江苏高考理科数学二轮练习：解答题专题练(五) 数列

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江苏省高考数学二轮解答题专项复习：数列

（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若2Sn＝23+a2n+4，求n．
11．已知数列{an}是各项为正数的等比数列，且a2＝4，．数列{bn}是单调递增的等差数列，且b2•b3＝15，b1+b4＝8，
（1）求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
12．设{an}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若Sn是数列{an}的前n项和，设bn ，求数列{bn}的前n项和Tn．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S6＝36．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn （n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
8．已知数列{an}的首项a1＝1，Sn为其前n项和，且Sn+1﹣2Sn＝n+1．
（2）设bn＝an•（）n，试问数列{bn}是否理由．
22．已知{an}为单调递增的等差数列，设其前n项和为Sn，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn的最小值及取得最小值时n的值．
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝n﹣Sn，设bn＝an﹣1．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
5．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，且S1＝2，a2+1是a1与a3的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝（Sn+2）•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．

2020江苏高考理科数学二轮练习：解答题专题练立体几何含解析

则PH⊥平面ABCD、又SO⊥平面ABCD、所以PH∥SO、
在Rt△SOB中、SO＝＝ a、
因为＝、所以PH＝＝＝ x、所以VSPAC＝VSACD－VPACD＝ ×
＝ a3、解得x＝ a、所以＝＝2.
(2)证明：取SP中点Q、连结QE、BQ、
则EQ∥PC、EQ⊄平面PAC、PC⊂平面PAC、所以EQ∥平面PAC、
所以＝、因为底面ABCD为矩形、所以O是AC的中点、
即CO＝OA、
所以PG＝GA、所以G为PA的中点．
2．证明：(1)连结AC交MB于Q、连结NQ、MC.
因为AM∥BC、AM＝ AD＝BC、
所以四边形ABCM是平行四边形、
所以Q是AC的中点.
又N是PC的中点、所以NQ∥PA.
因为NQ⊂平面MNB、PA⊄平面MNB、所以PA∥平面MNB.
2020江苏高考理科数学二轮练习：解答题专题练立体几何含解析
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解答题专题练(二)立体几何
(建议用时：40分钟)
1．(20xx·南通密卷)如图、四棱锥PABCD中、底面ABCD为矩形、PD⊥BC、G为PA上一点．
(1)求证：平面PCD⊥平面ABCD；
参考答案与解析
1．证明：(1)因为底面ABCD为矩形、所以BC⊥CD、又因为PD⊥BC、
CD、PD⊂平面PCD、PD∩CD＝D、所以BC⊥平面PCD、
又因为BC⊂平面ABCD、所以平面ABCD⊥平面PCD.
(2)连结AC、交BD于O、连结GO、因为PC∥平面BDG、
平面PCA∩平面BDG＝GO、所以PC∥GO、
由(1)可知EF⊥平面ABCD、EF是四棱锥EABCD的高、

2020江苏高考理科数学二轮练习：小题专题练数列含解析

答案：8 064
13．解析：设等差数列{an}的公差为d，
由a12＝ a5＞0得a1＝－ d，d<0，所以an＝ d，
从而可知1≤n≤16时，an＞0,n≥17时，an＜0.
从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，
b16＝a16a17a18＞0，
故S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16.
答案：
11．解析：因为log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.
答案：100
12．解析：依题意得(an＋1－2)(an－2)＝3，(an＋2－2)·(an＋1－2)＝3，因此an＋2－2＝an－2，即an＋2＝an，所以数列{an}是以2为周期的数列．又a1＝5，因此(a2－2)(a1－2)＝3(a2－2)＝3，故a2＝3，a1＋a2＝8.注意到2 016＝2×1 008，因此该数列的前2 016项的和等于1 008·(a1＋a2)＝8 064.
答案： n＋
6．解析：法一：设数列{an}的公差为d.由a ＋a ＝a ＋a 得a ＋(a1＋d)2＝(a1＋2d)2＋(a1＋3d)2，即8a1d＋12d2＝0.因为d≠0，所以a1＝－ d.又由S5＝5a3＝5得a3＝1，所以a1＋2d＝1，解得a1＝－3，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－5，故a7＝2×7－5＝9.
2020江苏高考理科数学二轮练习：小题专题练数列含解析

高考届高考数学二轮复习资料(苏教版)数列

数列【例1】在数列{}n a 中，112,223n n a a a +=-=+（*n ∈N ），则n a ﹦ ．【分析】由1223n n a a +=+得132n n a a +-=，∴{}n a 是等差数列，∴3722n a n =-．【答案】3722n -．【例2】数列{}n a 满足135a =，*1*12,0,2121,1,2n n n n n a a n a a a n +⎧⎛⎫≤<∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤<∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ，则2009a = ．【分析】∵135a =，∴211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，543215a a =-=，651215a a =-=，……．∴该数列周期为4．∴2009135a a ==．【答案】35．【例3】在等差数列{}n a 中，若24681080a a a a a ++++=，则7812a a -﹦ ．【分析】∵数列{}n a 是等差数列，∴由24681080a a a a a ++++=得6580a =，616a =． ∴()7866611128222a a a d a d a -=+-+==．【答案】8．【例4】已知{}n a 的前n 项之和21241,n S n n a a =-+++则…10a +﹦ ．【分析】可求得*2 , (1)25,(2,)n n a n n n -=⎧=⎨-≥∈⎩N ．则12a a ++…10a +﹦21131567-+-++++= ．【答案】67．【例5】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若不等式22212n n S a a nλ+≥对任何等差数列{}n a 及任何正整数n恒成立，则λ的最大值是．【分析】当10a =时，R λ∈；当10a ≠时，由22212n n S a a n λ+≥得221112n n a a a a a λ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设1n a t a =，则22122t t λ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭．又22122t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭﹦225151114244555t t t ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，∴15λ≤．综上λ的最大值是15. 【答案】15．【例6】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2*,n S kn n n =+∈N ，其中k 是常数．（1）求1a 及n a ；（2）若对于任意的*m ∈N ，24,,m m m a a a 成等比数列，求k 的值．解：（1）当1n =，111a S k ==+，当2n ≥时，()()2211121n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦又当1n =时11a k =+合上式，∴21n a kn k =-+（*n ∈N ）．（2）∵24,,m m m a a a 成等比数列，∴224m m m a a a =，即()()()2412181km k km k km k -+=-+-+，整理得：()10mk k -=对任意的*m ∈N 都成立， ∴0k =或1k =．【例7】数列{}n a 中135a =，112n n a a -=-（*2,n n ≥∈N ），数列{}n b 满足11n n b a =-（*n ∈N ）．（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 中的最大项与最小项，并说明理由．解：（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----，而1111n n b a --=-（*2,n n ≥∈N ），∴11111111n n n n n a b b a a -----=-=--（*2,n n ≥∈N ）．∴数列{}n b 是等差数列．（2）依题意有11n n a b -=，而5(1)1 3.52n b n n =-+-=-⋅，∴11 3.5n a n -=-．函数13.5y x =-在（3.5，+∞）上为减函数，在（-∞，3.5）上也为减函数．故当n ＝4时，11 3.5n a n =+-取最大值3，n ＝3时，取最小值-1．【例8】在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件2421n n S n S n +=+*()n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2421n n S n S n +=+得1213a a a +=．又11a =，∴22a =．∴211d a a =-=．∴n a n =．（2）由n a n n b a p =，得n n b np =．∴23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+ ．① 当1p =时，()12n n n T +=；当0p >且1p ≠时，234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+ ．② ①－②得23111(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p p npnp p-++--=+++++-=-- ，∴()12(1)11n n n p p np T pp +-=---．综上()()()()121,12(1),0,111n n n n n p T p p np p p p p +⎧+=⎪⎪=⎨-⎪->≠⎪--⎩且．【例9】某个体户，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续，问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？若银行贷款的年利息为5%，问该个体户还清银行贷款后还有多少资金？（参考数据：1011121.18 5.23,1.18 6.18,1.187.29≈≈≈．结果精确到0.1元）解：设第n 个月月底的余额为n a 元，则1a 11260=，1(120%)20%10%540 1.18540n n n n a a a a +=⨯+-⨯⨯-=-，于是()1211101.18540 1.181.18540540a a a =-=--=()2101.18 1.181540a -+⋅=＝()1110911.18 1.18 1.18 1.181540a -++++⋅ ＝11111.1811.181126054054046.81.181-⨯-⨯=-．还清银行贷款后剩余资金为()121000015%54046.81050043546.8a -⋅+=-=．答：到这年年底该个体户还贷款前尚余资金54046.8元；还清银行贷款后还有资金43546.8元．【例10】已知分别以1d 和2d 为公差的等差数列{}n a 和{}n b 满足118a =，1436b =．（1）若1d =18，且存在正整数m ，使得21445m m a b +=-，求证：2108d >；（2）若0k k a b ==，且数列1a ，2a ，…，k a ，1k b +，2k b +，…，14b 的前n 项和n S 满足142k S S =，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令n a n c a =，n b n d a =，0a >，且1a ≠，问不等式1n n c d +≤n n c d + 是否对一切正整数n 恒成立？请说明理由．解：（1）依题意，22[18(1)18]36(1414)45m m d +-⨯=++--，即22(18)9m md =-，即22918108d m m =+≥=，等号成立的条件为2918m m =，即16m =． *m N ∈ ，∴等号不成立，∴原命题成立．（2）由142k S S =得14k k S S S =-，即180360(141)22k k ++⨯=⨯-+，即918(15)k k =⨯-，得10k =，101829d -==-，236091410d -==-．则220n a n =-+，990n b n =-．（3）在（2）的条件下，n a n c a =，n b n d a =．要使1n n c d +≤n n c d +，即要满足(1)(1)n n c d --≤0．当1a >时，202n n c a -=，数列{}n c 单调减；990n n d a -=单调增．当正整数9n ≤时，10n c ->，10n d -<，(1)(1)0n n c d --<；当正整数11n ≥时，10n c -<，10n d ->，(1)(1)0n n c d --<；当正整数10n =时，10n c -=，10n d -=，(1)(1)0n n c d --=．则不等式1n n c d +≤n n c d +对一切的正整数n 恒成立．同理，当01a <<时，也有不等式1n n c d +≤n n c d +对一切的正整数n 恒成立．综上所述，不等式1n n c d +≤n n c d +对一切的正整数n 恒成立．【练习1】在数列{}n a 中，111,2n n a a a +==（*n ∈N ），则其前8项的和8S = ．【答案】255．【练习2】已知数列{}n a 满足1100a =，当*2,n n ≥∈N 时，()()11113,34,3n n n n n a a a a a ----⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩，则数列{}n a 的前100项和100S ＝．【答案】1849．【练习3】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，2436455736a a a a a a a a +++=，则36a a += ．【答案】6．【练习4】已知数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-（*n ∈N ），第k 项满足47k a <<，则k ﹦ ．【答案】7．【练习5】已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+（λ是与n 无关的实数常数），且满足123a a a <<<⋅⋅⋅<1n n a a +<<⋅⋅⋅，则实数λ的取值范围是___________．【答案】()3,-+∞．【练习6】数列{}n a 的前n 项和记为()*11,1,21n n n S a a S n +==+∈N ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．解：（1）由121n n a S +=+可得()*1212,n n a S n n -=+≥∈N ，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．又21213a S =+=，∴213a a =．∴{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．∴13n n a -=．（2）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，∴25b =．故可设135,5b d b d =-=+．又1231,3,9a a a ===，由题意可得()()()2515953d d -+++=+，解得122,10d d ==-． ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴2d = ．∴()213222n n n T n n n -=+⨯=+．【练习7】已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ,4224S S =+,1nn na b a +=．（1）求公差d 的值；（2）若152a =-，求数列{}nb 中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的*n ∈N ，都有8n b b ≤成立，求1a 的取值范围．解：（1）∵4224S S =+，∴113442(2)42a d a d ⨯+=++，解得1d =．（2）∵152a =-，∴数列{}n a 的通项公式为17(1)2n a a n n =+-=-．∴111172n nb a n =+=+-． ∵函数1()172f x x =+-在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上分别是单调减函数， ∴3211b b b <<<，又当4n ≥时，41n b b <≤． ∴数列{}n b 中的最大项是43b =，最小项是31b =-．（3）由11n n b a =+得1111n b n a =++-．又函数11()11f x x a =++-在()1,1a -∞-和()11,a -+∞上分别是单调减函数，且11x a <-时，1y <；11x a >-时，1y >．∵对任意的*n ∈N ，都有8n b b ≤，∴1718a <-<，∴176a -<<-． ∴1a 的取值范围是(7,6)--．【练习8】等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列， 11b =，且2264,b S =33960b S =．（1）求n a 与n b ；（2）证明：1211134n S S S +++< ．解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则0d >，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=．依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩．解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) ．∴132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=．（2）∵35(21)(2)n S n n n =++++=+ ， ∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯⨯+ 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭．【练习9】某企业进行技术改造需向银行贷款，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取1010101.05 1.629,1.313.786,1.557.665===）解：①甲方案获利：10291.311(130%)(130%)(130%)42.630.3-+++++++=≈ （万元），银行贷款本息：1010(15%)16.29+≈（万元），故甲方案纯利：42.6316.2926.34-=（万元）． ②乙方案获利：1091(10.5)(120.5)(190.5)1010.52⨯++++⨯+++⨯=⨯+⨯ 32.50=（万元），银行本息和：291.05[1(15%)(15%)(15%)]⨯+++++++101.0511.0513.210.05-=⨯≈（万元），故乙方案纯利：32.5013.2119.29-=（万元）．综上可知，甲方案更好．【练习10】设向量*(,2),(,21)()a x b x n x n ==+-∈N ，函数y a b =⋅ 在[0,1]上的最小值与最大值的和为n a ，又数列{}n b 满足：1212999(1)()()1101010n n n nb n b b --+-++=++++ （1）求证：1n a n =+；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设n n n c a b =-，试问数列{}n c 中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n k c c ≤成立？证明你的结论．解：（1）∵2()42(4)2y x x n x x n x =++-=++-在[0,1]上为增函数， ∴21421n a n n =-+++-=+﹒（2）∵12129999(1)()()110[1()]10101010n n n n nb n b b --+-++=++++=- ， ∴()11219(1)(2)10[1()]210n n n b n b b n ---+-++=-≥ ﹒两式相减得()1129()210n n b b b n -+++=≥ ，∴()21219()310n n b b b n --+++=≥ ．两式相减得()219()31010n n b n -=-⋅≥．又11b =，2110b =-，∴()()2*1,119(),2,1010n n n b n n -⎧=⎪=⎨-⋅≥∈⎪⎩N ．（3）由()()2*2, 119(),2,1010n n n c n n n -⎧-=⎪=⎨+-⋅≥∈⎪⎩N 及当3k ≥时111,981,kk k k c c k c c -+⎧≥⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩得或﹒ 又1,2n =也满足，∴存在8,9k =使得n k c c ≤对所有的*n ∈N 成立．。

2020江苏高考理科数学二轮练习：解答题专题练三角函数、解三角形含解析

2020江苏高考理科数学二轮练习：解答题专题练三角函数、解三角形含解析
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解答题专题练(一)三角函数、解三角形
(建议用时：40分钟)
1．已知函数f(x)＝sin2x＋ sinxsin .
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围．
2．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c、＝＋ .
(1)求sin(A＋B)＋sinAcosA＋cos(A－B)的最大值；
(2)若b＝、当△ABC的面积最大时、求△ABC的周长．
3．已知函数f(x)＝asinxcosx－2cos2x(x∈R)的图象经过点M 、其中常数a∈R.
1．解：(1)f(x)＝sin2x＋ sinxsin
＝＋ sin 2x
＝sin ＋、
所以T＝π.
(2)由x∈ 、得2x－ ∈ .
所以sin ∈ 、
所以f(x)∈ .
2．解：(1)由＝＋、得＝、
即sinA＝sinBcosC＋sinCsinB、
又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB、
所以当t＝、即A＝时、上式取得最大值、为 .
(2)由(1)得S＝ acsinB＝ ac、b2＝a2＋c2－2accosB、即2＝a2＋c2－ ac≥(2－ )ac、ac≤2＋、当且仅当a＝c＝时等号成立、所以Smax＝、此时a＝c＝、所以周长L＝a＋b＋c＝2 ＋ .
3．解：(1)f(x)＝asinxcosx－2cos2x＝ sin 2x－cos 2x－1、
由函数f(x)的图象经过点M 知f ＝0、

江苏省高考数学二轮复习考前冲刺必备五解题模板给力学案-人教版高三全册数学学案

必备五解题模板给力模板一函数性质的应用典型例题例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f(lo g126)的值是.答案-12解析因为-3<lo g126<-2,所以-1<lo g126+2<0,即-1<lo g1232<0.(转化)又f(x)是周期为2的奇函数,所以f(lo g126)=f(log1232)=-f(-log1232)=-f(log232)=-(2log232-1)=-12.(求值)故填-12.(结论)▲模板构建已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:跟踪集训1.(2018南京第一学期期中考试)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,当x∈[0,2]时,f(x)=2x,那么f(6)的值为.模板二函数的零点典型例题例2 根据表格中的数据,可以断定方程e x-(x+2)=0(e≈2.72)的一个根所在的区间是(填序号).x -1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.40 20.12 x+212345①(-1,0);②(0,1);③(1,2);④(2,3). 答案 ③解析令f(x)=e x-(x+2),显然f(x)在R 上为连续函数,由已知得,f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.40-4>0,f(3)=20.12-5>0.由于f(1)·f(2)<0,因此方程e x-(x+2)=0的一个根在区间(1,2)内,故填③.▲模板构建函数零点存在性定理就是根据函数f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间的方法.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:跟踪集训2.(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知函数f(x)=lgx+32x-9在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= . 模板三三角函数的性质典型例题例3 已知函数f(x)=2√3sin (x +π4)cos (x +π4)-sin(2x+3π).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向左平移π4个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.解析 (1)f(x)=2√3sin (x +π4)cos (x +π4)-sin(2x+3π) =√3sin (2x +π2)+sin2x=sin2x+√3cos2x=2sin (2x +π3),(化简)∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)由已知得g(x)=f(x+π4)=2sin[2(x+π4)+π3],=2sin(2x+π2+π3)=2cos(2x+π3),∵x∈[0,π2],∴2x+π3∈[π3,4π3],(换元)故当2x+π3=π,即x=π3时,g(x)min=g(π3)=-2;当2x+π3=π3,即x=0时,g(x)max=g(π3)=1.(结论)▲模板构建在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路:跟踪集训3.已知函数f(x)=2√3asinxcosx+asin2x-acos2x+b(a,b∈R).(1)若a>0,求函数f(x)的单调增区间;(2)当x∈[-π4,π4]时,函数f(x)的最大值为3,最小值为1-√3,求ab的值.模板四解三角形典型例题例4 如图,在△ABC中,已知AC=7,∠B=45°,D是边AB上的一点,AD=3,∠ADC=120°.求:(1)CD的长;(2)△ABC的面积.解析 (1)在△ACD 中,AC=7,AD=3,∠ADC=120°,(定已知) 由余弦定理得AC 2=AD 2+CD 2-2AD·CDcos∠ADC,(选定理) 72=32+CD 2-2×3·CDcos120°,解得CD=5.(得结论) (2)在△BCD 中,∠B=45°,CD=5,(定已知) 由正弦定理得xx sin∠xxx =xx sin x =xx sin75°=5sin45°,(选定理)解得BD=5+5√32,(得结论)所以S △ABC =S △ACD +S △BCD =12AD·CDsin∠ADC+12CD·BDsin∠BDC=12×3×5sin120°+12×5×5+5√32sin60°=75+55√38.▲模板构建利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形边角之间的互化,当已知三角形中的两边及其一边的对角,或两角及其一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;若已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:跟踪集训4.(2018江苏淮海中学模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且a 2=b 2+c 2-bc,a=√152b. (1)求sinB 的值; (2)求cos (x +π12)的值.模板五利用函数性质解不等式典型例题例5 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)满足f(-2)=9,且f(x)的导数f'(x)在[0,+∞)上恒有f'(x)<4x,则不等式f(x)<2x 2+1的解集为 .答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)解析设g(x)=f(x)-2x 2-1,(构函数) 则g'(x)=f'(x)-4x.(析性质)因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x), 而g(-x)=f(-x)-2(-x)2-1=f(x)-2x 2-1=g(x), 所以函数g(x)为偶函数,故g(x)=g(|x|),(析性质) 因为当x∈[0,+∞)时,f'(x)<4x,故g'(x)=f'(x)-4x<0, 所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递减.(析性质)而g(2)=f(2)-2×22-1=f(-2)-9=0,故由g(x)<0,即g(|x|)<g(2),得|x|>2.(巧转化) 解得x<-2或x>2.所以不等式f(x)<2x 2+1的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).(写解集)▲模板构建利用函数性质解题主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:跟踪集训5.设函数f(x)是奇函数,其导函数为f'(x),f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是 . 模板六基本不等式的应用典型例题例6 设x,y 是正实数,且x+y=1,则x 2x +2+x 2x +1的最小值是.答案 14解析设x+2=s,y+1=t,则s+t=4,(换元)所以x 2x +2+x 2x +1=(x -2)2x+(x -1)2x=(x -4+4x )+(x -2+1x)=(4x +1x )-2,(巧拼凑)因为4x +1x =14(4x +1x )(s+t)=14(4xx +x x +5)≥94,当且仅当t=43,s=83,即x=23,y=13时,取等号,(得定值)所以x 2x +2+x 2x +1≥14,即x 2x +2+x 2x +1的最小值是14.(得结论)▲模板构建拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:跟踪集训6.(2018江苏盐城中学高三考前热身)已知正实数a,b 满足1x +x +1x -x=1,则3a+2b 的最小值为 .模板七不等式恒成立问题典型例题例7 已知x>0,y>0,且2x +1x =1,若x+2y-(m 2+2m)>0恒成立,则实数m 的取值范围为 .答案 (-4,2)解析记t=x+2y,由原不等式恒成立可得m 2+2m<t min .(分离参数)因为2x +1x =1,所以t=x+2y=(x+2y)(2x +1x )=4+4x x +xx .而x>0,y>0,所以4x x +xx ≥2√4xx ·xx =4当且仅当4x x =xx,即x=2y 时等号成立. 所以t=4+4x x +xx≥4+4=8,即t min =8.(求最值)故m 2+2m<8,即(m-2)(m+4)<0,(建关系) 解得-4<m<2.(求范围)所以实数m 的取值范围为(-4,2).▲模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:跟踪集训 7.若g(x)=2x -2-x2,h(x)=2x +2-x2,不等式2ag(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则实数a 的取值范围是 . 模板八线性规划问题典型例题例8 设变量x,y 满足约束条件{x -x +2≥0,x -5x +10≤0,x +x -8≤0,则目标函数z=3x-4y 的最大值为 .答案 3解析如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),当直线z=3x-4y 在x 轴上的截距取最大值时,目标函数z 取得最大值. 由图可知,当直线z=3x-4y 经过点C 时,z 取最大值,由{x -5x +10=0,x +x -8=0,解得{x =5,x =3,即C(5,3),故目标函数z 的最大值z max =3×5-4×3=3.▲模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合.其基本的解题步骤如下:跟踪集训8.(2018江苏盐城时杨中学月考)若变量x,y 满足约束条件{x ≤x ,x +x ≤1x ≥-1,,且z=2x+y 的最大值和最小值分别为m 和n,则m-n= . 模板九数列的通项与求和典型例题例9 已知数列{1x x}是等差数列,且a 3=18,a 2=4a 7.(1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =a n a n+1(n∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1){1x x}为等差数列,设其公差为d,由已知得,1x 3=8,1x 2=14x 7,(找关系)即1x 1+2d=8,1x 1+d=14(1x 1+6d ),解得1x 1=2,d=3,于是1x x=2+3(n-1),整理得a n =13x -1.(求通项)(2)由(1)知a n =13x -1,故b n =a n a n+1=1(3x -1)(3x +2)=13(13x -1-13x +2),(求通项) 所以S n =13(12-15+15-18+…+13x -1-13x +2)(定方法) =13(12-13x +2)=x2(3x +2).(求结论)▲模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:跟踪集训9.(2018江苏泰州期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2=2,S 5=15.等比数列{b n }满足b 2=4,b 5=32.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .模板十空间中的平行与垂直典型例题例10 如图,平面ABB1A1为圆柱的轴截面,O1、O分别为上、下底面圆的圆心,点C为底面圆周上异于A,B的任意一点.(1)求证:BC⊥平面A1AC;(2)若D为AC的中点,求证:A1D∥平面O1BC.证明(1)因为AB为☉O的直径,点C为☉O上异于A,B的任意一点,所以BC⊥AC.(巧转化)又在圆柱中,AA1⊥底面☉O,所以AA1⊥BC,而AA1∩AC=A,(用定理)所以BC⊥平面A1AC.(得结论)(2)如图,取BC的中点E,连接DE,O1E.因为D为AC的中点,AB.(巧转化)所以在△ABC中,DE∥AB,且DE=12又在圆柱中,A 1O 1∥AB,且A 1O 1=12AB,所以DE∥A 1O 1,且DE=A 1O 1,所以四边形A 1DEO 1为平行四边形,所以A 1D∥O 1E.又A 1D ⊄平面O 1BC,EO 1⊂平面O 1BC,(用定理) 所以A 1D∥平面O 1BC.(得结论)▲模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下:跟踪集训10.(2018江苏盐城中学模拟)在如图所示的多面体中,AE⊥底面BEFC,AD∥EF∥BC,BE=AD=EF=12BC,G 是BC的中点.求证:(1)AB∥平面DEG; (2)EG⊥平面BDF.模板十一直线与圆典型例题例11 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的半径为1,圆心在直线l:y=2x-4上.存在直线,使其交圆C 的弦长总为√3,则该直线的方程为 .答案 y=2x-4-√52或y=2x-4+√52. 解析显然,所求直线的斜率存在.设所求直线的方程为y=kx+b,圆心C(m,2m-4), 由已知得,所以圆心C 到所求直线的距离总为12,则√=12对任意的m 恒成立,(求距离)即|(k-2)m+4+b|=12√x 2+1对任意的m 恒成立,∴{x -2=0,|4+x |=12√x 2+1,∴{x =2,x =-4±√52,(恒成立) ∴所求直线的方程为y=2x-4-√52或y=2x-4+√52.(得结论)▲模板构建几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法,其基本步骤如下:跟踪集训11.(2018江苏联考)已知点A(-3,0),B(-1,-2),若圆(x-2)2+y 2=r 2(r>0)上恰有两点M,N,使得△MAB 和△NAB 的面积均为4,则r 的取值范围是 .模板十二圆锥曲线中的最值与范围问题典型例题例12 平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的离心率为√32,且点(√3,12)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆E:x 24x 2+x 24x 2=1,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q.①求|xx ||xx |的值;②求△ABQ 面积的最大值.解析 (1)将(√3,12)代入椭圆方程,有3x 2+14x 2=1,又e=x x =√x 2-x 2x =√32,解得a 2=4,b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216+x 24=1.①设P(x 0,y 0),|xx ||xx |=λ(λ>0),由题意知Q(-λx 0,-λy 0). 因为x 024+x 02=1,(-xx 0)216+(-xx 0)24=1,即x 24(x 024+x 02)=1,所以λ=2或λ=-2(舍去),即|xx ||xx |=2. ②设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),(设点)将y=kx+m 代入椭圆E 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0,(联立方程) 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2,(a) 又x 1+x 2=-8xx1+4x 2,x 1x 2=4x 2-161+4x 2, 所以|x 1-x 2|=4√16x 2+4-x 21+4x 2.因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB 的面积S=12|m|·|x 1-x 2|=2|x |√16x 2+4-x 21+4x 2=2√(16x 2+4-x 2)x 21+4x 2=2√(4-x 21+4x 2)x 21+4x 2.设x 21+4x 2=t.(设出参数)将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2.(b)由(a)(b)可知0<t≤1,S=2√(4-x)x=2√-x2+4t,(目标函数)故S≤2√3,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时,S取最大值2√3.由①知△ABQ的面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为6√3.(得出结论)▲模板构建与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素较多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相交,Δ>0等).解题步骤如下:跟踪集训12.(2018江苏南通模拟)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的离心率为√32,短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A、B是椭圆C上的任意两点,O是坐标原点,且OA垂直OB.①求证:存在一个定圆,使得直线AB始终为该定圆的切线,并求出该定圆的方程;②求△AOB面积的最大值.模板十三圆锥曲线中的探索性问题典型例题例13 在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)在y 轴上是否存在点P,使得当k 变化时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 解析 (1)由题设可得M(2√x ,a),N(-2√x ,a)或M(-2√x ,a),N(2√x ,a). 对于y=x 24,因为y'=12x,所以y=x 24在x=2√x 处的导数值为√x ,在x=-2√x 处的导数值为-√x ,所以曲线C 在(2√x ,a)处的切线方程为y-a=√x (x-2√x ),即√x x-y-a=0,在(-2√x ,a)处的切线方程为y-a=-√x (x+2√x ),即√x x+y+a=0.故所求切线方程为√x x-y-a=0和√x x+y+a=0. (2)假设存在符合题意的点P(0,b),(假设存在) 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线PM,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入曲线C 的方程,整理得x 2-4kx-4a=0,(联立方程) 所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4a, 所以k 1+k 2=x 1-b x 1+x 2-b x 2=2xx 1x 2+(a -b)(x 1+x 2)x 1x 2=x (x +x )x . 当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以存在点P(0,-a)符合题意.(得出结论)▲模板构建圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点如下:跟踪集训13.(2018江苏兴化一中模拟)椭圆M:x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的离心率为√32,点P(0,2)关于直线y=-x 的对称点在椭圆M 上.(1)求椭圆M 的方程;(2)如图,椭圆M 的上、下顶点分别为A 、B,过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C,D.①求xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围;②当AD 与BC 相交于点Q 时,试问:点Q 的纵坐标是不是定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.模板十四应用性问题典型例题例14 (2018江苏淮阴中学阶段检测)如图所示,江苏省淮阴中学有一块矩形空地ABCD,其中AB=10米,BC=10√3米,计划在此矩形空地区域内为学生建灯光运动场,△BEF 区域内安装一批照明灯(E,F 点在线段AC 上),且∠EBF=30°,△BEF 外其余区域建运动场. (1)若E 在距离A 点4米处,求点E,F 之间的距离;(2)为了使运动场地区域最大化,要求△BEF 面积应尽可能地小,记∠ABE=θ,请用θ表示△BEF 的面积S(θ),当S(θ)最小时,求θ的值.解析 (1)由题意得∠BAC=60°,∠ACB=30°,AC=20米. ∵∠BFE=∠BCF+∠CBF=30°+∠CBF,∠ABE=∠ABC -∠EBF -∠CBF=90°-30°-∠CBF, ∴∠BFE+∠ABE=90°.△ABE 中,由余弦定理得BE=2√19米. cos∠ABE=4√1919,△BEF 中,xxsin30°=xxsin∠xxx =xxcos∠xxx , ∴EF=xx 2cos∠xxx =194米.(2)△ABE 中,xxsin60°=xxsin[180°-(x +60°)]=10sin(x +60°),则BE=5√3sin(x +60°).△BCF 中,xxsin30°=xx sin(60°+x +30°)=10√3sin(x +90°),则BF=5√3cos x米. ∴S(θ)=12BE·BFsin30°=754cos x sin(x +60°)=√3+2sin(2x +60°).∵θ∈(0°,60°),∴当2θ+60°=90°,即θ=15°时,S(θ)最小. 答:当θ=15°时,三角形BEF 的面积最小. ▲模板构建跟踪集训14.(2018江苏兴化一中模拟)某公司拟购买一块地皮建休闲公园,如图,从公园入口A 沿AB,AC 方向修建两条小路,休息亭P 与入口的距离为3√2a 米(其中a 为正常数),过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带,步行带交两条小路于E 、F 处,已知∠BAP=45°,tan∠CAB=125. (1)设AE=x 米,AF=y 米,求y 关于x 的函数关系式及定义域; (2)试确定E,F 的位置,使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低.模板十五求空间角(理科专用) 典型例题例15 (2018江苏徐州铜山中学期中)如图,在三棱锥A-BOC 中,AO,OB,OC 两两互相垂直,点D,E 分别为棱BC,AC 的中点,F 在棱AO 上,且满足OF=14OA,已知OA=OC=4,OB=2.(1)求异面直线AD 与OC 所成角的余弦值; (2)求二面角C-EF-D 的正弦值.解析 (1)如图,以O 为原点,分别以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得:O(0,0,0),A(0,0,4),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),E(0,2,2),F(0,0,1), 所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-4),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0), 所以cos<xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√21=2√2121. 因此异面直线AD 与OC 所成角的余弦值为2√2121.(2)平面AOC 的一个法向量为xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0). 设m=(x,y,z)为平面DEF 的一个法向量, 又xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,-1),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2), 则{x ·EF⃗⃗⃗⃗ =0,x ·DE ⃗⃗⃗⃗ =0,即{2x +x =0,x -2x =0. 不妨取z=2,则x=4,y=-1,所以m=(4,-1,2)为平面DEF 的一个法向量,从而cos<xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m>=OB⃗⃗⃗⃗ ·x |OB⃗⃗⃗⃗ ||x |=2×√21=4√2121, 设二面角C-EF-D 的大小为θ,则|cosθ|=4√2121.因为θ∈[0,π],所以sinθ=√1-cos 2θ=√10521. 因此二面角C-EF-D 的正弦值为√10521. ▲模板构建空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:跟踪集训15.(2018南京、盐城一模)如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形,AC 与BD 交于点O,OP⊥底面ABCD,点M 为PC 的中点,AC=4,BD=2,OP=4. (1)求直线AP 与BM 所成角的余弦值;(2)求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值.模板十六离散型随机变量典型例题例16 现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.解析 (1)设事件A 为“张同学至少取到1道乙类题”, 则事件x 为“张同学所取3道题都是甲类题”.(定性) 因为P(x )=C 63C 103=16,(定型)所以P(A)=1-P(x )=56.(求值)(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3.(定元) P(X=0)=C 22×(25)2×15=4125,P(X=1)=C 21×35×25×15+C 22×(25)2×45=28125, P(X=2)=C 22×(35)2×15+C 21×35×25×45=57125,P(X=3)=C 22×(35)2×45=36125.(定型) 故X 的分布列为X 0123P4125 28125 57125 36125所以E(X)=0×4125+1×28125+2×57125+3×36125=2.(求值)▲模板构建公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:跟踪集训16.盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).答案精解精析模板一函数性质的应用跟踪集训 1.答案 -4解析奇函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,则最小正周期是8,则f(6)=f(-2)=-f(2)=-4.模板二函数的零点跟踪集训 2.答案 5解析函数f(x)在(0,+∞)上递增,且f(5)=lg5-32<0,f(6)=lg6>0,所以函数零点在区间(5,6)上,则n=5.模板三三角函数的性质跟踪集训3.解析 (1)因为f(x)=2√3asinxcosx+asin 2x-acos 2x+b =√3asin2x-acos2x+b =2asin (2x -π6)+b.又a>0,所以函数f(x)的单调增区间为[-π6+kπ,π3+kπ],k∈Z.(2)当x∈[-π4,π4]时,2x-π6∈[-2π3,π3],2sin (2x -π6)∈[-2,√3], 则当a>0时,函数f(x)的最大值为√3a+b,最小值为-2a+b. 所以{√3a +b =3,-2x +x =1-√3,解得a=1,b=3-√3.当a<0时,函数f(x)的最大值为-2a+b,最小值为√3a+b. 所以{√3a +b =1-√3,-2x +x =3,解得a=-1,b=1.综上,a=1,b=3-√3或a=-1,b=1.模板四解三角形跟踪集训4.解析 (1)在△ABC 中,根据余弦定理及a 2=b 2+c 2-bc 得,cosA=x 2+x 2-x 22xx =12. 因为A∈(0,π),所以A=π3. 在△ABC 中,由正弦定理x sin x =xsin x 得 sinB=xxsinA=√15×√32=√55.(2)因为a=√152b>b,所以A>B,即0<B<π3.又sinB=√55,所以cosB=√1-sin 2B =2√55.在△ABC 中,A+B+C=π,所以cos (x +π12)=cos (π-x -x +π12)=-cos (x +π4) =-(cos x cos π4-sin x sin π4)=-(2√55×√22-√55×√22)=-√1010. 模板五利用函数性质解不等式跟踪集训5.答案 {x|x<-1或0<x<1} 解析令g(x)=x (x )x ,则当x>0时,g'(x)=xx '(x )-x (x )x 2<0,则g(x)在x∈(0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是奇函数,则g(-x)=x (-x )-x =x (x )x=g(x),则g(x)是偶函数,g(-1)=x (-1)-1=0=g(1),f(x)>0⇔xg(x)>0⇔{x >0,x (x )>0或{x <0,x (x )<0,解得0<x<1或x<-1.模板六基本不等式的应用跟踪集训 6.答案 3+√5解析令a+b=x,a-b=y,则1x +1x =1,1x =x -1x>0,x>0,则x>1,y>0,a=x +x 2,b=x -x 2,3a+2b=3x +3x2+x-y=5x +x 2=12(5x+y)·(1x +1x )=12(6+x x +5xx)≥3+12×2√x x ·5xx=3+√5,当且仅当x x =5xx ,y=√5x 时,取等号,故3a+2b 的最小值为3+√5.模板七不等式恒成立问题跟踪集训 7.答案 a≥-1712解析 2ag(x)+h(2x)≥0,即2a·2x -2-x 2+22x +2-2x2≥0,2a·(2x-2-x)+22x+2-2x≥0,令2x-2-x=t,t∈[32,154],则22x+2-2x=t 2+2, 2at+t 2+2≥0,t 2+2≥-2at,-2a≤(x +2x )min,y=t+2xt,∈[32,154]递增,t=32时,y min =176,则-2a≤176,解得a≥-1712.模板八线性规划问题跟踪集训 8.答案 6解析画出可行域如图所示,由z=2x+y 得y=-2x+z.当直线y=-2x+z 经过点A(-1,-1)时,z 取得最小值n=-3; 当直线y=-2x+z 经过点C(2,-1)时,z 取得最大值m=3. ∴m -n=6.模板九数列的通项与求和跟踪集训9.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,因为满足a 2=2,S 5=15, 所以{x 1+d =2,5x 1+5×42d =15,解得{x 1=1,x =1,所以a n =1+(n-1)·1=n,因为等比数列{b n }满足b 2=4,b 5=32,设其公比为q,则{x 1q =4,x 1x 4=32,解得{x 1=2,x =2,所以数列{b n }的通项公式为b n =b 1q n-1=2n.(2)由(1)知:a n b n =n·2n ,所以T n =1×2+2×22+…+n×2n,①所以2T n =1×22+2×23+…+n×2n+1,② 由②-①得T n =-(2+22+23+ (2))+n·2n+1=-2(1-2x )1-2+n·2n+1,故T n =(n-1)2n+1+2.模板十空间中的平行与垂直跟踪集训10.证明 (1)∵BC=2AD,G 是BC 的中点,∴AD=BG,又∵AD∥BC,∴四边形ADGB 是平行四边形,∴AB∥DG. ∵AB ⊄平面DEG,DG ⊂平面DEG,∴AB∥平面DEG. (2)易知四边形ADFE 是矩形,连接GF,∵DF∥AE,AE⊥底面BEFC,∴DF⊥平面BCFE,EG ⊂平面BCFE,∴DF⊥EG. ∵EF∥BG,EF=BG,且EF=BE,∴四边形BGFE 为菱形,∴BF⊥EG, 又BF∩DF=F,BF ⊂平面BFD,DF ⊂平面BFD,∴EG⊥平面BDF.模板十一直线与圆跟踪集训 11.答案 (√22,9√22)解析由题意可得|AB|=√(-1+3)2+(-2-0)2=2√2,根据△MAB 和△NAB 的面积均为4,可得两点M,N 到直线AB 的距离为2√2. 由于直线AB 的方程为x -0-2-0=x +3-1+3,即x+y+3=0.若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2√2, 则圆心(2,0)到直线AB 的距离为√2=r+2√2,解得r=√22;若圆上只有3个点到直线AB 的距离为2√2, 则圆心(2,0)到直线AB 的距离为√2=r-2√2,解得r=9√22.综上,r 的取值范围是(√22,9√22).模板十二圆锥曲线中的最值与范围问题跟踪集训12.解析 (1)设椭圆的半焦距为c,由题意得x x =√32,且a=2,得c=√3,b=1,∴所求椭圆方程为x 24+y 2=1.(2)①证明:当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为x=±2√55,原点O 到直线AB 的距离为2√55.当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由{x 24+x 2=1,x =xx +x ,得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, Δ=16(1+4k 2-m 2)>0, x 1+x 2=-8xx1+4x 2,x 1x 2=4x 2-41+4x 2, 由xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=5x 2-4-4x 21+4x 2=0,得m 2=45(1+k 2),∴原点O 到直线AB 的距离d=√2=√4(1+x 2)√2=2√55.综上所述,原点O 到直线AB 的距离为2√55,即该定圆方程为x 2+y 2=45.②当直线AB 的斜率不存在时,AB=4√55,当直线AB 的斜率存在时,|AB|=√1+x 2|x 1-x 2|=√51+9x 216x 4+8x 2+1,当k≠0时,|AB|=√51+916x 2+1x 2+8≤√5,当且仅当k=±12时等号成立. 当k=0时,|AB|=4√55,∴|AB|的最大值为√5.由①知,点O 到直线AB 的距离为2√55,∴S △AOB 的最大值为12×√5×2√55=1.模板十三圆锥曲线中的探索性问题跟踪集训13.解析 (1)因为点P(0,2)关于直线y=-x 的对称点为(-2,0),且(-2,0)在椭圆M 上,所以a=2.又e=√32,故c=√3,则b 2=a 2-c 2=4-3=1.所以椭圆M 的方程为x 24+y 2=1.(2)①当直线l 的斜率不存在时,C(0,1),D(0,-1),所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+2,C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),{x =xx +2,x 24+x 2=1,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+16kx+12=0,由Δ>0,可得4k 2>3,且x 1+x 2=-16x 1+4x 2,x 1x 2=121+4x 2,所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=-1+171+4x 2,所以-1<xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <134, 综上,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-1,134). ②是. 由题意得,AD:y=x 2-1x 2x+1, BC:y=x 1+1x 1x-1, 联立方程组,消去x 得y=2xx 1x 2+x 1+3x 23x 2-x 1,又4kx 1x 2=-3(x 1+x 2),解得y=12, 故点Q 的纵坐标为定值12.模板十四应用性问题跟踪集训14.解析 (1)解法一:由tan∠CAB=125得sin∠CAB=1213,cos∠CAB=513,且sin∠FAP=sin(∠CAB -∠PAE)=sin(∠CAB -45°)=7√226. 由题可知S △AEF =S △AEP +S △AFP ,所以12AE·AF·sin∠CAB=12AE·AP·sin∠PAE+12AP·AF·sin∠FAP,得12xy·1213=12x·3√2a·√22+12·y·3√2a·7√226, 即1213xy=3ax+2113ay, 所以y=13xx4x -7x .由{x >0,x =13xx 4x -7x >0得定义域为(7x4,+∞). 解法二:由tan∠CAB=125,得sin∠CAB=1213,cos∠CAB=513,sin∠FAP=sin(∠FAE -∠PAE)=sin(∠FAE -45°)=7√226.设∠FPA=θ,△APF 中,由正弦定理得xx sin∠xxx =xx sin∠xxx =xxsin∠xxx , 所以PF=7√226y sin x,sin∠AFE=3√2asin xx.同理可得PE=√22x sin x ,FE=1213xy 3√2asin x.由PF+PE=FE, 即7√226y sin x +√22x sin x =1213xy 3√2asin x,整理得y=13xx4x -7x , 由{x >0,x =13xx 4x -7x >0,得定义域为(7x4,+∞).解法三:以AB 所在直线为x 轴,点A 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则E(x,0),P(3a,3a),由tan∠CAB=125,得sin∠CAB=1213,cos∠CAB=513,所以F (513y,1213y ),因为xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以(513y -3a )(-3a)=(1213y -3a )(x-3a),所以y=13xx4x -7x ,由{x >0,x =13xx 4x -7x >0得定义域为(7x 4,+∞).(2)设三条路围成地皮购价为y 元,地皮购价为k 元/平方米,则y=k·S △AEF (k 为正常数), 所以要使y 最小,只要使S △AEF 最小即可.由题可知S △AEF =12AE·AF·sin∠CAB=12xy·1213=613xy=613x·13xx4x -7x =6xx 24x -7x ,定义域为(7x 4,+∞).令t=4x-7a>0, 则S △AEF =6x (x +7x 4)2x=3x8·x 2+14at +49x 2x=3x 8(x +49x 2x +14a )≥3x 8(2√x ·49x 2x+14a )=212a 2.当且仅当t=7a,即x=7x 2时取等号,所以,当x=7x 2时,S △AEF 最小,所以y 最小.答:当点E 距离A 点7x 2米时,三条路围成地皮购价最低.模板十五求空间角(理科专用)跟踪集训15.解析 (1)因为四边形ABCD 是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,所以以O 为原点,直线OA,OB,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(-2,0,0),M(-1,0,2). 所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,4),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2), 所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10, |xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6. 则cos<xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5×√6=√306. 故直线AP 与BM 所成角的余弦值为√306.(2)xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2). 设平面ABM 的一个法向量为n=(x,y,z), 则{x ·AB⃗⃗⃗⃗ =0,x ·BM⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x +x =0,-x -x +2x =0.令x=2,则y=4,z=3.所以平面ABM 的一个法向量为n=(2,4,3).又平面PAC 的一个法向量为xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),所以n·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4,|n|=√29,|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 则cos<n,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=x ·OB ⃗⃗⃗⃗ |x ||OB ⃗⃗⃗⃗ |=√29=4√2929. 故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为4√2929.模板十六离散型随机变量跟踪集训16.解析 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球, 所以P=C 42+C 32+C 22C 92=6+3+136=518.(2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)=C 44C 94=1126.{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)=C 43C 51+C 33C 61C 94=20+6126=1363.于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-1363-1126=1114.所以随机变量X 的概率分布如下表:X 2 3 4 P111413631126因此随机变量X 的数学期望 E(X)=2×1114+3×1363+4×1126=209.。

高考理科数学二轮复习：专题透析(5)概率与统计名师讲义(含答案)

5概率与一、数原理1.分加法数原理和分步乘法数原理的区是什么?分加法数原理“分” ,此中各样方法互相独立 ,用此中任何一种方法都能够做完件事 ;分步乘法数原理“分步” ,各个步互相依存 ,只有各个步都达成了才算达成件事 .2.摆列数、合数的公式及性是什么?(1)=n(n-1)(n-2) ⋯(n-m+1)=公(2)= =式=(n,m∈N+ ,且 m≤n)特地 , =1性(1)0!= 1; =n!(2) =;=+3.二式系数的性是什么?性性描绘称与首末两头“等距离”的两个二式系数相等 ,即 =性增减二式系当 k<(n∈N+ ) ,二式系数是增的性数(n∈N+ ) ,二式系数是减的当 k>二式当 n 偶数 ,中的一获得最大系数的最大当 n 奇数 ,中的两与获得最大而且相等4.各二式系数的和是什么?(1)(a+b )n睁开式的各二式系数的和+ + + ⋯+= 2n.(2)偶数的二式系数的和等于奇数的二式系数的和,即+ + + ⋯= + ++ ⋯= 2n- 1.二、概率1.互斥事件与立事件有什么区与系?互斥与立都是两个事件的关系,互斥事件是不行能同生的两个事件,而立事件除要求两个事件不一样生外 ,要求两者之一必有一个生 .所以 ,立事件是互斥事件的特别状况 ,而互斥事件不必定是立事件 .2.基本领件的三个特色是什么?(1)每一个基本领件生的可能性都是相等的;(2)任何两个基本领件都是互斥的;(3)任何事件 (除不行能事件 )都能够表示成基本领件的和.3.古典概型、几何概型的概率公式分是什么?古典概型的概率公式 :P(A)=.几何概型的概率公式 :P(A)=.三、统计初步与统计事例1.分层抽样的合用范围是什么?当整体是由差别明显的几个部分构成时,常常采纳分层抽样的方法.2.怎样作频次分布直方图?(1)求极差 (即一组数据中最大值与最小值的差).(2)决定组距与组数 .(3)将数据分组 .(4)列频次分布表 .(5)画频次分布直方图 .3.频次分布直方图的特色是什么?(1)频次分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示,频率=组距×.(2)在频次分布直方图中 ,各小长方形的面积总和等于 1.由于在频次分布直方图中组距是一个固定值 ,所以各小长方形高的比也就是频次比 .(3)频次分布表和频次分布直方图是一组数据频次分布的两种形式,前者正确 ,后者直观 .4.怎样进行回归剖析 ?(1)定义 :对拥有有关关系的两个变量进行统计剖析的一种常用方法.(2)本点的中心于一拥有性有关关系的数据 (x1,y1),(x2,y2), ⋯ ,(x n,y n),此中 ( , )称本点的中心 .(3)有关系数当r> 0 ,表示两个量正有关; 当r< 0 ,表示两个量有关 .r 的越靠近于 1,表示两个量的性有关性越 .r 的越靠近于 0,表示两个量之的性有关性越弱 .往常当 |r|大于 0.75 ,两个量有很的性有关性.5.独立性的一般步是什么?解决独立性的用,必定要依照独立性的步得出.独立性的一般步 :(1)依据本数据制成2×2 列表 ;(2)依据公式 K2=算K2的k;(3)比 k 与界的大小关系 ,做出推测 .四、随机量及其用1.失散型随机量的分布列及性是什么?(1)失散型随机量的分布列:若失散型随机量X 全部可能的取x1,x2, ⋯,x i⋯,x n,X 取每一个 x i(i= 1,2, ⋯,n)的概率 p1,p2, ⋯,p n,表X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n称失散型随机量X 的概率分布列或称失散型随机量X 的分布列.(2)失散型随机量的分布列的性:①0≤p≤1(i= 1,2,3,⋯,i n);②p1+p2+ ⋯+p n= 1;③P(x i≤X≤x j)=p i+p i+ 1+ ⋯+p j .2.事件的互相独立性的观点及公式是什么?(1)互相独立的定 :事件 A 能否生事件 B 能否生的概率没有影响,即 P(B|A)=P (B). ,称事件 A 与事件 B 互相独立 ,并把两个事件叫作互相独立事件 .(2)概率公式条件事件 A,B 互相独立事件 A⋯,1,A2, A n互相独立公式P(A∩B)=P (A) ·P(B) P(A1∩A2∩⋯∩A n) =P (A1) ·P(A2) ·⋯·P(A n)3.独立重复与二分布的观点和公式是什么?(1)独立重复①定 :在同样条件下 ,重复地做n 次 ,各次互相独立 ,那么一般就称它 n 次独立重复 .②概率公式 :在一次中事件 A 生的概率p, n 次独立重复中,事件 A 恰巧生 k 次的概率 P k n-k⋯,n(k)=p (1-p)(k=0,1,2,n).(2)二分布 :在 n 次独立重复中 ,事件 A 生的次数 X,事件 A 不生的概率 q= 1-p, n 次独立重复中事件 A 恰巧生 k 次的概率是P(X=k)= p k q n-k,此中 k=0,1,2,⋯,n于是 X 的分布列 :X 0 1 ⋯k ⋯np0pq p k q n p n qP⋯⋯q n n-1-k0此称失散型随机量X 听从参数 n,p 的二分布 ,作 X~B(n,p).4.正分布的观点及性是什么?(1)正曲 :正量的概率密度函数的象叫作正曲,其函数表达式 f(x)=·,x∈R,此中μ,σ 参数 ,且σ>0,-∞<μ<+∞.(2)正曲的性①曲位于 x 上方 ,与 x 不订交 ,与 x 之的面1;②曲是峰的 ,它对于直 x=μ 称 ;③曲在 x=μ 达到峰;④当μ必定 ,曲的形状由σ确立 ,σ越小 ,曲越“瘦高”,表示体的分布越集中 ;σ越大 ,曲越“矮胖”,表示体的分布越分别 .(3)正体在三个特别区内取的概率①P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.6826;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.9544;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.9974.5.失散型随机量的数学希望(或均 )与方差的观点是什么 ?一个失散型随机量X 全部可能取的是x1,x2, ⋯,x n些的概率分是 p1,p2, ⋯,p n.(1)数学希望 :称 E(X)=x 1p1+x2p2+ ⋯+x n p n失散型随机量 X 的均或数学希望 (称希望 ),它刻画了个失散型随机量取的均匀水平 .(2)方差 :称 D(X)= (x1-E(X))2p1+ (x2-E(X))2p2+ ⋯+ (x n-E(X))2p n失散型随机量 X 的方差 ,它反应了失散型随机量取相于希望的均匀波大小(或失散程度 ),D(X)的算平方根叫作失散型随机量X 的准差 .6.均与方差的性有哪些?(1)E(aX+b)=aE (X)+b(a,b 常数 ).(2)D(aX+b )=a2D(X)(a,b 常数 ).(3)两点分布与二分布的均、方差的公式①若 X 听从两点分布 ,E(X)=p ,D(X)=p (1-p).②若 X~B(n,p), E(X)=np,D(X)=np(1-p).几何概型、古典概型、互相独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的点 ,几何概型主要以客形式考,求解的关在于找准度(度或面 );互相独立事件、互斥事件常作解答的一部分考,也是一步求分布列、希望与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,正确判断概率模型,恰当选择概率公式 .近几年的高考数学试题对统计事例的考察一般不独自命题 ,而是与概率、随机变量的数学希望交汇命题 ,高考对此类题目的要求是能依据给出的或经过统计图表给出的有关数据求线性回归方程,认识独立性查验的思想方法 ,会判断两个分类变量能否有关.从近几年高考情况来看,该类专题在高考取占的比率大概为15%,以简单题、中档题为主,考察题型分选择题、填空题和解答题 .一、选择题、填空题的命题特色(一)考察摆列、组合的应用 ,以考察两个计数原理和摆列、组合的应用为主,难度中等 ,常常以选择题、填空题的形式出现.1.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T15 改编 )从 2 名女生 ,4 名男生中选 3 人参加科技竞赛 ,恰有 1 名女生当选 ,则不一样的选法共有种.(用数字填写答案)分析 ?由题意可得有1名女生,2名男生,则有 C = 12 种不一样的选法 .答案?122.(2018 ·浙江卷·T16 改编 )从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字 ,从 2,4,6 中任取 2 个数字,一共能够构成个没有重复数字的四位数.(用数字作答 )分析 ?一共能够构成 A = 720 个没有重复数字的四位数.答案 ?7203.(2017 ·全国Ⅱ卷·理 T6 改编 )安排 5 名志愿者达成 4 项工作 ,每项工作只需由1 人达成 ,则不一样的安排方式共有 ().A.120 种B.180 种C.240 种D.360 种分析 ?由题意可得 ,5 人中选出 4 人达成工作 ,剩下 1 人没有工作 ,故不同的安排方式有 A = 120(种).答案 ?A(二)考察二项式定理的应用,以考察运用二项式定理求特定项、求项数和二项式定理性质的应用为主,难度中等 ,常常以选择题、填空题的形式出现.4.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T5 改编 )的睁开式中x的系数为().A.10B.20C.40D.80分析 ?由题可得 Tr+ 1C25-rC·r ·10-3r, (x ) 2 x令 10-3r= 1,得 r= 3.所以·2r=·32 =80.答案 ?D5.(2017 ·全国Ⅰ卷·理 T6 改编 )(1+x )6的睁开式中 x4的系数为 ().A.15B.16C.30D.35分析 ?由于 (1+x)6睁开式的通项为 T r 所以(1+x)6的展r+ 1C x ,开式中含 x4的项为 1C x4和C x6.由于+= 16,所以(1+x)6的睁开式中x4的系数为16.答案 ?B(三)考察随机事件的概率 ,以考察随机事件、互斥事件与对峙事件的概率为主 ,难度中等 ,常与事件的频次交汇考察.本节内容在高考取三种题型都有可能出现 ,随机事件的频次与概率题目常常以解答题的形式出现,互斥事件、对峙事件的观点及概率题目常常以选择、填空题的形式出现.6.(2018 ·全国Ⅲ卷·文 T5 改编 )若某集体中的成员只用现金支付的概率为0.25,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为().分析 ? 设事件 A 为“不用现金支付”,事件 B 为“既用现金支付也用非现金支付”,事件 C 为“只用现金支付”,则 P(A)= 1-P(B)-P(C)= 1-0.15-0.25= 0.6,故选 C.答案?C(四)考察古典概型 ,全国卷对古典概型每年都会考察 ,难度中等 ,主要考察实质背景的可能事件 ,往常与互斥事件、对峙事件一同考察 .在高考取独自命题时 ,往常以选择题、填空题形式出现 ,属于中低档题 .7.(2018 ·全国Ⅱ卷·理 T8 改编 )我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界当先的成就 .哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数能够表示为两个素数的和”,如30= 7+ 23.在不超出 30 的素数中 ,随机选用 2 个不一样的数 ,其和等于26 的概率是 ().A. B. C. D.分析 ?不超出30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选用 2 个不一样的数 ,共有 C= 45 种取法 .由于 3+ 23= 7+ 19= 26,所以随机选用2 个不一样的数 ,其和等于 26 的有 2 种取法 ,故所求概率为.答案?D8.(2018 ·江苏卷·T6 改编 )某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 ,现从中任选 2 名学生去参加活动 ,则恰巧选中 1 名男生和 1 名女生的概率为.分析 ?从5名学生中任选2 名学生 ,共有 C = 10 种选法 ,此中恰巧选中1 名男生和 1 名女生的选法有 C C= 6 种,所以所求概率为= .答案 ?(五)考察几何概型 ,难度较大 ,以理解几何概型的观点、概率公式为主,会求一些简单的几何概型的概率 ,常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考察 ,在高考取多以选择题、填空题的形式考察 ,难度中等 .9.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T10 改编 )折纸艺术是我国古代留下来可贵的民间艺术,拥有很高的审美价值和应用价值.以下图的是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形 ,而后在四个极点处罚别嵌入半径为正方形边长一半的扇形 .向图中随机投入一个质点 ,则质点落在暗影部分的概率 P1与质点落在正方形内圆形地区外面的概率P2的大小关系是 ().A.P1>P 2B.P1<P 2C.P1=P 2D.不可以确立分析 ?将正方形内圆形地区外面的四个角进行沿直角边重合组合,恰好获得的图形就是暗影部分图形,所以暗影部分地区的面积等于正方形内圆形地区外面的面积 ,故 P1=P 2.答案?C10.(2016 ·全国Ⅱ卷·文 T8 改编 )某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现 ,红灯连续时间为40 秒.若一名行人到达该路口碰到红灯,则起码需要等待 10 秒才出现绿灯的概率为().A. B. C. D.分析 ?起码需要等候10秒才出现绿灯的概率为= ,应选 A .答案?A(六)考察随机抽样 ,在抽样方法的考察中,系统抽样、分层抽样是考察的要点 ,题型主要以选择题和填空题为主,属于中低档题 .11.(2017 ·江苏卷·T3 改编 )某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不一样型号的产品,产量分别为 200、400、300、100 件,为查验产品的质量 ,现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取60 件进行查验 ,则应从甲种型号的产品中抽取件.分析 ?∵==,∴应从甲种型号的产品中抽取×200= 12(件 ).答案?12(七)用样本预计整体 ,主要考察均匀数、方差等的计算以及茎叶图、频次分布直方图的简单应用 .题型以选择题和填空题为主 ,出现解答题时常常与概率相联合 ,属于中档题 .12.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T3 改编 )某地域经过一年的新乡村建设,乡村的经济收入增添了一倍 ,实现翻番 .为更好地认识该地域乡村的经济收入变化状况,统计了该地域新乡村建设前后乡村的经济收入构成比率,获得以下饼图 :则以下选项中不正确的选项是().A.新乡村建设后 ,栽种收入增添B.新乡村建设后 ,其余收入增添了一倍以上C.新乡村建设后 ,养殖收入没有增添D.新乡村建设后 ,养殖收入与第三家产收入的总和超出了经济收入的一半分析 ? 由题干可知 ,乡村的经济收入增添了一倍 ,实现翻番 .为方即可设建设前后的经济收入分别为 100,200(单位省去 ).A 中,栽种收入前后分别为60,74,收入增添了 ,A 正确 ;B 中,其余收入前后分别为 4,10,增添了一倍以上 ,B 正确 ;C 中,养殖收入前后分别为 30,60,收入增添了一倍 ,C 错误 ;D 中,建设后 ,养殖收入与第三家产收入的总和为(30+ 28)×2= 116> 100,D 正确 .应选 C.答案?C13.(2017 ·全国Ⅲ卷·理 T3)某城市为认识旅客人数的变化规律 ,提升旅行服务质量 ,采集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月时期月招待旅客量 (单位 :万人)的数据 ,绘制了下边的折线图 .依据该折线图 ,以下结论错误的选项是 ().A.月招待旅客量逐月增添B.年招待旅客量逐年增添C.各年的月招待旅客量顶峰期大概在7,8 月D.各年 1 月至 6 月的月招待旅客量相对于7 月至 12 月,颠簸性更小 ,变化比较安稳分析 ? 对于选项 A, 由图易知 ,月招待旅客量每年 7,8 月份明显高于 12 月份 ,故 A 错误 ;对于选项 B,察看折线图的变化趋向可知 ,年招待旅客量逐年增添 ,故 B 正确 ;对于选项 C,D,由图可知明显正确 .答案?A(八)考察失散型随机变量分布列、超几何分布、条件概率、正态分布、数学希望与方差 ,求失散型随机变量的数学希望是全国卷高考要点考察的内容,在选择题、填空题中有时会出现.主要考察失散型随机变量的分布列、数学希望、正态分布等 .14.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T8 改编 )某集体中的每位成员使用挪动支付的概率都为 p,各成员的支付方式互相独立,设 X 为该集体的 10 位成员中使用挪动支付的人数 ,D(X)= 2.1,P(X= 4)<P (X= 6),则 p= ().分析 ? 由于 X~B(n,p),所以 D(X)=np(1-p)= 2.1,所以 p= 0.3 或 p=0.7.由于 P(X= 4)=p4(1-p)6<P (X= 6)=p6(1-p)4,所以 (1-p)2 2可得p> 0.5.故p=0.7.<p ,答案?A15.(2017 ·全国Ⅱ卷·理 T13 改编 )一批产品的二等品率为 0.08,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽到的二等品件数,则D(X)=.分析 ?有放回地抽取,是一个二项分布模型, 此中p=0.08,n=100,则D(X)=np(1-p)= 100×0.08×0.92= 7.36.答案 ?7.36二、解答题的命题特色概率与统计综合试题的题干阅读量大,简单造成考生在数学模型转变过程中失误,得分率不高 .这些试题主要考察古典概型,用样本预计整体,利用回归方程进行展望 ,独立性查验的应用 ,失散型随机变量的分布列和数学希望 ,正分布等 .概率、随机量的数学希望交命,高考此目的要求是能依据出的或通表出的有关数据求性回方程.1.(2018 ·全国Ⅱ卷·理 T18)下是某地域 2000 年至 2016 年境基施投y(位 :元)的折.了地域 2018 年的境基施投 ,成立了 y 与量 t 的两个性回模型 .依据2000 年至 2016 年的数据 (量 t 的挨次1,2, ⋯ ,17)成立模型①: =- 30.4+ 13.5t;依据 2010年至 2016 年的数据 (量t 的挨次 1,2, ⋯,7)成立模型②: = 99+ 17.5t.(1)分利用两个模型 ,求地域 2018 年的境基施投的.(2)你用哪个模型获得的更靠谱?并明原因 .分析 ? (1)利用模型①,从 2000 年开始算起 ,2018 年即 t= 19,所以地域2018 年的境基施投的=- 30.4+ 13.5×19= 226.1(元).利用模型②,从 2010 年开始算起 ,2018 年即 t= 9,所以地域 2018 年的境基施投的= 99+ 17.5×9= 256.5(元).(2)利用模型②获得的更靠谱 .原因以下 :(i) 从折能够看出 ,2000年至 2016 年的数据的点没有随机分布在直线 y=- 30.4+ 13.5t 上下 ,这说明利用 2000 年至 2016 年的数据成立的线性模型①不可以很好地描绘环境基础设备投资额的变化趋向.2010 年相对 2009 年的环境基础设备投资额有明显增添,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的邻近 ,这说明从 2010 年开始环境基础设备投资额的变化规律呈线性增添趋向,利用2010年至2016年的数据成立的线性模型= 99+ 17.5t能够,所以利用模型②较好地描绘2010年此后的环境基础设备投资额的变化趋向获得的展望值更靠谱.(ii)从计算结果看 ,相对于 2016 年的环境基础设备投资额 220 亿元 ,由模型①获得的展望值 226.1 亿元的增幅明显偏低 ,而利用模型②获得的展望值的增幅比较合理 ,说明利用模型②获得的展望值更靠谱 .2.(2018 ·全国Ⅰ卷,理 T20)某工厂的某种产品成箱包装 ,每箱 200 件,每一箱产品在交托用户以前要对产品作查验,如查验出不合格品,则改换为合格品 .查验时 ,先从这箱产品中任取 20 件作查验 ,再依据查验结果断定能否对余下的全部产品作查验 .设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p< 1),且各件产品能否为不合格品互相独立.(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p),求 f(p)的最大值点 p0.(2)现对一箱产品查验了20 件,结果恰有 2 件不合格品 ,以(1)中确立的 p0作为p 的值 .已知每件产品的查验花费为 2 元,如有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25 元的补偿花费 .(i)若不对该箱余下的产品作查验 ,这一箱产品的查验花费与补偿花费的和记为 X,求 E(X).(ii)以查验花费与补偿花费和的希望值为决议依照 ,能否该对这箱余下的全部产品作查验 ?分析 ? (1)由题意可知 ,独立重复试验切合二项分布 ,20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p)C p2(1-p)18= 190p2(1-p)18,对上式求导得 f'(p)= [190p2(1-p)18]'=190[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=190p(1-p)17[2(1-p)-18p]=380p(1-p)17(1-10p).当 f'(p)= 0 时,有 p(1-p)17由适当∈时(1-10p)= 0,0<p< 1,p,f'(p)> 0,f(p)单一递加 ;当 p∈时,f'(p)< 0,f(p)单一递减.故 f(p)max=f (p0)=f,即 p0= .(2)(i) 由题意 ,节余未作查验的产品有180件,此中 Y表示不合格品的件数 ,其听从二项分布Y~B.故 E(Y)= 180× = 18.又 X= 40+ 25Y,故 E(X)=E (40+ 25Y)= 40+ 25×18= 490(元).(ii)若对这箱余下的全部产品作查验 ,则需要的查验费为 200×2= 400(元).由于 E(X)= 490> 400,所以需要对这箱余下的全部产品作查验.3.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T18)某工厂为提升生产效率 ,睁开技术创新活动 ,提出了达成某项生产任务的两种新的生产方式 .为比较两种生产方式的效率,选用40 名工人 ,将他们随机分红两组 ,每组 20 人,第一组工人用第一种生产方式 , 第二组工人用第二种生产方式 .依据工人达成生产任务的工作时间 (单位 :min) 绘制了以下茎叶图 :(1)依据茎叶图判断哪一种生产方式的效率更高?并说明原因 .(2)求 40 名工人达成生产任务所需时间的中位数 m,并将达成生产任务所需时间超出 m 和不超出 m 的工人数填入下边的列联表 :不超出超出 mm第一种生产方式第二种生产方式(3)依据 (2)中的列联表 ,可否有 99%的掌握以为两种生产方式的效率有差别?附:K2=,P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828分析 ? (1)第二种生产方式的效率更高.原因以下 :(i)由茎叶图可知 ,用第一种生产方式的工人中 ,有 75%的工人达成生产任务所需时间起码 80 分钟 ,用第二种生产方式的工人中 ,有 75%的工人达成生产任务所需时间至多 79 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(ii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人达成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟 ,用第二种生产方式的工人达成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(iii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人达成生产任务均匀所需时间高于 80 分钟 ,用第二种生产方式的工人达成生产任务均匀所需时间低于80 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知 ,用第一种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多 ,对于茎 8 大概呈对称分布 ;用第二种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多 ,对于茎 7 大概呈对称分布 .又用两种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布的区间同样 ,故能够以为用第二种生产方式达成生产任务所需的时间比用第一种生产方式达成生产任务所需的时间更少 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(2)由茎叶图知 m== 80.列联表以下 :超出 m不超出第一种生产方m 155式第二种生产方515式(3)因 K2的 k== 10> 6.635,所以有 99%的掌握两种生方式的效率有差别.4.(2017 ·全国Ⅰ卷·理 T19)了控某种部件的一条生的生程,每日从生上随机抽取16 个部件 ,并量其尺寸 (位 :cm).依据期生 ,能够条生正常状下生的部件的尺寸听从正分布2N(μ,σ).(1) 假生状正常,X 表示一天内抽取的16 个部件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外的部件数,求P(X≥1)及X 的数学希望.(2)一天内抽部件中 ,假如出了尺寸在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的部件 ,就条生在一天的生程可能出了异样状况 ,需当日的生程行 .(i)明上述控生程方法的合理性 .(ii)下边是在一天内抽取的 16 个部件的尺寸 :9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95算得 =xi= 9.97,s==≈0 .212,此中 x i抽取的第 i 个部件的尺寸 ,i= 1,2,⋯,16.用本均匀数作μ的估 ,用本准差 s 作σ的估 ,利用估判断能否需当日的生程行?剔除 ( -3, + 3 )以外的数据 ,用剩下的数据估μ和σ(精准到 0.01).2附:若随机量Z服从正分布N(μ,σ),P(μ-3σ<Z<μ+3σ)= 0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.分析 ? (1)由题可知抽取的一个部件的尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)以内的概率为 0.9974,进而部件的尺寸落在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的概率为0.0026,故 X~B(16,0.0026).所以 P(X≥1)= 1-P(X= 0)= 1-0.997416≈1-0.9592=0.0408, X 的数学希望 E(X)= 16×0.0026= 0.0416.(2)(i) 假如生产状态正常 ,一个部件尺寸在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的概率只有0.0026,一天内抽取的16 个部件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外的部件的概率只有0.0408,发生的概率很小,所以一旦发生这种状况,就有原因以为这条生产线在这天的生产过程可能出现了异样状况,需对当日的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的 .(ii) 由 = 9.97,s≈0.212,得μ的预计值为 = 9.97,σ的预计值为 = 0.212,由样本数据能够看出有一个部件的尺寸在 ( -3 , + 3 )以外 ,所以需对当日的生产过程进行检查 .剔除( -3 , +3 )以外的数据9.22,剩下数据的均匀数为×(16×9.97-9.22)= 10.02,所以μ的预计值为 10.02.= 16×0.2122+ 16×9.972≈ 1591.134,剔除( -3 , +3 )以外的数据9.22,剩下数据的样本方差为×2-15×10.022) ≈0.008,所以σ的预计值为≈0.09.1.样本数据(1)众数、中位数及均匀数都是描绘一组数据集中趋向的量 ,均匀数是最重要的量 ,与每个样本数占有关 ,这是中位数、众数所不拥有的性质 .(2)标准差、方差描绘了一组数据环绕均匀数颠簸的大小.标准差、方差越大 ,数据的失散程度就越大.(3)茎叶图、频次分布表和频次分布直方图都是用图表直观描绘样本数据的分布规律的 .2.频次分布直方图(1)用样本预计整体是统计的基本思想,而利用频次分布表和频次分布直方图来预计整体则是用样本的频次分布去预计整体分布的两种主要方法 .频次分布表在数目表示上比较正确 ,频次分布直方图比较直观 .(2)频次分布表中的频数之和等于样本容量,各组中的频次之和等于1;在频次分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频次,所以全部小长方形的面积的和等于 1;均匀数是频次分布直方图各个小矩形的面积×底边中点的横坐标之和 .3.摆列与组合(1)①解决“在”与“不在”的有限制条件的摆列问题 ,既能够从元素下手 ,也能够从地点下手 ,原则是谁“特别”谁优先 .不论是从元素考虑仍是从地点考虑 , 都要贯彻究竟 ,不可以既考虑元素又考虑地点 .②解决相邻问题的方法是“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体和其余元素一同摆列,同时要注意捆绑元素的内部摆列 .③解决不相邻问题的方法是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的摆列,再将不相邻的元素插在前方元素摆列的空中间.④对于定序问题,可先不考虑次序限制,摆列后 ,再除以定序元素的全摆列.⑤若某些问题从正面考虑比较复杂 ,可从其反面下手 ,即采纳“间接法”.(2)组合问题的限制条件主要表此刻拿出元素中“含”或“不含”某些元素,或许“起码”或“最多”含有几个元素 :①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型.“含”,则先将这些元素拿出 ,再由此外元素补足 ; “不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选用 .②“起码”或“最多”含有几个元素的题型 .考虑逆向思想 ,用间接法办理 .(3)分组分派问题是摆列、组合问题的综合运用,解决这种问题的一个基本指导思想就是先分组后分派 .对于分组问题,有整体均分、部分均分和不平分三种 ,不论分红几组 ,都应注意只需有一些组中元素的个数相等 ,就存在均分现象 .4.随机变量的均值与方差一般计算步骤 :(1)理解 X 的意义 ,写出 X 的全部可能取的值 .(2)求 X 取各个值的概率 ,写出分布列 .(3)依据分布列,由均值的定义求出均值 E(X),进一步由公式D(X)=(x i -E(X))2p i=E(X2)-(E(X))2求出 D(X).(4)以特别分布 (两点分布、二项分布、超几何分布 )为背景的均值与方差。

【南方凤凰台】2022届高考数学(江苏专用)二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线 (理科)

第2讲圆锥曲线【自主学习】第2讲圆锥曲线(本讲对应同学用书第47~50页)自主学习回归教材1. (选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F 1(-2，0)，F 2(2，0)，且经过点P 53-22⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为 .【答案】210x +26y=1【解析】设椭圆方程为22x a +22yb =1，由题意得2222259144-4⎧+=⎪⎨⎪=⎩a b a b ，，解得a 2=10，b 2=6，所以所求方程为210x +26y =1.2. (选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为 .【答案】264x -236y =1或264y -236x =1【解析】由b =6，c a =54，结合a 2+b 2=c 2，解得a =8，c =10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x -236y =1或264y -236x =1.3. (选修2-1 P51例2改编)经过点P(-2，-4)的抛物线标准方程为 . 【答案】y 2=-8x 或x 2=-y【解析】由于点P(-2，-4)在第三象限，所以满足条件的抛物线方程有两种情形.y 2=-2p 1x 或x 2=-2p 2y ，分别代入点P 的坐标，解得p 1=4，p 2=12，所以抛物线的标准方程为y 2=-8x 或x 2=-y .4. (选修2-1 P57练习5改编)已知抛物线y 2=4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 . 【答案】2【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x =-1，点M 到焦点的距离为3，说明到准线的距离为3，所以点M 到y 轴的距离为2.5. (选修2-1 P58练习8改编)设P(x ，y )是椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)上一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，则PF 1·PF 2的最大值为 . 【答案】a 2【解析】由于PF 1·PF 2=PF 1·(2a -PF 1)=-P 21F +2a PF 1=-(PF 1-a )2+a 2，由于a -c ≤PF 1≤a +c ，所以当PF 1=a时，PF 1·PF 2有最大值a 2.【要点导学】要点导学各个击破求圆锥曲线的标准方程例1 (2021·扬州中学)在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上.【分析】(1) 利用直线与圆相切求出b 的值，然后利用离心率可求出a 的值，从而求出椭圆方程.(2) 解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1) 由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b =22=2.由于离心率e =ca =32，所以b a =21-⎛⎫ ⎪⎝⎭c a =12，所以a =22，所以椭圆C 的标准方程为28x +22y =1.(2) 由题意可设M ，N 两点的坐标分别为(x 0，y 0)，(-x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y =00-1y x x +1， ① 直线QN 的方程为y =00-2-y x x +2. ②设点T 的坐标为(x ，y ).联立①②解得x 0=2-3x y ，y 0=3-42-3y y .由于208x +202y =1，所以2182-3⎛⎫ ⎪⎝⎭x y +213-422-3⎛⎫ ⎪⎝⎭y y =1，整理得28x +2(3-4)2y =(2y -3)2，所以28x +292y -12y +8=4y 2-12y +9，即28x +22y =1，所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再依据条件建立关于a ，b 的方程组.假如焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题便利，也可把椭圆方程设为mx 2+ny 2=1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.变式已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知动点P 到定点2，0)的距离与点P 到定直线l ：x 222，求动点P 的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础学问，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1) 依题意，可设椭圆C 的方程为22x a +22y b =1(a >b >0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358=⎧⎨=+=+=⎩c a AF AF ，，解得24.=⎧⎨=⎩c a ，又a 2=b 2+c 2，所以b 2=12，故椭圆C 的方程为216x +212y =1.(2) 设点P(x ，y )22(-2)|-22|+x y x 22，整理，得24x +22y =1，所以动点P 的轨迹C'的方程为24x +22y =1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，从而利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，明显没有利用定义来得简洁.求离心率的值或范围例2 (2021·苏州调研)如图，A，B是椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆C的右准线. (例2)(1) 若椭圆C的离心率为12，直线l：x=4，求椭圆C的方程；(2) 设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于点Q，若直线PQ恰好经过原点，求椭圆C的离心率.【分析】(1) 依据离心率和准线公式列出方程组进行求解.(2) 若用斜率参数，设直线AM的方程为y=k(x+a)，然后解得M，P的坐标求解，则运算量较大；若用点参数，设点M的坐标，然后通过求得点P的坐标求解，则运算量较小，然后，通过A，M，P三点共线，求出点P的坐标，再利用相互垂直的直线的斜率之积为-1建立a，b，c的方程进行求解.【解答】(1) 由题意得2222124⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩caaca b c，，，23=⎧⎪⎨=⎪⎩ab，解得，所以椭圆C的方程为24x+23y=1.(2) 设M(x，y)，P2⎛⎫⎪⎝⎭ayc，.由A，M，P三点共线得+yx a=2+yaac，所以y0=2⎛⎫+⎪⎝⎭+ay acx a.由于点M在椭圆上，所以y2=2222(-)b a xa.又MP为直径，所以OP⊥BM，所以kOP·kBM=22()⎛⎫+⎪⎝⎭+acy aca x a·-yx a=222()(-)+y a ca x a=23()-+b a ca=223(-)()-+a c a ca=-1，所以c2+ac-a2=0.所以e2+e-1=0，又0<e<1，解得e=5-1.【点评】本题有两个地方值得留意.一是第(2)问简洁错误利用第(1)问得到的椭圆方程，第(2)问没有了第(1)问的条件，所以不行用第(1)问的结论.二是没有合理选择参数，造成运算错误.如“以MP为直径的圆交MB于点Q，若直线PQ恰好过原点”反映的数量关系即为kOP·kBM=-1，若写出圆的方程求解就繁琐了.变式1 (2021·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为.【答案】1 2(变式1)【解答】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2⎛⎫⎪⎝⎭Mayc，.由2ABk=kAM，得b a=2+Myaac，所以yM=b1⎛⎫+⎪⎝⎭ac.由1FBk=kFM，得bc=2-Myacc，所以yM=2-⎛⎫⎪⎝⎭b acc c.从而b1⎛⎫+⎪⎝⎭ac=2-⎛⎫⎪⎝⎭b acc c，整理得2e2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2021·泰州期末)若双曲线22xa-22yb=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解答】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b”，得b=2+a c，所以a2+22+⎛⎫⎪⎝⎭a c=c2，整理得3c2-2ac-5a2=0，所以3e2-2e-5=0，解得e=53.直线与圆锥曲线问题例3 (2021·南京调研)给定椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)，称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1).(1) 求实数a，b的值；(2) 若过点P(0，m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值.【分析】(1) 由两个条件可得出两个方程，进而可求出实数a，b的值.(2) 由题意设出直线l 的方程为y=kx+m，由直线与椭圆只有一个公共点可得关于k，m的一个方程，再由直线被圆所截得的弦长，又可得到关于k，m的一个方程，这样可以解出k，m的值.【解答】(1) 记椭圆C的半焦距为c.由题意得b=1，ca=3，a2=c2+b2，解得a=2，b=1.(2) 由(1)知，椭圆C的方程为24x+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5.明显直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，即kx-y+m=0.由于直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以方程组2214=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx mxy，(*)有且只有一组解.由(*)得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0，从而Δ=(8km )2-4(1+4k 2)(4m 2-4)=0，化简，得m 2=1+4k 2. ①由于直线l 被圆x 2+y 2=5所截得的弦长为22，所以圆心到直线l 的距离d =5-2=3.即2||1+m k =3. ② 由①②解得k 2=2，m 2=9. 由于m >0，所以m =3.变式 (2021·泰州二模)如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆E ：22x a +22y b =1(a >b >0)的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过B ，C 两点且分别与直线AB ，AC 垂直的直线相交于点D.已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455.(变式)(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 求证：点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； (3) 求△BCD面积的最大值.【解答】(1) 由题意得ca =253a c ，-c =55，解得a =3，c 5b 22-a c ，所以椭圆E 的标准方程为29x +24y =1.(2) 设B(x 0，y 0)，C(-x 0，y 0).明显直线AB ，AC ，BD ，CD 的斜率都存在，设为k 1，k 2，k 3，k 4，则k 1=003+y x ，k 2=00-3+y x ，k 3=-003+x y ，k 4=00-3x y ，所以直线BD ，CD 的方程为y =-003+x y ·(x -x 0)+y 0，y =00-3x y (x +x 0)+y 0，消去y ，得-003+x y (x -x 0)+y 0=00-3x y ·(x +x 0)+y 0，化简得x =3，所以点D 在定直线x =3上运动.(3) 由(2)得点D 的纵坐标为y D =00-3x y ·(3+x 0)+y 0=200-9x y +y 0. 又209x +204y =1，所以20x -9=-2094y ，则y D =2009-4y y +y 0=-54y 0，所以点D 到直线BC 的距离h =|y D -y 0|=005--4y y =94|y 0|.将y =y 0代入29x +24y =1，得x 201-4y 所以S △BCD =12BC·h=12201-4y 94|y 0| 20271-24y ·12|y 0|≤272·22001-442+y y =274，当且仅当1-204y =204y ，即y 02y 02时，△BCD面积取最大值为274.1. (2021·苏锡常镇宿一调)双曲线x2-22y=1的离心率为.【答案】3【解析】由标准方程可得a2=1，b2=2，所以c2=3，所以e=ca =3.2. (2021·苏锡常镇二调)已知双曲线22xa-22yb=1(a，b>0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为. 【答案】3x2-y2=1【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，故焦点到渐近线的距离为d=22||+bca b=|b|=1，即b2=1.又由于ca=2，故c2=a2+b2=4a2，所以a2=13，故所求双曲线的方程为3x2-y2=1.3. (2021·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系x O y中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，定点A(22，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM∶MN=.【答案】13【解析】方法一：由题意得F(0，1)，所以直线AF的方程为22x+1y=1，将它与抛物线的方程联立，解得2-2212.2⎧=⎧=⎪⎪⎨⎨==⎪⎩⎪⎩xxyy，，或依题意知交点在第一象限，故取M122⎛⎫⎪⎝⎭，.准线方程为y=-1，故易求得点N(42，-1)，所以由三角形相像性质得FMMN=11-21-(-1)2=13.(第3题)方法二：如图，设点M到准线的距离为MB，则依据条件得FMMB=1.又由于F(0，1)，所以直线FA的斜率为k=1-22=-24，从而sin∠ANB=218=13，即MBMN=13，所以FMMN=13.4. (2021·扬州期末)如图，A，B，C是椭圆M：22xa+22yb=1(a>b>0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC=2AC.(第4题)(1) 求椭圆M的离心率；(2) 若y轴被△ABC的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M的方程.【解答】(1) 由于BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB.又由于AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C 为直角的等腰直角三角形，则A(a ，0)，C -22⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，，B -22⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，，所以222⎛⎫ ⎪⎝⎭a a +22-2⎛⎫⎪⎝⎭a b =1，则a 2=3b 2，所以c 2=2b 2，e =63，所以椭圆M 的离心率为63.(2) △ABC的外接圆圆心为AB 的中点P 44⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，，半径为104a ，则△ABC的外接圆为2-4⎛⎫ ⎪⎝⎭a x +2-4⎛⎫ ⎪⎝⎭a y =58a 2.令x =0，得y =a 或y =-2a，所以a --2⎛⎫ ⎪⎝⎭a =9，解得a =6.所以所求椭圆M 的方程为236x +212y =1.【融会贯穿】完善提高融会贯穿典例如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知A ，B ，C 是椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)上不同的三点，且A32322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，B(-3，-3)，点C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上.(典例)(1) 求椭圆的标准方程； (2) 求点C 的坐标；(3) 设动点P(异于点A ，B ，C)在椭圆上，且直线PB ，PC 分别交直线OA 于点M ，N ，求证：OM ·ON 为定值，并求该定值.【思维引导】【规范解答】(1) 由已知，得222218912991⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩a b a b ，，解得2227272⎧=⎪⎨=⎪⎩a b ，，…………………………………………………………………………2分所以椭圆的标准方程为227x+2272y=1……………………………………………………3分(2) 设点C(m，n)(m<0，n<0)，则BC的中点为-3-322⎛⎫ ⎪⎝⎭m n，.由已知可得直线OA的方程为x-2y=0，从而m=2n-3. ①又由于点C在椭圆上，所以m2+2n2=27. ②由①②，解得n=3(舍去)或n=-1，从而m=-5 ……………………………………5分所以点C的坐标为(-5，-1)…………………………………………………………6分(3) 设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).由于P，B，M三点共线，所以11323++yy=33++yx，整理得y1=00003(-)-2-3y xx y………………8分由于P，C，N三点共线，所以22125++yy=15++yx，整理得y2=00005--23+y xx y……………10分由于点P在椭圆上，所以2x+22y=27，即2x=27-22y，从而y1y2=2200002200003(5-6)4-4-9++x y x yx y x y=200020003(3-627)2-418++y x yy x y=3×32=92，……………………………………………………………14分所以OM·ON=5y1y2=452，…………………………………………………………15分所以OM·ON为定值，且定值为452………………………………………………16分【精要点评】此题考查了椭圆的一些性质，结合了动点问题和向量，运用解析法可以解决这道题目，本身难度并不高，计算量也不是很大.论证椭圆性质问题往往接受如下的命题思路：由于椭圆可以由圆经过仿射变换得到，依据仿射变换前后长度比值不变原理，所以圆中的结论在椭圆中同样成立.如图，在圆O中，B，C为圆上的两个定点，BC中点为Q，直线QO交圆O于点A，且P(异于A，B，C)为圆O上的动点，BP，CP分别交直线QO于N，M两点. 依据△ONP∽△OPM，明显有OM·ON=OA2为定值.变式如图，已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)为椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)上的任意两点，直线PQ 与x轴交于点M，点R与点P关于x轴对称，直线QR与x轴交于点N.(变式)(1) 试用x1，x2，y1，y2表示点M和点N的横坐标；(2) 求证：OM·ON为定值.【解答】(1) 由题知直线PQ：(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，即(y2-y1)x-(x2-x1)y-(x1y2-x2y1)=0.令y=0，则xM=122121--x y x yy y.又R(x1，-y1)，所以直线QR：(y2+y1)(x-x1)-(x2-x1)(y+y1)=0，即(y2+y1)x-(x2-x1)y-(x1y2+x2y1)=0，令y=0，则xN=122121++x y x yy y.(2) 由(1)可得OM ·ON=122121--x y x yy y·122121++x y x yy y=222212212221--x y x yy y=22222212212222211--1--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y ya y a yb by y=a2，为定值.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第29-30页.【课后检测】第2讲圆锥曲线一、填空题1. (2021·常州期末)已知双曲线ax2-4y2=1的离心率为3，那么实数a的值为.2. (2021·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3. (2022·苏中三市、连云港、淮安二调)若在平面直角坐标系x O y中，双曲线C的离心率为2，且过点(1，2)，则双曲线C的标准方程为.4. 若抛物线x=1m y2的准线与双曲线212x-24y=1的右准线重合，则实数m的值是.5. (2022·辽宁卷)已知椭圆C：29x+24y=1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于椭圆C的焦点的对称点分别为点A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则AN+BN= .6. 如图，已知A，B，C是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上的三点，其中点A的坐标为(23，0)，BC过椭圆的中心，且AC·BC=0，|BC|=2|AC|，那么椭圆的标准方程为.(第6题)7. (2021·盐城中学)设椭圆22xm+22yn=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为.8. (2021·丹阳中学)设A，B分别是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点，点P是椭圆C上且异于A，B的一点，若直线AP与BP的斜率之积为-13，则椭圆C的离心率为.二、解答题9. (2022·南京、淮安三模)已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)过点P(-1，-1)，c为椭圆的半焦距，且c2b.过点P作两条相互垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若直线l1的斜率为-1，求△PMN的面积.10. (2021·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB=1，|OF|=1.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使得点F恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11. 如图，椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎝⎭，.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题) 【课后检测答案】第2讲圆锥曲线1. 8 【解析】将双曲线方程ax2-4y2=1化成标准式可得21xa-214y=1，所以c2=1a+14.又由于e2=1141+aa=1+4a=3，所以a=8.2. y=±5x【解析】5+m，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为y=5m x，即y=±52x.3. y2-x2=1 【解析】由于双曲线的离心率e2.设双曲线方程为x2-y2=m，则由点(12)在双曲线上得1-2=m=-1，故所求的双曲线方程为y2-x2=1.4. -12 【解析】212x-24y=1的右准线为x=2ac=124=3，所以抛物线y2=mx的开口向左，-4m=3，解得m=-12.5. 12 【解析】取MN的中点为G，点G在椭圆C上.设点M关于椭圆C的焦点F1的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F2的对称点为B，则有GF1=12AN，GF2=12BN，所以AN+BN=2(GF1+GF2)=4a=12.6. 212x +24y =1 【解析】由于|BC |=2|AC |，直线BC 过点(0，0)，则|OC |=|AC |.又由于AC ·BC =0，所以∠OCA=90°，即又由于a，所以椭圆方程为212x +22y b =1，把点C 的坐标代入上式，得b 2=4，所以椭圆的方程为212x +24y =1.7.【解析】由题意可知，抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c =2，由于离心率为12，所以a =4，所以b8. 3 【解析】由题意知A(-a ，0)，B(a ，0)，取P(0，b )，则k AP ·k BP =b a ×-⎛⎫ ⎪⎝⎭b a =-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=.9. (1) 由条件得21a +21b =1，且c 2=2b 2，所以a 2=3b 2，解得b 2=43，a 2=4，所以椭圆的方程为24x +234y =1. (2) 设直线l 1的方程为y +1=k (x +1)，联立22-134=+⎧⎨+=⎩y kx k x y ，，消去y ，得(1+3k 2)x 2+6k (k -1)x +3(k -1)2-4=0. 由于点P 的坐标为(-1，-1)，解得M 2222-36132-11313⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭k k k k k k ，. 当k ≠0时，用-1k 代替k ，得N 2222-6-3--2333⎛⎫+ ⎪++⎝⎭k k k k k k ，.将k =-1代入，得M(-2，0)，N(1，1). 由于P(-1，-1)，所以，，所以△PMN的面积为12=2.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b =1(a >b >0)，则c =1. 又由于AF ·FB =1，即(a +c )(a -c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM的垂心，则设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由于M(0，1)，F(1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y =x +m ，联立2222=+⎧⎨+=⎩y x m x y ，，得3x 2+4mx +2m 2-2=0. 由于MP ·FQ =0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i =1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m -1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m -1)+m 2-m =0.由韦达定理得2·22-23m -43m(m -1)+m 2-m =0，解得m =-43或m =1(舍去). 经检验m =-43符合条件，所以直线l 的方程为y =x -43.11. (1) 由题意得2222212312-=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩c a b a b c ，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 由于F(1，0)，N(4，0).设A(m ，n )，M(x 0，y 0)，则B(m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y =-1nm (x -1)，直线BN 的方程为y =4-nm (x -4)，解得点M 的坐标为5-832-52-5⎛⎫⎪⎝⎭m n m m ，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54⎛⎫ ⎪⎝⎭m m +232-53⎛⎫⎪⎝⎭n m =222(5-8)124(2-5)+m n m . 由24m +23n =1，得n 2=321-4⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，代入上式得204x +23y =1.所以点M 恒在椭圆C 上.。

江苏专版高考数学二轮复习6个解答题专项强化练五函数

6个解答题专项强化练(五) 函数1．已知函数f (x )＝x |2a －x |＋2x ，a ∈R.(1)若a ＝0，判断函数y ＝f (x )的奇偶性，并加以证明； (2)若函数f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；(3)若存在实数a ∈[－2,2]，使得关于x 的方程f (x )－tf (2a )＝0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1)函数y ＝f (x )为奇函数．证明如下：当a ＝0时，f (x )＝x |x |＋2x ，所以f (－x )＝－x |x |－2x ＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )为奇函数．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2－2a x ，x ≥2a ，－x 2＋2＋2a x ，x <2a ，当x ≥2a 时，y ＝f (x )的对称轴为x ＝a －1；当x ＜2a 时，y ＝f (x )的对称轴为x ＝a ＋1，所以当a －1≤2a ≤a ＋1时，f (x )在R 上是增函数，即－1≤a ≤1时，函数f (x )在R 上是增函数．(3)方程f (x )－tf (2a )＝0的解即为方程f (x )＝tf (2a )的解． ①当－1≤a ≤1时，函数f (x )在R 上是增函数，所以关于x 的方程f (x )＝tf (2a )不可能有三个不相等的实数根． ②当a ＞1时，即2a ＞a ＋1＞a －1，所以f (x )在(－∞，a ＋1)上单调递增，在(a ＋1,2a )上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增，所以当f (2a )＜tf (2a )＜f (a ＋1)时，关于x 的方程f (x )＝tf (2a )有三个不相等的实数根，即4a ＜t ·4a ＜(a ＋1)2，因为a ＞1，所以1<t <14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2.设h (a )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2(a >1)，因为存在a ∈[－2,2]，使得关于x 的方程f (x )＝tf (2a )有三个不相等的实数根，所以1＜t ＜h (a )max .又可证h (a )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2在(1,2]上单调递增，所以h (a )max ＝h (2)＝98，所以1＜t ＜98.③当a ＜－1时，即2a ＜a －1＜a ＋1，所以f (x )在(－∞，2a )上单调递增，在(2a ，a －1)上单调递减，在(a －1，＋∞)上单调递增，所以当f (a －1)＜tf (2a )＜f (2a )时，关于x 的方程f (x )＝tf (2a )有三个不相等的实数根，即－(a －1)2＜t ·4a ＜4a ，因为a ＜－1，所以1<t <－14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －2，设g (a )＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －2，因为存在a ∈[－2,2]，使得关于x 的方程f (x )＝tf (2a )有三个不相等的实数根，所以1＜t ＜g (a )max ，又可证g (a )＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －2在[－2，－1)上单调递减，所以g (a )max ＝98，所以1＜t ＜98.综上，实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，98.2．已知函数f (x )＝a ln x －bx 3，其中a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e ＝2.718 28….(1)当a <0，b ＝－1时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最大值；(2)若关于x 的方程f (x )＝0在区间(1，e]上有两个不同实数解，求a b的取值范围．解：(1)当b ＝－1时，函数f (x )＝a ln x ＋x 3(x >0)，则f ′(x )＝a x ＋3x 2＝a ＋3x 3x，令f ′(x )＝0，得x ＝3－a3，因为a <0时，3－a3>0，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：f (x ) 极小值所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3－a 3＝a ln 3－a 3－a 3 ＝a 3ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－a3，令t (x )＝－x ln x ＋x ，则t ′(x )＝－ln x ，令t ′(x )＝0，得x ＝1，且当x ＝1时，t (x )有最大值1，所以g (a )的最大值为1，此时a ＝－3.(2)因为方程a ln x －bx 3＝0在区间(1，e]上有两个不同实数解，所以a b ＝x 3ln x在区间(1，e]上有两个不同的实数解，即函数y ＝a b 的图象与函数m (x )＝x 3ln x 的图象有两个不同的交点，因为m ′(x )＝x 23ln x －1ln x2，令m ′(x )＝0，得x ＝3e ，所以m ′(x )，m (x )随x 的变化情况如下表：x (1，3e) 3e(3e ，e] m ′(x ) －0 ＋m (x )3e所以当x ∈(1，3e)时，m (x )∈(3e ，＋∞)，当x ∈(3e ，e]时，m (x )∈(3e ，e 3]，结合函数图象知a ，b 满足的关系式为3e<ab≤e 3，即a b的取值范围为(3e ，e 3]．3．已知函数f (x )＝ax 2－x －ln x ，a ∈R. (1)当a ＝38时，求函数f (x )的最小值；(2)若－1≤a ≤0，证明：函数f (x )有且只有一个零点； (3)若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝38时，f (x )＝38x 2－x －ln x (x >0)，所以f ′(x )＝34x －1－1x ＝3x ＋2x －24x，令f ′(x )＝0，得x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增. 所以当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝－12－ln 2.(2)证明：由f (x )＝ax 2－x －ln x (x >0)，得f ′(x )＝2ax －1－1x ＝2ax 2－x －1x.所以当a ≤0时，f ′(x )＝2ax 2－x －1x<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上最多有一个零点. 因为当－1≤a ≤0时，f (1)＝a －1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e 2－e ＋a e 2>0，所以当－1≤a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上有零点．综上，当－1≤a ≤0时，函数f (x )有且只有一个零点.(3)由(2)知，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上最多有一个零点．因为函数f (x )有两个零点，所以a >0. 由f (x )＝ax 2－x －ln x (x >0)，得f ′(x )＝2ax 2－x －1x，令g (x )＝2ax 2－x －1. 因为g (0)＝－1<0,2a >0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，设为x 0. 当x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0. 所以函数f (x )在(0，x 0)上单调递减；在(x 0，＋∞)上单调递增．要使得函数f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，只需要函数f (x )的极小值f (x 0)<0，即ax 20－x 0－ln x 0<0.又因为g (x 0)＝2ax 20－x 0－1＝0，所以2ln x 0＋x 0－1>0，又因为函数h (x )＝2ln x ＋x －1在(0，＋∞)上是增函数，且h (1)＝0，所以x 0>1，得0<1x 0<1.又由2ax 20－x 0－1＝0，得2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 02＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋122－14，所以0<a <1.以下验证当0<a <1时，函数f (x )有两个零点．当0<a <1时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝2a a2－1a －1＝1－a a>0，所以1<x 0<1a.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a e 2－1e＋1＝e 2－e ＋a e 2>0，且f (x 0)<0. 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，x 0上有一个零点.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝4a a2－2a－ln 2a ≥2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＝1>0(因为ln x ≤x －1)，且f (x 0)<0.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，2a 上有一个零点．所以当0<a <1时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，2a 内有两个零点.下面证明：ln x ≤x －1. 设t (x )＝x －1－ln x (x >0)，所以t ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令t ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，t ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0.所以函数t (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝1时，t (x )有最小值t (1)＝0.所以t (x )＝x －1－ln x ≥0，得ln x ≤x －1成立．综上，实数a 的取值范围为(0,1)．4．已知函数f (x )＝a e xx＋x .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；(3)设a >0，求证：函数f (x )既有极大值，又有极小值．解：(1)∵f ′(x )＝a e x x －1＋x 2x 2，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1,∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －(a e ＋1)＝x －1.又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1e.(2)若a <0，f ′(x )＝a e x x －1＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．法一：在x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1，f x 0>0，f ′x 0＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1， ①a e x 0x0＋x 0>0， ②a e x 0x 0－1＋x20x2＝0， ③由③得a e x 0＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝a e x 0x 0＋x 0>0，得a >－x 20e x 0.令h (x )＝－x 2ex ，则h ′(x )＝x x －2ex，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数，所以a >h (x 0)>h (2)＝－4e2，又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4e 2，0，从而不存在负整数a 满足条件．法二：在x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x＋2)x ， ∵x ∈(1，＋∞)，∴e x∈(e ，＋∞)， ∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x≤a e≤－e ， ∴a e x＋2<0，∴H ′(x )<0， ∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减，又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0， ∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0，且1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0；x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝a e x 0x 0＋x 0. (*) 又H (x 0)＝a e x 0(x 0－1)＋x 20＝0， ∴a e x 0x 0＝－x 0x 0－1代入(*)得， f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0x 0－2x 0－1<0，∴不存在负整数a 满足条件．(3)证明：f ′(x )＝a e x x －1＋x 2x 2，设g (x )＝a e x(x －1)＋x 2，则g ′(x )＝x (a e x＋2)，因为a >0，所以当x >0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x <0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，故g (x )至多有两个零点．又g (0)＝－a <0，g (1)＝1>0，所以存在x 1∈(0,1)，使g (x 1)＝0，再由g (x )在(0，＋∞)上单调递增知，当x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，故f ′(x )＝g xx 2<0，f (x )单调递减；当x ∈(x 1，＋∞)时，g (x )>0，故f ′(x )＝g xx 2>0，f (x )单调递增．所以函数f (x )在x 1处取得极小值. 当x <0时，e x<1，且x －1<0，所以g (x )＝a e x(x －1)＋x 2>a (x －1)＋x 2＝x 2＋ax －a ，函数y ＝x 2＋ax －a 是关于x 的二次函数，必存在负实数t ，使g (t )>0，又g (0)＝－a <0，故在(t,0)上存在x 2，使g (x 2)＝0，再由g (x )在(－∞，0)上单调递减知，当x ∈(－∞，x 2)时，g (x )>0，故f ′(x )＝g xx 2>0，f (x )单调递增；当x ∈(x 2,0)时，g (x )<0，故f ′(x )＝g xx 2<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在x 2处取得极大值. 综上，函数f (x )既有极大值，又有极小值．5．已知函数f (x )＝e x－ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R. (1)若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x . ①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≤m ，g x ，x >m的值域为R ，求实数m 的取值范围；(2)若存在实数x 1，x 2∈[0,2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e.解：(1)a ＝e 时，f (x )＝e x－e x －1，①h (x )＝f (x )－g (x )＝e x－2x －1，h ′(x )＝e x－2，由h ′(x )＞0，解得x ＞ln 2，由h ′(x )＜0，解得x ＜ln 2，故函数h (x )在(ln 2，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln 2)上单调递减． ②f ′(x )＝e x－e ，当x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，1)上单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，则值域是[e m －e m －1，＋∞)， g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，则值域是(－∞，(2－e)m )，∵F (x )的值域是R ，故e m－e m －1≤(2－e)m ，即e m－2m －1≤0，(*) 设h (m )＝e m－2m －1，由①可知m ＜0时，h (m )＝e m－2m －1＞h (0)＝0，故(*)不成立，令h ′(m )＝e m －2＝0，得m ＝ln 2，∵h (m )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2,1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， ∴0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，故0≤m ≤1.m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，故函数f (x )＝e x－e x －1在(－∞，m ]上的值域是[－1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域是(－∞，(2－e)m )，∵F (x )的值域是R ， ∴－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2. 综上，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1e －2. (2)证明：f ′(x )＝e x－a ，若a ≤0，则f ′(x )＞0，此时f (x )在R 上递增，由f (x 1)＝f (x 2)，可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1矛盾，∴a ＞0且f (x )在(－∞，ln a ]上单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增，若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1矛盾，同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)，不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2，∵f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， ∴x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)，由0≤x 1＜x 2≤2且|x 1－x 2|≥1，得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)，又f (x )在(－∞，ln a ]上单调递减，且0≤x 1＜ln a ，故f (x 1)≤f (0)，故f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －1，解得e －1≤a ≤e 2－e ，∴e －1≤a ≤e 2－e.6．已知函数f (x )＝e xsin x －cos x ，g (x )＝x cos x －2e x，其中e 是自然对数的底数．(1)判断函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内零点的个数，并说明理由；(2)任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使得不等式f (x 1)＋g (x 2)≥m 成立，试求实数m 的取值范围；(3)若x ＞－1，求证：f (x )－g (x )＞0.解：(1)函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内零点的个数为1，理由如下：因为f (x )＝e xsin x －cos x ，所以f ′(x )＝e xsin x ＋e xcos x ＋sin x .因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以f ′(x )＞0.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是单调递增函数．因为f (0)＝－1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2>0，根据函数零点存在性定理得函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内零点的个数为1.(2)因为不等式f (x 1)＋g (x 2)≥m 等价于f (x 1)≥m －g (x 2)，所以对任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使得不等式f (x 1)＋g (x 2)≥m 成立，等价于f (x )min ≥(m －g (x ))min ，即f (x )min ≥m －g (x )max .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ＋sin x ＞0，故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以x ＝0时，f (x )取得最小值－1，又g ′(x )＝cos x －x sin x －2e x，由于0≤cos x ≤1，x sin x ≥0，2e x ≥2，所以g ′(x )＜0，故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此，x ＝0时，g (x )取得最大值－ 2. 所以m ≤－2－1，即实数m 的取值范围为(－∞，－2－1]．(3)证明：当x ＞－1时，要证f (x )－g (x )＞0，只要证f (x )＞g (x )，只要证e xsin x －cos x ＞x cos x －2e x，只要证e xsin x ＋2e x＞cos x ＋x cos x ，由于sin x ＋2＞0,1＋x ＞0，只要证e x x ＋1＞cos xsin x ＋2.下面证明x ＞－1时，不等式e xx ＋1＞cos xsin x ＋2成立．11 / 11 令h (x )＝e x x ＋1，则h ′(x )＝x e x x ＋12，当x ∈(－1,0)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．所以当且仅当x ＝0时，h (x )取得极小值也就是最小值为1，即e xx ＋1≥1，当x ＝0时，取“＝”．又因为cos x －sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ≤2，当x ＝2k π－π4时，k ∈Z 时取“＝”．所以cos x －sin x ≤2，即cos x sin x ＋2≤1，当x ＝2k π－π4时，k ∈Z 时取“＝”．所以e xx ＋1＞cos x sin x ＋2. 综上所述，当x ＞－1时，f (x )－g (x )＞0成立．。

2020年江苏高考数学数列二轮专项训练题组(3页)

2020年江苏高考数学数列二轮专项训练题组专题13 数列一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.将答案填在题中的横线上. 1.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 2.等比数列{}n a 中，若12341,4,2,a a a a =成等差数列，则17a a = .3.等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.4.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为． 5. 等差数列{}n a 的公差不为零，121,a a =是1a 和5a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++ ．6.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是． 7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前2019项和为．8. 在等比数列{}n a 中，首项11a =，且34a ，42a ，5a 成等差数列，若数列{}n a 的前n 项之积为n T ，则10T 的值为．9. 已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项的和为． 10.等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则= ．11.已知数列是等差数列，是其前n 项和.若，则的值是_____.12.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前项和，则使得n S 达到最大值的n 是． 13.设数列{}n a 各项为正数，且()13log 12n n a -+=，若()321log 1n n b a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使345n T >成立时n 的最小值为 .14.已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n 项和，则使得成立的n 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，530S =．{}n a n n S 3676344S S ==,8a *{}()n a n ∈N n S 25890,27a a a S +==8S（1）求n a ；（2）设数列1{}n S 前n 项和为n T ，当20192020n T =时，求n 的值．16.（本题满分14分）已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30.(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 记c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．17. （本题满分14分）已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16. (1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．18.(本题满分16分)记{}1,2,100U =…,.对数列{}()*n a n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0TS=；若{}12,,k T t t t =…，，定义12k T t t t S a a a =+++L .例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,T k ⊆…，，求证：1T k S a +<；19. （本题满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．求数列{b n }的通项公式；20.（本题满分16分）在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1. (1) 求证：数列{a n ＋n }为等比数列；(2) 记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围。

2020江苏高考理科数学二轮练习：解答题专题练解析几何含解析

化简得(a2－r2)y－2t(ax－r2)＋t2y＝0.
所以直线PQ的方程为(a2－r2)y－2t(ax－r2)＋t2y＝0.令y＝0得x＝，故直线PQ过定点 .
x2，y2)，
因为斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，且OA⊥OB，
直线PQ的方程为y－＝ · .
令y＝0得x＝，是一个与t无关的常数，
故直线PQ过定点 .
法二：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0)．
设M(a，t)，则直线MA1的方程为y＝ (x＋r)，直线MA2的方程为y＝ (x－r)，则直线MA1与圆C的交点为P(x1，y1)，直线MA2与圆C的交点为Q(x2，y2)．
所以∠AOB＝90°，所以 · ＝0，
所以x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，
所以(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0，(*)
联立，消去y得x2＋3(kx＋t)2＝9，即(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，且Δ＞0，代入(*)，
得(1＋k2)(3t2－9)－6k2t2＋t2(1＋3k2)＝0，所以3t2－9－9k2＋t2＝0，
同理(x －8)k －2x0y0k2＋y －8＝0.
所以k1，k2是方程(x －8)k2－2x0y0k＋y －8＝0的两个不相等的实数根，k1k2＝ .
因为＋＝1，所以y ＝12－ x .
所以k1k2＝＝－，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则 · ＝－，所以y y ＝ x x ，
因为，所以，
所以＝ x x ，
所以x ＋x ＝24，y ＋y ＝12，
所以OP2＋OQ2＝36.
(ii)当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2＋OQ2＝36，

江苏省高考第二轮复习高三数学小题训练5 Word版含解析

小题训练5一、填空题：1.已知集合{}3,2a M =，{},N a b =．若{}4M N = ，则=M N ▲ ．2.已知复数3i1iz -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ．3.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ．4.从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为 ▲ ．5.执行如图所示算法的伪代码，则输出S的值为▲．6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为▲．7.已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．8.在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =．设3n S 为该数列的前3n 项和，n T 为数列{}3n a 的前n 项和．若3n n S tT =，则实数t 的值为 ▲ ．9.已知实数x ,y 满足条件0,0,1,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则1()2x y -的最大值为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与函数π3sin(010)2y x x =≤≤的图象所有交点的横坐标之和为 ▲ ．11.已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π3s i n ()45θ+=，则1212x x y y +的值为 ▲ ．12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ▲ ．13.如图，在△ABC 中，已知π3BAC ∠=，2AB =，3AC =，2DC BD = ，3AE ED = ，则BE =▲．14.已知函数1()()e xaf x ax=-∈R．若存在实数m，n，使得()0f x≥的解集恰为[],m n，则a的取值范围是▲．。

2021年江苏省高考数学二轮解答题专项复习：数列(含答案解析)

（1）求{an}的通项公式；
（2）记bn＝log2（an•an+1），求数列{bn}的前n项和为Tn．
15．已知等差数列{an}满足对任意的正整数n有an+an+1＝4n．
（1）若a1＝1，求{an}的通项公式；
（2）设Sn为{an}的前n项和，求bn 的前n项和．
16．已知各项都为正数的等比数列{an}，a2＝32，a3a4a5＝8．
（1）求{an}的通项公式：
（2）记{an}的前n项和为Sn，求使得Sn≥an成立的n的取值范围．
13．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
（1）求{an}的公比；
（2）若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S3＝2a3﹣1，．
（2）设，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn的最小值．
28．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足1+S3＝a4，1+S2＝a3．
（1）求{an}的通项公式an；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若Sn是数列{an}的前n项和，设bn ，求数列{bn}的前n项和Tn．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S6＝36．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn （n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
8．已知数列{an}的首项a1＝1，Sn为其前n项和，且Sn+1﹣2Sn＝n+1．
2021年江苏省高考数学二轮解答题专项复习：数列
1．在数列{an}中a1＝1，且3an+1＝an （n∈N+）．
（1）求证：数列{3n•an}为等差数列；

2020江苏高考理科数学二轮练习：解答题专题练(五) 数列

解答题专题练(五)　数　列(建议用时：40分钟)1．已知首项为，公比不等于1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3，S 2，S 4成等差12数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n |a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .2．(2019·苏锡常镇调研)已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a ，a 2＝a 4＋a 6.27(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求满足S n －2a n －20>0的所有正整数n 的集合．3．(2019·泰州模拟)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N *，设S n 为数列{b n }的前n 项和，已知b 1≠0，2b n －b 1＝S 1·S n ，n ∈N * .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求证：对任意的n ∈N *且n ≥2，有＋＋…＋<.1a 2－b 21a 3－b 31a n －b n 324．(2019·南通模拟)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且满足a 1＋a 2＋a 3＝9，b 1b 2b 3＝27.(1)若a 4＝b 3，b 4－b 3＝m .①当m ＝18时，求数列{a n }和{b n }的通项公式；②若数列{b n }是唯一的，求m 的值；(2)若a 1＋b 1,a 2＋b 2，a 3＋b 3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n }的公差d 的最大值．参考答案与解析1．解：(1)法一：设数列{a n }的公比为q ，由题意得2S 2＝S 3＋S 4，q ≠1，所以2×＝＋.a 1（1－q 2）1－qa 1（1－q 3）1－qa 1（1－q 4）1－q化简得q 2＋q －2＝0，得q ＝－2，又数列{a n }的首项为，12所以a n ＝×(－2)n －1.12法二：设数列{a n }的公比为q ，由题意得2S 2＝S 3＋S 4，即(S 4－S 2)＋(S 3－S 2)＝0，即(a 4＋a 3)＋a 3＝0，所以＝－2，所以公比q ＝－2.a 4a 3又数列{a n }的首项为，所以a n ＝×(－2)n －1.1212(2)b n ＝n |a n |＝n ××2n －1＝×n ×2n ，1214所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )，①142T n ＝(1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1)，②14①－②得，－T n ＝，14[2×（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1]所以T n ＝＋(n －1)×2n .12122．解：(1)由a 3＝a ，得a 1＋2d ＝(a 1＋6d )2，①27由a 2＝a 4＋a 6，得a 1＋d ＝2a 1＋8d ，即a 1＝－7d ，②②代入①，得－5d ＝d 2.所以d ＝－5或d ＝0(不符合题意，舍去)．则a 1＝35.所以a n ＝35＋(n －1)(－5)＝－5n ＋40.(2)S n ＝＝，（35－5n ＋40）n 2n （75－5n ）2不等式S n －2a n －20>0，即－2(－5n ＋40)－20>0.n （75－5n ）2整理得n 2－19n ＋40<0.所以<n <.19－201219＋2012则<n <，即<n <17.19－14219＋15252因为n ∈N *，所以所求n 的集合为{3，4，…，16}．3．解：(1)因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝a 1·3n －1＝3n －1.在{b n }中，令n ＝1，2b 1－b 1＝S 1·S 1⇒b 1＝1，所以2b n －1＝S n ，2b n －1－1＝S n －1，所以2b n －2b n －1＝b n (n ≥2)⇒b n ＝2b n －1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以b n ＝b 1·2n －1＝2n －1.(2)证明：＝1a n －b n 13n －1－2n －1＝≤，13n －2＋2（3n －2－2n －2）13n －2＋＋…＋<1＋＋…＋＝＝<.1a 2－b 21a 3－b 31a n －b n 1313n －21·[1－(13)n －1]1－1332[1－(13)n －1]324．解：(1)①由数列{a n }是等差数列及a 1＋a 2＋a 3＝9，得a 2＝3，由数列{b n }是等比数列及b 1b 2b 3＝27，得b 2＝3.设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，若m ＝18，则有，解得或.{3＋2d ＝3q ，3q 2－3q ＝18){d ＝3，q ＝3){d ＝－92q ＝－2)所以，{a n }和{b n }的通项公式为或{a n ＝3n －3，bn ＝3n －1){a n ＝－92n ＋12，bn ＝3（－2）n －2.)②由题设b 4－b 3＝m ，得3q 2－3q ＝m ，即3q 2－3q －m ＝0(*)．因为数列{b n }是唯一的，所以(ⅰ)当m ＝0时，3q 2－3q ＝0，因为q ≠0所以q ＝1，即b n ＝3.满足题意；(ⅱ)当m ≠0时，则有(*)式的判别式Δ＝(－3)2＋12m ＝0，解得m ＝－，代入(*)式，解得q ＝，3412又b 2＝3，b n＝3，所以{b n }是唯一的等比数列，符合题意.(12)n －2所以，m ＝0或－. 34(2)依题意，36＝(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)，设{b n }公比为q ，则有36＝(3＋d ＋3q )，(**)(3－d ＋3q )记m ＝3－d ＋，n ＝3＋d ＋3q ，则mn ＝36.3q 将(**)中的q 消去，整理得d 2＋(m －n )d ＋3(m ＋n )－36＝0，d 的大根为n －m ＋（m －n ）2－12（m ＋n ）＋1442＝n －m ＋（m ＋n －6）2－362而m ，n ∈N *，所以(m ，n )的可能取值为：(1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1)．所以，当m ＝1，n ＝36时，d 的最大值为.35＋5372。

江苏高考理科数学二轮练习：解答题分层综合练(五) 压轴解答题抢分练(2)

解答题分层综合练(五) 压轴解答题抢分练(2)(建议用时：40分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝1－a n (n ∈N *)．各项均为正数的数列{b n }中，对于一切n ∈N *，有∑k ＝1n1b k ＋b k ＋1＝n b 1＋b n ＋1，且b 1＝1，b 2＝2，b 3＝3. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <2.2．(2019·南京模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 6＝22.(1)求S n ；(2)若从{a n }中抽取一个公比为q 的等比数列{akn }，其中k 1＝1，且k 1<k 2<…<k n <…，k n ∈N *.①当q 取最小值时，求{k n }的通项公式；②若关于n (n ∈N *)的不等式6S n >k n ＋1有解，试求q 的值．3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎡⎦⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围； (3)若x 1，x 2∈[1，＋∞)，试比较ln(x 1x 2)与x 1＋x 2－2的大小．4．(2019·扬州模拟)已知函数f (x )＝12x 2－23ax 3，函数g (x )＝f (x )＋2e x (x －1)，函数g (x )的导函数为g ′(x )．(1)当函数y ＝f (x )在区间(1，＋∞)上为减函数时，求a 的范围；(2)若a ＝e(e 为自然对数的底数)．①求函数g (x )的单调区间；②证明：g ′(x )≥1＋ln x .参考答案与解析1．解：(1)因为S n ＝1－a n ，所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－a 1，解得a 1＝12. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(1－a n )－(1－a n －1)，得2a n ＝a n －1，即a n a n －1＝12. 所以数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，所以a n ＝12×(12)n －1＝12n (n ∈N *)．因为对于一切n ∈N *，有∑k ＝1n1b k ＋b k ＋1＝n b 1＋b n ＋1，① 当n ≥2时，有∑k ＝1n －11b k ＋b k ＋1＝n －1b 1＋b n ，② ①－②得，1b n ＋b n ＋1＝n b 1＋b n ＋1－n －1b 1＋b n ，化简得，(n －1)b n ＋1－nb n ＋b 1＝0，③用n ＋1替换③式中的n 得，nb n ＋2－(n ＋1)·b n ＋1＋b 1＝0，④③－④整理得，b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ，所以当n ≥2时，数列{b n }为等差数列．又b 3－b 2＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)＝n .(2)证明：因为数列{a n b n }的前n 项和为T n ，所以T n ＝12＋222＋223＋…＋n 2n ，⑤ 所以12T n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，⑥ ⑤－⑥得，12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12[1－（12）n ]1－12－n 2n ＋1 ＝1－n ＋22n ＋1. 所以T n ＝2－n ＋22n <2. 2．解：(1)设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋12×6×5d ＝22，解得d ＝23，所以S n ＝n （n ＋5）3. (2)因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{akn }的公比q >1，①若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝a 2a 1＝43，此时ak 3＝2×⎝⎛⎭⎫432＝329，由329＝23(k 3＋2)，解得k 3＝103∉N *，所以k 2>2，同理k 2>3; 若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时akn ＝2·2n －1，另一方面，akn ＝23(k n ＋2)，所以23(k n ＋2)＝2n ，即k n ＝3×2n －1－2，所以对任何正整数n ，akn 是数列{a n }的第3×2n －1－2项．所以最小的公比q ＝2. 所以k n ＝3×2n －1－2.②由akn ＝2k n ＋43＝2q n －1，得k n ＝3q n －1－2，而q >1，所以当q >1且q ∈N *时，所有的k n ＝3q n －1－2均为正整数，适合题意；当q >1且q ∉N *时，k n ＝3q n －1－2∈N *不全是正整数，不合题意．而6S n >k n ＋1有解，所以2n （n ＋5）＋23q n >1有解，经检验，当q ＝2，q ＝3，q ＝4时，n ＝1都是2n （n ＋5）＋23q n>1的解，适合题意；下证当q ≥5时，2n （n ＋5）＋23q n>1无解，设b n ＝2n （n ＋5）＋23q n，则b n ＋1－b n＝2[（1－q ）n 2＋（7－5q ）n ＋7－q ]3q n ＋1，因为5q －72－2q<0，所以f (n )＝2[(1－q )n 2＋(7－5q )n ＋7－q ]在n ∈N *上递减，又因为f (1)<0，所以f (n )<0恒成立，所以b n ＋1－b n <0，所以b n ≤b 1恒成立，又因为当q ≥5时，b 1<1，所以当q ≥5时，6S n >k n ＋1无解．综上所述，q 的取值为2，3，4.3．解：(1)当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x(x >0)．由f ′(x )>0得x >1；由f ′(x )<0得0<x <1.所以f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)．(2)因为f ′(x )＝a （1－x ）x(x >0)，所以f ′(2)＝－a 2＝1，得a ＝－2. 所以f ′(x )＝2（x －1）x(x >0)，g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ′（t ）<0g ′（3）>0，由题意知，对于任意的t ∈[1，2]，g ′(t )<0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ′（1）<0g ′（2）<0g ′（3）>0，所以－373<m <－9. 故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9. (3)由(1)可知，当a ＝－1，x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥f (1)，即－ln x ＋x －1≥0，所以0≤ln x ≤x －1对一切x ∈[1，＋∞)恒成立．若x 1，x 2∈[1，＋∞)，则0≤ln x 1≤x 1－1，0≤ln x 2≤x 2－1，所以0≤ln x 1＋ln x 2≤x 1＋x 2－2，即0≤ln(x 1x 2)≤x 1＋x 2－2.故当x 1＝x 2＝1时，ln(x 1x 2)＝x 1＋x 2－2；当x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1，x 2不全为1时，ln(x 1x 2)<x 1＋x 2－2.4．解：(1)因为函数y ＝f (x )在区间(1，＋∞)上为减函数，所以f ′(x )≤0.f ′(x )＝x －2ax 2＝x (1－2ax )≤0.因为x >1，所以1－2ax ≤0，a ≥12x 即a ≥12. (2)①当a ＝e 时，g (x )＝12x 2－23e x 3＋2e x (x －1)，所以g ′(x )＝x －2e x 2＋2x e x ＝x (1－2e x ＋2e x )．记h (x )＝2e x －2e x ＋1，则h ′(x )＝2(e x －e)，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )为增函数；当x ∈(－∞，1)时，h ′(x )<0，h (x )为减函数；所以h (x )≥h (1)＝1>0.所以在(0，＋∞)上，g ′(x )>0，在(－∞，0)上，g ′(x )<0.即g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；单调减区间为(－∞，0)．②证明：由①得g ′(x )＝x －2e x 2＋2x e x ，欲证g ′(x )≥1＋ln x ，只需证x (1－2e x ＋2e x )≥1＋ln x ，即证1－2e x ＋2e x ≥ln x ＋1x. 记p (x )＝ln x ＋1x ，则p ′(x )＝－ln x x 2. 当x ∈(0，1)时，p ′(x )>0，p (x )为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，p ′(x )<0，p (x )为减函数．即p (x )≤p (1)＝1.由①得h (x )≥h (1)＝1.所以g ′(x )≥1＋ln x ．。

(江苏专用)高考数学二轮复习专题整合规范练5 数列问题理(含最新原创题,含解析)

规范练(五) 数列问题1．已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋－1 n 2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋……＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 015项和．解 (1)∵d n ＝3＋－1 n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n 2＝3n . 因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根．所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，解得：b 2＝4，b 4＝16，所以：b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4，公比均是8， T 2 015＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 015)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 014)．＝2× 1－81 008 1－8＋4× 1－81 007 1－8＝20×81 007－67. 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3nb n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n ＜7时n 的最大值．解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1.∴a n ＝2n ＋1，∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n ， ∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式， ∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n ＝3＋4·13 1－13n －1 1－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n . ∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1. T n －T n ＋1＝4 n ＋1 ＋52·3n －4n ＋52·3n －1＝－ 4n ＋3 3n ＜0. ∴T n ＜T n ＋1，即{T n }为递增数列．又T 3＝599＜7，T 4＝649＞7， ∴T n ＜7时，n 的最大值为3.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13. (1)解由a n ＋1＝2S n ＋1，①得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3，又当n ＝1时，a 2a 1＝3也符合上式，∴a n ＝3n －1.由数列{b n }为等差数列，b 3＝3，b 5＝9，设{b n }公差为d ， ∴b 5－b 3＝9－3＝2d ，∴d ＝3，∴b n ＝3n －6.(2)证明由(1)知：a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，所以c n ＝3n 3n ＋1＝n 3n ，所以c n ＋1－c n ＝1－2n 3n ＋1＜0，∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，∴c n ＋1＜c n ≤13. 4．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 5和a 7的等差中项为11，且a 2·a 5＝a 1·a 14，令b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n . (1)求a n 及T n ；(2)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 7＝22，a 2·a 5＝a 1·a 14，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋10d ＝22， a 1＋d a 1＋4d ＝a 1 a 1＋13d ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝11，d ＝2a 1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.由b n ＝1a n ·a n ＋1＝1 2n －1 2n ＋1 ＝12(12n －1－12n ＋1) 所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. (2)假设存在．由(1)知，T n ＝n2n ＋1，所以T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n 2n ＋1，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则有T 2m ＝T 1·T n ⇒(m 2m ＋1)2＝13·n 2n ＋1⇒m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3⇒4m 2＋4m ＋1m 2＝6n ＋3n ⇒3n ＝4m ＋1－2m 2m 2，……①因为n ＞0，所以4m ＋1－2m 2＞0⇒1－62＜m ＜1＋62，因为m ∈N *，m ＞1，∴m ＝2，当m ＝2时，带入①式，得n ＝12. 综上，当m ＝2，n ＝12时可以使T 1，T m ，T n 成等比数列．。

2020江苏高考理科数学二轮练习：小题分类练(五) 图表信息类

小题分类练(五) 图表信息类(建议用时：50分钟)1．(2019·连云港调研)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m 、n 的比值m ∶n ＝________．2．在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25，30)内的人数为________．3．如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP →·(OB →－OA →)＝________．4．(2019·南京质检)对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y375961824数列{x n }1n n ＋1x )的图象上，则x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝________．5．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________．6．如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P i (i ＝1，2，…，7)是小正方形的其余顶点，则AB →·AP i →(i ＝1，2，…，7)的不同值的个数为________．7．如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象，B 、C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC →＝AB →2，则ω＝________．8．(2019·淮安调研)已知集合A 、B ，定义集合A 与B 的一种运算A ⊕B ，其结果如下表所示： A {1，2，3，4} {－1，1} {－4，8} {－1，0，1} B {2，3，6} {－1，1}{－4，－2，0，2} {－2，－1，0，1}A ⊕B{1，4，6}∅{－2，0，2，8}{－2}9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________．甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)12860°的二面角，则异面直线AE与BF所成角的余弦值是________．11．如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等，设OA n＝a n.若a1＝1，a2＝2，则数列{a n}的通项公式是________．12．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为________．13．如图所示，函数y＝f(x)的图象由两条射线和三条线段组成．若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．14．已知点P是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)左支上一点，F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M、N两点(如图)，点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是________．参考答案与解析1．解析：由茎叶图可知甲的数据为27、30＋m 、39，乙的数据为20＋n 、32、34、38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m ＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也为33，所以有20＋n ＋32＋34＋384＝33，所以n ＝8，所以m ∶n ＝3∶8.答案：3∶82．解析：设年龄在[25，30)内的志愿者的频率是p ，则有5×0.01＋p ＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02＝1，解得p ＝0.2，故估计这800名志愿者年龄在[25，30)内的人数是800×0.2＝160.答案：1603．解析：因为P 是直线l 上的任意一点，不妨设P 为直线l 与OA 的交点，则OP →·(OB →－OA →) ＝12OA →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OA →2，又因为OA ⊥OB ，且OA ＝OB ＝1，所以OP →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OA →2＝0－12＝－12.答案：－124．解析：因为数列{x n }满足x 1＝1，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，所以x n ＋1＝f (x n )，所以由图表可得x 2＝f (x 1)＝3，x 3＝f (x 2)＝5，x 4＝f (x 3)＝6，x 5＝f (x 4)＝1，…，所以数列{x n }是周期为4的周期数列，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝504(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＋x 1＋x 2＝504×15＋1＋3＝7 564.答案：7 5645．解析：令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1）解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．答案：{x |－1＜x ≤1}6．解析：AB →·AP i →＝|AB →|·|AP i →|cos θ，|AP i →|cos θ的值可能为0、1或2.所以AB →·AP i →＝0、2或4，即AB →·AP i →(i ＝1，2，…，7)的不同值的个数为3.答案：37．解析：由题意可知BC ＝2AB ，由AB →·BC →＝AB →2知－|AB →|·|BC →|·cos ∠ABC ＝|AB →|2，∠ABC ＝120°，过B 作BD 垂直于x 轴于D ，则AD ＝3，T ＝12，ω＝2πT ＝π6.答案：π68．解析：由给出的定义知集合A ⊕B 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于集合B 但不属于集合A 的元素构成的，即A ⊕B ＝{x |x ∈A 且x ∉B 或x ∈B 且x ∉A }．故M ⊕N ＝{－2 011，2 012，－2 012，2 013}．答案：{－2 011，2 012，－2 012，2 013} 9．解析：设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2，3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.答案：18万元10．解析：如图所示：连接BD ，因为AE ∥DF ，所以∠DFB 即为异面直线FB 与AE 所成的角．设正方形ABCD 的边长为2，则在△BDF 中，DF ＝1，BF ＝5，BD ＝12＋12＋22－2·1·1·cos 60°＝5，所以cos ∠DFB ＝510. 答案：51011．解析：设OA n ＝x (n ≥3)，OB 1＝y ，∠O ＝θ，记S △OA 1B 1＝12×1×y sin θ＝S ，那么S △OA 2B 2＝12×2×2y sin θ＝4S ，S △OA 3B 3＝4S ＋(4S －S )＝7S ， …S △OA n B n ＝12x ·xy sin θ＝(3n －2)S ，所以S △OA n B n S △OA 2B 2＝12×x ×xy sin θ12×2×2y sin θ＝（3n －2）S 4S ，所以x 24＝3n －24，所以x ＝3n －2.即a n ＝3n －2(n ≥3)．经验证知a n ＝3n －2(n ∈N *)．答案：a n ＝3n －212．解析：由题意可知，该三次函数的图象过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y ＝f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，所以f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3，可得c ＝－1，3a ＋b ＝1.又y ＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(2，0)，所以4a ＋2b ＝1，所以a ＝12，b ＝－12，所以y ＝f (x )＝12x 3－12x 2－x . 答案：y ＝12x 3－12x 2－x13．解析：根据图象可知，两条射线分别过点(3a ，0)和(－3a ，0)(其中a ＞0)且斜率均等于1，所以可得两条射线方程，分别为y ＝x －3a (x ≥2a )和y ＝x ＋3a (x ≤－2a )．数形结合知，当y ＝x －3a (x ≥2a )时，令f (x )＝a ，得x ＝4a .当y ＝x ＋3a (x ≤－2a )时，令f (x )＝－a ，得x ＝－4a .若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)恒成立，结合图象，需4a －(－2a )＜1且2a －(－4a )＜1，即a ＜16.又因为a ＞0，故正实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，16. 答案：⎝⎛⎭⎫0，16 14．解析：由题意可知，ON 为△PF 1F 2的中位线，所以PF 1∥ON ，所以tan ∠PF 1F 2＝tan ∠NOF 2＝k ON ＝ba ，所以⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2||PF 1|＝b a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2b .又因为|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ，e ＝ca ＝ 5.答案： 5。