大学物理第二讲-圆周运动及其描述-质点运动学的基本问题

dy1 v1dt
同时B运动的路程为
ds v2dt
ds
P

dx
dy
y1(t dt) y1 (t )
y
且 ds dx2 dy2
o
x
L x 23
结合以上三式，得
dy1

v1dt

v1 v2
ds

v1 v2
dx2 dy2 v1 v2
1


dy dx
2

dx
dy1 v1 dx v2
o
y 12km, t 1.5h
ds
P
dy dx
y
x
Lx
26
Δt0 Δt dt
方向：t 0时, 的极限方向。

2
1
t t
o
x
t
, 与 同向。 , 与 反向。
角加速度大小 d d 2
dt dt2 6
四、角量与线量之间的数量关系
自然坐标与角坐标 s R
线速度与角速度 v ds R d R
v dr dr ds , dt dt dt
a

dv dt

dv dt
19
2.一质点作在平面上作曲线运动，其运动方程为
r 2ti (19 2t2 ) ja a(t)
求：①质点的位置矢量与速度矢量相互垂直的时刻; ②质点离原点最近的时刻；③质点的轨迹方程。
解：
v dr 2i 4tj
v v
ds
n d
S
o d
d d
d

2
a

a
an

dv
dt

v2

n
a an2 a2


dv dt
2



v2

2

a与 v方向的夹角：
arctan an
a
讨论
0 ,
2
a 0,
v
90 , a 0, v const
为正数。求:
S
① t 时刻质点的总加速度大小；
② t 为何值时，总加速度大小为k；
a
n an P
o
x
R
③ 当总加速度大小为k 时，质点运行的圈数。
解：设 t = 0 时质点位于 s = 0 的P点处。
①
dv d 2s a dt dt2 k
an

v2 R

(v0
kt)2 R
沿法线方向
v an 法向加速度
a r v a an
z

R av
an
a
m
r
o
y
x
9
例：一刚体以恒定的角加速度 转动，求其上某质元
A的运动方程。设 t = 0时， =0， =0。
解： d d dt
dt
Ao
x

t
积分： d dt
a 积分
v
积分
r
(v0 )
(r0 )
16
对一维运动的第二类问题
★当 a a(t) dv a(t)dt
a dv dt
★当 a a(v)
v
t
dv a(t)dt
v0
t0
dv dt a(v)
v dv
t
dt
v0 a(v) t0
17
★如果 a a(x) 则 dv dv dx v dv a(x)
dt dx dt dx
v
x
vdv a(x)dx
v0
x0
18
课堂练习
1.质点作任意曲线运动，试判断下列各式的对错：
dv a, d r v;
dt
dt
ds v, dt
dv dt
a ;
dv dt a ,
dr v; dt
dr v,
dv a.
dt
dt
解答：
a dv , dt
速度 v ds dt
s a1t

s0

1 2
a1t
2
a
R

a
an
P
加速度
an

v2 R
n

a12t 2 R
n
a

dv
dt
a1
a1
总加速度
a
an
a

a12t 2 R
n a1
4
三、圆周运动中的角量和线量
1.角位置（角坐标）
◎通常规定逆时针转动为正角位置。

o
x
◎角位置的单位常用弧度(rad，无量纲)表示。
用角量描述的圆周运动方程： (t) 2.角位移： 2 1
2
o 1 x
3.角速度
平均角速度

t
大小：

d
o
x
瞬时角速度
dt
方向: 与运动方向成右手螺旋关系。
5
4.角加速度
平均角加速度 2 1
t t
方向沿角速度增量 的方向。 角加速度 lim d
（为常量）
（a为常量）
0 t v v0 at

0
0t

1 t2
2
s

s0

v0t

1 2
at
2
2 02 2 ( 0 ) v2 v02 2a(s s0 )
11
例：一质点沿半径为R的圆周按规律
s v0t kt2 / 2运动，其中v0、k
（ 很小时）


向量式： d d n (t 0,d )

说明：对于一般曲线运动， ，但 d d
理由：微元代表取时间极限(t0)，而此时A、B两点必在同一圆周上。
(容易证明：对于圆周运动，任意两点均有 .)
1
速度 v v
(t 0)
y
v0
l1
而 x l v v0
（三角形任意两边之差小于第三边）
h l2 v
l x
船速大于绳速
o
x2 x1
x
15
§1-5 质点运动学中的两类基本问题
第一类：
已知 r r (t), 求v, a, 用微分。
r 微分 v 微分 a
第二类：
已知 a及初始条件 v0、r0, 求v、r，用积分。
二、切向加速度与法向加速度
: 切线方向单位矢
自然坐标系
n : 法线方向单位矢（曲线凹侧）
v v
: 该点曲率半径

A
B
S :运动轨迹正方向
| || | 1
n
S

o
| || | | d | d
此时它已运行的圈数：
n s v02
2 R 4 Rk
a
S
n an P
o
x
R
13
01-3
例：在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸。 若人以匀速率v0收绳，求船在离岸边 x 远处时的速率。 解：由图中几何关系得（忽略船高和滑轮高）
x l2 h2
dx
l dl x2 h2 dl
③由运动方程Βιβλιοθήκη Baidu
r 2ti (19 2t2 ) j
得分量方程 x 2t, y (19 2t2 )
消去时间得轨迹方程 y 19 x2 2
y
o
x
21
例：动物A以匀速v1沿竖直方向运动。在A的左端离A运动起点相 距L处的o点，有一动物B开始追赶动物A。动物B的速率v2为常 值，v2＞v1，且每一瞬时B的速度方向均指向动物A。
a
aτ2 an2
(v0 kt)2 (kR)2 R
12
② 令 a = k ，即 a
解得 t v0 / k
(v0 kt)2 (kR)2 k R
③ 当a = k 时，t = v0 /k ，由此可求得质点历经的路 程长度为
s v0t kt2 / 2 v02 / 2k
,
2
a 0,
v
a
S
an a

a
a
3
例：半径为R的滑轮可绕中心轴转动。绕于滑轮上的无形
变细绳其下端挂一重物。已知重物按 h = (1/2)a1t2 的规律 下降，求轮沿上任一点 P 的加速度（设绳与轮之间无相
对滑动） 。
解：由于绳无伸长且无相对滑动，故
P点的运动方程
dt
①根据两矢量相互垂直的条件
v r 4t 4t(19 2t2 ) 0 解得 t 3
②由 r 2ti (19 2t2 ) j r 4t2 (19 2t2 )2
20
r 4t2 (19 2t2 )2
求导，并令 dr 0 dt
解得 t 3
d dn ds d d
加速度 a dv dv v d dv v d n
dt dt
dt dt
dt

dv
dt

v

ds n dt

dv
dt

1

v2n a
an
a

dv
dt
an

v2

n
an
切向加速度 法向加速度
a S

a
v2
dx
24
分离变量，得 du dx
1 u2 L x
积分，并代入初始条件： t 0, x 0, u dy 0
dx
解得：
u

1 2

L
L
x




L
L
x



v1 , u dy
v2
dx

dy

1 2

1


dy dx
2

y
y1(t dt)
y1 (t )
代入第一个式子，得运动微分方程：
v1 v2
1


dy dx
2


(
L

x)
d2 dx
y
2
o
ds
P
dy dx
y
x Lx
求解上式即可得到B的运动轨迹方程。
将上式化为 1 u2 (L x) du
dx
v1 , u dy
1. 求动物B的运动轨迹？2. 问动物B经多长时间能追上动物A？
解：1. 取B出发点为坐标原点O，A的出发点为(L, 0)。
时刻t，B位于P点，其坐标为x(t)、
y
y(t)，A的位置为y1(t) 。
t时刻B与A的连线与B轨迹在P点相切，
即
tan dy
dx
式中dx和dy是ds在x轴和y轴的投影。 B ds是B从t到(t+dt)时刻行经的路程。 o
角加速度与线加速度
a dv d ( r )
dt dt
z
cR v
m
r
o
x
y
d r dr r v
dt
dt
8
a r v | r | r sin R 沿切线方向
r a 切向加速度 | v | v sin 90 =v
的竖直坐标距离为
y

1
2
L
v1
v2
A到达该位置所需时间为
y
t y L L
v1 1 2 v1 1 2 v2
y1(t dt) y1 (t )
这也就是B追上A所需的运动时间。
若 L 10km, v1 8km/h, v2 12km/h, 则：
L L
x




L L
x


dx
积分，并代入初始条件：t 0, x 0, y 0
解出B的轨迹方程：
y

L 2
1
1
1
x
1

L
1
1
1
x
1

L

L 1 2
25
2.B追上 A时，x =L，代入B的轨迹方程，得出B追上A时两者
v

dt l2 h2 dt
x dt
v0 y
l0 hl
v
ox
设 t 0, l l0，则 l l0 v0t
x

dl dt

v0
14
v
x2 h2 x
v0

v0
(h / x)2 1
负号表示沿负x 轴方向。
比较船速v与绳速v0的大小？
由图知：
v0

|
l t
|,
v | x | t
y1(t dt) y1 (t )
ds P

dx
dy
v1
A
y
v2 x
Lx
22
由图中几何关系得
y1

y

(L

x) tan

y

(L

x)
dy dx
上式对x求导，得
dy1 dx

dy dx

dy dx
(L
x)
d2y dx2

(L
x)
d2y dx2
在dt时间内A向上运动的竖直距离为 y
0
0
得 0 t
d
dt
d (0 t)dt

d
0
t
0 (0 t)dt

运动方程：
0 0t
1 t2
2
两式消去t 得另一关系式：2 02 2 ( 0 )
10
匀变速圆周运动与匀变速直线运动公式对照
dt dt
线加速度与角加速度
a

dv dt

R d
dt

R
an

v2 R
2R
a a2 an2 R 2 4
arctan an
a
d
dt
d d 2
dt dt2
7
五、角量与线量之间的向量关系
角速度与线速度
v R r sin r v r