RS码简介与编译码算法综述
rs码原理
rs码原理RS码（Reed-Solomon code）是一种在信息传输中用于纠正错误的错误检测和纠正编码方式。
它由Irving S. Reed和Gustave Solomon于1960年提出，并被广泛应用于数据存储、通信和数字传输领域。
RS码的基本原理是通过添加冗余信息来实现错误检测和纠正。
具体而言，RS码将原始数据进行分组处理，并在每个数据块中添加一定数量的冗余校验位。
这些冗余校验位可用于检测并纠正传输中出现的错误，从而提高数据传输的可靠性。
RS码的编码过程主要包括两个步骤：生成多项式和编码。
首先，根据指定的参数，生成一个特定的多项式，称为生成多项式。
生成多项式的次数决定了RS码的纠错能力，即可以纠正的最大错误数量。
然后，将原始数据与生成多项式进行运算，得到编码后的数据。
在解码过程中，RS码通过检测错误位置和纠正错误数据来实现纠错。
解码过程主要包括两个步骤：错误定位和纠正。
首先，使用一定的算法和数学方法，通过接收到的编码数据确定错误的位置。
然后，根据错误的位置和接收到的编码数据，计算并纠正错误的数据。
RS码的优点是能够同时检测和纠正多个错误，并且具有较高的纠错能力。
它广泛应用于数字通信、存储介质、光盘、磁盘等领域。
在数字通信中，RS码可以提高信道的可靠性，减少数据传输中的错误率。
在存储介质中，RS码可以保护数据免受物理介质损坏或读取错误的影响。
RS码的应用还可以扩展到更复杂的情况。
例如，在多媒体传输和视频编码中，RS码可以与其他编码方式结合使用，提高数据的可靠性和传输效率。
此外，RS码还广泛应用于数字水印和数据加密等领域，用于保护数据的安全性和完整性。
总的来说，RS码是一种常用的错误检测和纠正编码方式，可以提高数据传输和存储的可靠性。
通过添加冗余校验位，RS码可以检测并纠正传输中的错误，从而保证数据的完整性和准确性。
在实际应用中，RS码的参数选择和算法设计非常重要，可以根据具体的需求和应用场景进行调整和优化，以达到最佳的纠错效果。
rs 码 原理
rs 码原理在计算机科学中，RS码（Reed-Solomon Code）是一种用于纠错的编码技术。
它由Irving S. Reed和Gustave Solomon于1960年首次引入。
RS码广泛应用于数据存储、传输和通信领域，特别是在CD、DVD以及数字电视等领域。
RS码的原理基于有限域中的线性代数。
有限域通常是一个由素数p的元素构成的集合。
RS码通过在有限域上定义加法和乘法操作来编码和解码数据。
在编码过程中，要发送的数据被分成一系列数据块，并对每个数据块进行处理以生成冗余校验码。
冗余校验码中包含了足够的冗余信息，以便在接收端能够检测到并纠正错误。
RS码的纠错能力由两个参数t和n决定，其中t表示最大可纠正错误的数量，n表示码字的长度。
RS码可以纠正的最大错误数量为t=(n-k)/2，其中k是原始数据块的长度。
例如，如果码字长度n为255，可以纠正的最大错误数量为t=127，即RS码可以在接收到的数据中检测和纠正最多127个错误。
在接收端，RS码使用多项式插值和求值的方法来恢复原始数据。
接收到的码字被视为多项式的系数，并使用插值方法重构出原始数据块的多项式。
然后，通过将这个多项式的根带入到多项式进行求值，可以确定错误的位置以及错误的数量。
接着，使用插值方法生成修复多项式，将其与原始多项式相减，以恢复出原始数据。
总的来说，RS码通过添加冗余校验码来提高数据传输的可靠性和纠错能力。
它的原理基于有限域中的线性代数，并且使用多项式插值和求值的方法来纠正错误并恢复原始数据。
RS码被广泛应用于各种数据通信和存储系统中，以确保数据的完整性和可靠性。
RS编译码
一．RS 码RS 码是有限域GF （p^m ）上，码长为n=p^m-1的本原BCH 码，它是多进制的BCH 码。
RS 码不但可以纠正随机错误、突发错误以及二者的组合，而且可以用来构造其它码类。
在计算机中数据是以二进制的形式存在，所以p 通常取值为2。
RS 码的参数：符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码的定义如下： 符号大小m ．表示符号比特数为m 位。
码块总长度为n 个符号，其中信息长度k 个符号，校验位长度K=n —k 个符号。
RS 码的纠错能力是出码块中的冗余数据校验码的长度K 决定的。
在码块中的错误位置事先并不知道的情况下，RS(n ，k)码可以纠正t=K ／2个错误符号。
显然t 值越大，RS 码的纠错能力越强，但与之相对应的是更复杂的算法，更长的运算时间，更低效的数据传输率。
RS 码既可以纠随机错又可以纠突发错。
但RS 码中采用符号这一特性使得它特别适用于产生突发错的场合。
因为不论一个符号中错了多少位，在RS 解码过程中。
它只会被认为是产生了一个符号错。
一个可以纠t 个符号的RS 码，它至少可以纠一个(t-1)m+1个连续比特组成的突发错，而当随机错恰好都不在同一个符号中时只能纠正t 个比特的随机错。
二．RS 码编码对于GF(2^m)来说，若域中非零元素a 的级是2^m-1，则将a 称为本原域元素。
设符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码,它的最小距离d=2t+1，则由本原域元素a 的2t 个连续根 ,0αm ，α120-+t m 作为g(x)的根来构造生成多项式g(x)=(x+αm 0)(x+α10+m ))(012αm t x +-+通常情况下取通常取m 0 = 0或m 0 = 1只要将信息码多项式m(x)=m m x m x k k 0111+++-- 乘以x k n -次，然后以g(x)为模，求出余式q(x)便可以得到系统码。
q （x ）= m(x) x k n -modg(x)=q q x q x k n k n 0111+++---- C(x)= m(x) x k n -+ q （x ）例 构造能纠正2个错误，码长为15符号的RS 码n=15，t=2可得m=4，k=11，d=5．因此RS 码为(15，11)码，生成多项式为g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α3)(x+α4) =αααα103263134++++x x x x假设待发送的信息码组为m(x)=x x m x x ααα963102)(++=则编码后的码组多项式为C(x)= m(x) x k n -+ m(x) x k n -modg(x)=ααααα133359103142+++++x x x x x编码的实现：1）首先构造有限域，RS 码的性质和运算法则均定义在Galois 域上，Galois 域是能进行加减乘除运算的有限个元素的封闭集合，它的加减运算符合结合律、交换律和分配律。
RS码简介与编译码算法综述
计算βi
PGZ译码算法
——算法总结
∗
PGZ译码算法
——算法总结
∗
BM译码算法
——引入 1965年E.R.Berlekamp提出了由伴随式求σ(x)的 迭代译码算法，极大地加快了求σ(x)的速度， 实现时比较简单，且易于用计算机完成译码， 因而从工程上解决了BCH码的译码问题。1969 年J.L.Massey指出，迭代译码算法与序列的最 短线性移位寄存器的综合之间的关系，并进 行了简化，自此以后把这种算法成为BM迭代 译码算法。
RS编码
——编码器设计
最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为 m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1 编码器主要有三种类型： 1.基于乘法形式的编码器 2.基于除法形式的编码器 3.基于校验多项式形式的编码器
背景知识
——线性分组码
分组：将码字分为许用码字和禁用码字 两组 线性：许用码字的线性组合还是许用码 字
∗
BCH码
——引入 BCH码是一类最重要的循环码，能纠正多个随 机错误，它是1959年由Bose、Chaudhuri及 Hocquenghem各自独立发现的线性循环码， 人们以他们的名字字头命名为BCH码。 BCH码打破了一般线性分组码先编码再验证性 能的模式，能够根据实际纠错需求进行编码。
BCH码
——定义
∗
BCH码
——有限域
∗
∗
∗
BCH码
——设计准则
RS码
——引入 RS编码起源于1960年MIT Lincoln实验室的S. Reed和G. Solomon在Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics上发表的 一篇论文：Polynomial Codes over Certain Finite Fields(某些有限域上的多项式码)。经历 了数十年的发展，RS码成为了研究最详尽， 分析最透彻，应用最广泛，研究成果最多的 码类之一。
rs解码原理
rs解码原理RS解码原理RS解码是一种纠错编码的技术，用于在数据传输或存储过程中检测和纠正错误。
RS解码原理是通过使用Reed-Solomon编码算法，在发送端对数据进行编码，并在接收端对接收的数据进行解码，以实现错误的检测和纠正。
在RS解码原理中，数据被分割成多个块，并通过添加冗余数据来实现纠错能力。
具体步骤如下：1. 数据编码：发送端将原始数据划分为多个数据块，并对每个块进行RS编码。
RS编码是一种基于有限域的编码算法，通过将数据块转换为多项式形式，并进行一系列的计算操作，生成冗余数据。
这些冗余数据被添加到数据块中，形成编码块，然后发送到接收端。
2. 数据传输：编码块通过信道传输到接收端。
在传输过程中，可能会发生数据错误或丢失，导致接收到的编码块与发送的编码块不完全一致。
3. 数据解码：接收端接收到编码块后，进行RS解码。
RS解码使用有限域上的数学运算，对接收到的编码块进行纠错和恢复数据。
通过解码过程，接收端可以检测出并纠正发送过程中发生的错误。
4. 数据恢复：解码过程中，RS解码算法可以根据冗余数据恢复原始数据块。
如果接收到的编码块存在错误，RS解码可以通过纠正错误的位置和值，恢复出原始数据块。
恢复出的数据块可以通过进一步的处理，得到完整的原始数据。
RS编码和解码的原理基于数学运算和纠错码的思想。
通过添加冗余数据，RS编码可以提供较强的错误检测和纠正能力。
在解码过程中，RS解码算法可以根据冗余数据的信息，对错误进行定位和修复，从而恢复出完整的数据。
RS解码在许多领域都得到了广泛的应用。
在数据传输中，如无线通信、卫星通信等，RS解码可以提高数据的可靠性和稳定性。
在存储介质中，如硬盘、光盘等，RS解码可以保证数据的完整性和可靠性。
总结：RS解码原理是一种基于Reed-Solomon编码算法的纠错编码技术。
通过添加冗余数据并进行数学运算，RS解码可以在数据传输或存储过程中检测和纠正错误。
RS解码的应用广泛，能够提高数据的可靠性和稳定性。
RS码简单介绍
RS码简单介绍一内容提要1 RS码的发展及用途. 2 编码原理. 3 背景知识. 4 举例说明 5 解码方法简介. 二关键词GFn伽罗瓦域. LSFR: 线性反馈移位寄存器. Generate polynomial:生成多项式. Primitive polynomial:本原多项式. 本原元a. 三内容. 一i.RS码是Reed-Solomon里德-所罗门码的简称属于前向纠错FEC方式.可归于BCH 码是非二进制的BCH码.当然也是循环码、线性分组码.它特别适合纠突发误码。
使用RS码的目的是通过增加冗余码来提高信道传输的可靠性显然码的利用率下降了。
而在信源编码中是尽可能去掉一些无用的信息以提高码的利用率。
所以从这方面讲信道编码使传输的可靠性与码的利用率成为相对的矛盾统一体。
II.RS码主要用在以下方面①无线通讯. ②移动通讯. ③存储系统CD及DVD等。
④光通讯. ⑤深空通讯二RSnk码也写成RSnk2t是非二进制码.它是由k个m-bits的输入数据流加上由k个m-bits的输入数据流生成的2t个m-bits的校验数据流而产生的n个m-bits数据流。
具有以下的特性①0 k n 2m 2.通常n2m-1. ②2tn-k.t表示纠错的最大能力。
③最小码距d02t1 在分组码中最小码距d0检错纠错的关系a.检e个错d0e1 b.纠正t个错d02t1. 如在数字电视数据流的信道编码中采用了204188.由上我们知道n204k188.2tn-k16.即信息位是188个字节校验位是16个字节。
共204个字节。
它的纠错能力是8个字节。
也就是说不论一个字节中发生一位误码或者全部八位误码它都可以纠错。
当然如果错误超过t8就不能纠错了。
这时只能发现错误最大能发现2t16个错误. 三RSnk码是一种多进制线性分组码.构成RSnk码是常用以下的方式Cx rxIxRx Rx rxIxmodGx GxX1Xa??x1rar2t. 其中a 是本原元。
RS编译码原理
1.除法电路实现的RS 系统典型编码算法设)2(m GF 域上的待编码的信息矢量为),...,,(021m m m k k --，可用多项式表示为如下的形式：012211...)(m x m x m x m x m k k k k ++++=---- (1-1) 首先确定)2(m GF 上的一个本原域元素α，构成生成多项式： ))...()(()(121000-++---=t m m m x x x x g ααα(1-2)其中，t 为设计的纠错符号个数，0m 为任意非负整数 。
把)(2x m x t 除以)(x g ，所得余式是一个次数小于等于12-t 次多项式)(x r ，计算式如下：))(mod()()(2x g x m x x r t ≡ (1-3) 于是)()()(2x r x m x x C t -=能被)(x g 整除，故是一个码多项式。
这样的RS 码字中，信息集中在码字的高k 位，称这种码为系统RS 码。
系统RS 码编码可采用k n -级除法电路来实现，电路结构如图1.1所示。
图1.1 系统RS 码的编码电路图编码器工作过程如下：（1）寄存器1210,....,,-t D D D 的初始状态全为0，门开，开关置于2，然后进行移位。
送入信息序列的系数，高次位系数先进入电路，它一方面经开关输出，一方面自动乘以tkn x x 2=-后进入)(x g 除法电路；（2）k 次移位后，信息元全部进入电路，完成了除法运算，此时寄存器中保留了余式的系有限域乘法 有限域加法12门数，即校验元；（3）此时，门关、开关置于1；再经过k n -次移位后，寄存器中校验元全部输出，与原先的k 位信息元组成了一个码长为n 的码字；（4）门开，开关置2，送入第二组信息组重复上述过程。
此编码算法满足大多数应用，若无法满足速率的要求，可以参考脉动RS 编码算法，这里不做介绍。
2.RS 译码算法上述已得到一个码长为n ，信息序列长度k ，校验元为k n -的RS 码，为了对此RS 码进行译码，我们需要使用与二进制BCH 码译码相同的三个步骤；此外们还需要计算错误数值的第四个步骤。
rs算法及其在管理工程中的应用
rs算法及其在管理工程中的应用一、介绍RS算法是一种基于二进制的纠删码编码和解码技术，它可以在数据存储和传输过程中检测和纠正错误。
在管理工程中，RS算法被广泛应用于数据备份、数据恢复、网络传输等方面。
二、RS算法的原理1.纠删码纠删码是一种编码方式，它能够在数据存储和传输过程中检测和纠正错误。
纠删码通常采用矩阵运算的方式进行编码和解码。
2.RS算法RS算法是一种基于二进制的纠删码编码和解码技术。
它采用了GF(2^8)有限域上的加减乘除运算来实现编码和解码。
3.编码实现在编码过程中，将原始数据分为若干个块，并对每个块进行编码。
编码后的块数比原始数据块数多，但是每个块大小相同。
对于每个块，在GF(2^8)有限域上进行加减乘除运算得到对应的校验块。
4.解码实现在解码过程中，通过校验块来检测和纠正错误。
如果某个校验块出错，则可以通过其他校验块来恢复它的正确值。
三、RS算法在管理工程中的应用1.数据备份在数据备份过程中，RS算法可以保证备份数据的完整性和可靠性。
通过对原始数据进行编码，可以生成校验块，并将原始数据和校验块一起备份。
在恢复数据时，可以通过校验块来检测和纠正错误。
2.数据恢复在数据恢复过程中，RS算法可以通过校验块来检测和纠正错误。
如果某个块出错，则可以通过其他块来恢复它的正确值。
3.网络传输在网络传输过程中，RS算法可以保证数据传输的可靠性和完整性。
通过对原始数据进行编码，可以生成校验块，并将原始数据和校验块一起传输。
在接收端，如果某个块出错，则可以通过其他块来恢复它的正确值。
4.存储系统在存储系统中，RS算法可以保证存储数据的可靠性和完整性。
通过对原始数据进行编码，可以生成校验块，并将原始数据和校验块一起存储。
在读取数据时，如果某个块出错，则可以通过其他块来恢复它的正确值。
四、总结RS算法是一种基于二进制的纠删码编码和解码技术，它可以在数据存储和传输过程中检测和纠正错误。
在管理工程中，RS算法被广泛应用于数据备份、数据恢复、网络传输等方面。
RS码译码算法及其实现的研究
RS码译码算法及其实现的研究RS码译码算法及其实现的研究摘要：纠错编码在信息传输中起到了至关重要的作用，其中纠错码是最常用的一种编码方式。
RS码作为一种具有高纠错能力的纠错码，被广泛应用于存储介质、数字通信和数据传输等领域。
本文将详细介绍RS码的编码和译码原理，以及RS 码译码算法的研究进展和实现方法。
一、引言在现代通信系统中，由于信道和介质的不完美性，信息传输过程中常常伴随着噪声和错误，导致数据传输错误率的增加。
为了提高数据传输的可靠性和冗余性，人们引入了纠错码，用于在数据传输过程中对错误进行修正。
二、RS码的原理RS码全称为Reed-Solomon码，是一种基于有限域的纠错码。
RS码利用了有限域GF(q)上的多项式编码理论，通过在数据流中引入冗余位进行编码和译码，从而实现错误的检测和纠正。
1. 编码原理RS码的编码原理是将信息数据流进行多项式编码，然后再添加纠错码，生成一个较长的编码后数据流进行传输。
具体编码流程如下：（1）将n个信息符号划分为m个长度为t的子串，其中m = n / t，t为RS码的最小距离；（2）将每个子串看作一个特定的数字，代入t-1次幂相乘的多项式中；（3）将每个子串多项式求模，得到t-1阶多项式；（4）在多项式后方添加r个纠错码位，使整个编码构成一个长度为t+r的新多项式；（5）重复以上步骤，直到对所有信息子串进行编码处理。
2. 译码原理RS码的译码原理是利用多项式除法实现。
译码时，首先接收到一个由编码器生成的编码后数据流，然后通过解码器进行解码，恢复原始信息数据流。
具体译码流程如下：（1）通过接收到的数据流计算相应的符号多项式；（2）使用Berlekamp-Massey算法，计算出多项式的最小生成多项式，从而确定修正多项式；（3）对错误位置进行定位，然后使用Forney算法计算纠错多项式；（4）使用译码器获得纠正后的数据流。
三、RS码的译码算法研究进展1. 经典的译码算法目前，根据实际应用需求，已经提出了许多RS码译码算法。
rs 编码原理 -回复
rs 编码原理-回复什么是RS编码原理？RS（Reed-Solomon）编码是一种纠错编码的技术，广泛应用于数字通信和数据存储领域。
它的原理是通过在数据中添加冗余信息，使得在接收端即使存在部分错误也能够进行错误检测和纠正，从而提高数据传输的可靠性和稳定性。
RS编码是由Rodney A. Reed和Gustave Solomon于1960年提出的，这是一种基于代数学的编码技术。
RS编码可以用来检测和纠正数据传输中的错误，特别是在存在较高误码率或噪声干扰的环境中。
它采用的策略是通过增加一定数量的冗余信息，使得在接收端能够根据接收到的数据和冗余信息来判断是否有错误发生，以及进行错误的纠正。
RS编码的基本原理是将数据转换成一个多项式，并通过对该多项式进行一系列操作来实现纠错。
首先，将要传输的数据进行分组，并将每个分组视为一个多项式的系数。
然后，通过将这些多项式相加来生成一个包含所有数据的多项式。
接下来，需要生成一定数量的冗余信息，这些冗余信息将被添加到多项式后面。
这样，接收方就可以根据接收到的数据和冗余信息来检测和纠正错误。
为了能够进行错误检测和纠正，RS编码需要满足一些数学性质。
首先，数据被转换为一个多项式时，多项式的次数应小于数据的分组大小。
其次，所需的冗余信息的数量应根据期望的纠错能力来确定。
最后，还需要选择一个适当的有限域作为计算的基础，通常使用的是Galois域。
这个选择对于RS编码的性能和效果非常关键。
RS编码在实际应用中具有广泛的使用，尤其在存储介质和数字通信中。
例如，在光盘和DVD等存储媒体中，RS编码用于纠正由于光读取误差引起的错误。
在数字通信中，RS编码可以提供更可靠的信号传输，特别是在无线通信和卫星通信等噪声干扰较多的环境中。
总结起来，RS编码是一种纠错编码的技术，通过在数据中添加冗余信息来提高数据传输的可靠性和稳定性。
它的基本原理是将数据转换成多项式，并根据一定数量的冗余信息来进行错误检测和纠正。
龚政辉-RS码及其编译码算法
RS码及其编译码算法指导教员：雷 菁姓 名：龚 政 辉第一章 引言本文介绍符号取自)GF里的里德-所罗门码（Reed-Solomon(qCode，以下简称RS码)。
RS码是非二进制BCH码的一个最常用的子类，而BCH码是大家所熟悉的。
虽然RS码属于BCH码，但是它却是由Reed和Solomon于1960年采用完全不同的方法独立构造出来的。
RS码的最小距离等于它的奇偶校验符号数加一。
RS码在纠正随机符号错误和随机突发错误方面非常有效，因此被广泛应用于通信和数据存储系统中以便进行差错控制，应用领域涵盖从深空通讯到高密度磁盘等多方面。
以RS码作为外码，简单二进制码作为内码的级联方式在降低译码复杂度的同时，能够提供很高的数据可靠性。
但与二进制BCH码不同，RS码的译码需要同时确定符号错误的的位置和取值，所以它的译码更为复杂而编码算法是大体一致的。
第二章 循环纠错码的基本理论2.1 有限域(Galoias 域)基本概念及相关结论有限域(Galoias 域)就是域中元素的个数是有限的，元素的个数称为域的阶。
q 阶有限域，用()GF q 表示。
如果q 为一个素数，则集合{}0,1,2,,1q − 在模q 加法和乘法下，构成一个q 阶有限域()GF q 。
有限域在编码理论中具有重要的地位，下面给出Galoias 域的几个基本概念和相关结论。
定义1 在域()GF q 中，满足0ne =的最小正整数n 称为域的特征，e 为域的单位。
定义2以q 为特征的域是()m GF q ，1,2,m =…，称()GF q 是()m GF q 的基域，()m GF q 为()GF q 的扩域。
域中一切非零元素的特征都等于域的特征，且域的特征一定为素数。
非零元素构成的乘法群的阶定义为域中该元素的级。
若α为域()GF q 中的n 级元素，则称α为n 次单位原根。
若某一元素α的级为1q −，则称α为本原域元素。
域的特征表明了域中加法运算的循环性，而域的级则表明了域中乘法运算的循环性。
RS(16,12)缩短码编译码原理及性能
2012年第02期，第45卷 通 信 技 术 Vol.45，No.02,2012 总第242期 Communications Technology No.242,Totally(16,12)RS缩短码编译码原理及性能分析赵 旸， 耿相铭（上海交通大学 电子信息与电气工程学院，上海 200240）【摘 要】在各类数字通信系统以及计算机存储和运算系统经常利用差错控制编码降低误码率，提高通信质量，满足对数据传输通道可靠性的要求。
RS码是一种性能优良的前向纠错码，具有同时纠正随机错误和突发错误的能力，它的构造特点决定了其非常适合于纠正突发性错误。
文中在阐述RS系统码编译码原理的基础上，提出了(16,12)RS缩短码的编译码方法，利用MATLAB对(16,12)RS缩短码在高斯信道和瑞利信道条件下的纠错能力进行仿真，并分析其纠错性能。
【关键词】里德-所罗门码(RS码)；缩短码；编译码；瑞利信道；MATLAB仿真【中图分类号】TN918 【文献标识码】A 【文章编号】1002-0802(2012)02-0049-04 Encoding and Decoding Algorithm for(16,12)RS Shortened Codesand Its Performance AnalysisZHAO Yang， GENG Xiang-ming(SEIEE, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240)【Abstract】In various digital communication systems and computer storage and computing systems, the error control coding is often used to reduce bit or symbol error rate, and thus to improve communication quality and meet the reliability requirements of data transmission. RS code, as an excellent forward error correction code, has the capability to correct both random error and burst error, and its structured characteristics feature its suitability for correcting burst errors. Based on description of the RS system code’s encoding and decoding principles, this paper proposes(16,12)RS shortened code’s encoding and decoding method. And with MATLAB the(16,12)RS shortened code’s error correction capability in the AWGN and Rayleigh fading channel conditions is simulated.【Key words】Reed-Solomon code; shortened code; encoding & decoding algorithm; Reyleigh fading channel; MATLAB simulation0 引言里德-所罗门码（RS码）是性能优良的多进制BCH码，相比于其他线性分组码，在同样的编码效率下，RS码具有较强的纠错能力，特别是在短的中等码长下，其性能很接近于理论值，不但可以纠正随机错误、突发错误及两者的结合，而且可以用来构造其他码类，如RS码和卷积码构成的级联码已经被用在深空通信的下行链路中，因此RS码在数字存储和通信系统中获得了广泛应用，例如用于CD ROM-、DVD和陆地数字传输中定义在8(2)GF上的缩短RS码。
RS编码
RS 编码RS(255,249) 码的生成多项式为G （x ）=∏=-5)(i ia x ，其中a 为本原元，是本原多项式p （x ）=12348++++xxxx 的根。
RS 系统编码器可看作是一个多项式除法器，首先用kn x-乘以消息多项式m （x ），，即在信息码后附加（n-k ）个“0”， ，将得到的结果kn x -m （x ）除以g （x ），得到余式，b （x ）=112210...----++++k n k n xb x b x b b 为所求的校验位，从而，可将码字多项式表示为c （x ）=kn x -m （x ）+b （x ）。
RS 译码由于RS 码是一种循环码，令码字多项式为c （x ），错误多项式为e （x ），则接收多项式可表示为r （x ）= c （x ）+ e （x ）。
存在校验矩阵H ，使c*TH=0，!，定义接收矢量的伴随式S= r*TH=（t s s s 221,...,,）。
可得伴随式：)()(jjj a e a r s ==j=1,2,3,…n 可知伴随式完全由噪声E 决定，充分反映了信道干扰的情况。
循环码编码循环码通常采用码多项式描述, 假设(7, 4)循环码的码字为(1001000), 就可用T(x)=1+x3 表示。
特别是用g(x)表示前k- 1 位皆为0 的码组, 称为生成多项式。
由循环码的性质可知, 循环码对生成矩阵可由码对生成多项式g( x) 及其循环移位构成, (7, 4)循环码生成多项式g(x)=1+x+x3(1011)或g(x)=1+x2+x3(1101), 以选1011 为(7, 4)CRC 码的生成多项式, 用矩阵表示如下式2- 1。
根据生成矩阵, 就可利用上面介绍的方法设计编码器了。
还可以利用循环码自身的循环性, 更方便地实现编码器。
(7, 4)循环码为例, 若输入信息码元为u(x)=1+x3, 则: kn x-u （x ）=63x x +=x+)1m od(22x x x ++因此, 码多项式为:o （x ）=r （x ）+kn x -u （x ）=x+632x xx++其中r(x)=x+x2 为信息码元置为高位后整除生成多项式的余式, 它正好对应于校验序列。
RS码编码及译码
RS 码的编码和译码算法的实现
摘要：RS 码是对突发错误具有良好纠错能力的通信信道编码。本文主要讨论了 RS 码的编码和译码，主要推导了伽 罗华域的生成方法和 BM 迭代译码算法。 关键词：RS 码；伽罗华域；编码；BM 译码
1 RS 码的基本介绍
RS 码是一类有很强纠错能力的 BCH 码，也是一类典型的代数几何码[1]，是由里德和索罗蒙于 1960 年 构造出来的。RS 码是非二进制 BCH 码的一个重要子类，是一类最大距离可分组码。RS 码已经被广泛应用于 通信和存储系统中，以进行差错控制。
迭代算法的实现。生成多项式
。已知 r(X)= +
，求解错误位
置。计算伴随式 = ， = ， =
= ， = 。使用迭代法求 的过程如图 3 所示。
得到
图 4 迭代法求 的过程
，解得 根为 和 ，求得错误位置是
和
位置发生了错误。
，所以判断 和
参考文献：
[1] 王新梅，肖国镇.纠错码——原理与方法[M].西安:西安电子科技大学出版社.1996. [2]（美）林舒等著，晏坚译.差错控制编码[M].北京：机械工业出版社.2007. [3] 武炜，董志学.RS 编译码算法的实现[J].福建电脑.2006(3).
的 q 进制的 BCH 码是 q 进制 BCH 码中最重要的一个子类。这一子类的编码被称为里德—所罗门 (Reed-Solomon,RS)码。令 α 为 GF(q)中的本原元。符号取自 GF(q)、纠正 t 个错误的 RS 码，其生成多项
式 g(x)以 α， ，…， 为其全部的根。由于 是 GF(q)中的元素，因此其最小多项式 (x)即为 。
数字通信中的RS编码
数字通信中的RS编码摘要：由于信道中存在干扰,数字信号在信道中传输的过程中会产生误码。
为了提高通信质量,保证通信的正确性和可靠性,通常采用差错控制的方法来纠正传输过程中的错误。
本文的目的就是重点研究一种信道编码的算法和逻辑电路的实现方法,并在硬件上验证。
RS码是一种典型的纠错码,在线性分组码中,它具有最强的纠错能力，在分析RS编码原理的基础上,介绍RS(15,11)码的编码算法和逻辑电路的实现方法。
关键词：数字通信纠错编码RS码1.引言目前ＲＳ码已经成为美国航天局(ＮＡＳＡ)和欧洲空间站(ＥＳＡ)在深空通信级联系统中采用的标准码,此外ＲＳ码也是存储器系统的标准用码。
ＲＳ码编解码的纯硬件实现比较复杂,ＥＤＡ技术的出现,使得利用软件开发工具实现硬件电路设计成为现实。
编解码的实现过程都在ＶＨＤＬ环境下完成。
2.ＲＳ码的参数及编码设计本章详细讨论RS编码器和解码器的逻辑电路设计以及对设计进行的优化。
RS编解码【2】算法中大量用到多项式求值运算,如伴随式计算,BM算法求解错误位置等,而这些多项式的求解可以使用乘加运算来实现,因而制约RS码编解码器性能的最主要的因素是乘法器和求逆器的设计。
我们首先研究GF(24)有限域的乘法器和求逆器的逻辑电路实现。
2.1 GF（2m）运算“加法”：只需要把它们的矢量表示进行按位异或运算即可。
其程序如下：L xor P；“乘法”：标准基乘法器【4】的原理如下:基于GF(24)域上面的任意两个元素A,B及其乘积C分别可以用多项式表示为:A(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0 B(x)=b3x3+b2x2+b1x+b01.将A(x)和B（x)两个多项式按照常规方法相乘,得到一个次数不大于6的多项式Q(x);2.将Q(x)对GF(24)的本原多项式P(x)=x4+x+1求模,得到次数不大于4的多项式,即得到A与B的乘积C(x)。
Q(x)=q6x6+q5x5+q4x4+q3x3+q2x2+q1x+q0其中Q(x)各项的系数如下:q0=a0b0;q1=a1b0+a0b1;q2=a2b0+a1b1+a0b2;q3=a3b0+a2b1+a1b2+a0b3;q4=a 3b1+a2b2+a1b3;q5=a3b2+a2b3;q6=a3b3可以得到化简的计算方法:C(x)=A(x)×B（x）modp(x)=C3x3+C2x2+C1x+C0 其中：C3=q3+q6C2=q2+q5+q6C1=q1+q4+q5C0=q0+q4由上面的分析可以知道,直接利用一个纯组合逻辑电路就可以求解出在有限域上面A(x)和B(x)的乘积的系数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
BM译码算法
——算法基础
BM译码算法
——算法原理
BM译码算法
——迭代的具体实现
j -1 0 1 2 3a 4 5 6 1 1 1+αx 1+α11x 1+α8x+α8x2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 0 1 1 1+α6x 1+α10x 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 0 0 1 1 2 2 2
E(x)
计算S2t
计算βi
PGZ译码算法
——算法总结
PGZ译码算法
——算法总结
BM译码算法
——引入
1965年E.R.Berlekamp提出了由伴随式求σ(x)的 迭代译码算法，极大地加快了求σ(x)的速度， 实现时比较简单，且易于用计算机完成译码， 因而从工程上解决了BCH码的译码问题。1969 年J.L.Massey指出，迭代译码算法与序列的最 短线性移位寄存器的综合之间的关系，并进 行了简化，自此以后把这种算法成为BM迭代 译码算法。
RS码简介
熊竹林
背景知识
RS码是一种BCH码 BCH码是一种循环码 循环码是一种线性分组码 线性分组码是一种信道编码
背景知识
——信道编码
信道的非理想性 传输差错 香农告诉我们要纠错必须增加冗余 信道编码就是一门增加冗余的学问 亡羊补牢：反馈重传 未雨绸缪：前向纠错 线性分组码就是前向纠错码的一种
RS编码
——编码器设计
最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为 m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1 编码器主要有三种类型： 1.基于乘法形式的编码器 2.基于除法形式的编码器 3.基于校验多项式形式的编码器
jk k 1 h 1 hk l l def
(1 jh jk )中，若h k，其中有一项
h 1 hk
jh jk，jh jk 0， jh jk 0 1+ 故
(1
h 1 hk
l
jh jk
)=0, h k
Forney算法
——算法原理
PPT到此结束，谢谢各位
RS码
——定义与特点
RS码
——定义与特点
RS码的编码系统是建立在比特组基础上的， 即字节，而不是单个的0和1，因此它是非二 进制BCH码，这使得它处理突发错误的能力特 别强。
RS码
——编码参数
例子：试构造一个能纠3个错误符号，码长 n=15,m=4的RS码。 解：已知t=3,n=15,m=4,所以有 码距：d=2t+1=7个符号(28bit) 监督段：2t=6个符号(24bit) 信息段：n-6=9个符号(36bit) 码长：n=15个符号(60bit) 因此该码是(15,9)RS码，同时也可以看作是 (60,36)二进制码。 生成多项式g(x)=(x+α)(x+α2)…(x+α6) =x6+α10x5+α14x4+α4x3+α6x2+α9x+α6
S3 S1 S2 S S3 S4 2 Sl 1 Sl Sl 1 Sl Sl 1 Sl 2
Sl 1 Sl
S2l 3 S2l 2
Sl l -Sl 1 -S Sl 1 l 1 l 2 = S2l 2 2 -S2l 1 S2l 1 1 -S2l
背景知识
——线性分组码
分组：将码字分为许用码字和禁用码字 两组
线性：许用码字的线性组合还是许用码 字
BCH码
——引入
BCH码是一类最重要的循环码，能纠正多个随 机错误，它是1959年由Bose、Chaudhuri及 Hocquenghem各自独立发现的线性循环码， 人们以他们的名字字头命名为BCH码。 BCH码打破了一般线性分组码先编码再验证性 能的模式，能够根据实际纠错需求进行编码。
k 1 l h 0
l
) {e jk (1 jh jk )}
k 1 h 1 hk
l
l
jk h h
1 e jk 1 jk x k 1 N ( x) ( x) S ( x) mod xl 1 {e jk (1 x) mod xl 1}
BCH码
——定义
BCH码
——有限域
BCH码
——设计准则
RS码
——引入 RS编码起源于1960年MIT Lincoln实验室的S. Reed和G. Solomon在Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics上发表的 一篇论文：Polynomial Codes over Certain Finite Fields(某些有限域上的多项式码)。经历 了数十年的发展，RS码成为了研究最详尽， 分析最透彻，应用最广泛，研究成果最多的 码类之一。
所以有：
N ( - jk ) e jk (1 jh - jk )
h 1 h k - jk
l
e jk
N (
l h 1 h k
)
(1 jh - jk )
Forney算法就是通过上式求解错误多项式的系数
所以通过Forney算法 求得的错误多项式 E(x)=α8x2+α2x5+αx10， 实际发送序列为全0 序列。 —例毕
Sh e jk ( jk ) h ,1 h 2t
k 1 l
Forney算法
——算法原理
S ( x) Sh x e jk ( x )
h h 0 h 0 k 1
l
jk h
令x jk 代入上式，得 N (
l jk
= e jk ( ) x
D(j) -1 0 0 1 1 1 2 3
j-D(j) 1 S1=α
dj
α7(取i=-1) α14(取i=0) α13(取i=1) 1(取i=0) 0 0
3b 1+α11x+α13x2
1+α6x+α13x2 2
Forney算法
——算法原理
N ( x) 1 ( S1 1 ) x ( S2 1S 2 ) x 2 (Sl 1S-1 2 Sl -2 l ) xl
RS编码
——编码器设计
1、基于乘法形式的编码器 公式: c(x)=m(x)g(x)
原理图：
RS编码
——编码器设计
RS码
——编码器设计
RS译码
——译码算法
根据生成多项式，可以构造出快速的硬件编码器， 而对RS码的译码，由于它是循环码的一个子类，任 何对循环码的标准译码过程都适用于RS码。 下面我们讨论专门针对RS码的译码算法： PGZ算法 BM算法 Forney算法
PGZ译码算法
——第三步，定位错误位置
PGZ译码算法
——第三步，定位错误位置
PGZ译码算法
——第四步，求出错误多项式的系 C(x)输出
N级移位寄存器
输入R(x)
计算S1 计算S2
计算错 误位置 多项式 ������(������)
用钱搜 索法求 ������(������)的 根
RS译码
——PGZ译码算法
PGZ算法的名字来源于三位作者Peterson、 Gorenstein和Zierler。该算法是解决BCH译码 问题的通用算法，它的出现奠定了BCH译码算 法的理论基础。该方法实现简单，易于理解， 对于较短的BCH码非常有效。
PGZ译码算法
PGZ译码算法
——第一步，计算校正子Sj