空间角及其计算
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6 答案: 45° 3
5．如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中． (1)B1B 与平面 A1BC1 所成的角的余弦 值为 ； . (2)二面角 D1BCA 的大小为
解： (1)三棱锥 B1A1BC1 为正三棱锥， 设 B1B 与平面 A1BC1 2 3 × × 2 3 2 6 所成的角为θ，则 cos θ＝ ＝ . 1 3 (2)二面角 D1BCA 的平面角为∠D1CD，其大小为 45° .
二面角 αlβ 的平面角，用它来度量二面角 的大小． 二面角 θ 的取值范围为 θ∈ 平面角是直角的二面角叫作
[0°，180°] 直二面角
. .
1．在三棱锥 ABCD 中，E、F、G 分别是 AB、AC、BD 的中点，若 AD 与 BC 所成的角为 60° ，那么∠FEG 为( A．30源自文库 C．120° B．60° D．60° 或 120° )
因此直线 m 与 n 所成的角即直线 B1D1 与 CD1 所成的角. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,△CB1D1 是正三角形, 3 故直线 B1D1 与 CD1 所成角为 60° ,其正弦值为 . 2
解： ( 方法二 ) 正方体 ABCDA1B1C1D1 的下方补两个相同的正方体,如图. 因为 AR∥B1D1,AR⊄平面 CB1D1,B1D1 ⊂平面 CB1D1,所以 AR∥平面 CB1D1. 同理 AF∥平面 CB1D1, 又 AR∩AF＝A,AR⊂平面 ARF,AF⊂平面 ARF, 所以平面 ARF∥平面 B1CD1,
解： ∠FEG 为两异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角．
答案：D
2． 正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E、F 分别是棱 BC、 CC1 的中点，则异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为 .
解：平移 EF 到 AD1，则∠AD1B1 为异面直线 EF 与 B1D1 所成的角或其补角，易知△AB1D1 为正三角形，所以 ∠AD1B1＝60° ，所以 EF 与 B1D1 所成的角为 60° .
由题意可得 AR,AF 分别为 m,n. 故 m,n 所成的角即为 B1D1,D1C 所成的角,其角度为 60° . 3 故 m,n 所成角的正弦值为 . 2 答案：A
点评：求异面直线所成的角常采用“平移线段法” ， 平移的方法一般有三种：利用图形中已有的平行线平移； 利用特殊点 (线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平 移．最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识 求解．
90° 时，这两条异面
2．直线与平面所成的角 (1)射影 自一点 P 向平面α 引垂线， 垂足 P′叫作点 P 在平面α 内的 正射影 (简称 射影 )．PP′的长度称为点 P 到平面 α 的 距离 .图形 F 上所有点在平面α 上的射影构成的图形 F′，叫作图形 F 在平面 α 上的 射影 . (2)平面的斜线
答案：60°
3．过△ABC 所在平面α 外一点 P，作 PO⊥α，垂足为 O，连接 PA，PB，PC. (1)若 PA＝PB＝PC，∠C＝90° ，则点 O 是三角形 AB 边的 ． (2)若 PA＝PB＝PC，则点 O 是△ABC 的 的 ．
答案：中点
．
(3)若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是△ABC
6 答案： 3 45°
异面直线所成的角
直线与平面所成的角 二面角的平面角
考点一· 异面直线所成的角
【 例 1 】 (2016·新 课 标 卷 Ⅰ ) 平 面 α 过 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A,α∥平面 CB1D1,α∩平面 ABCD＝ m,α∩平面 ABB1A1＝n,则 m,n 所成角的正弦值为( 3 2 A. B. 2 2 3 1 C. D. 3 3 )
第52讲
空间角及其计算
1．理解两异面直线所成角、直线与平面所成角及二 面角的平面角的概念． 3．会解决一些关于异面直线所成角、线面角及二面 角的简单问题．
1．两条异面直线所成的角 过空间
任意 一点分别引两条异面直线的 平行 直
线， 那么这两条相交直线所成的 锐角或直角 叫作这两条异 面直线所成的角，若记这个角为 θ，则 θ∈(0°，90°] . 当两条异面直线所成的角为 直线互相垂直．
外心 垂心
4．如图，棱长都为 a 的正四棱锥中． (1)侧棱与底面所成的角为 为 . ； (2) 侧面 与 底面 所成的 锐 二面 角 的平 面角 的 正弦 值
2 解：(1)此正棱锥的高为 a，故侧棱与底面所成的角 2 为 45° . 2 a 2 6 (2)设侧面与底面所成的角为α，则 sin α＝ ＝ . 3 3 a 2
相交 但不和这个平 如果一条直线 m 与平面 α 面 垂直 ，则直线 m 叫作平面α 的斜线，交点称为 斜足 .
(3)直线与平面所成的角 平面α 的一条斜线 PA 和它在平面 α 上的 射影OA 所成 的锐角，叫作斜线与平面所成的角； 平面的垂线与平面所成的角 为 90°； 直线在平面内或直线与平面平行， 此 直线与平面所成的角为
0° .
记任一直线与平面所成的角为 θ， 则 θ∈ [0°，90°] .
3．二面角 从一条直线 l 出发的两个半平面(α 和β )所组成的图形叫 作 二面角 .记作二面角α lβ，l 叫作二面角的 棱 ，两个 半平面(α 和 β)叫作二面角的
面
.
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O 分别在二面角的两个面α ， β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
解： (方法一)根据平面与平面平行的性质,将 m,n 所成的 角转化为平面 CB1D1 与平面 A1B1C1D1 的交线及平面 CB1D1 与平面 DCC1D1 的交线所成的角. 设平面 CB1D1∩平面 ABCD＝m1. 因为平面 α∥平面 CB1D1,所以 m1∥m. 又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, 且平面 CB1D1∩平面 A1B1C1D1＝B1D1, 所以 B1D1∥m1.所以 B1D1∥m. 因为平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1, 且平面 CB1D1∩平面 DCC1D1＝CD1, 同理可证 CD1∥n.
5．如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中． (1)B1B 与平面 A1BC1 所成的角的余弦 值为 ； . (2)二面角 D1BCA 的大小为
解： (1)三棱锥 B1A1BC1 为正三棱锥， 设 B1B 与平面 A1BC1 2 3 × × 2 3 2 6 所成的角为θ，则 cos θ＝ ＝ . 1 3 (2)二面角 D1BCA 的平面角为∠D1CD，其大小为 45° .
二面角 αlβ 的平面角，用它来度量二面角 的大小． 二面角 θ 的取值范围为 θ∈ 平面角是直角的二面角叫作
[0°，180°] 直二面角
. .
1．在三棱锥 ABCD 中，E、F、G 分别是 AB、AC、BD 的中点，若 AD 与 BC 所成的角为 60° ，那么∠FEG 为( A．30源自文库 C．120° B．60° D．60° 或 120° )
因此直线 m 与 n 所成的角即直线 B1D1 与 CD1 所成的角. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,△CB1D1 是正三角形, 3 故直线 B1D1 与 CD1 所成角为 60° ,其正弦值为 . 2
解： ( 方法二 ) 正方体 ABCDA1B1C1D1 的下方补两个相同的正方体,如图. 因为 AR∥B1D1,AR⊄平面 CB1D1,B1D1 ⊂平面 CB1D1,所以 AR∥平面 CB1D1. 同理 AF∥平面 CB1D1, 又 AR∩AF＝A,AR⊂平面 ARF,AF⊂平面 ARF, 所以平面 ARF∥平面 B1CD1,
解： ∠FEG 为两异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角．
答案：D
2． 正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E、F 分别是棱 BC、 CC1 的中点，则异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为 .
解：平移 EF 到 AD1，则∠AD1B1 为异面直线 EF 与 B1D1 所成的角或其补角，易知△AB1D1 为正三角形，所以 ∠AD1B1＝60° ，所以 EF 与 B1D1 所成的角为 60° .
由题意可得 AR,AF 分别为 m,n. 故 m,n 所成的角即为 B1D1,D1C 所成的角,其角度为 60° . 3 故 m,n 所成角的正弦值为 . 2 答案：A
点评：求异面直线所成的角常采用“平移线段法” ， 平移的方法一般有三种：利用图形中已有的平行线平移； 利用特殊点 (线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平 移．最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识 求解．
90° 时，这两条异面
2．直线与平面所成的角 (1)射影 自一点 P 向平面α 引垂线， 垂足 P′叫作点 P 在平面α 内的 正射影 (简称 射影 )．PP′的长度称为点 P 到平面 α 的 距离 .图形 F 上所有点在平面α 上的射影构成的图形 F′，叫作图形 F 在平面 α 上的 射影 . (2)平面的斜线
答案：60°
3．过△ABC 所在平面α 外一点 P，作 PO⊥α，垂足为 O，连接 PA，PB，PC. (1)若 PA＝PB＝PC，∠C＝90° ，则点 O 是三角形 AB 边的 ． (2)若 PA＝PB＝PC，则点 O 是△ABC 的 的 ．
答案：中点
．
(3)若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是△ABC
6 答案： 3 45°
异面直线所成的角
直线与平面所成的角 二面角的平面角
考点一· 异面直线所成的角
【 例 1 】 (2016·新 课 标 卷 Ⅰ ) 平 面 α 过 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A,α∥平面 CB1D1,α∩平面 ABCD＝ m,α∩平面 ABB1A1＝n,则 m,n 所成角的正弦值为( 3 2 A. B. 2 2 3 1 C. D. 3 3 )
第52讲
空间角及其计算
1．理解两异面直线所成角、直线与平面所成角及二 面角的平面角的概念． 3．会解决一些关于异面直线所成角、线面角及二面 角的简单问题．
1．两条异面直线所成的角 过空间
任意 一点分别引两条异面直线的 平行 直
线， 那么这两条相交直线所成的 锐角或直角 叫作这两条异 面直线所成的角，若记这个角为 θ，则 θ∈(0°，90°] . 当两条异面直线所成的角为 直线互相垂直．
外心 垂心
4．如图，棱长都为 a 的正四棱锥中． (1)侧棱与底面所成的角为 为 . ； (2) 侧面 与 底面 所成的 锐 二面 角 的平 面角 的 正弦 值
2 解：(1)此正棱锥的高为 a，故侧棱与底面所成的角 2 为 45° . 2 a 2 6 (2)设侧面与底面所成的角为α，则 sin α＝ ＝ . 3 3 a 2
相交 但不和这个平 如果一条直线 m 与平面 α 面 垂直 ，则直线 m 叫作平面α 的斜线，交点称为 斜足 .
(3)直线与平面所成的角 平面α 的一条斜线 PA 和它在平面 α 上的 射影OA 所成 的锐角，叫作斜线与平面所成的角； 平面的垂线与平面所成的角 为 90°； 直线在平面内或直线与平面平行， 此 直线与平面所成的角为
0° .
记任一直线与平面所成的角为 θ， 则 θ∈ [0°，90°] .
3．二面角 从一条直线 l 出发的两个半平面(α 和β )所组成的图形叫 作 二面角 .记作二面角α lβ，l 叫作二面角的 棱 ，两个 半平面(α 和 β)叫作二面角的
面
.
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O 分别在二面角的两个面α ， β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
解： (方法一)根据平面与平面平行的性质,将 m,n 所成的 角转化为平面 CB1D1 与平面 A1B1C1D1 的交线及平面 CB1D1 与平面 DCC1D1 的交线所成的角. 设平面 CB1D1∩平面 ABCD＝m1. 因为平面 α∥平面 CB1D1,所以 m1∥m. 又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, 且平面 CB1D1∩平面 A1B1C1D1＝B1D1, 所以 B1D1∥m1.所以 B1D1∥m. 因为平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1, 且平面 CB1D1∩平面 DCC1D1＝CD1, 同理可证 CD1∥n.