正弦定理和余弦定理学案

4.6正弦定理和余弦定理

考情分析

本节是高考必考内容，重点为正弦、余弦定理及三角形面积公式.客观题以考查正、余弦定理解三角形为主；难度不大；解答题主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题，难度中档.

基础知识

3.三角形的面积公式

(1)1

().2a a S a h h a =

⋅表示边上的高 (2) 111

sin sin sin .222S bc A ac B bc B ===

(3) 1

()()2

S a b c r r =++⋅为三角形内切圆的半径

4.应用举例

利用正弦定理和余弦定理解三角形常用题型有:测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题,计算面积问题等.

注意事项

1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .

2.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．

3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 题型一 利用正弦定理解三角形

【例1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .

解：∵B ＝π－(A ＋C )，

∴cos B ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )，

∴1＝cos(A －C )＋cos B ＝cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，∴sin A sin C ＝1

2.

由正弦定理a sin A ＝c

sin C ＝2R ， 得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ， ∵a ＝2c ，∴sin A ＝2sin C ， ∴2sin 2C ＝12，即sin 2C ＝1

4，

解得sin C ＝12或sin C ＝－1

2(舍去)， ∴C ＝π6.

【变式1】在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π

4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.

解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin A

cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立解得sin A ＝25

5， 再由正弦定理得a sin A ＝b

sin B ， 代入数据解得a ＝210. 答案

25

5 210

题型二 利用余弦定理解三角形

【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )

A. 13

5 B. 125 C. 3 D. 134

答案：A

解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(c ＋b )(c －b )

2ac ，

∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴

3＋4(c －b )23c ＝3

2，即3＋

4(c －b )＝3c,3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝13

5.∴选A.

【变式2】已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且

2cos2A

2＋cos A＝0.

(1)求角A的值；

(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．

解(1)由2cos2A

2＋cos A＝0，

得1＋cos A＋cos A＝0，

即cos A＝－1 2，

∵0＜A＜π，∴A＝2π3.

(2)由余弦定理得，

a2＝b2＋c2－2bc cos A，A＝2π3，

则a2＝(b＋c)2－bc，

又a＝23，b＋c＝4，

有12＝42－bc，则bc＝4，

故S

△ABC ＝

1

2bc sin A＝ 3.

题型三利用正、余弦定理判断三角形形状

【例3】►在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状．

解由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，

得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，

即b2sin A cos B＝a2cos A sin B，

即sin2B sin A cos B＝sin2A cos B sin B，所以sin 2B＝sin 2A，

由于A，B是三角形的内角．

故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.

故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，

即A＝B或A＋B＝π

2.

故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

【变式3】在△ABC中，若

a

cos A＝

b

cos B＝

c

cos C；则△ABC是()．

A．直角三角形B．等边三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

解析由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(R为△ABC外接圆半径)．

∴sin A

cos A＝sin B

cos B＝

sin C

cos C.

即tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C. 答案 B

题型四正、余弦定理的综合应用

【例4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝π

4，b sin(π4＋

C)－c sin(π

4＋B)＝a.

(1)求证：B－C＝π

2；

(2)若a＝2，求△ABC的面积．

解：(1)证明：由b sin(π

4＋C)－c sin(

π

4＋B)＝a，应用正弦定理，得

sin B sin(π

4＋C)－sin C sin(

π

4＋B)＝sin A，

sin B(

2

2sin C＋

2

2cos C)－sin C(

2

2sin B＋

2

2cos B)＝

2

2，

整理得sin B cos C－cos B sin C＝1，即sin(B－C)＝1，

由于0

4，0

3π

4，

从而B－C＝π2.

(2)B＋C＝π－A＝3π4，