第三章 最佳线性滤波器

hopt
T 1 平均功率误差： min (n) E[ s (n)] P R P 0.005
2
0.4950 0.3501 R 1 P 0 0.3501
ˆ(n) h(n) x(n) 输出序列：y(n) s x(n) h(n) h(i) x(n i )
i
设计目的：获得系统的单位脉冲响应h(n)，或传输函数H ( z)。
设计准则：最小均方误差准则，即 ˆ(n))2 ] Min (n) E[e2 (n)] E[(s(n) s
x ( n)
LTI(h(n))
ˆ(n) 百度文库(n) s
d (n) s(n)


+
ˆ(n) e(n) d (n) y(n) s(n) s
s (n)为源信号，是获取的对象； 输入序列：x(n) s (n) v(n)—— 2 v ( n ) ~ N (0, v )为加性噪声。
第三章 最佳线性滤波器
最佳线性滤波概述
Wiener-Hopf方程及其求解
Wiener滤波的性能 互补Wiener滤波器设计 卡尔曼滤波器的递推算法 卡尔曼滤波器的应用
最佳线性滤波概述
最优估计： 在许多实际问题中，需要研究随时间变化的随机变量或随机
矢量的估计问题，即：按照某种最优准则对随时间变化的随
ˆ(n)是s(n)在信号空间X (n) {x(n), x(n -1)， s x( N 1)}上的正交投影。
Rs (m) 0.8|m| , m 0, 1, 例：设信号s(n)的自相关序列为： x(n) s(n) v(n) ，试中v(n) 是方差为0.45的零 观测信号为： 均值白噪声，它与s(n）统计独立。设计一个长为N=3的FIR 滤波器来处理x(n)，使得其输出与s(n)的差的均方值最小。
Rs ( m) 0.8|m| Rs (0) 1, Rs (1) Rs (1) 0.8, Rs (2) Rs (2) 0.64 而 v2 0.45， 所以
hopt
1.45 0.8 0.64 1 0.5358 0.8 = 0.2057 -1 R P 0.8 1.45 0.8 0.64 0.8 1.45 0.64 0.0914


输入数据时间序列x(n)的自相关矩阵： T R E x ( n) x ( n)


Toeplitz 对称阵
Rx ( N 1) Rx ( N 2) Rx ( N 3) Rx (0) N N
Rx (1) Rx (2) Rx (0) R (1) Rx (0) Rx (1) x Rx (2) Rx (1) Rx (0) Rx ( N 1) Rx ( N 2) Rx ( N 3)
计算 x(n) 与s(n)之间的互相关矢量： P E[ x( n) s( n)] E[ s( n) s( n)] s(n) s (n) Rs (0) 1/ 2 s(n 1) s (n) R (1) 2 / 4 = = s E s (n 2) s (n) Rs (2) 0 s (n 3) s (n) Rs (3) 2 / 4
Rs (0) Rs (1) R (2) s Rs (1)
h [h(0) h(1) h(2)]T
s(n 1) v(n 1) s (n 2) v(n 2
Rs (2) v2 0 0 Rs (0) Rs (1) 0 v2 0 0 0 v2 Rs (1) Rss (0)
i
e(n) x(n i ) i， 或 E[e(n) x(n i)] 0 i （正交方程）
第三章 最佳线性滤波器
最佳线性滤波概述
Wiener-Hopf方程及其求解
Wiener滤波的性能 互补Wiener滤波器设计 卡尔曼滤波器的递推算法 卡尔曼滤波器的应用
由正交方程 Wiener Hopf 方程： E[e( n) x( n m)] 0 m E[( s( n) h(i) x( n i)) x( n m)] E[ s( n) x( n m)] h(i) E[ x(n i ) x(n m)] Rsx (m) h(i) Rx (m i ) 0
2
h [h(0) h(1) h(2) h(3)]T
(2n 1) 1 4 2 1 E [cos cos ] () Rs (1) 4 4 i1 4 2 4
(n 2) n Rs (2) E s(n 2)s(n) E sin sin 4 4 2 (2n 2) 1 5 1 E [cos cos ] () 0 Rs (2) 4 4 2 4 i 2 (n 3) n Rs (3) E s(n 3) s(n) E sin sin 4 4
P E[ x(n)s(n)]
s ( n) v ( n) s(n) s(n) Rs (0) E s (n 1) v(n 1) s(n) E s(n 1) s(n) Rs (1) s(n 2) v(n 2) s(n 2) s( n) R ( 2) s
i i i
Rxs (m) h(i ) Rx (m i ) 0 m ——Wiener Hopf 方程
i
Rxs (m)—输入x (n )与信号s (n)的互相关函数； Rx (m)—输入x (n)的自相关函数。
Wiener Hopf 方程的求解： 求解的目的是得到最优的单位脉冲响应hopt (n)或系统传输函数H opt ( z ) hopt (n) H opt ( z ) Z 1
x(n) [ x(n), x(n 1), x(n 2), x(n 3)]T
计算确定信号s(n)的自相关函数： n 1 7 1 2 i Rs (0) E{s(n) s(n)} E{sin ( )} sin ( ) 4 8 i 0 4 2 (n 1) n Rs (1) E s(n 1)s(n) E sin sin 4 4
FIR：h(n), n [0, N -1]; ; 因果IIR：h(n), n [0, ） 非因果IIR：h(n), n (-, )。
LTI 滤波器的类型：
由信号正交性理解最优设计准则： ˆ(n)+e(n（ s (n)=s ) 正交分解定理） ˆ( n ) e( n ) s ˆ(n)= h(i) x(n i )，故 而s
机变量或随机矢量作出估计。 ——在信息与通信工程领域常称为“波形估计”；
——在控制科学与工程领域常称为“状态估计”。
最佳滤波： 信号s(n)在传输时引入加性噪声v(n)，接收信号x(n) s(n) v(n)， ˆ(n)恢复s(n)。 希望经最佳滤波器滤波后的输出y(n) s
最优准则：
包括最大后验准则、最大似然准则、均方准则、线性均方准 则等。最佳线性滤波器采用线性均方准则，通常称为“最小 均方误差（LMS）”和“最小二乘（LS）”准则。统计均 方意义下的准则，要求输入为随机过程（序列），通常假定 “平稳”和“各态历经”。
T 输入时间序列（与h(n)等长）： x(n) x(n), x(n 1), , x(n N 1)
x(n)与s(n)的互相关函数（P为列矢量）： T P E x(n)s (n) Rxs (0), Rxs (1),, Rxs ( N 1)
最佳线性滤波器的主要应用场景： 10 . 过滤：用n时刻及以前的输入数据估计n时刻的信号值， 对应为因果IIR； 20 . 平滑：用过去、n时刻及未来的全部输入数据估计 n时刻的信号值，对应为非因果IIR； 30 . 预测：用n时刻及以前的共p个输入数据预测未来某时刻 的信号值，对应为FIR；
最佳线性滤波器结构
3 (2n 3) 1 6 2 1 E [cos cos ] () Rs (3) 4 4 4 2 4 i 3
计算输入时间序列x(n)的自相关矩阵： T T T R E[ x(n) x (n)] E[ s (n) s (n)] E[v( n)v ( n)] Rs (0) Rs (1) Rs (2) Rs (3) R (1) R (0) R (1) R (2) s s s 2I Rs Rv s v Rs (2) Rs (1) Rs (0) Rs (1) R (3) R (2) R ( 1 ) R (0 ) s s s s
解： x(n) [ x(n) x(n 1) x(n 2)]T T R E[ x(n) x (n)]
s ( n) v ( n) E s(n 1) v(n 1) s (n) v (n) s(n 2) v(n 2)
-1
例：在测试某正弦信号s(n) sin( n / 4) 的过程中叠加有零均值、方 x(n) sin( n / 4) v(n) 差 v2 0.01 的白噪声 v( n)，即测试结果为： ˆ(n) ，使得 试设计一个长为N=4的FIR滤波器对x(n)进行滤波得到 s 它与 s (n) 的误差的均方值最小。求该滤波器的冲激响应并估计误 差平均功率（ s(n)与 v(n)不相关）。 解：
Wiener Hopf 方程的矩阵形式： T T T P h R 或 P R h Rh
滤波器单位脉冲响应的最优解： -1 hopt R P
滤波器输出： T T -1 T ˆ(n) h opt x(n) P (R ) x(n) y (n) s T -1 E[s (n) x (n)] R x(n) T T 1 E[ s(n) x (n)] E[ x(n) x (n)] x(n)
Z
10. FIR型Wiener滤波器
x ( n)
z
1
x(n 1)
z
h1
1
x(n N 2)
… … …
z
1
x(n N 1)
h0
hN 2
hN 1
+
+
+
+

e(n)
ˆ(n) y(n) s
s ( n)
T 有限单位脉冲响应序列：h＝ h(0), h(1), , h( N 1)