鸡兔同笼问题解法及例题透析
鸡兔同笼问题题型解析
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鸡兔同笼问题题型解析题型一:鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?分析如果46只都是兔,一共应有4×46=184只脚,这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔,就要减少4-2=2(只)脚. 那么,46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢?显然,56÷2=28,只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以,鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18。
解:①鸡有多少只?(4×6-128)÷(4-2)=(184-128)÷2=56÷2=28(只)②免有多少只?46-28=18(只)答:鸡有28只,免有18只。
我们来总结一下这道题的解题思路:先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡;将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来,解鸡兔同笼问题的基本关系式是:鸡数=(每只兔脚数×兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数每只鸡的脚数 ) 兔数=鸡兔总数-鸡数当然,也可以先假设全是鸡。
题型二:鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?分析这个例题与前面例题是有区别的,没有给出它们脚数的总和,而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢?假设100只全是鸡,那么脚的总数是2×100=200(只)这时兔的脚数为0,鸡脚比兔脚多200只,而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此,鸡脚与兔脚的差数比已知多了(200-80)=120(只),这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡,鸡的脚数将增加2只,兔的脚数减少4只.那么,鸡脚与兔脚的差数增(2+4)=6(只),所以换成鸡的兔子有120÷6=20(只).有鸡(100-20)=80 (只)。
鸡兔同笼题型总结与分析
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鸡兔同笼题型总结与分析鸡兔同笼问题是小学数学中一个非常经典的题型,也是让很多同学感到头疼的问题。
但其实,只要掌握了正确的方法和思路,鸡兔同笼问题并没有那么难。
接下来,我们就来对鸡兔同笼题型进行一个全面的总结与分析。
一、鸡兔同笼问题的基本概念鸡兔同笼问题是指在一个笼子里,有鸡和兔若干只,从上面数有头若干个,从下面数有脚若干只,求鸡和兔各有多少只的问题。
例如:一个笼子里有若干只鸡和兔,从上面数有 35 个头,从下面数有 94 只脚,鸡和兔各有多少只?二、常见的解题方法1、假设法假设法是解决鸡兔同笼问题最常用的方法之一。
我们可以先假设笼子里全部都是鸡或者全部都是兔,然后根据实际的脚的数量与假设情况下脚的数量的差异,来求出鸡和兔的数量。
假设全部都是鸡,那么脚的数量应该是 2×头的数量。
而实际脚的数量比假设情况下多,多出来的部分就是因为把兔当成鸡来计算了。
每把一只兔当成一只鸡,脚的数量就会少 4 2 = 2 只。
所以用多出来的脚的数量除以 2,就可以得到兔的数量,再用头的总数减去兔的数量,就可以得到鸡的数量。
假设全部都是兔,那么脚的数量应该是 4×头的数量。
而实际脚的数量比假设情况下少,少的部分就是因为把鸡当成兔来计算了。
每把一只鸡当成一只兔,脚的数量就会多 4 2 = 2 只。
所以用少的脚的数量除以 2,就可以得到鸡的数量,再用头的总数减去鸡的数量,就可以得到兔的数量。
以开头的例子为例,假设全部都是鸡,脚的数量应该是 2×35 = 70 只,实际有 94 只脚,多了 94 70 = 24 只脚。
每把一只兔当成一只鸡,脚就少 2 只,所以兔的数量是 24÷2 = 12 只,鸡的数量就是 35 12 =23 只。
假设全部都是兔,脚的数量应该是 4×35 = 140 只,实际有 94 只脚,少了 140 94 = 46 只脚。
每把一只鸡当成一只兔,脚就多 2 只,所以鸡的数量是 46÷2 = 23 只,兔的数量就是 35 23 = 12 只。
鸡兔同笼问题讲解及鸡兔同笼问题练习题
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鸡兔同笼问题一、通用法解题思路(一)思路讲解鸡兔同笼问题本质是假设问题,其解题方法有两种,一种是在未学习方程式之前常用得假设方法。
一种是一元一次方程解法。
其实一元一次方程得方法更为简单,直至本质。
小学常用的方法反而更考校孩子得思维能力。
在小学常用解法中,有四个量:鸡兔的总数、鸡兔脚得总数、每只鸡的脚数、每只兔得脚数。
找到这四个量后。
就能解决鸡兔同笼问题。
(之所以把每只兔子、鸡的脚数作为需要寻找的量是因为在有些问题中,是需要判断的。
后面举例说明。
)假设都是兔子:那么因为兔子的脚是4只,鸡的脚是2只,在假设后,每只鸡也变成了4只脚,那么假设后总的脚数比实际的要多,多出来的是每只鸡多算的。
如此,可以得到计算方法:鸡的总数=(鸡兔的总数×每只兔子脚的个数-鸡兔脚得总数)÷(每只兔子脚的个数-每只鸡脚的个数)同理,如果假设都是鸡,那么可以得到兔子数量的计算方法:兔子的总数=(鸡兔脚得总数-鸡兔的总数×每只鸡脚的个数)÷(每只兔子脚的个数-每只鸡脚的个数)(二)例题讲解例题一:鸡兔同笼,共有头30只,脚88只,求鸡和兔子各多少只?在这个题目中,我们寻找四个量:鸡兔的总数:30鸡兔脚的总数88每只鸡的脚数2每只兔子的脚数4公式:鸡的总数=(鸡兔的总数×每只兔子脚的个数-鸡兔脚得总数)÷(每只兔子脚的个数-每只鸡脚的个数)带入公式:鸡的总数:(30×4-88)÷(4-2)=16(只)兔子的总数:30-16=14(只)例题二:一次数学竞赛共有20道题目。
做对一题得5分,做错一题倒扣3分,小明考了52分,问小明作对了几道题目?在这个题目中,我们寻找四个量,作对的题目看做兔子,做错的题目看成鸡:鸡兔的总数:题目的总数20鸡兔脚的总数;总分数20×5=100每只鸡的脚数:做错一题所得分数-3每只兔子的脚数:作对一题所得分数5分带入公式:兔子的总数=(鸡兔脚得总数-鸡兔的总数×每只鸡脚的个数)÷(每只兔子脚的个数-每只鸡脚的个数)作对题目的总数=(实际总分数-题目总数×做错题目得分)÷(作对题目得分-做错题目得分)作对题目的总数:(52+20×3)÷(5+3)=14(题)做错题目的总数:20-14=6(题)二、鸡兔同笼问题其他解法思路(一)解法思路一在只是计算鸡、兔的题目中,因为鸡的腿数是2只,兔子的腿数是4只,都是偶数,因此我们可以想象让鸡把腿都收起来,这个时候站着的都是兔子了,每只兔子有2只腿站着,因此把剩下的腿除以2,就是兔子的数量。
小学奥数“鸡兔同笼”问题的五种常见解题思路
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50×4=200 因为所有的动物地上都只站着4只脚
200-120=80 80÷2=40 因为每只鸡补了两只脚 50-40=10
谢谢聆听!
每只兔都抬两只脚起来
地上还站着多少只脚?
兔一共抬了多少只脚? 兔有多少只?
鸡有多少只?
50×2=100 因为所有的动物地上都只站着两只脚
120-100=20 20÷2=10 因为每只兔抬了两只脚 50-10=40
七、方法五:补脚法
假设每只鸡都补上两只脚
地上站着多少只脚?
鸡一共抬了多少只脚? 鸡有多少只?
50×4=200 200-120=80 4-2=2 80÷2=40 50-40=10
六、方法四:抬脚法1
每只鸡和兔都抬起两只脚
一共抬起了多少只脚?
50×2=100
地上还站着多少只脚?
120-100=20
地上站着的脚都是谁的? 兔的,因为鸡只有两只,全都爬在地上了。
兔有多少只?
20÷2=10
为什么是除以2而不是除以4呢? 因为每只免只有两只脚站在地上。
小学奥数
目录 一、例题 二、题目解析 三、画图法 四、试算法
五、假设法 六、抬脚法 七、补脚法
一、例 题
鸡兔同笼,共50只,120只脚, 鸡、免各有多少只?
二、题目解析
一、已知的数量关系: 1. 鸡和免共有50只; 2. 脚一共有120只。
…… + …… +
二、隐含的数量关系: 一只鸡有2只脚,一只兔有4脚。
三、要解决的问题:ห้องสมุดไป่ตู้、兔各有的只数
…… =50 …… =120
三、方法一:画图法
1.先画出50个圆圈代表50只动物 2.然后,每个圆圈划2只脚,总共
鸡兔同笼典型例题及详细讲解
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鸡兔同笼问题与假设法鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的,它是一类有名的中国古算题;许多小学算术应用题,都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算;例1 小梅数她家的鸡与兔,数头有16个,数脚有44只;问:小梅家的鸡与兔各有多少只分析:假设16只都是鸡,那么就应该有2×16=32只脚,但实际上有44只脚,比假设的情况多了44-32=12只脚,出现这种情况的原因是把兔当作鸡了;如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡,那么每换一只,头的数目不变,脚数增加了2只;因此只要算出12里面有几个2,就可以求出兔的只数;解:有兔44-2×16÷4-2=6只,有鸡16-6=10只;答:有6只兔,10只鸡;当然,我们也可以假设16只都是兔子,那么就应该有4×16=64只脚,但实际上有44只脚,比假设的情况少了64-44=20只脚,这是因为把鸡当作兔了;我们以鸡去换兔,每换一只,头的数目不变,脚数减少了4-2=2只;因此只要算出20里面有几个2,就可以求出鸡的只数;有鸡4×16-44÷4-2=10只,有兔16—10=6只;由例1看出,解答鸡兔同笼问题通常采用假设法,可以先假设都是鸡,然后以兔换鸡;也可以先假设都是兔,然后以鸡换兔;因此这类问题也叫置换问题;例2 100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍;问:大、小和尚各有多少人分析与解:本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得;如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解;假设100人全是大和尚,那么共需馍300个,比实际多300-140=160个;现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少3—1=2个,因为160÷2=80,故小和尚有80人,大和尚有100-80=20人;答:大和尚有20人,小和尚有80人;同样,也可以假设100人都是小和尚,大家不妨自己试试;在下面的例题中,我们只给出一种假设方法;例3 彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用品共买了16套,用钱280元;问:两种文化用品各买了多少套分析与解:我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚,一种“怪兔”有1个头19只脚,它们共有16个头,280只脚;这样,就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了;假设买了16套彩色文化用品,则共需19×16=304元,比实际多304—280=24元,现在用普通文化用品去换彩色文化用品,每换一套少用19—11=8元,所以买普通文化用品 24÷8=3套,买彩色文化用品 16-3=13套;答:买普通文化用品3套,买彩色文化用品13套;例4 鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只;问:鸡、兔各多少只分析:假设100只都是鸡,没有兔,那么就有鸡脚200只,而兔的脚数为零;这样鸡脚比兔脚多200只,而实际上只多20只,这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200—20=180只;现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6只,而180÷6=30,因此有兔子30只,鸡100——30=70只;解:有兔2×100—20÷2+4=30只,有鸡100—30=70只;答:有鸡70只,兔30只;例5 现有大、小油瓶共50个,每个大瓶可装油4千克,每个小瓶可装油2千克,大瓶比小瓶共多装20千克;问:大、小瓶各有多少个分析:本题与例4非常类似,仿照例4的解法即可;解:小瓶有4×50-20÷4+2=30个,大瓶有50-30=20个;答:有大瓶20个,小瓶30个;例6 一批钢材,用小卡车装载要45辆,用大卡车装载只要36辆;已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,那么这批钢材有多少吨分析:要算出这批钢材有多少吨,需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨;利用假设法,假设只用36辆小卡车来装载这批钢材,因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,所以要剩下4×36=144吨;根据条件,要装完这144吨钢材还需要45-36=9辆小卡车;这样每辆小卡车能装144÷9=16吨;由此可求出这批钢材有多少吨;解:4×36÷45-36×45=720吨;答:这批钢材有720吨;例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶,双方商定每只运费元,但如果发生损坏,那么每打破一只不仅不给运费,而且还要赔偿元,结果搬运站共得运费元;问:搬运过程中共打破了几只花瓶分析:假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破,那么应得运费×500=120元;实际上只得到元,少得=元;搬运站每打破一只花瓶要损失+=元;因此共打破花瓶÷=3只;解:×500-÷+=3只;答:共打破3只花瓶;例8 小乐与小喜一起跳绳,小喜先跳了2分钟,然后两人各跳了3分钟,一共跳了780下;已知小喜比小乐每分钟多跳12下,那么小喜比小乐共多跳了多少下分析与解:利用假设法,假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样,那么两人跳的总数减少了12×2+3=60下;可求出小乐每分钟跳780——60÷2+3+3=90下,小乐一共跳了90×3=270下,因此小喜比小乐共多跳780——270×2=240下;答:小喜比小乐共多跳了240下;。
鸡兔同笼典型例题及详细讲解
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鸡兔同笼问题与假设法鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的;它是一类有名的中国古算题..许多小学算术应用题;都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算..例1小梅数她家的鸡与兔;数头有16个;数脚有44只..问:小梅家的鸡与兔各有多少只分析:假设16只都是鸡;那么就应该有2×16=32只脚;但实际上有44只脚;比假设的情况多了44-32=12只脚;出现这种情况的原因是把兔当作鸡了..如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡;那么每换一只;头的数目不变;脚数增加了2只..因此只要算出12里面有几个2;就可以求出兔的只数..解:有兔44-2×16÷4-2=6只;有鸡16-6=10只..答:有6只兔;10只鸡..当然;我们也可以假设16只都是兔子;那么就应该有4×16=64只脚;但实际上有44只脚;比假设的情况少了64-44=20只脚;这是因为把鸡当作兔了..我们以鸡去换兔;每换一只;头的数目不变;脚数减少了4-2=2只..因此只要算出20里面有几个2;就可以求出鸡的只数..有鸡4×16-44÷4-2=10只;有兔16—10=6只..由例1看出;解答鸡兔同笼问题通常采用假设法;可以先假设都是鸡;然后以兔换鸡;也可以先假设都是兔;然后以鸡换兔..因此这类问题也叫置换问题..例2100个和尚140个馍;大和尚1人分3个馍;小和尚1人分1个馍..问:大、小和尚各有多少人分析与解:本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得..如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔;馍看作腿;那么就成了鸡兔同笼问题;可以用假设法来解..假设100人全是大和尚;那么共需馍300个;比实际多300-140=160个..现在以小和尚去换大和尚;每换一个总人数不变;而馍就要减少3—1=2个;因为160÷2=80;故小和尚有80人;大和尚有100-80=20人..答:大和尚有20人;小和尚有80人..同样;也可以假设100人都是小和尚;大家不妨自己试试..在下面的例题中;我们只给出一种假设方法..例3彩色文化用品每套19元;普通文化用品每套11元;这两种文化用品共买了16套;用钱280元..问:两种文化用品各买了多少套分析与解:我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚;一种“怪兔”有1个头19只脚;它们共有16个头;280只脚..这样;就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了..假设买了16套彩色文化用品;则共需19×16=304元;比实际多304—280=24元;现在用普通文化用品去换彩色文化用品;每换一套少用19—11=8元;所以买普通文化用品24÷8=3套;买彩色文化用品16-3=13套..答:买普通文化用品3套;买彩色文化用品13套..例4鸡、兔共100只;鸡脚比兔脚多20只..问:鸡、兔各多少只分析:假设100只都是鸡;没有兔;那么就有鸡脚200只;而兔的脚数为零..这样鸡脚比兔脚多200只;而实际上只多20只;这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200—20=180只..现在以兔换鸡;每换一只;鸡脚减少2只;兔脚增加4只;即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6只;而180÷6=30;因此有兔子30只;鸡100——30=70只..解:有兔2×100—20÷2+4=30只;有鸡100—30=70只..答:有鸡70只;兔30只..例5现有大、小油瓶共50个;每个大瓶可装油4千克;每个小瓶可装油2千克;大瓶比小瓶共多装20千克..问:大、小瓶各有多少个分析:本题与例4非常类似;仿照例4的解法即可..解:小瓶有4×50-20÷4+2=30个;大瓶有50-30=20个..答:有大瓶20个;小瓶30个..例6一批钢材;用小卡车装载要45辆;用大卡车装载只要36辆..已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨;那么这批钢材有多少吨分析:要算出这批钢材有多少吨;需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨..利用假设法;假设只用36辆小卡车来装载这批钢材;因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨;所以要剩下4×36=144吨..根据条件;要装完这144吨钢材还需要45-36=9辆小卡车..这样每辆小卡车能装144÷9=16吨..由此可求出这批钢材有多少吨..解:4×36÷45-36×45=720吨..答:这批钢材有720吨..例7乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶;双方商定每只运费0.24元;但如果发生损坏;那么每打破一只不仅不给运费;而且还要赔偿1.26元;结果搬运站共得运费115.5元..问:搬运过程中共打破了几只花瓶分析:假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破;那么应得运费0.24×500=120元..实际上只得到115.5元;少得120-115.5=4.5元..搬运站每打破一只花瓶要损失0.24+1.26=1.5元..因此共打破花瓶4.5÷1.5=3只..解:0.24×500-115.5÷0.24+1.26=3只..答:共打破3只花瓶..例8小乐与小喜一起跳绳;小喜先跳了2分钟;然后两人各跳了3分钟;一共跳了780下..已知小喜比小乐每分钟多跳12下;那么小喜比小乐共多跳了多少下分析与解:利用假设法;假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样;那么两人跳的总数减少了12×2+3=60下..可求出小乐每分钟跳780——60÷2+3+3=90下;小乐一共跳了90×3=270下;因此小喜比小乐共多跳780——270×2=240下..答:小喜比小乐共多跳了240下..。
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解。
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鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解。
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解鸡兔问题是一种经典的数学问题,下面介绍五种基本公式及例题讲解。
公式1:已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少:兔数 = (总脚数-每只鸡的脚数×总头数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)鸡数 = 总头数 - 兔数或者是鸡数 = (每只兔脚数×总头数-总脚数)÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)兔数 = 总头数 - 鸡数例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只?”XXX:(100-2×36)÷(4-2)=14(只)兔,36-14=22(只)鸡。
解二:(4×36-100)÷(4-2)=22(只)鸡,36-22=14(只)兔。
公式2:已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式兔数 = (每只鸡脚数×总头数-脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)鸡数 = 总头数 - 兔数或者是鸡数 = (每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)兔数 = 总头数 - 鸡数公式3:已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式。
兔数 = (每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)鸡数 = 总头数 - 兔数或者是鸡数 = (每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)兔数 = 总头数 - 鸡数公式4:得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:不合格品数= (1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)或者是不合格品数 = 总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)例如,“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。
鸡兔同笼问题解法及例题透析
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鸡兔同笼问题解法及例题透析【含义】这是古典的算术问题。
已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。
已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题:假设全都是鸡,则有兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)假设全都是兔,则有鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)第二鸡兔同笼问题:假设全都是鸡,则有兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)假设全都是兔,则有鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。
如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。
这类问题也叫置换问题。
通过先假设,再置换,使问题得到解决。
例1长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。
数数头有三十五,脚数共有九十四。
请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?解假设35只全为兔,则鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)兔数=35-23=12(只)也可以先假设35只全为鸡,则兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)鸡数=35-12=23(只)答:有鸡23只,有兔12只。
例22亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。
“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。
假设16亩全都是菠菜,则有白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)答:白菜地有10亩。
小升初数学鸡兔同笼问题解析
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小升初数学鸡兔同笼问题解析(含例题讲解+课后练习) “鸡兔同笼问题”的4种理解方法▶题目:有若干只鸡和兔在同个笼子里,从上面数,有三十五个头;从下面数,有九十四只脚。
求笼中各有几只鸡和兔?解法1 站队法让所有的鸡和兔子都列队站好,鸡和兔子都听哨子指挥。
那么,吹一声哨子让所有动物抬起一只脚,笼中站立的脚:94-35=59(只)。
那么再吹一声哨子,然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就一屁股坐地上了,只剩下用两只脚站立的兔子,站立脚:59-35=24(只)兔:24÷2=12(只);鸡:35-12=23(只)解法2 松绑法由于兔子的脚比鸡的脚多出了两个,因此把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚。
那么,兔子就成了2只脚。
则捆绑后鸡脚和兔脚的总数:35×2=70(只)比题中所说的94只要少:94-70=24(只)。
现在,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2只,不断地一个一个地松开绳子,总的脚数则不断地增加2,2,2,2……,一直继续下去,直至增加24,因此兔子数:24÷2=12(只)从而鸡数:35-12=23(只)解法3 假设替换法实际上替代法的做题步骤跟上述松绑法相似,只不过是换种方式进行理解。
假设笼子里全是鸡,则应有脚70只。
而实际上多出的部分就是兔子替换了鸡所形成。
每一只兔子替代鸡,则增加每只兔脚减去每只鸡脚的数量。
兔子数=(实际脚数-每只鸡脚数*鸡兔总数)/(每只兔脚数-每只鸡脚数)与前相似,假设笼子里全是兔,则应有脚120只。
而实际上不足的部分就是鸡替换了兔子所形成。
每一只鸡替代兔子,则减少每只兔脚减去每只鸡脚的数量,即2只。
鸡数=(每只兔脚数*鸡兔总数-实际脚数)/(每只兔脚数-每只鸡脚数)将上述数值代入方法(1)可知,兔子数为12只,再求出鸡数为23只。
将上述数值代入方法(2)可知,鸡数为23只,再求出兔子数为12只。
小学数学鸡兔同笼问题解题思路和方法公式例题附答案
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鸡兔同笼问题【含义】这是古典的算术问题。
已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。
已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题:假设全都是鸡,则有兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)假设全都是兔,则有鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)第二鸡兔同笼问题:假设全都是鸡,则有兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)假设全都是兔,则有鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。
如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。
这类问题也叫置换问题。
通过先假设,再置换,使问题得到解决。
例1:长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。
数数头有三十五,脚数共有九十四。
请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?解:假设35只全为兔,则鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)兔数=35-23=12(只)也可以先假设35只全为鸡,则兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)鸡数=35-12=23(只)答:有鸡23只,有兔12只。
例2:2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?解:此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。
“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。
假设16亩全都是菠菜,则有白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)答:白菜地有10亩。
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
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鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】(1)已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少:(总脚数-每只鸡的脚数×总头数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数。
或者是(每只兔脚数×总头数-总脚数)÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。
例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只”解一(100-2×36)÷(4-2)=14(只)………兔;36-14=22(只)……………………………鸡。
解二(4×36-100)÷(4-2)=22(只)………鸡;36-22=14(只)…………………………兔。
(答略)(2)已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式(每只鸡脚数×总头数-脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数或(每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。
(例略)(3)已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式。
(每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数。
或(每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。
(例略)(4)得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:(1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
或者是总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
例如,“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。
鸡兔同笼经典例题与解析(经典)
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【例一】点点家养了一些鸡和兔子,同时养在一个笼子里,点点数了数,它们共有35个头,94只脚.问:点点家养的鸡和兔各有多少只?(基本假设法)【解析】方法一:抬腿法。
每只动物都抬起2条腿,剩下94-35×2=24.剩下的每只兔子两条腿,所以共有12只兔子。
方法二:假设35只都是兔子,那么就有354140×=(只)脚,假设的比实际的多了140-94=46(只).多46只的原因是35只里不全是兔子,现在我们得把鸡给换回来,一只兔子换一只鸡会少2条腿,所以得换46÷2=23只鸡回来。
方法三:还可以假设35只都是鸡,那么共有脚2×35=70(只),比94只脚少了94-70=24(只)脚,每只鸡比兔子少2只脚,那么共有兔子24÷2=12(只).要点:“抬腿”法简单易操作,但适用范围较小;“假设法“稍有难度,但必须掌握,因为假设法在以后很多题目中都会用到,比如工程问题和行程问题等。
一般假设法总结:假设兔子,得出鸡;假设鸡,得出兔子。
(方便孩子做题,但千万不能单纯记忆)【例题2】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟,共有脚208只,鸵鸟比梅花鹿多20只,梅花鹿和鸵鸟各有多少只?(变型假设法)【解析】方法一:假设鸵鸟数跟梅花鹿一样多,那么总脚数就得减去多出来20只鸵鸟的40 只脚,新的总脚数就是168只。
鸵鸟和梅花鹿一样多,所以梅花鹿的腿数是鸵鸟的两倍。
那么168只就是3倍,所以梅花鹿的腿数是112条,就由28只,鸵鸟是48只。
方法二:假设梅花鹿数跟鸵鸟一样多,那么总脚数就得增加80只脚,新的总脚数就是288只。
梅花鹿和鸵鸟一样多,所以梅花鹿的腿数是鸵鸟的两倍。
那么288只就是3倍,所以鸵鸟有96条腿,就有48只,梅花鹿有28只。
要点:和倍问题与鸡兔同笼【例题3】在一个停车场上,现有车辆41辆,其中汽车有4个轮子,摩托车有3个轮子,这些车共有127个轮子,那么三轮摩托车有多少辆?(变型题)【解析】假设都是三轮摩托车,应有3×41=123轮子,少了127-123=4(个)轮子.每把一辆汽车假设为三轮摩托车,会减少4-3=1(个)轮子.汽车有4÷1=4(辆);从而求出三轮摩托车有37辆.同理,可假设都是汽车。
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
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鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解(1)已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少:(总脚数-每只鸡的脚数×总头数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数。
或者是(每只兔脚数×总头数-总脚数)÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。
例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只?”解一(100-2×36)÷(4-2)=14(只)………兔;36-14=22(只)……………………………鸡。
解二(4×36-100)÷(4-2)=22(只)………鸡;36-22=14(只)…………………………兔。
(答略)(2)已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式(每只鸡脚数×总头数-脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数或(每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。
(例略)(3)已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式。
(每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数。
或(每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。
(例略)(4)得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:(1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
或者是总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
例如,“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。
每生产一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,还要扣除15分。
小学数学鸡兔同笼问题例题题解
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十.鸡兔问题.例1 .鸡兔同笼共有32只,共有腿100条,有几只鸡?几只兔?剖析与解答:解法一:题上告知我们:鸡兔一共32只,我们可以先假设这32只都是鸡,如许应当有腿2×32=64(条),这比题上告知的腿数100条少了100-64=36(条).这36条腿是如何少出来的呢?显然是因为把兔子算成了鸡,把一只兔子算成鸡便会少两条腿,把两只兔子算成鸡便会少2个两条腿……据此推想:少了几个两条腿,就是把几只兔子算成了鸡,是以兔子的只数必定是:36÷2=18(只);鸡的只数也就是: 32-18= 14(只)分解列式:(100-2×32)÷(4-2)=36÷2=18(只)(兔)32-18=14(只)(鸡)解法二:假设32只全体是兔子,如许就应当有腿4×32=128(条),这比标题已知的100条腿多了128-100=28(条).为什么会多出28条腿呢?显然是把个中的鸡当作兔子盘算了,把一只鸡当兔子盘算就多出两条腿,把两只鸡当兔子盘算便会多出2个两条腿,推而广之:把几只鸡当兔子盘算,便会多出几个两条腿,是以鸡的只数必定是:28÷2=14(只);兔子的只数天然是32-14= 18(只).分解列式:(4×32)-100)÷(4-2)=28÷2=14(只)32-14=18(只)答:有鸡14只,兔18只.相似例1如许的标题被称为鸡兔问题,可以用假设的办法思虑解答,这一类标题标一般解法是:兔数=(原有腿数-每只鸡腿数×鸡兔总数)÷(每只兔腿数-每只鸡腿数)或者是:鸡数=(每只兔腿数×鸡兔总数-原有腿数)÷(每只兔腿数-每只鸡腿数)例2 哥哥领回工资131元,全体是贰元和伍元的票面,一共有40张.贰元和伍元的各有若干张?剖析与解答:假设40张钞票全体是2元的则应当有2×40=80(元),这比实有钱数少了131-80=51(元),这少出的51元是因为把伍元票当作贰元票盘算了,是以伍元票的张数应当是:51÷(5-2)=17(张)分解列式:(131-2×40)÷(5-2)=51÷3=17(张)40-17=23(张)答:有伍元票17张,贰元票23张.本例还可以用另一种解法解,请同窗们本身尝尝.例3 东街小学师生35人,带土筐40只,帮忙工地去运土.已知教师每人桃两只土筐,学生两人抬一只,教师学生各有几人?剖析与解答:假设35人都是先生,则一共需用土筐2×35=70(只),现实只有土筐40只如许便多出70-40=30(只);这30只土筐是如何多出来的?因为35人里既有教师又有学生,教师一人用2只土筐,学生一人只用1÷2=0.5(只)土筐,是以只要把一个学生当作教师便多出2-0.5=1.5(只)土筐,据此即可推出学生人数为:30÷1.5=20(人),教师人数为:35-20=15(人).分解列式:(2×35-40)÷(2-1÷2)=20(人)35-20=15(人)答:有教师15人,学生20人.例4 某生果店以同一种价钱购进广柑500千克,出售时按质讲价,优等广柑售价比购进时每千克贵1角;次等广柑售价比购进时每千克便宜2角.售完后盈利是41元.优等和次等广柑各有若干千克?剖析与解答:假设500千克广柑全体是优等广柑,则应当盈利0.1×500=50(元).如许就比现实盈利数多出50-41=9(元).这多出的9元是因为把次等广柑当作优等广柑盘算了.因为出售一千克优等广柑可以盈利0.1元,而出售一千克次等广柑却赔本0.2元.如许把一千克次等广柑当优等广柑盘算,其差额是0.1+0.2=0.3(元),是以次等广柑的重量是;9÷0.3=30(千克),优等的重量是:500-30=470(千克)分解列式;(0.1×500-41)÷(0.1+0.2)=30(千克)500-30=470(千克)答:优等广柑470千克,次等广柑30千克.例5 鸡兔同笼,鸡比兔多26只,够数共274只,鸡兔各几只?剖析与解答:已知鸡比兔多26只,这些鸡的够数是2×26=52(只),又知鸡兔的总够数是274只,它包含两个部分,一部分是比兔多的26鸡的够数,即52只,另一部分是同样多的鸡和兔一共的够数,即274-52=222(只);又因为一只鸡和一只兔的够数和是(2+4)只,所以兔的只数是222÷6=37(只),鸡的只数是37+26= 63(只).分解列式:(274-2×26)÷(2+4)=222÷6=37(只)37+26=63(只)答:有鸡63只,兔37只.例6 观光团一行8人去看文艺表演,平均每人花钱14元.买回的门票有两种:甲票20元一张,乙票12元一张.两种门票各买了几张?剖析与解答:从已知前提可知8人看表演一共花了14×8=112(元).假设 8张票全体是甲票,则应当花钱20×8=160(元),如许就比现实花的钱数多了160-112=48(元);又从前提可知甲票比乙票每张多20-12=8(元),所以乙票的张数应当是48÷8=6(张),甲票的张数是8-6=2(张).分解列式:(20×8-14×8)÷(20-12)=48÷8=6(张)8-6=2(张)答:买甲票2张,乙票6张.例7 蜘蛛有8条腿,没有翅膀.蝉有6条腿1对翅膀,蜻蜓有6条腿2对翅膀.现有这三种虫豸36只,共有236条腿,40对翅膀.每种虫豸各有几只?剖析与解答:标题中有三种量在进行比较,这比两种量比较要庞杂一些.从前提可知:蜘蛛有8条腿,蝉和蜻蜓都只有6条腿,从这一点上,可以先把蝉和蜻蜓同一为一种量,如许就把三种量的比较转化为两种量的比较了.即:“蜘蛛有8条腿,蝉和蜻蜓有6条腿,三种虫豸共36只,腿共236条.蛛蜘有几只,蝉和蜻蜓共几只?”依据此题可得到如下成果:(8×36-236)÷(8-6)=52÷2=26(只)(蝉和蜻蜓的只数)36-26=10(只)(蜘蛛的只数)至此问题又转化为:“蝉和蜻蜓共26只,共有翅膀40对.蝉有1对翅膀,蜻蜓有2对翅膀.蝉和蜻蜓各若干只?”依据此题又可得出如下成果:(2×26-40)÷(2-1)=12÷1=12(只)(蝉的只数)26-12=14(只)(蜻蜓的只数)演习十五1.动物园有鸵鸟和山公共50只,共有脚120只.鸵鸟和山公各几只?2.或人用5元钱买了30张邮票,找回8角钱.个中有2角一张的和1角一张的,两种邮票各几张?3.爸爸出差时带面额为10元和50元的人平易近币共52张,合计1200元.爸爸带两种面额的人平易近币各若干元?4.甲乙两个小组共做纸花55朵,甲组平均5分钟做一朵,乙组平均8分钟做一朵.假如甲乙二人同时开工,甲比乙早完成50分钟.甲乙两组各做纸花若干朵?5.100名工人分100元奖金,师傅一人分4元,门徒4人分1元,正好分完.师傅和门徒各有几人?6.数学比赛时一共有10道题,划定做对一道得10分,做错一道扣5分.已知小花把10道题都做了,共得了70分,他做对了几道?错了几道?7.有甲乙两种瓶装饮料.甲种瓶每只装1千克,乙种瓶每只装0.75千克.已知甲种瓶比乙种瓶多10只,两种瓶共装饮料45千克.两种瓶各几只?8.或人上山每小时走2千米,下山每小时走4千米.此人上午9点半从家动身,先上山后下山,下昼3点到达目标地,一共走了16千米.或人上山和下山各走了若干千米?9.鸡兔共有脚44只,若将鸡兔数交换,则共有脚52只,鸡兔各有若干只?。
小学鸡兔同笼系列经典例题讲解
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小学鸡兔同笼系列经典例题讲解例题1、鸡兔一共有110只腿,鸡是兔的3倍,求鸡兔各有多少只?方法一:方程法解:设兔有x只,则鸡有3x只(一般设数量少的为x)题目中的关系式:鸡腿+兔腿=1102 ×3x+4 ×x=11010x=110x=11即兔有11只,鸡有11×3=33只方法二:打包法则一个笼子里有1×4+3×2=10只腿(此处是将一只兔和三只鸡打包),现有110只腿,故110÷10=11个笼子。
所以:鸡:11×3=33(只)兔:11×1=11(只)例题2、鸡兔同笼,头共有35个,腿共有94条,求鸡兔各有多少?方法一:方程法解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只题中数量关系式:鸡腿+兔腿=942x+4(35-x)=942x+140-4x=94140-2x=942x=140-94X=23即鸡有23只,则兔有35-23=12只方法二:假设法假设鸡兔都是两条腿,则35只共有35×2=70条腿实际少算了94-70=24条腿,少算的为兔腿,一只兔少算4-2=2条腿则兔为24÷2=12只,则鸡:35-12=23只例题3、鸡兔同笼,鸡和兔共有40个头,鸡腿比兔腿多两条,求各有多少?方法一:方程法(此处不再细讲)方法二:换算法一只鸡有2条腿,2只鸡4条腿等于1只兔的腿,故2只鸡=1只兔等同于以下图片关系故多出的两条腿是一只鸡,40-1=39只,现将39只分成3份,则一份为39÷3=13,则兔有13只,兔有40-13=27只例题4、有一群鸡兔,腿的总数比头的总数的2倍多18只,求兔有多少只?解:设鸡有x只,兔有y只题中关系式:鸡腿+兔腿=头×2+182x+4y=2(x+y)+182x+2y+2y=2x+2y+182y=18y=9故兔有9只例题5、鸡兔同笼,鸡头比兔头多10只,鸡脚比兔脚多10只,求各有多少?方法一:方程法(此处不再细讲)方法二:换算法2只鸡4只脚等于1只兔的脚,故2只鸡=1只兔鸡脚=兔脚+102份兔+10 1份兔(此处红色部分的脚是一样多的)多出的10只脚即为10÷2=5只鸡题中鸡比兔多10只,故剩下的脚一样多的鸡和兔,鸡比兔多10-5=5只,鸡脚=兔脚,则鸡是兔的两倍,故2份兔-1份兔=5兔为5只,则鸡为5×2+5=15只例题6、蜘蛛有8条腿,蜻蜓6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀,现在这三种小鸟16只共有110条腿和14对翅膀,求各有多少?遇到这种多种事物的,先找到有相同点的,然后排出不同的事物。
鸡兔同笼问题(一)五种基本公式和例题讲解
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(奥数)鸡兔共笼问题(一)之阳早格格创做五种基原公式战例题道解(一)已知总头数战总足数,供鸡、兔各几(假设法):假设尽是鸡:心诀:假“鸡”得“兔”(第一次算得的数)(总足数-每只鸡的足数×总头数)÷(每只兔的足数-每只鸡的足数)=兔数;总头数-兔数=鸡数.大概者假设尽是兔:心诀:假“兔”得“鸡”(第一次算得的数)(每只兔足数×总头数-总足数)÷(每只兔足数-每只鸡足数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数.比方,“有鸡、兔共36只,它们公有足100只,鸡、兔各是几只?”解一(100-2×36)÷(4-2)=14(只)………兔;36-14=22(只)……………………………鸡.解二(4×36-100)÷(4-2)=22(只)………鸡;36-22=14(只)…………………………兔.问:略(二)已知总头数战鸡、兔足数的好数,当鸡的总足数比兔的总足数多时,可用公式※仍属假“鸡”得“兔”典型(每只鸡足数×总头数-足数之好)÷(每只鸡的足数+每只兔的足数)=兔数;总头数-兔数=鸡数※仍属假“兔”得“鸡”典型大概(每只兔足数×总头数+鸡兔足数之好)÷(每只鸡的足数+每只免的足数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数.(比方:鸡战兔总合107只,鸡比兔多58只足,鸡战兔各几只?(1)假设尽是鸡:(2×107-58)÷(2+4)=26(只兔);107-26=81(只鸡)※↓果为鸡足比兔足多58,所以应减来58(2)假设尽是兔: (4×107+58)÷(2+4)=81(只鸡);10 7-81=26(只兔)※↓果兔足比鸡足少58,所以应加上58(三)已知总数取鸡兔足数的好数,当兔的总足数比鸡的总足数多时,可用公式.※仍属假“鸡”得“兔”典型(每只鸡的足数×总头数+鸡兔足数之好)÷(每只鸡的足数+每只兔的足数)=兔数;总头数-兔数=鸡数.※仍属假“兔”得“鸡”典型大概(每只兔的足数×总头数-鸡兔足数之好)÷(每只鸡的足数+每只兔的足数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数.比方:鸡战兔总合107只,兔比鸡多56只足,鸡战兔各几只?(2×107+56)÷(2+4)=45(只兔);107-45=62(只鸡)※↓果为鸡足比兔足少56,所以应加上56大概(4)62(只鸡);107-62=45(只兔)※↓果为兔足比鸡足多56,所以应减来56证明:每减少(大概缩小)一只鸡(大概兔),它们足数的好便是(2+4)(四)鸡兔互换问题(已知总足数及鸡兔互换后总足数,供鸡兔各几的问题),可用底下的公式:〔(二次总足数之战)÷(每只鸡、兔足数战)+(二次总足数之好)÷(每只鸡兔足数之好)〕÷2=鸡数;〔(二次总足数之战)÷(每只鸡、兔足数之战)-(二次总足数之好)÷(每只鸡、兔足数之好)〕÷2=兔数.比方,“有一些鸡战兔,公有足44只,若将鸡数取兔数互换,则公有足52只.鸡兔各是几只?”分解:由题意知,鸡比兔多解法一:(1)〔(52+44)÷(4+2)+(52-44)÷(4-2)〕÷2 =(16+4)2=20÷2=10(只鸡)(2)〔(52+44)÷(4+2)-(52-44)÷(4-2)〕÷2 =(16-4)=12÷2=6(只兔)(问略)大概:解:(52-44)4(只兔)→鸡比兔多4只法二:设鸡有x只,则兔有(x-4)只. 法三:解:设兔有x只,则鸡有(x+4)只.(x-4)4+2x=44 (x+4)2+4x=444x-16+2x=442x+8+4x=446x=606x=36X=10 x=610-4=6(只兔) 6+4=10(只鸡)问:略问:略(五)得得问题(鸡兔问题的推广题)的解法,不妨用底下的公式:(1只合格品得分数×产品总数-真得总分数)÷(每只合格品得分数+每只分歧格品扣分数)=分歧格品数;大概者是总产品数-(每只分歧格品扣分数×总产品数+真得总分数)÷(每只合格品得分数+每只分歧格品扣分数)=分歧格品数.比方,“灯泡厂死产灯泡的工人,按得分的几给人为.每死产一个合格品记4分,每死产一个分歧格品没有但是没有记分,还要扣除15分.某工人死产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有几个灯泡分歧格?”解一(4×1000-3525)÷(4+15)=475÷19=25(个)解二1000-(15×1000+3525)÷(4+15)=1000-18525÷19=1000-975=25(个)(问略)(“得得问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完佳无益者每只给运费××元,破坏者没有但是没有给运费,还需要赚成原××元…….它的解法隐然可套用上述公式.)。
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
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鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】(1)已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少:(总脚数-每只鸡的脚数×总头数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数。
或者是(每只兔脚数×总头数-总脚数)÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。
例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只”解一(100-2×36)÷(4-2)=14(只)………兔;36-14=22(只)……………………………鸡。
解二(4×36-100)÷(4-2)=22(只)………鸡;36-22=14(只)…………………………兔。
(答略)(2)已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式(每只鸡脚数×总头数-脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数或(每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。
(例略)(3)已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式。
(每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数。
或(每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。
(例略)(4)得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:(1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
或者是总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
例如,“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。
“鸡兔同笼”问题解题指导,例题解析,习题答案
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“鸡兔同笼”问题解题指导,例题解析,习题答案基本题型已知鸡兔的总只数和总腿数。
求鸡和兔各多少只。
解题关键:采用假设法,假设全是一种动物(如全是鸡或全是兔),然后根据腿的差数可以推断出一种动物的头数。
解题规律:假设全是鸡,兔的只数=(总腿数-总只数×2)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数);假设全是兔,鸡的只数=(总只数×4-总腿数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)例1:有鸡兔共20只,脚44只,鸡兔各几只?解:方法1、假设全是鸡(44 — 20 × 2)÷(4 - 2 )=2(只)。
兔的只数(总腿数-总只数× 2)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)20-2=18(只)。
鸡的只数方法2、假设全是兔(20 ×4-44)÷(4 - 2 )=18(只)。
鸡的只数(总只数×4-总腿数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)例2. 小朋友们去划船,大船可以坐10人,小船坐6人,小朋友们共租了15只船,已知乘大船的人比乘小船的人多22人,问大船几只,小船几只?解:方法1、假设都是小船大船:(6×15+22)÷(6+10)=7(只);小船:15-7=8(只)方法2、假设都是大船小船:(10×15-22)÷(6+10)=8(只)大船:15-8=7(只)20-18=2 (只)。
兔的只数常见题型1、已知总头数和鸡兔脚数的差数,求鸡兔各多少只(1)已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,(每只鸡脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数(每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。
列方程解答根据鸡兔脚数的差数,找出鸡与兔的只数关系例1. 有鸡兔共30只,兔脚比鸡脚多60只,问鸡兔各多少只?解法1:兔数:(2×30+60)÷(2+4)=20(只);鸡数:30-20=10(只)解法2:鸡数:(4×30+60)÷(2+4)=10(只)兔数:30-10=20(只)解法3:根据“兔脚比鸡脚多60只”也就是“鸡脚比兔脚少60只”,那么鸡的只数比兔的2倍少(60÷2=)30(只)解:设兔有X只,那么鸡有2X-60÷2(只)即:2X-30(只)2X-60÷2+X=303X-30=303X=60X=2030-20=10(只)(2)已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时。
鸡兔同笼问题讲义
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鸡兔同笼问题讲义一、基本知识点总结:解法1:(兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=鸡的只数总只数-鸡的只数=兔的只数解法2:(总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数总只数-兔的只数=鸡的只数解法3:用方程思想解决鸡兔同笼问题(重点掌握)二、例题讲解:【例1】(古典题)鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?【例2】鸡、兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚86只.问:鸡、兔各有几只?【例3】鸡与兔共有200只,鸡的脚比兔的脚少56只,问鸡与兔各多少只?【练习】鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?三、推广应用:【例4】某次数学竞赛共20道题,评分标准是:每做对一题得5分,每做错或不做一题扣1分.小华参加了这次竞赛,得了64分.问:小华做对几道题?【例5】一只货船载重260吨,容积1000米3,现装运甲、乙两种货物,已知甲种货物每吨体积是8米3,乙种货物每吨体积2米3,要使这只船的载重量与容积得到充分利用,甲、乙两种货物应分别装多少吨?【例6】自行车越野赛全程220千米,全程被分为20个路段,其中一部分路段长14千米,其余的长9千米.问:长9千米的路段有多少个?三、学练结合:1. 甲乙两人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分,每人各射10发,共命中14发,结算分数时,甲比乙多10分,问甲、乙各中几发?2.有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损1个瓶子还要倒赔1元,结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃损坏了几只?3.班主任张老师带五年级(2)班50名同学栽树,张老师一人栽5棵,男生一人栽3棵,女生一人栽2棵,总共栽树120棵,问几名男生,几名女生?4.刘老师带了41名同学去北海公园划船,共租了10条船.每条大船坐6人,每条小船坐4人,问大船、小船各租几条?。
鸡兔同笼问题解析
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鸡兔同笼一、基本问题“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.例1有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只?解:我们设想,每只鸡都是“金鸡独立”,一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是244÷2=122(只).在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数122-88=34,有34只兔子.当然鸡就有54只.答:有兔子34只,鸡54只.上面的计算,可以归结为下面算式:总脚数÷2-总头数=兔子数.上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,“脚数”就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了88×4-244=108(只).每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡(88×4-244)÷(4-2)= 54(只).说明我们设想的88只“兔子”中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数).当然,我们也可以设想88只都是“鸡”,那么共有脚2×88=176(只),比244只脚少了244-176=68(只).每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,68÷2=34(只).说明设想中的“鸡”,有34只是兔子,也可以列出公式兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数).上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为“假设法”.现在,拿一个具体问题来试试上面的公式.例2红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支?解:以“分”作为钱的单位.我们设想,一种“鸡”有11只脚,一种“兔子”有19只脚,它们共有16个头,280只脚.现在已经把买铅笔问题,转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式,就有蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)=24÷8=3(支).红笔数=16-3=13(支).答:买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是“兔子”,8只是“鸡”,根据这一设想,脚数是8×(11+19)=240.比280少40.40÷(19-11)=5.就知道设想中的8只“鸡”应少5只,也就是“鸡”(蓝铅笔)数是3.30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,“兔数”为10,“鸡数”为6,就有脚数19×10+11×6=256.比280少24.24÷(19-11)=3,就知道设想6只“鸡”,要少3只.要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子.例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时?解:我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份).现在把甲打字的时间看成“兔”头数,乙打字的时间看成“鸡”头数,总头数是7.“兔”的脚数是5,“鸡”的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.根据前面的公式“兔”数=(30-3×7)÷(5-3)=4.5,“鸡”数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.答:甲打字用了4小时30分.例4 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年?解:4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数,弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式,兄的年龄是(25×4-86)÷(4-3)=14(岁).1998年,兄年龄是14-4=10(岁).父年龄是(25-14)×4-4=40(岁).因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是(40-10)÷(3-1)=15(岁).这是2003年.答:公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍.例5 蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只?解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)=5(只).因此就知道6条腿的小虫共18-5=13(只).也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6(只).因此蜻蜓数是13-6=7(只).答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.例6 某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人?解:对2道、3道、4道题的人共有52-7-6=39(人).他们共做对181-1×7-5×6=144(道).由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样兔脚数=4,鸡脚数=2.5,总脚数=144,总头数=39.对4道题的有(144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).答:做对4道题的有31人.二、“两数之差”的问题鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”,如果把条件换成“两数之差”,又应该怎样去解呢?例7 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张?解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.(680-8×40)÷(8+4)=30(张),这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.因此8分邮票有40+30=70(张).答:买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.也可以用任意假设一个数的办法.解二:譬如,假设有20张4分,根据条件“8分比4分多40张”,那么应有60张8分.以“分”作为计算单位,此时邮票总值是4×20+8×60=560.比680少,因此还要增加邮票.为了保持“差”是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).例8 一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天工程要多少天才能完成?解:类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有(150-8×3)÷(10+8)= 7(天).雨天是7+3=10天,总共7+10=17(天).答:这项工程17天完成.请注意,如果把“雨天比晴天多3天”去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.总脚数是“两数之和”,如果把条件换成“两数之差”,又应该怎样去解呢?例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只?解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).鸡是100-38=62(只).答:鸡62只,兔38只.当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).也可以用任意假设一个数的办法.解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是4×50-2×50=100,比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是(100-28)÷(4+2)=12(只).兔只数是50-12=38(只).另外,还存在下面这样的问题:总头数换成“两数之差”,总脚数也换成“两数之差”.例10 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.解一:如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差13×5×4+20=280(字).每首字数相差7×4-5×4=8(字).因此,七言绝句有28÷(28-20)=35(首).五言绝句有35+13=48(首).答:五言绝句48首,七言绝句35首.解二:假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460(字),28×10=280(字),五言绝句的字数,反而多了460-280=180(字).与题目中“少20字”相差180+20=200(字).说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加200÷8=25(首).五言绝句有23+25=48(首).七言绝句有10+25=35(首).在写出“鸡兔同笼”公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7、例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下,就会发现非常有趣的事.例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是(680-8×40)÷(8+4)=30(张).例9,假设都是兔,鸡的只数是(100×4-28)÷(4+2)=62(只).10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是(20×13+20)÷(28-20)=35(首).首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与“鸡兔同笼”公式比较,这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢?当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只?解:如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).答:这次搬运中破损了17只玻璃瓶.请你想一想,这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗?例12有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分?解一:如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是8×6-2×(15-6)=30(分).两次相差120-30=90(分).比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16(分).(90-10)÷(6+10)=5(题).因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11(题).第一次得分5×19-1×(24- 9)=90.第二次得分8×11-2×(15-11)=80.答:第一次得90分,第二次得80分.解二:答对30题,也就是两次共答错24+15-30=9(题).第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分).如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”,要少了6×9+10.因此,第二次答错题数是(6×9+10)÷(6+10)=4(题)·第一次答错 9-4=5(题).第一次得分5×(24-5)-1×5=90(分).第二次得分8×(15-4)-2×4=80(分).三、从“三”到“二”“鸡”和“兔”是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法,也可以看出,要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法.例13学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支?解:从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”,这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作(0.60×4+2.7)÷5=1.02(元).现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出,钢笔支数是(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支).铅笔和圆珠笔共232-12=220(支).其中圆珠笔220÷(4+1)=44(支).铅笔220-44=176(支).答:其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.例14商店出售大、中、小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个?解:因为总钱数是整数,大、小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).从公式可算出,大球个数是(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个).买中、小球钱数各是(120-30×3)÷2=15(元).可买10个中球,15个小球.答:买大球30个、中球10个、小球15个.例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系(倍数关系也可用类似方法),把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把“三”转化成“二”了.例15是为例16作准备.例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是多少?解:去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.平均速度=所行距离÷所用时间去时走1千米,要用20分钟;回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是每小时走4千米.千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:每小时走(6+3)÷2=4.5千米.例16从甲地至乙地全长45千米,有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米?解:把来回路程45×2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡、兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是(90-4×21)÷(5-4)=6(小时).单程平路行走时间是6÷2=3(小时).从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是45-5×3=30(千米).又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是(6×7-30)÷(6-3)=4(小时).行走路程是3×4=12(千米).下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是6×3=18(千米).答:从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.做两次“鸡兔同笼”的解法,也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例16是非常典型的例题.例17某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数,有25题,或者16题,或者20题.那么,其中考25题的有多少次?解:如果每次都考16题,16×24=384,比426少42道题.每次考25道题,就要多25-16=9(道).每次考20道题,就要多20-16=4(道).就有9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.请注意,4和42都是偶数,9×考25题次数也必须是偶数,因此,考25题的次数是偶数,由9×6=54比42大,考25题的次数,只能是0,2,4这三个数.由于42不能被4整除,0和4都不合适.只能是考25题有2次(考20题有6次).答:其中考25题有2次.例18 有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位?解:由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.如果有30人乘电车,110-1.2×30=74(元).还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.如果有40人乘电车110-1.2×40=62(元).还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍.现在又可以转化成“鸡兔同笼”了:总头数 50-35=15,总脚数 110-1.2×35=68.因此,乘小巴前往的人数是(6×15-68)÷(6-4)=11.答:乘小巴前往的同学有11位.在“三”转化为“二”时,例13、例14、例16是一种类型.利用题目中数量比例关系,把两种东西合并组成一种.例17、例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数,以及总量的限制,其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数,也就变成“二”的问题了.在小学算术的范围内,学习这两种类型已足够了.更复杂的问题,只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.。
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鸡兔同笼问题解法及例题透析
【含义】这是古典的算术问题。
已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。
已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题:
假设全都是鸡,则有兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)
假设全都是兔,则有鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)
第二鸡兔同笼问题:
假设全都是鸡,则有兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)
假设全都是兔,则有鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)
【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。
如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。
这类问题也叫置换问题。
通过先假设,再置换,使问题得到解决。
例1长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。
数数头有三十五,脚数共有九十四。
请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?
解假设35只全为兔,则鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)
兔数=35-23=12(只)
也可以先假设35只全为鸡,则兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)
鸡数=35-12=23(只)答:有鸡23只,有兔12只。
例22亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?
解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。
“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。
假设16亩全都是菠菜,则有
白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)答:白菜地有10亩。
例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本3.20元,日记本每本0.70元。
问作业本和日记本各买了多少本?
解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。
假设45本全都是日记本,则有
作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)
日记本数=45-15=30(本)
例4(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?
解假设100只全都是鸡,则有
兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)
鸡数=100-20=80(只)
答:有鸡80只,有兔20只。
例5有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人?
解假设全为大和尚,则共吃馍(3×100)个,比实际多吃(3×100-100)个,这是因为把小和尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数100不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。
因此,共有小和尚(3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)
共有大和尚100-75=25(人)
答:共有大和尚25人,有小和尚75人。
鸡兔同笼问题例题透析1
1、有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只?
解:我们设想,每只鸡都是“金鸡独立”,一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是244÷2=122(只).
在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数122-88=34,
有34只兔子.当然鸡就有54只. 答:有兔子34只,鸡54只.
上面的计算,可以归结为下面算式:总脚数÷2-总头数=兔子数.
上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,“脚数”就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.
还说此题. 如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了88×4-244=108(只).
每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡(88×4-244)÷(4-2)= 54(只).
说明我们设想的88只“兔子”中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数).
当然,我们也可以设想88只都是“鸡”,那么共有脚2×88=176(只),比244只脚少了244-176=68(只).
每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,68÷2=34(只).
说明设想中的“鸡”,有34只是兔子,也可以列出公式
兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数).
上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.
假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为“假设法”.
鸡兔同笼问题例题透析2
红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支?
解:以“分”作为钱的单位.我们设想,一种“鸡”有11只脚,一种“兔子”有19只脚,它们共有16个头,280只脚.
现在已经把买铅笔问题,转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式,就有
蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3(支).
红笔数=16-3=13(支).
答:买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.
对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是“兔子”,8只是“鸡”,根据这一设想,脚数是
8×(11+19)=240.
比280少40.
40÷(19-11)=5.
就知道设想中的8只“鸡”应少5只,也就是“鸡”(蓝铅笔)数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.
实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,“兔数”为10,“鸡数”为6,就有脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
就知道设想6只“鸡”,要少3只.
要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.
鸡兔同笼问题例题透析3
一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时?
解:我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份).
现在把甲打字的时间看成“兔”头数,乙打字的时间看成“鸡”头数,总头数是7.“兔”的脚数是5,“鸡”的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.
根据前面的公式“兔”数=(30-3×7)÷(5-3)=4.5,
“鸡”数=7-4.5 =2.5,
也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时. 答:甲打字用了4小时30分.
小毛参加数学竞赛,共做20道题,得64分,已知做对一道得5分,不做得0分,错一题扣2分,又知道他做错的题和没做的一样多.问小毛做对几道题?>>
分析:解答鸡兔同笼问题,一般采用假设法,这道题用两次假设.①假设做错的和没做的一样多,就假定这两种情况都倒扣(1分);②假设20道题全做对,与题中给出得64分相比较,看差多少,对错每道差(5+1)分,将所差的分数除以(5+1),就可求没做或做错的数.
解答:解:因为做错的和没做的一样多,就假定这两种情况都倒扣(1分).
所以没做或做错的有:
(5×20-64)÷(5+1)
=(100-64)÷6
=36÷6
=6(道)
做对的有:
20-6=14(道).
故答案为:14
点评:正确处理好总差和一道的差.。