《直线方程的四种形式》

一直线过点 A1,3，其倾斜角等于
直线 y 3 x 的倾斜角的2倍，求直线
3
l 的方程.
小结：
直线 方程 名称
已知 条件
点 P (x , y ) 和斜率k
1 1 1
直线方程
使用范围
点 斜 式 斜 截 式
y y k(x x )
1 1
斜率k和直 线在y轴上 的截距
y kx b
k AB 6 0 3 , 0 ( 2)
故l的方程为： y 3 3( x 1),
即 y 3 x 6.
学习目标
1. 理解直线在坐标轴上的截距的概念．掌握直
线方程的点斜式，斜截式，两点式，截距式，
并理解它们存在的条件．
2．能根据不同的条件，写出直线的方程．
1、直线的倾斜角取值范围？
0 180
2、如何求直线的斜率？
k tan ( 90) y2 y1 ( x1 x2 ) k
【注意】当直线没斜率或斜率为0时， 不能用两点式来表示；
x
课堂练习：
1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化 斜截式方程. y 1 x 2
3 1 0 2
y 5 x0 05 50
y0 x0 5 0 4 0
(1)P(2，1)，Q(0，-3) (2)A(0，5)，B(5，0)
斜 率 必 须 存 在
斜率不存在时， 直线方程为： x x0

思考1：已知直线过A(3,-5),B(-2,5)如何求直线方程
思 考2： 设 直线 l经 过点 P1 ( x1 , y1 )，P2 ( x2 , y2 ), (其 中x1 ≠x2 , y1 ≠y2 ) 你 能写 出 l的 点斜 式方 程
y
y b k ( x 0)
l
y kx b
x
斜率
——直线的斜截式方程
P0(0, b)
O
在 y轴的截距
【注意】适用范 围：斜率K存在
y=kx+b ——直线方程的斜截式 .
y
思考1： P(0,b) 斜截式与我们初中学习过的什么函数的 表达式类似，你能说出两者之间的 O x 联系与区别吗？ 答：斜截式与一次函数y=kx+b形式一样，但有区别。 当k≠0时，斜截式方程就是一次函数的表现形式。 思考2：截距与距离一样吗？ 截距与距离不一样，截距可正、可零、可负, 而距离不能为负。
y 2 3 ( x 4)
练习 1. 写出下列直线的点斜式方程吗？ （1）经过点 A(2,5)，斜率是4；
（2）经过点B(2,3)，倾斜角是45°
（3）经过点C(-1,-1)，倾斜角是0°
（4）经过点D(1,1) ，倾斜角是90°
直线过点 P0 (0, b), 且斜率为 k的点斜式方程
过点 P0 ( x0, y0 ) ，斜率为 k 的直线 每一点的坐标都满足方程（1）。
l
上的
y y0 k ( x x0 )
—— 直线方程的点斜式
(x0 , y0 )的所有直线吗？ 点斜式方程能表示过点
点斜式方程（小结）
y
l
①k存在，倾斜角α≠90°
y y0 k ( x x0 )

y 2x 3
y x 5
5 y x 4
(3)C(-4，-5)，D(0，0)
方法小结已知两点坐标，求直线方程的方法： ①用两点式 ②先求出斜率k，再用点斜式。
试求过点A（a，0）,B(0,b)的直线方 程
截距式方程
y
B(0，b)
l
代入两点式方程得 y0 xa 化简得 b0 0a 截距式方 x y 1 程 a b
（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；
x y 由截距式得： 1 5 6
整理得： 6 x 5 y 30 0
对截距概念的深刻理解
求过(1,2)且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程
解:
当两截距都不为0时 x y 设 直线的方程为: a a 1 把(1,2)代入得：
y
C
A o M x
B
， 3）的直线l与两坐标轴分别交于 选做题. 过点P（ 1 A、B，线段AB的中点恰是 P，求直线l 的方程.
解：设 A（a,0 ） , B(0, b) ，
Байду номын сангаас
P（ 1 ， 3 ）是线段 AB的中点 ，
0 b 3， a 0 1， 即 a 2, b 6 . 2 2
请同学们完成课后练习案！
练习
1.若直线(a+2)x+(a2 2a 3) y 2a 0在x轴上的截距为3 则a的值为 A.6 B.-6 6 C.5 6 D. 5
2.过点（x1，y1）和点（x 2，y 2）的直线方程是 y y2 x x1 A. y2 y1 x2 x1 y-y1 x x2 B. y 2 y1 x1 x2
C.( x2 x1 )( x x1 ) ( y2 y1 )( y y1 ) 0 D.( y2 y1 )( x x1 ) ( x2 x1 )( y y2 ) 0
3： 已知三角形的三个顶点 A（-4，0），B（2，-4），C（0，2）， 求AC边所在直线的方程，以及BC边上中线 所在直线的方程。
1 2 1 a a
即：a=3 所以直线方程为：x+y-3=0 那还有一条呢？ 当两截距都等于0时
法二：用点斜式求解
y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
对截距概念的深刻理解
变： 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的 绝对值相等的直线有几条?
解：三条
设

x y 1 a b a b
x
y y0 y l x l
②k存在，倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
③k不存在，倾斜角α=90°
O
x0
x
x x0 0或x x0
1.口答下列直线的点斜式方程：
（1）经过点A(3, －1)，斜率是 2；
y 1 2 ( x 3)
3 y2 (x 2) （2）经过点B( 2 , 2)，倾斜角是30°； 3
练习：1说出下列直线的斜率和在y轴上的截距
（ 1 ）y 3x 2 (2) y 3x (3) x 3 y 2
1 2 y x 3 3
2 写出下列直线的斜截式方程。
3 3 （1） 斜率是 ，在y轴上的截距是-2； y x-2 2 2
（2） 斜率是-2，在y轴上的截距是4；
y -2 x 4
y P
l
P0
y y0 k x x0
x
O
过点 P0 ( x0, y0 ) ,斜率为 k 的直线 l上的每一点 的坐标都满足方程（1）。
y y0 k ( x x0 ) （1）
（ 1是不是此直线上的点都满足这个方程？ ）直线上任意一点的坐标是方程的解（满足方程） 1 2 以方程的解构成的坐标的点是否在此直线上？ （2）以方程的解构成坐标的点都在此直线上
A(a，0)
横截距 x 横截距——与x轴交点的横坐标 纵截距——与y轴交点的纵坐标
不为0的直线.
纵截距
【适用范围】截距式适用于横、纵截距都存在且都
2.根据下列条件求直线方程
（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；
x y 1 整理得： 3x 2 y 6 0 由截距式得： 2 3
已知直线 l : kx
y + 1 + 2k = 0( k ∈ R)， 若 直 线 l交x
轴负半轴于 A， 交y轴 正 半 轴 于 B, ΔAOB的 面 积 为 S， (O为 坐 标 原 点 )， 求S的 最 小 值 ,并求此时直线 l的 方 程
直线形 式 点斜式
直线方程
局限性
选择条件
已知一个定点和斜率k 已知一点，可设点斜式 y y1 k ( x x1 ) 存在斜率k 方程 已知在y轴上的截距 斜截式 y kx b 已知斜率，可设斜截式 存在斜率k 方程 两点式 y y1 x x1 不包括垂直于坐标 已知两个定点;已知两个 y2 y1 x2 x1 轴的直线 截距 已知两个截距 截距式 不包括垂直于 x y 已知直线与坐标轴围成 1 坐标轴和过原点 a b 三角形的面积问题可设 的直线 截距式方程
探究：已知直线上两点P1(x1,y1),
P2(x2,y2)
（x1≠x2, y1≠y2 ），求通过这两点的直线方程？ l
P1(x1，y1)
P2(x2，y2)
y
y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
y y1 x x1 两点式： ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
解得：a=b=3或a=-b=-1 直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
【变】：过(1,2)并且在y轴上的截距是x轴上 的截距的2倍的直线是（ D ）
A、 x+y-3=0 C、 2x+y-4=0 B、x+y-3=0或y=2x D、2x+y-4=0或y=2x
反思：
⑴截距式是两点式（a，0），（0，b）的特殊情况。 ⑵a，b表示截距，即直线与坐标轴交点的横坐标和 纵坐标，而不是距离。 ⑶截距式不表示过原点的直线，以及与坐标轴垂直 的直线。
（3）经过点D(－4, －2)，倾斜角是120°. 2.填空题： （1）已知直线的点斜式方程是 y－2=x－1，那么此直线的 45 斜率是__________, 倾斜角是_____________. 1 （2）已知直线的点斜式方程是 y＋2= 3 (x＋1)，那么此直线 60 3 的斜率是__________, 倾斜角是_____________.
x2 x1
3、在直角坐标系内如何确定一条直线？ 答（1）已知两点可以确定一条直线。 （2）已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率） 可以确定一条直线。
在直角坐标系中，给定一个点 P0 ( x0 , y0 ) 和斜率 k ，我们能否将直线上任一点的坐 ≠ x0 标P（x, y)（x ）满足的关系表示出来？