RS码简介与编译码算法综述
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Sh e jk ( jk ) h ,1 h 2t
k 1 l
Forney算法
——算法原理
S ( x) Sh x e jk ( x )
h h 0 h 0 k 1
l
jk h
令x jk 代入上式，得 N (
l jk
= e jk ( ) x
S3 S1 S2 S S3 S4 2 Sl 1 Sl Sl 1 Sl Sl 1 Sl 2
Sl 1 Sl
S2l 3 S2l 2
Sl l -Sl 1 -S Sl 1 l 1 l 2 = S2l 2 2 -S2l 1 S2l 1 1 -S2l
PPT到此结束，谢谢各位
所以有：
N ( - jk ) e jk (1 jh - jk )
h 1 h k - jk
l
e jk
N (
l h 1 h k
)
(1 jh - jk )
Forney算法就是通过上式求解错误多项式的系数
所以通过Forney算法 求得的错误多项式 E(x)=α8x2+α2x5+αx10， 实际发送序列为全0 序列。 —例毕
RS编码
——编码器设计
1、基于乘法形式的编码器 公式: c(x)=m(x)g(x)
原理图：
RS编码
——编码器设计
RS码
——编码器设计
RS译码
——译码算法
根据生成多项式，可以构造出快速的硬件编码器， 而对RS码的译码，由于它是循环码的一个子类，任 何对循环码的标准译码过程都适用于RS码。 下面我们讨论专门针对RS码的译码算法： PGZ算法 BM算法 Forney算法
E(x)
计算S2t
计算βi
PGZ译码算法
——算法总结
PGZ译码算法
——算法总结wenku.baidu.com
BM译码算法
——引入
1965年E.R.Berlekamp提出了由伴随式求σ(x)的 迭代译码算法，极大地加快了求σ(x)的速度， 实现时比较简单，且易于用计算机完成译码， 因而从工程上解决了BCH码的译码问题。1969 年J.L.Massey指出，迭代译码算法与序列的最 短线性移位寄存器的综合之间的关系，并进 行了简化，自此以后把这种算法成为BM迭代 译码算法。
k 1 l h 0
l
) {e jk (1 jh jk )}
k 1 h 1 hk
l
l
jk h h
1 e jk 1 jk x k 1 N ( x) ( x) S ( x) mod xl 1 {e jk (1 x) mod xl 1}
BM译码算法
——算法基础
BM译码算法
——算法原理
BM译码算法
——迭代的具体实现
j -1 0 1 2 3a 4 5 6 1 1 1+αx 1+α11x 1+α8x+α8x2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 0 1 1 1+α6x 1+α10x 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 0 0 1 1 2 2 2
RS编码
——编码器设计
最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为 m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1 编码器主要有三种类型： 1.基于乘法形式的编码器 2.基于除法形式的编码器 3.基于校验多项式形式的编码器
D(j) -1 0 0 1 1 1 2 3
j-D(j) 1 S1=α
dj
α7(取i=-1) α14(取i=0) α13(取i=1) 1(取i=0) 0 0
3b 1+α11x+α13x2
1+α6x+α13x2 2
Forney算法
——算法原理
N ( x) 1 ( S1 1 ) x ( S2 1S 2 ) x 2 (Sl 1S-1 2 Sl -2 l ) xl
RS码简介
熊竹林
背景知识
RS码是一种BCH码 BCH码是一种循环码 循环码是一种线性分组码 线性分组码是一种信道编码
背景知识
——信道编码
信道的非理想性 传输差错 香农告诉我们要纠错必须增加冗余 信道编码就是一门增加冗余的学问 亡羊补牢：反馈重传 未雨绸缪：前向纠错 线性分组码就是前向纠错码的一种
BCH码
——定义
BCH码
——有限域
BCH码
——设计准则
RS码
——引入 RS编码起源于1960年MIT Lincoln实验室的S. Reed和G. Solomon在Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics上发表的 一篇论文：Polynomial Codes over Certain Finite Fields(某些有限域上的多项式码)。经历 了数十年的发展，RS码成为了研究最详尽， 分析最透彻，应用最广泛，研究成果最多的 码类之一。
PGZ译码算法
——第三步，定位错误位置
PGZ译码算法
——第三步，定位错误位置
PGZ译码算法
——第四步，求出错误多项式的系数
PGZ译码算法
——流程图
R(x) C(x)输出
N级移位寄存器
输入R(x)
计算S1 计算S2
计算错 误位置 多项式 ������(������)
用钱搜 索法求 ������(������)的 根
RS译码
——PGZ译码算法
PGZ算法的名字来源于三位作者Peterson、 Gorenstein和Zierler。该算法是解决BCH译码 问题的通用算法，它的出现奠定了BCH译码算 法的理论基础。该方法实现简单，易于理解， 对于较短的BCH码非常有效。
PGZ译码算法
PGZ译码算法
——第一步，计算校正子Sj
背景知识
——线性分组码
分组：将码字分为许用码字和禁用码字 两组
线性：许用码字的线性组合还是许用码 字
BCH码
——引入
BCH码是一类最重要的循环码，能纠正多个随 机错误，它是1959年由Bose、Chaudhuri及 Hocquenghem各自独立发现的线性循环码， 人们以他们的名字字头命名为BCH码。 BCH码打破了一般线性分组码先编码再验证性 能的模式，能够根据实际纠错需求进行编码。
jk k 1 h 1 hk l l def
(1 jh jk )中，若h k，其中有一项
h 1 hk
jh jk，jh jk 0， jh jk 0 1+ 故
(1
h 1 hk
l
jh jk
)=0, h k
Forney算法
——算法原理
RS码
——定义与特点
RS码
——定义与特点
RS码的编码系统是建立在比特组基础上的， 即字节，而不是单个的0和1，因此它是非二 进制BCH码，这使得它处理突发错误的能力特 别强。
RS码
——编码参数
例子：试构造一个能纠3个错误符号，码长 n=15,m=4的RS码。 解：已知t=3,n=15,m=4,所以有 码距：d=2t+1=7个符号(28bit) 监督段：2t=6个符号(24bit) 信息段：n-6=9个符号(36bit) 码长：n=15个符号(60bit) 因此该码是(15,9)RS码，同时也可以看作是 (60,36)二进制码。 生成多项式g(x)=(x+α)(x+α2)…(x+α6) =x6+α10x5+α14x4+α4x3+α6x2+α9x+α6
k 1 l
Forney算法
——算法原理
S ( x) Sh x e jk ( x )
h h 0 h 0 k 1
l
jk h
令x jk 代入上式，得 N (
l jk
= e jk ( ) x
S3 S1 S2 S S3 S4 2 Sl 1 Sl Sl 1 Sl Sl 1 Sl 2
Sl 1 Sl
S2l 3 S2l 2
Sl l -Sl 1 -S Sl 1 l 1 l 2 = S2l 2 2 -S2l 1 S2l 1 1 -S2l
PPT到此结束，谢谢各位
所以有：
N ( - jk ) e jk (1 jh - jk )
h 1 h k - jk
l
e jk
N (
l h 1 h k
)
(1 jh - jk )
Forney算法就是通过上式求解错误多项式的系数
所以通过Forney算法 求得的错误多项式 E(x)=α8x2+α2x5+αx10， 实际发送序列为全0 序列。 —例毕
RS编码
——编码器设计
1、基于乘法形式的编码器 公式: c(x)=m(x)g(x)
原理图：
RS编码
——编码器设计
RS码
——编码器设计
RS译码
——译码算法
根据生成多项式，可以构造出快速的硬件编码器， 而对RS码的译码，由于它是循环码的一个子类，任 何对循环码的标准译码过程都适用于RS码。 下面我们讨论专门针对RS码的译码算法： PGZ算法 BM算法 Forney算法
E(x)
计算S2t
计算βi
PGZ译码算法
——算法总结
PGZ译码算法
——算法总结wenku.baidu.com
BM译码算法
——引入
1965年E.R.Berlekamp提出了由伴随式求σ(x)的 迭代译码算法，极大地加快了求σ(x)的速度， 实现时比较简单，且易于用计算机完成译码， 因而从工程上解决了BCH码的译码问题。1969 年J.L.Massey指出，迭代译码算法与序列的最 短线性移位寄存器的综合之间的关系，并进 行了简化，自此以后把这种算法成为BM迭代 译码算法。
k 1 l h 0
l
) {e jk (1 jh jk )}
k 1 h 1 hk
l
l
jk h h
1 e jk 1 jk x k 1 N ( x) ( x) S ( x) mod xl 1 {e jk (1 x) mod xl 1}
BM译码算法
——算法基础
BM译码算法
——算法原理
BM译码算法
——迭代的具体实现
j -1 0 1 2 3a 4 5 6 1 1 1+αx 1+α11x 1+α8x+α8x2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 0 1 1 1+α6x 1+α10x 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 0 0 1 1 2 2 2
RS编码
——编码器设计
最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为 m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1 编码器主要有三种类型： 1.基于乘法形式的编码器 2.基于除法形式的编码器 3.基于校验多项式形式的编码器
D(j) -1 0 0 1 1 1 2 3
j-D(j) 1 S1=α
dj
α7(取i=-1) α14(取i=0) α13(取i=1) 1(取i=0) 0 0
3b 1+α11x+α13x2
1+α6x+α13x2 2
Forney算法
——算法原理
N ( x) 1 ( S1 1 ) x ( S2 1S 2 ) x 2 (Sl 1S-1 2 Sl -2 l ) xl
RS码简介
熊竹林
背景知识
RS码是一种BCH码 BCH码是一种循环码 循环码是一种线性分组码 线性分组码是一种信道编码
背景知识
——信道编码
信道的非理想性 传输差错 香农告诉我们要纠错必须增加冗余 信道编码就是一门增加冗余的学问 亡羊补牢：反馈重传 未雨绸缪：前向纠错 线性分组码就是前向纠错码的一种
BCH码
——定义
BCH码
——有限域
BCH码
——设计准则
RS码
——引入 RS编码起源于1960年MIT Lincoln实验室的S. Reed和G. Solomon在Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics上发表的 一篇论文：Polynomial Codes over Certain Finite Fields(某些有限域上的多项式码)。经历 了数十年的发展，RS码成为了研究最详尽， 分析最透彻，应用最广泛，研究成果最多的 码类之一。
PGZ译码算法
——第三步，定位错误位置
PGZ译码算法
——第三步，定位错误位置
PGZ译码算法
——第四步，求出错误多项式的系数
PGZ译码算法
——流程图
R(x) C(x)输出
N级移位寄存器
输入R(x)
计算S1 计算S2
计算错 误位置 多项式 ������(������)
用钱搜 索法求 ������(������)的 根
RS译码
——PGZ译码算法
PGZ算法的名字来源于三位作者Peterson、 Gorenstein和Zierler。该算法是解决BCH译码 问题的通用算法，它的出现奠定了BCH译码算 法的理论基础。该方法实现简单，易于理解， 对于较短的BCH码非常有效。
PGZ译码算法
PGZ译码算法
——第一步，计算校正子Sj
背景知识
——线性分组码
分组：将码字分为许用码字和禁用码字 两组
线性：许用码字的线性组合还是许用码 字
BCH码
——引入
BCH码是一类最重要的循环码，能纠正多个随 机错误，它是1959年由Bose、Chaudhuri及 Hocquenghem各自独立发现的线性循环码， 人们以他们的名字字头命名为BCH码。 BCH码打破了一般线性分组码先编码再验证性 能的模式，能够根据实际纠错需求进行编码。
jk k 1 h 1 hk l l def
(1 jh jk )中，若h k，其中有一项
h 1 hk
jh jk，jh jk 0， jh jk 0 1+ 故
(1
h 1 hk
l
jh jk
)=0, h k
Forney算法
——算法原理
RS码
——定义与特点
RS码
——定义与特点
RS码的编码系统是建立在比特组基础上的， 即字节，而不是单个的0和1，因此它是非二 进制BCH码，这使得它处理突发错误的能力特 别强。
RS码
——编码参数
例子：试构造一个能纠3个错误符号，码长 n=15,m=4的RS码。 解：已知t=3,n=15,m=4,所以有 码距：d=2t+1=7个符号(28bit) 监督段：2t=6个符号(24bit) 信息段：n-6=9个符号(36bit) 码长：n=15个符号(60bit) 因此该码是(15,9)RS码，同时也可以看作是 (60,36)二进制码。 生成多项式g(x)=(x+α)(x+α2)…(x+α6) =x6+α10x5+α14x4+α4x3+α6x2+α9x+α6