一阶电路零状态响应
4-2 一阶电路的零状态响应101107
t
uC(t) Us Us/R
0.95Us
0.632Us 0.368Us/R
有跳变 0
2
3
t
Req C
U s t 电容电流 iC (t ) e R eq
电路原理
§4-2 一阶电路的零状态响应∙ 一阶RL电路
t ≥ 0+ 时等效电路
t ≥ 0+
t ≥ 0+ 时等效电路
10Ω 5Ω 10A iL 5Ω + u -
t ≥ 0+ 时等效电路
电路原理
§4-2 一阶电路的零状态响应∙ 习题
图示电路在换路前已处于稳态，t=0时打开开关S，求t>0时的电 容电压uC(t)和电流i(t)。
i(t)
2Ω
2Ω
+ uC(t) －
S
2A
2Ω 0.3F
① 只要求出了响应的稳态值（强制分量）和电路的时间 常数，就可根据一般形式式写出电路的零状态响应。
② 零状态响应的一般形式只适用于初始值为零的响应。
uC i e （t ≥0+） Req
t
t
i L u e （t ≥0+） Geq
t
电路原理
§4-2 一阶电路的零状态响应∙ 一般形式
diL (t ) Geq L + iL (t ) I s dt t L （t ≥0 ） i L i 1 e （t ≥0+） L Geq L + Req
u i L e （t ≥0+） Geq
t
Geq=1/Req
一阶电路的零状态响应
一阶电路的零状态响应在动态元件初始储能为0 的前提下，电路对初始激励产生的响应，称为零状态响应。
明显，这一响应与输入形式有关。
最简洁最基本的输入形式是直流电压源和恒流源。
1、RC 电路的零状态响应如图，在t ＝0 时刻，开关闭合，问i 、u R 、u C 如何变化？物理过程分析：依据以前学问，uC ( 0+ )＝uC ( 0－)＝u C ( 0 )＝0 。
这就是说，在t＝0 时刻，电容相当于短路，直流电压全部降落在R上，那么电流i (0 + )＝U 0 / R 。
但是，电流一经流淌，必定在电容极板上产生电荷积累，q＝Cu C 0。
然而，总电压U0 不变，R 上压降必定减小，从而电流i ＝uR/R 减小…… 。
最终，uC →U0，i →0，充电停止，电路达到另外一个稳态，此时，电容相当于开路。
数学求解：t 0这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。
作如下代换后，求解：结论：uC 随时间呈指数增长，最终趋于uC。
而uR 则相反，uC ＋uR ＝U0 。
电流i(t) 从U0 / R开头衰减，最终趋于0，快慢取决于τ。
特殊留意：在整个充电过程中，电源供应的能量、电阻消耗的能量、电容储存的能量有下列关系：使人惊异的是：不论C 和R 的取值有多大，充电过程中，电源供应的能量中，正好一半转变成电场能存储于电容中，另一半则被R 消耗掉了，即充电效率仅有50％。
2、RL 电路的零状态响应如图，在t ＝0 时刻，开关闭合，直流电压源加于电路。
问i 、u R 、u L 随时间如何变化？物理过程分析：依据以前学问，在有限电压前提下，电流不能跃变，i ( 0+ ) ＝i ( 0－)＝i ( 0 ) ＝0 。
也即：u R( 0 + ) ＝R i ( 0 + )＝0此刻，U 0 全部降落在L 上，即：u L( 0+ ) = U0换句话说，L 相当于开路。
但是，电流一经流淌，必定在R 上产生压降，总电压U0不变，故L 上压降必定减小。
一阶电路的零状态响应
退出开始§3-5一阶电路的零状态响应内容提要一阶RL 电路的零状态响应一阶RC 电路的零状态响应X零状态响应(z.s.r)是在零初始状态下，仅由外加激励t 合上开关S 0C Ch Cpu u u 解的形式为：t d t充电曲线1()(1e)0tu t U t充电过程中的能量充电过程中电阻消耗的能量：返回X(0)S t ()L t i000时电感无初始储能：充电曲线 (1e ) 0ti t I t充电过程中的能量充电过程中电阻消耗的能量：通过分析RC电路或者RL电路的所求变量，可以看出因此，只要知道了该变量的X（充电）过渡过程与时间常数的关系t = 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的63.2%。
工程上常取t = (3 ~ 5 ) 作为充电完毕所需时间。
t = 4 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的98.17%。
t = 5 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的99.33%。
时间常数影响过渡过程的快慢：时间常数 越小，过渡过程越快；时间常数 越大，过渡过程越慢；以RC电路为例，不同时间常数时的充电曲线X根据电路，利用公式杂电路，利用戴维南定理将除动态元件以外的电路用()C u t +- t=0时，开关闭合。
电路再达稳态，电容开路，所以电容电压的稳态值为：解：例题1已知电路在闭合后的解（续）()()()tu t u e 1+)t1F2()u t 1+-(0)S t t=0时，开关闭合。
电路再所以电解：例题2解（续）t i +-V10010020R 2R 3t=0时，开关闭合。
电源左右两部分可看成独立的两部分。
电路再达稳态，电感解：例题3已知电路在求开关R 2R3与电容连接的等效电阻为：解（续）(1)零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性，因此，只要知道电容电压或电感电流的稳态值和电路的时间常数，就能求得一阶电路的z.s.r 。
X(2)零状态响应线性：激励增长k 倍，响应也增长k 倍。
电路课ke7.3一阶电路的零状态响应
uL LdiL iL + iR = iL + = + iL = IS R Rdt (iL (0− ) = 0)
diL ⇒ LG + iL = IS dt
i
' L '' L
特解（稳态分量） 特解（稳态分量）
i = iL (∞) = IS
' L
i
通解（暂态分量） 通解（暂态分量）
i = Ae
'' L
− t
US = 2×10 = 20 V
u
–
iL
t>0
+ Req 2H US － iL
uL
–
τ = L/ Req = 2 / 20 = 0.1s
iL (∞) = US / Req = 1A
+
uL
–
iL (t) = iL (∞)(1− e
uL(t ) = USe
−10t
−10t
Us −10t −10t )= (1− e ) A = (1− e ) A Req
Z
ϕ
R
ωL
=0时 开关K打开， t>0后 例4 t=0时 ,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端电压 5Ω Ω 解 这是一个RL电路零状态响应 这是一个RL电路零状态响应 2A RL + 问题，先化简电路， 问题，先化简电路，有： 10Ω Ω 10Ω Ω K + 2H
Req = 10 + 10 = 20Ω
7.3 一阶电路的零状态响应
The first-order circuit’s zero-state response 零状态响应
(Outer power source) 电路在零初始状态 零初始状态下 仅由外施激励源引起的的响应。 外施激励源引起的的响应 电路在零初始状态下，仅由外施激励源引起的的响应。 K(t=0) R US +u –
一阶电路的零状态响应和全响应基础知识讲解
tt0
uC US (1 e RC ) (t t0 )
O t0
t
i
US
t
e RC (t)
R
i
US R
tt0
e RC (t
t0
)
注意：
tt0
uC US (1 e RC ) (t t0 )
t
uC US (1 e RC ) (t t0 )
二者的区别 !
结论： 零状态网络的阶跃响应为 y(t)(t) 时， 则延时t0的阶跃响应为 y(t-t0) (t-t0).
一阶电路的零状态响应和 全响应基础知识讲解
一阶电路的零状态响应（续）
1. RC电路的零状态响应 2. RL电路的零状态响应 3. 正弦电源激励下的零状态响应(以RL电路为例) 4. 阶跃响应
4. 阶跃响应
Ri
+
US (t)
–
+
C uC
–
uC (0)=0
t
uC US (1 e RC ) (t)
e2t A
-
0
.6
3
2
e-2(t
-0.
5)
A
(0 t 0.5) (t 0.5)
另解：直接分段求解。
10k
+
uS
10k
iC 100F
uS (V) 10
0 0.5 t (s)
分段表示式
波形 iC(mA) 1
0.368
e2t A
(0 t 0.5)
iC
-
0
.6
3
2
e-2(t
-0.
5)
A
(t 0.5)
i
US
t
一阶电路的全响应和零响应区别
一阶电路的全响应和零响应区别
引起电路响应的因素有两个方面,一是电路的激励,而是动态元件储存的初始能量.当激励为零,仅由动态元件储存的初始能量引起的响应叫零输入响应；当动态元件储存的初始能量为零,仅由激励引起的响应叫零状态响应；两个同时引起的响应叫全响应. 零状态响应是指在t=0-时，电容器的电压为0，电感器的电流为0；
零输入响应是指在t=0-时，电源的输入为0；下面早点介绍一阶电路的全响应。
全响应：非零初始状态的电路受到外加激励时电路中产生的响应，称为全响应。
1.RC电路的全响应的分析
（非齐次微分方程）
解答为：uC = uC' + uC''
得RC电路的全响应的通式：
2.RC电路的全响应通式的两种分解方式
（1）全响应(complete response)
= 强制响应(forced response)+自由响应(natural response)
= 稳态响应(steady-state response) +暂态响应(transient response)（2）全响应= 零状态响应+ 零输入响应
全响应小结:
（1）全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质；
（2）零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加，因此只适用于线性电路；
（3）零输入响应与零状态响应均满意齐性原理，但全响应不满意。
rc零状态响应公式
rc零状态响应公式1. 一阶RC电路零状态响应公式推导。
- 对于一阶RC电路，设电路的输入为阶跃电压u_s = Uvarepsilon(t)（varepsilon(t)为单位阶跃函数），初始时刻电容电压u_C(0 - )=0。
- 根据KVL（基尔霍夫电压定律），u_R+u_C = u_s，又因为i = C(du_C)/(dt)，且u_R = Ri，所以RC(du_C)/(dt)+u_C = u_s。
- 这是一个一阶线性非齐次常微分方程，其解u_C(t)由齐次方程的通解u_Ch(t)和非齐次方程的特解u_Cp(t)组成。
- 对于齐次方程RC(du_C)/(dt)+u_C = 0，其特征方程为RCs + 1=0，解得s=-(1)/(RC)，所以齐次通解u_Ch(t)=Ae^-(t)/(RC)。
- 非齐次方程的特解，由于u_s = Uvarepsilon(t)为常数，所以特解u_Cp(t)=U。
- 那么u_C(t)=u_Ch(t)+u_Cp(t)=Ae^-(t)/(RC)+U。
- 利用初始条件u_C(0 + ) = u_C(0 - ) = 0，可得0 = A+U，即A=-U。
- 所以一阶RC电路零状态响应的电容电压公式为u_C(t)=U(1 - e^-(t)/(RC))，电流i = C(du_C)/(dt)=(U)/(R)e^-(t)/(RC)。
2. 二阶RC电路零状态响应（以串联RLC电路为例简单说明）- 对于串联RLC二阶电路，其电路方程为LCfrac{d^2u_C}{dt^2}+RC(du_C)/(dt)+u_C = u_s。
- 在零状态下u_C(0 - ) = 0，i(0 - )=(du_C)/(dt)(0 - ) = 0。
- 设u_s = Uvarepsilon(t)，先求齐次方程LCfrac{d^2u_C}{dt^2}+RC(du_C)/(dt)+u_C = 0的通解。
- 其特征方程为LCs^2+RCs + 1 = 0，解得s_1,2=frac{-R±√(R^2)-4L/C}{2L}。
一阶电路零状态响应公式
一阶电路零状态响应公式一阶电路是指由一个电感和一个电阻构成的电路。
在电路中加入一个电压源，开关打开时，电路处于零状态（即初始状态），此时电感中存储的能量为零。
当开关关闭时，电感开始储存能量，电流开始流动。
我们可以通过一阶电路的零状态响应公式来描述电路在零状态下的响应情况。
在一阶电路中，电感的电压满足以下微分方程：Ldi/dt + Ri = V(t)其中，L是电感的感值（单位是亨），R是电阻的阻值（单位是欧姆），i是电流（单位是安培），V(t)是输入电压（单位是伏特），t是时间（单位是秒）。
根据电压-电流关系（Ohm's Law）可以得到：V(t) = Ri + Ldi/dt我们可以对上述微分方程进行求解，得到一阶电路的零状态响应公式。
假设在时刻t=0，电路处于零状态，即电流i(0)=0。
根据初始条件，我们可以解得零状态下的电流i(t)的表达式：i(t) = (V/R)(1 - e^(-t/(L/R)))其中，e是自然对数的底数。
从上述公式可以看出，一阶电路的零状态响应是一个指数衰减函数。
当时间t趋近于无穷大时，指数项e^(-t/(L/R))趋近于零，此时电流i(t)趋近于V/R，即电路达到稳态。
通过一阶电路的零状态响应公式，我们可以推测电路在初始状态下的响应情况。
这对于设计和分析电路的性能非常重要。
例如，我们可以通过该公式来预测电路的响应时间、电流的变化趋势等。
需要注意的是，一阶电路的零状态响应公式是基于一些假设和简化条件得出的。
实际电路中可能存在其他因素的影响，如电容、非线性元件等。
因此，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和调整。
总结一下，一阶电路的零状态响应公式是描述电路在零状态下的响应情况的重要工具。
通过该公式，我们可以推测电路的响应时间和电流的变化趋势。
但在实际应用中，需要考虑其他因素的影响，并根据具体情况进行修正和调整。
零状态全响应三要素
uc
t
t
uC US (1 e ) U0e t 0
零状态响应
US
零输入响应
U0
全响应 零状态响应
t 0
零输入响应
暂态+稳态
t
uC U S (U0 U S )e 电路响应与其工作状态
t0
之间的关系
零输入+零状态
t
t
uC US (1 e ) U0e
激励与响应的因果关系
t0
Ａ＝４
L 0.1s
R1 R2
i (4e10t 2)A t 0
uL
L
di dt
24e V 10t
t0
解法二 全响应 i =零输入响应i ′+ 零状态响应i"
i(0 ) i(0 ) 6A
0.1s
1. i 6e 10t A t 0
t
( f (t ) f (0 )e )
i() 2A
状态，再根据元件的VAR ，便可一求出其他各个电压、电流。
3. 一阶电路的零状态响应和激励成正比，称为零状态线性。
RC零状态响应电路
uC (0+)= uC (0-)=0
=RC
t
uC U S (1 - e RC ) t 0
iC
US R
t
e RC
t0
t
uR USe RC
t0
RL零状态响应电路
iL(0+)= iL(0-)=0
2. i 2(1 e10t )A t 0
t
( f (t) f ()(1 e ))
i i i (4e10t 2) A t 0
uL
L di dt
24e V 10t
(电路分析)一阶电路的零状态响应
一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应：储能元件的初始状态为零，仅由外加激励作用所产生的响应，称为零状态响应（ zero-state response ）。
一、 RC 电路的零状态响应图 5.4-1 所示 RC 电路，开关闭合之前电路已处于稳态，且电容中无储能，即。
时开关闭合，讨论时响应的变化规律。
t=0 时开关闭合，则由换路定则得这时直流电压源 Us 与 R 、 C 构成回路，由 KVL 得这是一阶非齐次微分方程，它的解由对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解组成。
采用常数变易法来解，得 RC 电路的零状态响应为当 t →∞时，电路已达到新的稳态，电容又相当于开路，则，因此，电容电压的零状态响应为式中，为 RC 电路的时间常数。
二、 RL 电路的零状态响应图 5.4-3 所示电路，时开关 S 处于闭合状态，电感的初始状态，时开关打开。
讨论开关打开后响应的变化规律。
t=0 时，开关 S 打开，直流电流源 Is 开始对电感充电，这时这也是一阶非齐次微分方程，解得式中，为 RL 电路的时间常数。
当 t →∞时，这时电路已达到新的稳态，电感相当于短路。
，因此，电感电流的零状态响应为三、一阶电路零状态响应的计算计算步骤1 、求 t →∞时的稳态值。
对于 RC 电路，求；对于 RL 电路，求。
2 、求电路的时间常数τ。
对于 RC 电路，，对于 RL 电路，。
其中， R 为从电容 C 或电感 L 两端看进去的戴维南等效电阻。
3 、求出零状态响应RC 电路：RL 电路：4 、如需求其它响应，再根据已求得的或去求解。
例 5.4-1 图 5.4-5 所示电路，已知时开关 S 处于位置 2 ，且电感中无储能， t=0 时开关 S 拨到位置 1 ，求时的，。
解：电感的初始储能为 0 ，则电路换路后， t →∞时，电路进入新的稳态，电感又相当于短路，则换路后，从电感两端看进去的等效电阻是 4 Ω和 8 Ω两个电阻串联，即R=4 ＋ 8=12 Ω所以，时间常数为因此，电路的零状态响应为。
一阶电路的零输入响应零状态响应
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
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5.电路初始值的确定
(1) 由0－电路求 uC(0－)或iL(0－)
例1 求 iC(0+)
10k
+
10V －
10k 40k
+ uC(0－) －电
+
i
40k iC
+ uC
－ 10V k
－
uC(0)8V
生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
p W t
t 0 p
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2. 一阶电路及其方程
有源 电阻 电路
一个动 态元件
一阶 电路
应用KVL和电容的VCR得：
RiuCuS(t)
+ uS(t)
－
(t >0)
i
R+
uC C
–
i C duC dt
RCddutC uC uS(t)
上页 下页
由0－电路得：
0－电路
0＋电路
IS
+ uL – R
iC
+ R IS –
iL(0＋) = iL(0－) = IS
uC(0＋) = uC(0－) = RIS
由0＋电路得：
iC(0)Is
RSI0 R
uL(0+)=－ RIS
上页 下页
例4 求K 闭合瞬间各支路电流和电感电压2+KL
48V －
iL
i
+
+
uL
过渡状态
上页
下页
(t →)
i
K 未动作前，电路处于稳定状态
rc一阶电路的零状态响应,uc按指数规律上升
一、引言RC一阶电路是电子工程领域中常见的电路之一，它由一个电阻和一个电容组成，具有许多应用，如信号滤波、时间延迟等。
在研究RC一阶电路的零状态响应时，我们需要了解其uc按指数规律上升的特性。
本文将针对这一主题展开深入探讨。
二、RC一阶电路的特点1. RC一阶电路由电阻R和电容C组成，是一种简单且常见的电路结构。
2. 电容器具有“储存电荷”的特性，而电阻则是电流的阻碍器。
3. 当电路中的电压或电流发生变化时，RC电路会产生零状态响应。
三、零状态响应的概念1. 零状态响应是指在电路中所有初始条件都为零的情况下，电路产生的响应。
2. 在RC一阶电路中，零状态响应可以描述电压或电流等信号的变化规律。
四、uc按指数规律上升的原理1. 在RC一阶电路中，uc按指数规律上升的特点是由电容器的充放电过程决定的。
2. 当电路中施加一个电压或电流源时，电容器开始充电，其电压uc会按指数规律上升。
3. 电容器的充电过程可以用指数函数来描述，即uc(t) = U(1 - e^(-t/RC))。
五、uc按指数规律上升的数学推导1. 假设电路初始时刻电容器上无电荷，电压为0，则uc(0) = 0。
2. 根据电容器充放电的数学模型uc(t) = U(1 - e^(-t/RC))，可以推导出uc按指数规律上升的表达式。
3. 当t趋于无穷大时，指数函数e^(-t/RC)趋近于0，此时uc趋近于U，电压最终稳定在U的值。
六、uc按指数规律上升的应用1. 在电子工程中，uc按指数规律上升的特性常常被用于时间延迟、信号衰减等应用场景。
2. 通过控制RC电路的参数，可以调节电压或电流的上升速度，实现对信号的精准控制。
七、结论RC一阶电路的零状态响应和uc按指数规律上升的特性是我们在设计电子电路和解决实际问题时需要重点关注的内容。
对于电子工程师而言，深入了解和掌握这些特性，能够帮助我们更好地设计和优化电路，提高系统的稳定性和性能。
希望本文的内容能够为读者提供一定的参考和帮助。
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e
t
t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC
)V
t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue
t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到 稳定状态 时的电压
§5-6 一阶电路的零状态响应
−
t ≥0
iL(t)
Us R
t
0
充电曲线 uL(t)
Us
0
t
X
第
例题
已知 uC (0) = 0, 试求 uC (t)和i (t), t ≥ 0。
K (t = 0)
10 页
解： t ≥ 0 R = 3// 6 = 2kΩ ∴τ = RC 3 － 6 = 2 ×10 × 50×10 ＝ 0.1s t = ∞ uC (∞) = 6V t − uC (t) = uC (∞)1− e τ = 6(1− e−10 t ) V t ≥ 0
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X
§5-6 一阶电路的零状态响应
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第 2 页
内容提要
RC电路的零状态响应 电路的零状态响应 RL电路的零状态响应 电路的零状态响应 小结
X
第
1.RC电路的零状态响应 电路的零状态响应
零状态响应(z.s.r)是在零初始状态下，仅由外加激励 是在零初始状态下， 零状态响应 是在零初始状态下 源产生的响应。 源产生的响应 。 零状态响应是储能从无到有的建立 K(t = 0) 充电过程。 过程——充电过程。 过程 充电过程
−
t
RR
t ≥ 0+
t ≥ 0+
− 1 2t R1U s τC uC (t ) = uC (∞)(1 − e ) = (1 − e R1R2C ) R1 + R2
−
t
R +R
X
第
3.小结 小结
(1) 零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的 响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性，因此， 响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性，因此， 只要知道电容电压或电感电流的稳态值和电路的时间 常数，就能求得一阶电路的z.s.r。 常数，就能求得一阶电路的 。 (2) 一阶电路零状态微分方程的一般形式为: 一阶电路零状态微分方程的一般形式为 d 1 E为与激励有关的函数 y(t ) + y(t ) = E dt τ t
一阶电路的零输入响应和零状态响应
(t )
uc(t)的微分方程及其求解 R duc RC uc U s + 由KVL dt US uc ( 0) 0
非齐次一阶微分方程的解为：
2.
ic C + uc -
uc ( t ) uch ( t ) ucp ( t )
st t Ke RC
t0
R0
t=0 i + + R uR C uc -
+ -
U0
R0
t=0 i + + R uR C uc C + uc -
i + R uR -
+ -
U0
1、换路前后，电路的物理过程
t 0, uc (0) U 0
t 0 时，uc ( 0 ) U0，i ( 0 ) 0，uR ( 0 ) 0
可写成
并不是所有变量的零状态响应都是从零值趋于稳 态值，例如 ic(t) 是从其初始值按指数规律衰减到 零。这是上图电路中 ic 本身性质所确定的。
uc ( t ) uc ( )(1 e
t
)
。
例 图示电路，2A电流源在t=0时加于电路， u(0)=0，求i1(t)，t>0，并画出其波形。 4 i2
2. 电路的微分方程及其求解
i
设响应为 uc(t) + + uc uR 0 C uc R uR duc uR Ri RC t 0, uc (0) U 0 dt duc RC uc 0，t （齐次微分方程） 0 dt 及uc ( 0) U 0 一阶齐次微分方程的解为 uc ( t ) Ke 式中K是由初始条件确定的待定常数，S 是特征方程的特征根。
5-4、5一阶电路的零状态响应和三要素法1(new)(乙)
−
t
τ
u
C (0 )=U0
uC (= t ) U S + Ae
τ
τ =RC
− t
由起始值定A
uC (0+)=A+US=U0
uC = U S + (U 0 − U S )e
∴ A=U0 - US
t≥0
τ
(1). 全响应 = 强制分量(特解、稳态解)+自由分量(齐次解、暂态解)
uC (t ) =U S + (U 0 − U S )e
(0 < t ≤ 0.2)
i (A) 5 2 0.2 1.26 t(s)
i (t )= 5 − 3.74e −2(t −0.2) A ( t ≥ 0.2)
)A 例：某一阶电路在阶跃函数US 1(t) 激励下响应 i (t ) = (4 − 3 e 若将其初始状态量增加为二倍，此响应变为？ 若将激励增加为三倍，此响应变为？ 若将其初始状态量增加为二倍，同时将激励增加为三倍， 此响应变为？ i (t ) = 2 × i (t ) + i (t )
零状态响应
−
τ
(t ≥ 0)
零输入响应
uC
US U0 0
全响应
零状态响应
t
零输入响应
二.
df (t ) + bf (t ) = u (t ) 一阶电路的数学模型是一阶微分方程：a dt
其解答一般形式为： 令 t = 0+
三要素法分析一阶电路
= f (t )
f (0+ = )
f P (t ) + A e
t ≥ t1
§5-5
一阶电路的全响应和三要素法
一阶电路零状态响应
第三节 一阶电路零状态响应一、一阶RC 电路零状态响应所谓一阶RC 电路零状态，是指换路前电容元件未储有能量，即0)0(=-C u 。
在此条件下，由直流电源激励所产生的电路响应，称为零状态响应。
RC 电路的零状态响应实际上就是电容元件的充电过程。
u Ci图5-3-1一阶RC 电路零状态图5-3-1所示为RC 串联电路。
在t =0时将开关S 合上，电路与恒定电压U 的直流电压源接通，对电容元件开始充电。
根据KVL 得U u u C R =+而Ri u R =，dtdu C i C =代入上式得 U u dtdu RC C C =+ 上式为一阶常系数线性非奇次微分方程，它的解由该方程的特解u C ′和对应的齐次方程0=+C C u dtdu RC 的通解u C ″组成。
特解U u u C C =∞=')(，又称强制分量或稳态分量；通解t RC C Ae u 1-=''，也称自由分量或暂态分量。
故微分方程的解为：t RC C C C Ae U u u u 1-+=''+'=若0)0()0(==-+C C u u ，则由此初始条件代入上式得U A -=因此，零状态响应中的电容电压的表达式为：)1(C C ttC e U Ue U u ττ---=-=零状态响应中的电容电流的表达式为：τt c e RU dt du C i -== 由此可得电阻元件R 上的电压：τtR Ue Ri u -== u C 以指数形式趋近于它的最终恒定值U ，到达该值后，电压和电流不再变化，电容相当于开路，电流为零。
此时电路达到稳定状态（简称稳态），所以在这种情况下，特解'C u （=U ）称为稳态分量。
同时可以看出'C u 与外施激励的变化规律有关，所以又称为强制分量。
非齐次方程的通解"C u 则由于其变化规律取决于特征根而与外施激励无关，所以称为自由分量。
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S (t = 0)
IS 2Ω
iL 2H
3
② I s = 10 A ， iL ( 0+ ) = 1A ③ I s = 10 A ， iL ( 0+ ) = 5 A 解： τ =
L = 1S R
iL = e − t + 2 (1 − e − t ) = 2 − e − t (A) t>0
① iL ( ∞ ) = I s = 2 A
R 2 C
Us
uc
uc ( 0+ ) = U s uc ( ∞ ) = U s
2V
4Ω
6V
2 = 1A 2 6 = 1A iL ( ∞ ) = 2+4
无过渡过程
无过渡过程 纠错 例 6-5 单刀双掷开关画错了。 例 2 求开关动作后电路中的电流iL。 ① I s = 2 A ， iL ( 0+ ) = 1A
− t RC
+ uC特
求uC特： 令uC特 = B, 代入方程中得B = U s = uc (∞), (t > 5τ 新稳态)。 ∴ uC = A′e 求A′ +Us ∴ A′ = −U s
− t RC
uc
US
O
uc特
uc
0 = A′ + U s
− t RC
∴ uc = U s (1 − e
2.求其他响应
§6-3 一阶电路的零状态响应
一、RC 电路的零状态响应（充电电路） （直流激励下）
1.求换路后uC.
S(t=0)
R Us
i c (t )
C
uc
duC ⎧ + uC = U s ⎪ RC ① 列方程 ⎨ dt ⎪ =0 ⎩uC (0 + ）
− t RC
② 解方程： uC = uC通 + uC特 = A′e
零输入响应和零状态响应都是全响应的特例。 三、RL 电路全响应
iL ( t ) = iL (∞) + [iL (0+ ) − iL (∞)]e = iL (0+ )e
− t
−
t
τ
τ
+ iL(∞)(1 − e τ )
L R
−
t
τ=
例 1 分析换路后电路有无过渡过程
2Ω iL ( 0+ ) =
1H
R 1
② uc (∞)，iL (∞) ： t ≥ 5τ 只剩下此分量，故为稳态分量 注意：零输入响应强制分量为零
结论：动态电路一旦被激励，它将以两种方式作出响应。它以自由响应的形式揭示了自身
的特性，它以强制响应的形式表达了激励的特性。
§7-5 一阶电路全响应（线性动态电路叠加定理）
一、一阶电路的全响应（计算 uc ）
⎧ RC ⎪ 1． τ = ⎨ L ⎪ ⎩R
2．新稳态
⎧C Req 是从 ⎨ 看进去的戴维宁等效电阻 ⎩L
Ns2 直流
uc (∞ )
uc特 = uc (∞)戴维宁电压源 iL特 = iL (∞ ) 诺顿电流源
Ns2
uoc
iL (∞)
Ns2
直流
Ns2
isc
四、零状态响应的各分量
1.自由分量（暂态分量）
uR ( ∞ ) = 0
R
Us
4. uc (τ ) = U s (1 − 0.368 ) = 0.632U s 5.能量关系： Ws =
∫
∞
0
U s idt = CU s 2 发
1 ΔWR = CU s 2 2
耗能
在充电过程中，电源提供的能量，一半贮存于电容，一半被电阻消耗
(
)
四、全响应的三要素
1. uc、iL
⎧ ⎪uc ( 0+ ) 1 ⎨ 从换路前求 ○ ⎪ ⎩uL ( 0+ )
2.求其它响应 f (t ) ：
⎧ RC ⎪ 2 τ = ⎨ L 换路后 ○ ⎪ ⎩R
3 ○
⎧ ⎪u c ( ∞ ) 换路后稳态 ⎨ ⎪ ⎩i L ( ∞ )
法①先求 ⎨
⎧uc ⎧uc 再找 f (t )与独立变量 ⎨ 的关系 ⎩ iL ⎩iL
− t RC − t
τ
⎧us ⎩s =⎡ ⎣uc ( 0+ ) − uc ( ∞ ) ⎤ ⎦e
u c 是常数 uc ↓ uc ↑
u c,i
uc
Us
U0
− t
τ
uc ( 0 + ) = uc ( ∞ ) ⎧> ⎪ uc ( ∞ ) uc ( 0 + ) ⎨ ⎪ ⎩< uc ( ∞ )
uc,i
Us =U 0
−
t RC
∴ uC = U S + (U 0 − U S ) e
⑴
= U 0e 二、全响应分析
−
t RC
+ U s (1 − e
−
t RC
)
⑵
2
1.全响应=稳态（强制）响应+暂态（自由）响应 三要素法： f ( t ) = f ( ∞ ) + ⎡ ⎣ f ( 0+ ) − f ( ∞ ) ⎤ ⎦e 条件：直流激励下，任意响应 1 稳态响应= U s = uc ( ∞ ) ∝ ⎨ ○ i 2 暂态响应= (U 0 − U s ) e ○
② iL ( ∞ ) = I s = 10 A ， iL = e − t + 10 1 − e − t = 10 − 9e − t ( A)
(
)
t >0
③ iL ( 0+ ) = 5 A ， iL ( ∞ ) = 10 A ， iL = 5e − t + 10 1 − e − t = 10 − 5e − t ( A) t > 0
) = uc (∞)(1 − e
)
t >0
−
US
uc通
t
i (t ) = C
t duc U −t 1 − RC = −CU S (− )e = s e RC dt RC R
− t RC
Us
US
R
uR
i t
u R ( t ) = Ri = U s e
3.波形
O
注意 uc ( ∞ ) = U s
ic ( ∞ ) = 0
法②直接求，注意 f ( 0+ ) 从 0 + 电路求， f ( ∞ ) 从换路后稳态电路求， τ 求法不变。
4
二、RL 电路的零状态响应
R
iL
C u c
Is
G
Us
L
RC
duc + uc = U s dt
− t
KVL
GL
diL + iL = I s dt
− t
KCL
uc = U s (1 − e τ )
iL = I s (1 − e τ )
1
τ = RC
τ = GL
三、零状态响应的两要素（ 对换路后t ≥ 0电路计算 ）
t uc通 − τ ＝Ae iL通
uc = uc通 + uc特 ， iL = iL通 + iL特
⎧与零输入响应性质同，与激励无关，故为自由响应分量 ⎨ ⎩t > 5τ 时此项 → 0，故为暂态响应分量 ⎧us ，随激励的性质变化，故为强制分量 ⎩is
2 强制分量（稳态分量） ① uc特，iL特 ：正比于激励 ⎨
已知开关动作时电容电压 uc ( 0+ ) = U 0
Us
s t =0
R
ic (t )
C
uc
duc ⎧ + uc = U s ⎪ RC dt 1.列方程： ⎨ ⎪u c ( 0 + ) = U 0 ⎩
2.解方程： uc = Ae
− t RC
+US
∵U 0 = A + U s → A = U 0 + U s
uc
U0
uc,i
Us
uc ic
τ
ic
0
t
0
t
0
τ
t
2.全响应=零输入响应+零状态响应（条件：任意激励下线性电路任意响应） 1 零输入响应 ∝ uc ( 0+ ) ，是初值的线性函数； ○ 2 零状态响应 ∝ ⎨ ○ i
⎧us ⎩s
，是激励的线性函数；
结论：全响应是二者的叠加即激励和初始状态共同作用的结果；