（1）只有非负数才有算术平方根（2）一个非负数的算术平方根只有一个且仍旧为非负数。
2、你对正数a 的算术平方根a 的结果有怎样的认识呢？a 的结果有两种情：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
例如7525和=，25是完全平方数，7不是完全平方数。
3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如502500,525== 二、平方根1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即：如果2x =a ，那么x 叫做a 的平方根。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方，即a x ±=。
例如：9的平方根是±3，±3的平方等于9，所以平方与开平方互为逆运算． 例5：求下列各数的平方根。
（1） 100 （2）169 （3） 0.25 （4）412 （5）49.0例6：求下列各式中的x 的值。
81)2(16)4(845.021)3(0100)2(225)1(2222=+==-=x x x x2、平方根的性质：讨论：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这两个平方根互为相反数；0的平方根只有一个0；负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；符号：非负数a 的算术平方根可用a 表示；负的平方根可用-a 表示；平方根则表示为a ±，这里的0≥a例7下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由． （1）－64 （2）0 （3）(－4)2（4）10－2例8：（1）下列运算正确的是（ ） （2） ：下列计算正确的是（ ）18324.148686.12144.3)3(.222±=±=+=+=--=-D C B A例9：若13++-x x 有意义，则x 的取值范围是 。
平方根和立方根1知识讲解
因此1.69的平方根为±1.3。
• 快速检测：
(1) 的1 平方根是1; (2)1的平方根是1; (3)2的5 平方根是 ; 5 (4) 324;18
(5)9是 9的2 算术平方根;
(6)是5 25的平方根.
小结： 本结课你有什么收获？谈谈你的看法.
(1)平方根:如果一个数的平方等于a,则这个数叫做a 的平方根.
试一试
（1）144的平方根是多少？ （2）0的平方根是多少？
（3） 2 4 5 的平方根是多少？
（4）- 4 有没有平方根？为什么？ Nhomakorabea概括
（1）一个正数有两个平方根,且互为相反数; （2）零只有一个平方根; （3）负数没有平方根.
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方 根，记作 a ，读作“根号a”；
（2）开平方
求一个非负数的平方根的运算，叫做 开平方．
将一个正数开平方，关键是找出它 的一个算术平方根．
例2：将下列各数开平方： （1）49； （2）1.69 （3）35
解（1） 因为72＝49，所以 4 9 ＝7， 因此49的平方根为±７。
解（2） 因为1.32＝1.69， 所以 1 .6 9 ＝1.3，
(2)什么样的数有平方根?
一个正数有两个平方根,且互为相反数; 零只有一个平方根; 负数没有平方根.
(3)开平方：求一个非负数的平方根的运算,叫做开 平方.
课堂练习： 1、课本P4练习3 2、新课程学习辅导：P1
作业布置：
1、熟记1---20的平方。 2、课本P7习题12.1：1
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平方根和立方根1
（1）平方根
1 如果一个数的平方等于a，则这个 数叫做a的平方根。
第一讲 平方根、立方根
第一讲 平方根、立方根知识点一：平方根的定义及表示（重点；掌握）（1）一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根，这就是说，如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根。
（2）一个正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，当a>0时，我们用“a ±”表示正数a 的两个平方根，“a ”读作“根号a ”（或二次根号a ），有时也写成2a 的形式（a 是2a 的简略表示形式），其中2叫做根指数，a 叫做被开方数，正数a 的平方根有两个，即“a ”与“-a ”，0的平方根是0，即00=，负数没有平方根，当a<0时，a 没有意义。
平方根等于本身的数是 。
【知识拓展】对于平方根定义的理解应注意：（1）平方根的概念中提到的字母a 表示的数是0与正数，不能为负数；（2）平方根可以是正数、负数和零。
【例1】填空：：（1）9±的被开方数是 ，可读作 ，表示 的平方根；（2）正数有 个平方根，它们 ；（3）0的平方根是 ，负数 平方根。
【练习】（1）4有 平方根，可表示为 ，读作 ；（2）如果一个数m 有平方根，那么m 满足的条件是 。
知识点二：算术平方根的定义（重点；掌握）正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根。
在数学中，规定：0的平方根是0,0的算术平方根也是0，即00=。
【知识拓展】对于算术平方根定义的理解，应注意以下三点：（1）在式子a 中，被开方数a 的取值范围为0≥a ，即只有正数和零（或非负数）才有算术平方根，另外0≥a ，即非负数a 的算术平方根也是非负数（双非负性）；（2）利用平方运算可以求一个正数的算术平方根；（3）一个数的算术平方根仅有一个。
【例2】填空：（1） 的算术平方根是1；（2） 16的算术平方根是 ；【练习】36的算术平方根是（ ）A 、 6B 、 ±6C 、6D 、6±知识点三：开平方运算（重点；理解）求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方运算与平方运算是互逆运算，根据这种关系可以求出一些数的平方根。
第1讲《平方根、立方根与非负数》
第1讲《平方根、立方根与非负数》知识点概述1、平方根(1)定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。
即：如果x 2=a ，那么x 就叫做a 的平方根。
(2)平方根的表示法：一个正数a 的正的平方根，用符号“a ”表示，读作“根号a ”; 正数a 的负平方根，表示为－a ，读作“负根号a ”。
(3)正数、零、负数的平方根：正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以表示为±a ； 零的平方根有一个，仍是零； 负数没有平方根. 2.算术平方根(1)定义：一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ；0的算术平方根是0. (2)对a 的理解：①()2a =a ； ②a ≥0.(3)对记号a ，－a ，±a 的理解： ①a 表示非负数（a ≥0）; ②－a 表示a 的算术平方根的相反数; ③±a 表示a 的平方根; ④a<0时，a ，－a ，±a 都没有意义.3、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。
即：如果x 3=a ，那么x 就叫做a 的立方根。
一个数a 的立方根，用符号“3a ”表示，读作“三次根号a ”。
注：任何数（正数、负数或零）都有一个立方根例题讲解例1、下列语句正确的是（ ）A ．- a 没有平方根B ．-5是 – 25的平方根C ．( - 3)2 的平方根为-3D ．-15是225的平方根例2、94的平方根是＿＿；算术平方根是 ；0.04的算术平方根是 。
例3、求下列各数的立方根： （1）512 （2）－0.027 （3）－12564 （4）278 （5）－125 （6）－0.008．例4、求下列各数的平方根：（1）49 （2）8136 （3）232⎪⎭⎫ ⎝⎛-例5、求下列各数的算术平方根： （1）196（2）197（3）16例6、填空：（1）当x 时，3+x 有意义。
（2）如果a 的平方根是±3，则a = .（3）如果一个正数的平方根是a+3与2a －15，那么这个正数是（4的平方根是 ；算术平方根是___________ （5）若a 2=16，则a=________；若38a =，则a =（610y +=，则x 2+y 2=____________（7）代数式－3___________，这时a 与b 的关系是_________ （8）若2(2)289x +=，则x = ； 若24250x -=，则x =（9= 例7、下列命题中，正确的个数有（ ）(1)1的平方根是1; (2)1是1的平方根; (3)（－1）2的平方根是－1; (4)一个数的平方根等于它的算术平方根，这个数是0. A 、1 B 、2 C 、3 D 、4例8、要使2a -有意义，则a 的值为（ ）A 、a>0B 、a<0C 、a≥0D 、a=0例9、一个自然数的算术平方根是a ，则与这个自然数相邻的后继自然数的平方根是（ ） A 、a+1 B 、a 2+1C 、±1+aD 、±12+a例10、当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义.(1)32+x ； (2)x 31-； (3)2)5(-x ； （4）21+x非负数的相关知识1、非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a 是非负数，可记作a ≥0,读作a 大于或等于零，即a 不小于零. 2、 初中学过的几种非负数：⑴ 实数的绝对值是非负数. 若a 是实数，则a ≥0.⑵ 实数的偶数次幂是非负数. 若a 是实数，则a 2n ≥0（n 是正整数）.⑶ 算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数。
平方根与立方根讲义(含答案)
平方根与立方根二、知识点+例题+练习知识点一：平方根与算术平方根1．平方根2．算术平方根3．平方根与算术平方根的区别（1）定义不同；（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示方法不同，正数a 的平方根表示为a （4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．一、求平方根和算术平方根若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．【例1】（1）求下列各数的平方根和算术平方根：①4964；②0.0001；③5；④2(3)-（2）平方根等于本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．（3）一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，则这个数是________．【例2】求下列各式的值（1）（2（3（4（5（6（1）2612=⨯=；（27512+=；（30.30.80.5=-=-；（429 0.91365 =⨯=；（520==；（6110.8250.25 5.2 45=⨯+⨯=+=；【答案】（1）12；（2）12；（3）0.5-；（4）965；（5）20；（6）5.2．【变式训练1-1】9的算术平方根是A B．-3 C．±3 D．3【答案】D【解析】∵32=9，∴9的算数平方根是3，故选D．【变式训练1-2】（-2）2的算术平方根是A．2 B．±2 C．-2 D【答案】A【解析】∵（-2）2=4，4的算术平方根是2，∴（-2）2的算术平方根是2，故选A．【名师点睛】求一个式子的算术平方根时，先把这个式子化简，再按算术平方根的定义求化简所得数的算术平方根即可．【变式训练1-3】25的平方根是A．5 B．-5 C．D．±5【答案】D【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，故选D．【变式训练1-4】设a-3是一个数的算术平方根，那么A ．a ≥0B ．a >0C ．a >3D ．a ≥3【答案】D【解析】∵3a -是一个数的算术平方根，∴30a -≥，解得3a ≥，故选D ．【名师点睛】本题考查的是算术平方根的“非负性”，即非负数a0≥． 【变式训练1-5】下列说法正确的是是2的一个平方根②–4的算术平方根是2 的平方根是±2 ④0没有平方根 A．①②③ B ．①④C ．①③D ．②③④【答案】C是2的一个平方根，正确；②–4没有算术平方根，错误； 的平方根是±2，正确；④0有平方根，是0，错误；故选C ． 【变式训练1-6】求下列各式的值：（12）3）；（4 【解析】（1． （2）=-0.9． （3）=1114±． （4．二、利用平方根的知识解方程先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解． 【例1】求下列各式中的x ．（1）x 2=17；（2）212149x -=0．【解析】（1）因为2(17=，所以x =． （2）2121049x -=， 212149x =， x =117±． 【例2】求下列各式中x 的值：（1）4（x -1）2-16=0； （2）8（2x +1）3-1=0.【解析】（1）4（x -1）2-16=0， 4（x -1）2=16， （x -1）2=4， x -1=±2， x =-1或x =3．（2）8（2x +1）2-1=0， 8（2x +1）2=1， （2x +1）2=18，2x +1=±4，2x =-1±4，x =-128-或x =-12+8．【变式训练2--1】求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______． 【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．【答案】（1） 1.1x =±；（2）x =±13；（3）32x =±；（4）x 2=±．【变式训练2-2】求下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．（1）3x =±； （2）225,5x x ==±；（3）221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+；或513x =-，解得45x =或25x =-．（4）100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46．【答案】（1）3x =±； （2）5x =±；（3）45x =或25x =-； （4）54x =或x =46．三、对定义和性质的考察【例1】判断下列各题，并说明理由（19±． （ ） （2）算术平方根一定是正数．（ ）（3 （ ） （4）2a -没有算术平方根． （ ）（53=±． （ ）（6）若236x =，则6x ==±． （ ） （7）6-是2(6)-的平方根． （ ） （8）2(6)-的平方根是6-． （ ） （9）2a 的算术平方根是a ．（ ）（105，则5a =-．（ ）（11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． （ ） （12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． （ ）【解析】（6）（7）（12）正确． 【变式训练3-1】判断题：（1 ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( )（36，则6a =-．( )（4）若264x =，则8x =±．( )（58±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( ) 【解析】 （1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．【例2】x 为何值时，下列各式有意义？（1；（2（3（4）；（5）；（6；【解析】略【答案】（1）0x≥；（2）x=0；（3）2x≤；（4）x为任意数；（5）x>1；（6）112x-≤≤．【变式训练3-2】若A=A的算术平方根是_________．【解析】A22(16)a+，故A的算术平方根为216a+．【答案】216a+【变式训练3-3】设a a的值是________．【解析】a48a必须是完全平方数，因为24843=⨯整数的整数a为3．【答案】3四、算术平方根非负性的应用常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．【例1】a的取值为A．0 B．−12C．–1 D．1【答案】B【解析】∵2a+1≥02a+1=0，∴a的取值为–12．故选B．【例2】若实数x，y20（y+-=，则xy的值为__________．【答案】【解析】根据题意得：20xy⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，则xy=【例3】x、y0，则xy=__________．【答案】–6【解析】由题意可知：x+2=0，y–3=0，∴x=–2，y=3，∴xy=–6，故答案为：–6．【变式训练4-1】如果3a b-+【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．有题可知30220a ba b-+=⎧⎨+-=⎩解得4353ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==．【答案】3【变式训练4-2】已知2b=，求11a b+的平方根．【解析】由题可知940490aa-≥⎧⎨-≥⎩，49a∴=，b=2，==【答案】【变式训练4-3】已知x，y，z满足21441()02x y z-+-=，求()x z y-的值．【解析】由题可知44102012x yy zz⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412xyz⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，()x z y-1111()()22416=--⨯-=．【答案】1 161．立方根的概念和性质2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；=③3==a ．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a 是非负数，即a ≥0中，被开方数a 是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是 A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2 A ．－1B ．0C ．1D ．±1【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【变式训练1-1】下列计算中，错误的是AB 34=-C 112= D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D D ． 【变式训练1-2】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-， 所以-343的立方根是-7． （2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【变式训练1-3】求下列各式的值：（123）【解析】（1（2（3【例3】求下列各式的值（1（2（3） （4）3（5（6（7【答案】（1）0.4；（2）2-；（3）25-；（4）64；（5）43；（6）9；（7）6．【变式训练1-4】（1）填表：（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．（3） 根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；① 7.696=，= ．【答案】（1）0.01； 0.1； 1； 10； 100．（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍（3） ①14.42； 0.01442； ①0.7696．二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例1】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例2】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-， 所以33x +=-，所以6x =-．【变式训练2-1】求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______； （2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______； （4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______． 【答案】（1）0.9；（2）43-；（3）1258；（4）2． 三、对立方根定义和性质的考察【例1】（1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ． a（2）61164-的立方根是（ ）A ． -B ．114±C ． 114D ．114- （3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个（4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；① 负数都有平方根，① 正数都有立方根；① 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对（6）下列运算中不正确的是（ ）A ． =B ． 3=C 1-D ．4【答案】（1）D ；（2）D ；（3）C ；（4）C ；（5）D ；（6）B ．【变式训练3-1】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40+则x 与y 的关系是______．（54=那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．【答案】 （1）8±；（2）任意数； x =1；（3）1-或5-；（4）互为相反数；（5）-12；（6）x =1； （7）0； （8） 四、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例1】64的平方根和立方根分别是A ．8，4B ．8，±4C ．±8，±4D ．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D ．【例9】已知2a -1的平方根是±3，3a +b -1的立方根是4，求a +b 的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a -1=9，根据立方根求出3a +b -1=64，转化为解方程得问题解决．【例2】已知x +122x +y -6的立方根是2．（1）求x ，y 的值；（2）求3xy 的平方根．【解析】（1）∵x +12的算术平方根是，2x +y -6的立方根是2．∴x +12=2=13，2x +y -6=23=8，∴x =1，y =12．（2）当x =1，y =12时，3xy =3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy 的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．【变式训练4-1】2(27)b +的立方根．【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩，解得827a b =-⎧⎨=-⎩，235,+= 【答案】1【变式训练4-2】已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根．【解析】2(2)=±，6x ∴=；3=，8y ∴=，10==±．【答案】101.在，，0，-2这四个数中，是无理数的为（）A．0 B． C． D．-22. 下列无理数中，与最接近的是（）A． B． C． D．3. ±3是9的（）A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根答案与解析1.【答案】 C.【解析】根据无理数的概念: 无限不循环的小数,就是无理数;无理数主要有三类: ①开方开不尽的, ②π及含π的倍分等, ③如:0.1010010001…这类的无规律的数．2.【答案】C.【解析】根据算数平方根的意义,4=16, 再根据算术平方根的性质,被开方数越大, 其算术根越大,通过观察发现17的被开方数最接近16的被开方数,从而得出答案.3.【答案】A.【解析】解: ∵ 9)3(2=±, 3±∴是9的平方根. 故选A.1. 若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ）A. 1000000B. 1000C. 10D. 100002. 若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -= .3. 下列语句正确是（ ）A ．无限小数是无理数B ．无理数是无限小数C ．实数分为正实数和负实数D ．两个无理数的和还是无理数答案与解析1.【答案】B.【解析】 被开方数扩大2n 10倍，开方后结果扩大10n 倍；根据开方与乘法互逆运算可得.2.【答案】 -7. 【解析】2,3==b a a 3, 4.b ∴=±= 又0<ab ，a 3, 4.b ∴=-=则a-b = -7.3.【答案】B.【解析】 解: A.无限不循环小数是无理数, 故A 不符合题意;B.无理数是无限小数, 符合题意. C.实数分为正实数、负实数和0, 故C 不符合题意 D.互为相反数的两个无理数的和是0,不是无理数, 故D 不符合题意. 故答案为:B.1. 已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根，求A －B 的平方根.2. 已知4+11的小数部分为a ，411-的小数部分为b ．求：（1）a+b 的值；（2）a-b 的值．1.【答案】A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，∴x-y=2; 又B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根，∴x-2y+3=3，得方程组x y 2x 2y 33-=⎧⎨-+=⎩，解得：x 42y =⎧⎨=⎩，∴A=3，B=2 ∴A-B=1.【解析】根据算术平方根的概念和立方根的概念解题.2.【答案】3114<<，∴411+的小数部分a=4+11-7=11-3411-的小数部分b=4-11；（1）a+b=11-3+4-11=1；（2）a-b=11-3-（4-11）=-7．【解析】首先估算出11的取值范围：3＜11＜4，进一步确定a 、b 的数值，代入求得（1）（2）即可．基础1. 下列说法不正确的是( )A ．8的立方根是2B ．－8的立方根是－2C ．0的立方根是0D ．125的立方根是±5四、课后作业2. 所有和数轴上的点组成一一对应的数组成（ ）A ．整数B ．有理数C ．无理数D ．实数3. 若2m-1没有平方根，则m 的取值范围是________.答案与解析1.【答案】D.【解析】 125的立方根是5,D 选项错误.根据立方根的定义,因为一个数的立方根只有一个,一个正数的立方根是正数,一个负数的立方根仍是负数.2.【答案】D.【解析】数轴上的点和实数是一一对应的关系.3.【答案】21≥m 【解析】 解: 负数没有平方根. 012≥-∴m , 21≥m . 故答案为:21≥m .1. 估计38的值在( )A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间2. 化简式子 )4(2-结果正确的是（ ）A ．±4B ．4C ．-4D ．±23. 一个正数x 的平方根是3a －4和1－6a ，求a 及x 的值．答案与解析1.【答案】C ．【分析】因为6的平方是36, 7的平方是49.而38在36和49 的中间，所以38的值在6和7之间. 故选：C ．2.【答案】B.【分析】应先算16)4(2=- , 再将求16的算数平方根即可.3.【答案】 解: 由题意得3a-4+1-6a=0, 解得a=-1则3a-4=-7, 4972==x .答:a 的值是-1,x 的值是49.1. 如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）A ．3B ．8C ．5D ．2.52. 已知x+12平方根是±13，2x+y ﹣6的立方根是2，求3xy 的算术平方根．3. 已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣1的立方根是4，求a+b 的平方根．答案与解析1.【答案】C ．【分析】解答：2＜5＜2.5＜，2与离的最近，故选C．由图可知这个点与2离的最近，而其中四个选项中的数与2离的最近且大于1的数是．2.【答案】解: 由题意可知: X+12=13,2X+y-6=8,∴ x=1,y=13×y=3×1×12=36. 36的算术平方根为6.3.【答案】∵ 2a﹣1的平方根是±3，∴ 2a﹣1=9，∴ a=5，∵ 3a+b﹣1的立方根是4，∴ 3a+b﹣1=64，∴ b=50，∴ a+b=55，．∴ a+b的平方根是55。
(完整版)平方根和立方根经典讲义
内容基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根 实数了解实数的概念会进行简单的实数运算实数可按下图进行详细分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a=，则x就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a”．算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为a ；有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.知识点睛中考要求平方根和立方根一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥0a .平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．通过验算我们可以知道：⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<1a 2a 之间，即：120a a a ≤<范围．立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表3a ，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的a 其实省略了根指数“2”2a a 3a “三次根号a ”2a “二次根号a ”a “根号a ”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．通过归纳我们可以知道：⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． 33a a =，33()a a =⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<， 31a 32a 33312a a a < 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．重、难点难点：平方根的性质【例1】 判断下列各题，并说明理由819±． ( ) a ( ) ⑶2a 的算术平方根是a ． ( ) ⑷ 2()5a -，则5a =-. ( ) 93=±. ( ) ⑹ 6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺ 2(6)-的平方根是6-．( )⑻ 若236x =，则366x =±=±. ( ) ⑼ 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) ⑽ 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾ 算术平方根一定是正数． ( ) ⑿ 2a -没有算术平方根． ( ) ⒀ 64的立方根是4±． ( )⒁ 1-是16-的立方根． ( )⒂ 33x x ． ( ) ⒃ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ( ) ⒄ 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( )【例2】 ⑴ 若22(2)a =-，则a = ；若22()(3)x -=-，则x = .⑵ 22x +，则(25)x +的平方根是 ；若25x =，则x = .⑶ 21a =-，则a ；若20a a =，则a . ⑷ 当0m <，2m 的算术平方根是 .⑸ 2()a b -算术平方根是a b -，则a b .⑹ 若一个自然数的一个平方根是m ，那么比它大1的自然数的平方根是 .⑺ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .例题精讲⑴21(51)30x --=； ⑵3(100.2)0.027x -=-3312573511164168---33321600010.125-【例4】 已知某正数的两个平方根是35a -与1a +，求这个正数．【例5】 已知3(2)27a b +=-235a b -=，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数).【例6】 求22221995199519961996+⋅+的平方根.【例7】 (人大附单元测试)已知a 为实数，且满足200201a a a --=，求2200a -的值.【练习1】若22(3)x =-，33(2)y =-，求x y +所有可能值．【练习2】一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，求这个数．【练习3】(101数学实验班单元练习)已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的平方根．【练习4】(2007年成都)22(5)0a b -+=，那么a b +的值为 .【练习5】22111a ab -+-+=，求a ，b 的值.课堂作业【练习6】若a 、b 为实数，且|1|20a ab --，求1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993)ab a b a b a b +++++++++的值.1． ⑴ (安顺市中考题)16的平方根是 ；2( 2.5)-的平方根是 ；2(2)-的平方根是 .⑵ (威海中考题38的相反数是 ；64的立方根是 .⑶ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根 等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 . ⑷ (江西省中考题)20n n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 ⑸ (上海市中考题)12x -=的根是 . 31.815848 1.2231815848- _____. 2． 若一正数的平方根是36a +与29a +，求这个正数．3． 已知x y +的负的平方根是3-，x y -的立方根是3，求25x y -的平方根. 4． 243a b x a -+=+3a +的算术平方根，323b a y b -+=-3b -的立方根，求y x -的立方根.5．已知：|1|2340a b a b -+--．求：24a b +的立方根． 家庭作业。
第2讲.平方根与立方根
第2讲平方根与立方根⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩概念性质算术平方根、平方根、立方根化简运算综合1． 什么是相交线？相交线模块学习了哪些概念？2． 平行线有哪些性质？怎么判定两条直线平行？3． 平行线相关求角度的题型应如何做辅助线？前章回顾知识网络图中考说明2.1定义及性质一．算术平方根1．概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即0a≥，那么这个正数x叫做a的算术平方根. 2．表示方法：一个非负数a a”，a叫做被开方数.3．规定：0的算术平方根是0.4．特别的，一个正数的算术平方根仍是正数，负数没有算术平方根.5．0≥（0a≥）6．算术平方根的运算（10a≥，0b≥）；（2=（0a≥，0b>）7．常见数的平方与算术平方根二．1．概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做的平方根(或二次方根)．这就是说，若0a≥，则x就叫做a的平方根．2．表示方法：一个非负数a的平方根记为为“”，读作“正负根号a”．3．①一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根.②0有一个平方根，就是0.③负数没有平方根．4．平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．（1）开平方与加、减、乘、除、乘方一样，是一种运算，它的运算结果是平方根（2）开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数概念辨析是不是另一个数的平方根或算术平方根．（3）平方与开平方的运算：①2a=（0a≥）；(0)0 (0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩a=可用口诀“出门摘帽带夹板”帮助记忆.三．立方根1．概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根）.这就是说，若3,x a=则x就叫做a的立方根．2．表示方法：一个数a，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，“3”叫做根指数，不能省略．注意：前面学习的其实省略了根指数“2”3．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根.正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．4．立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.（1）可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．（2）立方与开立方的运算①3a=；②a=5．常见数的立方与立方根四．平方根与立方根1．区别：（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略．（2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；立方根中被开方数可以为任何数．（3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；立方根的结果只有一个．（4）平方根等于本身的数是0；算术平方根等于它本身的数是0，1； 立方根等于它本身的数是0，1，1-； 2． 联系：（1） 平方根与立方根相等的数是0．（2） 平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．【例1】 判断题：（1( )（2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （3）2a -没有算术平方根．( )（4）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( )【例2】 判断题：（1） 若264x =，则8x =±． ( )（2）8±．( )（3） 6-是()26-的平方根 ( ) （4） 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( )（5） 如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （6） 2a -没有平方根．( )例题精讲【例3】 判断题：（1） 64的立方根是4±． ( ) （2） 12-是16-的立方根．( ) （3）x ．( ) （4） 互为相反数的两个数的立方根互为相反数．( )【例4】 下列说法正确的是（）①正数都有平方根；②负数都有平方根， ③正数都有立方根；④负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例5】 一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）．A ．1a +B ．21a +C ．22a + D2.2化简及运算【例6】16的算术平方根是____________．【例7】求下列各式的值：（1234；（56【例8】求下列各式的值（1）2）（3）例题精讲【例9】 81的平方根是____________；2(的平方根是______．【例10】下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --=（4）2(100.2)0.64x -=【例11】已知某正数有两个平方根分别是3a +与215a －，求这个正数．【例12】求下列各式的值（12）（3）3（4（56【例13】（1）填表：（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3）根据你发现的规律填空：1.442； 7.696．2.3算术平方根的非负性【例14】x为何值时，下列各式有意义？（1；（234【例15】（2013年怀柔期末）如果0x=，则y x的值是________．【例16】设a a的值是________．例题精讲基础演练【练1】81的算术平方根是____________．【练2】求下列各式的值：（1234【练3】求下列各式的值（1）(（2）-（3）(2-【练4】求下列等式中的x：（1）若2 1.21x=，则x＝______；（2）2169x=，则x＝______；（3）若294x=，则x＝______；（4）若22(2)x=-，则x＝______．【练5】（2012年北京四中期末）若2x-是8的立方根，则x的平方根是___________．【练6】（2013年北大附中）平方根等于本身的数是（）A．0B．1C．-1D．0和1【练7】下列运算中正确的是（）A B3=C1=-D．4=【练8】若x的立方根是4，则x的平方根是______．全能突破【练9】 27－______．【练10】 若59x +的立方根是4，则33x +的平方根是______．【练11】 如4=那么2(66)a -的值是______．【练12】 某数的立方根是它本身，这样的数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练13】（2011年北师大月考）下列说法不正确的是（）A ．125的平方根是15±； B 3- C ．()20.1-的平方根是0.1±； D ．81的平方根是9【练14】（2011年北师大月考）81的平方根是_________________；64-的立方根是_________．【练15】 （2012年北京四中期末）若实数,,x y z 满足21202x y z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则x y z ++=_________．【练16】 （2012年交大附中）若实数x ，y 2|313|0x y --=,求2x y +的平方根．能力提升【练17_____。
(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.23(2)0y z -++=，求xyz 的值。
平方根和立方根专题(简单版)
平方根和立方根专题（简单版）1. 什么是平方根？平方根是一个数的平方等于另一个数的情况下，前面的数就是后面数的平方根。
简而言之，如果一个数的平方等于另一个给定的数，那么这个数就是给定数的平方根。
例如，2的平方根是$\sqrt{2}$，因为$ (\sqrt{2})^2 = 2$。
2. 如何求平方根？在数学中，我们可以使用数值方法或代数方法来计算平方根。
数值方法数值方法是通过近似计算来求解平方根的方法之一。
其中最常用的方法是牛顿迭代法。
牛顿迭代法的基本思想是通过使用切线逼近函数的根。
具体步骤如下：1. 选择一个初始猜测值$x_0$。
2. 使用公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$计算下一个近似值，直到收敛到精确值。
牛顿迭代法可以用于求解平方根，其中$f(x)=x^2-a$，其中a是要求平方根的数。
代数方法代数方法是通过使用代数运算来求解平方根的方法之一。
其中最常用的方法是平方根公式。
平方根公式用于解决一元二次方程$x^2+bx+c=0$。
它的形式如下：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$对于一元二次方程的求解，我们可以将其转化为标准形式，然后应用平方根公式求解。
3. 什么是立方根？立方根是一个数的立方等于另一个数的情况下，前面的数就是后面数的立方根。
简而言之，如果一个数的立方等于另一个给定的数，那么这个数就是给定数的立方根。
例如，2的立方根是$\sqrt[3]{2}$，因为$ (\sqrt[3]{2})^3 = 2$。
4. 如何求立方根？与求解平方根类似，我们可以使用数值方法或代数方法来计算立方根。
数值方法数值方法是通过近似计算来求解立方根的方法之一。
其中最常用的方法是牛顿迭代法。
牛顿迭代法可以应用于求解立方根，其中$f(x)=x^3-a$，其中a 是要求立方根的数。
代数方法代数方法是通过使用代数运算来求解立方根的方法之一。
初中一对一精品辅导讲义：平方根与立方根
知识点四：立方根的概念及其性质
例 8. 已知 x 1 是 8 的立方根，求 x 。 思路分析：此题主要考查立方根的概念，但是用字母表示具体的数，涉及到代数。 解答过程： x 1 是 8 的立方根
( x 1)3 8 x 1 2 ， x 3
解题后的思考：利用立方根的概念解决抽象的代数问题。 小结：立方根与平方根的区别： 只有非负数才有平方根，0 的平方根为 0，正数的平方根有两个且互为相反数； 任何数均有立方根，并且有唯一的与其符号相同的立方根。 知识点五：平方根与立方根的综合运用 例 9. （1）已知 0.001045 0.03230 ，则 10.45 __________； （2）已知 3 0.498 0.7926 ，则 3 7.926 。 思路分析：一个正数扩大（或缩小）100 倍，则它的算术平方根扩大（或缩小）10 倍。从小数点 的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移动 2 位，则它的算术平方根的小数点向右（或向左） 移动 1 位。 一个正数扩大（或缩小）1000 倍，则它的立方根扩大（或缩小）10 倍。从小数点的位置看，一 个数的小数点向右（或向左）移动 3 位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动 1 位。 解答过程： （1）因为 10.45 0.001045 10000 所以 10.45 3.23 （2）因为 7.926 0.7926 10 所以 7.926 3 0.498 1000 3 498 解题后的思考：同学们可以将以前所学知识和这个知识点结合起来理解和记忆： 一个正数扩大 10 倍，则它的平方扩大 100 倍，立方扩大 1000 倍； 反之，一个正数缩小 100 倍，它的算术平方根缩小 10 倍；一个正数缩小 1000 倍，它的立方根 缩小 10 倍。
平方根与立方根课件
平方根与立方根课件一、引言平方根与立方根是数学中常见的概念，在实际生活中也有着广泛的应用。
本课件将详细介绍平方根与立方根的概念、计算方法以及应用场景，帮助学生深入理解并掌握相关知识。
二、平方根的概念与计算1. 平方根的定义：平方根是指一个数的平方等于被开方数的数，也就是对于非负实数a，满足a^2=b，那么b就是a的平方根。
2. 平方根的计算方法：通过数学运算，我们可以得到平方根的计算方法，其中包括牛顿迭代法、二分法等。
课件将逐一介绍这些方法，并通过示例演示具体的计算步骤。
三、立方根的概念与计算1. 立方根的定义：立方根是指一个数的立方等于被开方数的数，也就是对于实数a，满足a^3=b，那么b就是a的立方根。
2. 立方根的计算方法：与平方根类似，立方根也有多种计算方法，如二分法、牛顿迭代法等。
课件将详细解释这些方法，并提供示例，帮助学生掌握立方根的计算步骤。
四、平方根与立方根的应用场景1. 面积和体积计算：平方根和立方根在几何计算中有着广泛的应用，可以用于计算图形的面积和体积。
2. 物理学中的应用：平方根和立方根在物理学中也有着重要的应用，例如在速度、加速度以及力的计算中。
3. 统计学中的应用：平方根和立方根在统计学中常用于计算方差和标准差等指标。
五、小结平方根与立方根是数学中的重要概念，通过本课件的学习，我们深入了解了它们的定义、计算方法以及应用场景。
希望本课件能够帮助学生更好地掌握平方根与立方根的知识，提升数学能力。
六、参考文献[参考文献1][参考文献2][参考文献3]。
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实数可按下图进行详细分类：
0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎬
⎩⎪
⎪⎪⎪
⎧⎨⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
⎩⎪
⎪⎫
⎧
⎪
⎪⎨⎬⎪
⎪⎩
⎭⎩
正整数
整数
负整数有理数
有限小数或无限循环小数
正分数
实数分数
负分数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数 实数与数轴上的点一一对应.
(
以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2
x a =
，则x 就叫做
a 的平方根．
一个非负数a 的平方根可用符号表示为
“
”
．
算术平方根：
一个正数
a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为
；
有一个平方根，就是0，
0的算术平方根也是
0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根
.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）
一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若
0a ≥
.
平方根的计算：
知识点睛
中考要求
平方根和立方根
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．
开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．
通过验算我们可以知道：
⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
①若0a ≥
，则2a =；②不管a
(0)
||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
注意二者之间的区别及联系．
⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<
之间，即：0≤利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致
范围．
立方根的定义及表示方法：
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表
，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的
其实省略了根指数“2”
“三次根号a ”
“二次根号a ”
“根号a ”.
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.
立方根的计算：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．
通过归纳我们可以知道：
⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．
a =
，3a =
⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<，
< 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．
重点：平方根和立方根的基本概念，以及灵活应用 难点：平方根的性质
重、难点
【例1】 判断下列各题，并说明理由
9±． ( )
( ) ⑶2
a 的算术平方根是a ． ( ) ⑷
5=，则5a =-. ( )
3=±. ( ) ⑹ 6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺ 2(6)-的平方根是6-．
( )
⑻ 若236x =
，则6x ==±. ( ) ⑼ 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) ⑽ 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾ 算术平方根一定是正数． ( ) ⑿ 2a -没有算术平方根． ( ) ⒀ 64的立方根是4±． ( )
⒁ 12-是1
6-的立方根． ( )
⒂
x ． ( ) ⒃ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ( ) ⒄ 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( )
【例2】 ⑴ 若22(2)a =-，则a = ；若22()(3)x -=-，则x = .
⑵
2，则(25)x +的平方根是
；若5=，则x = .
⑶
1=-，则a
；若0a =，则a . ⑷ 当0m <，2m 的算术平方根是 .
⑸ 2()a b -算术平方根是a b -，则a b .
⑹ 若一个自然数的一个平方根是m ，那么比它大1的自然数的平方根是 .
⑺ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身
的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .
【例3】 计算下列各题
⑴21
(51)30
x --=
；
⑵3(100.2)0.027x -=-
【例4】 已知某正数的两个平方根是35a -与1a +，求这个正数．
例题精讲
【例5】 已知3(2)27a b +=-
5=，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数).
【例6】 求22221995199519961996+⋅+的平方根.
【例7】 (人大附单元测试)已知a
为实数，且满足200a a -=，求2200a -的值.
【练习1】若22(3)x =-，33(2)y =-，求x y +所有可能值．
课堂作业
【练习2】一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，求这个数．
【练习3】(101数学实验班单元练习)
已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的平方根．
【练习4】(2007年成都)
2(5)0b +=，那么a b +的值为 .
【练习5
】b =，求a ，b 的值.
【练习6】若a 、b
为实数，且|1|0a -，
求1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993)
ab a b a b a b ++++++++
+的值.
1． ⑴ (安顺市中考题)
的平方根是
；2( 2.5)-的平方根是 ；2(
的平方根是 .
⑵ (威海中考题
的相反数是 ；的立方根是 .
⑶ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根 等于它本身的数是
；平方根与立方根相等的数是 . ⑷ (江西省中考题)n 为（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
家庭作业
⑸ (上海市中考题)2=的根是 .
1.22 _____. 2． 若一正数的平方根是36a +与29a +，求这个正数．
3． 已知x y +的负的平方根是3-，x y -的立方根是3，求25x y -的平方根.
4． 2a b x -=3a +的算术平方根，3b a y -=是3b -的立方根，求y x -的立方根.
5． 已知：|1|0a b -+．求：24a b +的立方根．。