第五章 多元函数微分学及其应用

0, N N ，使得 k N , 恒有 xk a ,
则称点列 {xk} 的极限存在，且称a为它的极限， 记作 lim x a 或 x a ( k )
k k k
这时也称点列{xk} 收敛于a .
设 xk＝(xk,1, xk,2,…, xk,n), a=(a1, a2,…,an)
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1.2 点 集
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B= x, y | a x b, c y d
空间点集的例子：
C={(x,y,z)|x2+y2+z2<R2} D={(x,y,z)|z>0}
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平面点集：二元有序数组（X,Y）的集合。 空间点集：三元有序数组（X,Y,Z）的集合。 例如： C={(x,y,z)|x2+y2+z2<R2} n 维空间 n个有次序的实数(x1, x2,…, xn)的全体所成的集 合称为n维空间。记成Rn, 将(x1, x2,…, xn )称为n维空 间Rn中的点, 数 xi 称为该点的第 i个坐标。 注1: 一维空间R1就是直线。 二维空间R2就是平面。 三维空间R3就是现实空间。
此为向量收敛与数列收敛之间的桥梁。 由此可得：
定理1.2 设{xk} 是Rn中收敛点列，则： (1){xk}的极限是唯一的； (2) {xk}是有界的,即 M(R)>0,使得k N,恒有||xk||M; (3)若xk a, yk b,则xk yk a b , xk a < xk , yk> <a,b> ,其中R。 (4)若{xk}收敛于a,则它的任一子列也收敛于a.
注2： 关于聚点，下面三条是等价的： (1) P是E的聚点； (2) P的任意邻域内，至少含有一个属于 E而异于P点； (3) 存在E中互异的点所成的点列{ Pn} ,
lim Pn P n
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i 1 n
则Rn构成一n维Euclid空间。
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向量x的长度定义为：
|| x || x, x x x x
定义1.4 设A Rn,a Rn. (1) 若 0, 使 得U (a , ) A, 则 称
a是 集A的 内 点 ， 的 所 有 内 点 构 成 A 的 集 合 称 为 的 内 部 ， 记 作 或 int A A A
(2) 若 0, 使 U (a, ) A , 则 得 称 a 是 A的 点 A的 有 点 成 集 集 外 ， 所 外 构 的 合 为 A的 部 记 称 外 ， 作 extA
( 3) 若 对 0, 使 得U (a , )中 既 含 有 中 的 点 ， A 也 含 有 的 余 集 C , 则 称a是 集A的 边 界 点 ， 的 A A A 所 有 边 界 点 构 成 的 集 称 为A的 边 界 ， 记 作A 合
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3. Rn中的开集与闭集
定义1.2 设A是Rn中的一个点集，a Rn .若存在 A中的点列{xk} ， xk a(k=1,2,…),使得 xk a(k),则称a为A 的一个聚点。 A 的所有的聚点构成的集合称为A的导集， 记作A 集合 A A A 称为A的闭包。
2 2 0 0
0
0
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2. Rn中点列的极限。 定义1.1 (点列的极限） 设{xk}是Rn中的一个点列， a是Rn中的一点，若当k时，(xk,a) 0,即：
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D x, y |1 x 2 y 2 4 平面点集
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工科数学分析基础
Mathematical Analysis for Technology
王
宁
信息技术系
计算机教研室
2012年1月
seraphtear@163.com
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第一节 n维Euclid空间点集的初步知识
若a A, 但aA, 则称a为A的孤立点， 若A A, 则称A为闭集。
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定理1.5 设A是Rn中的一个点集，a Rn， 则a A′的充要条件为：
2 2 1 2
2 n
n维空间中两点（向量又称为点）
x ( x , x ,x )
1 2 n
与 y ( y , y , y )
1 2 n
间的距离定义为
( x , y ) || x y ||
( x1 y1 ) 2 ( x 2 y2 ) 2 ( x n yn ) 2
0, U (a , ) A
也就是说，a为A的聚点当且仅当a 的任何去心ε邻域中都含有A中的点。

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0, N N ， 得 k N , 恒 xk U a, , 使 有
则称点列{xk}收敛于a,a是{xk}的极限。
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将有序实数对（x,y）的集合，即 x, y | x R, y R ，称为二维空间，记为 R 2 。在平面引入坐标系xOy 之后，平面的点和两个实数构成的有序实数对 （ x,y ） 一 一 对 应 ， 这 样 (x,y) 就 等 同 于 点 P(x,y), 因此我们对二维空间的有序实数对与坐 标平面的点不加以区别，将二维空间的子集说成 是“平面点集”。 平面点集的例子： x, y | x 2 y 2 1 A=
与 x, y | x x , y y ，分别称为以点 P x , y 为中心的 圆邻域与 方邻域（如图1.1）
0 0
平面点集
x, y |
x x0 y y0
2 2

0
0
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例5.1：求下列各集的导集，闭包，并说明是否为 闭集：
(1) (2)
A= B=
x, y |1 x 2 y 2 4
1 1 {( , ) | m, n N } m n
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设{xk}是Rn中的一个点列，若
Rn中点列收敛的概念也可以用邻域来刻画
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lim x k a i 1,2, , n, 都有 lim x k，i a i .
k k
Hubei Of Police 定理1.1 University Information and Technology Rn,则 设点列{xk} Rn,点a Department of
为以a为中心， 为半径的开球或点a的邻域。 称：
U ( a , ) U ( a , ) \ {a }
为点a去心邻域。可分别简记为U(a), U (a)
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[例5.2] 满足 1 x2 y2 4 的一切点都是D的内 x 2 y 2 1 的一切点是D的 点；满足 x2 y 2 4 界点，他们都属于D；满足 的一切点也是D的界点，但它们都 x2 x2 不属于D； y 2 1 及 y2 4 是D 的边界。 由此可见，一个点集的内点必 属于它。一个点集的界点可能属于 它，也可能不属于它。
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1.邻域 定义1.3 设a Rn, 0,称点集
U (a, ) { x R
n
|| x a || }
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由于向量不能比较大小，也不能相除， 所以数列极限中的单调性，保序性，确界， 商不能推广。 但Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收敛 原理在Rn中仍然成立。
1.1 n维Euclid空间Rn n维实向量 x ( x1 , x2 , xn )
( x1 , x2 , xn R)
R n {( x1 , x2 , xn ) | x1 , x2 , xn R} 记
它满足加法和数乘，所以它构成一n维实向量空 间（或n维实线性空间）
若定义内积： x, y x i y i
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平面点集 x, y | x x0 , y y0 , x, y x0 , y0 或 x, y |, 0 x x y y 称为点P的 去心邻域，并记为 U P, ,不关心 的大小时,记为 U P